39 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Bộ 20 đề thi giữa kì 2 Toán 12 có đáp án năm 2022-2023 (Đề 7)

Câu 1:

y = f (x)

liên tục trên

ℝ

, có đạo hàm

f^{'} (x) = x^{2} (x - 1)

,

\forall x \in ℝ

. Hàm số

y = f (x)

nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(- \infty; 1) .$

B. $ℝ$

C. $(1; + \infty)$

D. $(0; + \infty)$

Xem đáp án

Chọn A
Tập xác định:

D = ℝ

Cho

f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x^{2} (x - 1) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 1 \end{array}

Bảng xét dấu:

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy hàm số nghịch biến trên

(- \infty; 1)

.

Câu 2:

Cho hàm số

y = f (x)

có đồ thị như hình vẽ sau:

Khẳng định nào đưới đây là đúng?

A. Hàm số đồng biến trên

ℝ \ \{- 1\} .

B. Hàm số đồng biến trên $ℝ .$

C. Hàm số nghịch biến trên $(- \infty; - 1) \cup (- 1; + \infty) .$

D. Hàm số đồng biến trên

(- \infty; - 1)

và

(- 1; + \infty) .

Xem đáp án

Chọn D
Đồ thị hàm số

y = f (x)

có hai nhánh của đồ thị là hai đường cong đi lên từ trái sang phải.
Do đó hàm số đồng biến trên các khoảng

(- \infty; - 1)

và

(- 1; + \infty) .

Câu 3:

Cho hàm số

y = f (x)

xác định, liên tục trên

ℝ

và có đồ thị

f^{'} (x)

như hình vẽ sau:

Hỏi hàm số

y = f (x)

đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(- 1; 1) .$

B. $(- 1; 0) .$

C. $(- \infty; - 1) .$

D. $(- \frac{1}{2}; \frac{1}{2}) .$

Xem đáp án

Chọn C
Dựa vào đồ thị hàm số

y = f^{'} (x)

, ta thấy hàm số đồng biến trên:

(- \infty; - 1)

và

(0; + \infty) .

Câu 4:

Cho hàm bậc bốn

y = f (x)

có đồ thị

f^{'} (x)

như hình vẽ sau:

Hỏi hàm số

f (x)

có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 0

Xem đáp án

Chọn A

Đồ thị hàm số

y = f^{'} (x)

cắt trục

O x

tại hai điểm

x_{1} = a

và

x_{2} = b

(a < 0 < b)

.
Ta có bảng xét dấu của hàm số

y = f^{'} (x)

như sau:

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy

f^{'} (x)

đổi dấu khi qua nghiệm

x_{1} = a

và không đổi dấu khi qua nghiệm

x_{2} = b

. Do đó hàm số

y = f (x)

có một điểm cực trị.

Câu 5:

Hàm số

y = x^{4} - 2 x^{2} - 1

đạt cực đại tại

A. $x = - 1.$

B. $x = 0.$

C. $x = 1.$

D. $x = - 2.$

Xem đáp án

Chọn B
TXĐ:

D = ℝ

.
Ta có:

y^{'} = 4 x^{3} - 4 x

.
Cho

y^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \Rightarrow y = - 1 \\ x = - 1 \Rightarrow y = - 2 \\ x = 1 \Rightarrow y = - 2 \end{array}

.
Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại

x = 0

.

Câu 6:

Cho hàm số

y = f (x)

có bảng biến thiên như hình vẽ sau:

Cực đại của hàm số là:

A. 2

B. -1

C.1

D. 4

Xem đáp án

Chọn A
Nhìn vào bảng biến thiên, ta thấy giá trị cực đại của hàm số là y=2

Câu 7:

Cho hàm số

y = m x^{4} + 3 (m - 1) x^{2} + m^{2} - 1 (1)

. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số

(1)

có 3 điểm cực trị.

A. $[\begin{array}{l} m \geq 1 \\ m \leq 0 \end{array}$

B. $m < 1.$

C. m>0

D. $0 < m < 1.$

Xem đáp án

Chọn D
Tập xác định:

D = ℝ

.
Ta có:

y^{'} = 4 m x^{2} + 6 (m - 1) x = 2 x . [2 m x + 3 (m - 1)]

Cho

y^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 2 x = 0 \\ 2 m x^{2} + 3 (m - 1) = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ 2 m x^{2} + 3 (m - 1) = 0 = g (x) \end{array}

Để hàm số (1) có ba điểm cực trị <=> phương trình

g (x) = 0

phải có hai nghiệm phân biệt khác 0

\Leftrightarrow \{\begin{cases} a_{g (x)} \neq 0 \\ {Δ^{'}}_{g (x)} > 0 \\ g (0) \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 m \neq 0 \\ 0^{2} - 2 m .3 (m - 1) > 0 \\ 2 m {.0}^{2} + 3. (m - 1) \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m \neq 0 \\ 0 < m < 1 \\ m \neq 1 \end{cases} \Rightarrow 0 < m < 1

Vậy

0 < m < 1

thỏa yêu cầu bài toán.
Cách khác:
Để hàm số có 3 cực trị

\Leftrightarrow a b < 0 \Leftrightarrow 3 m (m - 1) < 0 \Leftrightarrow 0 < m < 1

.

