35 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Bộ 20 đề thi giữa kì 1 Toán 12 năm 2022-2023 có đáp án (Đề 16)

Câu 1:

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đạt cực đại tại điểm nào sau đây?

A. \(y = - 2\).

B. \(y = 2\).

C. \(x = 1\).

D. \(x = - 1\).

Xem đáp án

Lời giải

Chọn D

Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số đả cho đạt cực đại tại điểm \(x = - 1\).

Câu 2:

Hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên \(\left[ { - 1;3} \right]\) có bảng biến thiên

Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ { - 1;3} \right]\) là

A. 1.

B. -2.

C. 0.

D. 2.

Xem đáp án

Lời giải

Chọn B

Dựa vào bảng biến thiên suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số trên \(\left[ { - 1;3} \right]\)bằng -2.

Câu 3:

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định, liên tục trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\)và có bảng biến thiên như sau:

Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hàm số đã cho có hai điểm cực trị.

B. Hàm số không có cực trị.

C. Hàm số đã cho đạt cực đại tại \(x = - 1\).

D. Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại \(x = 1\).

Xem đáp án

Lời giải

Chọn D

Từ bảng biến thiên trên ta thấy:

Hàm số đã cho có 1 điểm cực trị suy ra đáp án A và D sai.

Hàm số có đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm qua \(x = - 1\), nhưng hàm số không xác định tại

\(x = - 1\) nên hàm số không đạt cực trị tại \(x = - 1\). Suy ra đáp án B sai.

Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại \(x = 1\). Suy ra đáp án C đúng.

Câu 4:

Khối bát diện đều có số cạnh là

A. \(16\).

B. \(12\).

C. \(6\).

D. \(8\).

Xem đáp án

Lời giải

Chọn B

Số cạnh của khối bát diện đều là \(12\) cạnh.

Câu 5:

Tính thể tích một khối chóp biết khối chóp đó có đường cao bằng \(12a\), diện tích đáy bằng \({a^2}\).

A. \(4{a^3}\).

B. \(4{a^2}\).

C. \(12{a^3}\).

D. \(12{a^2}\).

Xem đáp án

Lời giải

Chọn A

Thể tích khối chóp đã cho là: \(V = \frac{1}{3}.12a.{a^2} = 4{a^3}\).

Câu 6:

Các đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}}\)là

A. \(x = 1;y = 2\).

B. \(x = - 1;y = - 2\).

C. \(x = 1;y = - 2\).

D. \(x = 2;y = 1\).

Xem đáp án

Lời giải

Chọn A

Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).

Ta có \(\mathop {lim}\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {lim}\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{2x + 1}}{{x - 1}} = - \infty ;\mathop {lim}\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {lim}\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{2x + 1}}{{x - 1}} = + \infty \).

Do đó, đường thẳng \(x = 1\)là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có \(\mathop {lim}\limits_{x \to \pm \infty } y = \mathop {lim}\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{2x + 1}}{{x - 1}} = 2\).

Do đó, đường thẳng \(y = 2\)là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Câu 7:

Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số \[y = {x^3} - 3x + 3\] và đường thẳng \[y = x\].

A. \(1\).

B. \(2\).

C. \(3\).

D. \(0\).

Xem đáp án

Lời giải

Chọn C

Xét phương trình hoành độ giao điểm: \[{x^3} - 3x + 3 = x\]\[ \Leftrightarrow {x^3} - 4x + 3 = 0\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \frac{{ - 1 + \sqrt {13} }}{2}\\x = \frac{{ - 1 - \sqrt {13} }}{2}\end{array} \right.\].

Vậy đồ thị hai hàm số có ba giao điểm.

Câu 8:

Hàm số \[y = - {x^3} + 3{x^2} - 1\] đồng biến trên khoảng

A. \[\left( {1;\, + \infty } \right)\].

B. \[\left( {0;\,3} \right)\].

C. \[\left( {0;\,2} \right)\].

D. \[\left( { - \infty ;\,0} \right)\] và \[\left( {2;\, + \infty } \right)\].

Xem đáp án

Lời giải

Chọn C

Ta có \[y' = - 3{x^2} + 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \rig

ht.\].

