8 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 4: Bất đẳng thức bu-nhi-a-cốp-xki có đáp án

Câu 1:

Chứng minh rằng với mọi số thực x, y luôn có:

${(x^{3} + y^{3})}^{2} \leq (x^{2} + y^{2}) (x^{4} + y^{4})$

Xem đáp án

Ta có: $V T = {(x^{3} + y^{3})}^{2} = {(x . x^{2} + y . y^{2})}^{2} \leq (x^{2} + y^{2}) (x^{4} + y^{4})$ , đpcm.

Câu 2:

Chứng minh rằng với a, b, c tùy ý ta luôn có:

$a b + b c + c a \leq a^{2} + b^{2} + c^{2}$

Xem đáp án

Ta có:

$V T^{2} = {(a b + b c + c a)}^{2} \leq (a^{2} + b^{2} + c^{2}) (b^{2} + c^{2} + a^{2}) = {(a^{2} + b^{2} + c^{2})}^{2}$

Lấy căn bậc hai của hai vế, ta đi đến:

$a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq |a b + b c + c a| \geq a b + b c + c a$ , đpcm.

Câu 3:

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, p là một nửa chu vi. Chứng minh rằng: $\sqrt{p} < \sqrt{p - a} + \sqrt{p - b} + \sqrt{p - c} \leq \sqrt{3 p}$

Xem đáp án

- Ta có:

${(\sqrt{p - a} + \sqrt{p - b} + \sqrt{p - c})}^{2} = {(1. \sqrt{p - a} + 1. \sqrt{p - b} + 1. \sqrt{p - c})}^{2} \leq (1^{2} + 1^{2} + 1^{2}) (p - a + p - b + p - c) = 3 p \Leftrightarrow \sqrt{p - a} + \sqrt{p - b} + \sqrt{p - c} \leq \sqrt{3 p} (1)$

Dấu đẳng thức xảy ra khi:

$\frac{\sqrt{p - a}}{1} = \frac{\sqrt{p - b}}{1} = \frac{\sqrt{p - c}}{1} \Leftrightarrow a = b = c$

- Ta đi chứng minh:

$\sqrt{p} < \sqrt{p - a} + \sqrt{p - b} + \sqrt{p - c}$

Bằng phép biến đổi tương đương, cụ thể:

$\sqrt{p} < \sqrt{p - a} + \sqrt{p - b} + \sqrt{p - c} \Leftrightarrow p < p - a + p - b + p - c + 2 \sqrt{(p - a) (p - b)} + 2 \sqrt{(p - c) (p - a)} + 2 \sqrt{(p - b) (p - c)} \Leftrightarrow 0 < 2 \sqrt{(p - a) (p - b)} + 2 \sqrt{(p - c) (p - a)} + 2 \sqrt{(p - b) (p - c)}$

Câu 4:

Cho a, b, c là ba số khác 0. Chứng minh rằng: $\frac{a^{2}}{b^{2}} + \frac{b^{2}}{c^{2}} + \frac{c^{2}}{a^{2}} \geq \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}$

Xem đáp án

Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki ta có:

$(\frac{a^{2}}{b^{2}} + \frac{b^{2}}{c^{2}} + \frac{c^{2}}{a^{2}}) (1^{2} + 1^{2} + 1^{2}) \geq {(|\frac{a}{b}| + |\frac{b}{c}| + |\frac{c}{a}|)}^{2}$

Suy ra:

$\frac{a^{2}}{b^{2}} + \frac{b^{2}}{c^{2}} + \frac{c^{2}}{a^{2}} \geq (|\frac{a}{b}| + |\frac{b}{c}| + |\frac{c}{a}|) . \frac{1}{3} . (|\frac{a}{b}| + |\frac{b}{c}| + |\frac{c}{a}|)$ (*)

Nhận xét rằng:

