35 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Bộ 20 đề thi giữa kì 2 Toán 12 có đáp án năm 2022-2023 (Đề 11)

Câu 1:

y = 4 x^{3} + m x^{2} - 12 x

đạt cực tiểu tại điểm

x = - 2

.

A. $m = - 9$

B. Không có m

C. m=9

D. m=2

Xem đáp án

Chọn B

y^{'} = 12 x^{2} + 2 m x - 12

{y^{'}}^{'} = 24 x + 2 m

Hàm số bậc ba đạt cực tiểu tại x=2

\Leftrightarrow \{\begin{cases} y^{'} (- 2) = 0 \\ {y^{'}}^{'} (- 2) > 0 \end{cases}

\Leftrightarrow \{\begin{cases} 36 - 4 m = 0 \\ - 48 + 2 m > 0 \end{cases}

\Leftrightarrow \{\begin{cases} m = 9 (L o a i) \\ m > 24 \end{cases}

Vậy không có m thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 2:

Cho hàm số

y = - \frac{x^{3}}{3} - m x^{2} - (2 m + 3) x - m

( m là tham số). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên

ℝ

?

A. 5

B. 3

C. 4

D. 2

Xem đáp án

Chọn A
Tập xác định của hàm số đã cho là R.
Ta có:

y^{'} = - x^{2} - 2 m x - (2 m + 3)

.
Hàm số nghịch biến trên R

\Leftrightarrow y^{'} \leq 0, \forall x \in ℝ

\Leftrightarrow \{\begin{cases} a < 0 \\ Δ^{'} \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} - 1 < 0 \\ m^{2} - 2 m - 3 \leq 0 \end{cases}

\Leftrightarrow - 1 \leq m \leq 3

.
Mặt khác

m \in ℤ

nên

m \in \{- 1; 0; 1; 2; 3\}

.
Vậy có 5 giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên R.

Câu 3:

Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, có

A B = 2 a

,

A D = D C = a

,

S A = a

và

S A ⊥ (A B C D)

. Tan của góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) là

A. $\sqrt{2}$

B. $\frac{1}{\sqrt{2}}$

C. $\frac{1}{\sqrt{3}}$

D. $\sqrt{3}$

Xem đáp án

Chọn B

Cách 1: Gọi I là trung điểm của AB suy ra

A I = \frac{1}{2} A B = a

. Mặt khác ABCD là hình thang vuông và AD=DC=a, nên là hình vuông suy ra

C I = a

.
Vậy trong tam giác ACB có đường trung tuyến

C I = \frac{1}{2} A B

và

C I ⊥ A B

, nên

Δ A C B

vuông cân tại C, hay

A C ⊥ C B

(1).
Mà theo giả thiết

S A ⊥ (A B C D) \Rightarrow S A ⊥ C B

(2).
Từ (1) và (2) suy ra

C B ⊥ S C

.
Do đó góc giữa hai mặt phẳng

(S B C)

và

(A B C D)

là góc giữa hai đường thẳng trong hai mặt phẳng cùng vuông góc với giao tuyến, tức là góc

\hat{S C A} = α

.
Ta có

A C = a \sqrt{2}

. Vậy

\tan α = \frac{a}{a \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}

.
Cách 2:
Gọi I là trung điểm củaAB suy ra

A I = \frac{1}{2} A B = a

.

Suy ra

A C ⊥ C B

(1).
Mà

S A ⊥ (A B C D) \Rightarrow S A ⊥ C B

(2)
Từ (1) và (2) suy ra

S C ⊥ C B

Vậy góc giữa hai mặt phẳng

(S B C)

và

(A B C D)

là góc giữa hai đường thẳng trong hai mặt phẳng cùng vuông góc với giao tuyến, tức là góc

\hat{S C A} = α

.

Do đó

\tan α = \frac{a}{a \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}

.

Câu 4:

Kí hiệu m. M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số

y = \frac{x + 3}{2 x - 1}

trên đoạn

[1; 4]

. Tính giá trị của biểu thức

d = M - m

.

A. d=4

B. d=3

C. d=5

D. d=2

Xem đáp án

Chọn B
Nhận thấy

y^{'} = \frac{- 7}{{(2 x - 1)}^{2}} < 0 \forall x \in [1; 4]

, nên:
Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn

[1; 4]

là

M = y (1) = 4

.
Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn

[1; 4]

là

m = y (4) = 1

Vậy giá trị của biểu thức

d = M - m = 4 - 1 = 3

.

Câu 5:

Cho lăng trụ tam giác đều

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

có

A B = a

;

A^{'} B

tạo với mặt đáy

(A B C)

một góc

60^{0}

. Tính thể tích V khối lăng trụ đã cho.

