50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Bộ 20 đề thi giữa kì 2 Toán 12 có đáp án năm 2022-2023 (Đề 13)

. Mệnh đề nào sau đây là ĐÚNG?

y = \sqrt{x^{2} - 1}

A. Hàm số đồng biến trên khoảng

(0; + \infty)

.

B. Hàm số đồng biến trên khoảng $(1; + \infty)$ .

C. Hàm số đồng biến trên khoảng

(- \infty; + \infty)

.

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng

(- \infty; 0)

.

Xem đáp án

Chọn B
Ta có: Điều kiện:

x^{2} - 1 \geq 0 \Leftrightarrow x \in (- \infty; - 1] \cup [1; + \infty)

Từ đây ta loại được ngay các đáp án A, C, D ngay.

Câu 9:

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

y = \frac{{(x + 3)}^{2}}{x}

trên khoảng

(0; + \infty)

Gọi M, n lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

A. 2

B. 13

C. 10

D. 12

Xem đáp án

Chọn D
Ta có:

y = \frac{{(x + 3)}^{2}}{x} \Rightarrow y' = \frac{2 x (x + 3) - {(x + 3)}^{2}}{x^{2}} = \frac{x^{2} - 9}{x^{2}}

y' = 0 \Leftrightarrow x^{2} - 9 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 3

\begin{array}{l} \lim_{x \to 0^{+}} y = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{{(x + 3)}^{2}}{x} = + \infty \\ y (3) = 12 \\ \lim_{x \to + \infty} y = \lim_{x \to + \infty} \frac{{(x + 3)}^{2}}{x} = + \infty \end{array}

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số

y = \frac{{(x + 3)}^{2}}{x}

trên khoảng

(0; + \infty)

là 12.

Câu 10:

y = \frac{x^{2} - 3}{x - 2}

trên đoạn

[- 1; \frac{3}{2}]

. Mệnh đề nào sau đây là đúng ?

A. $M + n = \frac{13}{6} .$

B. $M + n = \frac{4}{3} .$

C. $M + n = \frac{8}{3} .$

D. $M + n = \frac{7}{2} .$

Xem đáp án

Chọn C

y = \frac{x^{2} - 3}{x - 2}

;

y^{'} = \frac{x^{2} - 4 x + 3}{{(x - 2)}^{2}}

y^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \in [- 1; \frac{3}{2}] \\ x = 3 \notin [- 1; \frac{3}{2}] \end{array}

y (- 1) = \frac{2}{3}; y (1) = 2; y (\frac{3}{2}) = \frac{3}{2}

M = \max_{[- 1; \frac{3}{2}]} y = 2; n = \min_{[- 1; \frac{3}{2}]} y = \frac{2}{3}

. Do đó

M + n = \frac{8}{3}

.

Câu 11:

Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận ngang của đồ thị của hàm số

y = \frac{3 x - 1}{2 x - 1}

?

A. $y = \frac{1}{2} .$

B. $y = \frac{3}{2} .$

C. $y = 1.$

D. $y = \frac{1}{3} .$

Xem đáp án

Chọn B

\lim_{x \to \pm \infty} y = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{3 x - 1}{2 x - 1} = \frac{3}{2}

Đường thẳng

y = \frac{3}{2}

là tiệm cận ngang của đồ thị của hàm số

y = \frac{3 x - 1}{2 x - 1}

.

Câu 12:

.Mệnh đề nào sau đây đúng ?

y = x^{4} + 4 x^{2} + 3

A. Hàm số nghịch biến trên

(- \infty; 0)

và đồng biến trên

(0; + \infty) .

B. Hàm số đồng biến trên $(- \infty; + \infty) .$

C. Hàm số nghịch biến trên $(- \infty; + \infty) .$

D. Hàm số đồng biến trên

(- \infty; 0)

và nghịch biến trên

(0; + \infty) .

Xem đáp án

Chọn A

y = x^{4} + 4 x^{2} + 3

TXĐ :

D = ℝ

y^{'} = 4 x^{3} + 8 x = 4 x (x^{2} + 2)

y^{'} = 0 \Leftrightarrow x = 0

Hàm số nghịch biến trên

(- \infty; 0)

và đồng biến trên

(0; + \infty) .

Câu 13:

có đồ thị như hình vẽ. Biết rằng là một trong bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Tìm

y = f (x)

y = f (x)

A. $f (x) = - x^{4} + 2 x^{2} .$

B. $f (x) = x^{4} - 2 x^{2} .$

C. $f (x) = x^{4} + 2 x^{2} .$

D. $f (x) = - x^{4} + 2 x^{2} - 1.$

Xem đáp án

Chọn A.
Đồ thị như hình vẽ là đồ thị hàm trùng phương.
Vì

\lim_{x \to + \infty} f (x) = - \infty

nên hệ số

a < 0.

Có giá trị cực tiểu bằng 0 nên hệ số

c = 0.

Câu 14:

Mệnh đề nào sau đây đúng?

y = \frac{x^{2} + 3}{x + 1} .

