14 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Bộ 15 đề kiểm tra học kì 1 Toán 9 năm 2022-2023 có đáp án (Đề 8)

$M = A : B = \frac{6}{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 3)} : (\frac{2 \sqrt{x}}{x - 9} - \frac{2}{\sqrt{x} + 3}) = \frac{6}{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 3)} : \frac{2 \sqrt{x} - 2 (\sqrt{x} - 3)}{(\sqrt{x} - 3) (\sqrt{x} + 3)} = \frac{6}{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 3)} : \frac{6}{(\sqrt{x} - 3) (\sqrt{x} + 3)} = \frac{6}{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 3)} . \frac{(\sqrt{x} - 3) (\sqrt{x} + 3)}{6} = \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x}}$

Vậy $M = \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x}}$ .

Câu 3:

Cho các biểu thức:

A = \frac{6}{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 3)}

và

B = \frac{2 \sqrt{x}}{x - 9} - \frac{2}{\sqrt{x} + 3}

với

x > 0; x \neq 9.

Tìm các giá trị của x để $3 \sqrt{x} + 5 = 2 M .$

Xem đáp án

Điều kiện: $x > 0.$

$3 \sqrt{x} + 5 = 2 M \Leftrightarrow 3 \sqrt{x} + 5 = 2. \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x}} \Leftrightarrow \sqrt{x} (3 \sqrt{x} + 5) = 2 \sqrt{x} + 6 \Leftrightarrow 3 x + 5 \sqrt{x} = 2 \sqrt{x} + 6 \Leftrightarrow 3 x + 3 \sqrt{x} - 6 = 0 \Leftrightarrow x + \sqrt{x} - 2 = 0 \Leftrightarrow (\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 2) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \sqrt{x} - 1 = 0 \\ \sqrt{x} + 2 = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \sqrt{x} = 1 \\ \sqrt{x} = - 2 (k t m) \end{array} \Leftrightarrow x = 1 (t m)$

Vậy $x = 1.$

Câu 4:

Thực hiện phép tính:

3 \sqrt{8} - \sqrt{50} - \sqrt{{(\sqrt{2} - 1)}^{2}} .

Xem đáp án

$3 \sqrt{8} - \sqrt{50} - \sqrt{{(\sqrt{2} - 1)}^{2}} = 3 \sqrt{2^{2} .2} - \sqrt{5^{2} .2} - |\sqrt{2} - 1| = 3.2 \sqrt{2} - 5 \sqrt{2} - (\sqrt{2} - 1) = 6 \sqrt{2} - 5 \sqrt{2} - \sqrt{2} + 1 = 1$

Câu 5:

Giải các phương trình sau: $\sqrt{x^{2} - 6 x + 9} = 1$

Xem đáp án

Điều kiện xác định: $x \in ℝ$ ( $x^{2} - 6 x + 9 \geq 0 \Leftrightarrow {(x - 3)}^{2} \geq 0$ đúng với mọi $x \in ℝ$ )

$\sqrt{x^{2} - 6 x + 9} = 1 \Leftrightarrow \sqrt{{(x - 3)}^{2}} = 1 \Leftrightarrow |x - 3| = 1 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x - 3 = 1 \\ x - 3 = - 1 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 4 \\ x = 2 \end{array} (t m d k)$

Vậy $S = \{2; 4\}$

Câu 6:

Giải các phương trình sau:

2 \sqrt{12 x} - 3 \sqrt{3 x} + 4 \sqrt{48 x} = 17.

Xem đáp án

Điều kiện xác định: $x \geq 0$

$2 \sqrt{12 x} - 3 \sqrt{3 x} + 4 \sqrt{48 x} = 17. \Leftrightarrow 2 \sqrt{2^{2} .3 x} - 3 \sqrt{3 x} + 4 \sqrt{4^{2} .3 x} = 17 \Leftrightarrow 2.2 \sqrt{3 x} - 3 \sqrt{3 x} + 4.4. \sqrt{3 x} = 17 \Leftrightarrow 4 \sqrt{3 x} - 3 \sqrt{3 x} + 16 \sqrt{3 x} = 17 \Leftrightarrow 17 \sqrt{3 x} = 17 \Leftrightarrow \sqrt{3 x} = 1 \Leftrightarrow 3 x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{1}{3} (t m d k)$

Vậy $S = \{\frac{1}{3}\} .$

Câu 7:

Cho hàm số $y = (m + 1) x + 6$ (1) với $m \neq - 1$

Vẽ đồ thị hàm số (1) khi m=2

Xem đáp án

Với $m = 2$ thì $y = 3 x + 6$

Vẽ đồ thị hàm số: $y = 3 x + 6$

+) Giao điểm A của đường thẳng $y = 3 x + 6$ với trục Ox là:

$y_{A} = 0 \Rightarrow 3 x_{A} + 6 = 0 \Rightarrow x_{A} = - 2 \Rightarrow A (- 2; 0)$

+) Giao điểm B của đường thẳng $y = 3 x + 6$ với trục Oy là:

$x_{B} = 0 \Rightarrow y_{B} = 3 x_{B} + 6 = 6 \Rightarrow B (0; 6)$

+) Vẽ đường thẳng $y = 3 x + 6$ trong mặt phẳng Oxy:

Ta có đường thẳng $y = 3 x + 6$ đi qua hai điểm $A (- 2; 0); B (0; 6)$

Nên đường thẳng $y = 3 x + 6$ chính là đường thẳng AB.

Ta có hình vẽ bên.

Câu 8:

Cho hàm số

y = (m + 1) x + 6

(1) với

m \neq - 1

Gọi đồ thị của hàm số (1) là đường thẳng (d), tìm m để đường thẳng (d) cắt đường thẳng $y = 5 x + m - 2$ tại một điểm nằm trên trục tung.

Xem đáp án

Để $d : y = (m + 1) x + 6$ cắt đường thẳng $y = 5 x + m - 2$ tại một điểm nằm trên trục tung thì $m + 1 \neq 5$ và phương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng có nghiệm $x = 0$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} m + 1 \neq 5 \\ (m + 1) .0 + 6 = 5.0 + m - 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m \neq 4 \\ 6 = m - 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m \neq 4 \\ m = 8 \end{cases} \Leftrightarrow m = 8 (t m d k m \neq - 1)$

Vậy $m = 8$ là giá trị cần tìm.

Câu 9:

Cho hàm số

y = (m + 1) x + 6

(1) với

m \neq - 1

Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng (d) bằng

3 \sqrt{2} .

Xem đáp án

Đồ thị hàm số $y = (m + 1) x + 6$ với $m \neq - 1$ là đường thẳng cắt Ox tại điểm $A^{'} (- \frac{6}{m + 1}; 0)$ và cắt Oy tại điểm $B (0; 6)$

Suy ra: $O A^{'} = |\frac{- 6}{m + 1}| = \frac{6}{|m + 1|}$ và $O B = |6| = 6$

Kẻ $O H ⊥ A^{'} B$ tại H thì OH chính là khoảng cách từ O đến đường thẳng $(d)$

Ta có:

$\frac{1}{O H^{2}} = \frac{1}{O {A^{'}}^{2}} + \frac{1}{O B^{2}} \Leftrightarrow \frac{1}{{(3 \sqrt{2})}^{2}} = \frac{1}{{(\frac{6}{|m + 1|})}^{2}} = \frac{1}{6^{2}} \Leftrightarrow \frac{1}{16} = \frac{1}{\frac{36}{{(m + 1)}^{2}}} + \frac{1}{36} \Leftrightarrow \frac{1}{18} = \frac{{(m + 1)}^{2} + 1}{36} \Leftrightarrow \frac{2}{36} = \frac{m^{2} + 2 m + 1 + 1}{36} \Leftrightarrow 2 = m^{2} + 2 m + 2 \Leftrightarrow m^{2} + 2 m = 0 \Leftrightarrow m (m + 2) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 0 \\ m + 2 = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 0 \\ m = - 2 \end{array} (t m d k)$

Vậy

m \in \{0; - 2\}

là giá trị cần tìm.

Câu 10:

Cho điểm M nằm ngoài đường tròn $(O; R)$ . Từ M kẻ các tiếp tuyến MA, MB tới đường tròn tâm O (A, B là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của MO với AB.

Chứng minh rằng bốn điểm M, A, O, B cùng thuộc một đường tròn.

Xem đáp án

MA, MB là các tiếp tuyến của M đến đường tròn $(O; R)$

$\Rightarrow ∠ O A M = ∠ O B M = 90 °$

$\Rightarrow$ A, B thuộc đường tròn đường kính OM

$\Rightarrow$ M, A, O, B cùng thuộc một đường tròn (đpcm).