Dễ thấy hàm số đồng biến trên khoảng \[\left( {0;\,2} \right)\].

Câu 9:

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Media VietJack

A. \(\left( { - 1\;;\;1} \right)\).

B. \(\left( {0\;;\; + \infty } \right)\).

C. \(\left( { - \infty \;;\; + \infty } \right)\).

D. \(\left( { - \infty \;;\; - 1} \right)\).

Xem đáp án

Lời giải

Chọn A

Hàm số đồng biến thì đồ thị là đường đi lên từ trái sang phải.

Dựa vào đồ thị suy ra hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - 1\;;\;1} \right)\).

Câu 10:

Hình bên là đồ thị của hàm số nào?

A. \(y = - {x^4} + 3{x^2} + 1\).

B. \(y = - {x^4} + 2{x^2}\).

C. \(y = {x^4} + 3{x^2} - 2\).

D. \(y = - {x^4} + 2{x^2} + 1\).

Xem đáp án

Lời giải

Chọn D

Từ đồ thị ta có hàm bậc \(4\) trùng phương \(y = a{x^4} + b{x^2} + c.\)

Từ đồ thị ta có \(a < 0\) nên loại C

Từ đồ thị ta có \(x = 0 \Rightarrow y = 1\) nên loại B

Từ đồ thị ta có \(x = 1 \Rightarrow y = 2\) nên loại D

Câu 11:

Cho khối lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác đều cạnh bằng 3 và \(A'A = 3\sqrt 3 \). Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

A. \(\frac{{27}}{2}\).

B. \(\frac{{81}}{2}\).

C. \(\frac{{81}}{4}\).

D. \(\frac{{27}}{4}\).

Xem đáp án

Lời giải

Chọn C

Diện tích của \({\rm{\Delta }}ABC\) là:

\({S_{{\rm{\Delta }}ABC}} = \frac{{{3^2}.\sqrt 3 }}{4} = \frac{{9\sqrt 3 }}{4}.\)

Thể tích của khối lăng trụ là:

\({V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{{\rm{\Delta }}ABC}}.AA'\) \( = \frac{{9\sqrt 3 }}{4}.3\sqrt 3 = \frac{{81}}{4}.\)

Câu 12:

Tích giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {x^2} + \frac{2}{x}\) trên đoạn \(\left[ {\frac{1}{2}\,;\,2} \right]\) bằng

A. \(8\).

B. \(\frac{{51}}{4}\).

C. \(\frac{{85}}{4}\).

D. \(15\).

Xem đáp án

Lời giải

Chọn A

\(f'\left( x \right) = 2x - \frac{2}{{{x^2}}}\).

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1 \in \left[ {\frac{1}{2}\,;\,2} \right]\).

Ta có: \(f\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{{17}}{4}\), \(f\left( 1 \right) = 3\), \(f\left( 2 \right) = 5\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {\frac{1}{2}\,;\,2} \right]} f\left( x \right) = 3\\M = \mathop {Max}\limits_{\left[ {\frac{1}{2}\,;\,2} \right]} f\left( x \right) = 5\end{array} \right. \Rightarrow m + M = 8\).

Câu 13:

Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có bảng biến thiên như sau

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là

A. \[1\].

B. \[4\].

C. \[3\].

D. \[2\].

Xem đáp án

Lời giải

Chọn C

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = 2,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 5\)\( \Rightarrow \)đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang là \(y = 2,\,\,y = 5\).

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = + \infty \)\( \Rightarrow \)đồ thị hàm số có một đường tiệm cận đứng là \(x = 1\).

Vậy tổng số tiệm cận của đồ thị hàm số là 3.

Câu 14:

Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] xác định và có đạo hàm cấp một và cấp hai trên khoảng \[\left( {a;b} \right)\] và \[{x_0} \in \left( {a;b} \right)\]. Khẳng định nào sau đây sai?

