39 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Bộ 15 đề thi giữa kì 2 Toán 12 có đáp án năm 2022-2023 (Đề 3)

Câu 1:

A.

\int [f (x) + g (x)] d x = \int f (x) d x + \int g (x) d x

.

B. .

\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{c} f (x) d x + \int_{c}^{b} f (x) d x, a < c < b

C.

\int f (x) g (x) d x = \int f (x) d x . \int g (x) d x

.

D.

\int f^{'} (x) d x = f (x) + c

.

Xem đáp án

Chọn C
Theo lý thuyết SGK Giải tích 12 Cơ bản

Câu 2:

Tìm

\int 7^{x} d x

?

A.

\int 7^{x} d x = \frac{7^{x}}{\ln 7} + C

.

B.

\int 7^{x} d x = \frac{7^{x + 1}}{x + 1} + C

.

C.

\int 7^{x} d x = 7^{x} . \ln 7 + C

.

D.

\int 7^{x} d x = 7^{x} + C

.

Xem đáp án

Chọn A
Ta có

\int 7^{x} d x = \frac{7^{x}}{\ln 7} + C

.

Câu 3:

Tìm họ nguyên hàm của hàm số

f (x) = x^{2} - 3 x + \frac{1}{x}

.

A.

\int (x^{2} - 3 x + \frac{1}{x}) d x = x^{3} - 3 x^{2} + \ln x + C .

B.

\int (x^{2} - 3 x + \frac{1}{x}) d x = \frac{x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2} + \ln |x| + C

.

C.

\int (x^{2} - 3 x + \frac{1}{x}) d x = \frac{x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{1}{x^{2}} + C

.

D.

\int (x^{2} - 3 x + \frac{1}{x}) d x = \frac{x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2} - \ln |x| + C

.

Xem đáp án

Chọn B

\int (x^{2} - 3 x + \frac{1}{x}) d x = \frac{x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2} + \ln |x| + C

.

Câu 4:

Nếu

\int f (x) d x = e^{x} + \sin x + C

thì f(x) bằng

A.

e^{x} + \sin x

.

B.

e^{x} - \sin x

.

C.

e^{x} - \cos x

.

D.

e^{x} + \cos x

.

Xem đáp án

Chọn D
Ta có:

f (x) = {(e^{x} + \sin x + C)}^{'} = e^{x} + \cos x

.

Câu 5:

Tìm nguyên hàm của hàm số

f (x) = e^{3 x + 2}

A.

\int f (x) d x = \frac{1}{3} e^{3 x + 2} + C

.

B.

\int f (x) d x = e^{3 x + 2} + C

.

C.

\int f (x) d x = 3 e^{3 x + 2} + C

.

D.

\int f (x) d x = (3 x + 2) e^{3 x + 2} + C

.

Xem đáp án

Chọn A
Ta có

\int e^{3 x + 2} d x = \frac{1}{3} \int e^{3 x + 2} d (3 x + 2) = \frac{1}{3} e^{3 x + 2} + C

.

Câu 6:

Tính

\int (x - \sin 2 x) d x

A.

\frac{x^{2}}{2} + \sin x + C

.

B.

\frac{x^{2}}{2} + \cos 2 x + C

.

C.

x^{2} + \frac{1}{2} \cos 2 x + C

.

D.

\frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cos 2 x + C

.

Xem đáp án

Chọn D
Ta có

\int (x - \sin 2 x) d x = \int x d x - \int \sin 2 x d x = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cos 2 x + C

.

Câu 7:

Biết F(x) là nguyên hàm của hàm số

f (x) = 2 x - 3 \cos x

và

F (\frac{π}{2}) = 3

. Tìm F(x).

A.

F (x) = x^{2} - 3 \sin x + 6 + \frac{π^{2}}{4}

.

B.

F (x) = x^{2} - 3 \sin x - \frac{π^{2}}{4}

.

C.

F (x) = x^{2} - 3 \sin x + \frac{π^{2}}{4}

.

D.

F (x) = x^{2} - 3 \sin x + 6 - \frac{π^{2}}{4}

.

