42 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Bộ 20 đề thi giữa học kì 1 Toán 12 năm 2022-2023 có đáp án- Đề 20

Câu 1:

Hàm số $y = x^{3} - 3 x + 5$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(- 1; + \infty)$

B. $(- \infty; - 1) \cup (1; + \infty)$

C. $(- \infty; - 1) v à (1; + \infty)$

D. $(- \infty; 1)$

Xem đáp án

Chọn C

Ta có: TXĐ: $D = ℝ$ .

$y^{'} = 3 x^{2} - 3 \Rightarrow y^{'} > 0 \Leftrightarrow 3 x^{2} - 3 > 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x > 1 \\ x < - 1 \end{array}$ .

Vậy hàm số $y = x^{3} - 3 x + 5$ đồng biến trên khoảng $(- \infty; - 1)$ và $(1; + \infty)$ .

Câu 2:

Cho hàm số $y = \frac{2 x + 1}{x + 1}$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đồng biến trên

ℝ \ \{- 1\}

B. Hàm số đồng biến trên Cho hàm số y= 2x+1/ x+1. Khẳng định nào sau đây là đúng? (ảnh 1)

C. Hàm số đồng biến trên R.

D. Hàm số đồng biến trên các khoảng

(- \infty; - 1)

và

(- 1; + \infty)

.

Xem đáp án

Chọn D

Tập xác định: $D = ℝ \ \{- 1\}$ .

Ta có $y^{'} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} > 0$ , $\forall x \in D$ nên hàm số đồng biến trên các khoảng $(- \infty; - 1)$ và $(- 1; + \infty)$ .

Câu 3:

Cho hàm số y= f(x) có bảng biến thiên như sau:

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số có điểm cực tiểu

x = - 1

.

B. Hàm số có điểm cực tiểu

x = 3

.

C. Hàm số có điểm cực tiểu x=0.

D. Hàm số có điểm cực đại

x = 4

.

Xem đáp án

Chọn B

Mệnh đề đúng là: Hàm số có điểm cực tiểu x=3.

Câu 4:

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R và có bảng xét dấu đạo hàm như sau. Hỏi hàm số y= f(x) có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 1

B. 4

C. 3

D. 2

Xem đáp án

Chọn D

Dựa vào bảng xét dấu đạo hàm, ta thấy hàm số $y = f (x)$ có 2 điểm cực trị là $x = - 1; x = 3$ .

Câu 5:

Đường cong trong hình vẽ bên là của hàm số nào trong bốn hàm số dưới đây?

A. $y = - x^{4} + 2 x^{2} - 1$

B. $y = - x^{3} + 3 x^{2} - 1$

C. $y = x^{4} - x^{2} - 4$

D. $y = x^{4} - 2 x^{2} - 1$

Xem đáp án

Chọn D

Đường cong trong hình vẽ bên là của hàm số nào trong bốn hàm số dưới đây? (ảnh 2)

Do đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số trùng phương $y = a x^{4} + b x^{2} + c$ với hệ số $a > 0$ nên ta loại đáp án A và B.

Mặt khác, đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -1 nên loại đáp án C, và rõ ràng đáp án D thỏa mãn.

Câu 6:

Đường cong ở hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số nào trong bốn hàm số dưới đây?

A. $y = - x^{3} + 3 x + 1$

B. $x^{4} - 2 x^{2} + 1$

C. $x^{3} - 3 x + 1$

D. $x^{3} - 3 x^{2} + 1$

Xem đáp án

Chọn C

Quan sát đồ thị hàm số ta thấy:

Đồ thị của hàm số $y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ với $a > 0$ . Nên loại A và B.

Đồ thị hàm số đi qua điểm $(- 1; 3)$ . Nên loại D.

Câu 7:

Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x - 1}{x + 3}$ là

A. $y = - \frac{1}{3}$

B. $y = 2$

C. $y = - 3$

D. $x = 2$

Xem đáp án

Chọn B

Tập xác định : $D = ℝ$ .

