39 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Bộ 15 đề thi giữa kì 2 Toán 12 có đáp án năm 2022-2023 (Đề 12)

Câu 1:

y = \frac{1 - 2 x}{x + 1}

. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau

A. Hàm số đồng biến trên khoảng

(- \infty; - 1)

và

(- 1; + \infty)

.

B. Đồ thị hàm số đối xứng qua

I (- 1; - 2)

.

C. Hàm số không có cực trị.

D. Hàm số nghịch biến trên

ℝ \ \{- 1\}

.

Xem đáp án

Chọn A

Câu 2:

Diện tích đáy của khối lăng trụ có chiều cao h bằng và thể tích bằng V là

A.

B = \frac{6 V}{h}

.

B.

B = \frac{V}{h}

.

C.

B = \frac{3 V}{h}

.

D.

B = \frac{2 V}{h}

.

Xem đáp án

Chọn B
Ta có

V = B h \Leftrightarrow B = \frac{V}{h}

.
Vậy diện tích đáy của của khối lăng trụ có chiều cao bằng h và thể tích bằng V là

h = \frac{V}{B}

.

Câu 3:

Cho hàm số

y = f (x)

có bảng biến thiên như sau:

Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên

(- \infty; 0) \cup (1; + \infty)

.

B. Hàm số đồng biến trên

(0; 1)

.

C. Hàm số đồng biến trên

(- \infty; 2)

.

D. Hàm số nghịch biến trên

(- \infty; 1)

.

Xem đáp án

Chọn B
Dựa vào bảng biến thiên hàm số đồng biến trên (0;1).

Câu 4:

Với các số thực dương a, b bất kì. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A.

\log_{2} (\frac{2 a^{3}}{b}) = 1 + 3 \log_{2} a - \log_{} b

.

B.

\log_{2} (\frac{2 a^{3}}{b}) = 1 + \frac{1}{3} \log_{2} a - {\log_{2}}_{} b

.

C.

\log_{2} (\frac{2 a^{3}}{b}) = 1 + 3 \log_{2} a + {\log_{2}}_{} b

.

D.

\log_{2} (\frac{2 a^{3}}{b}) = 1 + \frac{1}{3} \log_{2} a + {\log_{2}}_{} b

.

Xem đáp án

Chọn A
Ta có:

\log_{2} (\frac{2 a^{3}}{b}) = \log_{2} (2 a^{3}) - \log_{2} (b) = \log_{2} 2 + \log_{2} a^{3} - \log_{2} b = 1 + 3 \log_{2} a - \log_{} b

.

Câu 5:

Tìm nguyên hàm của hàm số

y = f (x) = \frac{1}{{cos}^{2} 2 x}

.

A.

\int f (x) d x = \frac{1}{\sin^{2} 2 x} + C

.

B.

\int f (x) d x = 2 \tan 2 x + C

.

C.

\int f (x) d x = \frac{1}{2} \tan 2 x + C

.

D.

\int f (x) d x = \frac{- 1}{\cos x} + C

.

Xem đáp án

Chọn C

\int f (x) d x = \frac{1}{2} \tan 2 x + C

.

Câu 6:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm

M (5; 7; - 13)

. Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (Oyz). Tọa độ điểm H là?

A.

H (0; 7; - 13)

.

B.

H (5; 0; - 13)

.

C.

H (0; - 7; 13)

.

D.

H (5; 7; 0)

.

Xem đáp án

Chọn A
Hình chiếu vuông góc của

M (x; y; z)

trên mặt phẳng tọa độ (Oyz) có tọa độ là

(0; y; z)

. Do đó

\Rightarrow H (0; 7; - 13)

.

Câu 7:

Đường cong như hình bên là đồ thị của hàm số nào sau đây?

A.

y = \frac{3 x - 1}{x + 1}

.

B.

y = \frac{x - 2}{x + 2}

.

C.

y = - x^{3} + x - 1

.

D.

y = \frac{2 x + 1}{2 x - 2}

.

Xem đáp án

Chọn D
* Đồ thị hàm số là đồ thị hàm phân thức nên ta loại đáp án C.
* Đồ thị hàm số là đồ thị hàm nghịch biến nên ta loại đáp án A.
* Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là

x = a; (a > 0)

nên ta loại đáp án B.
* Đáp án đúng là đáp án D.

Câu 8:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình

\frac{x - 3}{1} = \frac{y + 1}{- 2} = \frac{z + 3}{2}

. Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là

A.

