20 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 2. Bài luyện tập có đáp án

Câu 1:

Cho hình chữ nhật ABCD, gọi E là trung điểm của AB, F là trung điểm của CD. Chứng minh hai tam giác ADF và CBE đồng dạng với nhau.

Xem đáp án

Media VietJack

AECF là hình bình hành (Vì có AE,FC song song và bằng nhau), suy ra: // .

Khi đó, ta có: $\hat{A F D} = \hat{E C F}$ (hai góc đồng vị)

$\hat{C E B} = \hat{E C F}$ (hai góc so le trong)

Từ đó: $\hat{A F D} = \hat{C E B}$

Xét $Δ A D F$ và $Δ C B E$ , ta có:

$\hat{B} = \hat{D} = 90^{0}$

$\hat{A F D} = \hat{C E B}$

Do vậy: $Δ A D F ~ Δ C B E$ (g.g)

Câu 2:

Cho tam giác ABC vuông tại A, $A B = 15 c m; A C = 20 c m$ . Kẻ đường cao AH.

Chứng minh : $Δ A B C ~ Δ H B A$ từ đó suy ra: $A B^{2} = B C . B H$

Xem đáp án

Xét $Δ A B C$ và $Δ H B A$ , ta có:

$\hat{A} = \hat{H} = 90^{0}$

$\hat{B}$ chung

Do đó: $Δ A B C ~ Δ H B A$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{A B}{H B} = \frac{B C}{B A}$

$\Rightarrow A B . B A = H B . B C$ hay $A B^{2} = B C . B H$

Câu 3:

Cho tam giác ABC vuông tại A,

A B = 15 c m; A C = 20 c m

. Kẻ đường cao AH.

Tính BH và CH.

Xem đáp án

Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông ABC:

$A B^{2} + A C^{2} = B C^{2}$

$\Rightarrow 15^{2} + 20^{2} = B C^{2}$

$\Rightarrow B C = 25 c m$ .

Theo a, ta có: $\frac{A B}{H B} = \frac{B C}{B A}$ hay $\frac{15}{H B} = \frac{25}{15}$

$\Rightarrow H B = \frac{15.15}{25} = 9 c m .$

$C H = B C - H B = 25 - 9 = 16 c m .$

Vậy $H B = 9 c m, C H = 16 c m .$

Câu 4:

Cho hình thang ABCD( AB // CD).

Biết $A B = 3 c m; A D = 2, 5 c m; B D = 6 c m$ và $\hat{D B C} = \hat{D A B}$ .

Chứng minh hai tam giác ADB và BCD đồng dạng.

Xem đáp án

Xét $Δ A D B$ và $Δ B C D$ có:

$\hat{A B D} = \hat{B D C}$ (hai góc so le trong)

$\hat{D B C} = \hat{D A B}$

Do đó: $Δ A D B ~ Δ B C D$ (g.g)

Câu 5:

Cho hình thang ABCD( AB // CD).

Biết $A B = 3 c m; A D = 2, 5 c m; B D = 6 c m$ và $\hat{D B C} = \hat{D A B}$ .

Tính độ dài các cạnh BC và CD.

Xem đáp án

Vì $Δ A D B ~ Δ B C D$ nên $\frac{A D}{B C} = \frac{A B}{B D} = \frac{D B}{C D}$

Hay $\frac{2, 5}{B C} = \frac{3}{6} = \frac{6}{C D}$

$\Rightarrow B C = 5 c m, C D = 12 c m .$

Câu 6:

Cho tam giác vuông $A B C (\hat{A} = 90^{0})$ có $A B = 9 c m, A C = 12 c m$ . Dựng AD vuông góc với $B C (D \in B C)$ . Tia phân giác góc B cắt AC tại E.

Tính độ dài các đoạn thẳng AD,DB và DC.

Xem đáp án

Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông ABC:

$A B^{2} + A C^{2} = B C^{2}$

$\Rightarrow 9^{2} + 12^{2} = B C^{2}$

$\Rightarrow B C = 15 c m$ .

Xét $Δ A B C$ và $Δ D A C$ có:

$\hat{A B C} = \hat{D A C}$ (cùng phụ với )

$\hat{C}$ góc chung

Do đó: $Δ A B C ~ Δ D A C$ (g.g) $\Rightarrow \frac{A B}{A D} = \frac{A C}{D C} = \frac{B C}{A C}$

Hay $\frac{9}{A D} = \frac{12}{D C} = \frac{15}{12}$ hay $\frac{9}{A D} = \frac{12}{D C} = \frac{5}{4}$

$\Rightarrow A D = 7, 2 c m; D C = 9, 6 c m; D B = 5, 4 c m .$

Câu 7:

Cho tam giác vuông

A B C (\hat{A} = 90^{0})

có

A B = 9 c m, A C = 12 c m

. Dựng AD vuông góc với

B C (D \in B C)

. Tia phân giác góc B cắt AC tại E.