$\frac{1}{3} . (|\frac{a}{b}| + |\frac{b}{c}| + |\frac{c}{a}|) \geq \sqrt[3]{|\frac{a b c}{a b c}|} = 1 |\frac{a}{b}| + |\frac{b}{c}| + |\frac{c}{a}| \geq \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}$

Suy ra

$(|\frac{a}{b}| + |\frac{b}{c}| + |\frac{c}{a}|) . \frac{1}{3} . (|\frac{a}{b}| + |\frac{b}{c}| + |\frac{c}{a}|) \geq \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}$

Từ đó (*) được biến đổi:

$\frac{a^{2}}{b^{2}} + \frac{b^{2}}{c^{2}} + \frac{c^{2}}{a^{2}} \geq \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}$

Dễ nhận thấy dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c

Câu 5:

Hai số x, y thỏa mãn $x^{2} + y^{2} = 1$ . Chứng minh rằng $- 5 \leq 3 x + 4 y \leq 5$ .

Xem đáp án

Ta có: ${(3 x + 4 y)}^{2} \leq (3^{2} + 4^{2}) (x^{2} + y^{2}) = 25$

Lấy căn hai vế, ta được:

$|3 x + 4 y| \leq 5 \Leftrightarrow - \leq 3 x + 4 y \leq 5$ , đpcm.

Câu 6:

Cho các số không âm a, y thỏa mãn $x^{3} + y^{3} = 2$ . Chứng minh rằng: $x^{2} + y^{2} \leq 2$

Xem đáp án

Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki ta có:

${(x^{2} + y^{2})}^{2} = {(\sqrt{x} . \sqrt{x^{3}} + \sqrt{y} . \sqrt{y^{3}})}^{2} \leq (x + y) (x^{3} + y^{3}) = 2 (x + y)$

$\Leftrightarrow {(x^{2} + y^{2})}^{4} \leq 4 {(x + y)}^{2} = 4 {(1. x + 1. y)}^{2} \leq 4 (1 + 1) (x^{2} + y^{2}) = 8 (x^{2} + y^{2})$

${(x^{2} + y^{2})}^{3} \leq 8 \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} \leq 2$ , đpcm.

Dễ nhận thấy dấu đẳng thức xảy ra khi x = y = 1.

Câu 7:

Chứng minh bất đẳng thức:

$\frac{a_{1}^{2}}{a_{2} + a_{3} + a_{4}} + \frac{a_{2}^{2}}{a_{3} + a_{4} + a_{5}} + \frac{a_{3}^{2}}{a_{4} + a_{5} + a_{1}} + \frac{a_{4}^{2}}{a_{5} + a_{1} + a_{2}} + \frac{a_{5}^{2}}{a_{1} + a_{2} + a_{3}} \geq \frac{\sqrt{5}}{3}$

Trong đó: a₁, a₂, a₃, a₄, a₅ là các số dương thỏa mãn điều kiện:

$a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2} + a_{4}^{2} + a_{5}^{2} \geq 1$

Xem đáp án

Đặt:

$A = \frac{a_{1}^{2}}{a_{2} + a_{3} + a_{4}} + \frac{a_{2}^{2}}{a_{3} + a_{4} + a_{5}} + \frac{a_{3}^{2}}{a_{4} + a_{5} + a_{1}} + \frac{a_{4}^{2}}{a_{5} + a_{1} + a_{2}} + \frac{a_{5}^{2}}{a_{1} + a_{2} + a_{3}} B = a_{1}^{2} (a_{2} + a_{3} + a_{4}) + a_{2}^{2} (a_{3} + a_{4} + a_{5}) + a_{3}^{2} (a_{4} + a_{5} + a_{1}) + a_{4}^{2} (a_{5} + a_{1} + a_{2}) + a_{5}^{2} (a_{1} + a_{2} + a_{3}) C = a_{1}^{2} {(a_{2} + a_{3} + a_{4})}^{2} + a_{2}^{2} {(a_{3} + a_{4} + a_{5})}^{2} + a_{3}^{2} {(a_{4} + a_{5} + a_{1})}^{2} + a_{4}^{2} {(a_{5} + a_{1} + a_{2})}^{2} + a_{5}^{2} {(a_{1} + a_{2} + a_{3})}^{2} D = 3 [a_{1}^{2} (a_{2} + a_{3} + a_{4}) + a_{2}^{2} (a_{3} + a_{4} + a_{5}) + a_{3}^{2} (a_{4} + a_{5} + a_{1}) + a_{4}^{2} (a_{5} + a_{1} + a_{2}) + a_{5}^{2} (a_{1} + a_{2} + a_{3})] E = a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2} + a_{4}^{2} + a_{5}^{2}$