\vec{u_{1}} = (3; - 1; - 3)

.

B.

\vec{u_{2}} = (2; - 4; 4)

.

C.

\vec{u_{3}} = (2; 4; - 4)

.

D.

\vec{u_{4}} = (1; - 2; - 2)

.

Xem đáp án

Chọn B
Đường thẳng d có phương trình

\frac{x - 3}{1} = \frac{y + 1}{- 2} = \frac{z + 3}{2}

có vectơ chỉ phương là

\vec{u_{2}} = (2; - 4; 4)

.

Câu 9:

Tìm tập nghiệm S của bất phương trình

16 - 2^{2 x + 1} \geq 0

A.

S = [\frac{3}{2}; + \infty)

.

B.

S = (- \infty; \frac{3}{2})

.

C.

S = (- \infty; \frac{3}{2}]

.

D.

S = (0; \frac{3}{2}]

.

Xem đáp án

Chọn C
Ta có:

16 - 2^{2 x + 1} \geq 0 \Leftrightarrow 2^{2 x + 1} \leq 16 \Leftrightarrow 2 x + 1 \leq 4 \Leftrightarrow x \leq \frac{3}{2}

.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là:

S = (- \infty; \frac{3}{2}]

.

Câu 10:

Một hình nón có chiều cao bằng

\frac{a \sqrt{3}}{2}

và góc ở đỉnh bằng

60^{0} .

Thể tích của khối nón bằng

A.

\frac{\sqrt{3}}{4} π a^{3}

.

B.

\frac{1}{8} π a^{3}

.

C.

\frac{\sqrt{3}}{24} π a^{3}

.

D.

\frac{3 \sqrt{3}}{8} π a^{3}

.

Xem đáp án

Chọn C
Bán kính đường tròn đáy hình nón là:

r = h . \tan 30 ° = \frac{a \sqrt{3}}{2} . \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{a}{2}

Thể tích của khối nón bằng:

V = \frac{1}{3} π r^{2} h = \frac{1}{3} π . {(\frac{a}{2})}^{2} . \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{24} π a^{3}

.

Câu 11:

Trong không gian Oxyz, cho điểm

A (1; 2; 0)

và đường thẳng

d : \{\begin{cases} x = - 1 + 2 t \\ y = t \\ z = 1 - t \end{cases}

. Tìm phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với d.

A.

2 x + y + z - 4 = 0

.

B.

x + 2 y - z + 4 = 0

.

C.

2 x - y - z + 4 = 0

.

D.

2 x + y - z - 4 = 0

Xem đáp án

Chọn D
Mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1;2;0) và vuông góc với đường thẳng d nên (P) có vectơ pháp tuyến là

\vec{n} = (2; 1; - 1)

. Vậy

(P) : 2 x + y - z - 4 = 0

.

Câu 12:

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có tiệm cận ngang ?

A.

y = x^{4} - 2 x^{2} + 2

.

B.

y = \frac{\sqrt{4 x^{2} + 1}}{x - 2}

.

C.

y = \frac{x^{2} + 1}{x - 1}

.

D.

y = x^{3} - 3 x^{2} + 1

.

Xem đáp án

Chọn B
+ Hàm số

y = x^{4} - 2 x^{2} + 2

và

y = x^{3} - 3 x^{2} + 1

là những hàm đa thức nên đồ thị không có tiệm cận ngang. Loại A, D.
+

\lim_{x \to + \infty} \frac{\sqrt{4 x^{2} + 1}}{x - 2} = \lim_{x \to + \infty} \frac{x \sqrt{4 + \frac{1}{x^{2}}}}{x - 2} = \lim_{x \to + \infty} \frac{\sqrt{4 + \frac{1}{x^{2}}}}{1 - \frac{2}{x}} = 2

;

\lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{4 x^{2} + 1}}{x - 2} = \lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{4 + \frac{1}{x^{2}}}}{1 - \frac{2}{x}} = - 2

.
Đồ thị hàm số có 2 tiệm cận ngang

y = \pm 2.