A. Hàm số đạt cực đại tại \[{x_0}\] thì \[y'\left( {{x_0}} \right) = 0\].

B. \[y'\left( {{x_0}} \right) = 0\] và \[y''\left( {{x_0}} \right) = 0\] thì \[{x_0}\] không là điểm cực trị của hàm số.

C. \[y'\left( {{x_0}} \right) = 0\] và \[y''\left( {{x_0}} \right) \ne 0\] thì \[{x_0}\] là điểm cực trị của hàm số.

D. \[y'\left( {{x_0}} \right) = 0\] và \[y''\left( {{x_0}} \right) > 0\] thì \[{x_0}\] là điểm cực tiểu của hàm số.

Xem đáp án

Lời giải

Chọn B

Theo định lý về quy tắc tìm cực trị A, C và B đúng. D sai ví dụ xét hàm số \[y = {x^4}\] trên \[\mathbb{R}\] thỏa mãn \[y'\left( 0 \right) = 0\] và \[y''\left( 0 \right) = 0\] nhưng \[{x_0} = 0\] vẫn là điểm cực tiểu của hàm số.

Câu 15:

Cho hàm số bậc ba \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\;\;\left( {a \ne 0} \right)\) có bảng biến thiên như hình vẽ:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào sau đây?

A. \(\left( {0\;;\;2} \right)\).

B. \(\left( { - 8\;;\; + \infty } \right)\).

C. \(\left( {2\;;\; + \infty } \right)\).

D. \(\left( { - \infty ;\; - 4} \right)\).

Xem đáp án

Lời giải

Chọn C

Từ bảng biến thiên dễ thấy hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {2\;;\; + \infty } \right)\).

Câu 16:

Tổng số đỉnh, số cạnh và số mặt phẳng đối xứng của hình đa diện dưới là

A. \(33\).

B. \(18\).

C. \(32\).

D. \(31\).

Xem đáp án

Lời giải

Chọn D

Số đỉnh là: 12

Số cạnh là: 18

Số mặt phẳng đối xứng là: 1

Tổng số đỉnh, số cạnh và số mặt phẳng đối xứng là 31.

Câu 17:

Cho khối chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a\), \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA = 2a\). Thể tích của khối chóp đã cho bằng

A. \(\frac{{4{a^3}}}{3}\).

B. \(2{a^3}\).

C. \({a^3}\).

D. \(\frac{{2{a^3}}}{3}\).

Xem đáp án

Lời giải

Chọn D

Khối chóp đã cho có chiều cao là \(h = SA = 2a\) và diện tích đáy là \(B = {a^2}\).

Thể tích khối chóp đã cho là \(V = \frac{1}{3}Bh = \frac{1}{3}{a^2}.2a = \frac{{2{a^3}}}{3}\).

Câu 18:

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thực của phương trình \(2f\left( x \right) - 2 = 0\) là

A. \(2\).

B. \(4\).

C. \(3\).

D. \(0\).

Xem đáp án

Lời giải

Chọn B

Ta có \(2f\left( x \right) - 2 = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) = 1\left( * \right)\)

nghiệm của phương trình \(\left( * \right)\)bằng số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\)và đường thẳng \(y = 1\).

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy có \(4\)giao điểm.

Câu 19:

Hàm số nào sau đây có bảng biến thiên như hình vẽ

A. \[y = {x^3} - 3{x^2} - 2\].

B. \[y = - {x^3} + 3{x^2} - 1\].

C. \[y = {x^3} - 3{x^2} + 2\].

D. \[y = {x^3} + 3{x^2} - 1\].

Xem đáp án

Lời giải

Chọn C

Dựa vào bảng biến thiên ta có \(y\left( 0 \right) = 2\) nên chỉ có hàm số \[y = {x^3} - 3{x^2} + 2\] là thỏa mãn.

Câu 20:

Đồ thị hàm số \(y = \frac{{ax - 1}}{{cx + d}}\) (\(a\), \(c\), \(d\): hằng số thực ) như hình vẽ.

