39 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Bộ 15 đề thi giữa kì 2 Toán 12 có đáp án năm 2022-2023 (Đề 2)

f (x) = \cos x

A.

\cos x + C

.

B.

- \cos x + C

.

C.

- \sin x + C

.

D.

\sin x + C

.

Xem đáp án

Dựa theo bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp, ta chọn D.

Câu 4:

f (x) = \frac{2}{x + 1}

Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số

A.

\ln |x + 1| + C

.

B.

2 \ln |x + 1| + C

.

C.

\frac{1}{2} \ln |x + 1| + C

.

D.

\ln |x| + C

.

Xem đáp án

Ta có

\int \frac{2}{x + 1} d x = 2 \int \frac{1}{x + 1} d x = 2 \ln |x + 1| + C

Chọn đáp án B

Câu 5:

f (x) = e^{x} + 2 x

thỏa mãn

F (0) = \frac{3}{2}

tùy ý, liên tục trên khoảng K và

A.

F (x) = 2 e^{x} + x^{2} - \frac{1}{2}

.

B.

F (x) = e^{x} + x^{2} + \frac{3}{2}

.

C.

F (x) = e^{x} + x^{2} + \frac{5}{2}

.

D.

F (x) = e^{x} + x^{2} + \frac{1}{2}

.

Xem đáp án

Chọn D

Ta có:

F (x) = \int (e^{x} + 2 x) d x = e^{x} + x^{2} + C

.
Mà:

F (0) = \frac{3}{2}

nên

e^{0} + 0 + C = \frac{3}{2} \Leftrightarrow C = \frac{1}{2}

.
Vậy:

F (x) = e^{x} + x^{2} + \frac{1}{2}

.

Câu 6:

Xét các hàm số

f (x), g (x)

α

là một số thực bất kỳ. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A.

\int α . f (x) d x = α \int f (x) d x

.

B.

\int f (x) g (x) d x = \int f (x) d x . \int g (x) d x

.

C.

\int [f (x) + g (x)] d x = \int f (x) d x + \int g (x) d x

.

D.

\int [f (x) - g (x)] d x = \int f (x) d x + \int g (x) d x

.

Xem đáp án

Phương án

\int α . f (x) d x = α \int f (x) d x

sai khi

α = 0

.
Phương án

\int f (x) g (x) d x = \int f (x) d x . \int g (x) d x

sai vì lý thuyết.
Phương án

\int [f (x) - g (x)] d x = \int f (x) d x + \int g (x) d x

sai vì lý thuyết.

Chọn C

Câu 7:

Cho

\int f (x) d x = F (x) + C

, khi đó

\int f (- 5 x + 1) d x

Xét f(x) là một hàm số tùy ý, F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn

A.

F (- 5 x + 1) + C

.

B.

- \frac{1}{5} F (- 5 x + 1) + C

.

C.

- 5 F (- 5 x + 1) + C

.

D.

\frac{1}{5} F (x) + C

.

Xem đáp án

Chọn B

$\int f (- 5 x + 1) d x = - \int f (- 5 x + 1) . \frac{1}{5} . d (- 5 x + 1) = - \frac{1}{5} \int f (- 5 x + 1) d (- 5 x + 1) = - \frac{1}{5} F (- 5 x + 1) + C$

Câu 8:

[a; b]

. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A.

\int_{a}^{b} f (x) d x = f (b) - f (a)

.

B.

\int_{a}^{b} f (x) d x = f (a) - f (b)

.

C.

\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)

.

D.

\int_{a}^{b} f (x) d x = F (a) - F (b)

.

Xem đáp án

Theo định nghĩa, ta có

\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)

Chọn C

Câu 9:

\int_{1}^{2} \frac{1}{x} d x

. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

A.

- \frac{1}{2}

.

B.

\frac{3}{4}

.