Xem đáp án

Chọn D

F (x) = \int f (x) d x = \int (2 x - 3 \cos x) d x = x^{2} - 3 \sin x + C

.

F (\frac{π}{2}) = 3 \Leftrightarrow \frac{π^{2}}{4} - 3 \sin \frac{π}{2} + C = 3 \Leftrightarrow C = 6 - \frac{π^{2}}{4}

.

Câu 8:

Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số

f (x) = \frac{1}{e^{x} + 1}

thỏa mãn

F (0) = - \ln 2

. Tìm tập nghiệm S của phương trình

F (x) + \ln (e^{x} + 1) = 3

A.

S = \{\pm 3\}

.

B.

S = \{3\}

.

C.

S = \emptyset

.

D.

S = \{- 3\}

Xem đáp án

Chọn B

\int \frac{1}{e^{x} + 1} d x

. Đặt

t = e^{x} + 1 \Rightarrow \{\begin{cases} d t = e^{x} d x \\ e^{x} = t - 1 \end{cases}

.
Ta được:

\int \frac{1}{e^{x} + 1} d x = \int \frac{e^{x}}{e^{x} (e^{x} + 1)} d x = \int \frac{d t}{t (t - 1)} = \int (\frac{1}{t - 1} - \frac{1}{t}) d t = \ln |t - 1| - \ln |t| + C = \ln |\frac{t - 1}{t}| + C = \ln |\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}| + C

.
Mà:

F (0) = - \ln 2 \Rightarrow \ln |\frac{e^{0}}{e^{0} + 1}| + C = - \ln 2 \Rightarrow C = 0

.
Vậy:

F (x) = \ln \frac{e^{x}}{e^{x} + 1}

.
Giải pt:

F (x) + \ln (e^{x} + 1) = 3 \Leftrightarrow \ln \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} + \ln (e^{x} + 1) = 3 \Leftrightarrow \ln e^{x} = 3 \Leftrightarrow x = 3

.

Câu 9:

Giá trị của tích phân

\int_{1}^{2} (3 x^{2} - 2 x + 3) d x

bằng

A. 9.

B. 8.

C. 7.

D. 6.

Xem đáp án

Chọn C

\int_{1}^{2} (3 x^{2} - 2 x + 3) d x = {[x^{3} - x^{2} + 3 x]}_{1}^{2} = 10 - 3 = 7

Câu 10:

Giá trị của tích phân

\int_{0}^{\frac{π}{3}} (1 + \tan^{2} x) d x

bằng

A.

- \sqrt{3}

.

B.

\frac{\sqrt{3}}{3}

.

C.

\sqrt{3}

.

D. 1.

Xem đáp án

Chọn C

\int_{0}^{\frac{π}{3}} (1 + \tan^{2} x) d x = \int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{\cos^{2} x} d x = {[\tan x]}_{0}^{\frac{π}{3}} = \sqrt{3} - 0 = \sqrt{3}

Câu 11:

Giả sử

\int_{1}^{2} \frac{d x}{2 x - 1} = \frac{1}{2} \ln c

. Giá trị đúng của c là

A. 1.

B. 3.

C. 8.

D. 9.

Xem đáp án

Chọn B

\int_{1}^{2} \frac{d x}{2 x - 1} = \frac{1}{2} {[|\ln (2 x - 1)|]}_{1}^{2} = \frac{1}{2} [\ln 3] \Rightarrow c = 3

.

Câu 12:

Một chiếc ôtô chuyển động với vận tốc

v (t) = 2 + \frac{t^{2} - 4}{t + 4} (m / s)

. Quãng đường ôtô đó đi được trong giây đầu tiên là (kết quả làm tròn đến hàng trăm)

A. 8,23m.

B. 8,31m.

C. 8,24m.

D. 8, 32m.

Xem đáp án

Chọn D
Gọi S là quãng đường ôtô đi được trong 4 giây đầu tiên
Ta có:

S = \int_{0}^{4} v (t) d t = \int_{0}^{4} (2 + \frac{t^{2} - 4}{t + 4}) d t = \int_{0}^{4} (t - 2 + \frac{12}{t + 4}) d t = {[\frac{t^{2}}{2} - 2 t + 12 \ln |t + 4|]}_{0}^{4} = 12 \ln 2 \approx 8, 32 m

Câu 13:

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số

y = f (x)

liên tục, trục hoành và hai đường thẳng

x = a, x = b

được tính theo công thức:

A.