Câu 8:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số

f (x) = x^{3} + 3 x + 1

trên đoạn

[1; 3]

là

A. 5

B. 37

C. 3

D. 6

Xem đáp án

Chọn A
Ta có

f (x) = x^{3} + 3 x + 1 \Rightarrow f^{'} (x) = 3 x^{2} + 3 > 0, \forall x \in ℝ

.
Suy ra hàm số

f (x)

đồng biến trên đoạn

[1; 3]

.
Do đó

\min_{x \in [1; 3]} f (x) = f (1) = 5

.

Câu 9:

Cho hàm số

y = f (x)

có đồ thị như hình vẽ. Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn

[0; 2]

là bao nhiêu?

A. -1

B. -3

C. 1

D. 2

Xem đáp án

Chọn B

Dựa vào đồ thị hàm số

y = f (x)

ta thấy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn

[0; 2]

là -3.

Câu 10:

Đồ thị hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong hình bên dưới?

A. $y = - x^{3} + 3 x^{2}$

B. $y = x^{4} - 3 x^{2}$

C. $y = x^{3} - 3 x^{2}$

D. $y = - x^{4} + 3 x^{2}$

Xem đáp án

Chọn B
Dựa vào đồ thị hàm số, ta có:
1) Đây là hàm trùng phương có

a > 0

2) Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị nên

a . b < 0 \Rightarrow b < 0

(vì

a > 0

).
Vậy

y = x^{4} - 3 x^{2}

.

Câu 11:

Đồ thị (hình dưới) là đồ thị của hàm số nào?

A. $y = \frac{x + 2}{x + 1}$

B. $y = \frac{2 x + 1}{x + 1}$

C. $y = \frac{2 x - 1}{x + 1}$

D. $y = \frac{x + 3}{1 - x}$

Xem đáp án

Chọn B
Dựa vào đồ thị ta có
1) Đường thẳng:

y = 2

là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
2) Đường thẳng:

x = - 1

là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ

y = b (0 < b < 2)

Vậy

y = \frac{2 x + 1}{x + 1}

.

Câu 12:

Cho hàm số

y = f (x)

có bảng biến thiên như sau:

Đồ thị hàm số đã cho có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?

A. 3

B. 2

C. 1

D. 4

Xem đáp án

Chọn A
Dựa vào bảng biến thiên ta có:
1) Vì

\lim_{x \to - 2^{+}} y = - \infty

và

\lim_{x \to 0^{-}} y = + \infty

nên đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận đứng lần lượt là

x = - 2

và

x = 0

.
2) Vì

\lim_{x \to + \infty} y = 0

nên đồ thị hàm số đã cho có một tiệm cận ngang là

y = 0

.
Vậy đồ thị hàm số đã cho có 3 đường tiệm cận

Câu 13:

Cho hàm số

y = \frac{a x + b}{c x + d}

có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số có tọa độ là

A. $(- 1; 1)$

B. $(1; 2)$

C. $(1; 1)$

D. $(2; 1)$

Xem đáp án

Chọn A
Dựa vào bảng biến thiên ta có:
1) Vì

\lim_{x \to - 2^{+}} y = - \infty

và

\lim_{x \to 0^{-}} y = + \infty

nên đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận đứng lần lượt là

x = - 2

và

x = 0

.
2) Vì

\lim_{x \to + \infty} y = 0

nên đồ thị hàm số đã cho có một tiệm cận ngang là

y = 0

.
Vậy đồ thị hàm số đã cho có 3 đường tiệm cận

Câu 14:

Đồ thị hàm số

y = f (x)

như hình vẽ dưới đây có tiệm cận đứng, tiệm cận ngang theo thứ tự là

A. $x = 1$ $, y = \frac{1}{2}$

B. $x = - 1$ $, y = 1$

C. $x = \frac{1}{2}, y = 1$

D. $x = 1, y = - \frac{1}{2}$

Xem đáp án

Chọn C
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy:
1) Tiệm cận đứng của đố thị hàm số

y = f (x)

:

x = \frac{1}{2}

.
2) Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

y = f (x)

:

y = 1

.

