39 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Bộ 15 đề thi giữa kì 2 Toán 12 có đáp án năm 2022-2023 (Đề 5)

Câu 1:

Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên R?

A.

y = x^{3} - 3 x^{2} + 2

.

B.

y = \frac{x - 1}{x + 1}

.

C.

y = x^{4} + 6 x^{2} + 3

.

D.

y = 2 x + 1

.

Xem đáp án

Chọn D

Ta có hàm số

y = 2 x + 1

đồng biến trên R.

Câu 2:

Số nghiệm của phương trình

\log_{2} (x^{2} - 3) = \log_{2} 2 x

là

A. 2.

B. 0.

C. 3.

D. 1.

Xem đáp án

Chọn D

Ta có

\log_{2} (x^{2} - 3) = \log_{2} 2 x \Leftrightarrow \{\begin{cases} x^{2} - 3 = 2 x \\ x > 0 \end{cases} \Leftrightarrow x = 3

.

Câu 3:

Diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường

y = x^{3} - 3 x^{2} + 2

;

y = 1 - x

;

x = 0

;

x = 2

bằng

A.

|\int_{0}^{2} (x^{3} - 3 x^{2} + x + 1) d x|

.

B.

\int_{0}^{2} (x^{3} - 3 x^{2} + x + 1) d x

.

C.

\int_{0}^{2} (x^{3} - 3 x^{2} - x + 3) d x

.

D.

\int_{0}^{2} |x^{3} - 3 x^{2} + x + 1| d x

.

Xem đáp án

Chọn D

Diện tích hình phẳng (H) bằng

\int_{0}^{2} |x^{3} - 3 x^{2} + x + 1| d x

.

Câu 4:

Cho hai hàm số

y = f (x), y = g (x)

liên tục trên tập D và

a, b \in D, c \in ℝ

. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai.

A.

\int_{a}^{b} [f (x) + g (x)] d x = \int_{a}^{b} f (x) d x + \int_{a}^{b} g (x) d x

.

B.

\int_{a}^{b} [f (x) - g (x)] d x = \int_{a}^{b} f (x) d x - \int_{a}^{b} g (x) d x

.

C.

\int_{a}^{b} c f (x) d x = c \int_{a}^{b} f (x) d x

.

D.

\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{c} f (x) d x + \int_{c}^{b} f (x) d x

.

Xem đáp án

Chọn D

Ta có

\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{c} f (x) d x + \int_{c}^{b} f (x) d x

sai nếu c không thuộc tập xác định của hàm số

y = f (x)

.

Câu 5:

Khối chóp có diện tích đáy bằng 4 và chiều cao bằng 1. Thể tích khối chóp đã cho bằng

A.

\frac{4}{3}

.

B.

\frac{3}{4}

.

C.

4

.

D.

\frac{1}{3}

.

Xem đáp án

Chọn A

Ta có

V = \frac{1}{3} B . h = \frac{4}{3}

.

Câu 6:

Cho khối nón có chiều cao bằng 3 và bán kính đáy bằng 2. Thể tích của khối nón đã cho bằng

A.

18 π

.

B.

12 π

.

C.

4 π

.

D.

6 π

.

Xem đáp án

Chọn C

Thể tích của khối nón đã cho là

V = \frac{1}{3} π R^{2} h = \frac{1}{3} π {.2}^{2} .3 = 4 π

.

Câu 7:

Trong không gian Oxyz cho điểm

M (1; 2; 3)

. Hình chiếu vuông góc của điểm lên trục tung là điểm nào dưới đây?

A.

M_{1} (0; 2; 0)

.

B.

M_{2} (- 1; 2; - 3)

.

C.

M_{3} (1; 0; 3)

.

D.

M_{4} (0; 0; 3)

.

Xem đáp án

Chọn A

Gọi

M_{1}

là hình chiếu vuông góc của điểm M lên trục tung thì

M_{1} (0; 2; 0)

.

Câu 8:

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng

(P) : x - 2 y - 3 = 0

. Véc tơ nào sau đây không phải véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

A.

\vec{n_{1}} = (1; - 2; - 3)

.

B.

\vec{n_{2}} = (1; - 2; 0)

.

C.