S = \int_{a}^{b} |f (x)| d x

.

B.

S = \int_{a}^{b} f (x) d x

.

C.

S = \int_{a}^{0} f (x) d x + \int_{0}^{b} f (x) d x

.

D.

S = \int_{a}^{0} f (x) d x - \int_{0}^{b} f (x) d x

.

Xem đáp án

Chọn A

Câu 14:

Hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường

y = x^{2}

,

y = 2 x + 3

và hai đường x = 0, x = 2. Công thức nào sau đây tính diện tích hình phẳng (H)?

A.

S = \int_{0}^{2} (x^{2} - 2 x - 3) d x

.

B.

S = \int_{0}^{2} |x^{2} - 2 x - 3| d x

.

C.

S = \int_{0}^{2} |x^{2} - 2 x + 3| d x

.

D.

S = \int_{0}^{2} |x^{2} + 2 x + 3| d x

.

Xem đáp án

Chọn B
Áp dụng lý thuyết: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị:

(C_{1}) : y = f (x)

,

(C_{2}) : y = g (x)

và hai đường thẳng

x = a, x = b

được xác định bởi công thức:

S = \int_{a}^{b} |f (x) - g (x)| d x

.
Khi đó diện tích hình phẳng H =

\int_{0}^{2} |x^{2} - 2 x - 3| d x

.

Câu 15:

Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường

y = x \ln x, y = 0, x = e

quay xung quanh trục Ox tạo thành khối tròn xoay có thể tích bằng

\frac{π}{a} (b e^{3} - 2)

. Tìm a và b

A.

a = 27; b = 5

.

B.

a = 26; b = 6

.

C.

a = 24; b = 5

.

D.

a = 27; b = 6

Xem đáp án

Chọn A
Xét phương trình:

x \ln x = 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} x > 0 \\ x = 1 \end{cases} \to x = 1

.
Áp dụng công thức trên ta có:

V = π \int_{1}^{e} (x \ln x) d x = \frac{1}{3} x^{3} \ln^{3} x |\underset{1}{\overset{e}{}} - \frac{2}{3} \int_{1}^{e} x^{2} \ln x d x = \frac{1}{3} e^{3} - (\frac{2}{3} e^{3} + \frac{1}{9}) = (5 e^{3} - 2) \frac{π}{27}

.
Do đó

a = 27, b = 5

.
Khi đó diện tích hình phẳng phần gạch chéo là

S = 2. S_{1} = \frac{20}{3}

.

Câu 16:

Có một vật thể là hình tròn xoay có dạng giống như một cái ly như hình vẽ dưới đây:

Người ta đo được đường kính của miệng ly là 4cm và chiều cao là 6cm. Biết rằng thiết diện của chiếc ly cắt bởi mặt phẳng qua trục đối xứng là một Parabol. Tính thể tích của vật thể đã cho

A.

V = \frac{72 π}{5}

.

B.

V = 12

.

C.

V = 12 π

.

D.

V = \frac{72}{5}

Xem đáp án

Chọn C

Thể tích của vật là thể tích khối tròn xoay khi quay hình (H) giới hạn bởi các đường

x = \sqrt{\frac{2 y + 12}{3}}, x = 0, y = - 6, y = 0

quanh trục tung.
Khi đó

V = π \int_{- 6}^{0} \frac{2 y + 12}{3} d y = π {(\frac{1}{3} y^{2} + 4 y)|}_{- 6}^{0} = 12 π

.

Câu 17:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm

A (3; - 2; 3)

và

B (- 1; 2; 5)

. Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB.

A.

I (- 2; 2; 1)

.

B.

I (1; 0; 4)

.

C.

I (2; 0; 8)

.

D.

I (2; - 2; - 1)

.