+

\lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^{2} + 1}{x - 1} = \lim_{x \to \pm \infty} [x (\frac{1 + \frac{1}{x^{2}}}{1 - \frac{1}{x}})]

nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

Câu 13:

Cho hàm số

y = f (x)

có bảng biến thiên như sau

Số nghiệm của phương trình

f (x) - 2 = 0

là

A. 4.

B. 0.

C. 2.

D. 3.

Xem đáp án

Chọn A
Số nghiệm của phương trình

f (x) - 2 = 0 \Leftrightarrow f (x) = 2

là số giao điểm của đồ thị hàm số

y = f (x)

và đường thẳng y = 2. Dựa vào BBT ta thấy đường thẳng y = 2cắt đồ thị hàm số

y = f (x)

tại 4 điểm.

Câu 14:

Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số

f (x) = x + \frac{9}{x + 1} + 2

trên đoạn

[0; 8]

lần lượt là:

A. 7 và 11.

B. 1 và 11.

C. 7 và 11.

D. -5 và 7.

Xem đáp án

Chọn B
Ta có

f^{'} (x) = - 1 + \frac{4}{{(x + 2)}^{2}}

f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow - 1 + \frac{4}{{(x + 2)}^{2}} = 0 \Leftrightarrow \frac{- x^{2} - 4 x}{{(x + 2)}^{2}} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \in [- 1; 2] \\ x = - 4 \notin [- 1; 2] \end{array} f (- 1) = - 2, f (0) = - 1, f (2) = - 2

Vậy

\underset{x \in [- 1; 2]}{M a x} f (x) = - 1

,

\underset{x \in [- 1; 2]}{M i n} f (x) = - 2

.

Câu 15:

Giá trị của tích phân

I = \int_{0}^{1} \frac{x}{x + 1} d x

là

A.

I = 1 + \ln 2

.

B.

I = 2 - \ln 2

.

C.

I = 1 - \ln 2

.

D.

I = 2 + \ln 2

.

Xem đáp án

Chọn C
Ta có:

I = \int_{0}^{1} \frac{x}{x + 1} d x = \int_{0}^{1} (1 - \frac{1}{x + 1}) d x = {(x - \ln |x + 1|)|}_{0}^{1} = 1 - \ln 2

.

Câu 16:

Hình hộp chữ nhật

A B C D . A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

có ba kích thước AB = a, AD = 2a, AA₁ = 3a. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng

(A_{1} B D)

bằng

A. a.

B.

\frac{7 a}{6}

.

C.

\frac{5 a}{7}

.

D.

\frac{6 a}{7}

.

Xem đáp án

Chọn D

Ta dựng

A E ⊥ B D; A F ⊥ A_{1} E

. Khi đó

\{\begin{cases} B D ⊥ A_{1} A \\ B D ⊥ A E \end{cases} \Rightarrow B D ⊥ A F \Rightarrow A ​ F ⊥ (A_{1} B D)

Ta có

\frac{1}{A F^{2}} = \frac{1}{A E^{2}} + \frac{1}{A {A_{1}}^{2}} = \frac{1}{A B^{2}} + \frac{1}{A D^{2}} + \frac{1}{A_{1} A^{2}} = \frac{49}{36 a^{2}}

Nên

d = A F = \frac{6 a}{7}

.

Câu 17:

Anh Đua muốn tiết kiệm tiền để sắm Iphone-X nên mỗi tháng đều đặn gửi vào ngân hàng một khoản tiền a đồng theo hình thức lãi kép với lãi suất 0,7 % mỗi tháng. Biết rằng sau 2 năm anh Đua có số tiền trong ngân hàng là 40 triệu đồng. Hỏi số tiền a gần với số tiền nào nhất trong các số sau ?

A.

1.500.000

đồng.

B.

1.525.717

đồng.

C.

1.525.718

đồng.

D.

1.525.500

đồng.

Xem đáp án

Chọn C
Sau 1 tháng anh Đua có số tiền là

(a + a .0, 007) + a = a .1, 007 + a

.
Sau 2 tháng anh Đua có số tiền là

a .1, 007^{2} + a .1, 007 + a

.
Sau 3 tháng anh Đua có số tiền gửi trong ngân hàng là

a .1, 007^{3} + a .1, 007^{2} + a .0, 007 + a

.
…
Sau 24 tháng anh Đua có số tiền

S_{24} = a .1, 007^{24} + a .1, 007^{23} + a .1, 007^{22} + ... + a .1, 007 = a .1, 007. \frac{1, 007^{24} - 1}{1, 007 - 1}

Ta có

40.000.000 = \frac{a}{0, 007} [{(1 + 0, 007)}^{24} - 1] . (1 + 0, 007) \Rightarrow a \approx 1.525.718

đồng.