Ta có : $\lim_{x \to + \infty} \frac{2 x - 1}{x + 3} = 2$ , $\lim_{x \to - \infty} \frac{2 x - 1}{x + 3} = 2$ nên đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang y=2.

Câu 8:

Đồ thị hàm số $y = \frac{2 x + 1}{x + 1}$ có đường tiệm cận đứng là

A. x=1

B. $y = - 1$

C. $x = - 1$

D. $y = 2$

Xem đáp án

Chọn C

Ta có: $\{\begin{cases} \lim_{x \to - 1^{-}} \frac{2 x + 1}{x + 1} = + \infty \\ \lim_{x \to - 1^{+}} \frac{2 x + 1}{x + 1} = - \infty \end{cases} \Rightarrow x = - 1$ là tiệm cận đứng.

Câu 9:

Tìm tập xác định của hàm số $y = {(2 + x)}^{\frac{2}{3}}$ .

A. $(- 2; + \infty)$

B. R

C. $(- \infty; - 2]$

D. $ℝ \ \{2\}$

Xem đáp án

Chọn A

Ta có: $\frac{2}{3} \notin ℤ$ nên hàm số xác định khi $2 + x > 0 \Leftrightarrow x > - 2$ .

Vậy $D = (- 2; + \infty)$ .

Câu 10:

Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 35$ trên đoạn $[- 4; 4]$ lần lượt là $M, m$ . Khi đó $M + m$ bằng

A. 2

B. -2

C. -1

D. 1

Xem đáp án

Chọn C

Ta có $y^{'} = 3 x^{2} - 6 x - 9$ . Giải phương trình $y^{'} = 0 \Leftrightarrow 3 x^{2} - 6 x - 9 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \in (- 4; 4) \\ x = 3 \in (- 4; 4) \end{array}$ .

Do $y (- 4) = - 41$ ; $y (4) = 15$ ; $y (- 1) = 40$ ; $y (3) = 8$ nên $M = \max_{[- 4; 4]} y = y (- 1) = 40$ ; $m = \min_{[- 4; 4]} y = y (- 4) = - 41$ .

Vậy $M + m = - 1$ .

Câu 11:

Cho hàm số $y = f (x)$ xác định trên R và có đồ thị như hình vẽ. Phương trình $f (x) = 2$ có bao nhiêu nghiệm thực?

A. 3

B. 4

C. 3

D. 1

Xem đáp án

Chọn C

Dựa vào đồ thị hàm số $y = f (x)$ , đường thẳng y=2 cắt đồ thị hàm số $y = f (x)$ tại đúng 3

điểm phân biệt, suy ra phương trình $f (x) = 2$ có 3 nghiệm thực phân biệt.

Câu 12:

Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Không tồn tại một hình đa diện có số mặt bằng số đỉnh.

B. Tồn tại một hình đa diện có số đỉnh lớn hơn số cạnh.

C. Mỗi đa diện bất kì có ít nhất 4 đỉnh.

D. Mỗi đa diện bất kì có ít nhất 3 mặt.

Xem đáp án

Chọn C

Câu 13:

Hình nào sau đây không phải hình đa diện đều?

A. Hình hộp chữ nhật.

B. Hình lập phương.

C. Hình tứ diện đều.

D. Hình bát diện đều.

Xem đáp án

Chọn A

Câu 14:

Thể tích V của khối lập phương có cạnh bằng a là:

A. $V = 3 a^{3}$

B. $V = \frac{a^{3}}{6}$

C. $V = \frac{a^{3}}{2}$

D. $V = a^{3}$

Xem đáp án

Chọn D

Thể tích V của khối lập phương có cạnh bằng a là: $V = a^{3}$ .

Câu 15:

Cho lăng trụ đều ABCA'B'C' có cạnh đáy bằng a, độ dài cạnh bên bằng $a \sqrt{3}$ . Tính thể tích V của khối lăng trụ.