Xem đáp án

Chọn B
Tọa độ trung điểm I của đoạn AB với

A (3; - 2; 3)

và

B (- 1; 2; 5)

được tính bởi

\{\begin{cases} x_{I} = \frac{x_{A} + x_{B}}{2} = 1 \\ y_{I} = \frac{y_{A} + y_{B}}{2} = 0 \\ z_{I} = \frac{z_{A} + z_{B}}{2} = 4 \end{cases} \Rightarrow I (1; 0; 4)

Câu 18:

Tích vô hướng của hai vectơ

\vec{a} = (- 2; 2; 5), \vec{b} = (0; 1; 2)

trong không gian bằng:

A. 10.

B. 12.

C. 13.

D. 14.

Xem đáp án

Chọn B

\vec{a} . \vec{b} = - 2.0 + 2.1 + 5.2 = 12

.

Câu 19:

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho các véctơ

\vec{a} = (1; 2; - 1)

,

\vec{b} = (0; 4; 3)

,

\vec{c} = (- 2; 1; 4)

. Gọi

\vec{u} = 2 \vec{a} - 3 \vec{b} + 5 \vec{c}

. Tìm toạ độ

\vec{u}

.

A.

(- 8; - 3; 9)

.

B.

(- 9; 5; 10)

.

C.

(- 8; 21; 27)

.

D.

(12; - 13; - 31)

.

Xem đáp án

Chọn A

\begin{array}{l} 2 \vec{a} = (2; 4; - 2) \\ - 3 \vec{b} = (0; - 12; - 9) \\ 5 \vec{c} = (- 10; 5; 20) \end{array}\} \Rightarrow \vec{u} = 2 \vec{a} - 3 \vec{b} + 5 \vec{c} = (- 8; - 3; 9)

.

Câu 20:

Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC với

A (2; - 1; 2); B (3; 0; 1)

và tọa độ trọng tâm của tam giác là

G (- 4; 1; - 1)

. Tọa độ đỉnh C là

A.

C (- 17; 4; - 6)

.

B.

C (17; - 4; 6)

.

C.

C (- 4; 17; 6)

.

D.

C (4; 1; 5)

.

Xem đáp án

Chọn D
Ta có:

G (- 4; 1; - 1)

là trọng tâm của tam giác ABC

\Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 x_{G} = x_{A} + x_{B} + x_{C} \\ 3 y_{G} = y_{A} + y_{B} + y_{C} \\ 3 z_{G} = z_{A} + z_{B} + z_{C} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3. (- 4) = 2 + 3 + x_{C} \\ 3.1 = - 1_{A} + 0 + y_{C} \\ 3. (- 1) = 2 + 1 + z_{C} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{C} = - 17 \\ y_{C} = 4 \\ z_{C} = - 6 \end{cases}

.
Vậy

C (- 17; 4; - 6)

.

Câu 21:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm

A (1; 2; 1), B (2; - 1; 2)

. Điểm M trên trục Ox và cách đều hai điểm A, B có tọa độ là

A.

M (\frac{1}{2}; \frac{1}{2}; \frac{3}{2})

.

B.

M (\frac{1}{2}; 0; 0)

.

C.

M (\frac{3}{2}; 0; 0)

.

D.

M (0; \frac{1}{2}; \frac{3}{2})

.

Xem đáp án

Chọn C

M \in O x \Rightarrow M (a; 0; 0)

.
M cách đều hai điểm A, B nên

M A^{2} = M B^{2} \Leftrightarrow {(1 - a)}^{2} + 2^{2} + 1^{2} = {(2 - a)}^{2} + 2^{2} + 1^{2}

.

\Leftrightarrow 2 a = 3 \Leftrightarrow a = \frac{3}{2}

.

Câu 22:

Trong không gian Oxyz cho hai véctơ

\vec{a} = (- 2; - 1; 3)

,

\vec{b} = (- 1; - 4; 5)

. Tích có hướng của hai véctơ

\vec{a}

và

\vec{b}

là

A.

(1; - 1; 6)

.

B.

(1; 2; 3)

.

C.

(7; 7; 7)

.

D.

(0; 0; 2)

.

Xem đáp án

Chọn C
Ta có:

\vec{a} = (- 2; - 1; 3)

;

\vec{b} = (- 1; - 4; 5)

.
Do đó:

[\vec{a}, \vec{b}] = (7; 7; 7)

.