Câu 18:

Lớp 12A có 15 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Thầy giáo gọi 4 học sinh lên bảng làm bài tập. Tính xác suất để 4 học sinh lên bảng có cả nam và nữ.s

A.

\frac{400}{501}

.

B.

\frac{307}{506}

.

C.

\frac{443}{506}

.

D.

\frac{443}{501}

.

Xem đáp án

Chọn C

Câu 19:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng

(α)

đi điểm M(1;;0;-2) và song song với mặt phẳng

(β) : 2 x - y + 3 z - 1 = 0

có phương trình là

A.

(α) : 2 x - y + 3 z - 4 = 0

.

B.

(α) : 2 x - y + 3 z + 4 = 0

.

C.

(α) : x - 2 y + 4 = 0

.

D.

(α) : x - 2 y - 4 = 0

.

Xem đáp án

Chọn B
Ta có:

M (1; 0; - 2) \in (α), (α) / / (β) \Rightarrow \vec{n_{(α)}} = \vec{n_{(β)}} = (2; - 1; 3)

Vậy phương trình mặt phẳng

(α) : 2 x - y + 3 z + 4 = 0

.

Câu 20:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B, AB = BC = a và AD = 2a.

S A ⊥ (A B C D)

và

S A = a \sqrt{6}

. Tính góc giữa SC và (ABCD).

A.

60 °

.

B.

30 °

.

C.

45 °

.

D.

115 °

.

Xem đáp án

Chọn A

Ta có:

S A ⊥ (A B C D) \Rightarrow A C

là hình chiếu của SC lên (ABCD).

\Rightarrow \hat{(S C, (A B C D))} = \hat{(S C, A C)} = \hat{S C A}

.
Xét tam giác SAC vuông tại A, ta có:

\tan \hat{S C A} = \frac{S A}{A C} = \frac{a \sqrt{6}}{a \sqrt{2}} = \sqrt{3} \Rightarrow \hat{S C A} = 60 °

.

Câu 21:

Tìm hệ số của

x^{7}

trong khai ttriển nhị thhức

{(2 x^{4} + \frac{1}{x^{3}})}^{n}

,

(x > 0)

. Biết rằng là số tự nhiên thỏa mãn .

A. 560.

B.

- 560

.

C. 650.

D.

- 650

.

Xem đáp án

Chọn A
Ta có:

{(2 x^{4} + \frac{1}{x^{3}})}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} C_{n}^{k} {(2 x^{4})}^{n - k} {(\frac{1}{x^{3}})}^{k} = \sum_{k = 0}^{n} {(2)}^{n - k} C_{n}^{k} x^{4 n - 7 k}

.
Theo bài, n là số tự nhiên thỏa mãn.

C_{n}^{2} + 2 A_{n}^{2} + n = 112 \Leftrightarrow 5 C_{n}^{2} + n = 112 \Leftrightarrow \frac{5}{2} n (n - 1) + n = 112 \Leftrightarrow n = 7

.
Hệ số của

x^{7}

trong khai triển là ứng với

4.7 - 7 k = 7 \Leftrightarrow k = 3 \Rightarrow T = 560

.

Câu 22:

Biết rằng phương trình

\log x . \log (100 x^{2}) = 4

có hai nghiệm có dạng

x_{1}

và

\frac{1}{x_{2}}

trong đó

x_{1}, x_{2}

là những số nguyên. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A.

x_{2} = \frac{1}{x_{1}^{2}}

.

B.

x_{2} = x_{1}^{2}

.

C.

x_{1} . x_{2} = 1

.

D.

x_{2} = 100 x_{1}

.

Xem đáp án

Chọn B
Điều kiện: x > 0.
Phương trình

\Leftrightarrow \log x (\log 100 + \log x^{2}) = 4 \Leftrightarrow \log x (2 + 2 \log x) = 4

\Leftrightarrow 2 \log^{2} x + 2 \log x - 4 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \log x = 1 \\ \log x = - 2 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 10 (t h ỏ a m ã n) \\ x = \frac{1}{100} (t h ỏ a m ã n) \end{array} .

Suy ra

x_{1} = 10

và

x_{2} = 100

nên

x_{2} = x_{1}^{2}

.

Câu 23:

Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a,

I J = \frac{a \sqrt{3}}{2}

(I, J lần lượt là trung điểm của BC và AD). Số đo góc giữa AB và CD bằng:

A.

150 °

.

B.