Khẳng định nào đúng

A. \(d > 0,\,a > 0,\,c < 0\).

B. \(d > 0,\,a < 0,\,c > 0\).

C. \(d < 0,\,a > 0,\,c < 0\).

D. \(d < 0,\,a < 0,\,c > 0\).

Xem đáp án

Lời giải

Chọn C

Ta có \(x = 0 \Rightarrow y = - \frac{1}{d} > 0 \Rightarrow d < 0\).

\(y = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{a} > 0 \Rightarrow a > 0\).

Hàm số \(y = \frac{{ax - 1}}{{cx + d}}\) có tiệm cận ngang \(y = \frac{a}{c} < 0 \Rightarrow c < 0\).

Vậy \(d < 0,\,a > 0,\,c < 0\).

Câu 21:

Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số \(y = m{x^3} - 3m{x^2} + 3\left( {3m - 1} \right)x + 2m - 3\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) là

A. \(\left( {0; + \infty } \right)\)

B. \(\left( { - \infty ;0} \right]\)

C. \(\emptyset \)

D. \(\left[ {0; + \infty } \right)\)

Xem đáp án

Lời giải

Chọn B

Trường hợp 1: Khi \(m = 0\) thì hàm số trở thành \(y = - 3x - 3,\) thỏa mãn nghịch biến trên \(\mathbb{R}.\)

Trường hợp 2: Khi \(m \ne 0\) thì hàm số là hàm bậc ba.

Ta có \(y' = 3m{x^2} - 6mx + 3\left( {2m - 1} \right)\)

Điều kiện để một hàm bậc ba nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) là

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a < 0}\\{{\rm{\Delta }}{'_{\left( {y'} \right)}} \le 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < 0}\\{9{m^2} - 3m.3\left( {2m - 1} \right) \le 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < 0}\\{ - 9{m^2} + 9m \le 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < 0}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \le 0}\\{m \ge 1}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow m < 0\)

Kết hợp 2 trường hợp ta được tất cả các giá trị cần tìm của \(m\) là \(m \le 0.\)

Câu 22:

Cho khối lăng trụ đứng \(ABCD.A'B'C'D'\)có \(BB' = a\), đáy \(ABCD\)là hình thoi với \(AC = 2a,\;BD = a\sqrt 3 \). Thể tích khối lăng trụ \(ABCD.A'B'C'D'\)là

A. \({a^3}\sqrt 3 \).

B. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\).

C. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\).

D. \(2{a^3}\sqrt 3 \).

Xem đáp án

Lời giải

Chọn A

Ta có \({S_{\Delta ABCD}} = \frac{1}{2}.AC.BD = {a^2}\sqrt 3 \).

Do đó thể tích khối lăng trụ đã cho bằng \(V = a.{a^2}\sqrt 3 = {a^3}\sqrt 3 \).

Câu 23:

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đạo hàm \(f'\left( x \right)\; = {x^3}\left( {x - 4} \right){\left( {x - 1} \right)^2}\). Hàm số \(y = f\left( {{x^2}} \right)\) nghịch biến trên những khoảng nào sau đây?

A. \(\left( { - 2\;;\;0} \right)\).

B. \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\).

C. \(\left( {2\;;\; + \infty } \right)\).

D. \(\left( { - 1\;;\;1} \right)\).

Xem đáp án

Lời giải

Chọn B

\(y' = {\left[ {f\left( {{x^2}} \right)} \right]^'} = \;2x.f'\left( {{x^2}} \right) = 2x{\left( {{x^2}} \right)^3}\left( {{x^2} - 4} \right){\left( {{x^2} - 1} \right)^2} = 2{x^7}\left( {{x^2} - 4} \right){\left( {x - 1} \right)^2}{\left( {x + 1} \right)^2}\).