\vec{n_{3}} = (- 1; 2; 0)

.

D.

\vec{n_{4}} = (2; - 4; 0)

.

Xem đáp án

Chọn A

Từ phương trình mặt phẳng (P) suy ra

\vec{n_{2}}, \vec{n_{3}}, \vec{n_{4}}

là véc tơ pháp tuyến của (P).

Câu 9:

Tính tích phân

\int_{0}^{4} \frac{d x}{\sqrt{2 x + 1}}

A. 3.

B. 2.

C. 1.

D. 8.

Xem đáp án

Chọn B

Ta có tích

\int_{0}^{4} \frac{d x}{\sqrt{2 x + 1}} = \frac{1}{2} \int_{0}^{4} {(2 x + 1)}^{- \frac{1}{2}} d (2 x + 1) = \sqrt{2 x + 1} |_{0}^{4} = 2

.

Câu 10:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu

(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + 6 y - 4 = 0

. Xác định tọa độ tâm I và tính bán kính R của mặt cầu (S).

A.

I (1; - 3; 0), R = \sqrt{14}

.

B.

I (- 1; 3; 0), R = \sqrt{14}

.

C.

I (1; - 3; 0), R = \sqrt{10}

.

D.

I (- 1; 3; 0), R = \sqrt{10}

.

Xem đáp án

Chọn A

Mặt cầu (S) có tâm

I (1; - 3; 0)

và bán kính

R = \sqrt{1^{2} + {(- 3)}^{2} + 4} = \sqrt{14}

.

Câu 11:

Cho f(x) là hàm số liên tục trên R. Giả sử F(x) là một nguyên hàm f(x) của hàm trên đoạn

[1; 2]

. Hiệu số

F (2) - F (1)

bằng

A.

\int_{2}^{1} F (x) d x

.

B.

\int_{1}^{2} F (x) d x

.

C.

\int_{2}^{1} f (x) d x

.

D.

\int_{1}^{2} f (x) d x

.

Xem đáp án

Chọn D

Ta có:

\int_{1}^{2} f (x) d x = {F (x)|}_{1}^{2} = F (2) - F (1)

.

Câu 12:

Trong không gian Oxyz cho ba điểm

A (2; 0; 0), B (0; - 3; 0)

và

C (0; 0; 5)

. Hãy viết phương trình mặt phẳng (ABC).

A.

\frac{x}{5} + \frac{y}{- 3} + \frac{z}{2} = 1

.

B.

\frac{x}{- 3} + \frac{y}{2} + \frac{z}{5} = 1

.

C.

\frac{x}{2} + \frac{y}{5} + \frac{z}{- 3} = 1

.

D.

\frac{x}{2} + \frac{y}{- 3} + \frac{z}{5} = 1

.

Xem đáp án

Chọn D

Áp dụng phương trình của mặt phẳng theo đoạn chắn, ta có phương trình của mặt phẳng (ABC) là:

\frac{x}{2} + \frac{y}{- 3} + \frac{z}{5} = 1

.

Câu 13:

Họ nguyên hàm của hàm số

f (x) = e^{2 x + 3}

là

A.

\frac{1}{2} e^{2 x + 3} + C

.

B.

\frac{2}{3} e^{2 x + 3} + C

.

C.

\frac{3}{2} e^{2 x + 3} + C

.

D.

\frac{1}{3} e^{2 x + 3} + C

.

Xem đáp án

Chọn A

Vì

\int e^{x} d x = e^{x} + C

nên theo hệ quả ta có:

\int e^{2 x + 3} d x = \frac{1}{2} e^{2 x + 3} + C

.

Câu 14:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm

A (1; 2; 3)

,

B (- 1; 4; 1)

. Phương trình mặt cầu có đường kính là

A.

{(x + 1)}^{2} + {(y - 4)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 12

.

B.

{(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 12

.

C.

x^{2} + {(y - 3)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 3

.

D.

x^{2} + {(y - 3)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 12

.

Xem đáp án

Chọn C

Ta có

|\vec{A B}| = \sqrt{{(- 1 - 1)}^{2} + {(4 - 2)}^{2} + {(1 - 3)}^{2}} = 2 \sqrt{3} .