A. Cực tiểu của hàm số bằng -6

B. Cực tiểu của hàm số bằng 1

C. Cực tiểu của hàm số bằng -3

D. Cực tiểu của hàm số bằng 2

Xem đáp án

Chọn D.
TXĐ:

D = ℝ \ \{- 1\} .

y' = \frac{2 x (x + 1) - x^{2} - 3}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x^{2} + 2 x - 3}{{(x + 1)}^{2}} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = - 3 \end{array} .

BBT:

Dựa vào BBT ta có: Cực tiểu của hàm số bằng 2.

Câu 15:

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

y = x^{3} - 2 x^{2} + x + 1.

A. Hàm số đồng biến trên

(- \infty; \frac{1}{3}) \cup (1; + \infty) .

B. Hàm số nghịch biến trên $(\frac{1}{3}; 1) .$

C. Hàm số đồng biến trên

(\frac{1}{3}; + \infty) .

D. Hàm số nghịch biến trên

(- \infty; \frac{1}{3}), (1; + \infty) .

Xem đáp án

Chọn D.
TXĐ:

D = ℝ .

y' = 3 x^{2} - 4 x + 1 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = \frac{1}{3} \end{array} .

BBT

Dựa vào BBT ta thấy đáp án D đúng.

Câu 16:

. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

y = f (x)

có đạo hàm

f' (x) = x^{2} (x^{2} - 4) {(x - 5)}^{4}, x \in ℝ

A. Hàm số đã cho có 4 điểm cực trị.

B. Hàm số đã cho có 3 điểm cực trị.

C. Hàm số đã cho có 2 cực trị.

D. Hàm số đã cho có 5 điểm cực trị.

Xem đáp án

Chọn C
Ta có: $f' (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x^{2} = 0 \\ x^{2} - 4 = 0 \\ x - 5 = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \pm 2 \\ x = 5 \end{array}$
BBT

Vậy hàm số có 2 điểm cực trị.

Câu 17:

xác định trên R và có đồ thị hàm số

f (x)

y = f' (x)

là đường cong trong hình. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số

f (x)

đồng biến trên khoảng

(- 2; 1)

.

B. Hàm số $f (x)$ đồng biến trên khoảng $(1; 2)$ .

C. Hàm số $f (x)$ nghịch biến trên khoảng $(- 1; 1)$ .

D. Hàm số

f (x)

nghịch biến trên khoảng

(0; 2)

.

Xem đáp án

Chọn D
Dựa vào đồ thị ta thấy:

f' (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 2 \\ x = 0 \\ x = 2 \end{array}

Bảng xét dấu

f' (x)

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng

(0; 2)

.

Câu 18:

. Đồ thị của hàm số có mấy tiệm cận (ngang và đứng)?

y = \frac{\sqrt{4 x^{2} - x + 1}}{2 x + 1}

A. 1.

B. 0.

C. 2.

D. 3.

Xem đáp án

Chọn D
TXĐ:

D = ℝ \ \{- \frac{1}{2}\}

Ta có:

\lim_{x \to - \infty} y = - 1

=> Đồ thị hàm số có TCN:

y = - 1

\lim_{x \to + \infty} y = 1

=> Đồ thị hàm số có TCN:

y = 1

\lim_{x \to {(- \frac{1}{2})}^{-}} y = - \infty; \lim_{x \to {(- \frac{1}{2})}^{+}} y = + \infty

=> Đồ thị hàm số có TCĐ:

x = - \frac{1}{2}

Câu 19:

Tìm tất cả các giá trị thực của để đường thẳng

y = x + m - 1

cắt đồ thị hàm số

y = \frac{2 x + 1}{x + 1}

tại hai điểm phân biệt A, B sao cho

A B = 2 \sqrt{3}

A. $m = 4 \pm \sqrt{3} .$

B. $m = 4 \pm \sqrt{10} .$

C. $m = 2 \pm \sqrt{10} .$

D. $m = 2 \pm \sqrt{3} .$

Xem đáp án

Chọn B
Phương trình hoành độ giao điểm:

\frac{2 x + 1}{x + 1} = x + m - 1 \Leftrightarrow \{\begin{cases} x^{2} + (m - 2) x + m - 2 = 0 (*) \\ x \neq - 1 \end{cases}

Đường thẳng

y = x + m - 1

cắt đồ thị hàm số

y = \frac{2 x + 1}{x + 1}

tại hai điểm phân biệt
Phương trình

(*)

có hai nghiệm phân biệt

x \neq - 1

\Leftrightarrow \{\begin{cases} Δ > 0 \\ {(- 1)}^{2} + (m - 2) (- 1) + (m - 2) \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} {(m - 2)}^{2} - 4 (m - 2) > 0 \\ 1 \neq 0 (t/m) \end{cases} \Leftrightarrow m \in (- \infty; 2) \cup (6; + \infty)

Khi đó phương trình

(*)

có hai nghiệm phân biệt

x_{1}, x_{2}

là hoành độ hai điểm

A, B

.