Câu 15:

Trong các hình vẽ dưới đây, có bao nhiêu hình là hình đa diện?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Chọn C
Hình 3 không phải là hình đa diện vì nó vi phạm tính chất “ mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạch chung của đúng hai đa giác”
Các hình: Hình 1, Hình 2, Hình 3 là các hình đa diện.

Câu 16:

Trong các hình dưới đây, có bao nhiêu hình là đa diện lồi?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Chọn C
Quan sát bốn hình, ta thấy:
1) Hình

(I V)

:

Đoạn thẳng MN (trừ hai đầu mút M, N) không thuộc hình (IV) nên đây không phải là đa diện lồi.
2) Hình (I), (III), (III) là các đa diện lồi vì đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của các khối đều thuộc khối ấy.

Câu 17:

Khối lăng trụ có diện tích đáy bằng

3 a^{2}

, chiều cao bằng a có thể tích bằng

A. $3 a^{3}$

B. $\frac{3}{2} a^{3}$

C. $\frac{1}{2} a^{3}$

D. $a^{3}$

Xem đáp án

Chọn A
Thể tích khối lăng trụ

V = S_{đ} . h = 3 a^{2} . a = 3 a^{3}

.

Câu 18:

Cho hình chóp có diện tích mặt đáy là

3 a^{2}

và chiều cao bằng 2a. Thể tích của khối chóp bằng

A. $6 a^{3}$

B. $2 a^{3}$

C. $3 a^{3}$

D. $a^{3}$

Xem đáp án

Chọn B
Thể tích khối chóp: .

V = \frac{1}{3} S_{đ} . h = \frac{1}{3} 3 a^{2} .2 a = 2 a^{3}

Câu 19:

Tính theo a thể tích V của khối lập phương

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

biết

A C^{'} = a .

A. $V = 3 \sqrt{3} a^{3} .$

B. $V = \frac{\sqrt{3} a^{3}}{3} .$

C. $V = \frac{a^{3}}{27} .$

D. $V = \frac{\sqrt{3} a^{3}}{9} .$

Xem đáp án

Chọn D

Ta có

A C^{'} = A B \sqrt{3} \Rightarrow A B = \frac{a}{\sqrt{3}} .

Thể tích khối lập phương là:

V = A B^{3} = {(\frac{a}{\sqrt{3}})}^{3} = \frac{a^{3}}{3 \sqrt{3}} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{9}

Câu 20:

Cho hình chóp

S . A B C

có đáy ABC là tam giác đều cạnh a,

S A ⊥ (A B C)

và

S A = a \sqrt{3} .

Thể tích khối chóp

S . A B C

là

A. $\frac{3 a^{3}}{4} .$

B. $\frac{a^{3}}{2} .$

C. $\frac{3 a^{3}}{8}$

D. $\frac{a^{3}}{4} .$

Xem đáp án

Chọn D

Tam giác là tam giác đều cạnh a nên

S_{Δ A B C} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}

.
Ta có thể tích của khối chóp

S . A B C

là

V_{S . A B C} = \frac{1}{3} . S_{Δ A B C} . S A = \frac{1}{3} . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} . a \sqrt{3} = \frac{a^{3}}{4} .

Câu 21:

Cho hàm số

y = f (x) = \frac{x^{2} + x - 1}{x + 2}

. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

A. $(- 3; - 1)$

B. $(- 2; + \infty)$

C. $(- \infty; - 3)$

D. $(- 2; - 1)$

Xem đáp án

Chọn D
Tập xác định:

D = ℝ \ \{- 2\}

.

y^{'} = \frac{x^{2} + 4 x + 3}{{(x + 2)}^{2}}

;

y^{'} = 0 \Rightarrow x^{2} + 4 x + 3 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \\ x = - 3 \end{array}

.y' không xác định tại

x = - 2

.
Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số

f (x)

nghịch biến trên khoảng

(- 3; - 2)

và

(- 2; - 1)

.

Câu 22:

Cho hàm số

y = f (x)

liên tục trên

ℝ

và có đồ thị như hình vẽ sau:

Hàm số

g (x) = f (2 - x) - 2

đồng biến trên khoảng nào?