Gọi I là trung điểm của AB khi đó

I (0; 3; 2)

.
Bán kính

R = \frac{1}{2} A B = \sqrt{3}

.
Phương trình mặt cầu cần tìm là

x^{2} + {(y - 3)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 3

.

Câu 15:

Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

y = \frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x^{2} + x}

là

A. 3.

B. 0.

C. 2.

D. 1.

Xem đáp án

Chọn D

Tập xác định:

D = [- 4; + \infty) \ \{- 1; 0\}

.
Tại x = 0, ta có:

\lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x^{2} + x} = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{x (x + 1) (\sqrt{x + 4} + 2)} = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{(x + 1) (\sqrt{x + 4} + 2)} = \frac{1}{4}

và

\lim_{x \to 0^{-}} \frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x^{2} + x} = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{x}{x (x + 1) (\sqrt{x + 4} + 2)} = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{(x + 1) (\sqrt{x + 4} + 2)} = \frac{1}{4}

.
Suy ra x = 0 không phải là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Tại

x = - 1

, ta có:

\lim_{x \to {(- 1)}^{+}} \frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x^{2} + x} = + \infty

(hoặc

\lim_{x \to {(- 1)}^{-}} \frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x^{2} + x} = - \infty

).
Suy ra đường thẳng

x = - 1

là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Câu 16:

Cho

\log_{6} 45 = a + \frac{\log_{2} 5 + b}{\log_{2} 3 + c}

với a, b, c là các số nguyên. Giá trị bằng

a + b + c

A. 3.

B. 2.

C. 0.

D. 1.

Xem đáp án

Chọn D

Ta có:

\log_{6} 45 = \frac{\log_{2} 45}{\log_{2} 6} = \frac{\log_{2} 5 + 2 \log_{2} 3}{\log_{2} 3 + 1} = \frac{2 (\log_{2} 3 + 1) + \log_{2} 5 - 2}{\log_{2} 3 + 1} = 2 + \frac{\log_{2} 5 - 2}{\log_{2} 3 + 1}

.
Suy ra

a = 2; b = - 2; c = 1

.
Vậy

a + b + c = 1

.

Câu 17:

Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị

(C_{1}) : y = 2 x

và

(C_{2}) : y = x^{2} - x + 2

. Thể tích khối tròn xoay sinh bởi D quay quanh Ox là

A.

V = \frac{29}{30}

.

B.

V = \frac{1}{6}

.

C.

V = \frac{29}{30} π

.

D.

V = \frac{1}{6} π

.

Xem đáp án

Chọn C

Hoành độ giao điểm của

(C_{1})

và

(C_{2})

là nghiệm của phương trình:

2 x = x^{2} - x + 2 \Leftrightarrow x^{2} - 3 x + 2 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = 2 \end{array}

.
Trong khoảng (1;2), hai hàm số cùng dương nên thể tích khối tròn xoay sinh bởi D quay quanh Ox là

V = π . \int_{1}^{2} |{(x^{2} - x + 2)}^{2} - {(2 x)}^{2}| dx = \frac{29}{30} π

.

Câu 18:

Tích phân

\int_{0}^{\sqrt{2}} x^{3} {(x^{2} + 1)}^{5} dx = \frac{a}{b}

, với là phân số tối giản, a nguyên dương. Tính giá trị biểu thức

a + b - 5

A. 2020.

B. 2021.

C. 2022.

D. 2023.

Xem đáp án

Chọn B

Đặt

x^{2} + 1 = t

suy ra:

dt = 2 x . dx \Rightarrow x . dx = \frac{1}{2} dt

Đổi cận

\{\begin{cases} x = 0 \to t = 1 \\ x = \sqrt{2} \to t = 3 \end{cases}

.
Suy ra

I = \int_{1}^{3} (t - 1) . t^{5} . \frac{1}{2} . dt = \frac{1}{2} . \int_{1}^{3} (t^{6} - t^{5}) dt = {\frac{1}{2} (\frac{t^{7}}{7} - \frac{t^{6}}{6})|}_{1}^{3} = \frac{2005}{21}

.
Vậy

a = 2005, b = 21 \Rightarrow a + b - 5 = 2021

.

