Bộ 20 đề thi giữa kì 1 Toán 12 năm 2022-2023 có đáp án (Đề 18)
-
2523 lượt thi
-
35 câu hỏi
-
90 phút
Danh sách câu hỏi
Câu 1:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên dưới:
Hàm số có bao nhiêu điểm cực tiểu trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\)?
Xem đáp án
Lời giải
Chọn D
Từ hình vẽ ta có hàm số có 3 điểm cực tiểu.
Câu 2:
Thể tích \(V\)của khối chóp có diện tích đáy bằng \(S\)và chiều cao bằng \(h\)là
Xem đáp án
Lời giải
Chọn C
Thể tích \(V\)của khối chóp có diện tích đáy bằng \(S\)và chiều cao bằng \(h\)là \(V = \frac{1}{3}Sh\).
Câu 3:
Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2019}}{{x - 3}}\) là
Xem đáp án
Lời giải
Chọn C
Vì \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{2019}}{{x - 3}} = + \infty \) và \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{2019}}{{x - 3}} = - \infty \) nên tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là \(x = 3\).
Vì \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{2019}}{{x - 3}} = 0\) nên tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là \(y = 0\).
Vậy đồ thị hàm số \(y = \frac{{2019}}{{x - 3}}\) có 2 đường tiệm cận.
Câu 4:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như hình vẽ.
Số nghiệm của phương trình \(2f\left( x \right) - 5 = 0\) là
Xem đáp án
Lời giải
Chọn A
Ta có \(2f\left( x \right) - 5 = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) = \frac{5}{2}\).
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) chỉ cắt đường thẳng \(y = \frac{5}{2}\) tại một điểm duy nhất nên phương trình \(f\left( x \right) = \frac{5}{2}\) chỉ có một nghiệm duy nhất.
Câu 5:
Khối bát diện đều là khối đa diện đều loại nào?
Xem đáp án
Lời giải
Chọn B
Khối bát diện đều là khối đa diện đều có 8 mặt; mỗi mặt là tam giác đều có 3 cạnh và mỗi đỉnh đều là đỉnh chung của đúng 4 mặt.
Vậy khối bát diện đều là khối đa diện đều loại \(\left\{ {3\,;\,4} \right\}\).
Câu 6:
Cho hình chóp \(S.ABC\)có đáy \(ABC\)là tam giác vuông tại \(B\), \(AB = a\), \(BC = 2a\), \(SA \bot \left( {ABC} \right)\), \(SA = 3a\). Thể tích của khối chóp \(S.ABC\)bằng
Xem đáp án
Lời giải
Chọn D
Thể tích \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}}.SA = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}BA.BC.SA = \frac{1}{6}a.2a.3a = {a^3}\).
Câu 7:
Cho hàm số \(f\left( x \right)\)có đạo hàm \(f'\left( x \right) = - x{\left( {x - 2} \right)^2}\left( {x - 3} \right)\),\(\forall x \in \mathbb{R}\). Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên đoạn \(\left[ {0\,;\,4} \right]\)bằng
Xem đáp án
Lời giải
Chọn D
Ta có \(f'\left( x \right) = - x{\left( {x - 2} \right)^2}\left( {x - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\\x = 3\end{array} \right.\).
Bảng biến thiên của hàm số \(y = f\left( x \right)\)trên đoạn \(\left[ {0\,;\,4} \right]\)
Từ bảng biến thiên ta thấy giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right)\)trên đoạn \(\left[ {0\,;\,4} \right]\)là \(f\left( 3 \right)\).
Câu 8:
Các khoảng đồng biến của hàm số \(y = {x^3} + 3x\) là
Xem đáp án
Lời giải
Chọn B
\(y' = 3{x^2} + 3 > 0{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}\) suy ra hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Câu 9:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Xem đáp án
Lời giải
Chọn A
Từ bảng biến thiên ta có: Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\), \(\left( {4; + \infty } \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( {2;4} \right)\). Do đó các phương án A, B, D là các phương án sai và phương án C là phương án đúng. Vậy ta chọn C.
Câu 10:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như hình vẽ
Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị cực đại của hàm số. Kết quả nào sau đây đúng?
Xem đáp án
Lời giải
Chọn B
Tập hợp các giá trị cực đại của hàm số là \(S = \left\{ {3;\;5} \right\}\).
Câu 11:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định, liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như hình vẽ. Tìm khẳng định đúng.