30 °

.

C.

60 °

.

D.

120 °

.

Xem đáp án

Chọn C

Gọi K là trung điểm BD
Ta có: $\{\begin{cases} I K ∥ C D \\ J K ∥ A B \end{cases} \Rightarrow (\hat{A B; C D}) = (\hat{J K; I K})$
Xét tam giác IKJ
$J K = \frac{A B}{2} = \frac{a}{2} = \frac{C D}{2} = I K C O S (I K; J K) = |C O S (\hat{I K J})| = |\frac{I K^{2} + J K^{2} - I J^{2}}{2. I K . J K}| = |- \frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$ .
Vậy $(\hat{A B; C D}) = 60 °$ .

Câu 24:

Trong không gian Oxyz, cho điểm

M (3; 3; - 2)

và hai đường thẳng

d_{1} : \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z}{1}

;

d_{2} : \frac{x + 1}{- 1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 2}{4}

. Đường thẳng d qua M cắt

d_{1}, d_{2}

lần lượt A và B. Tính độ dài đoạn thẳng AB.

A. AB = 2.

B. AB = 3.

C.

A B = \sqrt{6}

.

D.

A B = \sqrt{5}

.

Xem đáp án

Chọn B
* Lấy điểm

A (1 + a; 2 + 3 a; a) \in d_{1}

,

B (- 1 - b; 1 + 2 b; 2 + 4 b) \in d_{2}

, suy ra véctơ

\vec{M A} = (a - 2; 3 a - 1; a + 2)

,

\vec{M B} = (- b - 4; 2 b - 2; 4 b - 4)

Đường thẳng d qua M cắt

d_{1}, d_{2}

lần lượt A và B. Nên ba điểm M, A, B thẳng hàng, suy ra

\vec{M A} = k \vec{M B} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a - 2 = k (- b - 4) \\ 3 a - 1 = k (2 b - 2) \\ a + 2 = k (4 b - 4) \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 0 \\ b = 0 \end{cases} \Rightarrow A B = 3

Câu 25:

Tìm m để hàm số

y = x^{2} + 6 x + 2 \ln (x + 3) - m x - \sqrt{3}

đồng biến trên khoảng

(- 3; + \infty)

.

A.

m \leq 0

.

B.

m \leq 4

.

C.

m \geq 0

.

D.

m \geq - 4

.

Xem đáp án

Chọn B
Hàm số đã cho xác định và liên tục trên

(- 3; + \infty)

.
Ta có:

y^{'} = 2 x + 6 + \frac{2}{x + 3} - m

.
Hàm số đã cho đồng biến trên

(- 3; + \infty)

khi

y^{'} \geq 0, \forall x \in (- 3; + \infty) \Leftrightarrow 2 x + 6 + \frac{2}{x + 3} - m \geq 0, \forall x \in (- 3; + \infty)

\Leftrightarrow m \leq 2 x + 6 + \frac{2}{x + 3}, \forall x \in (- 3; + \infty) \Leftrightarrow m \leq \min_{(- 3; + \infty)} f (x)

với

f (x) = 2 x + 6 + \frac{2}{x + 3}

.
Ta có:

f (x) = 2 x + 6 + \frac{2}{x + 3} = 2 (x + 3 + \frac{1}{x + 3}) \geq 4

. Đẳng thức xảy ra khi

x = - 2

.
Do đó

\min_{(- 3; + \infty)} f (x) = 4

.
Vậy

m \leq 4

.

Câu 26:

Biết

\int_{1}^{2} \frac{x^{3} d x}{\sqrt{x^{2} + 1} - 1} = a \sqrt{5} + b \sqrt{2} + c

với a, b, c là các số hữu tỷ. Tính

P = a + b + c

.

A.

P = \frac{5}{2}

.

B.

P = \frac{7}{2}

.

C.

P = - \frac{5}{2}

.

D.

P = 2

.