A. $V = a^{3}$

B. $V = \frac{3}{4} a^{3}$

C. $V = 3 a^{3}$

D. $V = \frac{1}{4} a^{3}$

Xem đáp án

Chọn B

Ta có: $S_{A B C} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$ ; $A A^{'} = a \sqrt{3}$ .

Vậy

V = S_{A B C} . A A^{'} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} . a \sqrt{3} = \frac{3}{4} a^{3}

.

Câu 16:

Cho khối chóp SABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau và SA=a, SB=2a, SC=3a Thể tích của khối chóp SABC là

A. $\frac{a^{3}}{3}$

B. $2 a^{3}$

C. $a^{3}$

D. $\frac{a^{3}}{6}$

Xem đáp án

Chọn C

Cho khối chóp SABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau và SA=a, SB=2a, SC=3a Thể tích của khối chóp SABC là (ảnh 1)

Vì $S A, S B, S C$ một vuông góc với nhau nên $V_{S . A B C} = \frac{1}{6} S A . S B . S C = \frac{1}{6} a .2 a .3 a = a^{3}$ .

Câu 17:

Tìm tập xác định D của hàm số $y = {(x^{2} - 3 x)}^{- 2020}$ .

A. $D = (- \infty; 0] \cup [3; + \infty)$

B. $D = ℝ \ \{0; 3\}$

C. $D = (- \infty; 0) \cup (3; + \infty)$

D. $D = (0; 3)$

Xem đáp án

Chọn B

Hàm số $y = {(x^{2} - 3 x)}^{- 2020}$ xác định $\Leftrightarrow x^{2} - 3 x \neq 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \neq 0 \\ x \neq 3 \end{cases}$ .

Vậy $D = ℝ \ \{0; 3\}$ .

Câu 18:

Cho khối chóp SABCD có ABCD là hình vuông cạnh 2a, $S A ⊥ (A B C D)$ và SA=a Thể tích của khối chóp đã cho bằng

A. $4 a^{3} .$

B. $\frac{a^{3}}{3} .$

C. $a^{3} .$

D. $\frac{4 a^{3}}{3} .$

Xem đáp án

Chọn D

Cho khối chóp SABCD có ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA vuông góc ( ABCD) và SA=a Thể tích của khối chóp đã cho bằng (ảnh 1)

· Thể tích của khối chóp đã cho bằng: $V = \frac{1}{3} . S_{A B C D} . S A = \frac{1}{3} . {(2 a)}^{2} . a = \frac{4 a^{3}}{3}$ (đvtt).

Câu 19:

Viết biểu thức

\sqrt{a \sqrt{a}} (a > 0)

về dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ là

A. $a^{\frac{5}{4}}$

B. $a^{\frac{1}{4}}$

C. $a^{\frac{3}{4}}$

D. $a^{\frac{1}{2}}$

Xem đáp án

Chọn C

Ta có $\sqrt{a \sqrt{a}} = \sqrt{a . a^{\frac{1}{2}}} = \sqrt{a^{\frac{3}{2}}} = a^{\frac{3}{4}}$ .

Câu 20:

Trong các hình đa diện đều sau, hình nào có số đỉnh nhỏ hơn số mặt?

A. Hình tứ diện đều

B. Hình 20 mặt đều.

C. Hình lập phương

D. Hình 12 mặt đều.

Xem đáp án

Chọn B

Hình 20 mặt đều có 12 đỉnh và 20 mặt.

Các khối còn lại đều có số đỉnh lớn hơn số măt.

Câu 21:

Số mặt phẳng đối xứng của khối đa diện đều loại $\{4; 3\}$ là

A. 6

B. 9

C. 8

D. 3

Xem đáp án

Chọn B

Khối đa diện đều loại $\{4; 3\}$ là khối lập phương, do đó số mặt phẳng đối xứng là 9.

Số mặt phẳng đối xứng của khối đa diện đều loại {4,3} là (ảnh 1)

Câu 22:

Cho hàm số y=f(x). Hàm số y=f'(x) có đồ thị như hình vẽ.

Hỏi hàm số y=f(x) đồng biến trên khoảng nào sau đây ?