\Rightarrow A (x_{1}; x_{1} + m - 1), B (x_{2}; x_{2} + m - 1)

Ta có

A B = 2 \sqrt{3} \Leftrightarrow \sqrt{2 {(x_{2} - x_{1})}^{2}} = 2 \sqrt{3} \Leftrightarrow {(x_{2} + x_{1})}^{2} - 4 x_{2} . x_{1} = 6

\Leftrightarrow {(m - 2)}^{2} - 4 (m - 2) = 6

\Leftrightarrow m^{2} - 8 m + 6 = 0 \Leftrightarrow

m = 4 \pm \sqrt{10} .

Câu 20:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn

[- 2017; 2017]

để hàm số

y = x^{3} - 6 x^{2} + m x + 1

đồng biến trên

(0; + \infty)

?

A. 2030

B. 2005

C. 2018

D. 2006

Xem đáp án

Chọn D

Ta có

y^{'} = 3 x^{2} - 12 x + m

Hàm số đồng biến trên

(0; + \infty)

\Leftrightarrow y^{'} \geq 0, \forall x \in (0; + \infty) \Leftrightarrow 3 x^{2} - 12 x + m \geq 0, \forall x \in (0; + \infty)

\Leftrightarrow m \geq - 3 x^{2} + 12 x, \forall x \in (0; + \infty) \Leftrightarrow m \geq max_{x \in (0; + \infty)} (g (x) = - 3 x^{2} + 12 x) \Leftrightarrow m \geq g (2) = 12

Vậy có 2006 giá trị m.

Câu 21:

Hình vẽ bên là đồ thị hàm số trùng phương.

Tìm giá trị m để phương trình

|f (x)| = m

có bốn nghiệm phân biệt

A. $m = 0, m = 3.$

B. $1 < m < 3.$

C. $m = 0.$

D. $- 3 < m < 1.$

Xem đáp án

Chọn D
Từ đổ thị hàm số đã cho ta suy ra đồ thị hàm số

y = |f (x)|

Dựa vào đồ thị hàm số

|f (x)|

:
Phương trình

|f (x)| = m

có bốn nghiệm phân biệt:

m = 0, m = 3.

Câu 22:

Gọi

m_{0}

là giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

y = x^{4} + 2 m x^{2} + 4

có ba điểm cực trị nằm trên các trục tọa độ. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $m_{o} \in (1; 3) .$

B. $m_{o} \in (- 5; - 3) .$

C. $m_{o} \in (- \frac{3}{2}; 0) .$

D. $m_{o} \in (- 3; - \frac{3}{2}) .$

Xem đáp án

Chọn D
Ta có:

y^{'} = 4 x^{3} + 4 m x

.

y^{'} = 0 \Leftrightarrow 4 x (x^{2} + m) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x^{2} + m = 0 \end{array}

.
Để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị thì:

m < 0

. Khi đó tọa độ ba điểm cực trị lần lượt là:

A (0; 4), B (\sqrt{- m}; - m^{2} + 4), C (- \sqrt{- m}; - m^{2} + 4)

. Để ba điểm cực trị đều nằm trên các trục tọa độ thì:

- m^{2} + 4 = 0 \Leftrightarrow m = \pm 2

. Vì điều kiện

m ​ < 0

nên

m = - 2 \in (- 3; - \frac{3}{2})

. Suy ra đáp án D.

Câu 23:

Đồ thị hàm số

y = |x^{3} + 3 x^{2}|

có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 1

B. 3

C. 0

D. 2

Xem đáp án

Chọn B
Xét hàm

y = x^{3} + 3 x^{2}

. Ta có:

y^{'} = 3 x^{2} + 6 x

,

y^{'} = 0 \Leftrightarrow x = 0, x = - 2

nên hàm số có hai cực trị.
Mặt khác

x^{3} + 3 x^{2} = 0 \Leftrightarrow x = 0, x = - 3

. Vì

x = 0

trùng với điểm cực trị của hàm số

y = |x^{3} + 3 x^{2}|

đã cho nên hàm số có ba điểm cực trị là

x = 0, x = - 2; x = - 3

.

Câu 24:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho hàm số

y = x^{4} + 2 (m + 2) x^{2} - 4 (m + 3) x + 1

có ba điểm cực trị .