Câu 19:

Cho khối lăng trụ đứng ABCA'B'C', đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a, mặt phẳng (A'BC) tạo với mặt đáy (ABC) góc

60^{o}

. Tính thể tích khối lăng trụ

A.

V = 3 a^{3}

.

B.

V = 3 a^{3} \sqrt{3}

.

C.

V = a^{3} \sqrt{3}

.

D.

V = a^{3}

Xem đáp án

Chọn B

Tam giác ABC đều nên diện tích đáy là .

S_{đ} = S_{A B C} = A B^{2} . \frac{\sqrt{3}}{4} = a^{2} \sqrt{3}

Gọi M là trung điểm BC thì

B C ⊥ (A^{'} A M)

nên góc giữa hai mặt phẳng

(A^{'} B C)

và

(A B C)

là góc

\hat{A' M A} = 60^{o}

. Suy ra

\frac{A A^{'}}{A M} = \tan 60^{o} = \sqrt{3} \Rightarrow h = A^{'} A = A M . \sqrt{3} = 3 a

.
Vậy thể tích khối lăng trụ là

V = S_{đ} . h = 3 a^{3} \sqrt{3}

.

Câu 20:

Họ nguyên hàm của hàm số

f (x) = \frac{\sqrt{\ln x + 1} . \ln x}{x}

là

A.

\frac{x^{5}}{5} - \frac{x^{3}}{3} + C

.

B.

\frac{{(\sqrt{\ln x + 1})}^{3}}{5} - \frac{{(\sqrt{\ln x + 1})}^{3}}{3} + C

.

C.

- \frac{2 {(\sqrt{\ln x + 1})}^{5}}{5} + \frac{2 {(\sqrt{\ln x + 1})}^{3}}{3} + C

.

D.

\frac{2 {(\sqrt{\ln x + 1})}^{5}}{5} - \frac{2 {(\sqrt{\ln x + 1})}^{3}}{3} + C

Xem đáp án

Chọn D

Tính

\int \frac{\sqrt{\ln x + 1} . \ln x}{x} d x

.
Đặt

t = \sqrt{\ln x + 1} \Rightarrow t^{2} = ln x +1 \Rightarrow 2 t d t = \frac{1}{x} d x

.
Khi đó:

\int \frac{\sqrt{\ln x + 1} . \ln x}{x} d x = 2 \int t (t^{2} - 1) t d t = 2 \int (t^{4} - t^{2}) d t

= \frac{2 t^{5}}{5} - \frac{2 t^{3}}{3} + C = \frac{2 {(\sqrt{\ln x + 1})}^{5}}{5} - \frac{2 {(\sqrt{\ln x + 1})}^{3}}{3} + C

.

Câu 21:

Cho hình chữ nhật có , . Quay hình chữ nhật đó xung quanh cạnh thì đường gấp khúc tạo thành hình trụ, diện tích toàn phần của hình trụ đó là

A.

6 π a^{2}

.

B.

3 π a^{2}

.

C.

8 π a^{2}

.

D.

5 π a^{2}

.

Xem đáp án

Chọn A

Hình trụ tạo thành có chiều cao

h = A B = 2 a

, bán kính đáy

r = A D = a

.
Diện tích toàn phần của hình trụ là

S = 2 π r^{2} + 2 π r h = 2 π a^{2} + 4 π a^{2} = 6 π a^{2}

.

Câu 22:

Trong không gian cho hai mặt phẳng

(α) : (m - 1) x + (m - 2) y + 3 z - 4 = 0

và

(β) : 2 x + y + 3 z - 3 = 0

. Giá trị của m để hai mặt phẳng trên song song là

A. $m = 2$

B. $m = 1$

C. $m = 3$

D. $m = - 1$

Xem đáp án

Chọn C

Hai mặt phẳng trên song song khi

\frac{m - 1}{2} = \frac{m - 2}{1} = \frac{3}{3} \neq \frac{- 4}{3} \Leftrightarrow m = 3

.

Câu 23:

Viết phương trình mặt phẳng (P) biết (P) nhận

\vec{v} = (1; 0; 1)

làm vec tơ chỉ phương và đi qua

E (1; 2; - 1)

,

F (1; - 1; 1)

?

A.

3 x - 2 y + 3 z + 2 = 0

.

B.

3 x - 2 y + 3 z - 2 = 0

.

