45 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 5. Bài toán chứa ẩn (ẩn x) dưới dấu căn và những ý toán phụ.

P = (\frac{\sqrt{x} - 3}{2 - \sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x} + 2}{3 + \sqrt{x}} - \frac{9 - x}{x + \sqrt{x} - 6}) : (1 - \frac{3 \sqrt{x} - 9}{x - 9})

Tính giá trị biểu thức P khi

x > 0; x \neq 4; x \neq 9

x = \frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{3}} . (\sqrt{3} - 1)}{\sqrt{6 + 2 \sqrt{5}} - \sqrt{5}}

Xem đáp án

$x = \frac{\sqrt{{(\sqrt{3} + 1)}^{2}} (\sqrt{3} - 1)}{\sqrt{{(1 + \sqrt{5})}^{2} - \sqrt{5}}} = \frac{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)}{1 + \sqrt{5} - \sqrt{5}} = 2$

Nên $P = \frac{2 + \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} + 1$

Câu 10:

Với x > 0, cho hai biểu thức

A = \frac{2 + \sqrt{x}}{\sqrt{x}}

Với x > 0, cho hai biểu thức

B = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}} + \frac{2 \sqrt{x} + 1}{x + \sqrt{x}}

Tính giá trị của biểu thức A khi x = 64.

Xem đáp án

Với x = 64 ta có

A = \frac{2 + \sqrt{64}}{\sqrt{64}} = \frac{2 + 8}{8} = \frac{5}{4}

Câu 11:

A = \frac{2 + \sqrt{x}}{\sqrt{x}}

Với x > 0, cho hai biểu thức

B = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}} + \frac{2 \sqrt{x} + 1}{x + \sqrt{x}}

Rút gọn biểu thức B

Xem đáp án

$B = \frac{(\sqrt{x} - 1) (x + \sqrt{x}) + (2 \sqrt{x} + 1) \sqrt{x}}{\sqrt{x} (x + \sqrt{x})} = \frac{x \sqrt{x} + 2 x}{x \sqrt{x} + x} = 1 + \frac{1}{\sqrt{x} + 1} = \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 1}$

Câu 12:

A = \frac{2 + \sqrt{x}}{\sqrt{x}}

B = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}} + \frac{2 \sqrt{x} + 1}{x + \sqrt{x}}

Tìm x để

\frac{A}{B} > \frac{3}{2}

Xem đáp án

Với x > 0 ta có:

\frac{A}{B} > \frac{3}{2} \Leftrightarrow \frac{2 + \sqrt{x}}{\sqrt{x}} : \frac{2 + \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} > \frac{3}{2} \Leftrightarrow \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}} > \frac{3}{2}

\Leftrightarrow 2 \sqrt{x} + 2 > 3 \sqrt{x} \Leftrightarrow \sqrt{x} < 2 \Leftrightarrow 0 < x < 4 (D o x>0)

Câu 13:

A = \frac{\sqrt{x} + 4}{\sqrt{x} - 1}

B = \frac{3 \sqrt{x} + 1}{x + 2 \sqrt{x} - 3} - \frac{2}{\sqrt{x} + 3}

Tính giá trị biểu thức A khi x = 9

x \geq 0; x \neq 1

Xem đáp án

Do x = 9 thoả mãn điều kiện nên thay x = 9 vào A ta có

$A = \frac{\sqrt{9} + 4}{\sqrt{9} - 1} = \frac{3 + 4}{3 - 1} = \frac{7}{2}$

Câu 14:

A = \frac{\sqrt{x} + 4}{\sqrt{x} - 1}

B = \frac{3 \sqrt{x} + 1}{x + 2 \sqrt{x} - 3} - \frac{2}{\sqrt{x} + 3}

x \geq 0; x \neq 1

Chứng minh

B = \frac{1}{\sqrt{x} - 1}

Xem đáp án

$B = \frac{3 \sqrt{x} + 1}{x + 2 \sqrt{x} - 3} - \frac{2}{\sqrt{x} + 3} = \frac{3 \sqrt{x} + 1}{(\sqrt{x} + 3) (\sqrt{x} - 1)} - \frac{2}{\sqrt{x} + 3} = \frac{3 \sqrt{x} + 1 - 2 (\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x} + 3) (\sqrt{x} - 1)} = \frac{\sqrt{x} + 3}{(\sqrt{x} + 3) (\sqrt{x} - 1)} = \frac{1}{\sqrt{x} - 1}$