A. $(- 1; 1)$

B. $(1; 4)$

C. $(- \infty; - 1)$

D. $(- \infty; - 1)$

Xem đáp án

Chọn A

Dựa vào đồ thị hàm số $y = f^{'} (x)$ , ta có bảng xet dấu của $f^{'} (x)$ như sau

Cho hàm số y=f(x). Hàm số y=f'(x) có đồ thị như hình vẽ. Hỏi hàm số y=f(x) đồng biến trên khoảng nào sau đây ? (ảnh 2)

Do đó hàm số $y = f (x)$ đồng biến trên các khoảng $(- 1; 1)$ và $(4; + \infty)$ . Chọn đáp án A.

Câu 23:

Cho hàm số y= f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ.

Giá trị nhỏ nhất của hàm số y=f(x) trên đoạn $[- 1; 1]$ bằng

A. 1

B. 3

C. -1

D. 0

Xem đáp án

Chọn D

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy $\min_{[- 1; 1]} y = 0$ .

Câu 24:

Hình lăng trụ tam giác có tất cả bao nhiêu mặt?

A. 6

B. 3

C. 9

D.. 5

Xem đáp án

Chọn D

Hình lăng trụ tam giác có tất cả bao nhiêu mặt? (ảnh 1)

Khối lăng trụ tam giác $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ có 5 mặt (3 mặt bên và 2 mặt đáy).

Câu 25:

Cho hàm số $y = \frac{a x + b}{c x + d}, (d < 0)$ và có đồ thị như hình bên

Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $a < 0, b > 0, c < 0$

B. $a > 0, b > 0, c > 0$

C. $a > 0, b > 0, c < 0$

D. $a > 0, b < 0, c > 0$

Xem đáp án

Chọn B

Đồ thị cắt trục Oy tại điểm có tung độ âm

$\Rightarrow \frac{b}{d} < 0 \Leftrightarrow b > 0$ (loại D)

Đồ thị có tiệm cận đứng $x = - \frac{d}{c} > 0 \Leftrightarrow c > 0$ (loại A,C).

Câu 26:

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như sau

Số nghiệm thực của phương trình $4 - 3 f (x) = 0$ là

A. 1

B. 3

C. 2

D. 4

Xem đáp án

Chọn D

Ta có $4 - 3 f (x) = 0 \Leftrightarrow f (x) = \frac{4}{3}$ .

Dựa vào bảng biến thiên ta nhận thấy đường thẳng $y = \frac{4}{3}$ cắt đồ thị tại 4 điểm phân biệt, hay phương trình $4 - 3 f (x) = 0$ có 4 nghiệm thực phân biệt.

Câu 27:

Đạo hàm của hàm số $y = {(1 - x)}^{2019}$ tại x=0 bằng

A. 2019

B. $- 2019. x^{2018}$

C. $2019. x^{2018}$

D. $- 2019$

Xem đáp án

Chọn D

$y = {(1 - x)}^{2019} \Rightarrow y^{'} = 2019. {(1 - x)}^{2018} . {(1 - x)}^{'} = 2019. {(1 - x)}^{2018} . (- 1)$

$y^{'} (0) = 2019.1. (- 1) = - 2019$ .

Câu 28:

Cho biểu thức $P = \sqrt[3]{x \sqrt[4]{x^{3} \sqrt{x}}}$ , với $x > 0$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $P = x^{\frac{1}{2}}$

B. $P = x^{\frac{7}{24}}$

C. $P = x^{\frac{5}{8}}$

D. $P = x^{\frac{7}{12}}$

Xem đáp án

Chọn C

Ta có: $P = \sqrt[3]{x \sqrt[4]{x^{3} . x^{\frac{1}{2}}}} = \sqrt[3]{x \sqrt[4]{x^{3} \sqrt{x}}} = \sqrt[3]{x \sqrt[4]{x^{\frac{7}{2}}}} = \sqrt[3]{x . x^{\frac{7}{8}}} = x^{\frac{5}{8}}$ .

