15 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Bộ 15 đề kiểm tra học kì 1 Toán 9 năm 2022-2023 có đáp án (Đề 7)

Câu 1:

\frac{5}{\sqrt{5} - 1} - \frac{5}{\sqrt{5} + 1}

Xem đáp án

$\frac{5}{\sqrt{5} - 1} - \frac{5}{\sqrt{5} + 1} = \frac{5 (\sqrt{5} + 1) - 5 (\sqrt{5} - 1)}{(\sqrt{5} + 1) (\sqrt{5} - 1)} = \frac{5 \sqrt{5} + 5 - 5 \sqrt{5} + 5}{5 - 1} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$

Câu 2:

Tính:

\sqrt{{(\sqrt{5} - 3)}^{2}} - \sqrt{\frac{1}{5}} = |\sqrt{5} - 3| - \frac{\sqrt{5}}{5}

Xem đáp án

$\sqrt{{(\sqrt{5} - 3)}^{2}} - \sqrt{\frac{1}{5}} = |\sqrt{5} - 3| - \frac{\sqrt{5}}{5} = 3 - \sqrt{5} - \frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{15 - 5 \sqrt{5} - \sqrt{5}}{5} = \frac{15 - 6 \sqrt{5}}{5}$

Câu 3:

Giải các phương trình sau: $\sqrt{x - 1} + \sqrt{9 x - 9} + \sqrt{4 x - 4} = 12$

Xem đáp án

ĐKXĐ: $x - 1 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 1$

$\sqrt{x - 1} + \sqrt{9 x - 9} + \sqrt{4 x - 4} = 12 \Leftrightarrow \sqrt{x - 1} + \sqrt{9 (x - 1)} + \sqrt{4 (x - 1)} = 12 \Leftrightarrow \sqrt{x - 1} + 3 \sqrt{x - 1} + 2 \sqrt{x - 1} = 12 \Leftrightarrow 6 \sqrt{x - 1} = 12 \Leftrightarrow \sqrt{x - 1} = 2 \Leftrightarrow x - 1 = 4 \Leftrightarrow x = 5 (t m d k)$

Vậy x=5.

Câu 4:

Giải các phương trình sau:

\sqrt{x^{2} - 5 x} - \sqrt{x - 5} = 0

Xem đáp án

ĐKXĐ: $x - 5 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 5$

$\begin{array}{l} \sqrt{x^{2} - 5 x} - \sqrt{x - 5} = 0 \\ \Leftrightarrow \sqrt{x^{2} - 5 x} = \sqrt{x - 5} \\ \Leftrightarrow x^{2} - 5 x = x - 5 \\ \Leftrightarrow x (x - 5) - (x - 5) = 0 \\ \Leftrightarrow (x - 1) (x - 5) = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x - 1 = 0 \\ x - 5 = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 (k t m) \\ x = 5 (t m) \end{array} \end{array}$

Vậy x=5.

Câu 5:

Cho hai biểu thức: $A = \frac{x + 7}{3 \sqrt{x}}$ và $B = \frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} + \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3} + \frac{7 \sqrt{x} + x}{9 - x}$ với $x > 0; x \neq 9$

Tính A khi x=25

Xem đáp án

Điều kiện: $x > 0, x \neq 9.$

Có: $x = 25$ (tmđk)

Thay $x = 25$ vào A ta được: $A = \frac{25 + 7}{3 \sqrt{25}} = \frac{32}{15}$

Vậy khi $x = 25$ thì $A = \frac{32}{15} .$

Câu 6:

Cho hai biểu thức:

A = \frac{x + 7}{3 \sqrt{x}}

và

B = \frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} + \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3} + \frac{7 \sqrt{x} + x}{9 - x}

với

x > 0; x \neq 9

Chứng minh: $B = \frac{3 \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} .$