Câu 15:

A = \frac{\sqrt{x} + 4}{\sqrt{x} - 1}

B = \frac{3 \sqrt{x} + 1}{x + 2 \sqrt{x} - 3} - \frac{2}{\sqrt{x} + 3}

Tìm tất cả các giá trị của x để

x \geq 0; x \neq 1

\frac{A}{B} \geq \frac{x}{4} + 5

Xem đáp án

$\frac{A}{B} \geq \frac{x}{4} + 5 \Leftrightarrow \frac{\sqrt{x} + 4}{\sqrt{x} - 1} : \frac{1}{\sqrt{x} - 1} \geq \frac{x}{4} + 5$

$\Leftrightarrow 4 (\sqrt{x} + 4) \geq x + 20 \Leftrightarrow x - 4 \sqrt{x} + 4 \leq 0 \Leftrightarrow {(\sqrt{x} - 2)}^{2} \leq 0 \Leftrightarrow \sqrt{x} - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 4$

x = 4 thoả mãn điều kiện. Vậy x = 4 thì

\frac{A}{B} \geq \frac{x}{4} + 5

Câu 16:

Tìm x để biểu thức A nhận giá trị là số nguyên

A = \frac{x - 2 \sqrt{x}}{x \sqrt{x} - 1} + \frac{\sqrt{x} + 1}{x \sqrt{x} + x + \sqrt{x}} + \frac{1 + 2 x - 2 \sqrt{x}}{x^{2} - \sqrt{x}}

( Với

x > 0, x \neq 1

)

Rút gọn biểu thức A.

Xem đáp án

$A = \frac{\sqrt{x} + 2}{x + \sqrt{x} + 1} .$

Câu 17:

Cho biểu thức $A = \frac{x - 2 \sqrt{x}}{x \sqrt{x} - 1} + \frac{\sqrt{x} + 1}{x \sqrt{x} + x + \sqrt{x}} + \frac{1 + 2 x - 2 \sqrt{x}}{x^{2} - \sqrt{x}}$

( Với

x > 0, x \neq 1

)

Xem đáp án

Cách 1: Với $x > 0, x \neq 1 \Rightarrow x + \sqrt{x} + 1 > \sqrt{x} + 1 > 1.$

Vậy $0 < A = \frac{\sqrt{x} + 2}{x + \sqrt{x} + 1} < \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 1} = 1 + \frac{1}{\sqrt{x} + 1} < 2.$

Vì A nguyên nên A = 1 $\Leftrightarrow \frac{\sqrt{x} + 2}{x + \sqrt{x} + 1} = 1 \Leftrightarrow x = 1$ ( Không thỏa mãn).

Vậy không có giá trị nguyên nào của x để giả trị A là một số nguyên.

Cách 2: Dùng miền giá trị

A = \frac{\sqrt{x} + 2}{x + \sqrt{x} + 1} \Leftrightarrow Ax+(A-1) \sqrt{x} + A - 2 = 0

Trường hợp 1: $A = 0 \Rightarrow \sqrt{x} = - 2 \Rightarrow x \in \emptyset$

Trường hợp 2: $A \neq 0 \Rightarrow Δ = {(A - 1)}^{2} - 4 A (A - 2) = - 3 A^{2} + 6 A + 1 \geq 0 \Leftrightarrow A^{2} - 2 A - \frac{1}{3} \leq 0$

\Leftrightarrow A^{2} - 2 A + 1 \leq \frac{4}{3} \Leftrightarrow {(A - 1)}^{2} \leq \frac{4}{3} \Rightarrow A \in \{1; 2\} d o A \in Z, A > 0

Với A = 1 => x = 1 ( loại)

Với A = 2 $\Leftrightarrow \frac{\sqrt{x} + 2}{x + \sqrt{x} + 1} = 2 \Leftrightarrow x = 0$ ( loại).