A. $(- 4; - 2) .$

B. $(0; 2) .$

C. $(0; + \infty) .$

D. $(- \infty; 2) .$

Xem đáp án

Chọn B
Hàm số

g (x) = f (2 - x) - 2

liên tục và xác định trên

ℝ

.
Dựa vào đồ thị hàm số

y = f (x)

\Rightarrow f^{'} (x) = a . x^{m} . {(x - 2)}^{n}

(a > 0, m \in ℕ^{*}, n \in ℕ^{*}

và

m, n

lẻ).
Suy ra

f^{'} (2 - x) = a . {(2 - x)}^{m} . {(- x)}^{n} = a . {(x - 2)}^{m} . x^{n}

.
Ta có

g^{'} (x) = - f^{'} (2 - x) = - a . {(x - 2)}^{m} . x^{n}

.
Cho

g^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 2 - x = 0 \\ 2 - x = 2 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 2 \\ x = 0 \end{array}

(nghiệm bội lẻ).
Bảng xét dấu

g^{'} (x)

:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng

(0; 2) .

Câu 23:

Số các giá trị nguyên của tham số m để hàm số

y = - \frac{x^{3}}{3} + m x^{2} - 2 m x + 1

không có cực trị.

A. 1

B. 2

C. 3

D. 0

Xem đáp án

Chọn C
Tập xác định:

D = ℝ

.
Ta có:

y^{'} = - x^{2} + 2 m x - 2 m

.
Hàm số

y = - \frac{x^{3}}{3} + m x^{2} - 2 m x + 1

không có cực trị

\Leftrightarrow y^{'} = 0

không có hai nghiệm phân biệt

\Leftrightarrow Δ^{'} = m^{2} - 2 m \leq 0 \Leftrightarrow 0 \leq m \leq 2

Mà

m \in ℤ

nên

m \in \{0; 1; 2\}

.

Câu 24:

Cho hàm số

y = f (x)

xác định trên

ℝ

và có đồ thị như hình vẽ sau:

Số điểm cực trị của hàm số

y = f (x^{2} - 3)

là

A. 4

B. 2

C. 5

D. 0

Xem đáp án

Chọn D
Dựa vào đồ thị hàm số

y = f (x) \Rightarrow f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x = 1

Ta có

y^{'} = {[f (x^{2} - 3)]}^{'} = 2 x . f^{'} (x^{2} - 3)

= 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x^{2} - 3 = 1 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \pm 2 \end{array}

Vì

x = 0

(nghiệm đơn),

x = 2

(nghiệm bội lẻ),

x = - 2

(nghiệm bội lẻ) và

y^{'}

đổi dấu khi qua các nghiệm này nên hàm số

y = f (x^{2} - 3)

có ba điểm cực trị.

Câu 25:

Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

y = \frac{x + m}{x + 1}

trên đoạn

[1; 2]

bằng 8 (với m là tham số thực). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $m = \frac{42}{5}$

B. $m = \frac{41}{5}$

C. $m = \frac{17}{5}$

D. $m = \frac{27}{5}$

Xem đáp án

Chọn B
Hàm số

y = f (x) = \frac{x + m}{x + 1}

xác định là liên tục trên đoạn

[1; 2]

.
Với

m = 1

, hàm số trở thành

y = 1 \Rightarrow \max_{[1; 2]} f (x) = \min_{[1; 2]} f (x) = 1

(không thỏa).
Với

m \neq 1

, ta có:

y^{'} = \frac{1 - m}{{(x + 1)}^{2}}

. Khi đó hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên

[1; 2]

.
Suy ra

[\begin{array}{l} \max_{[1; 2]} f (x) = f (2); \min_{[1; 2]} f (x) = f (1) \\ \max_{[1; 2]} f (x) = f (1); \min_{[1; 2]} f (x) = f (2) \end{array}

;

f (1) = \frac{1 + m}{2}; f (2) = \frac{2 + m}{3}

.
Theo yêu cầu bài toán, ta có:

\max_{[1; 2]} f (x) + \min_{[1; 2]} f (x) = 8 \Leftrightarrow \frac{1 + m}{2} + \frac{2 + m}{3} = 8 \Leftrightarrow m = \frac{41}{5}

.
Vậy

m = \frac{41}{5}

thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 26:

Cho hàm số $y = f (x)$ xác định và liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ sau:

Tổng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $g (x) = f (2 x - 1)$ trên đoạn $[0; 1]$ là

A. $g (0) + g (1)$

B. $f (0) + f (1)$

C. $g (0) + g (1, 5)$

D. $f (0) + f (1, 5)$

Xem đáp án

Chọn A
Hàm số

y = f (2 x - 1)

xác định và liên tục trên đoạn

[0; 1]

.
Dựa vào đồ thị hàm số, suy ra

y = f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \\ x = 1 \\ x = 2 \end{array}

.
Ta có:

g^{'} (x) = 2 f^{'} (2 x - 1)