C. ln 3.

D. ln 2.

Xem đáp án

Ta có

\int_{1}^{2} \frac{1}{x} d x = \ln |x| |\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2

Chọn D

Câu 10:

Cho hàm số

y = f (x)

liên tục trên đoạn

[a; b]

y = f (x)

, trục hoành và hai đường thẳng

x = a

. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành được tính theo công thức

x = b (a < b)

A. $V = π \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x$

B. $V = \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x$

C. $V = π^{} \int_{a}^{b} |f (x)| d x$

D. $V = π^{2} \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x$

Xem đáp án

Theo công thức tính thể tích vật tròn xoay khi quay hình quanh trục hoành là:

V = π \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x

.

Chọn A

Câu 11:

\int_{1}^{2} f (x) d x = 2

\int_{1}^{2} g (x) d x = 6

. Khi đó

\int_{1}^{2} [f (x) - g (x)] d x

A. -4.

B. 8.

C. 4.

D. -8.

Xem đáp án

Ta có:

\int_{1}^{2} [f (x) - g (x)] d x = \int_{1}^{2} f (x) d x - \int_{1}^{2} g (x) d x = 2 - 6 = - 4

Chọn A

Câu 12:

Cho hai hàm số f(x), g(x), xác định và liên tục trên đoạn . $[a; b]$ Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A.

\int_{a}^{b} (f (x) + g (x)) d x = \int_{b}^{a} f (x) d x + \int_{a}^{b} g (x) d x

.

B.

\int_{a}^{b} (f (x) + g (x)) d x = \int_{a}^{b} f (x) d x - \int_{a}^{b} g (x) d x

.

C.

\int_{a}^{b} (f (x) + g (x)) d x = \int_{a}^{b} f (x) d x + \int_{b}^{a} g (x) d x

.

D.

\int_{a}^{b} (f (x) + g (x)) d x = \int_{a}^{b} f (x) d x - \int_{b}^{a} g (x) d x

.

Xem đáp án

Theo tính chất của tích phân ta có:

\int_{a}^{b} (f (x) + g (x)) d x = \int_{a}^{b} f (x) d x + \int_{a}^{b} g (x) d x

Chọn D

Câu 13:

\int_{1}^{3} f (x) d x = - 2

. Tính

\int_{1}^{3} 5 f (x) d x

A.

- \frac{2}{5}

.

B. 5.

C. 10.

D. -10.

Xem đáp án

Ta có

\int_{1}^{3} 5 f (x) d x = 5. \int_{1}^{3} f (x) d x = 5. (- 2) = - 10

Chọn D

Câu 14:

\int_{- 1}^{2} f (x) d x = 5

\int_{2}^{6} f (x) d x = - 3

. Tính

\int_{- 1}^{6} f (x) d x

Trong không gian Oxyz, cho điểm

A. 2.

B. 1.

C. 8.

D. -8.

Xem đáp án

Ta có

\int_{- 1}^{6} f (x) d x = \int_{- 1}^{2} f (x) d x + \int_{2}^{6} f (x) d x = 5 - 3 = 2

Chọn A

Câu 15:

Trong không gian Oxyz, cho $\vec{u} = - \vec{i} + 2 \vec{j} - 3 \vec{k} .$ Tọa độ của $\vec{u}$ là:

A.

(1; 3; 2)

.

B.

(- 1; 2; - 3)

.

C.

(- 1; 3; 2)

.

D.

(1; 2; 3)

.

Xem đáp án

Ta có:

\vec{u} = - \vec{i} + 2 \vec{j} - 3 \vec{k} \Leftrightarrow \vec{u} (- 1; 2; - 3)

Chọn B

Câu 16:

A (1; 2; - 3)

. Hình chiếu vuông góc của điểm A trên trục Oy là điểm nào dưới đây?

A.

Q (0; 2; - 3)

.

B.

P (1; 2; 0)

.

C.

N (1; 0; - 3)

.

D.

M (0; 2; 0)

.