Câu 18:

Tính giá trị của biểu thức P tại

P = (1 - \frac{1}{\sqrt{x}}) : (\frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}} + \frac{1 - \sqrt{x}}{x + \sqrt{x}})

, (với x > 0 và

x \neq 1

).

Rút gọn biểu thức .

Xem đáp án

Ta có

1 - \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}}

Và

\frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}} + \frac{1 - \sqrt{x}}{x + \sqrt{x}} = \frac{x - 1 + 1 - \sqrt{x}}{(\sqrt{x} + 1) \sqrt{x}} = \frac{(\sqrt{x} - 1) \sqrt{x}}{(\sqrt{x} + 1) \sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1}

Nên

P = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}} . \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}

Câu 19:

Cho biểu thức $P = (1 - \frac{1}{\sqrt{x}}) : (\frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}} + \frac{1 - \sqrt{x}}{x + \sqrt{x}})$ (với x > 0 và $x \neq 1$ ).

x = \sqrt{2022 + 4 \sqrt{2018}} - \sqrt{2022 - 4 \sqrt{2018}}

Xem đáp án

Có $x = \sqrt{2022 + 4 \sqrt{2018}} - \sqrt{2022 - 4 \sqrt{2018}}$

$= \sqrt{{(\sqrt{2018} + 2)}^{2}} - \sqrt{{(\sqrt{2018} - 2)}^{2}}$

$= |\sqrt{2018} + 2| - |\sqrt{2018} - 2| = \sqrt{2018} + 2 - \sqrt{2018} + 2 = 4$ thỏa mãn điều kiện x > 0 và $x \neq 1$

+ Vậy giá trị của biểu thức P tại x= 4 là:

\frac{\sqrt{4} + 1}{\sqrt{4}} = \frac{3}{2}

Câu 20:

Cho biểu thức $B = (\frac{6}{a - 1} + \frac{10 - 2 \sqrt{a}}{a \sqrt{a} - a - \sqrt{a} + 1}) . \frac{{(\sqrt{a} - 1)}^{2}}{4 \sqrt{a}}$ (với $a > 0; a \neq 1$ ).

Rút gọn biểu thức B.

Xem đáp án

Với $a > 0; a \neq 1$ , ta có:

$B = [\frac{6}{a - 1} + \frac{10 - 2 \sqrt{a}}{(a - 1) (\sqrt{a} - 1)}] . \frac{{(\sqrt{a} - 1)}^{2}}{4 \sqrt{a}}$

$= \frac{4 \sqrt{a} + 4}{(a - 1) (\sqrt{a} - 1)} . \frac{{(\sqrt{a} - 1)}^{2}}{4 \sqrt{a}} = \frac{4 (\sqrt{a} + 1)}{(\sqrt{a} - 1) (\sqrt{a} + 1) (\sqrt{a} - 1)} . \frac{{(\sqrt{a} - 1)}^{2}}{4 \sqrt{a}} = \frac{1}{\sqrt{a}}$

$B = \frac{1}{\sqrt{a}} .$

Câu 21:

Cho biểu thức $B = (\frac{6}{a - 1} + \frac{10 - 2 \sqrt{a}}{a \sqrt{a} - a - \sqrt{a} + 1}) . \frac{{(\sqrt{a} - 1)}^{2}}{4 \sqrt{a}}$ (với $a > 0; a \neq 1$ ).

Đặt

C = B . (a - \sqrt{a} + 1)

. So sánh C và 1.

Xem đáp án

Với $a > 0; a \neq 1$ , ta có: $C - 1 = \frac{a - \sqrt{a} + 1}{\sqrt{a}} - 1 = \frac{{(\sqrt{a} - 1)}^{2}}{\sqrt{a}} > 0.$ Vậy $C > 1.$

Câu 22:

A = \frac{\sqrt{x} + 1}{x + 4 \sqrt{x} + 4} : (\frac{x}{x + 2 \sqrt{x}} + \frac{x}{\sqrt{x} + 2})

, với x > 0

Rút gọn biểu thức A.

