14 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Bộ 15 đề kiểm tra học kì 1 Toán 9 năm 2022-2023 có đáp án (Đề 3)

Câu 1:

Thực hiện phép tính: $\sqrt{20} - 3 \sqrt{125} + 5 \sqrt{45}$

$\sqrt{20} - 3 \sqrt{125} + 5 \sqrt{45} = 2 \sqrt{5} - 15 \sqrt{5} + 15 \sqrt{5} = 2 \sqrt{5}$

Câu 2:

\frac{3}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} - 2 \sqrt{{(\sqrt{2} - \sqrt{3})}^{2}} - 5 \sqrt{2}

Xem đáp án

$\frac{3}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} - 2 \sqrt{{(\sqrt{2} - \sqrt{3})}^{2}} - 5 \sqrt{2} = \frac{3 (\sqrt{3} + \sqrt{2})}{3 - 2} - 2 |\sqrt{2} - \sqrt{3}| - 5 \sqrt{2} = 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{2} - 2 (\sqrt{3} - \sqrt{2}) - 5 \sqrt{2} = 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{2} - 5 \sqrt{2} = \sqrt{3}$

Câu 3:

Một cột cờ vuông góc với mặt đất có bóng dài 12m, tia nắng của mặt trời tạo với mặt đất một góc là $35 °$ (hình vẽ bên). Tính chiều cao của cột cờ.

Xem đáp án

Ta đưa về bài toán. Cho tam giác ABC vuông tại A có , $A C = 12 m$ $∠ B C A = 35 °$ . Tính AB.

Chiều cao cột cờ là AB.

Do $Δ A B C$ vuông tại A nên ta có:

$\begin{matrix} A B = A C . \tan C \\ = 12. \tan 35 ° \\ = 8, 402 (m) \end{matrix}$

Câu 4:

Cho các biểu thức $A = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2}$ ; $B = \frac{x}{x - 4} - \frac{1}{2 - \sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x} + 2}$ (với $x \geq 0; x \neq 4$ )

Tính giá trị của biểu thức A khi x=36.

Xem đáp án

Điều kiện: $x \geq 0; x \neq 4$ .

Thay $x = 36$ (thỏa mãn đkxđ) vào biểu thức A ta được:

$A = \frac{\sqrt{36}}{\sqrt{36} + 2} = \frac{6}{6 + 2} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} .$

Vậy với $x = 36$ thì $A = \frac{3}{4}$ .

Câu 5:

Cho các biểu thức

A = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2}

;

B = \frac{x}{x - 4} - \frac{1}{2 - \sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x} + 2}

(với

x \geq 0; x \neq 4

)

Rút gọn B.

Xem đáp án

Điều kiện: $x \geq 0; x \neq 4$ .

$\begin{matrix} B = \frac{x}{x - 4} - \frac{1}{2 - \sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x} + 2} \\ = \frac{x}{(\sqrt{x} - 2) (\sqrt{x} + 1)} + \frac{1}{\sqrt{x} - 2} + \frac{1}{\sqrt{x} + 2} \\ = \frac{x + \sqrt{x} + 2 + \sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x} - 2) (\sqrt{x} + 1)} \\ = \frac{x + 2 \sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 2) (\sqrt{x} + 1)} \\ = \frac{\sqrt{x} (\sqrt{x} + 2)}{(\sqrt{x} - 2) (\sqrt{x} + 1)} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2} . \end{matrix}$

Vậy $B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2}$ (với $x \geq 0; x \neq 4$ ).

Câu 6:

Cho các biểu thức

A = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2}

;

B = \frac{x}{x - 4} - \frac{1}{2 - \sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x} + 2}

(với

x \geq 0; x \neq 4

)

Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức P=A.B có giá trị là số nguyên

Xem đáp án

Với ĐKXĐ: $x \geq 0$ và $x \neq 4$ ta có:

$P = A . B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2} . \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2} = \frac{x}{x - 4} = \frac{x - 4 + 4}{x - 4} = 1 + \frac{4}{x - 4}$

Do x là số nguyên nên $x - 4$ là số nguyên.

Do đó: $P \in ℤ \Leftrightarrow \frac{4}{x - 4} \in ℤ \Leftrightarrow x - 4 \in U (4) = \{- 4; - 2; - 1; 1; 2; 4\}$

Suy ra $x \in \{0; 2; 3; 5; 6; 8\}$ .

Kết hợp với ĐKXĐ và x là số nguyên ta được $x \in \{0; 2; 3; 5; 6; 8\}$ .

