20 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 5: Sử dụng tính chất đồng quy của các đường: trung tuyến, phân giác, đường cao trong tam giác có đáp án

Câu 1:

Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của cạnh AC. Đường tròn đường kính MC cắt BC tại N. Đường thẳng BM cắt đường tròn đường kính MC tại D.

1) Chứng minh tứ giác BADC nội tiếp. Xác định tâm O của đường tròn đó.

Xem đáp án

a)

Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của cạnh AC. Đường tròn đường kính MC cắt BC tại N. (ảnh 1)

$\hat{B A C} = \hat{B D C} = 90^{o}$ (gt) nên tứ giác BADC nội tiếp đường tròn tâm O là trung điểm của BC.

Câu 2:

b) Chứng minh DB là phân giác của góc ADN.

Xem đáp án

b) $\hat{A D B} = \hat{B D N} (= \hat{A C B})$ (hai góc nội tiếp cùng chắn một cung trong các đường tròn ngoại tiếp tứ giác BADC, NMDC) nên DB là phân giác góc AND.

Câu 3:

c) Chứng minh OM là tiếp tuyến của đường tròn đường kính MC.

Xem đáp án

c) OM ⊥ AC (OM là đường trung bình tamgiác ABC) nên suy ra MO là tiếp tuyến đường tròn đường kính MC.

Câu 4:

d) BA và CD kéo dài cắt nhau tại P. Chứng minh ba điểm P, M, N thẳng hàng.

Xem đáp án

d) MN ⊥ BC (góc MNC nội tiếp nửa đường tròn đường kính MC)

PM ⊥ BC (M là trực tâm tam giác PBC)
Suy ra P, M, N thẳng hàng.

Câu 5:

Cho đường tròn (O) và điểm A nằm trên đường tròn. Gọi d là tiếp tuyến của (O) tại A. Trên d lấy điểm D (D không trùng với A), kẻ tiếp tuyến DB của (O) (B là điểm, B không trùng với A).

a) Chứng minh rằng tứ giác AOBD nội tiếp.

Xem đáp án

a)

Cho đường tròn (O) và điểm A nằm trên đường tròn. Gọi d là tiếp tuyến của (O) tại A. Trên d lấy điểm D (D không trùng với A), (ảnh 1)

DA và DB là các tiếp tuyến của (O) nên $\hat{O B D} = \hat{O A D} = 90^{o}$

Xét tứ giác AOBD có $\hat{O B D} + \hat{O A D} = 180^{o}$ , mà hai góc này ở vị trí đối diện nên tứ giác AOBD nội tiếp

Câu 6:

b) Trên tia đối của tia BA lấy điểm C. Kẻ DH vuông góc với OC (H thuộc OC). Gọi I là giao điểm của AB và OD. Chứng minh rằng OH.OC = OI. OD

Xem đáp án

b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có DA = DB và DO là tia phân giác của ABD

Do đó tam giác ABD cân tại D có DO là đường phân giác nên đồng thời là đường trung trực....

Xét ∆OIC và ∆OHD có $\hat{O I C} = \hat{O H D} = 90^{o}$ ; $\hat{D O C}$ chung nên

$Δ O I C Δ O H D$ (g.g)

$\frac{O I}{O H} = \frac{O C}{O D} \Rightarrow O H . O C = O I . O D (1)$

Câu 7:

c) Gọi M là giao điểm của DH với cung nhỏ AB của (O). Chứng minh rằng CM là tiếp tuyến của (O)

Xem đáp án

c) Xét tam giác AOD vuông tại A có AI là đường cao nên $O A^{2} = O H . O D$ (2)

Mà OM = OA (là bán kính (O) ). (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra OM² = OH. OC $\Rightarrow \frac{O M}{O H} = \frac{O C}{O M}$

Xét ∆OHM và ∆OMC có chung $\hat{M O C}$ ; $\frac{O M}{O H} = \frac{O C}{O M}$ nên $Δ O H M ~ Δ O M C$ (c.g.c).

=> $\hat{O M C} = \hat{O I C} = 90^{o}$ nên CM là tiếp tuyến của (O).

Câu 8:

d) Gọi E là giao điểm của DH và CI. Gọi F là giao điểm thứ hai của đường tròn đường kính OD và đường tròn ngoại tiếp tam giác OIM. Chứng minh rằng O, E, F thẳng hàng.

Xem đáp án

d) Do $\hat{O M C} = \hat{O I C} = 90^{o}$ nên tứ giác OIMC nội tiếp đường tròn đường kính OC.

Đường tròn ngoại tiếp tam giác CIM là đường tròn đường kính OC.

=> $\hat{O F C} = 90^{o}$

Mặt khác ta có $\hat{O F D} = 90^{o} .$ Như vậy OFC;OFD kề bù suy ra ba điểm C, F, D thẳng hàng.