Xem đáp án
Lời giải
Chọn A
Từ bảng biến thiên ta có hàm số đạt cực đại tại \(x = 1\) và đạt cực tiểu \(x = 2\).
Câu 12:
Hàm số nào trong các hàm số sau đây có đồ thị như hình vẽ?
Xem đáp án
Lời giải
Chọn D
Dựa vào hình vẽ:
+ Đồ thị qua gốc tọa độ \(O\) nên loại đáp án B.
+ Từ hình dạng đồ thị ta loại đáp án D.
+ Đồ thị hàm số qua điểm \(A\left( { - \sqrt 2 ;0} \right)\) và \(B\left( {\sqrt 2 ;0} \right)\), ta thấy \(A\) không thuộc đồ thị của hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2} + x\) nên loại đáp án C.
+ Xét đáp án A: \(y = 0 \Leftrightarrow {x^4} - 2{x^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0\left( {y = 0} \right)}\\{x = \pm \sqrt 2 \left( {y = 0} \right)}\end{array}} \right.\) nên chọn đáp án A.
Câu 13:
Giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3x\)trên đoạn \[{\rm{[}} - 3;3]\]bằng
Xem đáp án
Lời giải
Chọn D
Ta có \(y' = 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\)
\(f\left( { - 3} \right) = - 18;\,\,f\left( { - 1} \right) = 2;\,\,f\left( 1 \right) = - 2;\,\,f\left( 3 \right) = 18\,\,\).
Câu 14:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như hình
Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là
Xem đáp án
Lời giải
Chọn B
Qua bảng biến thiên ta có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \,f\left( x \right) = 0\] và \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \,f\left( x \right) = 3\] nên đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang: \[y = 0\] và \[y = 3\].
Lại có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \,f\left( x \right) = + \infty \] nên đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng \[x = 0\].
Vậy số tiệm cận của đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right)\]là \[3\].
Câu 15:
Hình lăng trụ tam giác có bao nhiêu cạnh?
Xem đáp án
Lời giải
Chọn A
Hình lăng trụ tam giác có \[9\] cạnh.
Câu 16:
Cho khối lăng trụ có đáy hình vuông cạnh \(a\sqrt 2 \) chiều cao bằng \[4a\]. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.
Xem đáp án
Lời giải
Chọn C
Diện tích hình vuông cạnh \(a\sqrt 2 \) là \({\left( {a\sqrt 2 } \right)^2} = 2{a^2}\).
Thể tích khối lăng trụ \(V = B.h = 2{a^2}.{\mkern 1mu} 4a = 8{a^3}\).
Câu 17:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\)liên tục trên \(\mathbb{R}\)và có đồ thị như sau
Hàm số \(y = f\left( x \right)\)nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
Xem đáp án
Lời giải
Chọn B
Từ đồ thị của hàm số ta có hàm số \(y = f\left( x \right)\)nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\)và \(\left( {0;1} \right)\).
Câu 18:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số \(y = \frac{{5x - 3}}{{{x^2} - 2mx + 1}}\) không có tiệm cận đứng.
Xem đáp án
Lời giải
Chọn C
+ Giả sử \(x = {x_0}\) là một TCĐ của đồ thị hàm số đã cho. Khi đó\(\,\mathop {\lim y}\limits_{x \to {x_0}} = + \infty \) hoặc \(\,\mathop {\lim y}\limits_{x \to {x_0}} = - \infty \). Hay \({x_0}\) phải là nghiệm của phương trình \({x^2} - 2mx + 1 = 0\).
Nên để đồ thị của hàm số đã cho không có tiệm cận đứng thì phương trình \({x^2} - 2mx + 1 = 0\) phải vô nghiệm hay \( - 1 < m < 1\).
Câu 19:
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] liên tục trên \(\mathbb{R}\), có đạo hàm \[f'\left( x \right) = {\left( {x - 2} \right)^4} + 1\]. Khẳng định nào sau đây đúng?
Xem đáp án
Lời giải
Chọn C
Ta có: \[f'\left( x \right) = {\left( {x - 2} \right)^4} + 1 > 0,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\]. Suy ra hàm số đồng biến trên \[\mathbb{R}\]. Chọn đáp án A.
Câu 20:
Cho hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) có bảng biến thiên như sau:
Tính \(S = a + b.\)
Xem đáp án
Lời giải
Chọn B
Ta có: \(y' = 3a{x^2} + 2bx + c\).