Xem đáp án

Chọn A
Ta có:

\frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} + 1} - 1} = \frac{x^{3} (\sqrt{x^{2} + 1} + 1)}{x^{2}} = x (\sqrt{x^{2} + 1} + 1) = x \sqrt{x^{2} + 1} + x

.
Do đó:

\int_{1}^{2} \frac{x^{3} d x}{\sqrt{x^{2} + 1} - 1} = \int_{1}^{2} x \sqrt{x^{2} + 1} d x + \int_{1}^{1} x d x = I + J

.
Với

I = \int_{1}^{2} x \sqrt{x^{2} + 1} d x = \frac{1}{2} \int_{1}^{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} d (x^{2} + 1) = \frac{1}{3} {(x^{2} + 1) \sqrt{x^{2} + 1}|}_{1}^{2} = \frac{5}{3} \sqrt{5} - \frac{2}{3} \sqrt{2}

.
Và

J = \int_{1}^{2} x d x = {\frac{x^{2}}{2}|}_{1}^{2} = \frac{3}{2}

.
Suy ra

\int_{1}^{2} \frac{x^{3} d x}{\sqrt{x^{2} + 1} - 1} = \frac{5}{3} \sqrt{5} - \frac{2}{3} \sqrt{2} + \frac{3}{2}

. Khi đó

a = \frac{5}{3}

,

b = - \frac{2}{3}

,

c = \frac{3}{2}

. Vậy

P = a + b + c = \frac{5}{2}

.

Câu 27:

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có AB = a, góc giữa AC' và (ABC) bằng

30 °

. Tính thể tích V của khối trụ nội tiếp hình lăng trụ ABC.A'B'C'.

A.

V = \frac{π a^{3} \sqrt{3}}{12}

.

B.

V = \frac{π a^{3} \sqrt{3}}{36}

.

C.

V = \frac{π a^{3} \sqrt{3}}{108}

.

D.

V = \frac{π a^{3} \sqrt{3}}{72}

.

Xem đáp án

Chọn B

Độ dài đường trung tuyến trong tam giác đều cạnh a là $\frac{a \sqrt{3}}{2}$ .
Bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác đều cạnh a là $r = \frac{1}{3} . \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{a \sqrt{3}}{6}$ .
Góc giữa AC' và (ABC) bằng $30 °$ nên $C^{'} A C = 30 °$ , $\Rightarrow C^{'} C = A C . \tan 30 ° = \frac{a \sqrt{3}}{3}$ .
Chiều cao của khốI trụ là $h = \frac{a \sqrt{3}}{3}$ .
Thể tích khối trụ nội tiếp hình lăng trụ $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ là $V = π r^{2} h = π {(\frac{a \sqrt{3}}{6})}^{2} \frac{a \sqrt{3}}{3} = \frac{π a^{3} \sqrt{3}}{36}$ .

Câu 28:

Tìm M để phương trình

4^{x^{2}} - 2^{x^{2} + 2} + 6 = m

có ba nghiệm.

A.

m = 3

.

B.

m = 2

.

C.

m > 3

.

D.

2 < m < 3

.

Xem đáp án

Chọn A
Giải: Đặt $t = 2^{x^{2}}$ , $(t \geq 1)$ . Khi đó phương trình đã cho trở thành $t^{2} - 4 t + 6 = m$
Xét hàm số $f (t) = t^{2} - 4 t + 6$ trên nửa khoảng $[1; + \infty)$ .
Có $f^{'} (t) = 2 t - 4$ , $f^{'} (t) = 0 \Leftrightarrow 2 t - 4 = 0 \Leftrightarrow t = 2$
Ta có bảng biến thiên

Phương trình đã cho có đúng ba nghiệm khi và chỉ khi đường thẳng $y = m - 6$ cắt đồ thị hàm số f(t) tại một điểm có hoành độ bằng 1 và một điểm có hoành độ lớn hơn . Điều này tương đương với: $m - 6 = - 3 \Leftrightarrow m = 3$ .
Vậy giá trị cần tìm của m là m = 3.

Câu 29:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình

\frac{2 \sin x - 1}{\sin x + 3} = m

có nghiệm thuộc vào đoạn

[0; π]

?

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Xem đáp án

Chọn A
Với điều kiện

0 \leq x \leq π

, thì sinx thỏa mãn điều kiện

0 \leq \sin x \leq 1

.
Phương trình đã cho trở thành:

2 \sin x - 1 = m \sin x + 3 m

\Leftrightarrow (m - 2) \sin x = - 3 m - 1 \Rightarrow \sin x = \frac{- (3 m + 1)}{m - 2} (m \neq 2)

.
Vì

0 \leq \sin x \leq 1

, do đó

0 \leq \frac{- (3 m + 1)}{m - 2} \leq 1

+ Với

\frac{- (3 m + 1)}{m - 2} \geq 0 \Leftrightarrow (3 m + 1) (m - 2) \leq 0 \Leftrightarrow - \frac{1}{3} \leq m \leq 2

