6 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 4: Tiên đề Ơ-Clit: Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng ta vẽ được một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho có đáp án

Bài tập Toán 9 Chủ đề 5: Bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng có đáp án

Dạng 4: Tiên đề Ơ-Clit: Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng ta vẽ được một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho có đáp án

1473 lượt thi
6 câu hỏi
50 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Cho hình chữ nhật ABCD có O là giao điểm 2 đường chéo. Điểm M trên đoạn OB, lấy E đối xứng với A qua M; H là hình chiếu của điểm E trên BC, vẽ hình chữ nhật EHCF. Chứng minh M, H, F thẳng hàng.

Xem đáp án

Cho hình chữ nhật ABCD có O là giao điểm 2 đường chéo. Điểm M trên đoạn OB, lấy E đối xứng với A qua M; (ảnh 1)

Gọi I là giao điểm của HF và CE.

$\Rightarrow$ H, I, F thẳng hàng (*) (t/c hình chữ nhật).

Cần chứng minh: M,I , F thẳng hàng.

$M A = M E = \frac{1}{2} A E$ (gt) và $O A = O C = \frac{1}{2} A C$ (t/c hình chữ nhật).

$\Rightarrow O M$ là đường trung bình của $Δ A C E$ .

$\Rightarrow O M // C E \Rightarrow \hat{O D C} = \hat{I C F}$ ( 2 góc đồng vị).

Mà $\hat{O D C} = \hat{O C D}$ và $\hat{I C F} = \hat{I F C}$ (vì $Δ O C D$ cân tại O, $Δ I C F$ cân tại I , t/c hình chữ nhật).

$\Rightarrow \hat{O C D} = \hat{I F C} \Rightarrow I F // A C$ mà $I M // A C$ (do IM là đường trung bình $Δ A C E$ ).

$\Rightarrow$ M, I, Fthẳng hàng (tiên đề Ơclít).

Kết hợp (*)với ta có: M, H, F thẳng hàng.

Câu 2:

Cho $∆ A B C$ nhọn, các đường cao AH, BD và CE . Gọi M,N ,P , Q thứ tự là hình chiếu của H trên AB,BD , CE và AC. Chứng minh M,N ,P , Q thẳng hàng.

Xem đáp án

Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AH, BD và CE . Gọi M,N ,P , Q thứ tự là hình chiếu của H (ảnh 1)

+ Từ (gt) $\Rightarrow M H // C E$ ; $N H // A C \Rightarrow \frac{B M}{B E} = \frac{B H}{B C} = \frac{B N}{B D}$ (định lý Talét).

$\Rightarrow M N // E D$ (định ký Talét đảo) .

+ Chứng minh tương tự ta có: $P Q // E D (2)$

+ Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $H A C$ và $H A B$ ta có:

$A H^{2} = A Q . A C = A M . A B \Rightarrow \frac{A Q}{A M} = \frac{A B}{A C}$ mà $\frac{A B}{A C} = \frac{A D}{A E}$ (vì $Δ D A B ∽ Δ E A C$ (g.g)).

$\Rightarrow \frac{A Q}{A M} = \frac{A D}{A E}$ hay $\frac{A Q}{A D} = \frac{A M}{A E} \Rightarrow M Q // E D$ . (định lý Talét đảo)

Kết hợp với (1), (2) ta có:

M,N ,Q thẳng hàng và M, P , Q thẳng hàng (tiên đề Ơclít).

Do đó M , N, P, Q thẳng hàng.

Câu 3:

Cho đường tròn (O; R) và một điểm A nằm ngoài đường tròn (O) sao cho OA=2R. Từ A vẽ tiếp tuyến AB của đường tròn (O) (B là tiếp điểm).

1) Chứng minh tam giác ABO vuông tại B và tính độ dài AB theo R

Xem đáp án

Cho đường tròn (O; R) và một điểm A nằm ngoài đường tròn (O) sao cho OA=2R . Từ A vẽ tiếp tuyến AB của đường tròn (O) (B là tiếp điểm) (ảnh 1)

Ta có: $\hat{A B O} = 90^{0}$ (AB là tiếp tuyến của(O) tại B)

Þ DABO vuông tại B

Þ $A B^{2} + O B^{2} = O A^{2}$ (Đ/L Pytago)

Þ $A B^{2} = O A^{2} - O B^{2} = {(2 R)}^{2} - R^{2} = 4 R^{2} - R^{2} = 3 R^{2}$ Þ $A B = R \sqrt{3}$

Câu 4:

2) Từ B vẽ dây cung BC của (O) vuông góc với cạnh OA tại H. Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Xem đáp án

2) Ta có DBOC cân tại O (OB = OC = R)

Mà OH là đường cao ( BC ^ OA tại H)

Þ OH là đường phân giác của DBOC

Þ $\hat{B O A} = \hat{C O A}$

Chứng minh DAOC = DAOB (c-g-c)

Þ $\hat{A C O} = \hat{A B O}$

Mà $\hat{A B O} = 90^{0}$ (AB là tiếp tuyến của(O) tại B)

Þ $\hat{A C O} = 90^{0}$

Þ AC ^ OC

Þ Mà C thuộc (O)

Þ AC là tiếp tuyến của đường tròn (O)

Câu 5:

3) Chứng minh tam giác ABC đều.

Xem đáp án

3) Chứng minh DABC cân tại A ( 1)

Xét DABO vuông tại 0, có

$S i n \hat{A B O} = \frac{O B}{O A} = \frac{R}{2 R} = \frac{1}{2}$

Þ $\hat{B A O} = 30^{0}$

Ta có: AO là tia phân giác của góc BAC (T/c 2 tiếp tuyến cắt nhau)

Þ $\hat{B A C} = 2 \hat{B A O} = {2.30}^{0} = 60^{0}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra DABC đều

Câu 6:

4) Từ H vẽ đường thẳng vuông góc với AB tại D. Đường tròn đường kính AC cắt cạnh DC tại E. Gọi F là trung điểm của cạnh OB. Chứng minh ba điểm A, E, F thẳng hàng.

Xem đáp án

4) Gọi I là giao điểm của AF và HD

Áp dụng hệ quả Talet để I là trung điểm HD

Gọi K là trung điểm BD

Chứng minh KI là đường trung bình của DBHD

Þ KI // HB

Mà HB ^ OA tại H (gt)

Þ KI ^ AH

Chứng minh I là trực tâm của DAHK

Þ AI là đường cao của DAHK

Þ AF ^ HK (3)

Chứng minh HK là đường trung bình của DBDC

Þ HK // CD (4)

Từ (3) và (4)

Þ AF ^ CD

Ta có: DAEC nội tiếp đường tròn đường kính AC

Þ DAEC vuông tại E

Þ AE ^ CD

Mà AF ^ CD

Vậy Ba điểm A, E, F thẳng hàng

Bắt đầu thi ngay