A. $V = \frac{a^{3}}{4}$

B. $V = \frac{3}{2} a^{3}$

C. $V = \frac{3}{4} a^{3}$

D. $V = 3 a^{3}$

Xem đáp án

Chọn C

Vì

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

là lăng trụ tam giác đều nên

A A^{'} ⊥ (A B C)

và

Δ A B C

đều.
Suy ra

\{\begin{cases} \hat{(A^{'} B; (A B C))} = \hat{A^{'} B A} = 60^{0} \Rightarrow A A^{'} = A B . \tan 60^{0} = a \sqrt{3} \\ S_{Δ A B C} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} \end{cases}

.

\Rightarrow V = A A^{'} . S_{Δ A B C} = a \sqrt{3} . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{3}{4} a^{3}

Câu 6:

Mệnh đề nào đúng với bảng biến thiên sau :

A. Hàm số nghịch biến trên

(- 1; 1)

.

B. Hàm số nghịch biến trên $(1; 2)$ .

C. Hàm số đồng biến trên

(0; + \infty)

.

D. Hàm số đồng biến trên

(- \infty; 1)

.

Xem đáp án

Chọn B
Từ bảng biến thiên suy ra :
Hàm số đồng biến trên các khoảng

(- \infty; - 1)

và

(0; 1)

.
Hàm số nghịch biến trên các khoảng

(- 1; 0)

và

(1; + \infty)

.
Do

(1; 2) \subset (1; + \infty)

. Như vậy, phương án B đúng.

Câu 7:

Cho hình chóp

S . A B C

có đáy

A B C

là tam giác đều cạnh 2a, hai mặt bên

(S A B)

và

(S A C)

cùng vuông góc với đáy. Góc giữa cạnh bên

S B

và mặt phẳng

(A B C)

là

60^{o}

. Tính thể tích V khối chóp S.ABC

A. $V = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{12}$

B. $V = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{3}$

C. $V = a^{3} \sqrt{2}$

D. $V = 2 a^{3}$

Xem đáp án

Chọn D

Do hai mặt bên

(S A B)

và

(S A C)

cùng vuông góc với đáy nên suy ra

S A ⊥ (A B C)

.

\hat{(S B, (A B C))} = \hat{S B A} = 60^{o}

Trong tam giác vuông

S A B

, ta có

S A = A B . \tan \hat{S B A}

= 2 \sqrt{3} a

.
Vậy

V_{S . A B C} = \frac{1}{3} \cdot S A \cdot S_{Δ A B C}

= \frac{1}{3} \cdot 2 \sqrt{3} a \cdot \frac{{(2 a)}^{2} \sqrt{3}}{4} = 2 a^{3}

.

Câu 8:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số

y = \frac{x - m + 2}{x + 1}

giảm trên các khoảng xác định của nó

A. $m < - 3$

B. $m \leq - 3$

C. m<1

D. $m \leq 1$

Xem đáp án

Chọn C
Tập xác định

D = ℝ \ \{- 1\}

.
Ta có

y^{'} = \frac{m - 1}{{(x + 1)}^{2}}

.
Để hàm số giảm trên các khoảng xác định thì

y^{'} < 0

\Leftrightarrow m < 1

.

Câu 9:

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

y = x^{4} - 2 x^{2} + 1

trên đoạn

[0; 3]

.

A. 64

B. 9

C. 1

D. 0

Xem đáp án

Chọn D
Ta có

y^{'} = 4 x^{3} - 4 x

.

y' = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \pm 1 \\ x = 0 \end{array}

y (0) = 1; y (1) = 0; y (3) = 64

Vậy

\min_{[0; 3]} y = y (1) = 0

Câu 10:

Cho hàm số

(C) : y = x^{3} + 3 x^{2}

. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị

(C)

tại điểm

M (1; 4)

là

A. $y = - 9 x + 5$

B. $y = 9 x + 5$

C. $y = 9 x - 5$

D. $y = - 9 x - 5$

Xem đáp án

Chọn C
Tập xác định

D = ℝ

.
Ta có

y^{'} = f^{'} (x) = 3 x^{2} + 6 x

.
Hệ số góc của tiếp tuyến với

(C)

tại

M (1; 4)

là

f^{'} (1) = 9

.
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là

y = f^{'} (1) (x - 1) + 4

= 9 (x - 1) + 4

= 9 x - 5

.
Vậy

y = 9 x - 5

.

Câu 11:

Cho hàm số

y = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{4}{3} x^{3} - \frac{7}{2} x - 2 x - 1

. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hàm số có 1 cực đại và 2 cực tiểu.

B. Hàm số có 1 cực tiểu và 2 cực đại,.

C. Hàm số không có cực trị.

D. Hàm số chỉ có 1 cực tiểu và không có cực đại.

Xem đáp án

Chọn A
Ta có: $y' = x^{3} - 4 x^{2} - 7 x - 2 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \\ x = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2} \end{array}$
BBT

Hàm số có 1 CĐ và 2 CT.