C.

3 x + 2 y + 3 z - 2 = 0

.

D.

3 x - 2 y - 3 z - 2 = 0

.

Xem đáp án

Chọn D

(P) đi qua

E (1; 2; - 1)

,

F (1; - 1; 1)

nên nhận

\vec{E F} = (0; - 3; 2)

làm một vec tơ chỉ phương.
Khi đó (P) nhận

\vec{u} = [\vec{v}, \vec{E F}] = (3; - 2; - 3)

làm vec tơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng (P) qua

E (1; 2; - 1)

và nhận

\vec{u} = (3; - 2; - 3)

làm vec tơ pháp tuyến là:

3 (x - 1) - 2 (y - 2) - 3 (z + 1) = 0 \Leftrightarrow 3 x - 2 y - 3 z - 2 = 0

.

Câu 24:

Cho . Tính giữa hai vectơ và .

A.

35 °

.

B.

45 °

.

C.

145 °

.

D.

135 °

.

Xem đáp án

Chọn D

Ta có:

\vec{u} . \vec{v} = - 1.0 + 1. (- 1) + 0.0 = - 1

và

|\vec{u}| . |\vec{v}| = \sqrt{{(- 1)}^{2} + 1^{2} + 0^{2}} . \sqrt{0^{2} + {(- 1)}^{2} + 0^{2}} = \sqrt{2}

.
Khi đó:

c o s (\vec{u}, \vec{v}) = \frac{\vec{u} . \vec{v}}{|\vec{u}| . |\vec{v}|} = - \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow (\vec{u}, \vec{v}) = 135^{0}

.

Câu 25:

Tính

I = \int_{\frac{π}{3}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{x}{\sin^{2} x} d x

.

A.

π \sqrt{3}

.

B.

\frac{π \sqrt{2}}{3}

.

C.

\frac{π \sqrt{3}}{2}

.

D.

\frac{π \sqrt{3}}{3}

.

Xem đáp án

Chọn D

Đặt

\{\begin{cases} u = x \\ d v = \frac{d x}{\sin^{2} x} \end{cases}

. Suy ra

d u = d x

, chọn

v = - \cot x

.
Khi đó

{I = \int_{\frac{π}{3}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{x}{\sin^{2} x} d x = - x \cot x|}_{\frac{π}{3}}^{\frac{2 π}{3}} + \int_{\frac{π}{3}}^{\frac{2 π}{3}} \cot x d x = {- x \cot x|}_{\frac{π}{3}}^{\frac{2 π}{3}} + \int_{\frac{π}{3}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{\sin x} d (\sin x) = {(- x \cot x + \ln |\sin x|)|}_{\frac{π}{3}}^{\frac{2 π}{3}} = \frac{π \sqrt{3}}{3} .

Câu 26:

Cho hàm số

y = f (x)

có đạo hàm trên R và đồ thị của hàm

y = f^{/} (x)

số như hình vẽ dưới đây.

Tìm m để bất phương trình

m + x^{2} \leq f (x) + \frac{1}{3} x^{3}

nghiệm đúng với

A.

m < f (0)

.

B.

m \leq f (0)

.

C.

m \leq f (3)

.

D.

m < f (1) - \frac{2}{3}

.

Xem đáp án

Chọn B

Ta có

m + x^{2} \leq f (x) + \frac{1}{3} x^{3} \Leftrightarrow m \leq f (x) + \frac{1}{3} x^{3} - x^{2}

Đặt

g (x) = f (x) + \frac{1}{3} x^{3} - x^{2}

.
Ta có

g^{/} (x) = f^{/} (x) + x^{2} - 2 x

.

g^{/} (x) = 0 \Leftrightarrow f^{/} (x) + x^{2} - 2 x = 0 \Leftrightarrow f^{/} (x) = - x^{2} + 2 x

.
Lại có

\forall x \in (0; 3) \Rightarrow f^{/} (x) > 1; - 3 < - x^{2} + 2 x \leq 1 \Rightarrow f^{/} (x) > - x^{2} + 2 x

. Khi đó ta có BBT của

y = g (x)

như sau

Từ BBT ta có được

m \leq f (x) + \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} \forall x \in (0; 3) \Leftrightarrow m \leq f (0)

.