Cho

g^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow 2 f^{'} (2 x - 1) = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} 2 x - 1 = - 1 \\ 2 x - 1 = 1 \\ 2 x - 1 = 2 \end{matrix} \Rightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \Rightarrow g (0) = f (- 1) \\ x = 1 \Rightarrow g (1) = f (0) \\ x = \frac{3}{2} \Rightarrow g (\frac{3}{2}) = f (2) \end{array}

Dựa vào đồ thị hàm số

y = f (x) \Rightarrow f (- 1) > f (2) > f (0) \Rightarrow g (0) > g (\frac{3}{2}) > g (1)

Vậy

\max_{[0; 1]} g (x) + \min_{[0; 1]} g (x) = g (0) + g (1)

.

Câu 27:

Cho hàm số

y = a x^{4} + b x^{2} + c

có đồ thị như hình bên. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. $a > 0, b < 0, c > 0$

B. $a > 0, b < 0, c < 0$

C. $a > 0, b > 0, c < 0$

D. $a < 0, b > 0, c < 0$

Xem đáp án

Chọn B
Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy:
1) Đồ thị hàm số có hai điểm cực tiểu và một điểm cực đại nên

a > 0, b < 0

.
2) Giá trị cực đại nhỏ hơn 0 nên c <0 .
Vậy

a > 0, b < 0, c < 0

Câu 28:

Cho hàm số

y = x^{3} - 3 x^{2} + 2

có đồ thị như Hình 1. Đồ thị Hình 2 là của hàm số nào dưới đây?

A. $y = |x^{3} - 3 x^{2} + 2| .$

B. $y = {|x|}^{3} - 3 x^{2} + 2$

C. $y = |x - 1| (x^{2} - 2 x - 2) .$

^{D. $y = (x - 1) |x^{2} - 2 x - 2| .$}

Xem đáp án

Chọn A
Quan sát Hình 1 và Hình 2, ta thấy Hình 2 được suy ra từ Hình 1 như sau:
1) Giữ phần đồ thị nằm phía trên trục hoành của Hình 1
2) Lấy đối xứng qua trục Ox phần đồ thị nằm bên dưới trục Ox của Hình 1
Vậy hàm số để tạo ra đồ thị Hình 2 có dạng

y = |f (x)|

.

Câu 29:

Cho hàm số

y = \frac{a x + b}{c x + d}

có đồ thị như trong hình bên dưới. Biết rằng a là số thực dương, hỏi trong các số

b, c, d

có tất cả bao nhiêu số dương?

A. 1

B. 2

C. 0

D. 3

Xem đáp án

Chọn B
Nhìn vào đồ thị ta thấy
Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là

y = \frac{a}{c}

nằm phía trên trục hoành nên

\frac{a}{c} > 0 \Rightarrow a, c

cùng dấu.
Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là

x = \frac{- d}{c}

nằm bên trái trục tung nên

\frac{- d}{c} < 0 \Rightarrow \frac{d}{c} > 0 \Rightarrow d, c

cùng dấu.
Giao điểm của đồ thị và trục tung nằm bên dưới trục hoành nên

\frac{b}{d} < 0

\Rightarrow b, d

trái dấu.
Mà

a > 0 \Rightarrow c > 0, d > 0, b < 0

Câu 30:

Một tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

y = \frac{\sqrt{4 x^{2} + 6} - 2}{x + 2}

là?

A. y=2

B. x=-2

C. y=1

D. x=-1

Xem đáp án

Chọn A
Ta có:

\lim_{x \to + \infty} \frac{\sqrt{4 x^{2} + 6} - 2}{x + 2} = \lim_{x \to + \infty} \frac{\sqrt{4 + \frac{6}{x^{2}}} - \frac{2}{x}}{1 + \frac{2}{x}} = 2

\lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{4 x^{2} + 6} - 2}{x + 2} = \lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{4 + \frac{6}{x^{2}}} - \frac{2}{x}}{1 + \frac{2}{x}} = - 2

Vậy hàm số có hai tiệm cận ngang

y = \pm 2

.