Câu 12:

Cho hàm số

y = f (x)

được biểu diễn như hình vẽ bên. Đáp án nào đúng về hàm số đã cho?

A. $y = \frac{x + 2}{2 x - 1}$

B. $y = \frac{x + 3}{x - 1}$

C. $y = \frac{x - 2}{2 x + 1}$

D. $y = \frac{x - 2}{x + 1}$

Xem đáp án

Chọn C
Theo đồ thị ta thấy, đồ thị hàm số:
Có TCĐ:

x = - \frac{1}{2}

Có TCN:

y = \frac{1}{2}

Suy ra đáp án C.

Câu 13:

Cho hàm số

y = - x^{3} + 3 x^{2} - 4

.Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng

(0; 2)

.

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(- \infty; 2)$ .

C. Hàm số đồng biến trên khoảng $(0; + \infty)$

D. Hàm số đồng biến trên khoảng

(0; 2)

Xem đáp án

Chọn D
+ TXĐ: $ℝ .$
+ $y^{'} = - 3 x^{2} + 6 x, y^{'} = 0 \Leftrightarrow - 3 x^{2} + 6 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 2 \end{array}$
BBT:

+ Quan sát bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng (0;2)

Câu 14:

Đường cong ở hình dưới đây là đồ thị của một trong bốn hàm số nào dưới đây?

A. $y = - x^{4} + 3 x^{2} + 1$

B. $y = - x^{3} + 3 x^{2}$

C. $y = - x^{3} + 3 x$

D. $y = x^{3} - 3 x^{2}$

Xem đáp án

Chọn B
+ Quan sát đồ thị ta thấy đây làm đồ thị hàm số bậc ba có hệ số a>0 và có hai điểm cực trị là

x = 0, x = 2

do đó loại phương án A, D, C, ta chọn đáp án B.

Câu 15:

Hàm số

y = \frac{x^{2} - m x + 1}{x - m}

có giá trị lớn nhất là 4 trên

(- \infty; m)

khi m thỏa bất đẳng thức nào sau đây?.

A. $- 4 \leq m \leq 3$

B. $8 \leq m \leq 12$

C. $5 < m < 8$

D. $m \leq - 6$

Xem đáp án

Chọn C

Trên

(- \infty; m)

y' = \frac{x^{2} - 2 m x + m^{2} - 1}{{(x - m)}^{2}}, y' = 0 \Leftrightarrow x = m - 1

.
Bảng biến thiên:

\max_{(- \infty; m)} y = 4 \Leftrightarrow m = 6

. Chọn C.

Câu 16:

Đáy của lăng trụ đứng tam giác

A B C . A' B' C'

là tam giác đều. Mặt phẳng

(A' B C)

tạo với đáy một góc 30o và diện tích tam giác

A' B C

bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.

A. $8 \sqrt{3}$

B. $4 \sqrt{3}$

C. $16 \sqrt{3}$

D. Đáp án khác.

Xem đáp án

Chọn A

Gọi I là trung điểm của BC, ta có $\{\begin{cases} A I ⊥ B C \\ A' I ⊥ B C \end{cases}$ suy ra góc giữa mặt phẳng $(A' B C)$ và mặt đáy $(A B C)$ bằng $\hat{A' I A}$ .
Từ giả thiết a có: $\{\begin{cases} A' I . B C = 16 \\ A I = \frac{B C \sqrt{3}}{2} \\ A I = A' I \cos 30^{o} = A' I \frac{\sqrt{3}}{2} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} A' I = 4 \\ B C = 4 \\ A I = 2 \sqrt{3} \end{cases}$ $V_{A B C . A' B' C'} = A A' . S_{A B C} = 2. \frac{1}{2} .2 \sqrt{3} .4 = 8 \sqrt{3}$

Câu 17:

Cho lăng trụ tam giác

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

có

B B^{'} = a

, góc giữa đường thẳng BB' và

(A B C)

bằng

60 °

, tam giác

A B C

vuông tại C và góc

\hat{B A C} = 60 °

. Hình chiếu vuông góc của điểm B' lên (ABC) trùng với trọng tâm của

Δ A B C

. Thể tích của khối tứ diện

A^{'} . A B C

theo a bằng

A. $\frac{13 a^{3}}{108}$

B. $\frac{15 a^{3}}{108}$

C. $\frac{7 a^{3}}{106}$

D. $\frac{9 a^{3}}{208}$

Xem đáp án

Chọn D

Gọi G là trọng tâm

Δ A B C

.

\Rightarrow B^{'} G ⊥ (A B C)

\Rightarrow B G

là hình chiếu của BB' lên (ABC).