Câu 27:

Bất phương trình

\frac{4^{x} - {3.2}^{x + 1} + 8}{2^{x + 1} - 1} \geq 0

có bao nhiêu nghiệm nguyên âm?

A. 2.

B. -1.

C. 0.

D. 1.

Xem đáp án

Chọn C

Ta có: $\frac{4^{x} - {3.2}^{x + 1} + 8}{2^{x + 1} - 1} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{{(2^{x})}^{2} - {6.2}^{x} + 8}{{2.2}^{x} - 1} \geq 0$ . Đặt $2^{x} = t$ , $(t > 0)$

Lập bảng xét dấu của $f (t) = \frac{t^{2} - 6 t + 8}{2 t - 1},$

Từ bảng xét dấu ta có: $f (t) \geq 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \frac{1}{2} < t \leq 2 \\ 4 \leq t \end{array}$
Nên $\frac{{(2^{x})}^{2} - {6.2}^{x} + 8}{{2.2}^{x} - 1} \geq 0$
$\Leftrightarrow [\begin{matrix} 2^{x} \geq 4 \\ \frac{1}{2} < 2^{x} \leq 2 \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} x \geq 2 \\ - 1 < x \leq 1 \end{matrix} .$
Vậy bất phương trình không có nghiệm nguyên âm.

Câu 28:

Người ta muốn sơn một bức tường được tạo thành từ 20 bức tường nhỏ có số đo và hình dạng như hình vẽ bên dưới. Biết mỗi lít sơn được

5 m^{2}

tường và phần tường phía trên là phần trong của Parabol. Lượng sơn cần dùng gần với giá trị nào dưới đây

A. 16,12.

B. 16,9.

C. 11,12.

D. 12,16.

Xem đáp án

Chọn D

Bức trường con gồm hai phần, một phần là hình chữ nhật có diện tích là

S_{1} = 1, 6. (1, 2) = 1, 92 m^{2}

Phần phía trên là phần trong của một Parabol, nên ta sẽ gắn hệ trục tọa độ như sau:

Từ đó ta có phương trình đường cong là:

y = \frac{- 5}{36} x^{2} + \frac{5}{3} x

.
Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng ta có:

S_{2} = \int_{0}^{1, 2} (\frac{- 5}{36} x^{2} + \frac{5}{3} x) d x = {(\frac{- 5}{108} x^{3} + \frac{5}{6} x^{2})|}_{0}^{1, 2} = 1, 12 m^{2}

Suy ra diện tích 1 bức tường con là:

S = S_{1} + S_{2} = 3, 04 m^{2}

.
Suy ra diện tích cả bức tường to là:

S_{t p} = 20. (3, 04) = 60, 8 m^{2}

Suy ra thể tích sơn cần dùng là:

V = \frac{S_{t p}}{5} = 12, 16 l

.

Câu 29:

Cho hình chóp S.ABCDcó đáy là hình bình hành. E, F lần lượt là trung điểm của SB, SD. M là điểm nằm trên SC sao cho $3 S M = 2 M C$ . Tính tỉ lệ diện tích khối đa diện: $S A E M F$ trên $A B C D F M E$ .

A.

\frac{1}{3}

.

B.

\frac{1}{4}

.

C.

\frac{1}{5}

.

D.

\frac{1}{10}

.

Xem đáp án

Chọn B

Từ giả thiết

3 S M = 2 M C

ta suy ra:

\frac{S M}{S C} = \frac{2}{5}

Khi đó:

\frac{V_{S . A E M}}{V_{S . A B C}} = \frac{S E}{S B} . \frac{S M}{S C} = \frac{1}{5}

và

\frac{V_{S . A F M}}{V_{S . A D C}} = \frac{S F}{S D} . \frac{S M}{S C} = \frac{1}{5}

Mà

S_{Δ A B C} = S_{Δ A D C} \Rightarrow V_{S . A B C} = V_{S . A D C}

Suy ra

\frac{V_{S A E M F}}{V_{S . A B C D}} = \frac{1}{5} \Rightarrow \frac{V_{S A E M F}}{V_{A B C D F M E}} = \frac{1}{4}

.