Từ bảng biến thiên, ta thấy: hàm số đạt cực trị tại \(x = 0,x = 2\) nên \(y'\left( 0 \right) = y'\left( 2 \right) = 0\).
Đồ thị đi qua các điểm \(\left( {0;2} \right);\left( {2; - 2} \right)\) .
Ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}y'\left( 0 \right) = 0\\y'\left( 2 \right) = 0\\y\left( 0 \right) = 2\\y\left( 2 \right) = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 0\\12a + 4b + c = 0\\d = 2\\8a + 4b + 2c + d = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 3\\c = 0\\d = 2\end{array} \right.\) . Suy ra \(S = a + b = - 2.\)
Câu 21:
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\), cạnh bên \(SA\) vuông góc với đáy \(\left( {ABC} \right)\). Biết góc tạo bởi \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) bằng \(60^\circ \). Tính thể tích \(V\) của khối chóp \(SABC\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn A
Gọi \(M\) là trung điểm \(BC\).
Khi đó: \(AM \bot BC;SA \bot BC\) nên \(SM \bot BC\).
Suy ra: \(\widehat {\left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {SMA}\). Nên \(\widehat {SMA} = 60^\circ \).
Vì tam giác \(ABC\) đều nên \(AM = \frac{{\sqrt 3 }}{2}a\).
Xét tam giác \(SAM\) vuông tại \(A\) có \(\widehat {SMA} = 60^\circ \) nên \(SA = AM.\tan 60^\circ = \frac{{\sqrt 3 }}{2}a.\sqrt 3 = \frac{3}{2}a\).
Vậy: \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.SA.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.\frac{3}{2}a.\frac{{\sqrt 3 }}{4}{a^2} = \frac{{\sqrt 3 }}{8}{a^3}\).
Câu 22:
Khối lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\)có cạnh bằng \(a.\) Khi đó thể tích khối chóp \(D.ABC'D'\) bằng
Xem đáp án
Lời giải
Chọn B
Ta có: \[{V_{ABCD.A'B'C'D'}} = {V_{A'AD'.B'BC'}} + {V_{D.ABC'D'}} + {V_{C'.BCD}}.\]
Ta lại có:
\[{V_{ABCD.A'B'C'D'}} = {a^3}\].
\[{V_{C'.BCD}} = \frac{1}{3}{S_{BCD}}.CC' = \frac{1}{3}\frac{{{a^2}}}{2}.a = \frac{{{a^3}}}{6}.\]
\[{V_{A'AD'.B'BC'}} = {S_{AA'D}}.A'B' = \frac{1}{2}{a^2}.a = \frac{1}{2}{a^3}.\]
Suy ra: \[{V_{D.ABC'D'}} = {V_{ABCD.A'B'C'D'}} - {V_{A'AD'.B'BC'}} - {V_{C'.BCD}} = {a^3} - \frac{{{a^3}}}{6} - \frac{{{a^3}}}{2} = \frac{{{a^3}}}{3}\]
Câu 23:
Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) bằng \(60^\circ \), cạnh \(AB = 2a\). Thể tích \(V\) của khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) bằng
Xem đáp án
Lời giải
Chọn B
Gọi \(M\) là trung điểm \(BC\).
\(ABC.A'B'C'\)là lăng trụ tam giác đều nên: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BC \bot AM}\\{BC \bot AA'}\end{array}} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {AMA'} \right)\).
Suy ra góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) là \(\widehat {AMA'} = 60^\circ \).
\(ABC\)là tam giác đều nên: \(AM = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \).
\(AA' = AM.{\rm{tan}}60^\circ = 3a\).
Câu 24:
Tìm tất cả giá trị thực của tham số \[m\]để hàm số \[y = \left( {m - 1} \right){x^4} - 2\left( {m - 3} \right){x^2} + 1\] không có cực đại.
Xem đáp án
Lời giải
Chọn D
Nếu \(m = 1\), hàm số viết là \(y = 4{x^2} + 1\), hàm số này có một điểm cực tiểu và không có cực đại.
Suy ra \(m = 1\) thỏa yêu cầu bài toán.
Nếu \(m \ne 1\), hàm số không có cực đại khi \(\left\{ \begin{array}{l}m - 1 > 0\\m - 3 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 1\\m \le 3\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 < m \le 3\)
Vậy hàm số không có cực đại khi \(1 \le m \le 3\).