(1)
+ Với

\frac{- (3 m + 1)}{m - 2} \leq 1 \Leftrightarrow \frac{- 4 m + 1}{m - 2} \leq 0 \Leftrightarrow m \leq \frac{1}{4}

hoặc

m \geq 2

(@)
Từ và suy ra

- \frac{1}{3} \leq m \leq \frac{1}{4}

, vì

m \in ℤ \Rightarrow m = 0

Câu 30:

Đồ thị hàm số

f (x) = \frac{x \sqrt{x^{2} - 5} + x - 9}{x^{2} - 4 x + 3}

có tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Xem đáp án

Chọn C
Tập xác định

D = (- \infty; - \sqrt{5}] \cup [\sqrt{5}; + \infty)

.

\lim_{x \to + \infty} f (x) = \lim_{x \to + \infty} \frac{x \sqrt{x^{2} - 5} + x - 9}{x^{2} - 4 x + 3} = \lim_{x \to + \infty} \frac{\sqrt{1 - \frac{5}{x^{2}}} + \frac{1}{x} - \frac{9}{x^{2}}}{1 - \frac{4}{x} + \frac{3}{x^{2}}} = 1 \Rightarrow y = 1

là TCN.

\lim_{x \to + \infty} f (x) = \lim_{x \to + \infty} \frac{x \sqrt{x^{2} - 5} + x - 9}{x^{2} - 4 x + 3} = \lim_{x \to + \infty} \frac{- \sqrt{1 - \frac{5}{x^{2}}} + \frac{1}{x} - \frac{9}{x^{2}}}{1 - \frac{4}{x} + \frac{3}{x^{2}}} = - 1 \Rightarrow y = - 1

là TCN.

\lim_{x \to 3} f (x) = \lim_{x \to 3} \frac{x \sqrt{x^{2} - 5} + x - 9}{x^{2} - 4 x + 3} = \frac{15}{4} \Rightarrow x = 3

không phải là là TCĐ.

x = 1 \notin D

.
Vậy đồ thị có 3 tiệm cận.

Câu 31:

Cho hàm số y = f(x). Hàm số y = f'(x)có đồ thị như hình bên. Hàm số

y = f (1 - x^{2})

có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 1.

B. 5.

C. 3.

D. 6.

Xem đáp án

Chọn D
Ta có:

{(f (1 - x^{2}))}^{'} = (1 - 2 x) . f^{'} (1 - x^{2})

.
Ta có:

{(f (1 - x^{2}))}^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 1 - 2 x = 0 \\ 1 - x^{2} = - 1 \\ 1 - x^{2} = - 3 \\ 1 - x^{2} = 1 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{1}{2} \\ x = \pm \sqrt{2} \\ x = \pm 2 \\ x = 0 \end{array}

.

Câu 32:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;2;3) và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C khác với gốc tọa độ O sao cho biểu thức

6 O A + 3 O B + 2 O C

có giá trị nhỏ nhất.

A.

6 x + 2 y + 3 z - 19 = 0

.

B.

x + 2 y + 3 z - 14 = 0

.

C.

x + 3 y + 2 z - 13 = 0

.

D.

6 x + 3 y + 2 z - 18 = 0

.

Xem đáp án

Chọn D
Gọi

A (a; 0; 0), B (0; b; 0), C (0; 0 ; c)

với

a, b, c > 0

.
phương trình mặt phẳng (P) là:

\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1

(P) đi qua điểm

M (1; 2; 3)

nên

\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} = 1

;

6 O A + 3 O B + 2 O C = 6 a + 3 b + 2 c

6 a + 3 b + 2 c = (6 a + 3 b + 2 c) (\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c}) = 6 (a + \frac{b}{2} + \frac{c}{3}) (\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c}) \geq 6.9 = 54

.
Dấu bằng xảy ra:

\{\begin{cases} 6 a + 3 b + 2 c = 54 \\ \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} = 1 \\ a = \frac{b}{2} = \frac{c}{3} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 3 \\ b = 6 \\ c = 9 \end{cases}

.
Vậy

(P) : \frac{x}{3} + \frac{y}{6} + \frac{z}{9} = 1 \Leftrightarrow (P) : 6 x + 3 y + 2 z - 18 = 0

.

Câu 33:

Tổng các giá trị của tham số m để hàm số

y = |x^{5} - 5 x^{3} + 5 x^{2} + 10 m - 1|

có 3 điểm
cực trị là

A.