Câu 31:

Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

y = \frac{5 x^{2} - 4 x - 1}{x^{2} - 1}

là

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Chọn C
Vì

\lim_{x \to \pm \infty} \frac{5 x^{2} - 4 x - 1}{x^{2} - 1} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^{2} (5 - \frac{4}{x} - \frac{1}{x^{2}})}{x^{2} (1 - \frac{1}{x^{2}})} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{5 - \frac{4}{x} - \frac{1}{x^{2}}}{1 - \frac{1}{x^{2}}} = 5

nên đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang

y = 5

.
Vì

\lim_{x \to 1} y = \lim_{x \to 1} \frac{5 x^{2} - 4 x - 1}{x^{2} - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(5 x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \lim_{x \to 1} \frac{5 x + 1}{x + 1} = \frac{6}{2} = 3

nên

x = 1

không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

\lim_{x \to {(- 1)}^{+}} y = \lim_{x \to {(- 1)}^{+}} \frac{5 x^{2} - 4 x - 1}{x^{2} - 1} = \lim_{x \to {(- 1)}^{+}} \frac{5 x^{2} - 4 x - 1}{(x + 1) (x - 1)} = \lim_{x \to {(- 1)}^{+}} (\frac{1}{x + 1} . \frac{5 x^{2} - 4 x - 1}{x - 1})

Mà:

\{\begin{cases} \lim_{x \to {(- 1)}^{+}} \frac{1}{x + 1} = + \infty \\ \lim_{x \to {(- 1)}^{+}} \frac{5 x^{2} - 4 x - 1}{x - 1} = - 4 < 0 \end{cases}

nên

\lim_{x \to {(- 1)}^{+}} y = - \infty

.

\lim_{x \to {(- 1)}^{-}} y = \lim_{x \to {(- 1)}^{-}} \frac{5 x^{2} - 4 x - 1}{x^{2} - 1} = \lim_{x \to {(- 1)}^{-}} \frac{5 x^{2} - 4 x - 1}{(x + 1) (x - 1)} = \lim_{x \to {(- 1)}^{-}} (\frac{1}{x + 1} . \frac{5 x^{2} - 4 x - 1}{x - 1})

Mà:

\{\begin{cases} \lim_{x \to {(- 1)}^{-}} \frac{1}{x + 1} = - \infty \\ \lim_{x \to {(- 1)}^{-}} \frac{5 x^{2} - 4 x - 1}{x - 1} = - 4 < 0 \end{cases}

nên

\lim_{x \to {(- 1)}^{-}} y = + \infty

.
Do đó, đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng

x = - 1

.
Tổng cộng đồ thị hàm số có 2 tiệm cận.

Câu 32:

Một hình hộp đứng có đáy là hình thoi (không phải là hình vuông) có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?

A. 3 mặt phẳng.

B.4 mặt phẳng.

C. 2 mặt phẳng.

D.1 mặt phẳng.

Xem đáp án

Chọn A
Theo bài ra ta có hình vẽ sau:

Do đó các mặt phẳng đối xứng là:

(B D E H)

,

(A C G F)

,

(I J K L)

.
Vậy có tất cả 3 mặt phẳng đối xứng.

Câu 33:

Một hình lăng trụ có 24 đỉnh thì sẽ có bao nhiêu cạnh?

A. 36

B. 48

C. 24

D. Đáp án khác

Xem đáp án

Hình lăng trụ có 24 đỉnh nên mỗi đáy có 12 đỉnh.
Khi đó, hình lăng trụ có 12 cạnh bên và 24 cạnh đáy.
Tổng số cạnh là 12+24=36

Câu 34:

Cho khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng cạnh bên bằng 2a. Thể tích của khối chóp đã cho bằng

a \sqrt{5}

A. $4 \sqrt{5} a^{3}$

B. $4 \sqrt{3} a^{3}$

C. $\frac{4 \sqrt{5} a^{3}}{3}$

D. $\frac{4 \sqrt{3} a^{3}}{3}$

Xem đáp án

Chọn D

Gọi là giao điểm hai đường chéo của hình vuông ABCD
=> SOlà chiều cao của khối chóp S.ABCD
Ta có

S_{A B C D} = 4 a^{2}

;

S O = \sqrt{S B^{2} - O B^{2}} = \sqrt{5 a^{2} - 2 a^{2}} = a \sqrt{3}

Vậy

V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S O . S {}_{A B C D}= \frac{a \sqrt{3} .4 a^{2}}{3} = \frac{4 \sqrt{3} a^{3}}{3}

Câu 35:

Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh

a \sqrt{3}

và

S A

vuông góc với mặt phẳng

(A B C D)

. Biết đường thẳng SB tạo với mặt phẳng đáy một góc

60 °

. Tính thể tích V của khối chóp

S . A B C D

?

A. $V = 9 a^{3}$

B. $V = \frac{3 a^{3}}{4}$

C. $V = \frac{9 a^{3}}{2}$

D. $V = 3 a^{3}$

Xem đáp án

Chọn D

Ta có

S A ⊥ (A B C D) \Rightarrow A B

là hình chiếu vuông góc của SB lên mặt phẳng

(A B C D)

.