Câu 23:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba vectơ

\vec{a} = (3; - 1; - 2); \vec{b} = (1; 2; m); \vec{c} = (5; 1; 7)

. Giá trị của m để

\vec{c} = [\vec{a}, \vec{b}]

là

A. -1.

B. 0.

C. 1.

D. 2.

Xem đáp án

Chọn A
Ta có

[\vec{a}, \vec{b}] = (- m + 4, - 3 m - 2, 7)

. Để

\vec{c} = [\vec{a}, \vec{b}]

thì

\{\begin{cases} - m + 4 = 5 \\ - 3 m - 2 = 1 \end{cases} \Leftrightarrow m = - 1

.

Câu 24:

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm

A (- 2; 2; 1), B (1; 0; 2)

và

C (- 1; 2; 3)

. Diện tích tam giác ABC là

A.

\frac{3 \sqrt{5}}{2}

.

B.

3 \sqrt{5}

.

C.

4 \sqrt{5}

.

D.

\frac{5}{2}

.

Xem đáp án

Chọn A
Có

\vec{A B} = (3; - 2; 1); \vec{A C} = (1; 0; 2)

.

[\vec{A B}, \vec{A C}] = (- 4; - 5; 2)

.

S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} . |[\vec{A B}, \vec{A C}]| = \frac{1}{2} \sqrt{{(- 4)}^{2} + {(- 5)}^{2} + 2^{2}} = \frac{3 \sqrt{5}}{2}

.
Vậy

S_{Δ A B C} = \frac{3 \sqrt{5}}{2}

.

Câu 25:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có

A (1; 6; 2)

,

B (4; 0; 6)

,

C (5; 0; 4)

và

D (5; 1; 3)

. Tính thể tích V của tứ diện ABCD.

A.

V = \frac{1}{3}

.

B.

V = \frac{3}{7}

.

C.

V = \frac{2}{3}

.

D.

V = \frac{3}{5}

.

Xem đáp án

Chọn C
Ta có:

\vec{A B} = (3; - 6; 4), \vec{A C} = (4; - 6; 2), \vec{A D} = (4; - 5; 1)

.
Suy ra

[\vec{A B}, \vec{A C}] = (12; 10; 6) \Rightarrow [\vec{A B}, \vec{A C}] . \vec{A D} = 12.4 + 10. (- 5) + 6 = 4

.
Vậy

V = \frac{1}{6} |[\vec{A B}, \vec{A C}] . \vec{A D}| = \frac{2}{3}

.

Câu 26:

Cho

Δ A B C

có 3 đỉnh

A (m; 0; 0), B (2; 1; 2), C (0; 2; 1) .

Để

S_{Δ A B C} = \frac{\sqrt{35}}{2}

thì:

A.

m = 1

.

B.

m = 2

.

C.

m = 3

.

D.

m = 4

.

Xem đáp án

Chọn C
Ta có

S_{A B C} = \frac{1}{2} |[\vec{A B}, \vec{A C}]|

. Do đó ta sẽ đi tìm

\vec{A B} = (2 - m; 1; 2)

;

\vec{A C} = (- m; 2; 1)

.
Mà

[\vec{A B}, \vec{A C}] = (- 3; - m - 2; - m + 4)

.
Khi đó

S_{A B C} = \frac{1}{2} |[\vec{A B}, \vec{A C}]| = \frac{1}{2} . \sqrt{9 + {(- m - 2)}^{2} + {(- m + 4)}^{2}} = \frac{\sqrt{35}}{2}

.

\Leftrightarrow 2 m^{2} - 4 m + 29 = 35 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 3 \\ m = - 1 \end{array}

.

Câu 27:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu có phương trình:

x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + 4 y - 6 z + 9 = 0.

Mặt cầu có tâm I và bán kính R là:

A.

I (- 1; 2; - 3) v à R = \sqrt{5}

.

B.

I (1; - 2; 3) v à R = \sqrt{5}

.

C.

I (1; - 2; 3) v à R = 5

.

D.