Xem đáp án

Hình chiếu vuông góc của điểm

A (1; 2; - 3)

lên trục Oy là điểm

M (0; 2; 0)

.

Chọn D

Câu 17:

Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu

(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + 4 y + 4 z - 7 = 0

. Tọa độ tâm và bán kính của (S) là

A.

I (1; - 2; - 2)

và

R = 8

.

B.

I (- 1; 2; 2)

và

R = \sqrt{7}

.

C.

I (1; - 2; - 2)

và

R = 4

.

D.

I (1; - 2; - 2)

và

R = \sqrt{2}

.

Xem đáp án

Chọn C

Phương trình mặt cầu đa cho có dạng: $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 a x - 2 b y - 2 c z + d = 0 (a^{2} + b^{2} + c^{2} > d)$
$\Rightarrow a = 1, b = - 2, c = - 2, d = - 7$
Vậy tâm mặt cầu là $I (1; - 2; - 2)$ và bán kính mặt cầu $R = \sqrt{1 + 4 + 4 + 7} = 4$ .

Câu 18:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai điểm

A (1; 2; - 3)

B (3; 1; 0)

. Phương trình mặt phẳng

(α)

đi qua điểm

A (1; 2; - 3)

và có véc tơ pháp tuyến

\vec{A B}

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng

A.

2 x - y + 3 z - 4 = 0

.

B.

x - 2 y - 4 = 0

.

C.

2 x - y + 3 z + 4 = 0

.

D.

2 x - y + 3 z + 9 = 0

.

Xem đáp án

Ta có: $\vec{A B} = (2; - 1; 3)$
Mặt phẳng $(α)$ đi qua điểm $A (1; 2; - 3)$ , véc tơ pháp tuyến $\vec{n} = \vec{A B} = (2; - 1; 3)$ có phương trình là

$2 (x - 1) - 1 (y - 2) + 3 (z + 3) = 0 \Leftrightarrow 2 x - y + 3 z + 9 = 0$
Chọn D

Câu 19:

(α) : x + y + 2 z + 2 = 0

. Mặt phẳng nào dưới đây song song với mặt phẳng

(α)

?

A.

(P) : x - y + 2 z - 2 = 0

.

B.

(R) : x + y - 2 z + 1 = 0

.

C.

(Q) : x + y - 2 z - 2 = 0

.

D.

(S) : x + y + 2 z - 1 = 0

.

Xem đáp án

Vì

\frac{1}{1} = \frac{1}{1} = \frac{2}{2} \neq \frac{2}{- 1}

nên mặt phẳng

(α)

song song với mặt phẳng (S).

Chọn D

Câu 20:

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng đi qua ba điểm

A (1; 0; 0), B (0; 3; 0), C (0; 0; 2)

có phương trình là

A.

\frac{x}{1} + \frac{y}{3} + \frac{z}{- 2} = 1

.

B.

\frac{x}{1} + \frac{y}{3} + \frac{z}{2} = - 1

.

C.

\frac{x}{1} + \frac{y}{3} + \frac{z}{- 2} = - 1

.

D.

\frac{x}{1} + \frac{y}{3} + \frac{z}{2} = 1

.

Xem đáp án

Chọn D

Phương trình mặt chắn đi qua ba điểm

A (a; 0; 0), B (0; b; 0), C (0; 0; c) (a, b, c \neq 0)

là

\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1

.

Câu 21:

f (x) = \cos 2 x

A.

2 \sin 2 x + C

.

B.

- \sin 2 x + C

.

C.

\frac{- 1}{2} \sin 2 x + C

.

D.

\frac{1}{2} \sin 2 x + C

.

Xem đáp án

Chọn D

Ta có

\int \cos 2 x d x = \frac{1}{2} \sin 2 x + C

Câu 22:

Cho hàm số f(x) có $f^{'} (x) = \sin 2 x$ và $f (0) = 1$ .Khi đó $f (\frac{π}{4})$ bằng

A. 1.

B.