A. $m > - \frac{13}{4} .$

B. $m < \frac{13}{4} .$

C. $m \in (- \infty; - 5) \cup (- 5; - \frac{11}{4}) .$

D. $m < - \frac{11}{4} .$

Xem đáp án

Chọn C
Ta có:

y^{'} = 4 x^{3} + 4 (m + 2) x - 4 (m + 3)

y^{'} = 0 \Leftrightarrow 4 x^{3} + 4 (m + 2) x - 4 (m + 3) = 0 \Leftrightarrow (x - 1) (x^{2} + x + m + 3) = 0

\Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 1 \\ x^{2} + x + m + 3 = 0 (1) \end{cases}

Để hàm số có ba điểm cực trị thì phương trình

y^{'} = 0

phải có ba nghiệm phân biệt. Suy ra phương trình

(1)

phải có hai nghiệm phân biệt khác 1. Điều đó tương đương với:

\{\begin{cases} m + 5 \neq 0 \\ Δ = - 4 m - 11 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m \neq - 5 \\ m < - \frac{11}{4} \end{cases} \Leftrightarrow m \in (- \infty; - 5) \cup (- 5; - \frac{11}{4})

Câu 25:

Người ta muốn mạ vàng cho bề mặt phía ngoài của một cái hộp dạng hình hộp đứng không nắp ( không nắp trên, các bề mặt là phẳng ), có đáy là một hình vuông. Tìm chiều cao của hộp để lượng vàng phải dùng để mạ là ít nhất, biết lớp mạ ở mọi nơi như nhau, giao giữa các mặt là không đáng kể và thể tích hộp là 4

d m^{3}

A. 1 $d m^{3} .$

B. 0,5 $d m^{3} .$

C. 2 $d m^{3} .$

D. 1,5 $d m^{3} .$

Xem đáp án

Chọn A

Gọi cạnh đáy là a, chiều cao là h. Diện tích đáy là

a^{2}

, diện tích xung quanh là

4 a h .

Ta có

V = a^{2} h = 4 \Rightarrow a h = \frac{4}{a} .

Lượng vàng cần phải dùng là :

a^{2} + 4 a h = a^{2} + \frac{16}{a} = a^{2} + \frac{8}{a} + \frac{8}{a} \geq 3. \sqrt[3]{a^{2} . \frac{8}{a} . \frac{8}{a}} = 12.

Dấu

" = "

xảy ra

\Leftrightarrow a^{2} = \frac{8}{a} = \frac{8}{a} \Leftrightarrow a = 2 \Rightarrow h = \frac{4}{a^{2}} = 1

Câu 26:

Cho tứ diện ABCD có

D A = D B = D C

, tam giác ABC vuông tại A. Chân đường cao của tứ diện xuất phát từ đỉnh D là điểm nào?

A. Điểm A.

B. Trung điểm của BC.

C. Điểm B.

D. Trọng tâm tam giác ABC.

Xem đáp án

Chọn B

Ta có

D A = D B = D C

hay D nằm trên trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Tam giác ABC vuông tại A nên tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm của cạnh BC .
Vậy chân đường cao của tứ diện xuất phát từ đỉnh D là trung điểm của BC.

Câu 27:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh

a \sqrt{5}

. vuông góc với đáy.

S A = 2 a \sqrt{2}

. Tính theo a thể tích khối chóp

S . A B C D

A. $V = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{3}$

B. $V = 5 a^{3} \sqrt{2}$

C. $V = \frac{10 a^{3} \sqrt{2}}{3}$

D. $V = \frac{2 a^{3} \sqrt{10}}{3}$

Xem đáp án

Chọn C

Do đáy là hình vuông nên diện tích đáy $S = {(a \sqrt{5})}^{2} = 5 a^{2}$ .
Vậy thể tích $V = \frac{1}{3} S . h = \frac{10 a^{3} \sqrt{2}}{3}$ .

Câu 28:

Cho khối lăng trụ có diện tích đáy bằng S, chiều cao bằng h và thể tích là V. Trong các đẳng thức dưới đây, hãy tìm đẳng thức đúng?

A. $S = V . h$

B. $S = \frac{3 V}{h}$

C. $S = \frac{V}{h}$

D. $S = \frac{1}{3} V . h$

Xem đáp án

Chọn C
Ta có

V = S . h \Leftrightarrow S = \frac{V}{h}

.

Câu 29:

Cho các hình khối sau:

Hỏi hình nào là hình đa diện?

A. Hình 3

B. Hình 4.

C. Hình 1.

D. Hình 2.

Xem đáp án

Chọn C
Theo định nghĩa hình đa diện:
Trong một hình đa diện:
- Hai đa giác phân biệt: Hoặc không có điểm chung, hoặc chỉ có 1 đỉnh chung, hoặc chỉ có 1 cạnh chung.
- Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác.

Câu 30:

Cho các hình khối sau:

Hỏi có bao nhiêu khối đa diện lồi?

A. 3

B. 4

C. 2

D. 1

Xem đáp án

Chọn C
Khối đa diện

(H)

được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của

(H)

luôn thuộc

(H)

. Khi đó đa diện xác định được gọi là đa diện lồi.
Khối đa diện lồi hình 1 và hình 4.