\Rightarrow (\hat{B B^{'}, (A B C)}) = (\hat{B B^{'}, B G}) = \hat{B^{'} G B} = 60 °

(vì

Δ B B^{'} G

vuông tại G nên

\hat{B^{'} G B}

nhọn).

\Rightarrow B^{'} G = B B^{'} . \sin 60 ° = \frac{a \sqrt{3}}{2}

B G = B B^{'} . \cos 60 ° = \frac{a}{2}

Gọi M là trung điểm AC.

\Rightarrow B M = \frac{3}{2} B G = \frac{3 a}{4}

Lại có : tam giác ABC vuông tại C và góc

\hat{B A C} = 60 °

\Rightarrow B C = A C . \tan 60 ° = A C . \sqrt{3}

.

Δ B C M

vuông tại

\Rightarrow B C^{2} + M C^{2} = B M^{2} \Leftrightarrow 3 A C^{2} + \frac{A C^{2}}{4} = \frac{9 a^{2}}{16} \Leftrightarrow A C = \frac{3 a \sqrt{13}}{26}

.

\Rightarrow B C = \frac{3 a \sqrt{39}}{26}

\Rightarrow S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} B C . A C = \frac{9 a^{2} \sqrt{3}}{104}

(A B C) // (A^{'} B^{'} C^{'})

\Rightarrow d (A^{'}, (A B C)) = d (B^{'}, (A B C)) = B^{'} G = \frac{a \sqrt{3}}{2}

.
Thể tích của khối tứ diện : A'.ABC:

V_{A^{'} . A B C} = \frac{1}{3} . B^{'} G . S_{Δ A B C} = \frac{1}{3} . \frac{a \sqrt{3}}{2} . \frac{9 a^{2} \sqrt{3}}{104} = \frac{9 a^{3}}{208}

.

Câu 18:

Hàm số

y = \frac{x - m^{2}}{x + 1}

có giá trị nhỏ nhất trên

[0; 1]

bằng -1 khi

A. $m = - 1$

B. $m = \pm 1$

C. $m = 1$

D. m=0

Xem đáp án

Chọn B

Ta có $y = \frac{x - m^{2}}{x + 1}$ .
$y^{'} = \frac{1 + m^{2}}{{(x + 1)}^{2}} > 0, \forall m \in ℝ$
Suy ra hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $(- \infty; - 1)$ và $(- 1; + \infty)$ .
Nên hàm số đồng biến trên khoảng $(0; 1)$ .
$\Rightarrow \min_{[0; 1]} y = y (0) \Leftrightarrow - 1 = - m^{2} \Leftrightarrow m = \pm 1$

Câu 19:

Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a

A. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{12}$

B. $\frac{a^{3}}{6}$

C. $a^{3}$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{4}$

Xem đáp án

Chọn A

Xét khối tứ diện đều ABCD, gọi O là trọng tâm của tam giác BCD. Khi đó ta có:

A O ⊥ (B C D)

và

A O = \sqrt{A D^{2} - O D^{2}} = \sqrt{a^{2} - {(\frac{a \sqrt{3}}{3})}^{2}} = \frac{a \sqrt{6}}{3}

.
Suy ra

V_{A B C D} = \frac{1}{3} A O . S_{Δ B C D} = \frac{1}{3} . \frac{a \sqrt{6}}{3} . \frac{1}{2} a . \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{12}

(ĐVTT).

Câu 20:

Đồ thị hàm số nào sau đây có ba đường tiệm cận?

A. $y = \frac{x}{x^{2} - x + 9}$

B. $y = \frac{1}{4 - x^{2}}$

C. $y = \frac{1 - 2 x}{1 + x}$

D. $y = \frac{x + 3}{5 x - 1}$

Xem đáp án

Chọn B
Xét đáp án A: Do phương trình

x^{2} - x + 9 = 0

vô nghiệm nên đồ thị hàm số chỉ có 1 tiệm cận ngang

y = 0

.
Xét đáp án B: Do

\lim_{x \to + \infty} \frac{1}{4 - x^{2}} = 0; \lim_{x \to 2^{+}} \frac{1}{4 - x^{2}} = - \infty; \lim_{x \to - 2^{-}} \frac{1}{4 - x^{2}} = - \infty

nên đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang

y = 0

và 2 tiệm cận đứng

x = 2, x = - 2

.
Xét đáp án C: Do

\lim_{x \to + \infty} \frac{1 - 2 x}{1 + x} = - 2; \lim_{x \to - 1^{+}} \frac{1 - 2 x}{1 + x} = + \infty

nên đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang

y = - 2

và 1 tiệm cận đứng

x = - 1

.
Xét đáp án D: Do

\lim_{x \to + \infty} \frac{x + 3}{5 x - 1} = \frac{1}{5}; \lim_{x \to {\frac{1}{5}}^{+}} \frac{x + 3}{5 x - 1} = + \infty

nên đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang

y = \frac{1}{5}

và 1 tiệm cận đứng

x = \frac{1}{5}

.