\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\begin{array}{*{20}{l}}{\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0\;\;\;\left( {{\rm{boi}}7} \right)}\\{x = 2\;\;\;\left( {{\rm{boi}}1} \right)}\end{array}}\\{x = - 2\;\left( {{\rm{boi}}1} \right)}\\{x = 1\;\;\;\;\left( {{\rm{boi}}2} \right)}\end{array}}\\{\;x = - 1\;\left( {{\rm{boi}}2} \right)}\end{array}} \right.\)

Ta có bảng biến thiên của hàm số \(y = f\left( {{x^2}} \right)\) như sau:

Vậy hàm số \(y = f\left( {{x^2}} \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\).

Câu 24:

Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có đạo hàm \[f'\left( x \right) = {\left( {x - 2} \right)^2}\left( {x - 1} \right){x^3}\, & ,\forall x \in \mathbb{R}\]. Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là

A. 2.

B. \[3\].

C. 0.

D. 1.

Xem đáp án

Lời giải

Chọn D

\[f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2}\left( {x - 1} \right){x^3} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\\x = 0\end{array} \right.\].

Bảng xét dấu \[y'\].

Từ bảng xét dấu\[y'\] ta thấy hàm số có môt điểm cực tiểu là \[x = 1\].

Câu 25:

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\)có bảng biến thiên như sau

Số các đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2019}}{{f\left( x \right)}}\)là

A. 1.

B. 4.

C. 3.

D. \(2\).

Xem đáp án

Lời giải

Chọn C

Xét phương trình \(f\left( x \right) = 0\)\(\left( * \right)\).

Phương trình \(\left( * \right)\)là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\)và trục \(Ox\). Dựa vào bảng biến thiên của hàm số \(y = f\left( x \right)\)đã cho, ta thấy đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\)cắt trục \[Ox\]tại 3 điểm phân biệt. Do đó đồ thị hàm số \(y = \frac{{2019}}{{f\left( x \right)}}\)có 3 đường tiệm cận đứng.

Câu 26:

Cho khối chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\)là tam giác vuông cân tại\(A\) với \(BC = 2a\). Biết \(SA\)vuông góc với đáy, mặt phẳng\(\left( {SBC} \right)\)hợp với đáy\(\left( {ABC} \right)\) một góc \({30^0}\). Thể tích \(V\)của khối chóp \(S.ABC\)là

A. \(V = \frac{{2\sqrt 3 {a^3}}}{3}\).

B. \(V = \frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{3}\).

C. \(V = \frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{9}\).

D. \(V = \frac{{2\sqrt 3 {a^3}}}{9}\).

Xem đáp án

Lời giải

Chọn C

Gọi \(E\) là trung điểm \(BC\)

Ta có :\(AE \bot BC \Rightarrow BC \bot SE\) ( Vì \(AE\) là hình chiếu vuông góc \(SE\) trên mặt phẳng\(\left( {ABC} \right)\))

\( \Rightarrow \left( {\left( {SBC} \right),\left( {ABC} \right)} \right) = \)\(\widehat {SEA} = {30^0}\)

\(SA = \tan {30^0}.AE = \tan {30^0}.\frac{1}{2}BC = \frac{{\sqrt 3 }}{3}.\frac{1}{2}.2a = \frac{{\sqrt 3 }}{3}a\)

\(AB = AC = \frac{{BC}}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2 a\)

Thể tích \(V\)của khối chóp \(S.ABC\)là:\(V = \frac{1}{3}.SA.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.\frac{{\sqrt 3 }}{3}a.\frac{1}{2}{\left( {\sqrt 2 a} \right)^2} = \frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{9}\).

Câu 27:

Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \frac{{x + m}}{{x + 1}}\) trên \(\left[ {1;2} \right]\) bằng \(8\) (\(m\) là tham số thực). Khẳng định nào sau đây đúng?

A. \(8 < m < 10\).

B. \(0 < m < 4\).

C. \(4 < m < 8\).

D. \(m > 10\).

Xem đáp án

Lời giải

Chọn A

Nếu \(m = 1\) thì \(y = 1\) (không thỏa mãn tổng của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất bằng 8)

Nếu \(m \ne 1\) thì hàm số đã cho liên tục trên \(\left[ {1;2} \right]\) và \(y{\rm{'}} = \frac{{1 - m}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\).