Xem đáp án

Điều kiện xác định: $x > 0; x \neq 9.$

$B = \frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} + \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3} + \frac{7 \sqrt{x} + 3}{9 - x} = \frac{2 \sqrt{x} (\sqrt{x} - 3) + (\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} + 3) - (7 \sqrt{x} + 3)}{(\sqrt{x} + 3) (\sqrt{x} - 3)} = \frac{2 x - 6 \sqrt{x} + x + 4 \sqrt{x} + 3 - 7 \sqrt{x} - 3}{(\sqrt{x} + 3) (\sqrt{x} - 3)} = \frac{3 x - 9 \sqrt{x}}{(\sqrt{x} + 3) (\sqrt{x} - 3)} = \frac{3 \sqrt{x} (\sqrt{x} - 3)}{(\sqrt{x} + 3) (\sqrt{x} - 3)} = \frac{3 \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3}$

Vậy $B = \frac{3 \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3}$ với $x > 0; x \neq 9.$

Câu 7:

Cho hai biểu thức:

A = \frac{x + 7}{3 \sqrt{x}}

và

B = \frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} + \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3} + \frac{7 \sqrt{x} + x}{9 - x}

với

x > 0; x \neq 9

Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=A.B

Xem đáp án

Điều kiện xác định: $x > 0; x \neq 9$

$P = A . B = \frac{x + 7}{3 \sqrt{x}} . \frac{3 \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} = \frac{x + 7}{\sqrt{x} + 3} = \frac{x - 9 + 16}{\sqrt{x} + 3} = \frac{(\sqrt{x} - 3) (\sqrt{x} + 3)}{\sqrt{x} + 3} + \frac{16}{\sqrt{x} + 3} = \sqrt{x} - 3 + \frac{16}{\sqrt{x} + 3} = (\sqrt{x} + 3) + \frac{16}{\sqrt{x} + 3} - 6$

Với mọi $x > 0, x \neq 9$ ta có: $\sqrt{x} + 3 > 0; \frac{16}{\sqrt{x} + 3} > 0.$

Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số dương $(\sqrt{x} + 3)$ và $\frac{16}{\sqrt{x} + 3}$ ta có:

$(\sqrt{x} + 3) + \frac{16}{\sqrt{x} + 3} \geq 2 \sqrt{(\sqrt{x} + 3) . \frac{16}{\sqrt{x} + 3}} \Leftrightarrow (\sqrt{x} + 3) + \frac{16}{\sqrt{x} + 3} \geq 8 \Leftrightarrow (\sqrt{x} + 3) + \frac{16}{\sqrt{x} + 3} - 6 \geq 2$

Hay $P \geq 2.$

Dấu “=” xảy ra khi $\sqrt{x} + 3 = \frac{16}{\sqrt{x} + 3} \Rightarrow {(\sqrt{x} + 3)}^{2} = 16$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} \sqrt{x} + 3 = 4 \\ \sqrt{x} + 3 = - 4 (k t m) \end{array} \Rightarrow \sqrt{x} = 1 \Leftrightarrow x = 1 (t m)$

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là $2 \Leftrightarrow x = 1.$

Câu 8:

Cho đường thẳng $(d_{1}) : y = 2 x + 2.$

Vẽ đường thẳng $(d_{1})$ trên mặt phẳng tọa độ Oxy

Xem đáp án

Cho $x = 0 \Rightarrow y = 2$

$y = 0 \Rightarrow x = - 1$

Đồ thị hàm số $y = 2 x + 2$ là đường thẳng đi qua hai điểm có tọa độ $(0; 2)$ và $(- 1; 0)$

Câu 9:

Cho đường thẳng

(d_{1}) : y = 2 x + 2.

Tìm tọa độ giao điểm của $(d_{1})$ và $(d_{2}) : y = x - 3.$

Xem đáp án

Xét phương trình hoành độ giao điểm của $(d_{1})$ và $(d_{2})$ ta có:

$2 x + 2 = x - 3 \Leftrightarrow 2 x - x = - 3 - 2 \Leftrightarrow x = - 5$

Thay $x = - 5$ vào hàm số $y = x - 3$ ta được $y = - 5 - 3 = - 8$

Vậy tọa độ giao điểm của $(d_{1})$ và $(d_{2})$ là $(- 5; - 8) .$

Câu 10:

Cho đường thẳng

(d_{1}) : y = 2 x + 2.