\frac{1}{2}

.

C.

\frac{3}{2}

.

D.

\frac{4}{3}

.

Xem đáp án

Chọn C

Ta có

\int_{a}^{b} f^{'} (x) d x = f (b) - f (a)

nên

\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin 2 x d x = - \frac{1}{2} {cos 2 x|}_{0}^{\frac{π}{4}} = \frac{1}{2} = f (\frac{π}{4}) - f (0)

Mà

f (0) = 1

suy ra

f (\frac{π}{4}) = \frac{3}{2}

Câu 23:

f (x) = \cos x - 2 x

A.

- \sin x - 2 + C

.

B.

- \sin x - x^{2} + C

.

C.

\sin x - 2 x^{2} + C

.

D.

\sin x - x^{2} + C

.

Xem đáp án

Chọn D

Ta có:

\int (\cos x - 2 x) d x = \sin x - 2. \frac{x^{2}}{2} + C = \sin x - x^{2} + C

.

Câu 24:

f (x) = x - 1 + \frac{2}{x^{2}}

Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A.

\frac{x^{2}}{2} - x + \frac{2}{x} + C

.

B.

\frac{x^{2}}{2} - x - \frac{2}{x} + C

.

C.

\frac{x^{2}}{2} - x + \frac{2}{3 x^{3}} + C

.

D.

\frac{x^{2}}{2} - x + \frac{2}{x^{3}} + C

.

Xem đáp án

Ta có

\int (x - 1 + \frac{2}{x^{2}}) d x = \int x d x - \int d x + 2 \int \frac{1}{x^{2}} d x = \frac{x^{2}}{2} - x - \frac{2}{x} + C

.

Chọn B

Câu 25:

A.

\int 2 x \ln (x - 1) d x = x^{2} \ln (x - 1) - \int (x + 1) d x

.

B.

\int 2 x \ln (x - 1) d x = x \ln (x - 1) - \int (x - 1) d x

.

C.

\int 2 x \ln (x - 1) d x = (x^{2} - 1) \ln (x - 1) + \int (x + 1) d x

.

D.

\int 2 x \ln (x - 1) d x = (x^{2} - 1) \ln (x - 1) - \int (x + 1) d x

.

Xem đáp án

Chọn D

Áp dụng công thức nguyên hàm từng phần:

\int u d v = u v - \int v d u

.
Đặt:

\{\begin{cases} u = \ln (x - 1) \\ d v = 2 x d x \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = \frac{d x}{x - 1} \\ v = x^{2} - 1 \end{cases}

.

\Rightarrow \int 2 x \ln (x - 1) d x = (x^{2} - 1) \ln (x - 1) - \int (x + 1) d x

.

Câu 26:

Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) liên tục trên đoạn

[- 1; 3]

và thỏa mãn

f (- 1) = - 2, f (3) = 5

. Giá trị của

I = \int_{- 1}^{3} f^{'} (x) d x

A.

I = - 7

.

B.

I = 4

.

C.

I = 3

.

D.

I = 7

.

Xem đáp án

Chọn D

$I = \int_{- 1}^{3} f^{'} (x) d x = f (3) - f (- 1) = 5 + 2 = 7$

Câu 27:

là một nguyên hàm của hàm số

F (x) = \frac{\ln x}{x}

f (x)

trên khoảng

(0; + \infty)

. Giá trị của

I = \int_{1}^{e} [\frac{1}{e} - 2 f (x)] d x

Cho hàm số f(x) liên tục trên R có

A.

I = \frac{1}{e^{2}} + \frac{3}{e}

.

B.

I = 1 - \frac{1}{e} - e^{2}

.

C.

I = \frac{1}{e^{2}} - \frac{3}{e}

.

D.

I = 1 - \frac{3}{e}

.