Câu 29:

Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA=2a. Gọi M là trung điểm của cạnh . Thể tích khối chóp SADCM là

A. $6 a^{3}$

B. $2 a^{3}$

C. $\frac{8 a^{3}}{3}$

D. $\frac{4 \sqrt{2} a^{3}}{3}$

Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA=2a. Gọi M là trung điểm của cạnh . (ảnh 3)

Xem đáp án

Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA=2a. Gọi M là trung điểm của cạnh . (ảnh 1)

Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA=2a. Gọi M là trung điểm của cạnh . (ảnh 2)

Câu 30:

Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông. Mặt bên SAB là tam giác đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với ( ABCD). Tính thể tích của khối chóp SABCD.

A. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{2}$

B. $a^{3}$

C. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}$

D. $\frac{a^{3}}{3}$

Xem đáp án

Chọn C

Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông. Mặt bên SAB là tam giác đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với ( ABCD). (ảnh 1)

Gọi H là trung điểm AB.

Ta có: $\{\begin{cases} (S A B) ⊥ (A B C D) \\ (S A B) \cap (A B C D) = A B \\ S H ⊥ A B, S H \subset (S A B) \end{cases} \Rightarrow S H ⊥ (A B C D)$ .

Thể tích của khối chóp $S . A B C D$ là $V = \frac{1}{3} S H . S_{A B C D}$ $= \frac{1}{3} . \frac{a \sqrt{3}}{2} . a^{2} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}$

Câu 31:

Cho hàm số $y = a x^{4} + b x^{2} + c$ có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. $a > 0, b < 0, c < 0$

B. $a < 0, b < 0, c < 0$

C. $a < 0, b > 0, c < 0$

D. $a > 0, b < 0, c > 0$

Xem đáp án

Chọn C.

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm nằm bên dưới trục hoành nên c<0.

$\lim_{x \to + \infty} (a x^{4} + b x^{2} + c) = \lim_{x \to + \infty} x^{4} (a + \frac{b}{x^{2}} + \frac{c}{x^{4}}) = - \infty \Rightarrow a < 0$ .

Hàm số có ba điểm cực trị nên $a . b < 0$ . Suy ra $b > 0$ .

Câu 32:

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên R. Biết rằng hàm số y=f(x) có đồ thị như hình bên. Đặt $g (x) = f (f (x))$ . Hỏi hàm số g(x) có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 4

B. 5

C. 7

D. 6

Xem đáp án

Chọn D

Ta có $g^{'} (x) = f^{'} (x) . f^{'} (f (x))$

$\Rightarrow g^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} f^{'} (x) = 0 \\ f^{'} (f (x)) = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 2 \\ f (x) = 0 \\ f (x) = 2 \end{array}$

Số cực trị của hàm số $g (x)$ là số nghiệm đơn của phương trình $g^{'} (x) = 0$

Dựa vào đồ thị ta thấy $f (x) = 0$ có 3 nghiệm đơn phân biệt, $f (x) = 2$ có 1 nghiệm đơn và 1 nghiệm kép.

Nên $g^{'} (x) = 0$ có 6 nghiệm đơn phân biệt.

Vậy hàm số g(x) có 6 điểm cực trị.

Câu 33:

Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số $y = \frac{m x^{2} - 1}{x^{2} - 3 x + 2}$ có đúng hai đường tiệm cận?

A. 2

B. 1

C. vô số

D. 3

Xem đáp án

Chọn A

Hàm số cho có tập xác định là $ℝ \ \{1; 2\} ℝ \ \{1; 2\}$ .

Đặt $f (x) = m x^{2} - 1$ .

$\lim_{x \to \pm \infty} y = m, \forall m$ $\Rightarrow$ đồ thị hàm số đã cho luôn có một tiệm cận ngang là đường thẳng $y = m$ .