Khi đó đạo hàm của hàm số không đổi dấu trên đoạn \(\left[ {1;2} \right]\).

Do vậy \(\mathop {Min}\limits_{x \in \left[ {1;2} \right]} y + \mathop {Max}\limits_{x \in \left[ {1;2} \right]} y = y\left( 1 \right) + y\left( 2 \right) = \frac{{m + 1}}{2} + \frac{{m + 2}}{3} = 8 \Leftrightarrow m = \frac{{41}}{5}\).

Câu 28:

Với giá trị nào của \(m\) thì đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{mx - 3}}{{x - 4m}}\) đi qua điểm \(A\left( { - 2;4} \right)\)?

A. \(m = - 2\).

B. \(m = 4\).

C. \(m = - \frac{1}{2}\).

D. \(m = 1\).

Xem đáp án

Lời giải

Chọn B

Xét hàm số \(y = \frac{{mx - 3}}{{x - 4m}}\).

Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {4m} \right\}\).

Ta có \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to + \infty } y = m\).

Do đó đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng \(d:y = m\).

\(A\left( { - 2;4} \right) \in d\) nên \(m = 4\).

Câu 29:

Cho hàm số \(y = - {x^2} + 6x + 5\) đạt giá trị lớn nhất tại \(x = {x_0}\). Giá trị của \({2^{{x_0}}}\) bằng

A. \(5\).

B. \(8\).

C. \(6\).

D. \(9\).

Xem đáp án

Lời giải

Chọn B

Ta có: \(y = - {\left( {x - 3} \right)^2} + 14 \le 14\).

\( \Rightarrow \)Hàm số đạt GTLN là \(14\) tại \(x = 3\).

Khi đó: \({2^{{x_0}}} = {2^3} = 8\)

Câu 30:

Cho khối chóp có đáy là hình vuông cạnh bằng \(a\) và chiều cao bằng \(2a\). Thể tích khối chóp đã cho bằng

A. \(2{a^3}.\)

B. \({\frac{{4a}}{3}^3}.\)

C. \(4{a^3}.\)

D. \(\frac{{2{a^3}}}{3}.\)

Xem đáp án

Lời giải

Chọn D

Diện tích đáy \(S = {a^2}\)

Thể tích khối chóp \(S.ABCD\) : \(V = \frac{1}{3}.S.h = \frac{1}{3}.{a^2}.2a = \frac{{2{a^3}}}{3}.\)

Câu 31:

Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc khoảng \[\left( { - 100;9} \right)\] của tham số

để hàm số\[y = \left( {m + 1} \right){x^4} + \left( {m - 3} \right){x^2} + 5{m^2} + 2\] có đúng một điểm cực trị và đồng thời điểm đó là điểm cực đại?

A. \[98\].

B. \[100\].

C. \[101\].

D. \[99\].

Xem đáp án

Lời giải

Chọn D

TH 1: \[m = - 1\] hàm số trở thành \[y = - 4{x^2} + 7\] là một parabol có bề lõm quay lên trên nên thỏa mãn yêu cầu đề bài. Suy ra \[m = - 1\] TM.

TH 2: \[m \ne - 1\] để hàm số\[y = \left( {m + 1} \right){x^4} + \left( {m - 3} \right){x^2} + 5{m^2} + 2\] có đúng một điểm cực trị và đồng thời điểm đó là điểm cực đại thì điều kiện là: \[\left\{ \begin{array}{l}a < 0\\a.b \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 1 < 0\\\left( {m + 1} \right)\left( {m - 3} \right) \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m < - 1.\]

Mà \[m\] nguyên thuộc khoảng \[\left( { - 100;9} \right)\] nên \[m = \left\{ { - 99; - 98;...; - 2} \right\}\]

Suy ra tổng cộng có \[99\] giá trị nguyên thuộc khoảng \[\left( { - 100;9} \right)\] của tham số

thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Câu 32:

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right)\) trên và đồ thị của hàm số \(f'\left( x \right)\) như hình vẽ.

Tìm số điểm cực trụ hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} - 2x - 1} \right)\).