- \frac{13}{5}

.

B.

- \frac{27}{10}

.

C.

\frac{1}{10}

.

D.

\frac{14}{5}

.

Xem đáp án

Chọn A
Xét hàm số $y = x^{5} - 5 x^{3} + 5 x^{2} + 10 m - 1$ .
TXĐ: $D = ℝ$ .
Ta có $y^{'} = 5 x^{4} - 15 x^{2} + 10 x$ , $y^{'} = 0 \Leftrightarrow 5 x^{4} - 15 x^{2} + 10 x = 0$
$\Leftrightarrow x (x + 2) {(x - 1)}^{2} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 2 \\ x = 0 \\ x = 1 \end{array}$ .
Ta có $y^{'} = 0$ có nghiệm kép x = 1 nên qua x = 1 thì y' không đổi dấu.
Ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số $y = x^{5} - 5 x^{3} + 5 x^{2} + 10 m - 1$ có 2 điểm cực trị nên để hàm số $y = |x^{5} - 5 x^{3} + 5 x^{2} + 10 m - 1|$ có 3 điểm cực trị thì đồ thị $y = x^{5} - 5 x^{3} + 5 x^{2} + 10 m - 1$ phải cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt.
Suy ra $[\begin{array}{l} 10 m + 27 = 0 \\ 10 m - 1 = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = - \frac{27}{10} \\ m = \frac{1}{10} \end{array}$ .
Tổng các giá trị của m thỏa mãn là: $- \frac{27}{10} + \frac{1}{10} = - \frac{13}{5}$ .

Câu 34:

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;2;-1), B(2;3;4), C(3;5;-2). Đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, vuông góc với AB, CD với

D (0; 2; 0)

.

A. .

B. .

C. .

D. .

Xem đáp án

Chọn D
Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, khi đó thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng trung trực của AB và BC.
Mp trung trực của AB đi qua trung điểm

I (\frac{3}{2}; \frac{5}{2}; \frac{3}{2})

của AB và nhận vectơ

\vec{A B} = (1; 1; 5)

làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình :

2 x + 2 y + 10 z - 23 = 0

.
Tương tự ta có phương trình mp trung trực của BC:

2 x + 4 y - 12 z - 9 = 0

.
Mặt khác

K \in (A B C)

. (ABC) đi qua

A (1; 2; - 1)

và có VTPT

\vec{n} = [\vec{A C}, \vec{A B}] = (16; - 11; - 1)

với

\vec{A B} = (1; 1; 5)

,

\vec{A C} = (2; 3; - 1)

nên có phương trình:

16 x - 11 y - z + 5 = 0

.
Do đó toạ độ K là nghiệm của hệ phương trình :

\{\begin{cases} 2 x + 2 y + 10 z - 23 = 0 \\ 2 x + 4 y - 12 z - 9 = 0 \\ 16 x - 11 y - z + 5 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \frac{5}{2} \\ y = 4 \\ z = 1 \end{cases} \Rightarrow K (\frac{5}{2}; 4; 1)

Đường thẳng vuông góc với AB, CD nên có VTCP

\vec{u} = [\vec{A B}, \vec{C D}] = (17; - 17; 0)

với

\vec{A B} = (1; 1; 5), \vec{C D} = (- 3; - 3; 2)

, .

Vậy phương trình đường thẳng là:

\{\begin{cases} x = \frac{5}{2} + t \\ y = 4 - t \\ z = 1 \end{cases}

.

Câu 35:

Cho ba mặt phẳng (P): 2x - y + 2z - 2 = 0; (Q): x - 2y + 2z = 0;

(R) : 2 x - 2 y - 3 z + 18 = 0

. Hỏi có bao nhiêu mặt cầu tiếp xúc với cả ba mặt phẳng trên biết rằng bán kính của các mặt cầu đều bằng 10.

A. 3.

B. 4.

C. 6.

D. 8.

Xem đáp án

Chọn D

Dễ thấy ba mặt phẳng trên vuông góc với nhau đôi một nên chúng tạo thành tám góc vuông tại giao điểm của ba mặt phẳng và mặt cầu tiếp xúc cới cả ba mặt phẳng là ở tám góc đó. Suy ra có tám mặt cầu.

Câu 36:

Cho khối nón có độ dài đường sinh bằng 2a, góc giữa đường sinh và đáy bằng