Câu 7:

Cho hàm số bậc nhất $y = (m + 1) x + 2$ có đồ thị $(d)$ (m là tham số và $m \neq - 1$ )

Vẽ (d) khi m=0.

Xem đáp án

Khi $m = 0$ ta có $(d) : y = x + 2$

Với $x = 0 \Rightarrow y = 2$

Đồ thị hàm số $y = x + 2$ là đường thẳng $(d)$ đi qua hai điểm có tọa độ $(0; 2), (- 2; 0)$ .

Hình vẽ:

Câu 8:

Cho hàm số bậc nhất

y = (m + 1) x + 2

có đồ thị

(d)

(m là tham số và

m \neq - 1

)

Xác định m để đường thẳng (d) song song với đường thẳng y=2x+1.

Xem đáp án

Đường thẳng $(d)$ song song với đường thẳng $y = 2 x + 1$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} m + 1 = 2 \\ 2 \neq 1 \end{cases} \Leftrightarrow m = 1$

Kết hợp điều kiện $m \neq - 1$ ta có $m = 1$ (tm).

Vậy $m = 1$ .

Câu 9:

Cho hàm số bậc nhất

y = (m + 1) x + 2

có đồ thị

(d)

(m là tham số và

m \neq - 1

)

Xác định m để (d) cắt hai trục Ox, Oy tại A và B sao cho tam giác AOB có diện tích bằng 2 (đơn vị diện tích).

Xem đáp án

Do $m \neq - 1$ nên không mất tính tổng quát ta giả sử (d) cắt Ox và Oy như hình vẽ

Vì A là giao điểm của $(d)$ với Ox nên $A (x; 0) \Rightarrow (m + 1) x + 2 = 0 \Rightarrow x = - \frac{2}{m + 1}$

Suy ra $A (- \frac{2}{m + 1}; 0) \Rightarrow O A = \frac{2}{|m + 1|}$

Vì B là giao điểm của $(d)$ với Oy nên $B (0; y) \Rightarrow (m + 1) .0 + 2 = y \Rightarrow y = 2$

Suy ra $B (0; 2) \Rightarrow O B = 2$

Vì $Δ O A B$ vuông tại O.

Khi đó: $S_{Δ O A B} = \frac{1}{2} O A . O B = \frac{1}{2} . \frac{2}{|m + 1|} .2 = \frac{2}{|m + 1|}$

Mà $S_{Δ O A B} = 2 \Leftrightarrow |m + 1| = 1 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m + 1 = 1 \\ m + 1 = - 1 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 0 \\ m = - 2 \end{array}$ (thỏa mãn $m \neq - 1$ )

Vậy $m = 0$ hoặc $m = - 2$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 10:

Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính $A B = 2 R$ . Trên nửa mặt phẳng có bờ là AB chứa nửa đường tròn, vẽ tiếp tuyến Ax, By. Từ điểm M tùy ý thuộc đường tròn (M khác A, B) vẽ tiếp tuyến tại M cắt Ax, By lần lượt tại C, D. Gọi E là giao điểm của CO và AM, F là giao điểm của DO và BM.

Chứng minh 4 điểm A, C, M, O cùng thuộc một đường tròn.

Xem đáp án

Vì tam giác $Δ O A C$ vuông tại A nên nó nội tiếp đường tròn đường kính CO (1)

Lại có $Δ O M C$ vuông tại M (do MC là tiếp tuyến tại M) nên nó nội tiếp đường tròn đường kính CO (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow A, C, M, O$ cùng thuộc một đường tròn có đường kính CO (đpcm).

Câu 11:

Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính

A B = 2 R

. Trên nửa mặt phẳng có bờ là AB chứa nửa đường tròn, vẽ tiếp tuyến Ax, By. Từ điểm M tùy ý thuộc đường tròn (M khác A, B) vẽ tiếp tuyến tại M cắt Ax, By lần lượt tại C, D. Gọi E là giao điểm của CO và AM, F là giao điểm của DO và BM.

Chứng minh AC+BD=CD và tứ giác MEOF là hình chữ nhật.

Xem đáp án

+) Xét đường tròn $(O)$ có CM và CA là hai tiếp tuyến cắt nhau nên $A C = C M$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Và DM và DB là hai tiếp tuyến cắt nhau nên $D M = D B$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra $A C + B D = C M + M D = C D$ (đpcm)

+) CM Tứ giác MEOF là hình chữ nhật

Ta có: $C M = C A$ (cmt); $O M = O A = R$ nên OC là đường trung trực của đoạn $A M \Rightarrow O C ⊥ A M$ tại $E \Rightarrow M E O = 90 °$ . (3)

Tương tự ta có $M F O = 90 °$ (4)

Xét $Δ A M B$ nội tiếp đường tròn $(O)$ có AB là đường kính nên $Δ M A B$ vuông tại $M \Rightarrow E M F = 90 °$ (5)

Từ (3), (4) và (5) $\Rightarrow$ tứ giác MEOF là hình chữ nhật (đpcm).