A. \(3\).

B. \(5\).

C. \(4\).

D. \(\;6\).

Xem đáp án

Lời giải

Chọn A

Ta có: \(g'\left( x \right) = \left( {2x - 2} \right)f'\left( {{x^2} - 2x - 1} \right)\). Nhận xét: \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{{x^2} - 2x - 1 = - 1}\\{{x^2} - 2x - 1 = 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = \pm 1}\\{x = 2;x = 3}\end{array}} \right.\)

Ta có bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số có đúng ba cực trị.

Câu 33:

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành. Gọi \(M\), \(N\) và \(P\) lần lượt là trung điểm của các đoạn \(BC\), \(CD\) và \(SA\). Mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) chia khối chóp thành hai phần có thể tích lần lượt là \({V_1}\) và \({V_2}\). Biết rằng \({V_1} \le {V_2}\), tính tỉ số \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}.\)

A. \(1\).

B. \(\frac{1}{2}\).

C. \(\frac{5}{6}\).

D. \(\frac{2}{3}\).

Xem đáp án

Lời giải

Chọn A

Ta có \(BH = \frac{1}{3}AH\) suy ra \(B\) là trọng tâm của tam giác \(SAT\).

Do đó, \(\frac{{BQ}}{{BU}} = \frac{{BH}}{{AB}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{{BQ}}{{BS}} = \frac{1}{4}\). Tương tự ta có, \(\frac{{DR}}{{SD}} = \frac{1}{4}\).

\(\frac{{{V_{S.PRN}}}}{{{V_{S.ADN}}}} = \frac{{SP}}{{SA}}.\frac{{SR}}{{SD}} = \frac{1}{2}.\frac{3}{4} = \frac{3}{8} \Rightarrow \frac{{{V_{S.PRN}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \frac{3}{{32}}\).

Tương tự, ta có \(\frac{{{V_{S.PQM}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \frac{3}{{32}}\).

Lại có \(\frac{{{V_{S.PMN}}}}{{{V_{S.AMN}}}} = \frac{{SP}}{{SA}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{{{V_{S.PMN}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \frac{3}{{16}}\).

\(\frac{{{V_{S.MNC}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \frac{1}{8}\).

Suy ra thể tích khối đa diện chứa đỉnh \(S\) là \({V_1} = \left( {\frac{3}{{32}} + \frac{3}{{32}} + \frac{3}{{16}} + \frac{1}{8}} \right){V_{SABCD}} = \frac{1}{2}{V_{SABCD}}\).

Vậy \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = 1\).

Câu 34:

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\)có đồ thị \(y = f'\left( x \right)\)như hình vẽ. Xét hàm số \(g\left( x \right) = f\left( x \right) - \frac{1}{3}{x^3} - \frac{3}{4}{x^2} + \frac{3}{2}x + 2018\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số \(g\left( x \right)\)đồng biến trên \(\left( { - 1;1} \right)\).

B. Hàm số \(g\left( x \right)\)đồng biến trên \(\left( { - 3;1} \right)\).

C. Hàm số \(g\left( x \right)\)đồng biến \(\left( { - 3; - 1} \right)\).

D. Hàm số \(g\left( x \right)\)nghịch biến trên \(\left( { - 1;1} \right)\).

Xem đáp án

Lời giải

Chọn A

Ta có: \(g\left( x \right) = f\left( x \right) - \frac{1}{3}{x^3} - \frac{3}{4}{x^2} + \frac{3}{2}x + 2018 \Rightarrow g'\left( x \right) = f'\left( x \right) - {x^2} - \frac{3}{2}x + \frac{3}{2}\)

+ \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f'\left( x \right) = {x^2} + \frac{3}{2}x - \frac{3}{2}\). Đặt \(y = {x^2} + \frac{3}{2}x - \frac{3}{2}\)có đồ thị (P)