Tính diện tích các tam giác ABD và ACD.

Xem đáp án

Tính diện tích các tam giác ABD là: $\frac{1}{2} . B D . A D = \frac{1}{2} .5, 4.7, 2 = 19, 44 c m^{2}$

Tính diện tích các tam giác ACD là: $\frac{1}{2} . D C . A D = \frac{1}{2} .9, 6.7, 2 = 34, 56 c m^{2}$

Câu 8:

Cho hình bình hành ABCD với đường chéo $A C > B D$ . Gọi $E, F$ lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ C đến các đường thẳng AB và AD. Gọi G là chân đường vuông góc kẻ từ B đến AC. Chứng minh rằng: tam giác BCG đồng dạng với CAF

Xem đáp án

Xét $Δ B C G$ và $Δ C A F$ có:

$\hat{G} = \hat{F}$ ( $= 90^{0}$ )

$\hat{B C G} = \hat{C A F}$ (hai góc so le trong)

Do đó: $Δ B C G ~ Δ C A F$ (g.g)

Câu 9:

Cho hình bình hành ABCD với đường chéo

A C > B D

. Gọi

E, F

lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ C đến các đường thẳng AB và AD. Gọi G là chân đường vuông góc kẻ từ B đến AC. Chứng minh rằng:BG.AF=CG.CF

Xem đáp án

$Δ B C G ~ Δ C A F$ (g.g) $\Rightarrow \frac{B G}{C F} = \frac{C G}{A F}$

Hay $B G . A F = C G . C F$

Câu 10:

Cho hình bình hành ABCD, trên tia đối của tia DA lấy điểm M sao cho $D M = A B,$ trên tia đối của tia BA lấy điểm N sao cho $B N = A D$ . Chứng minh tam giác CNB và MDC cân.

Xem đáp án

Xét $Δ C N B$ có: $B N = A D$ (gt), mà $A D = B C$ nên $B N = B C$ .

$\Rightarrow Δ C N B$ cân tại B.

Xét $Δ M D C$ có: $D M = A B$ (gt), mà $A B = D C$ nên $D M = D C$ .

$\Rightarrow Δ M D C$ cân tại D.

Câu 11:

Cho hình bình hành ABCD, trên tia đối của tia DA lấy điểm M sao cho

D M = A B,

trên tia đối của tia BA lấy điểm N sao cho

B N = A D

. Chứng minh tam giác CNB đồng dạng với MDC

Xem đáp án

Vì $Δ C N B$ cân tại B nên $\hat{B C N} = \hat{B N C} = \frac{180^{0} - \hat{B}}{2}$

Vì $Δ M D C$ cân tại D nên $\hat{D C M} = \hat{D M C} = \frac{180^{0} - \hat{D}}{2}$

Mà $\hat{B} = \hat{D}$ (vì cùng bù với 2 góc bằng nhau) nên $\hat{B C N} = \hat{B N C} = \hat{D C M} = \hat{D M C}$

Xét $Δ C N B$ và $Δ M D C$ có:

$\hat{D C M} = \hat{B N C}$ (cùng bù với hai góc bằng nhau $\hat{C B A}$ và $\hat{B C D}$ )

$\hat{C M D} = \hat{N C B}$ (cmt)

Do đó: $Δ C N B ~ Δ M D C$ (g.g).

Câu 12:

Cho hình bình hành ABCD, trên tia đối của tia DA lấy điểm M sao cho $D M = A B,$ trên tia đối của tia BA lấy điểm N sao cho $B N = A D$ .Chứng minh M, C, N thẳng hàng.

Xem đáp án

Ta có: $\hat{C M D} = \hat{N C B}$ (hai góc đồng vị)

$\hat{D C M} = \hat{B N C}$ (hai góc đồng vị)

$\hat{B C D} = \hat{C D M}$ (hai góc so le trong)

Mà $\hat{D C M} + \hat{C D M} + \hat{D M C} = 180^{0}$ (Định lí tổng ba góc trong một tam giác).

Nên $\hat{N C M} = \hat{N C B} + \hat{B C D} + \hat{D C M} = 180^{0}$ .

Do đó M, C, N thẳng hàng.

Câu 13:

Cho tam giác $A B C (A B \leq B C)$ có các góc đều nhọn, đường phân giác AD. Các đường cao $B E, C F$ cắt nhau ở H, đường phân giác AD. Vẽ tia Dx sao cho $\hat{C D x} = \hat{B A C}$ (tia Dx và A cùng phía đối với BC) tia Dx cắt AC ở K. Chứng minh: tam giác ABE đồng dạng với ACF.Từ đó suy ra: AE.AC = AF. AB.