Câu 21:

Cho hàm số

y = \frac{m x - 1}{2 x + m}

. Tìm m để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang đi qua điểm

(- 1; \sqrt{2})

.

A. $m = 2$

B. $m = 2 \sqrt{2}$

C. $m = \frac{\sqrt{2}}{2}$

D. $m = \sqrt{2}$

Xem đáp án

Chọn B
- Tập xác định:

D = ℝ \ \{- \frac{m}{2}\}

- Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là :

y = \frac{m}{2}

.
Yêu cầu bài toán trở thành

\frac{m}{2} = \sqrt{2} \Rightarrow m = 2 \sqrt{2}

.

Câu 22:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a; SA vuông góc với mặt phẳng (ABC); góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) bằng

60^{0}

. Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SMC).

A. $\frac{a}{2}$

B. a

C. $\frac{a \sqrt{39}}{13}$

D. $a \sqrt{3}$

Xem đáp án

Chọn C

Vì M là trung điểm của AB nên

d (B; (S C M)) = d (A; (S C M))

.
Trong (ABC), kẻ

A H ⊥ C M

tại H.
Ta có

\{\begin{cases} S A ⊥ (A B C) \Rightarrow S A ⊥ C H \\ A H ⊥ C H \end{cases} \Rightarrow C H ⊥ (S A H) \Rightarrow (S A H) ⊥ (S C H)

Hay

(S A H) ⊥ (S C M)

theo giao tuyến SH.
Kẻ

A K ⊥ S H \Rightarrow A K ⊥ (S C M) \Rightarrow A K = d (A; (S C M))

.

Δ A B C

đều => trung tuyến CM đồng thời là tia phân giác

\Rightarrow \hat{A C M} = \frac{1}{2} \hat{A C B} = 30^{0} \Rightarrow A H = A C . \sin 30^{0} = \frac{a}{2}

Vì

S A ⊥ (A B C) \Rightarrow \hat{(S B; (A B C))} = \hat{S B A} = 60^{0} \Rightarrow S A = A B . \tan 60^{0} = a \sqrt{3}

Ta có

\frac{1}{A K^{2}} = \frac{1}{S A^{2}} + \frac{1}{A H^{2}} \Rightarrow A K = \frac{S A . A H}{\sqrt{S A^{2} + A H^{2}}} = \frac{a \sqrt{3} . \frac{a}{2}}{\sqrt{3 a^{2} + \frac{a^{2}}{4}}} = \frac{\frac{a^{2} \sqrt{3}}{2}}{\frac{a \sqrt{13}}{2}} = \frac{a \sqrt{39}}{13}

.

Câu 23:

Hàm số

y = \frac{2 x + 3}{x + 1}

có bao nhiêu điểm cực trị

A. 0

B. 3

C. 2

D. 1

Xem đáp án

Chọn A

y = \frac{2 x + 3}{x + 1}

. Tập xác định

D = ℝ \ \{- 1\}

.

y' = - \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} < 0, \forall x \in D

Vậy hàm số đã cho không có cực trị.

Câu 24:

Cho hàm số

y = \frac{2 x + 1}{x - 2}

có đồ thị là (C). Tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng

5 x + y - 2 = 0

có phương trình là

A. $y = 5 x + 2$

B. $y = - 5 x + 2$ hoặc $y = - 5 x + 22$

C. $y = - 5 x + 22$

D. $y = - 5 x + 2$

Xem đáp án

Chọn C

y = \frac{2 x + 1}{x - 2}

. Tập xác định

D = ℝ \ \{2\}

.

y' = \frac{- 5}{{(x - 2)}^{2}}

Gọi

M (x_{0}; y_{0})

là tiếp điểm và điểm thuộc đồ thị hàm số

(C)

.
Hệ số góc của tiếp tuyến :

y' (x_{0}) = \frac{- 5}{{(x_{0} - 2)}^{2}}

Tiếp tuyến song song với đường thẳng

5 x + y - 2 = 0 \Leftrightarrow y = - 5 x + 2

=>

y' (x_{0}) = \frac{- 5}{{(x_{0} - 2)}^{2}} = - 5

\Leftrightarrow {(x_{0} - 2)}^{2} = 1

\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x_{0} = 3 (t m) \\ x_{0} = 1 (t m) \end{array}

Với

x_{0} = 3 \Rightarrow y_{0} = 7

. Phương trình tiếp tuyến là:

y = - 5 (x - 3) + 7 = - 5 x + 22

.
Với

x_{0} = 1 \Rightarrow y_{0} = - 3

. Phương trình tiếp tuyến là:

y = - 5 (x - 1) - 3 = - 5 x + 2

(loại vì trùng với đường thẳng đề bài cho)

Câu 25:

Tìm m để hàm số

y = x^{4} + (m + 3) x^{2} + 4

có cực trị.