Xét tam giác OCD có ba đường cao CH, DI, OF mà có E là giao điểm CH, DI nên ba điểm O, E, F thẳng hàng.

Câu 9:

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Gọi C là điểm cố dịnh thuộc đoạn thẳng OB (C khác O và B). Dựng đường thẳng d vuông góc với AB tại điểm C, cắt nửa đường tròn (O) tại điểm M. Trên cung nhỏ MB lấy điểm N bất kỳ (N khác M và B), tia AN cắt đường thẳng d tại điểm F, tia BN cắt đường thẳng d tại điểm E. Đường thẳng AE cắt nửa đường tròn (O) tại điểm D (D khác A).

a) Chứng minh AD. AE = AC.AB

Xem đáp án

a)

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Gọi C là điểm cố dịnh thuộc đoạn thẳng OB (C khác O và B). (ảnh 1)

Có $\hat{A D B} = \hat{A N B} = 90 °$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\hat{A B D} = \hat{A E C}$ ( cùng phụ góc BAE)

=> Tam giác ADB đồng dạng với tam giác ACE(g-g)

$= > \frac{A D}{A C} = \frac{A B}{A E} \Rightarrow A D \cdot A E = A C . A B$

Câu 10:

b) Chứng minh: Ba điểm B, F, D thẳng hàng và F là tâm đường tròn nội tiếp ∆ CDN

Xem đáp án

b) Có AN ⊥ EB, EC ⊥ AB , EC giao AN tại F nên F là trực tâm của tam giác AEB

⇒ BF ⊥ EA

Mà BD ⊥ EA ⇒ B, D, F thẳng hàng

+ Tứ giác ADFC có hai góc đối bằng 90^o nên là tứ giác nội tiếp, suy ra $\hat{D C F} = \hat{D A F}$

Tương tự ta có: $\hat{N C F} = \hat{N B F}$

Mà $\hat{D A F} = \hat{N B F}$ (cùng phụ với góc AEB) => $\hat{D C F} = \hat{N C F}$

Suy ra CF là phân giác của góc DCN

Tương tự ta cũng có DF là phân giác của góc NDC

Vậy F là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DCN

Câu 11:

c) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ AEF. Chứng minh rằng điểm I luôn nằm trên một đường thẳng cố định khi điểm N di chuyển trên cung nhỏ MB

Xem đáp án

c) Gọi J là giao của (I) với đoạn AB.

Có $\hat{F A C} = \hat{C E B} (= 90^{o} - \hat{A B E})$ => tam giác FAC đồng dạng với tam giác BEC(g-g)

=> $\frac{F C}{B C} = \frac{A C}{E C} = > C F \cdot C E = B C A C$

Vì AEFJ là tứ giác nội tiếp nên $\hat{F J C} = \hat{F E A} (= 180^{o} - \hat{A J F})$

=> $Δ C F J ~ Δ C A E$ (g-g) => $\frac{C F}{C A} = \frac{C J}{C E} \Rightarrow C F \cdot C E = C A . C J$

Suy ra $B C . A C = C A . C J$ ⇒ BC = CJ ⇒ C là trung điểm BJ (vì J ≠ B)

Suy ra J là điểm cố định

Có $I A = I J$ nên I luôn thuộc đường trung trực của AJ, là đường cố định.

Câu 12:

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O,R). Các đường cao BD và CE của tam giác ABC cắt nhau tại H. Vẽ đường kính À của đường tròn (O).

a) Chứng minh $B H / / F C$

Xem đáp án

a)

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O,R). Các đường cao BD và CE của tam giác ABC cắt nhau tại H. (ảnh 1)

$Δ A C F$ nội tiếp đường tròn đường kính AF.

$Δ A C F$ vuông tại C

Ta có: $B H ⊥ A C, F C ⊥ A C \Rightarrow B H / / F C$

Câu 13:

b) Chứng minh tứ giác BHCF là hình bình hành

Xem đáp án

b, $B H / / F C$ (câu a)

Chứng minh tương tự câu a)

Có: $C H / / F B$

Tứ giác $B H C F$ có $B H / / F C$

Và $C H / / F B$ nên là hình bình hành.

Câu 14:

c) Vẽ $O M ⊥ B C$ tại M. Chứng minh H,M,F thẳng hàng

Xem đáp án

c) $O M ⊥ B C$ (gt)

$\Rightarrow M$ là trung điểm của BC (Định lý đường tròn vuông góc dây cung)

Tứ giác $B H C F$ là hình bình hành, M là trung điểm của BC nên là M trung điểm của HF .

$\Rightarrow H, M, F$ thẳng hàng.

Câu 15:

d, Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.

Chứng minh rằng $S_{A H G} = 2 S_{A G O}$ .

Xem đáp án

d) Tứ giác ABC có AM là đường trung tuyến, G là trọng tâm (gt)

$\Rightarrow G$ thuộc đoạn thẳng AM , $A G = \frac{2}{3} A M$ .