Xem đáp án

Ta có: $A = \frac{\sqrt{x} + 1}{x + 4 \sqrt{x} + 4} : (\frac{x}{x + 2 \sqrt{x}} + \frac{x}{\sqrt{x} + 2})$

$= \frac{\sqrt{x} + 1}{{(\sqrt{x} + 2)}^{2}} : (\frac{x}{\sqrt{x} (\sqrt{x} + 2)} + \frac{x}{\sqrt{x} + 2})$

$= \frac{\sqrt{x} + 1}{{(\sqrt{x} + 2)}^{2}} : (\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2} + \frac{x}{\sqrt{x} + 2})$

$= \frac{\sqrt{x} + 1}{{(\sqrt{x} + 2)}^{2}} : \frac{\sqrt{x} (\sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x} + 2}$

$= \frac{1}{\sqrt{x} (\sqrt{x} + 2)}$

Câu 23:

Tìm tất cả các giá trị của A để

A = \frac{\sqrt{x} + 1}{x + 4 \sqrt{x} + 4} : (\frac{x}{x + 2 \sqrt{x}} + \frac{x}{\sqrt{x} + 2})

, với x > 0

A \geq \frac{1}{3 \sqrt{x}}

.

Xem đáp án

Với x > 0 ta có

A = \frac{1}{\sqrt{x} (\sqrt{x} + 2)}

và

\sqrt{x} > 0

;

\sqrt{x} + 2 > 0

.

Khi đó $A \geq \frac{1}{3 \sqrt{x}} \Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{x} (\sqrt{x} + 2)} \geq \frac{1}{3 \sqrt{x}}$ $\Leftrightarrow \sqrt{x} + 2 \leq 3$ $\Leftrightarrow \sqrt{x} \leq 1$ $\Leftrightarrow x \leq 1$

Suy ra: $0 < x \leq 1$ .

Câu 24:

Cho biểu thức $B = (\frac{x \sqrt{x} + x + \sqrt{x}}{x \sqrt{x} - 1} - \frac{\sqrt{x} + 3}{1 - \sqrt{x}}) . \frac{x - 1}{2 x + \sqrt{x} - 1}$ (với $x \geq 0; x \neq 1$ và $x \neq \frac{1}{4}$ ).

Tìm tất cả các giá trị của x để B < 0.

Xem đáp án

Ta có: $B = [\frac{\sqrt{x} (x + \sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} - 1) (x + \sqrt{x} + 1)} + \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} - 1}] . \frac{x - 1}{2 x + \sqrt{x} - 1}$

$= (\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} + \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} - 1}) . \frac{(\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 1)}{(2 \sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 1)}$

$= \frac{2 \sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} - 1} . \frac{\sqrt{x} - 1}{2 \sqrt{x} - 1} = \frac{2 \sqrt{x} + 3}{2 \sqrt{x} - 1}$

Vì $x \geq 0$ nên $2 \sqrt{x} + 3 > 0$ , do đó $B < 0$ khi $2 \sqrt{x} - 1 < 0 \Leftrightarrow x < \frac{1}{4}$ .

Mà $x \geq 0; x \neq 1$ và $x \neq \frac{1}{4}$ nên ta được kết quả $0 \leq x < \frac{1}{4}$ .

Câu 25:

V = (\frac{1}{\sqrt{x} + 2} + \frac{1}{\sqrt{x} - 2}) \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x}}

x > 0, x \neq 0

Rút gọn biểu thức V.

Xem đáp án

$V = (\frac{1}{\sqrt{x} + 2} + \frac{1}{\sqrt{x} - 2}) \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x} - 2 + \sqrt{x} + 2}{(\sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 2)} \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x}} = \frac{2}{\sqrt{x} - 2}$

Câu 26:

V = (\frac{1}{\sqrt{x} + 2} + \frac{1}{\sqrt{x} - 2}) \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x}}

x > 0, x \neq 0

Tìm giá trị của x để $V = \frac{1}{3}$ .

Xem đáp án

$V = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \frac{2}{\sqrt{x} - 2} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \sqrt{x} - 2 = 6 \Leftrightarrow x = 64$ (thỏa mãn)

Câu 27:

A = \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} - 5}

B = \frac{3}{\sqrt{x} + 5} + \frac{20 - 2 \sqrt{x}}{x - 25}

Tính giá trị biểu thức A khi x = 9.

x \geq 0, x \neq 25

Xem đáp án

Tính giá trị biểu thức A khi x = 9.