Câu 25:
Tìm tất cả giá trị của tham số \[m\]để hàm số \[f\left( x \right) = {x^3} + 3{x^2} + {m^2} - 5\]có giá trị lớn nhất trên đoạn \[\left[ { - 1;2} \right]\]là 19.
Xem đáp án
Lời giải
Chọn C
Ta có
\[f'\left( x \right) = 3{x^2} + 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \in \left[ { - 1;2} \right]\\x = - 2 \notin \left[ { - 1;2} \right]\end{array} \right.\]
\[\begin{array}{l} \Rightarrow \mathop {{\rm{Max}}\,}\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} f\left( x \right) = \mathop {{\rm{Max}}\,}\limits_{} \left\{ {f\left( { - 1} \right);\,f\left( 0 \right);\,f\left( 2 \right)} \right\} = \mathop {{\rm{Max}}\,}\limits_{} \left\{ {{m^2} - 3;\,{m^2} - 5;\,{m^2} + 15} \right\} = {m^2} + 15 = 19\\ \Rightarrow {m^2} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\\m = - 2\end{array} \right..\end{array}\]
Câu 26:
Biết đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) có một tiệm cận ngang là \(y = 3\). Khi đó đồ thị hàm số \(y = 2f\left( x \right) - 4\) có một tiệm cận ngang là
Xem đáp án
Lời giải
Chọn B
Chẳng hạn: hàm số \(y = \frac{{3x}}{{x - 1}}\) có một tiệm cận ngang là \(y = 3\) thì hàm số \(y = 2f\left( x \right) - 4 = 2.\frac{{3x}}{{x - 1}} - 4 = \frac{{2x + 4}}{{x - 1}}\) có một đường tiệm cận ngang là \(y = 2\).
Câu 27:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\)để hàm số \(y = - \frac{1}{3}{x^3} - m{x^2} + \left( {2m - 3} \right)x + 2018\)nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn A
Cách 1. (tự luận)
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).
\(y' = - {x^2} - 2mx + 2m - 3\).
Hàm số bậc ba \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\)với \(a \ne 0\)nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)khi và chỉ khi \[y' \le 0,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a < 0\\{\Delta _{y'}} \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 < 0\\4{m^2} + 8m - 12 \le 0\;\end{array} \right. \Leftrightarrow {m^2} + 2m - 3 \le 0 \Leftrightarrow - 3 \le m \le 1\]
Cách 2. (trắc nghiệm)
Ta có\(y\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a < 0\\{b^2} - 3ac \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \frac{1}{3} < 0\\{( - m)^2} - 3.\left( { - \frac{1}{3}} \right).(2m - 3) \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow {m^2} + 2m - 3 \le 0 \Leftrightarrow - 3 \le m \le 1\]
Câu 28:
Cho hàm số bậc ba \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ:
Khi đó phương trình \(2f\left( x \right) - 1 = 0\) có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt.
Xem đáp án
Lời giải
Chọn A
Số nghiệm của phương trình \(2f\left( x \right) - 1 = 0\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = \frac{1}{2}\).
Vậy phương trình \(2f\left( x \right) - 1 = 0\) có 3 nghiệm thực phân biệt.
Câu 29:
Cho hàm số \(y = \sqrt {{x^2} - 2x - 3} \). Khẳng định nào sau đây là đúng?
Xem đáp án
Lời giải
Chọn D
Điều kiện xác định: \({x^2} - 2x - 3 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 3}\\{x \le - 1}\end{array}} \right.\)
\( \Rightarrow \) Tập xác định: \(D = \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {3; + \infty } \right)\)
\(y{\rm{'}} = \frac{{2x - 2}}{{2\sqrt {{x^2} - 2x - 3} }} = \frac{{x - 1}}{{\sqrt {{x^2} - 2x - 3} }} = 0 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{{x^2} - 2x - 3 > 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow VN\)
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên, Suy ra KQ.
Câu 30:
Đường cong ở hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\) với \(a,b,c,d\) là các số thực.
Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
Xem đáp án
Lời giải
Chọn D
Từ hình vẽ ta suy ra: tiệm cận đứng của đồ thị hàm số có phương trình \(x = - 1\), nên hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi\(x \ne - 1.\)
Trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right),\,\left( { - 1; + \infty } \right)\) đồ thị hàm số là một đường đi lên từ trái sang phải, nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right),\,\left( { - 1; + \infty } \right)\).