I (- 1; 2; - 3) v à R = 5

.

Xem đáp án

Chọn B
Tâm

I (1; - 2; 3); R = \sqrt{1 + 4 + 9 - 9} = \sqrt{5} .

Câu 28:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt cầu có đường kính AB với

A (1; ​ 3; - 4)

và

A (1; ​ - 1; 0)

có phương trình là

A.

{(x - 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 8

.

B.

{(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 4

.

C.

{(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 8

.

D.

{(x - 1)}^{2} + y^{2} + {(z + 1)}^{2} = 9

.

Xem đáp án

Chọn C
Tâm là trung điểm của đường kính

A B \Rightarrow I (1; 1; - 2)

, bán kính mặt cầu là

R = I B = 2 \sqrt{2}

nên phương trình mặt cầu (S):

{(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 8

.

Câu 29:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho

I (1; 0; - 1); A (2; 2; - 3)

. Mặt cầu (S) tâm I và đi qua điểm A có phương trình là

A.

{(x + 1)}^{2} + y^{2} + {(z - 1)}^{2} = 3

.

B.

{(x - 1)}^{2} + y^{2} + {(z + 1)}^{2} = 3

.

C.

{(x + 1)}^{2} + y^{2} + {(z - 1)}^{2} = 9

.

D.

{(x - 1)}^{2} + y^{2} + {(z + 1)}^{2} = 9

.

Xem đáp án

Chọn D
Bán kính mặt cầu

R = I A = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3.

Câu 30:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt cầu (S) có tâm

I (- 1; 4; 2)

và có thể tích

V = 972 π

. Khi đó phương trình của mặt cầu (S) là:

A.

{(x + 1)}^{2} + {(y - 4)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 81

B.

{(x + 1)}^{2} + {(y - 4)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 9

C.

{(x - 1)}^{2} + {(y + 4)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 9

D.

{(x - 1)}^{2} + {(y + 4)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 81

Xem đáp án

Chọn A
Gọi

R > 0

là bán kính mặt cầu (S).
Ta có

V = \frac{4}{3} π R^{3} = 972 π \Leftrightarrow R^{3} = 729 \Leftrightarrow R = 9

.

Câu 31:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt cầu đi qua bốn điểm

A (6; - 2; 3)

,

B (0; 1; 6)

,

C (2; 0; - 1)

và

D (4; 1; 0)

có phương trình là:

A.

x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x + 2 y - 6 z + 3 = 0

.

B.

x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4 x + 4 y - 6 z - 3 = 0

.

C.

x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x + 2 y + 6 z - 3 = 0

.

D.

x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x + 2 y - 6 z - 3 = 0

.

Xem đáp án

Chọn D
Gọi mặt cầu (S) cần tìm có dạng là

x^{2} + y^{2} + z^{2} + a x + b y + c z + d = 0

.
Vì

A, B, C, D \in (S)

nên ta có hệ phương trình:

\{\begin{cases} 49 + 6 a - 2 b + 3 c + d = 0 (1) \\ 37 + 0. a + b + 6 c + d = 0 (2) \\ 5 + 2 a + 0 b - c + d = 0 (3) \\ 17 + 4 a + b + 0 c + d = 0 (4) \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} (1) - (2) : 12 + 6 a - 3 b - 3 c = 0 \\ (2) - (3) : 32 - 2 a + b + 7 c = 0 \\ (3) - (4) : - 12 - 2 a - b - c = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = - 4 \\ b = 2 \\ c = - 6 \end{cases} \Rightarrow d = - 3

.
Vậy

(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x + 2 y - 6 z - 3 = 0

.

Câu 32:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

(P) : 2 x - 2 z + z + 2017 = 0

. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)?

A.

\vec{n} = (1; - 2; 2)

.

B.

\vec{n} = (1; - 1; 4)

.

C.

\vec{n} = (- 2; 2; - 1)

.

D.

\vec{n} = (2; 2; 1)

.

Xem đáp án

Chọn C
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là

\vec{n} = (- 2; 2; - 1)

.

Câu 33:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng

(α)

đi qua điểm

A (2; 1; - 1)

và có véc tơ pháp tuyến

\vec{n} = (2; - 1; 2)

có phương trình là

A.