\Rightarrow \hat{(S B, (A B C D))} = \hat{(S B, A B)} = \hat{S B A} = 60 °

Δ S A B

vuông tại A:

S A = \tan 60 ° . A B = \sqrt{3} . a \sqrt{3} = 3 a

.

S_{A B C D} = A B^{2} = {(a \sqrt{3})}^{2} = 3 a^{2}

.
Vậy

V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} . S_{A B C D} . S A = \frac{1}{3} .3 a^{2} .3 a = 3 a^{.3}

.

Câu 36:

Cho hàm số

y = f (x)

có đạo hàm

f' (x)

trên R. Hình vẽ bên dưới là đồ thị của hàm số

y = f' (x)

. Hỏi hàm số

g (x) = f (x^{2} + 2)

nghịch biến trên khoảng nào?

Xem đáp án

Hàm số

g (x) = f (x^{2} + 2)

liên tục và xác định trên R;

g^{'} (x) = 2 x f^{'} (x^{2} + 2)

.
Cho

g^{'} (x) = 0

, kết hợp với đồ thị hàm số

y = f^{'} (x)

ta được:

[\begin{array}{l} x = 0 \\ f^{'} (x^{2} + 2) = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x^{2} + 2 = - 2 \\ x^{2} + 2 = 2 \\ x^{2} + 2 = 5 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \sqrt{3} \\ x = - \sqrt{3} \end{array}

Từ đồ thị đã cho ta có

f^{'} (x) > 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} - 2 < x < 2 \\ x > 5 \end{array}

Suy ra

f^{'} (x^{2} + 2) > 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} - 2 < x^{2} + 2 < 2 \\ x^{2} + 2 > 5 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} - 4 < x^{2} < 0 \\ x^{2} > 3 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x > \sqrt{3} \\ x < - \sqrt{3} \end{array}

Lập luận tương tự, ta có:

f^{'} (x^{2} + 2) < 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 2 < x^{2} + 2 < 5 \\ x^{2} + 2 < - 2 \end{array} \Leftrightarrow 0 < x^{2} < 3 \Leftrightarrow - \sqrt{3} < x < \sqrt{3}

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên hàm số nghịch biến trên các khoảng

(- \infty; - \sqrt{3})

và

(0; \sqrt{3})

.

Câu 37:

Cho hàm số

y = f (x)

có đạo hàm liên tục trên R và bảng xét dấu đạo hàm như sau:

Hỏi hàm số

y = 3 f (- x^{4} + 4 x^{2} - 6) + 2 x^{6} - 3 x^{4} - 12 x^{2}

có tất cả bao nhiêu điểm cực tiểu?

Xem đáp án

y^{'} = - (12 x^{3} - 24 x) . f^{'} (- x^{4} + 4 x^{2} - 6) + 12 x^{5} - 12 x^{3} - 24 x

= - 12 x (x^{2} - 2) . f^{'} (- x^{4} + 4 x^{2} - 6) + 12 x (x^{4} - x^{2} - 2)

= - 12 x (x^{2} - 2) . [f^{'} (- x^{4} + 4 x^{2} - 6) - (x^{2} + 1)]

+ Ta có

- x^{4} + 4 x^{2} - 6 = - {(x^{2} - 2)}^{2} - 2 \leq - 2, \forall x \in ℝ

Dựa vào bảng xét dấu

\Rightarrow f^{'} (- x^{4} + 4 x^{2} - 6) \leq 0, \forall x \in ℝ

Mà

x^{2} + 1 \geq 1, \forall x \in ℝ

Do đó

f' (- x^{4} + 4 x^{2} - 6) - (x^{2} + 1) < 0, \forall x \in ℝ

+ Cho

y' = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x_{2} - 2 = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \pm \sqrt{2} \end{array}

Hàm số

y = 3 f (- x^{4} + 4 x^{2} - 6) + 2 x^{6} - 3 x^{4} - 12 x^{2}

có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

Vậy hàm số

y = 3 f (- x^{4} + 4 x^{2} - 6) + 2 x^{6} - 3 x^{4} - 12 x^{2}

có 2 điểm cực tiểu.

Câu 38:

a) Ông An dự định sử dụng hết

6, 7 m^{2}

kính để làm một bể bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước không đáng kể). Hỏi bể có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
b) Cho khối lăng trụ đứng

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

có đáy

A B C

là tam giác cân với

A B = A C = a

,

\hat{B A C} = 120 °

. Mặt phẳng

(A B^{'} C^{'})

tạo với đáy một góc

60 °

. Tính thể tích V khối lăng trụ đã cho.

