13 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Bộ 15 đề kiểm tra học kì 1 Toán 9 năm 2022-2023 có đáp án (Đề 10)

Câu 1:

Cho biểu thức $P = (\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} - 2} + \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + 2}) . \frac{a - 4}{\sqrt{4 a}}$ .

Tìm điều kiện của a để P xác định.

P xác định $\Leftrightarrow \{\begin{cases} a \geq 0 \\ \sqrt{a} - 2 \neq 0 \\ \sqrt{a} + 2 \neq 0 \\ 4 a > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a > 0 \\ \sqrt{a} \neq 2 \\ \sqrt{a} \neq - 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a > 0 \\ a \neq 2^{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a > 0 \\ a \neq 4 \end{cases}$ .

Vậy $a > 0; a \neq 4$ thì biểu thức P xác định.

Câu 2:

Cho biểu thức

P = (\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} - 2} + \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + 2}) . \frac{a - 4}{\sqrt{4 a}}

.

Rút gọn P.

Xem đáp án

ĐKXĐ: $a > 0; a \neq 4$ .

$\begin{array}{l} P = (\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} - 2} + \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + 2}) . \frac{a - 4}{\sqrt{4 a}} \\ = \frac{\sqrt{a} (\sqrt{a} + 2) + \sqrt{a} (\sqrt{a} - 2)}{(\sqrt{a} + 2) (\sqrt{a} - 2)} . \frac{(\sqrt{a} + 2) (\sqrt{a} - 2)}{\sqrt{2^{2} . a}} \\ = \frac{a + 2 \sqrt{a} + a - 2 \sqrt{a}}{2 \sqrt{a}} \\ = \frac{2 a}{2 \sqrt{a}} = \sqrt{a} \end{array}$

Vậy $P = \sqrt{a}$ với $a > 0; a \neq 4$ .

Câu 3:

Cho biểu thức

P = (\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} - 2} + \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + 2}) . \frac{a - 4}{\sqrt{4 a}}

.

Tìm a để $P < 3$ .

Xem đáp án

ĐKXĐ: $a > 0; a \neq 4$ .

$P < 3 \Leftrightarrow \sqrt{a} < 3 \Leftrightarrow a < 3^{2} \Leftrightarrow a < 9$

Kết hợp với điều kiện xác định $\Rightarrow 0 < a < 9; a \neq 4$ .

Vậy $0 < a < 9; a \neq 4$ thì $P < 3$ .

Câu 4:

Chứng minh: Giá trị của biểu thức $A = (\sqrt{5} + \sqrt{3}) . \sqrt{(\sqrt{6} + \sqrt{2}) (4 - \sqrt{15}) . \sqrt{2 - \sqrt{3}}}$ là một số nguyên.

Xem đáp án

Phương pháp

Dựa vào các hằng đẳng thức và công thức $\sqrt{A^{2}} = [\begin{array}{l} A k h i A \geq 0 \\ - A k h i A < 0 \end{array}$ để biến đổi và rút gọn A.

Cách giải

$\begin{array}{l} A = (\sqrt{5} + \sqrt{3}) . \sqrt{(\sqrt{6} + \sqrt{2}) (4 - \sqrt{15}) . \sqrt{2 - \sqrt{3}}} \\ = (\sqrt{5} + \sqrt{3}) . \sqrt{(\sqrt{3} + 1) \sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{3}} (4 - \sqrt{15})} \\ = (\sqrt{5} + \sqrt{3}) . \sqrt{(\sqrt{3} + 1) \sqrt{2 (2 - \sqrt{3})} (4 - \sqrt{15})} \\ = (\sqrt{5} + \sqrt{3}) . \sqrt{(\sqrt{3} + 1) \sqrt{4 - 2 \sqrt{3}} (4 - \sqrt{15})} \\ = (\sqrt{5} + \sqrt{3}) . \sqrt{(\sqrt{3} + 1) \sqrt{{(\sqrt{3} - 1)}^{2}} (4 - \sqrt{15})} \\ = (\sqrt{5} + \sqrt{3}) . \sqrt{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1) (4 - \sqrt{15})} (d o \sqrt{3} - 1 > 0) \\ = (\sqrt{5} + \sqrt{3}) . \sqrt{(3 - 1) (4 - \sqrt{15})} = (\sqrt{5} + \sqrt{3}) \sqrt{2 (4 - \sqrt{15})} \\ = (\sqrt{5} + \sqrt{3}) . \sqrt{8 - 2 \sqrt{15}} = (\sqrt{5} + \sqrt{3}) \sqrt{5 - 2 \sqrt{5} \sqrt{3} + 3} \\ = (\sqrt{5} + \sqrt{3}) . \sqrt{{(\sqrt{5} - \sqrt{3})}^{2}} = (\sqrt{5} + \sqrt{3}) (\sqrt{5} - \sqrt{3}) (d o \sqrt{5} - \sqrt{3} > 0) \\ = 5 - 3 = 2 \end{array}$

Vậy $A = 2$ là một số nguyên.