Cho đường thẳng $(d_{3}) : y = m x + 5.$ Tìm giá trị của m để ba đường thẳng $(d_{1}), (d_{2}), (d_{3})$ cắt nhau tại một điểm.

Xem đáp án

Để ba đường thẳng $(d_{1}), (d_{2}), (d_{3})$ cắt nhau thì $m \neq \{1; 2\}$

Theo câu b) ta có tọa độ giao điểm của $(d_{1})$ và $(d_{2})$ là $(- 5; - 8) .$

Để ba đường thẳng $(d_{1}), (d_{2}), (d_{3})$ đồng quy thì điểm có tọa độ $(- 5; - 8)$ cũng thuộc đường thẳng $(d_{3}) .$

Thay $x = - 5; y = - 8$ vào hàm số $y = m x + 5$ ta được: $- 8 = m (- 5) + 5 \Leftrightarrow m = \frac{13}{5}$ (thỏa mãn)

Vậy $m = \frac{13}{5} .$

Câu 11:

Một con thuyền ở địa điểm D di chuyển từ bờ sông a sang bờ sông b, với vận tốc trung bình là 2km/h, vượt qua khúc sông nước chảy mạnh trong 20 phút. Biết đường đi con thuyền là DE, tạo với bờ sông 1 góc bằng $60 °$ .Tính chiều rộng khúc sông

Xem đáp án

Kẻ $D H ⊥ b$ tại H. Khi đó chiều rộng khúc sông là đoạn DH

Đổi 20 phút $= \frac{1}{3} h .$

Độ dài đường đi của thuyền là $D E = \frac{1}{3} .2 = \frac{2}{3} k m$

Ta có $∠ H D E = 90 ° - 60 ° = 30 °$

Xét tam giác DHE vuông tại H, theo định nghĩa tỉ số lượng giác ta có:

$\cos ∠ H D E = \frac{D H}{D E} \Rightarrow D H = D E . \cos 30 ° = \frac{2}{3} . \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Vậy chiều rộng khúc sông là $\frac{\sqrt{3}}{3} k m .$

Câu 12:

Lấy điểm A trên $(O; R),$ vẽ tiếp tuyến $A x .$ Trên $A x,$ lấy điểm B, trên $(O; R)$ lấy điểm C sao cho $B C = A B .$

Chứng minh rằng: CB là tiếp tuyến của (O)

Xem đáp án

Xét $Δ A B O$ và $Δ C B O$ có:

+) $A B = B C (g t)$

+) BO cạnh chung

+) $O A = O C (= R)$

Nên $Δ A B O = Δ C B O (c - c - c)$

Suy ra $∠ B C O = ∠ B A O = 90 °$ , do đó: $B C ⊥ O C$ tại C.

Hay BC là tiếp tuyến của $(O; R) .$

Câu 13:

Lấy điểm A trên

(O; R),

vẽ tiếp tuyến

A x .

Trên

A x,

lấy điểm B, trên

(O; R)

lấy điểm C sao cho

B C = A B .

Vẽ đường kính AD của (O) kẻ CK vuông góc với AD

Chứng minh rằng: CD//OB và $B C . D C = C K . O B .$

Xem đáp án

*) Xét đường tròn $(O; R)$ có $△ A C D$ nội tiếp đường tròn có cạnh AD là đường kính nên $Δ A C D$ vuông tại C

Hay $A C ⊥ C D .$

+) Xét đường tròn $(O; R)$ có $B A, B C$ là các tiếp tuyến cắt nhau tại B nên $B A = B C$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra B thuộc đường trung trực của đoạn $A C .$