Xem đáp án

Xét $Δ A B E$ và $Δ A C F$ có:

$\hat{E} = \hat{F}$ ( $= 90^{0}$ )

$\hat{A}$ góc chung

Do đó: $Δ A B E ~ Δ A C F$ (g.g) $\Rightarrow \frac{A E}{A F} = \frac{A B}{A C}$

Hay $A E . A C = A F . A B$

Câu 14:

Cho tam giác

A B C (A B \leq B C)

có các góc đều nhọn, đường phân giác AD. Các đường cao

B E, C F

cắt nhau ở H, đường phân giác AD. Vẽ tia Dx sao cho

\hat{C D x} = \hat{B A C}

(tia Dx và A cùng phía đối với BC) tia Dx cắt AC ở K. Chứng minh:ABC đồng dạng DKC

Xem đáp án

Xét $Δ A B C$ và $Δ D K C$ có:

$\hat{B A C} = \hat{C D x}$ (gt)

$\hat{C}$ góc chung

Do đó: $Δ A B C ~ Δ D K C$ (g.g)

Câu 15:

Cho tam giác

A B C (A B \leq B C)

có các góc đều nhọn, đường phân giác AD. Các đường cao

B E, C F

cắt nhau ở H, đường phân giác AD. Vẽ tia Dx sao cho

\hat{C D x} = \hat{B A C}

(tia Dx và A cùng phía đối với BC) tia Dx cắt AC ở K. Chứng minh: DK= DB

Xem đáp án

Theo b. và tính chất đường phân giác ta có: $\frac{D B}{D C} = \frac{D E}{D C}$ vì cùng bằng $\frac{A B}{A C} .$

$\Rightarrow D K = D B .$

Câu 16:

Cho tam giác ABC vuông tại A, có $A B = 6 c m, A C = 8 c m, B C = 10 c m$ . Đường cao $A H (H \in B C) .$

Chỉ ra các cặp tam giác đồng dạng.

Xem đáp án

Các cặp tam giác đồng dạng:

Δ A B C ~ Δ H B A; Δ A B C ~ Δ H A C; Δ H B A ~ Δ H A C

.

Câu 17:

Cho tam giác ABC vuông tại A, có

A B = 6 c m, A C = 8 c m, B C = 10 c m

. Đường cao

A H (H \in B C) .

Chứng minh rằng $A H^{2} = B H . H C$

Xem đáp án

Xét hai tam giác vuông $Δ H B A$ và $Δ H A C$ có: $\hat{B A H} + \hat{H A C} = 90^{0}$

$\hat{A C H} + \hat{H A C} = 90^{0}$

Suy ra: $\hat{B A H} = \hat{H C A}$

$\Rightarrow Δ H B A ~ Δ H A C$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{B H}{A H} = \frac{A H}{C H}$ hay $A H^{2} = B H . H C$

Câu 18:

Cho tam giác ABC vuông tại A, có

A B = 6 c m, A C = 8 c m, B C = 10 c m

. Đường cao

A H (H \in B C) .

Cho AD là đường phân giác của tam giác $A B C (D \in B C)$ . Vẽ đường thẳng vuông góc với AC tại C cắt đường phân giác AD tại E. Chứng minh tam giác ABD đồng dạng tam giác ECD.

Xem đáp án

Vì $E C ⊥ A C, B A ⊥ A C \Rightarrow B A$ // CE

Xét $Δ A B D$ và $Δ E C D$ có:

$\hat{B A D} = \hat{D E C}$ (hai góc so le trong)

$\hat{A B D} = \hat{D C E}$ (hai góc so le trong)

Do đó: $Δ A B D ~ Δ E C D$ (g.g).

Câu 19:

Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Qua điểm D thuộc cạnh BC, vẽ đường thẳng song song với AM, cắt AB và AC theo thứ tự tại E và F.

Qua A vẽ đường thẳng song song với BC, cắt EF ở K. Chứng minh rằng K là trung điểm của EF.

Xem đáp án

Ta chứng minh được: $\frac{F K}{A M} = \frac{K E}{A M}$ (cùng bằng $\frac{K A}{M C}$ ).

$\Rightarrow F K = K E$

Do đó: K là trung điểm của EF.

Câu 20:

Cho các tam giác ABC và A'B'C' có $\hat{A} + \hat{A'} = 180^{0}, \hat{B} = \hat{B'}$ . Gọi $B C = a, A C = b, A B = c, B' C' = a', A' C' = b', A' B' = c'$ . Chứng minh rằng $a a' = b b' + c c' .$

Xem đáp án

Vẽ $Δ A D E$ bằng $Δ A' B' C'$ , kẻ EF// BC

Vì EF// BC $\Rightarrow \frac{A E}{A B} = \frac{A F}{A C} \Rightarrow \frac{b'}{c} = \frac{A F}{b} \Rightarrow b b' = c . A F$ (1)

$Δ A B C$ và $Δ E D F$ đồng dạng (g.g)

$\Rightarrow \frac{B C}{D F} = \frac{A B}{E D} = \frac{a}{A F + c'} = \frac{c}{a'}$

$\Rightarrow a a' = c . A F + c c'$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $a a' = b b' + c c' .$