A. $m \in [- 3; + \infty)$

B. $m \in (- 3; + \infty)$

C. $m \in (- \infty; - 3]$

D. $m \in (- \infty; - 3)$

Xem đáp án

Chọn A

y^{'} = 4 x^{3} + 2 (m + 3) x = 2 x (2 x^{2} + m + 3)

y^{'} = 0 \Leftrightarrow 2 x (2 x^{2} + m + 3) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ 2 x^{2} + m + 3 = 0 \end{array}

, đặt

g (x) = 2 x^{2} + m + 3

Để hàm số

y = x^{4} + (m + 3) x^{2} + 4

có 1 cực trị thì

g (x) = 0

vô nghiệm hoặc có nghiệm kép.

\Leftrightarrow Δ_{g (x)} \leq 0 \Leftrightarrow - 4.2. (m + 3) \leq 0 \Leftrightarrow m \geq - 3

Câu 26:

Hàm số có số

y = - 2 x^{4} + x^{2} + 1

điểm cực trị là

A. 0

B. 3

C. 2

D. 1

Xem đáp án

Chọn B

y^{'} = - 8 x^{3} + 2 x

y^{'} = 0 \Leftrightarrow - 8 x^{3} + 2 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \frac{1}{2} \\ x = - \frac{1}{2} \end{array}

, vậy hàm số có 3 điểm cực trị.

Câu 27:

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

y = \frac{x - 5}{x^{2} - x - 6}

là

A. $x = 1.$

B. $y = - 2; y = 3.$

C. $x = 1.$

D. $x = - 2; x = 3.$

Xem đáp án

Chọn D
Tập xác định của hàm số là

D = ℝ \ \{- 2; 3\} .

Ta có

\lim_{x \to {(- 2)}^{-}} y = \lim_{x \to {(- 2)}^{-}} \frac{x - 5}{x^{2} - x - 6} = \lim_{x \to {(- 2)}^{-}} \frac{x - 5}{(x + 2) (x - 3)} = - \infty .

Vì

(\begin{array}{l} \lim_{x \to {(- 2)}^{-}} (x - 5) = - 7 < 0 \\ \lim_{x \to {(- 2)}^{-}} (x + 2) (x - 3) = 0 \\ (x + 2) (x - 3) > 0, \forall x < - 2 \end{array}) .

Lại có

\lim_{x \to {(- 2)}^{+}} y = \lim_{x \to {(- 2)}^{+}} \frac{x - 5}{x^{2} - x - 6} = \lim_{x \to {(- 2)}^{+}} \frac{x - 5}{(x + 2) (x - 3)} = + \infty .

Do

(\begin{array}{l} \lim_{x \to {(- 2)}^{+}} (x - 5) = - 7 < 0 \\ \lim_{x \to {(- 2)}^{+}} (x + 2) (x - 3) = 0 \\ (x + 2) (x - 3) < 0, \forall x > - 2 \end{array}) .

\lim_{x \to 3^{+}} y = \lim_{x \to 3^{+}} \frac{x - 5}{x^{2} - x - 6} = \lim_{x \to 3^{+}} \frac{x - 5}{(x + 2) (x - 3)} = - \infty .

\lim_{x \to 3^{-}} y = \lim_{x \to 3^{-}} \frac{x - 5}{x^{2} - x - 6} = \lim_{x \to 3^{-}} \frac{x - 5}{(x + 2) (x - 3)} = + \infty .

x = - 2; x = 3

Nên là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Câu 28:

Hình bên là đồ thị của hàm số nào?

A. $y = - x^{4} + 2 x^{2} + 1$

B. $y = - x^{4} + 2 x^{2}$

C. $y = x^{4} + 3 x^{2} - 2$

D. $y = - x^{4} + 3 x^{2} + 1$

Xem đáp án

Chọn A
Từ đồ thị ta có hàm bậc 4 trùng phương

y = a x^{4} + b x^{2} + c .

Từ đồ thị ta có a<0 nên loại C.
Từ đồ thị ta có

x = 0 \Rightarrow y = 1

nên loại B.
Từ đồ thị ta có

x = 1 \Rightarrow y = 2

nên loại D.