Câu 31:

Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a.Hai mặt phẳng

(S A B)

và

(S A C)

cùng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp biết

S C = a \sqrt{3}

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. $\frac{a^{3} \sqrt{6}}{12}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{4}$

C. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{2}$

D. $\frac{2 a^{3} \sqrt{6}}{9}$

Xem đáp án

Chọn A

Ta có:

(S A B) ⊥ (A B C)

,

(S A C) ⊥ (A B C)

\Rightarrow S A ⊥ (A B C)

.
Xét

Δ S A C

vuông tại A:

S A^{2} = S C^{2} - A C^{2} = {(a \sqrt{3})}^{2} - a^{2} = 2 a^{2} \Rightarrow S A = a \sqrt{2}

Vì

Δ A B C

đều cạnh a:

S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} A B . A C . \sin 60^{0} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}

Thể tích khối chóp

S . A B C

:

V_{S . A B C} = \frac{1}{3} \cdot S A \cdot S_{Δ A B C} = \frac{1}{3} \cdot a \sqrt{2} \cdot \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{12}

Câu 32:

A. Tồn tại khối lăng trụ đều là khối đa diện đều.

B. Tồn tại khối chóp tứ giác đều là khối đa diện đều.

C. Tồn tại khối tứ diện là khối đa diện đều.

D. Tồn tại khối hộp là khối đa diện đều.

Xem đáp án

Chọn B
A. Khối lập phương.
C. Khối tứ diện đều.
D. Khối lập phương.

Câu 33:

Mặt phẳng

(A B^{'} C^{'})

chia khối lăng trụ

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

thành các loại khối đa diện nào?

A. Hai khối chóp tứ giác.

B. Một khối chóp tam giác và một khối chóp tứ giác.

C. Một khối chóp tam giác và một khối chóp ngũ giác.

D. Hai khối chóp tam giác.

Xem đáp án

Chọn B

Mặt phẳng

(A B^{'} C^{'})

chia khối lăng trụ

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

thành một khối chóp tam giác

A . A^{'} B^{'} C^{'}

và một khối chóp tứ giác

A . B C C^{'} B^{'}

.

Câu 34:

Hình đa diện trong hình vẽ bên có bao nhiêu mặt?

A. 11

B. 14

C. 12

D. 13

Xem đáp án

Chọn C
Hình đa diện trong hình vẽ bên có 12 mặt.

Câu 35:

Tính thể tích khối lập phương có cạnh bằng

a \sqrt{3}

Nếu chiều cao và cạnh đáy của một hình chóp tam giác đều cùng tăng lên 2 lần thì thể tích của nó tăng lên mấy lần?

A. $V = 9 a^{3}$

B. $V = 3 \sqrt{3} a^{3}$

C. $V = 27 a^{3}$

D. $\sqrt{3} a^{3}$

Xem đáp án

Chọn B

Thể tích khối lập phương có cạnh bằng

a \sqrt{3}

là :

V = {(a \sqrt{3})}^{3} = 3 \sqrt{3} a^{3}

Câu 36:

A. 16 lần

B. 9 lần

C. 8 lần

D. 4 lần

Xem đáp án

Chọn C

Gọi hình chóp

S . A B C

là hình chóp đều có cạnh đáy bằng a, chiều cao bằng h.
Gọi hình chóp

S' . A' B' C'

là hình chóp đều có cạnh đáy bằng 2a, chiều cao bằng 2h.
Ta có :

\frac{V_{S' . A' B' C'}}{V_{S . A B C}} = \frac{\frac{1}{3} S_{A' B' C'} .2 h}{\frac{1}{3} S_{A B C} . h} = \frac{\frac{{(2 a)}^{2} \sqrt{3}}{4} .2}{\frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}} = 8 \Rightarrow V_{S' . A' B' C'} = 8 V_{S' . A B C}

Câu 37:

S . A B C

. Trên các đoạn

S A, S B, S C

lần lượt lấy các điểm

A', B', C'

sao cho

S A = 2 S A'

S B = 3 S B'

lần lượt là thể tích khối chóp

S C = 3 S C'

. Gọi

V_{1}, V_{2}

S . A' B' C'

S . A B C

. Tính tỉ số

\frac{V_{1}}{V_{2}}

Cho hình 20 mặt đều có cạnh bằng 2. Gọi S là tổng diện tích tất cả các mặt của hình đa diện đó. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. 18

B. $\frac{1}{18}$

C. 9

D. $\frac{1}{9}$

Xem đáp án

Chọn B

Ta có : $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{V_{S . A' B' C'}}{V_{S . A B C}} = \frac{S A'}{S A} . \frac{S B'}{S B} . \frac{S C'}{S C} = \frac{1}{2} . \frac{1}{3} . \frac{1}{3} = \frac{1}{18}$ .

Câu 38:

A. $S = 10$

B. $S = 10 \sqrt{3}$

C. $S = 20 \sqrt{3}$

D. $S = 20$

Xem đáp án

Chọn C
Vì mỗi mặt là tam giác đều cạnh bằng 2 nên diện tích 20 mặt là

\frac{2^{2} \cdot \sqrt{3}}{4} \cdot 20 = 20 \sqrt{3}

Vậy

S = 20 \sqrt{3}

Câu 39:

Cho lăng trụ đứng

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

có đáy

A B C

là tam giác vuông tại

B

A B = a \sqrt{2}

. Tính theo a thể tích khối lăng trụ

B C = 3 a

. Góc giữa cạnh

A^{'} B

và mặt đáy là

60^{\circ}

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=2a, BC=a, AA'=2a căn 3. Tính theo thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C'.