Xem đáp án

Chọn D

$I = \int_{1}^{e} [\frac{1}{e} - 2 f (x)] d x = \int_{1}^{e} \frac{1}{e} d x - 2 \int_{1}^{e} f (x) d x = \frac{1}{e} (e - 1) - 2 {\frac{\ln x}{x}|}_{1}^{e} = 1 - \frac{3}{e}$

Câu 28:

\int_{1}^{2} f (x) d x = 2

là hàm số bậc nhất liên tục trên R. Biết

\int_{1}^{5} f (x) d x = 6

. Khi đó

\int_{2}^{5} f (x) d x

bằng?

A. -4.

B. 1.

C. 8.

D. 4.

Xem đáp án

Ta có

\int_{1}^{5} f (x) d x = \int_{1}^{2} f (x) d x + \int_{2}^{5} f (x) d x

.

\Rightarrow \int_{2}^{5} f (x) d x = \int_{1}^{5} f (x) d x - \int_{1}^{2} f (x) d x = 6 - 2 = 4

.
Vậy

\int_{2}^{5} f (x) d x = 4

.

Chọn D

Câu 29:

Cho hàm số

y = f (x)

\int_{1}^{2} f (x) d x = 2

với a, b là các số hữu tỷ. Khẳng định nào sau đây là đúng?

\int_{0}^{4} f (x) d x = 4

. Tính

\int_{- 1}^{2} f (f (2 x - 1)) d x

?

A. 15.

B. 0.

C. 6.

D. -15.

Xem đáp án

Chọn D

Ta có

y = f (x)

là hàm số bậc nhất vậy phương trình hàm số

y = f (x)

có dạng:

f (x) = m x + n (m \neq 0)

.
Mà

\int_{1}^{2} f (x) d x = 2 \Rightarrow \int_{1}^{2} (m x + n) d x = 2 \Rightarrow {(\frac{1}{2} m x^{2} + n x)|}_{1}^{2} = 2

.

\Rightarrow (2 m + 2 n) - (\frac{1}{2} m + n) = 2 \Rightarrow \frac{3}{2} m + n = 2

.

\int_{0}^{4} f (x) d x = 4 \Rightarrow \int_{0}^{4} (m x + n) d x = 4 \Rightarrow {(\frac{1}{2} m x^{2} + n x)|}_{0}^{4} = 4 \Rightarrow 8 m + 4 n = 4

.
Vậy

\{\begin{cases} 8 m + 4 n = 4 \\ \frac{3}{2} m + n = 2 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} m = - 2 \\ n = 5 \end{cases} f (x) = - 2 x + 5

.
Khi đó

f (2 x - 1) = - 2 (2 x - 1) + 5 = - 4 x + 7 \Rightarrow f (f (2 x - 1)) = - 2 (- 4 x + 7) + 5 = 8 x - 9

.
Nên

\int_{- 1}^{2} f (f (2 x - 1)) d x = \int_{- 1}^{2} (8 x - 9) d x \Rightarrow {(4 x^{2} - 9 x)|}_{- 1}^{2} = - 15

.

Câu 30:

Cho hàm số

f (x)

liên tục trên R và

\int_{1}^{3} \frac{x f (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} d x = 2.

Tính

I = \int_{2}^{10} \frac{f (x)}{x} d x .

A. 1.

B.

\frac{1}{2}

.

C. 2.

D. 4.

Xem đáp án

Đặt

t = x^{2} + 1 \Rightarrow d t = 2 x d x \Rightarrow x d x = \frac{1}{2} d t .

Đổi cận:

x = 1 \Rightarrow t = 2, x = 3 \Rightarrow t = 10.

Khi đó

\frac{1}{2} \int_{2}^{10} \frac{f (t)}{t} d t = 2 \Rightarrow \frac{1}{2} \int_{2}^{10} \frac{f (x)}{x} d x = 2 \Leftrightarrow I = 4.

Chọn D

Câu 31:

Kết quả của tích phân

I = \int_{1}^{3} (x + 1) e^{x} d x

được viết dưới dạng

I = a e^{3} + b e

A.

a + b = 1

.