Câu 30:

Cho hàm số

F (x) = (a x^{2} + b x + c) . e^{- x}

là một nguyên hàm của hàm số

f (x) = (- x^{2} + 9 x - 1) . e^{- x}

. Tính

P = a - b + c^{2}

.

A. 0.

B. -28.

C. 30.

D. 44.

Xem đáp án

Chọn D

$\begin{array}{l} F (x) = (a x^{2} + b x + c) . e^{- x} \Rightarrow F^{'} (x) = (2 a x + b) . e^{- x} - (a x^{2} + b x + c) . e^{- x} = [- a x^{2} + (2 a - b) x + b - c] . e^{- x} \\ F^{'} (x) = f (x) \Leftrightarrow [- a x^{2} + (2 a - b) x + b - c] . e^{- x} = (- x^{2} + 9 x - 1) . e^{- x} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 1 \\ b = - 7 \\ c = - 6 \end{cases} \end{array}$

Vậy $P = a - b + c^{2} = 1 + 7 + {(- 6)}^{2} = 44$

Câu 31:

Cho

d_{1} : \{\begin{cases} x = - 3 + 4 t \\ y = 3 + 2 t \\ z = - 2 + 6 t \end{cases}

và

d_{2} : \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z - 1}{3}

. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa

d_{1}

, song song với

d_{2}

và khoảng cách từ tới (P) là lớn nhất.

A.

- x + 2 y + 2 z + 5 = 0

.

B.

x - 2 y - 9 = 0

.

C.

x - 2 y - 2 z + 5 = 0

.

D.

x - 2 y + 9 = 0

.

Xem đáp án

Chọn D

Ta có

A (- 3; 3; - 2) \in d_{1} \Rightarrow A \in (P)

Vec tơ chỉ phương của

d_{1}

là

\vec{u_{1}} = (4; 2; 6)

, vec tơ chỉ phương của

d_{2}

là

\vec{u} = (2; 1; 3)

,

A \notin d_{2}

nên

d_{1} / ​ / d_{2}

Gọi H là hình chiếu của A trên

d_{2}

. Do nên khoảng cách giữa

d_{2}

và (P) là khoảng cách giữa H và (P)
Giả sử I là hình chiếu của H trên (P) ta có

A H \geq A I

nên HI lớn nhất khi

A \equiv I

Vậy mặt phẳng (P) cần tìm là mặt phẳng qua A và nhận

\vec{A H}

làm vec tơ pháp tuyến

H \in d_{2} \Rightarrow H (1 + 2 t; t; 1 + 3 t)

vì H là hình chiếu của A trên

d_{2}

nên

A H ⊥ d_{2} \Rightarrow \vec{A H} . \vec{u} = 0 \Rightarrow 2. (2 t + 4) + t - 3 + 3. (3 t + 3) = 0 \Rightarrow t = - 1 \Rightarrow H (- 1; - 1; - 2), \vec{A H} = (2; - 4; 0)

Vậy

(P) : 2. (x + 3) - 4 (y - 3) = 0 \Leftrightarrow x - 2 y + 9 = 0

.

Câu 32:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho $A (1; 0; 2)$ , $B (- 3; 2; 0)$ , $C (1; - 2; 4)$ và mặt phẳng $(P) : x + y - z - 1 = 0$ . Điểm $M (a; b; c)$ thuộc mặt phẳng (P) sao cho $T = M A^{2} + 2 M B^{2} + M C^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó giá trị $a + b + c$ là

A. 0.

B.

\frac{3}{4}

.

C. 1.

D. 2.

Xem đáp án

Chọn D

Gọi I là trung điểm AC và J là trung điểm BI. Suy ra

I (1; - 1; 3)

và

J (- 1; \frac{1}{2}; \frac{3}{2})

.
Khi đó

T = M A^{2} + 2 M B^{2} + M C^{2} = 2 M B^{2} + 2 M I^{2} + \frac{1}{2} A C^{2} = 4 M J^{2} + B I^{2} + \frac{1}{2} A C^{2}

.
Do đó T nhỏ nhất khi MJ ngắn nhất. Suy ra M là hình chiếu của J trên mặt phẳng (P).
Đường thẳng JM đi qua J và vuông góc với (P) mặt phẳng có phương trình là