Vậy để đồ thị hàm số đã cho có đúng hai tiệm cận chỉ khi đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận đứng $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} f (1) = m - 1 = 0 \\ f (2) = 4 m - 1 \neq 0 \end{cases} \\ \{\begin{cases} f (1) = m - 1 \neq 0 \\ f (2) = 4 m - 1 = 0 \end{cases} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 1 \\ m = \frac{1}{4} \end{array}$

Câu 34:

Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành với AB= a, AD= 2a, $, \hat{B A D} = 60^{\circ}$ .

SA vuông góc với đáy, góc giữa SCvà mặt phẳng đáy là 60 $°$ . Tính thể tích khối chóp SABCD

A. $a^{3}$

B. $\frac{a^{3}}{\sqrt{7}}$

C. $a^{3} \sqrt{7}$

D. $\frac{2 a^{3}}{\sqrt{7}}$

Xem đáp án

Chọn C

Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành với AB= a, AD= 2a, góc BAD= 60 độ . SA vuông góc với đáy, góc giữa SC và mặt phẳng đáy (ảnh 1)

$S_{A B C D} = 2 S_{Δ A B D} = 2. \frac{1}{2} . A B . A D . \sin \hat{B A D} = A B . A D . \sin \hat{B A D} = 2 a^{2} . \frac{\sqrt{3}}{2} = a^{2} \sqrt{3} .$

$B D = a \sqrt{3} \Rightarrow A C = 2 A I = 2. \frac{a \sqrt{7}}{2} = a \sqrt{7}$ .

Xét tam giác SAC vuông ở A: $S A = A C . tanC = a \sqrt{7} . \tan 60^{\circ} = a \sqrt{21}$

Thể tích khối chóp

V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} . a^{2} \sqrt{3} . a \sqrt{21} = a^{3} \sqrt{7}

.

Câu 35:

Cho khối lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a, A'B tạo với mặt phẳng ( ABC) một góc bằng 60 $°$ . Thể tích của khối lăng trụ $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ bằng

A. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{2}$

B. $\frac{a^{3}}{4}$

C. $\frac{3 a^{3}}{2}$

D. $\frac{3 a^{3}}{4}$

Xem đáp án

Chọn D

Cho khối lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a, A'B tạo với mặt phẳng ( ABC) một góc bằng 60. Thể tích của khối lăng trụ ABCA'B'C' bằng (ảnh 1)

Tam giác ABC đều cạnh a nên $S_{Δ A B C} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$ .

$A A^{'} ⊥ (A B C)$ $\Rightarrow \hat{(A^{'} B, (A B C))} = \hat{A^{'} B A} = 60 °$ .

$\tan \hat{A^{'} B A} = \frac{A A^{'}}{A B}$ $\Rightarrow A A^{'} = a . \tan 60 ° = a \sqrt{3}$ .

Vậy $V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} = S_{Δ A B C} . A A^{'}$ $= \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} . a \sqrt{3}$ $= \frac{3 a^{3}}{4}$ .

Câu 36:

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R và có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên.

Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y=f(x) trên $[- 1; \frac{3}{2}]$ . Giá trị của $M + m$ bằng

A. 4

B. 3

C. $\frac{1}{2}$

D. 5

Xem đáp án

Chọn B

Dựa vào đồ thị ta có :

\{\begin{cases} \min \underset{[- 1; \frac{3}{2}]}{f (x)} = - 1 \\ \max \underset{[- 1; \frac{3}{2}]}{f (x)} = 4 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} M = 4 \\ m = - 1 \end{cases} \Rightarrow M + m = 3

Câu 37:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn $[- 10; 10]$ để hàm số $y = \frac{1}{3} (m^{2} - 2 m) x^{3} + m x^{2} + 3 x$ đồng biến trên R?

A. 18

B. 17

C. 20

D. 19

Xem đáp án

Chọn D

Hàm số có tập xác định là R.

Ta có: $y^{'} = (m^{2} - 2 m) x^{2} + 2 m x + 3$ .

Hàm số đã cho đồng biến trên R $\Leftrightarrow y^{'} \geq 0, \forall x \in ℝ \Leftrightarrow (m^{2} - 2 m) x^{2} + 2 m x + 3 \geq 0, \forall x \in ℝ (*)$

+ Trường hợp 1: $m^{2} - 2 m = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 0 \\ m = 2 \end{array}$ .