Khi x = 9 ta có $A = \frac{\sqrt{9} + 2}{\sqrt{9} - 5} = \frac{3 + 2}{3 - 5} = - \frac{5}{2}$

Câu 28:

A = \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} - 5}

B = \frac{3}{\sqrt{x} + 5} + \frac{20 - 2 \sqrt{x}}{x - 25}

x \geq 0, x \neq 25

Chứng minh rằng

B = \frac{1}{\sqrt{x} - 5}

.

Xem đáp án

Chứng minh rằng $B = \frac{1}{\sqrt{x} - 5}$ .

Với $x \geq 0, x \neq 25$ thì $B = \frac{3}{\sqrt{x} + 5} + \frac{20 - 2 \sqrt{x}}{x - 15}$ $= \frac{3}{\sqrt{x} + 5} + \frac{20 - 2 \sqrt{x}}{(\sqrt{x} + 5) (\sqrt{x} - 5)}$

$= \frac{3 (\sqrt{x} - 5) + 20 - 2 \sqrt{x}}{(\sqrt{x} + 5) (\sqrt{x} - 5)}$ $= \frac{3 \sqrt{x} - 15 + 20 - 2 \sqrt{x}}{(\sqrt{x} + 5) (\sqrt{x} - 5)}$ $= \frac{\sqrt{x} + 5}{(\sqrt{x} + 5) (\sqrt{x} - 5)}$ $= \frac{1}{\sqrt{x} - 5}$ (đpcm)

Câu 29:

A = \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} - 5}

B = \frac{3}{\sqrt{x} + 5} + \frac{20 - 2 \sqrt{x}}{x - 25}

Tìm tất cả các giá trị của x để

x \geq 0, x \neq 25

A = B . |x - 4|

.

Xem đáp án

Tìm tất cả các giá trị của để

A = B . |x - 4|

.

Với $x \geq 0, x \neq 25$ Ta có: $A = B . |x - 4|$

$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} - 5} = \frac{1}{\sqrt{x} - 5} . |x - 4|$ $\Leftrightarrow \sqrt{x} + 2 = |x - 4| (*)$

Nếu $x \geq 4, x \neq 25$ thì $(*)$ trở thành : $\sqrt{x} + 2 = x - 4$

$\Leftrightarrow x - \sqrt{x} - 6 = 0$ $\Leftrightarrow (\sqrt{x} - 3) (\sqrt{x} + 2) = 0$

Do $\sqrt{x} + 2 > 0$ nên $\sqrt{x} = 3$ $\Leftrightarrow x = 9$ (thỏa mãn)

Nếu $0 \leq x < 4$ thì $(*)$ trở thành : $\sqrt{x} + 2 = 4 - x$

$\Leftrightarrow x + \sqrt{x} - 2 = 0$ $\Leftrightarrow (\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 2) = 0$

Do $\sqrt{x} + 2 > 0$ nên $\sqrt{x} = 1$ $\Leftrightarrow x = 1$ (thỏa mãn)

Vậy có hai giá trị $x = 1$ và $x = 9$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 30:

P = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2} + \frac{- x + x \sqrt{x} + 6}{x + \sqrt{x} - 2} - \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}

x \geq 0, x \neq 1

Rút gọn biểu thức P.

Xem đáp án

Ta có:

$P = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2} + \frac{- x + x \sqrt{x} + 6}{x + \sqrt{x} - 2} - \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} = \frac{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 1) - x + x \sqrt{x} + 6 - (\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} + 2)}{(\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 2)} = \frac{x - \sqrt{x} - x + x \sqrt{x} + 6 - x - 3 \sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 2)} = \frac{- x + x \sqrt{x} - 4 \sqrt{x} + 4}{(\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 2)} = \frac{(\sqrt{x} - 1) (x - 4)}{(\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 2)} = \sqrt{x} - 2$

Câu 31:

Q = \frac{(x + 27) . P}{(\sqrt{x} + 3) (\sqrt{x} - 2)}

x \geq 0, x \neq 1, x \neq 4

. Chứng minh

Q \geq 6.