Câu 29:

Cho hàm số bậc ba

y = a ​ x^{3} + b x^{2} + c x + d (a \neq 0)

có đồ thị như hình vẽ

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $a < 0, b > 0, c < 0, d < 0$

B. $a < 0, b < 0, c < 0, d < 0$

C. $a > 0, b > 0, c > 0, d < 0$

D. $a < 0, b > 0, c > 0, d < 0$

Xem đáp án

Chọn A

Từ đồ thị ta có

\lim_{x \to + \infty} y = - \infty

,

\lim_{x \to - \infty} y = + \infty

do đó

a < 0

(1).
Đồ thị hàm số đã cho cắt trục

O y

tại điểm có tung độ

y = d

, từ đồ thị đã cho suy ra

d < 0

(2).
Giả sử hàm số đạt cực tiểu tại

x_{1}

, đạt cực đại tại

x_{2}

, từ đó

x_{1}

,

x_{2}

là nghiệm của phương trình

3 a x^{2} + 2 b x + c = 0

, theo viet ta có: .

\{\begin{matrix} x_{1} + x_{2} = - \frac{2 b}{3 a} \\ x_{1} . x_{2} = \frac{c}{3 a} \end{matrix}

Từ đồ thị đã cho ta có

\{\begin{matrix} x_{1} + x_{2} = - \frac{2 b}{3 a} > 0 \\ x_{1} . x_{2} = \frac{c}{3 a} > 0 \end{matrix} \Rightarrow \{\begin{matrix} b > 0 \\ c < 0 \end{matrix}

(3).
Từ (1), (2), (3) chọn A.

Câu 30:

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại C , cạnh huyền có độ dài bằng 8a. Gọi M là trung điểm của BC, hình chiếu vuông góc S của xuống mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của AM và

S B = \frac{25 a}{2}

. Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (ABC) là:

A. $\frac{2 a \sqrt{1042}}{\sqrt{259}}$

B. $\frac{4 a \sqrt{1042}}{\sqrt{259}}$

C. $\frac{a \sqrt{1042}}{\sqrt{259}}$

D. $\frac{a \sqrt{1042}}{2 \sqrt{259}}$

Xem đáp án

Chọn B

Do tam giác ABC vuông cân tại C,

A B = 8 a

nên:

A C = B C = 4 a \sqrt{2} \Rightarrow C M = 2 a \sqrt{2}

Gọi I là trung điểm của

A C

, khi đó

\{\begin{cases} I H = \frac{1}{2} C M = a \sqrt{2} \Rightarrow H C = \sqrt{H I^{2} + I C^{2}} = a \sqrt{10} \\ A C ⊥ (S H I) \end{cases}

Tam giác

A C M

vuông tại C nên

A M = \sqrt{A C^{2} + C M^{2}} = 2 a \sqrt{10}

\Rightarrow H M = a \sqrt{10}

.
Trong tam giác HBC có HM là đường trung tuyến nên :

H M^{2} = \frac{H B^{2} + H C^{2}}{2} - \frac{B C^{2}}{4}

\Rightarrow H B = \sqrt{\frac{4 H M^{2} - 2 H C^{2} + B C^{2}}{2}}

= \sqrt{\frac{40 a^{2} - 20 a^{2} + 32 a^{2}}{2}}

= a \sqrt{26}

Trong tam giác vuông

S H B

có

S H = \sqrt{S B^{2} - H B^{2}}

= \frac{a \sqrt{521}}{2}

Dựng

H K ⊥ S I

tại

\Rightarrow H K ⊥ (S A C)

tại

\Rightarrow H K = d (H, (S A C))

.
Do tam giác

S H I

vuông tại I, HK là đường cao nên

\frac{1}{H K^{2}} = \frac{1}{H S^{2}} + \frac{1}{H I^{2}} \Rightarrow H K = a \sqrt{\frac{1042}{529}}

Lại có H là trung điểm của AM, M là trung điểm của BC nên:

d (B, (S A C))

= 2 d (M, (S A C))

= 4 d (H, (S A C))

= 4 a \sqrt{\frac{1042}{529}}

Câu 31:

Tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số

y = - x^{4} + (2 m - 3) x^{2} + m

nghịch biến trên khoảng

(1; 2)

là

(- \infty; \frac{p}{q}]

, trong đó phân số

\frac{p}{q}

tối giản và

q > 0

. Hỏi tổng

p + q

là

A. 5

B. 9

C. 7

D. 3

Xem đáp án

Chọn C
Ta có

y = - x^{4} + (2 m - 3) x^{2} + m \Rightarrow y^{'} = - 4 x^{3} + 2 (2 m - 3) x = 2 x (- 2 x^{2} + 2 m - 3)

Hàm số

y = - x^{4} + (2 m - 3) x^{2} + m

nghịch biến trên khoảng

(1; 2)

\Leftrightarrow y^{'} \leq 0, \forall x \in (1; 2)

và

y^{'} = 0

chỉ tại một số hữu hạn điểm trên khoảng

(1; 2)

\Leftrightarrow 2 x (- 2 x^{2} + 2 m - 3) \leq 0, \forall x \in (1; 2)