Do:

$3 (x^{2} + y^{2} + z^{2}) \geq {(x + y + z)}^{2}$ đúng với $\forall x, y, z \in ℝ$

Nên

$D \geq C$ (1)

Bằng biến đổi đơn giản, ta có:

$\frac{5}{9} E^{2} - D = \frac{3}{10} [(a_{1}^{2} + a_{2}^{2} - a_{3}^{2} - a_{4}^{2})^{2} + {(a_{2}^{2} + a_{3}^{2} - a_{4}^{2} - a_{5}^{2})}^{2} + {(a_{3}^{2} + a_{4}^{2} - a_{5}^{2} - a_{1}^{2})}^{2} + {(a_{4}^{2} + a_{5}^{2} - a_{1}^{2} - a_{2}^{2})}^{2} + {(a_{5}^{2} + a_{1}^{2} - a_{2}^{2} - a_{3}^{2})}^{2} + {(a_{1}^{2} - a_{4}^{2})}^{2} + {(a_{1}^{2} - a_{3}^{2})}^{2} + {(a_{2}^{2} - a_{4}^{2})}^{2} + {(a_{2}^{2} - a_{5}^{2})}^{2} + {(a_{3}^{2} - a_{4}^{2})}^{2}] \geq 0$

Nên $\frac{5}{9} E^{2} \geq 0$ (2)

Sử dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta thu được:

$A . B \geq E^{2}$ (3)

Vận dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta thu được:

$B^{2} \leq E C$

Từ (1) và (2), ta có:

$B^{2} \leq E C \leq E D \leq E . \frac{5}{9} E^{2} = \frac{5}{9} E^{3}$ (4)

Từ (3) và (4), ta thu được: $A \geq \frac{\sqrt{5}}{3} \sqrt{E} \geq \frac{\sqrt{5}}{3}$ , do $E \geq 1$ .

Đẳng thức chỉ xảy ra khi: $a_{1} = a_{2} = a_{3} = a_{4} = a_{5} = \frac{1}{\sqrt{5}}$

Câu 8:

Trong tất cả các nghiệm (x, y) của phương trình: 2x + 3y = 1

Hãy chỉ ra nghiệm có tổng $3 x^{2} + 2 y^{2}$ nhỏ nhất.

Xem đáp án

Ta có:

$1 = {(2 x + 3 y)}^{2} = {(\frac{2}{\sqrt{3}} . x \sqrt{3} + \frac{3}{\sqrt{2}} . y \sqrt{2})}^{2} \leq (\frac{4}{3} + \frac{9}{2}) (3 x^{2} + 2 y^{2}) = \frac{35}{6} (3 x^{2} + 2 y^{2}) \Rightarrow 3 x^{2} + 2 y^{2} \geq \frac{6}{35}$

Dấu đẳng thức xảy ra khi ta có:

$x \sqrt{3} : \frac{2}{\sqrt{3}} = y \sqrt{2} : \frac{3}{\sqrt{2}} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x + 3 y = 1 \\ \frac{3 x}{2} = \frac{2 y}{3} \end{cases} \Rightarrow x = \frac{4}{35} & y = \frac{9}{35}$

Vậy, ta có ${(3 x^{2} + 2 y^{2})}_{M i n} = \frac{6}{35}$ đạt được khi $x = \frac{4}{35}$ và $y = \frac{9}{35}$