Câu 12:

Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính

A B = 2 R

. Trên nửa mặt phẳng có bờ là AB chứa nửa đường tròn, vẽ tiếp tuyến Ax, By. Từ điểm M tùy ý thuộc đường tròn (M khác A, B) vẽ tiếp tuyến tại M cắt Ax, By lần lượt tại C, D. Gọi E là giao điểm của CO và AM, F là giao điểm của DO và BM.

Chứng minh tích AC.BD không đổi khi M di động trên nửa đường tròn.

Xem đáp án

Do MEOF là hình chữ nhật $\Rightarrow Δ C O D$ vuông tại O.

Có CD là tiếp tuyến của $(O) \Rightarrow M O ⊥ C D$ tại M.

Suy ra MO là đường cao của $Δ C O D$ , do đó $C M . M D = O M^{2} = R^{2}$ (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Từ ý a) ta có $A C = C M; B D = M D \Rightarrow A C . B D = C M . M D = R^{2}$ (không đổi) (đpcm).

Câu 13:

Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính

A B = 2 R

. Trên nửa mặt phẳng có bờ là AB chứa nửa đường tròn, vẽ tiếp tuyến Ax, By. Từ điểm M tùy ý thuộc đường tròn (M khác A, B) vẽ tiếp tuyến tại M cắt Ax, By lần lượt tại C, D. Gọi E là giao điểm của CO và AM, F là giao điểm của DO và BM.

Tìm vị trí của M trên nửa đường tròn sao cho diện tích tứ giác ABDC nhỏ nhất.

Xem đáp án

Ta có: AC, BD là tiếp tuyến của $(O) \Rightarrow A C ⊥ A B; B D ⊥ A B \Rightarrow A C ∥ B D$

Do đó: ABCD là hình thang vuông có AB là đường cao.

Khi đó ta có: $S_{A B C D} = \frac{1}{2} A B (A C + B D) = \frac{1}{2} A B . C D = \frac{1}{2} A B (A C + B D) \overset{C o - s i}{\geq} \frac{1}{2} A B .2. \sqrt{A C . B D} = 2 R^{2}$

(do theo câu b) ta có $C D = A C + B D$ và theo câu c) ta có $A C . B D = R^{2}$ )

Nên $\min S_{A B C D} = 2 R^{2} \Leftrightarrow C D = A B \Leftrightarrow C D ∥ A B \Leftrightarrow M O ⊥ A B$ (do $M O ⊥ C D$ )

$\Leftrightarrow M$ là điểm chính giữa của cung AB.

Câu 14:

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $A = \sqrt{x - 2} + 2 \sqrt{x + 1} + 2019 - x$ .

Xem đáp án

Phương pháp:

Sử dụng hằng đẳng thức ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$

Đưa về dạng $m - A^{2} \leq m$

Dấu = xảy ra khi $A = 0$ .

Cách giải:

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $A = \sqrt{x - 2} + 2 \sqrt{x + 1} + 2019 - x$ .

Với điều kiện: $x \geq 2$ ta có:

$2 A = 2 (\sqrt{x - 2} + 2 \sqrt{x - 1} + 2019 - x) \Leftrightarrow 2 A = 2 \sqrt{x - 2} + 4 \sqrt{x - 1} + 4038 - 2 x \Leftrightarrow 2 A = 4042 - (x - 2 - 2 \sqrt{x - 2} + 1) - (x + 1 - 4 \sqrt{x + 1} + 4) \Leftrightarrow 2 A = 4042 - {(\sqrt{x - 2} - 1)}^{2} - {(\sqrt{x + 1} - 2)}^{2}$

Vì ${(\sqrt{x - 2} - 1)}^{2} \geq 0; {(\sqrt{x + 1} - 2)}^{2} \geq 0$ với mọi $x \geq 2$

$\Rightarrow 2 A \leq 4042 \Rightarrow A \leq 2021$

$\Rightarrow \max A = 2021 \Leftrightarrow \{\begin{cases} \sqrt{x - 2} - 1 = 0 \\ \sqrt{x + 1} - 2 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow x = 3$ (thỏa mãn ĐK $x \geq 2$ ).