A. $3 a^{3} \sqrt{3}$

B. $a^{3} \sqrt{3}$

C. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{3}$

D. $2 a^{3} \sqrt{3}$

Xem đáp án

Chọn A

Thể tích hình lăng trụ đứng được cho bới công thức:

V = S \cdot h

Diện tích đáy của lăng trụ đứng

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

là

\frac{a \sqrt{2} \cdot 3 a}{2} = \frac{3 \sqrt{2}}{2} a^{2}

Chiều cao của AA' lăng trụ đứng là

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

a \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = a \sqrt{6}

Thể tích của lăng trụ đứng

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

là

\frac{3 \sqrt{2}}{2} a^{2} \cdot a \sqrt{6} = 3 a^{3} \sqrt{3}

Câu 40:

Cho lăng trụ đứng

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

A. $\frac{2 a^{3} \sqrt{3}}{3}$

B. $4 a^{3} \sqrt{3}$

C. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{3}$

D. $2 a^{3} \sqrt{3}$

Xem đáp án

Chọn D

Thể tích hình lăng trụ đứng được cho bới công thức:

V = S \cdot h

Diện tích đáy của lăng trụ đứng

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

là

\frac{2 a \cdot a}{2} = a^{2}

Thể tích của lăng trụ đứng

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

là

a^{2} \cdot 2 a \sqrt{3} = 2 a^{3} \sqrt{3}

Câu 41:

có đáy là hình vuông cạnh a,

S . A B C D

S D = \frac{a \sqrt{17}}{2}

, hình chiếu của S lên mặt (ABCD) là trung điểm H của cạnh AB. Tính chiều cao của khối chóp H.SBD theo a.

A. $\frac{a \sqrt{3}}{7}$

B. $\frac{a \sqrt{3}}{5}$

C. $\frac{3 a}{5}$

D. $\frac{a \sqrt{21}}{5}$

Xem đáp án

Chọn B

Gọi O là giao điểm của AC và BD.
Kẻ

H K / / A O

cắt

B D

tại H.

A O ⊥ B D \Rightarrow H K ⊥ D B

( vì tứ giác

A B C D

là hình vuông)
Ta có:

\{\begin{matrix} H K ⊥ D B \\ S H ⊥ B D \end{matrix} \Rightarrow B D ⊥ (S H K) \Rightarrow B D ⊥ S K

Kẻ

H I ⊥ S K

Ta có:

\{\begin{matrix} B D ⊥ H I (H I \subset (S H K)) \\ H I ⊥ S K \end{matrix} \Rightarrow H I ⊥ (S B D)

Do đó

d_{(H, (S B D))} = H I

A C = a \sqrt{2} \Rightarrow A O = \frac{a \sqrt{2}}{2}

,

H K = \frac{A O}{2} = \frac{a \sqrt{2}}{4}

,

H D = \frac{a \sqrt{5}}{2}

Δ S H D

vuông tại H.

\Rightarrow S H = a \sqrt{3}

Δ S H K

vuông tại H.

\Rightarrow \frac{1}{H I^{2}} = \frac{1}{S H^{2}} + \frac{1}{H K^{2}} = \frac{1}{3 a^{2}} + \frac{1}{\frac{a^{2}}{8}} = \frac{25}{3 a^{2}} \Rightarrow H I = \frac{a \sqrt{3}}{5}

Vậy

d_{(H, (S B D))} = H I = \frac{a \sqrt{3}}{5}

.

Câu 42:

Cho khối hình chóp

S . A B C D

có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B biết

A B = B C = a, A D = 2 a

. Tính thể tích khối chóp

S A ⊥ (A B C D)

và

(S C D)

hợp với đáy một góc

60^{\circ}

S . A B C D

có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A' trên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AA' và BC bằng

A. $\frac{a^{3} \sqrt{6}}{2}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{3}$

C. $\frac{a^{3}}{2}$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{6}}{6}$

Xem đáp án

Chọn A

Gọi I là trung điểm của AD

C I = A B = \frac{A D}{2} \Rightarrow

Δ A C D

vuông tại C

\{\begin{matrix} (S C D) \cap (A B C D) = C D \\ C D ⊥ S C \\ C D ⊥ A C \end{matrix} \Rightarrow C D ⊥ (S C A)

Do đó

(\hat{(S C D); (A B C D)}) = \hat{S C A} = 60^{\circ}

Δ A B C

vuông cân tại B

\Rightarrow A C = a \sqrt{2}

Trong

Δ S A C

vuông tại A

\Rightarrow S A = A C . \tan 60^{\circ} = a \sqrt{2} . \sqrt{3} = a \sqrt{6}

V = \frac{1}{3} S A . S_{A B C D} = \frac{1}{3} S A \frac{1}{2} A B (B C + A D) = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{2}