Với m=0: $(*) \Leftrightarrow 3 \geq 0, \forall x \in ℝ \Rightarrow m = 0$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Với $m = 2$ : $(*) \Leftrightarrow 4 x + 3 \geq 0, \forall x \in ℝ \Leftrightarrow x \geq - \frac{4}{3}, \forall x \in ℝ \Rightarrow m = 2$ không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

+ Trường hợp 2: $m^{2} - 2 m \neq 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} m \neq 0 \\ m \neq 2 \end{cases}$ , khi đó:

$(*) \Leftrightarrow \{\begin{cases} a > 0 \\ Δ^{'} \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m^{2} - 2 m > 0 \\ - 2 m^{2} + 6 m \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} [\begin{array}{l} m < 0 \\ m > 2 \end{array} \\ [\begin{array}{l} m \leq 0 \\ m \geq 3 \end{array} \end{cases} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m < 0 \\ m \geq 3 \end{array}$ .

Từ hai trường hợp trên ta có: $[\begin{array}{l} m \leq 0 \\ m \geq 3 \end{array}$ .

Vậy có 19 giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn $[- 10; 10]$ thỏa yêu cầu bài toán là: $- 10; - 9; ...0; 3; 4; ...; 10$ .

Câu 38:

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Hỏi phương trình $f (2 - f (x)) = 1$ có tất cả bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?

A. 6

B. 4

C. 3

D. 5

Xem đáp án

Chọn C

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Hỏi phương trình f(2-f(x))=1 có tất cả bao nhiêu nghiệm thực phân biệt? (ảnh 1)

Ta có: $f (2 - f (x)) = 1 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 2 - f (x) = 1 \\ 2 - f (x) = - 2 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} f (x) = 1 \\ f (x) = 4 \end{array}$

$f (x) = 4 \Leftrightarrow x = a$ , $(a < - 2)$

$f (x) = 1 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = - 2 \end{array}$

Vậy phương $f (2 - f (x)) = 1$ có 3 nghiệm phân biệt.

Câu 39:

Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, cạnh SA vuông góc với đáy và mặt phẳng ( SBC) tạo với đáy một góc bằng 60 $°$ . Thể tích của khối chóp SABCD bằng

A. $\frac{3 a^{3} \sqrt{3}}{8}$

B. $\frac{3 a^{3} \sqrt{3}}{4}$

C. $\frac{8 a^{3} \sqrt{3}}{3}$

D. $\frac{4 a^{3} \sqrt{3}}{3}$

Xem đáp án

Chọn C

Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, cạnh SA vuông góc với đáy và mặt phẳng ( SBC) tạo với đáy một góc bằng 60 độ (ảnh 1)

$S_{A B C D} = {(2 a)}^{2} = 4 a^{2}$ .

$B C ⊥ (S A B)$ $\Rightarrow \hat{((S B C), (A B C D))} = \hat{S B A} = 60 °$ .

$\tan \hat{S B A} = \frac{S A}{A B}$ $\Rightarrow S A = 2 a . \tan 60 ° = 2 a \sqrt{3}$ .

Vậy

V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S_{A B C D} . S A

= \frac{1}{3} .4 a^{2} .2 a \sqrt{3} = \frac{8 a^{3} \sqrt{3}}{3}

.

Câu 40:

Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Trên các cạnh SA, SB,SC lần lượt lấy các điểm A', B', C' sao cho $S A = 2 S A^{'}, S B = 3 S B^{'}, S C = 4 S C^{'}$ , mặt phẳng $(A^{'} B^{'} C^{'})$ cắt cạnh SD tại D'. Gọi $V_{1}, V_{2}$ lần lượt là thể tích hai khối chóp $S . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ và $S . A B C D$ . Tỉ số $\frac{V_{1}}{V_{2}}$ bằng

A. $\frac{7}{24}$

B. $\frac{1}{26}$

C. $\frac{7}{12}$

D. $\frac{1}{24}$

Xem đáp án

Chọn D

Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Trên các cạnh SA, SB,SC lần lượt lấy các điểm A', B', C' sao cho (ảnh 1)

Gọi $O = A C \cap B D; I = A^{'} C^{'} \cap S O$ . Gọi $D^{'} = B^{'} I \cap S D$ . Khi đó $D^{'}$ là giao điểm của SD và $(A^{'} B^{'} C^{'})$ .