Lại có $O A = O C = R$ nên O thuộc đường trung trực của đoạn AC

Từ đó OB là đường trung trực của đoạn $A C \Rightarrow O B ⊥ A C .$

Lại có $A C ⊥ C D (c m t)$ nên $O B / / C D .$

*) Xét $Δ C K D$ và $Δ B A O$ có:

+) $∠ K = ∠ B A O = 90 °$

+) $∠ C D K = ∠ A O B$ (hai góc ở vị trí đồng vị)

Nên $Δ C D K$ đồng dạng với $Δ B A O (g - g)$

Suy ra $\frac{C K}{A B} = \frac{D C}{O B} \Leftrightarrow O B . C K = D C . A B$

Mà $A B = B C (g t)$ nên $O B . C K = B C . D C$ (đpcm)

Câu 14:

Lấy điểm A trên

(O; R),

vẽ tiếp tuyến

A x .

Trên

A x,

lấy điểm B, trên

(O; R)

lấy điểm C sao cho

B C = A B .

Lấy M trên cung nhỏ AC của (O) vẽ tiếp tuyến tại M cắt AB, BC lần lượt tại E,F. Vẽ đường tròn tâm I nội tiếp tam giác BFE. Chứng minh rằng:

Δ M A C ~ Δ I F E .

Xem đáp án

Kẻ đường kính CP của $(O; R)$

Ta có: $∠ P O A$ là góc ngoài của tam giác OAC nên $∠ P O A = ∠ O C A + ∠ O A C$ mà $∠ O A C = ∠ O C A$ (do tam giác OAC cân tại O) nên $∠ P O A = 2 ∠ A C O .$

Lại có $∠ P O M$ là góc ngoài của tam giác OCM nên $∠ P O M = ∠ O C M + ∠ O M C$ mà $∠ O C M = ∠ O M C$ (do tam giác OCM cân tại O) nên $∠ P O M = 2 ∠ M C O .$

Do đó: $∠ P O M - ∠ P O A = 2 (∠ M C O - ∠ A C O)$ hay $∠ M O A = 2 ∠ M C A .$

Xét tứ giác EMOA có $∠ E A O = ∠ E M O = 90 °$ (tính chất tiếp tuyến)

Nên $∠ M O A + ∠ A E M = 360 ° - (∠ E A O + ∠ E M O) = 180 °$

Mà $∠ A E M + ∠ B E F = 180 °$ (hai góc kề bù)

Nên $∠ M O A = ∠ B E F$ (cùng bù với $∠ A E M$ )

Lại có $∠ B E F = 2 ∠ I E F$ (do I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BEF)

Và $∠ M O A = 2 ∠ M C A (c m t)$

Suy ra $∠ I E F = ∠ M C A$

Chứng minh tương tự:

Ta có $∠ D O M$ là góc ngoài của tam giác cân $A O M \Rightarrow ∠ D O M = 2 ∠ M A O$

$∠ D O C$ là góc ngoài của tam giác cân $A O C \Rightarrow ∠ D O C = 2 ∠ C A O$

Trừ vế với vế ta được: $∠ M O C = 2 ∠ M A C$

Lại có $∠ M F C + ∠ M O C = 360 ° - (∠ F M O - ∠ C F O) = 180 °$

Và $∠ M F C + ∠ B F E = 180 ° \Rightarrow ∠ B F E = ∠ C O M$

Mà $∠ C O M = 2 ∠ M A C; ∠ B F E = 2 ∠ I F E$ nên $∠ I F E = ∠ M A C$

Xét tam giác IEF và tam giác MCA có: $∠ I F E = ∠ M A C$ và $∠ I E F = ∠ M C A (c m t)$ nên $Δ I E F$ đồng dạng với $Δ M C A$ (đpcm).