Câu 43:

Cho hình lăng trụ

A B C . A' B' C'

\frac{a \sqrt{3}}{4}

. Tính thể tích V của khối lăng trụ

A B C . A' B' C'

A. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{24}$

B. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{12}$

C. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}$

D. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{3} .$

Xem đáp án

Chọn B

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC suy ra

A^{'} G ⊥ (A B C)

.
Gọi I là trung điểm của BC. Từ I kẻ

I H ⊥ A A^{'} (H \in A^{'} A)

.
Ta có

B C ⊥ A I, B C ⊥ A^{'} G \Rightarrow B C ⊥ I H

Mà

I H ⊥ A A^{'}

Suy ra IH là đoạn vuông góc chung của AA' và BC.
Suy ra

d (A A^{'}; B C) = I H = \frac{a \sqrt{3}}{4}

.

A G = \frac{2}{3} A I = \frac{a \sqrt{3}}{3}

Ta có

△ A A^{'} G ~ △ A I H \Rightarrow \frac{A^{'} G}{I H} = \frac{A G}{A H} \Rightarrow A' G = \frac{I H . A G}{A H} = \frac{\frac{a \sqrt{3}}{4} . \frac{a \sqrt{3}}{3}}{\sqrt{{(\frac{a \sqrt{3}}{2})}^{2} - {(\frac{a \sqrt{3}}{4})}^{2}}} = \frac{a}{3}

.

S_{A B C} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}

Vậy

V_{A B C . A' B' C'} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{12}

Câu 44:

là tam giác cân đỉnh S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích lớn nhất

S . A B C D

có đáy

A B C D

là hình chữ nhật với

A B = 4, S C = 6

và mặt bên

S A D

V_{\max}

của khối chóp

S . A B C D

có thể tích bằng V. Các điểm M, N . P lần lượt thuộc các cạnh AA', BB', CC' sao cho

A. $V_{\max} = \frac{80}{3}$

B. $V_{\max} = 40$

C. $V_{\max} = 80$

D. $V_{\max} = \frac{40}{3} .$

Xem đáp án

Chọn A

Gọi H là trung điểm của AD. Theo giả thiết, suy ra

S H ⊥ (A B C D)

.
Đặt

x = A D (x > 0)

. Suy ra

S_{A B C D} = 4 x

H C^{2} = 16 + \frac{x^{2}}{4}

S H = \sqrt{36 - 16 - \frac{x^{2}}{4}} = \sqrt{20 - \frac{x^{2}}{4}}, (0 < x < 4 \sqrt{5})

Suy ra

V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} .4 x . \sqrt{20 - \frac{x^{2}}{4}} = \frac{2 x \sqrt{80 - x^{2}}}{3} = \frac{2 \sqrt{x^{2} (80 - x^{2})}}{3} \leq \frac{80}{3}

(Bất đẳng thức Cauchy)

V_{S . A B C D} = V_{max} = \frac{80}{3} \Leftrightarrow x^{2} = 80 - x^{2} \Leftrightarrow x = 2 \sqrt{10} .

Câu 45:

Cho hình lăng trụ

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

\frac{A M}{A A^{'}} = \frac{1}{2},

\frac{B N}{B B^{'}} = \frac{C P}{C C^{'}} = \frac{1}{3} .

Tính thể tích V' của khối đa diện

A B C . M N P

theo V

A. $V^{'} = \frac{11}{18} V .$

B. $V^{'} = \frac{9}{16} V .$

C. $V^{'} = \frac{2}{3} V .$

D. $V^{'} = \frac{7}{18} V .$

Xem đáp án

Chọn D

Ta có:

V_{A B C . M N P} = V_{N . A C B} + V_{N . A C P M}

V_{N . A C B} = \frac{B N}{B B^{'}} V_{B^{'} . A C B} = \frac{B N}{B B^{'}} . \frac{1}{3} V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}}

\frac{V_{N . A C P M}}{V_{B^{'} . A C C^{'} A^{'}}} = \frac{S_{A C P M}}{S_{A C C^{'} A^{'}}} = \frac{(C P + A M) : 2}{A A^{'}} = \frac{1}{2} (\frac{C P}{C C^{'}} + \frac{A M}{A A^{'}})

\Rightarrow V_{N . A C P M} = \frac{1}{2} (\frac{C P}{C C^{'}} + \frac{A M}{A A^{'}}) . \frac{2}{3} V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} = \frac{1}{3} (\frac{C P}{C C^{'}} + \frac{A M}{A A^{'}}) V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}}

Suy ra:

V_{A B C . M N P} = \frac{1}{3} (\frac{A M}{A A^{'}} + \frac{B N}{B B^{'}} + \frac{C P}{C C^{'}}) V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}}

Ta có:

\frac{A M}{A A^{'}} = \frac{1}{2},

\frac{B N}{B B^{'}} = \frac{C P}{C C^{'}} = \frac{1}{3} .