Xem đáp án

a)

Gọi

x (m)

,

2 x (m)

,

h (m)

lần lượt là chiều rộng, chiều dài, chiều cao của bể

(x > 0, h > 0)

.
Tổng diện tích các mặt của bể:

2 (x h + 2 x h) + 2 x^{2} = 6 x h + 2 x^{2} = 6, 7

.

\Rightarrow h = \frac{6, 7 - 2 x^{2}}{6 x}

Vì

h > 0

nên

x < \sqrt{\frac{6, 7}{2}}

.
Thể tích bể là

V (x) = \frac{6, 7 x - 2 x^{3}}{3}, \forall x \in (0; \sqrt{\frac{6, 7}{2}})

.
Suy ra

V^{'} (x) = \frac{6, 7 - 6 x^{2}}{3}, \forall x \in (0; \sqrt{\frac{6, 7}{2}})

Cho

V^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow \frac{6, 7 - 6 x^{2}}{3} = 0 \Leftrightarrow x = \sqrt{\frac{6, 7}{6}}

(nhận);

V (\sqrt{\frac{6, 7}{6}}) \approx 1, 57

.
Bảng biến thiên

Vậy bể cá có dung tích lớn nhất bằng

1, 57 m^{3}

.
b)

Gọi H là trung điểm của B'C', khi đó góc giữa mp

(A B^{'} C^{'})

và đáy là góc

\hat{A H A^{'}} = 60 °

.
Ta có

S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} A C . A B . \sin 120 ° = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}

.

B^{'} C^{'} = B C = \sqrt{A B^{2} + A C^{2} - 2 A B . A C . \cos 120 °} = \sqrt{a^{2} + a^{2} - 2. a . a . \frac{- 1}{2}} = a \sqrt{3}

\Rightarrow A^{'} H = \frac{2 S_{Δ A B C}}{B^{'} C^{'}} = \frac{a}{2}

\Rightarrow A A^{'} = A^{'} H . \tan 60 ° = \frac{a \sqrt{3}}{2}

Vậy

V = S_{Δ A C B} . A A^{'} = \frac{3 a^{3}}{8}

.

Câu 39:

Cho hàm số

y = f (x) = \frac{x + m}{x + 1}

( m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của tham số m thỏa mãn

max_{[0; 1]} |f (x)| + min_{[0; 1]} |f (x)| = 2

.

Xem đáp án

Hàm số

y = f (x) = \frac{x + m}{x + 1}

xác định và liên tục trên

[0; 1] .

+ Với

m = 1

hàm số trở thành

y = 1

\Rightarrow max_{[0; 1]} f (x) = min_{[0; 1]} f (x) = 1 \Rightarrow max_{[0; 1]} |f (x)| + min_{[0; 1]} |f (x)| = 2

Do đó

m = 1

thỏa yêu cầu bài toán.
+ Với

m \neq 1

hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên

[0; 1]

. Ta có

f (0) = m, f (1) = \frac{m + 1}{2}

TH1:

f (0) . f (1) \leq 0 \Leftrightarrow m . \frac{m + 1}{2} \leq 0 \Leftrightarrow - 1 \leq m \leq 0

Khi đó

min_{[0; 1]} |f (x)| = 0

và

max_{[0; 1]} |f (x)| = |m|

hoặc

max_{[0; 1]} |f (x)| = |\frac{m + 1}{2}|

Theo giả thiết ta phải có

[\begin{array}{l} |m| = 2 \\ |\frac{m + 1}{2}| = 2 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = \pm 2 \\ m = 3 \\ m = - 5 \end{array}

(loại).
TH2:

f (0) . f (1) > 0 \Leftrightarrow m \frac{m + 1}{2} > 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m < - 1 \\ m > 0 \end{array}

Khi đó

[\begin{array}{l} \max_{[0; 1]} |f (x)| = |f (1)|; \min_{[0; 1]} |f (x)| = |f (0)| \\ \max_{[0; 1]} |f (x)| = |f (0)|; \min_{[0; 1]} |f (x)| = |f (1)| \end{array} .

Theo giả thiết ta có:

max_{[0; 1]} |f (x)| + min_{[0; 1]} |f (x)| = 2 \Leftrightarrow |m| + |\frac{m + 1}{2}| = 2 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m + \frac{m + 1}{2} = 2 \\ - m - \frac{m + 1}{2} = 2 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 1 \\ m = - \frac{5}{3} \end{array}

(thoả mãn).
Vậy với

[\begin{array}{l} m = 1 \\ m = - \frac{5}{3} \end{array}

thì điều kiện bài toán thỏa mãn.