2 x - y + 2 z - 1 = 0

.

B.

2 x - y + 2 z + 3 = 0

.

C.

2 x + y - 2 z - 1 = 0

.

D.

2 x + 2 y - z + 1 = 0

.

Xem đáp án

Chọn A
Mặt phẳng

(α)

đi qua điểm

A (2; 1; - 1)

và có véc tơ pháp tuyến

\vec{n} = (2; - 1; 2)

có phương trình dạng:

(α) : 2 (x - 2) - 1 (y - 1) + 2 (z + 1) = 0 \Leftrightarrow (α) : 2 x - y + 2 z - 1 = 0

.

Câu 34:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm

A (1; 2; 3)

và mp

(P) : 2 x + y + z - 3 = 0

. Phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A song song với mặt phẳng (P) là

A.

x + 2 y + 3 z - 7 = 0

.

B.

2 x + y + z + 7 = 0

.

C.

2 x + y + z = 0

.

D.

2 x + y + z - 7 = 0

.

Xem đáp án

Chọn D
Mặt phẳng (Q) song song với mp (P) nên có phương trình dạng:

2 x + y + z + m = 0

.
Mà mp (Q) đi qua

A (1; 2; 3)

nên ta có:

2.1 + 2 + 3 + m = 0 \Leftrightarrow m = - 7

.
Vậy phương trình mặt phẳng (Q) là:

2 x + y + z - 7 = 0

.

Câu 35:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng

d : \{\begin{cases} x = 2 - t \\ y = 3 + t \\ z = 2 t \end{cases}

có một véctơ chỉ phương là

A.

\vec{u} = (2; 1; - 1)

.

B.

\vec{u} = (- 1; 1; 2)

.

C.

\vec{u} = (2; 3; 0)

.

D.

\vec{u} = (2; 3; 2)

.

Xem đáp án

Chọn B
Đường thẳng

d : \{\begin{cases} q u a A (2; 3; 0) \\ V T C P \vec{u} = (- 1; 1; 2) \end{cases}

.

Câu 36:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình tham số của đường thẳng

Δ

đi qua điểm

M (1; 2; - 3)

và có vectơ chỉ phương

\vec{u} = (3; - 2; 7)

là

A.

\{\begin{cases} x = 1 + 3 t \\ y = 2 - 2 t \\ z = - 3 + 7 t \end{cases} .

B.

\{\begin{cases} x = 3 + t \\ y = - 2 + 2 t \\ z = 7 - 3 t \end{cases} .

C.

\{\begin{cases} x = - 3 + 7 t \\ y = 2 - 2 t \\ z = 1 + 3 t \end{cases} .

D.

\{\begin{cases} x = 1 + 3 t \\ y = 2 + 2 t \\ z = 3 + 7 t \end{cases} .

Xem đáp án

Chọn A
Phương trình tham số của đường thẳng

Δ

là:

\{\begin{cases} x = 1 + 3 t \\ y = 2 - 2 t \\ z = - 3 + 7 t \end{cases} .

Câu 37:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho

A (2; 3; - 1), B (1; 2; 4)

, phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm A, B là:

A.

\{\begin{cases} x = 2 + t \\ y = 3 + 2 t \\ z = - 1 + 4 t \end{cases} .

B.

\{\begin{cases} x = 1 + 2 t \\ y = 2 + 3 t \\ z = 4 - t \end{cases} .

C.

\{\begin{cases} x = 2 - t \\ y = 3 - t \\ z = - 1 + 5 t \end{cases} .

D.

\{\begin{cases} x = - 1 + 2 t \\ y = - 1 + 3 t \\ z = 5 - t \end{cases} .

Xem đáp án

Chọn C
Đường thẳng d đi qua điểm A và nhận

\vec{A B} = (- 1; - 1; 5)

làm vectơ chỉ phương.
Phương trình đường thẳng d là:

\{\begin{cases} x = 2 - t \\ y = 3 - t \\ z = - 1 + 5 t \end{cases}

.