Vậy thể tích V' của khối đa diện

A B C . M N P

theo V là:

V^{'} = \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3}}{3} = \frac{7}{18} V .

Câu 46:

là hình bình hành. Mặt phẳng

S . A B C D

có đáy

A B C D

(α)

đi qua A, B và trung điểm M của SC. Mặt phẳng

(α)

chia khối chóp đã cho thành hai phần có thể tích lần lượt là

V_{1},

V_{2}

với

V_{1} < V_{2} .

Tính tỉ số

\frac{V_{1}}{V_{2}} .

A. $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{1}{4} .$

B. $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{3}{8} .$

C. $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{5}{8} .$

D. $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{3}{5} .$

Xem đáp án

Chọn D

Từ M kẻ

M N // A B .

Lúc đó, mặt phẳng

(α) \equiv (A B M) \equiv (A B M N) .

Ta có:

\frac{V_{S . A M B}}{V_{S . A C B}} = \frac{S M}{S C} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow V_{S . A M B} = \frac{1}{2} V_{S . A C B} .

\frac{V_{S . A M N}}{V_{S . A C D}} = \frac{S N}{S D} . \frac{S M}{S C} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow V_{S . A M N} = \frac{1}{4} V_{S . A C D} .

Suy ra:

V_{S . A M B} + V_{S . A M N} = \frac{1}{2} V_{S . A B C} + \frac{1}{4} V_{S . A C D} .

Mà

V_{S . A C B} = V_{S . A C D} = \frac{1}{2} V_{S . A B C D} .

Suy ra:

V_{S . M N A B} = \frac{1}{4} V_{S . A B C D} + \frac{1}{8} V_{S . A B C D} = \frac{3}{8} V_{S . A B C D} = V_{1} .

\Rightarrow V_{M N A B C D} = \frac{5}{8} V_{S . A B C D} = V_{2} .

Vậy

\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{3}{5} .

Câu 47:

có đáy là hình vuông cạnh a, tâm O. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy

S . A B C D

(A B C D)

. Cạnh bên SB tạo với đáy

(A B C D)

một góc

60 °

. Tính thể tích của khối chóp

S . A B C D

Cho hình chóp tam giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng

A. $a^{3} .$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{9} .$

C. $\frac{a^{3}}{3} .$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{3} .$

Xem đáp án

Chọn D

Ta có

S A ⊥ (A B C D)

nên góc giữa

S B

và đáy

(A B C D)

là

\hat{S B A} = 60 °

,

S A = A B . \tan 60 ° = a \sqrt{3}

,

S_{A B C D} = a^{2}

.
Vậy thể tích khối chóp là

V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} . S_{A B C D} . S A = \frac{1}{3} . a^{2} . a \sqrt{3} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{3}

Câu 48:

\frac{a \sqrt{21}}{6}

. Tính theo a thể tích V của khối chóp

S . A B C

Tính theo a thể tích V của khối hộp chữ nhật

A. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{8} .$

B. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{12} .$

C. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6} .$

D. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{24} .$

Xem đáp án

Chọn D

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, M là trung điểm của BC
Ta có

S O ⊥ (A B C)

và

S_{A B C} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}

;

A O = \frac{2}{3} A M = \frac{2}{3} . \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{a \sqrt{3}}{3}

,

S O = \sqrt{S A^{2} - A O^{2}} = \sqrt{{(\frac{a \sqrt{21}}{6})}^{2} - {(\frac{a \sqrt{3}}{3})}^{2}} = \frac{a}{2}

Vậy thể tích khối chóp là

V_{S . A B C} = \frac{1}{3} . S_{A B C} . S O = \frac{1}{3} . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} . \frac{a}{2} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{24}

Câu 49:

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

biết rằng mặt phẳng

(A^{'} B C)

hợp với mặt đáy

(A B C D)

một góc

60^{o}

Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc và

A^{'} C

hợp với đáy

(A B C D)

một góc

30^{o}

và

A A^{'} = a \sqrt{3}

A. $V = a^{3}$

B. $V = 2 a^{3} \sqrt{6}$

C. $V = 2 a^{3} \sqrt{2}$

D. $V = \frac{2 a^{3} \sqrt{6}}{3}$

Xem đáp án

Chọn B

Xét tam giác vuông

A^{'} A B

có

\tan 60^{o} = \frac{A A^{'}}{A B} \Rightarrow A B = \frac{a \sqrt{3}}{\tan 60^{o}} = a

Xét tam giác vuông

A^{'} A C

có

\tan 30^{o} = \frac{A A^{'}}{A C} \Rightarrow A C = 3 a

.
Vậy

B C = \sqrt{A C^{2} - A B^{2}} = 2 a \sqrt{2}

.

S_{A B C D} = 2 a \sqrt{2} . a = 2 a^{2} \sqrt{2}

Vậy

V = 2 a^{3} \sqrt{6}

Câu 50:

A B = 6 a

A C = 9 a