B. .

a^{2} + b^{2} = 8

C.

a - b = 2

.

D.

a b = - 3

.

Xem đáp án

Chọn D

Đặt

\{\begin{cases} u = x + 1 \\ d v = e^{x} d x \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = d x \\ v = e^{x} \end{cases} .

Khi đó

I = {(x + 1) e^{x}|}_{1}^{3} - \int_{1}^{3} e^{x} d x = {(x + 1) e^{x}|}_{1}^{3} - {e^{x}|}_{1}^{3} = 3 e^{3} - e .

Suy ra

\{\begin{cases} a = 3 \\ b = - 1 \end{cases} .

Vậy

a b = - 3.

Câu 32:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm

A (1; 2; - 1)

B (2; - 1; 3)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho

C (- 2; 3; 3)

. Điểm

M (a; b; c)

thỏa mãn

\vec{A B} = \vec{M C}

. Khi đó

P = a^{2} + b^{2} - c^{2}

có giá trị bằng

A. 45.

B. 42.

C. 44.

D. 43.

Xem đáp án

Ta có:

\vec{A B} = (1; - 3; 4)

,

\vec{M C} = (- 2 - a; 3 - b; 3 - c)

.
Khi đó

\vec{A B} = \vec{M C} \Leftrightarrow \{\begin{cases} - 2 - a = 1 \\ 3 - b = - 3 \\ 3 - c = 4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = - 3 \\ b = 6 \\ c = - 1 \end{cases}

\Rightarrow P = a^{2} + b^{2} - c^{2} = {(- 3)}^{2} + 6^{2} - {(- 1)}^{2} = 44

.

Chọn C

Câu 33:

A (2; 4; 1)

. Phương trình mặt cầu đường kính AB là

B (- 8; 2; 1)

A.

{(x + 3)}^{2} + {(y - 3)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 26

.

B.

{(x - 3)}^{2} + {(y + 3)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 26

.

C.

{(x + 3)}^{2} + {(y - 3)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 52

.

D.

{(x - 3)}^{2} + {(y + 3)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 52

.

Xem đáp án

Gọi I là trung điểm của AB

\Rightarrow I (- 3; 3; 1)

là tâm của mặt cầu cần tìm.
Bán kính

R = I A = \sqrt{{(2 + 3)}^{2} + {(4 - 3)}^{2} + {(1 - 1)}^{2}} = \sqrt{26}

.

Phương trình mặt cầu đường kính AB là

{(x + 3)}^{2} + {(y - 3)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 26

Chọn A

Câu 34:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm

A (2; 1; 2)

. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình là

B (- 2; 5; - 4)

A.

2 x + 2 y - 3 z + 9 = 0

.

B.

2 x - 2 y + 3 z + 9 = 0

.

C.

4 x - 4 y - 6 z + 9 = 0

.

D.

2 x - 2 y + 3 z - 9 = 0

.

Xem đáp án

Chọn B

Gọi I là trung điểm đoạn thẳng

A B \Rightarrow I (0; 3; - 1)

.
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB đi qua trung điểm

I (0; 3; - 1)

và nhận

\vec{A B} = (- 4; 4; - 6)

làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là

- 4 (x - 0) + 4 (y - 3) - 6 (z + 1) = 0

hay

2 x - 2 y + 3 z + 9 = 0

.

Câu 35:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, khoảng cách từ điểm

M (- 3; 3; 4)

đến mặt phẳng

(α) : 2 x - 2 y - z - 2 = 0

có đạo hàm liên tục trên R thỏa

A. 4.

B. 6.

C.

\frac{2}{3}

.

D. 2.

Xem đáp án

Chọn B

Ta có:

d (M, (α)) = \frac{|2. (- 3) - 2.3 - 4 - 2|}{\sqrt{2^{2} + {(- 2)}^{2} + {(- 1)}^{2}}} = 6

.