Ta có $\frac{S A}{S A^{'}} + \frac{S C}{S C^{'}} = 2 \frac{S O}{S I} \Rightarrow \frac{S O}{S I} = 3$ .

Ta lại có $\frac{S B}{S B^{'}} + \frac{S D}{S D^{'}} = 2 \frac{S O}{S I} \Rightarrow \frac{S D}{S D^{'}} = 3$ .

Ta có $V_{1} = V_{S . A^{'} B^{'} C^{'}} + V_{S . A^{'} C^{'} D^{'}}$ .

Mà $\frac{V_{S . A^{'} B^{'} C^{'}}}{V_{S . A B C}} = \frac{S A^{'}}{S A} . \frac{S B^{'}}{S B} . \frac{S C^{'}}{S C} = \frac{1}{24} \Rightarrow V_{S . A^{'} B^{'} C^{'}} = \frac{1}{48} V_{2}$ .

$\frac{V_{S . A^{'} C^{'} D^{'}}}{V_{S . A C D}} = \frac{S A^{'}}{S A} . \frac{S C^{'}}{S C} . \frac{S D^{'}}{S D} = \frac{1}{24} \Rightarrow V_{S . A^{'} C^{'} D^{'}} = \frac{1}{48} V_{2}$ .

Vậy ta được $V_{1} = V_{S . A^{'} B^{'} C^{'}} + V_{S . A^{'} C^{'} D^{'}} = \frac{1}{24} V_{2} \Rightarrow \frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{1}{24}$ .

Câu 41:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $f (x) = x^{3} - 3 x + 1.$

Xem đáp án

Tập xác định của hàm số: D=R

$\begin{array}{l} f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 \\ f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow 3 x^{2} - 3 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \\ x = 1 \end{array} . \end{array}$

$\lim_{x \to + \infty} y = + \infty; \lim_{x \to - \infty} y = - \infty$

Bảng biến thiên:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số f(x)= x^3-3x+1 (ảnh 1)

Hàm số đồng biến trên các khoảng $(- \infty; - 1); (1; + \infty)$ và nghịch biến trên khoảng $(- 1; 1) .$

Hàm số đạt cực đại tại $x = - 1$ , giá trị cực đại $y = 3$ .

Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 1$ , giá trị cực tiểu y=-1.

Đồ thị

Câu 42:

Cho khối chóp SABC có SA vuông góc với ( ABC), đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, BC= 2a, góc giữa SB và ( ABC) là 60 $°$ . Tính thể tích khối chóp $S . A B C$ .

Xem đáp án

Cho khối chóp SABC có SA vuông góc với ( ABC), đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, BC= 2a, góc giữa SB và ( ABC) là 60. Tính thể tích khối chóp SABC . (ảnh 1)

Cho khối chóp SABC có ABC vuông góc với

(A B C)

, đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, BC= 2a, góc giữa SB và

(A B C)

là 60

°

. Tính thể tích khối chóp

S . A B C

.

· Theo giả thiết; $A B = A C = \frac{B C}{\sqrt{2}} = a \sqrt{2}$ và $60 ° = \hat{[S B; (A B C)]} = \hat{S B A}$ .

· $Δ S A B$ vuông tại A; $S A = A B . \tan 60 ° = a \sqrt{6}$ .

· Vậy thể tích khối chóp $S . A B C$ : $V = \frac{1}{3} . S_{A B C} . S A = \frac{1}{3} . (\frac{1}{2} .2 a^{2}) . a \sqrt{6} = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{3}$ (đvtt).