Câu 15:

Cho $x, y, z > 0$ và $x y + y z + x z = 3 x y z .$ Tính giá trị nhỏ nhất của: $A = \frac{x^{2}}{z (z^{2} + x^{2})} + \frac{y^{2}}{x (x^{2} + y^{2})} + \frac{z^{2}}{y (y^{2} + z^{2})}$

Xem đáp án

Phương pháp:

- Chia cả hai vế của đẳng thức đã cho cho $x y z .$

- Đặt $a = \frac{1}{x}, b = \frac{1}{y}, c = \frac{1}{z}$ đưa về tìm GTNN theo $a, b, c .$

- Sử dụng bất đẳng thức $a^{2} + b^{2} \geq 2 a b .$

Cách giải:

Ta có: $x y + y z + z x = 3 x y z$

Chia cả hai vế cho $x y z \neq 0$ ta được: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 3.$

Đặt $a = \frac{1}{x}, b = \frac{1}{y}, c = \frac{1}{z} (a, b, c > 0)$ thì $a + b + c = 3.$

Khi đó $\frac{x^{2}}{z (z^{2} + x^{2})} = \frac{{(\frac{1}{a})}^{2}}{\frac{1}{c} . (\frac{1}{c^{2}} + \frac{1}{a^{2}})} = \frac{c^{3}}{a^{2} + c^{2}} = \frac{c^{3} + c a^{2} - c a^{2}}{c^{2} + a^{2}} = c - \frac{c a^{2}}{c^{2} + a^{2}}$

$\frac{y^{2}}{x (x^{2} + y^{2})} = \frac{{(\frac{1}{b})}^{2}}{\frac{1}{a} (\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}})} = \frac{a^{3}}{a^{2} + b^{2}} = \frac{a^{3} + a b^{2} - a b^{2}}{a^{2} + b^{2}} = a - \frac{a b^{2}}{a^{2} + b^{2}} \frac{z^{2}}{y (y^{2} + z^{2})} = \frac{{(\frac{1}{c})}^{2}}{\frac{1}{b} (\frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}})} = \frac{b^{3}}{b^{2} + c^{2}} = \frac{b^{3} + b c^{2} - b c^{2}}{b^{2} + c^{2}} = b - \frac{b c^{2}}{b^{2} + c^{2}} \Rightarrow A = c - \frac{c a^{2}}{c^{2} + a^{2}} + a - \frac{a b^{2}}{a^{2} + b^{2}} + b - \frac{b c^{2}}{b^{2} + c^{2}} = (a + b + c) - (\frac{c a^{2}}{c^{2} + a^{2}} + \frac{a b^{2}}{a^{2} + b^{2}} + \frac{b c^{2}}{b^{2} + c^{2}}) = 3 - (\frac{c a^{2}}{c^{2} + a^{2}} + \frac{a b^{2}}{a^{2} + b^{2}} + \frac{b c^{2}}{b^{2} + c^{2}})$

Mà $c^{2} + a^{2} \geq 2 c a \Rightarrow \frac{c a^{2}}{c^{2} + a^{2}} \leq \frac{c a^{2}}{2 c a} = \frac{a}{2}$

Tương tự $\frac{a b^{2}}{a^{2} + b^{2}} \leq \frac{b}{2}$ và $\frac{b c^{2}}{b^{2} + c^{2}} \leq \frac{c}{2}$

$\Rightarrow \frac{c a^{2}}{c^{2} + a^{2}} + \frac{a b^{2}}{a^{2} + b^{2}} + \frac{b c^{2}}{b^{2} + c^{2}} \leq \frac{a}{2} + \frac{b}{2} + \frac{c}{2} = \frac{3}{2} \Rightarrow 3 - (\frac{c a^{2}}{c^{2} + a^{2}} + \frac{a b^{2}}{a^{2} + b^{2}} + \frac{b c^{2}}{b^{2} + c^{2}}) \geq 3 - \frac{3}{2} = \frac{3}{2} .$

Vậy $A \geq \frac{3}{2}$ nên $\min A = \frac{3}{2} .$

Dấu “=” xảy ra khi $a = b = c = 1.$