Câu 36:

Cho hàm số

y = f (x)

f (10) = 0

f (4) = - 1

và

\int_{1}^{3} f (3 x + 1) d x = 2

. Tính tích phân

I = \int_{4}^{10} x f^{'} (x) d x

Cho hình nón đỉnh S có chiều cao h = 5a, bán kính đáy r = 7a. Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón và có khoảng cách từ tâm O của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là 4a. Tính diện tích của thiết diện đó.

Xem đáp án

Đặt

t = 3 x + 1 \Rightarrow d t = 3 d x

.
Đổi cận:

x = 1 \Rightarrow t = 4; x = 3 \Rightarrow t = 10

.
Khi đó:

\int_{1}^{3} f (3 x + 1) d x = \int_{4}^{10} \frac{1}{3} f (t) d t = 2 \Rightarrow \int_{4}^{10} f (t) d t = 6 \Rightarrow \int_{4}^{10} f (x) d x = 6

.
* Xét tích phân:

I = \int_{4}^{10} x f^{'} (x) d x

Đặt:

\{\begin{cases} u = x \\ d v = f^{'} (x) d x \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = d x \\ v = f (x) \end{cases}

Khi đó

I = {x f (x)|}_{4}^{10} - \int_{4}^{10} f (x) d x = 10. f (10) - 4. f (4) - 6 = - 2

.
* Vậy I = -2

Câu 37:

Xem đáp án

Giả sử thiết diện SAB đi qua đỉnh S cắt đường tròn đáy tại A và B (như hình vẽ).
Gọi I là trung điểm của dây cung AB. Từ tâm O của đáy vẽ

O K ⊥ S I

thì

O K ⊥ (S A B)

.
Theo bài ra ta có

A O = r = 7 a

;

S O = h = 5 a

;

O K = 4 a

.
Trong tam giác vuông SOI ta có:

\frac{1}{O K^{2}} = \frac{1}{O I^{2}} + \frac{1}{O S^{2}} \Rightarrow O I = \frac{O S . O K}{\sqrt{O S^{2} - O K^{2}}} = \frac{5 a . 4 a}{\sqrt{25 a^{2} - 16 a^{2}}} = \frac{20 a}{3} S I = \sqrt{S O^{2} + O I^{2}} = \sqrt{25 a^{2} + \frac{400 a^{2}}{9}} = \frac{25 a}{3}

Xét tam giác vuông OAI ta có:

A B = 2 A I = 2 \sqrt{A O^{2} - O I^{2}} = 2 \sqrt{49 a^{2} - \frac{400 a^{2}}{9}} = \frac{2 a \sqrt{41}}{3}

.
Vậy diện tích của thiết diện SAB là

S_{Δ S A B} = \frac{1}{2} . \frac{25 a}{3} . \frac{2 a \sqrt{41}}{3} = \frac{25 a^{2} \sqrt{41}}{9} .

Câu 38:

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên khoảng

(0; + \infty)

thỏa mãn điều kiện

f (2) = 5

x^{2} (6 - f^{'} (x)) = 2 (x . f (x) + 1), \forall x > 0.

Tính f(3).

Xem đáp án

Từ giả thiết, ta có:

x^{2} (6 - f^{'} (x)) = 2 (x f (x) + 1) \Leftrightarrow x^{2} f^{'} (x) + 2 x . f (x) = 6 x^{2} - 2

.
Suy ra

{[x^{2} f (x)]}^{'} = 6 x^{2} - 2 \Rightarrow x^{2} f (x) = \int (6 x^{2} - 2) d x \Rightarrow x^{2} f (x) = 2 x^{3} - 2 x + C

Lại có

f (2) = 5 \Rightarrow C = 8 \Rightarrow f (x) = 2 x - \frac{2}{x} + \frac{8}{x^{2}}

.
Vậy

f (3) = \frac{56}{9}

.

Câu 39:

Tính

\int e^{2 x} \sin 3 x d x