Câu 11:

Cho điểm M nằm ngoài đường tròn

(O; R)

. Từ M kẻ các tiếp tuyến MA, MB tới đường tròn tâm O (A, B là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của MO với AB.

Chứng minh rằng $M O ⊥ A B$ tại H.

Xem đáp án

MA, MB là các tiếp tuyến của M đến đường tròn $(O; R)$

$\Rightarrow M A = M B$ và MO là tia phân giác của $∠ A M B$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Do đó MO đồng thời là đường cao của tam giác cân AMB

Suy ra $M O ⊥ A B$ tại H.

Câu 12:

Cho điểm M nằm ngoài đường tròn

(O; R)

. Từ M kẻ các tiếp tuyến MA, MB tới đường tròn tâm O (A, B là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của MO với AB.

Nếu OM=2R hãy tính độ dài MA theo R và số đo các góc $∠ A M B, ∠ A O B$ ?

Xem đáp án

$∠ O A M = 90 ° \Rightarrow Δ O A M$ vuông tại A

$\Rightarrow O M^{2} = O A^{2} + M A^{2}$ (định lý Py-ta-go)

$\Rightarrow M A^{2} = \sqrt{O M^{2} - O A^{2}} = \sqrt{{(2 R)}^{2} - R^{2}} = R \sqrt{3}$

Áp dụng tỉ số lượng giác cho tam giác vuông OAM ta được:

$\sin ∠ A O M = \frac{A M}{O M} = \frac{R \sqrt{3}}{2 R} = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow ∠ A O M = 60 °$

Do MA, MB là các tiếp tuyến của M đến đường tròn $(O; R)$

$\Rightarrow O M$ là tia phân giác của $∠ A O B$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

$\Rightarrow ∠ A O B = 2. ∠ A O M = 2.60 ° = 120 ° .$

Câu 13:

Cho điểm M nằm ngoài đường tròn

(O; R)

. Từ M kẻ các tiếp tuyến MA, MB tới đường tròn tâm O (A, B là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của MO với AB.

Kẻ đường kính AD của đường tròn (O), MD cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là C. Chứng minh rằng $∠ M H C = ∠ A D C .$

Xem đáp án

$Δ O A M$ vuông tại A có $A H ⊥ O M \Rightarrow A M^{2} = M H . M O$ (1)

Ta có: $∠ A C D = 90 °$ (do AD là đường kính) $\Rightarrow A C ⊥ D M$

$∠ O A M = 90 °$ hay $∠ D A M = 90 ° \Rightarrow Δ A D M$ vuông tại A có $A C ⊥ D M \Rightarrow A M^{2} = M C . M D$ (2)

Từ (1), (2) $\Rightarrow M H . M O = M C . M D (= A M^{2}) \Rightarrow \frac{M H}{M D} = \frac{M C}{M O}$

Xét $Δ M H C$ và $Δ M D O$ có:

$∠ O M D$ chung

$\frac{M H}{M D} = \frac{M C}{M O}$ (cmt)

$\Rightarrow Δ M H C ~ Δ M D O (c - g - c) \Rightarrow ∠ M H C = ∠ A D C (d p c m)$

Câu 14:

Cho x, y là các số dương thỏa mãn $x \geq 2 y .$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M với $M = \frac{x^{2} + y^{2}}{x y} .$

Xem đáp án

Phương pháp

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si: với $a, b > 0$ thì $a + b \geq 2 \sqrt{a b}$

Cách giải

Ta có: $x, y > 0; x \geq 2 y \Rightarrow \frac{x}{y} \geq 2$

$M = \frac{x^{2} + y^{2}}{x y} = \frac{x^{2}}{x y} + \frac{y^{2}}{x y} = \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{x}{4 y} + \frac{y}{x} + \frac{3 x}{4 y} \geq 2 \sqrt{\frac{x}{4 y} . \frac{y}{x}} + \frac{3 x}{4 y} = 2. \sqrt{\frac{1}{4}} + \frac{3}{4} .2 = \frac{5}{2}$

Dấu “=” xảy ra khi $\{\begin{cases} \frac{x}{4 y} = \frac{y}{x} \\ \frac{x}{y} = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x^{2} = 4 y^{2} \\ x = 2 y \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} [\begin{array}{l} x = 2 y \\ x = - 2 y \Leftrightarrow x = 2 y \end{array} \\ x = 2 y \end{cases}$

Vậy $M_{\min} = \frac{5}{2}$ khi $x = 2 y .$