Câu 5:

Vẽ đồ thị hàm số sau trên cùng một mặt phẳng tọa độ:

(d_{1}) : y = 2 x - 3

và

(d_{2}) : y = - \frac{1}{2} x + 2

.

Xem đáp án

+ Vẽ đồ thị hàm số $(d_{1}) : y = 2 x - 3$ .

Bảng giá trị:

Vậy đồ thị hàm số $(d_{1})$ là đường thẳng đi qua hai điểm $(1; - 1); (3; 3)$ .

+ Vẽ đồ thị hàm số $(d_{2}) : y = - \frac{1}{2} x + 2$ .

Bảng giá trị:

Vậy đồ thị hàm số $(d_{2})$ là đường thẳng đi qua hai điểm $(0; 2); (4; 0)$

Câu 6:

Tìm tọa độ giao điểm A của hai đường thẳng $(d_{1})$ và $(d_{2})$ (bằng phép tính).

Xem đáp án

Xét phương trình hoành độ giao điểm của $(d_{1})$ và $(d_{2})$ :

$2 x - 3 = - \frac{1}{2} x + 2 \Leftrightarrow 2 x + \frac{1}{2} x = 2 + 3 \Leftrightarrow \frac{5}{2} x = 5 \Leftrightarrow x = 2$

Thay $x = 2$ vào hàm số $y = 2 x - 3$ ta được $y = 2.2 - 3 = 1$ .

Vậy tọa độ giao điểm của hai đường thẳng $(d_{1})$ và $(d_{2})$ là $A (2; 1)$ .

Câu 7:

Tìm m để ba đường thẳng $(d_{1}), (d_{2})$ và $(d_{3}) : y = 3 x - 2 m - 3$ đồng quy.

Xem đáp án

Ba đường thẳng $(d_{1}), (d_{2})$ và $(d_{3}) : y = 3 x - 2 m - 3$ đồng quy $\Rightarrow (d_{3})$ đi qua giao điểm của hai đường thẳng $(d_{1})$ và $(d_{2}) \Rightarrow A \in (d_{3})$ .

Thay tọa độ điểm A vào hàm số $(d_{3}) : y = 3 x - 2 m - 3$ ta được: $1 = 3.2 - 2 m - 3 \Rightarrow 2 m = 6 - 3 - 1 \Rightarrow m = 1$ .

Vậy $m = 1$ thì ba đường thẳng $(d_{1}), (d_{2})$ và $(d_{3}) : y = 3 x - 2 m - 3$ đồng quy.

Câu 8:

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} 3 x - 2 y - 9 = 0 \\ 5 x + 2 y - 7 = 0 \end{cases}$ .

Xem đáp án

\{\begin{cases} 3 x - 2 y - 9 = 0 \\ 5 x + 2 y - 7 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 x - 2 y = 9 \\ 5 x + 2 y = 7 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 8 x = 9 + 7 \\ 3 x - 2 y = 9 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 8 x = 16 \\ 2 y = 3 x - 9 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 2 \\ 2 y = 3.2 - 9 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 2 \\ 2 y = - 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 2 \\ y = - \frac{3}{2} \end{cases}

Vậy phương trình có nghiệm

(x; y) = (2; - \frac{3}{2})

Câu 9:

Giải phương trình $\sqrt{3 x^{2} + 12 x + 12} = \sqrt{75}$ .

Xem đáp án

ĐKXĐ: $3 x^{2} + 12 x + 12 \geq 0 \Rightarrow x^{2} + 4 x + 4 \geq 0 \Rightarrow {(x + 2)}^{2} \geq 0$ đúng $\forall x$ .

$\begin{array}{l} \sqrt{3 x^{2} + 12 x + 12} = \sqrt{75} \Leftrightarrow 3 x^{2} + 12 x + 12 = 75 \\ \Leftrightarrow 3 x^{2} + 12 x - 63 = 0 \Leftrightarrow x^{2} + 4 x - 21 = 0 \\ \Leftrightarrow x^{2} + 7 x - 3 x - 21 = 0 \Leftrightarrow (x + 7) (x - 3) = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x + 7 = 0 \\ x - 3 = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 7 \\ x = 3 \end{array} \end{array}$

Vậy phương trình có hai nghiệm $x = - 7$ và $x = 3$ .