Vậy \(y' > 0,\forall x \ne - 1.\)
Câu 31:
Số điểm cực trị của hàm số \(f\left( x \right)\)có đạo hàm \(f'\left( x \right) = \left( {x + 1} \right){\left( {x - 2} \right)^2},\forall x \in \mathbb{R}\) là
Xem đáp án
Lời giải
Chọn C
Ta có:
\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right){\left( {x - 2} \right)^2} = 0\)\( \Leftrightarrow \left[
\begin{array}{l}x = - 1\\x = 2\end{array} \right.\).
Do phương trình \(f'\left( x \right) = 0\)có một nghiệm bội lẻ là \(x = - 1\) và một nghiệm bội chẵn là \(x = 2\) nên hàm số \(f\left( x \right)\)có một cực trị.
Câu 32:
Cho hình chóp \(S.ABC\)có đáy \(ABC\)là tam giác vuông cân tại \(B\), \(SA\)vuông góc với mặt đáy\(\left( {ABC} \right),\;BC = a\), góc hợp bởi \(\left( {SBC} \right)\)và \(\left( {ABC} \right)\)là \({60^ \circ }\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\)qua \(A\)vuông góc với \(SC\)cắt \(SB,SC\)lần lượt tại \(D,E\). Thể tích khối đa diện \(ABCED\)là
Xem đáp án
Lời giải
Chọn C
Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{BC \bot BA}\\{BC \bot SA}\end{array}} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SBA} \right) \Rightarrow BC \bot SB\). Do đó góc \(\angle SBA\)là góc giữa\(\left( {SBC} \right)\)và \(\left( {ABC} \right)\).
Từ đó suy ra \(\angle SBA = {60^ \circ }\). Tam giác \(SBA\)vuông có \(SA = AB\tan {60^ \circ } = a\sqrt 3 \)
Ta có \(BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AD;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{AD \bot BC}\\{AD \bot SC}\end{array}} \right. \Rightarrow AD \bot SB\).
\(\frac{{{V_{S.ADE}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SA}}{{SA}}.\frac{{SD}}{{SB}}.\frac{{SE}}{{SC}} = \frac{{SD.SB}}{{S{B^2}}}.\frac{{SE.SC}}{{S{C^2}}} = \frac{{S{A^2}}}{{S{B^2}}}.\frac{{S{A^2}}}{{S{C^2}}} = \frac{{9{a^4}}}{{4{a^2}.5{a^2}}} = \frac{9}{{20}}\).
\({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SA.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}\sqrt 3 a.\frac{{{a^2}}}{2} = \frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{6}\).
Vậy \({V_{ABCED}} = \frac{{11}}{{20}}.{V_{S.ABC}} = \frac{{11\sqrt 3 {a^3}}}{{120}}\).
Câu 33:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định, liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đúng hai điểm cực trị \(x = - 1,x = 1,\) có đồ thị như hình vẽ sau:
Hỏi hàm số \(y = f\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + 2020\) có bao nhiêu điểm cực tiểu?
Xem đáp án
Lời giải
Chọn C
Do hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đúng hai điểm cực trị \(x = - 1,x = 1\)nên phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm bội lẻ phân biệt \(x = - 1,x = 1\). Dấu của \(f'\left( x \right)\)
Ta có \(y' = \left( {2x - 2} \right)f'\left( {{x^2} - 2x + 1} \right)\).
\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x - 2 = 0}\\{{x^2} - 2x + 1 = - 1}\\{{x^2} - 2x + 1 = 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x = 0}\\{x = 2}\end{array}} \right.\).
Ta có: 3 nghiệm 0, 1, 2 của \(y' = 0\) đều là nghiệm bội lẻ nên \(y'\) đổi dấu khi qua các điểm này. Mặt khác với \(x > 2\) thì \(2x - 2 > 0\) và \({x^2} - 2x + 1 > 0,f'\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) > 0\).
Do đó ta có bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta suy ra hàm số \(y = f\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + 2020\) có 2 điểm cực tiểu.
Câu 34:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau
Số nghiệm thuộc \(\left[ {0;\frac{{3\pi }}{2}} \right]\) của phương trình \(\left| {f\left( {\cos 2x} \right)} \right| = 1\) là
Xem đáp án
Lời giải
Chọn A
Từ bảng biến thiên của \(f\left( x \right)\) ta suy ra bảng biến thiên của \(\left| {f\left( x \right)} \right|\) như sau
Đặt \(t = \cos 2x \in \left[ { - 1;1} \right]\).