Câu 38:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

Δ

:

\{\begin{cases} x = 2 - 2 t \\ y = 1 + 3 t \\ z = 3 - t \end{cases}

và điểm

A (1; - 2; 3)

. Phương trình tham số đường thẳng d đi qua điểm A đồng thời vuông góc và cắt đường thẳng

Δ

là:

A.

\{\begin{cases} x = 1 - 5 t \\ y = - 2 - 3 t \\ z = 3 + 2 t \end{cases}

.

B.

\{\begin{cases} x = 1 + 5 t \\ y = - 2 + 3 t \\ z = 3 + 2 t \end{cases}

.

C.

\{\begin{cases} x = 1 + 5 t \\ y = - 2 - 3 t \\ z = 3 + 2 t \end{cases}

.

D.

\{\begin{cases} x = 1 + 5 t \\ y = 2 - 3 t \\ z = 3 + 2 t \end{cases}

.

Xem đáp án

Chọn C
Ta có

\vec{u_{△}} = (- 2; 3; - 1)

Gọi giao điểm của đường thẳng d và

Δ

là B. Vì B thuộc đường thẳng

Δ

nên tọa độ B có dạng

B (2 - 2 t_{0}; 1 + 3 t_{0}; 3 - t_{0}) \Rightarrow \vec{A B} = (1 - 2 t_{0}; 3 + 3 t_{0}; - t_{0})

.
Vì

d ⊥ Δ \Rightarrow \vec{A B} ⊥ \vec{u_{△}} \Rightarrow \vec{A B} . \vec{u_{△}} = 0 \Rightarrow - 2. (1 - 2 t_{0}) + 3. (3 + 3 t_{0}) - (- t_{0}) = 0 \Rightarrow t_{0} = - 2

.

\Rightarrow \vec{A B} = (5; - 3; 2)

. Vậy phương trình tham số của đường thẳng d là:

\{\begin{cases} x = 1 + 5 t \\ y = - 2 - 3 t \\ z = 3 + 2 t \end{cases}

.

Câu 39:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng

d_{1} : \frac{x - 2}{1} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z - 2}{- 1}

và

d_{2} : \{\begin{cases} x = t \\ y = 3 \\ z = - 2 + t \end{cases}

. Phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng

d_{1}, d_{2}

là

A.

\{\begin{cases} x = 2 + t \\ y = 1 + 2 t \\ z = 2 - t \end{cases}

.

B.

\{\begin{cases} x = 3 + t \\ y = 3 - 2 t \\ z = 1 - t \end{cases}

.

C.

\{\begin{cases} x = 2 + 3 t \\ y = 1 - 2 t \\ z = 2 - 5 t \end{cases}

.

D.

\{\begin{cases} x = 3 + t \\ y = 3 \\ z = 1 - t \end{cases}

.

Xem đáp án

Chọn A
Gọi d là đường thẳng cần tìm
Gọi

A = d \cap d_{1}, B = d \cap d_{2}

\begin{array}{l} A \in d_{1} \Rightarrow A (2 + a; 1 - a; 2 - a) \\ B \in d_{2} \Rightarrow B (b; 3; - 2 + b) \\ \vec{A B} = (- a + b - 2; a + 2; a + b - 4) \end{array}

d₁ có vectơ chỉ phương

\vec{a_{1}} = (1; - 1; - 1)

_d2 có vectơ chỉ phương

\vec{a_{2}} = (1; 0; 1)

\{\begin{cases} d ⊥ d_{1} \\ d ⊥ d_{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \vec{A B} ⊥ \vec{a_{1}} \\ \vec{A B} ⊥ \vec{a_{2}} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \vec{A B} . \vec{a_{1}} = 0 \\ \vec{A B} . \vec{a_{2}} = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 0 \\ b = 3 \end{cases} \Rightarrow A (2; 1; 2); B (3; 3; 1)

d đi qua điểm

A (2; 1; 2)

và có vectơ chỉ phương

\vec{a_{d}} = \vec{A B} = (1; 2; - 1)

.
Vậy phương trình của d là

\{\begin{cases} x = 2 + t \\ y = 1 + 2 t \\ z = 2 - t \end{cases}

.