Dựa vào đồ thị \(y = f'\left( x \right)\), ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{f'\left( { - 1} \right) = - 2}\\{f'\left( 1 \right) = 1}\\{f'\left( { - 3} \right) = 3}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{g'\left( { - 1} \right) = 0}\\{g'\left( 1 \right) = 0}\\{g'\left( { - 3} \right) = 0}\end{array}} \right.\)

Vẽ đồ thị \(\left( P \right)\)của hàm số \(y = {x^2} + \frac{3}{2}x - \frac{3}{2}\)trên cùng hệ trục tọa độ như hình vẽ trên (đường nét đứt), Đồ thị \(\left( P \right)\)đi qua các điểm \(\left( { - 3;3} \right)\), \(\left( { - 1; - 2} \right)\), \(\left( {1;1} \right)\)với đỉnh \(I\left( { - \frac{3}{4}; - \frac{{33}}{{16}}} \right)\).

Ta thấy: + Trên khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\)thì \(f'\left( x \right) > {x^2} + \frac{3}{2}x - \frac{3}{2}\), nên \(g'\left( x \right) > 0\;\;\forall x \in \left( { - 1;1} \right)\)

+Trên khoảng \(\left( { - 3; - 1} \right)\)thì \(f'\left( x \right) < {x^2} + \frac{3}{2}x - \frac{3}{2}\), nên \(g'\left( x \right) < 0\;\;\forall x \in \left( { - 3; - 1} \right)\)

Từ những nhận xét trên, ta có bảng biến thiên của hàm \(y = g'\left( x \right)\)trên \(\left[ { - 3;1} \right]\)như sau:

Vậy hàm số \(g\left( x \right)\)đồng biến trên \(\left( { - 1;1} \right)\). Chọn A

Câu 35:

Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^3} - 6{x^2} + 9x = 1\). Phương trình \(f\left[ {f\left( {f\left( x \right) - 1} \right) - 2} \right] = 1\) có tất cả bao nhiêu nghiệm thực?

A. 9.

B. 14.

C. 12.

D. 27.

Xem đáp án

Lời giải

Chọn B

Ta có \(f'\left( x \right) = 3x - 12x + 9;\) \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x = 3}\end{array}} \right..\)

Đồ thị:

Từ đồ thị suy ra \(f\left( x \right) = 1 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = 3}\end{array}} \right..\)

Suy ra \(f\left[ {f\left( {f\left( x \right) - 1} \right) - 2} \right] = 1\left( * \right) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( {f\left( x \right) - 1} \right) - 2 = 0}\\{f\left( {f\left( x \right) - 1} \right) - 2 = 3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( {f\left( x \right) - 1} \right) = 2}\\{f\left( {f\left( x \right) - 1} \right) = 5}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( x \right) - 1 = a\left( {0 < a < 1} \right)}\\{f\left( x \right) - 1 = b\left( {1 < b < 3} \right)}\\{f\left( x \right) - 1 = c\left( {3 < c < 4} \right)}\\{f\left( x \right) - 1 = 1}\\{f\left( x \right) - 1 = 4}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( x \right) = 1 + a}\\{f\left( x \right) = 1 + b}\\{f\left( x \right) = 1 + c}\\{f\left( x \right) = 2}\\{f\left( x \right) = 5.}\end{array}} \right.\)

Khi đó, số nghiệm của phương trình (*) là số nghiệm của 5 trường hợp trên.

Số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = 1 + a\) chính là số giao điểm của đường thẳng \(y = 1 + a\) với đồ thị hàm số \(f\left( x \right).\) Mà \(0 < a < 1\) nên dựa vào đồ thị ta có 3 nghiệm.

Tương tự phương trình \(f\left( x \right) = 1 + b\left( {1 < b < 3} \right)\) cũng có 3 nghiệm.

Với phương trình \(f\left( x \right) = 1 + c\left( {3 < c < 4} \right)\) có 3 nghiệm.

Với phương trình \(f\left( x \right) = 2\) có 3 nghiệm.

Với phương trình \(f\left( x \right) = 5\) có 2 nghiệm.

Vậy tổng số nghiệm là \(3 + 3 + 3 + 3 + 2 = 14\) nghiệm.