Câu 10:

Cho tam giác ABC có AH là đường cao, biết $B H = 9 c m; H C = 16 c m$ và $\tan ∠ A C B = \frac{3}{4}$ .

Tính độ dài các cạnh AH, AC.

Xem đáp án

Trong $Δ A H C$ vuông tại H có:

$\begin{array}{l} \tan A C B = \frac{A H}{H C} = \frac{3}{4} \Rightarrow A H = H C . \frac{3}{4} = 16. \frac{3}{4} = 12 (c m) \\ A C^{2} = A H^{2} + H C^{2} = 12^{2} + 16^{2} = 400 \Rightarrow A C = \sqrt{400} = 20 (c m) \end{array}$

Vậy $A H = 12 c m; A C = 20 c m$ .

Câu 11:

Cho tam giác ABC có AH là đường cao, biết

B H = 9 c m; H C = 16 c m

và

\tan ∠ A C B = \frac{3}{4}

.

Vẽ đường tròn tâm B bán kính BA. Chứng minh rằng AC là tiếp tuyến của đường tròn $(B; B A)$

Xem đáp án

Trong $Δ A B H$ vuông tại H có:

$A B = \sqrt{A H^{2} + B H^{2}} = \sqrt{12^{2} + 9^{2}} = \sqrt{225} = 15 (c m)$

Nhận thấy: $A B^{2} + A C^{2} = 15^{2} + 20^{2} = 625 = 25^{2} = B C^{2}$ .

$\Rightarrow Δ A B C$ vuông tại $A \Rightarrow B A ⊥ C A$ .

$\Rightarrow A C$ là tiếp tuyến của đường tròn $(B; B A)$ (định nghĩa).

Vậy AC là tiếp tuyến của đường tròn $(B; B A)$ .

Câu 12:

Cho tam giác ABC có AH là đường cao, biết

B H = 9 c m; H C = 16 c m

và

\tan ∠ A C B = \frac{3}{4}

.

Tia AH cắt đường tròn $(B; B A)$ tại $D (D \neq A)$ . Vẽ tiếp tuyến Dx của $(B; B A)$ (với D là tiếp điểm). Chứng minh rằng Dx đi qua điểm C.

Xem đáp án

+ Xét $Δ A B D$ có: $B A = B D; B H ⊥ A D$ .

$\Rightarrow B H$ là đường cao đồng thời là đường phân giác của $Δ A B D$ cân tại B (tính chất).

$\Rightarrow ∠ A B C = ∠ D B C$

+ Xét $Δ A B C$ và $Δ D B C$ có:

BC chung

$\begin{array}{l} ∠ A B C = ∠ D B C (c m t) \\ B A = B D (g t) \\ \Rightarrow Δ A B C = Δ D B C (c - g - c) \end{array}$

(hai góc tương ứng).

$\Rightarrow B D ⊥ D C$

$\Rightarrow D C$ là tiếp tuyến của đường tròn $(B; B A)$ .

$\Rightarrow D C \equiv D x$ hay Dx đi qua điểm C (đpcm).

Câu 13:

Cho tam giác ABC có AH là đường cao, biết

B H = 9 c m; H C = 16 c m

và

\tan ∠ A C B = \frac{3}{4}

.

Cạnh BC cắt đường tròn (B; BA) tại E.Chứng minh AE là tia phân giác của góc HAC và $E H . \tan A B C = E C . \sin A B C$

Xem đáp án

+ Ta có $∠ B A E = ∠ B E A$ (do $Δ A B E$ cân tại B).

Lại có $∠ B A E + ∠ E A C = ∠ B A C = 90 °$ .

$\Rightarrow ∠ B A E + ∠ E A C = 90 ° (1)$

Mặt khác: $∠ B E A + ∠ H A E = 180 ° - ∠ A H E = 90 ° (2)$ .

Từ (1) và (2) $\Rightarrow ∠ E A C = ∠ H A E \Rightarrow A E$ là tia phân giác của $∠ H A C$ (đpcm).

+ Nếu $E H . \tan A B C = E C . \sin A B C$

Thì $E H . \frac{A C}{A B} = E C . \frac{A C}{B C} \Rightarrow E H . \frac{20}{15} = E C . \frac{20}{25} \Rightarrow \frac{E H}{3} = \frac{E C}{5} (1)$ .

Ta có: AE là tia phân giác của $∠ H A C$ .

$\Rightarrow \frac{E H}{E C} = \frac{A H}{A C} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$ (tính chất đường phân giác)

$\Rightarrow \frac{E H}{3} = \frac{E C}{5} \Rightarrow$ (1) luôn đúng.

Vậy $E H . \tan A B C = E C . \sin A B C$ .