Dựa vào bảng biến thiên trên, phương trình \(\left| {f\left( t \right)} \right| = 1\) chỉ có 3 nghiệm thuộc \(\left( { - 1;1} \right)\).
Ta có \(\left| {f\left( t \right)} \right| = 1 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = a \in \left( { - 1;0} \right)}\\{t = 0}\\{t = b \in \left( {0;1} \right)}\end{array}} \right.\).
Do \(x \in \left[ {0;\frac{{3\pi }}{2}} \right] \Leftrightarrow 2x \in \left[ {0;3\pi } \right]\).
Xét đường tròn lượng giác
Phương trình \(\cos 2x = a,a \in \left( { - 1;0} \right)\) có 3 nghiệm phân biệt thuộc \(\left[ {0;\frac{{3\pi }}{2}} \right]\).
Phương trình \(\cos 2x = b,a \in \left( {0;1} \right)\) có 3 nghiệm phân biệt thuộc \(\left[ {0;\frac{{3\pi }}{2}} \right]\).
Phương trình \(\cos 2x = 0\) có 3 nghiệm phân biệt thuộc \(\left[ {0;\frac{{3\pi }}{2}} \right]\).
Vậy số nghiệm thuộc \(\left[ {0;\frac{{3\pi }}{2}} \right]\) của phương trình \(\left| {f\left( {\cos 2x} \right)} \right| = 1\) là 9 nghiệm.
Phân tích phương án nhiễu:
B: Học sinh nhầm \(\left| {f\left( {\cos 2x} \right)} \right| = 1\) chỉ có 4 nghiệm phân biệt dựa vào BBT.
C: Học sinh nhầm \(\left| {f\left( {\cos 2x} \right)} \right| = 1\) có 7 nghiệm phân biệt dựa vào BBT sau khi lấy đối xứng.
D: Học sinh nhầm \(\left| {f\left( {\cos 2x} \right)} \right| = 1\) có 10 nghiệm phân biệt do nhầm lẫn \(\sin 2x\) và \(\cos 2x\).
Câu 35:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\). Hàm số \(y = f'\left( x \right)\)có đồ thị như hình bên.
Hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} + 2x} \right) - {x^2} - 2x\)đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
Xem đáp án
Lời giải
Chọn A
Ta có: \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} + 2x} \right) - {x^2} - 2x\)
\( \Rightarrow g'\left( x \right) = \left( {2x + 2} \right)f'\left( {{x^2} + 2x} \right) - 2x - 2 = 2\left( {x + 1} \right)\left[ {f'\left( {{x^2} + 2x} \right) - 1} \right]\).
\( \Rightarrow g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 2\left( {x + 1} \right)\left[ {f'\left( {{x^2} + 2x} \right) - 1} \right] = 0 \Leftrightarrow x = - 1,x = - 1 + \sqrt 2 ,x = - 1 - \sqrt 2 \)
Xét\(g'\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 1 > 0}\\{f'\left( {{x^2} + 2x} \right) > 1}\end{array}} \right.\left( I \right)}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 1 < 0}\\{f'\left( {{x^2} + 2x} \right) < 1}\end{array}} \right.\left( {II} \right)}\end{array}} \right.\).
Xét sự tương giao của đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\)và \(y = 1\).
Dựa vào đồ thị ta có: \(f'\left( {{x^2} + 2x} \right) > 1 \Leftrightarrow {x^2} + 2x > 1\)và \(f'\left( {{x^2} + 2x} \right) < 1 \Leftrightarrow {x^2} + 2x < 1\).
Xét hệ (I): \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 1 > 0}\\{f'\left( {{x^2} + 2x} \right) > 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > - 1}\\{{x^2} + 2x > 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > - 1}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > - 1 + \sqrt 2 }\\{x < - 1 - \sqrt 2 }\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow x > - 1 + \sqrt 2 \).
Xét hệ (II):\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 1 < 0}\\{f'\left( {{x^2} + 2x} \right) < 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < - 1}\\{{x^2} + 2x < 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < - 1}\\{ - 1 - \sqrt 2 < x < - 1 + \sqrt 2 }\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow - 1 - \sqrt 2 < x < - 1\).
Vậy hàm số \(g\left( x \right)\)đồng biến trên khoảng \(\left( { - 1 - \sqrt 2 ; - 1} \right)\)và \(\left( { - 1 + \sqrt 2 ; + \infty } \right)\).