\Leftrightarrow - 2 x^{2} + 2 m - 3 \leq 0, \forall x \in (1; 2) \Leftrightarrow m \leq x^{2} + \frac{3}{2}, \forall x \in (1; 2)

Đặt

g (x) = x^{2} + \frac{3}{2}

và

g (x)

liên tục tại

x = 1, x = 2

.
Suy ra

m \leq g (x), \forall x \in [1; 2] \Rightarrow m \leq \min_{[1; 2]} g (x)

.
Ta có

g^{'} (x) = 2 x > 0, \forall x \in (1; 2)

. Suy ra

g (x) = x^{2} + \frac{3}{2}

đạt giá trị nhỏ nhất tại

x = 1

và

g (1) = \frac{5}{2}

Vậy

m \in (- \infty; \frac{5}{2}] \Rightarrow p + q = 7

.

Câu 32:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số

y = x^{3} - 3 x^{2} + 2 m x - 1

có 2 cực trị

x_{1}, x_{2}

thỏa mãn

|x_{1} - x_{2}| = 2

?

A. 3

B. 1

C. 0

D. 2

Xem đáp án

Chọn A
Ta có hàm số

y = x^{3} - 3 x^{2} + 2 m x - 1 \Rightarrow y^{'} = 3 x^{2} - 6 x + 2 m

Hàm số

y = x^{3} - 3 x^{2} + 2 m x - 1

có 2 cực trị

x_{1}, x_{2}

khi và chỉ khi phương trình

3 x^{2} - 6 x + 2 m = 0

có hai nghiệm phân biệt

x_{1}, x_{2} \Leftrightarrow Δ^{'} > 0 \Leftrightarrow 9 - 6 m > 0 \Leftrightarrow m < \frac{3}{2}

.

(*)

Áp dụng định lý Vi-et cho phương trình

3 x^{2} - 6 x + 2 m = 0

.
Ta có

\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 2 \\ x_{1} x_{2} = \frac{2 m}{3} \end{cases}

.
Mà theo đề ta lại có

|x_{1} - x_{2}| = 2 \Leftrightarrow {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 4 x_{1} x_{2} = 4 \Rightarrow 4 - \frac{8 m}{3} = 4 \Leftrightarrow m = 0

thỏa điều kiện .

(*)

Vậy có 1 giá trị nguyên của tham số m thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 33:

Tìm cực trị của hàm số

y = \frac{1}{4} x^{4} - 2 x^{2} + 1.

Xem đáp án

TXĐ:

D = ℝ .

y = \frac{1}{4} x^{4} - 2 x^{2} + 1

\Rightarrow y^{'} = x^{3} - 4 x; y^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \Rightarrow y = 1 \\ x = \pm 2 \Rightarrow y = - 3 \end{array} .

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra cực tiểu hàm số là

y = - 3

, cực đại của hàm số là

y = 1

.

Câu 34:

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

y = x \sqrt{1 - x^{2}}

trên đoạn

[- 1; 0]

.

Xem đáp án

y^{/} = \sqrt{1 - x^{2}} + x \frac{- 2 x}{2 \sqrt{1 - x^{2}}} = \frac{1 - 2 x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}} .

y^{/} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{\sqrt{2}}{2} \notin [- 1; 0] \\ x = - \frac{\sqrt{2}}{2} \in [- 1; 0] \end{array} .

Ta có:

y (- 1) = 0; y (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{- 1}{2}; y (0) = 0

Vậy

\max_{[- 1; 0]} y = y (0) = 0; \min_{[- 1; 0]} y = y (\frac{- \sqrt{2}}{2}) = \frac{- 1}{2} .

Câu 35:

Cho hình chóp

S . A B C D

có đáy

A B C

là tam giác đều, SA vuông góc với mặt phẳng

(A B C)

. Góc giữa hai mặt phẳng

(S B C)

và mặt phẳng

(A B C)

bằng

45 °

,

S A = a \sqrt{3}

. Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng

(S A C)

.

Xem đáp án

Gọi M là trung điểm BC.Vì tam giác ABC đều nên

A M ⊥ B C

(1).
Mặt khác, tam giác SBC cân tại S nên

S M ⊥ B C

(2).
Từ (1) và (2) ta có góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là

\hat{S M A}

.
Xét tam giác

S A M

vuông tại A có góc

\hat{S M A} = 45 °

. Từ đó suy ra tam giác SAM vuông cân tại A
và

A M = S A = a \sqrt{3}

Gọi I là trung điểm của BC. Vì tam giác ABC đều nên

B I = A M = a \sqrt{3}

Ta có:

\{\begin{cases} B I ⊥ A C \\ B I ⊥ S A (Vì S A ⊥ (A B C D)) \\ A C, S A \in (S A C) \end{cases} \Rightarrow B I ⊥ (S A C)

Vậy

d (B; (S A C)) = B I = a \sqrt{3} .