Tam giác AHF có AM là đường trung tuyến, G thuộc đoạn thẳng AM , $A G = \frac{2}{3} A M$ ,

$\Rightarrow G$ là trọng tâm của tam giác AHF và HO là đường trung tuyến của tam giác AHF.

$\Rightarrow H O$ đi qua G , $H G = 2 G O$ .

Hai tam giác $A H G, A G O$ có chung đường cao vẽ từ A đến $H G, H G = 2 G O$ .

Do đó $S_{A H G} = 2 S_{A G O}$ .

Câu 16:

Cho tam giác $A B C$ có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O,R) . Đường cao AH của tam giác ABC cắt đường tròn (O) tại D (khác ). Từ D vẽ đường thẳng song song với BC cắt đường tròn (O) tại điểm E (khác D).

a, Chứng minh rằng A,O,E là thẳng hàng.

Xem đáp án

a,

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O,R) . Đường cao AH của tam giác ABC (ảnh 1)

$B C / / D E$ (gt), $A D ⊥ B C$ (gt)

$\Rightarrow A D ⊥ D E \hat{A D E} = 90^{0}$

$\Rightarrow A E$ là đường kính của đường tròn (O)

$\Rightarrow A, O, E$ thẳng hàng.

Câu 17:

b, Chứng minh rằng tư giác BCED là hình thang cân.

Xem đáp án

b) Vẽ $O M ⊥ B C (M \in B C)$

OM cắt DE tại N

$D E / / B C$ (gt) có $O N ⊥ D E$ , tứ giác $B C D E$ là hình thang

$O M ⊥ B C \Rightarrow M$ là trung điểm BC

$O N ⊥ D E \Rightarrow N$ là trung điểm DE

MN là trục đối xứng của hình thang cân

Câu 18:

c) Tính $A B^{2} + B D^{2} + C D^{2} + A C^{2}$ theo R.

Xem đáp án

c) $B E = C D$ ( $B C E D$ là hình thang cân)

AE là đường kính nên $\hat{A B E} = 90^{0}$

$Δ A B E$ vuông tại E, theo định lí Py-ta-go có:

$A B^{2} + B E^{2} = O E^{2} A B^{2} + C D^{2} = {(2 R)}^{2} A B^{2} + C D^{2} = 4 R^{2}$

Chứng minh tương tự có: $A C^{2} + B D^{2} = 4 R^{2}$

Ta có: $A B^{2} + B D^{2} + C D^{2} + A C^{2} = 8 R^{2}$

Câu 19:

Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Vẽ các đường kính AC và AD

a) Chứng minh rằng B,C,D thẳng hàng

Xem đáp án

a,

Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Vẽ các đường kính AC và AD a) Chứng minh rằng B,C,D thẳng hàng (ảnh 1)

$\hat{A B C} = 90^{0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\Rightarrow A B ⊥ B C$

Tương tự có $A B ⊥ B D$

Suy ra $B, C, D$ thẳng hàng.

Câu 20:

b, Xác định vị trí d để chu vi tam giác BEF lớn nhất, diện tích tam giác BEF lớn nhất.

Xem đáp án

b) 1) Xét $Δ B E F$ và $Δ A C D$ có:

$\hat{B E F} = \hat{A C D}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB của đường tròn O)

Do đó $Δ B E F ~ Δ A C D$

2) $Δ B E F ~ Δ A C D$ * ( kí hiệu CV = chu vi)

$\Rightarrow \frac{C V (B E F)}{C V (A C D)} = \frac{B E}{A C} \Rightarrow C V (B E F) = \frac{C V (A C D)}{A C} . B E$ , $\frac{C V (A C D)}{A C}$ không đổi

Do đó: $C V (B E F)$ lớn nhất $B E F$ lớn nhất

là đường kính của đường tròn

$\Rightarrow \hat{B A E} = 90^{0} \Leftrightarrow d ⊥ A B$ tại A

Vậy khi d vuông góc với AB tại A thì chu vi tam giác BEF lớn nhất.

* $Δ B E F ~ Δ A C D \Rightarrow \frac{S_{B E F}}{S_{A C D}} = {(\frac{B E}{A C})}^{2}$

$\Rightarrow S_{B E F} = \frac{S_{A C D}}{A C^{2}} . B E^{2}$ , $\frac{S_{A C D}}{A C^{2}}$ không đổi

$S_{B E F}$ lớn nhất $\Leftrightarrow B E^{2}$ lớn nhất

$\Leftrightarrow B E$ lớn nhất

$\Leftrightarrow B E$ là đường kính của đường tròn O

$\Leftrightarrow \hat{B A E} = 90^{0} \Leftrightarrow d ⊥ A B$ tại A

Vậy khi d vuông góc với ABtại A thì diện tích tam giác BEF lớn nhất.