Xem đáp án

Với $x \geq 0, x \neq 1, x \neq 4$ , ta có:

$Q = \frac{(x + 27) . P}{(\sqrt{x} + 3) (\sqrt{x} - 2)} = \frac{x + 27}{\sqrt{x} + 3} = \frac{x - 9 + 36}{\sqrt{x} + 3} = \sqrt{x} - 3 + \frac{36}{\sqrt{x} + 3} = - 6 + (\sqrt{x} + 3) + \frac{36}{\sqrt{x} + 3} \geq - 6 + 12 = 6 (c o - s i)$

Dấu "=" xảy ra khi $\sqrt{x} + 3 = \frac{36}{\sqrt{x} + 3}$ $\Leftrightarrow {(\sqrt{x} + 3)}^{2} = 36$ $\Leftrightarrow x = 9$

Câu 32:

P = (\frac{\sqrt{1 + a}}{\sqrt{1 + a} - \sqrt{1 - a}} + \frac{1 - a}{\sqrt{1 - a^{2}} - 1 + a}) (\sqrt{\frac{1}{a^{2}} - 1} - \frac{1}{a})

với 0 < a < 1.

Chứng minh rằng P = –1

Xem đáp án

Với 0 < a < 1 ta có:

P = [\frac{\sqrt{1 + a}}{\sqrt{1 + a} - \sqrt{1 - a}} + \frac{{(\sqrt{1 - a})}^{2}}{\sqrt{(1 - a) (1 + a)} - {(\sqrt{1 - a})}^{2}}] (\sqrt{\frac{1 - a^{2}}{a^{2}}} - \frac{1}{a}) = [\frac{\sqrt{1 + a}}{\sqrt{1 + a} - \sqrt{1 - a}} + \frac{{(\sqrt{1 - a})}^{2}}{\sqrt{1 - a} (\sqrt{1 + a} - \sqrt{1 - a})}] [\sqrt{\frac{(1 - a) (1 + a)}{a^{2}}} - \frac{1}{a}] = [\frac{\sqrt{1 + a}}{\sqrt{1 + a} - \sqrt{1 - a}} + \frac{\sqrt{1 - a}}{\sqrt{1 + a} - \sqrt{1 - a}}] (\frac{\sqrt{1 - a} . \sqrt{1 + a}}{a^{2}} - \frac{1}{a}) = \frac{\sqrt{1 + a} + \sqrt{1 - a}}{\sqrt{1 + a} - \sqrt{1 - a}} . \frac{2 \sqrt{1 - a} . \sqrt{1 + a} - (1 - a) - (1 + a)}{2 a} = \frac{\sqrt{1 + a} + \sqrt{1 - a}}{\sqrt{1 + a} - \sqrt{1 - a}} . \frac{- {(\sqrt{1 + a} - \sqrt{1 - a})}^{2}}{2 a} = - \frac{(\sqrt{1 + a} + \sqrt{1 - a}) (\sqrt{1 + a} - \sqrt{1 - a})}{2 a} = - \frac{1 + a - 1 + a}{2 a} = - \frac{2 a}{2 a} = - 1

Câu 33:

Tính giá trị biểu thức $A = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}$ khi x = 9.

Xem đáp án

Với x = 9 thì $\sqrt{x} = \sqrt{9} = 3 \Rightarrow A = \frac{3 + 1}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2$

Câu 34:

P = (\frac{x - 2}{x + 2 \sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x} + 2}) . \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}

x > 0; x \neq 1

Chứng minh

P = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}}

Xem đáp án

Với

x > 0; x \neq 1

ta có

P = (\frac{x - 2}{\sqrt{x} (\sqrt{x} + 2)} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} (\sqrt{x} + 2)}) . \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}

P = \frac{x + \sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} (\sqrt{x} + 2)} . \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}

P = \frac{(\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 2)}{\sqrt{x} (\sqrt{x} + 2)} . \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}

=

\frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}}

Vậy với $x > 0; x \neq 1$ ta có $P = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}}$ .

Câu 35:

P = (\frac{x - 2}{x + 2 \sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x} + 2}) . \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}