50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Bộ 20 đề thi giữa kì 2 Toán 12 có đáp án năm 2022-2023 (Đề 14)

Câu 1:

y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d, a \neq 0

có thể có nhiều nhất mấy điểm cực trị.

A. 2

B. 1

C. 3

D. 0

Xem đáp án

Chọn A
Ta có

y^{'} = 3 a x^{2} + 2 b x + c, (a \neq 0)

là tam thức bậc hai có nhiều nhất nghiệm và y' đổi dấu khi qua hai nghiệm đó nên hàm số

y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d, a \neq 0

có nhiều nhất hai cực trị.

Câu 2:

Cho hàm số

y = f (x)

liên tục trên

ℝ

và có đạo hàm

f^{'} (x) = (x + 1) {(x - 2)}^{2} {(x - 3)}^{3} {(x + 5)}^{4}

Hỏi hàm số

y = f (x)

có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 3

B. 5

C. 4

D. 2

Xem đáp án

Chọn D

f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow (x + 1) {(x - 2)}^{2} {(x - 3)}^{3} {(x + 5)}^{4} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \\ x = 2 \\ x = 3 \\ x = - 5 \end{array}

Bảng biến thiên:

Dựa vào BBT ta thấy hàm số có 2 điểm cực trị.

Câu 3:

Cho hàm số

y = f (x)

liên tục trên

ℝ

. Hàm số

y = f' (x)

có đồ thị như hình vẽ:

Khẳng định nào sau đây ĐÚNG?

A. Đồ thị hàm số

y = f (x)

có 1 điểm cực trị.

B. Đồ thị hàm số $y = f (x)$ có 2 điểm cực trị.

C. Đồ thị hàm số

y = f (x)

có 4 điểm cực trị.

D. Đồ thị hàm số

y = f (x)

có 3 điểm cực trị.

Xem đáp án

Chọn D
Ta thấy đồ thị

y = f' (x)

cắt trục

O x

tại 3 điểm phân biệt nên

f' (x) = 0

có 3 nghiệm đơn phân biệt.
Do đó đồ thị hàm số

y = f (x)

có 3 điểm cực trị.

Câu 4:

Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số

y = \frac{x + 1}{x^{2} - 4}

là:

A. 4

B. 1

C. 3

D. 2

Xem đáp án

Chọn C
Ta có: TXĐ

D = ℝ \ \{- 2; 2\}

\lim_{x \to + \infty} (\frac{x + 1}{x^{2} - 4}) = 0; \lim_{x \to - \infty} (\frac{x + 1}{x^{2} - 4}) = 0

Đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang

y = 0

.

\lim_{x \to 2^{+}} (\frac{x + 1}{x^{2} - 4}) = + \infty \Rightarrow

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng

x = 2

.

\lim_{x \to - 2^{+}} (\frac{x + 1}{x^{2} - 4}) = + \infty \Rightarrow

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng

x = - 2

Vậy đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận.

Câu 5:

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số

f (x) = x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - 9

trên đoạn

[1; 3]

.

A. $\max_{[1; 3]} f (x) = 0$

B. $\max_{[1; 3]} f (x) = 5$

C. $\max_{[1; 3]} f (x) = \frac{13}{27}$

D. $\max_{[1; 3]} f (x) = - 6$

Xem đáp án

Chọn C
Ta có:

f (x) = x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - 9 \Rightarrow f' (x) = 3 x^{2} - 16 x + 16

f' (x) = 0 \Leftrightarrow 3 x^{2} - 16 x + 16 = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = \frac{4}{3} \in [1; 3] \\ x = 4 \notin [1; 3] \end{matrix}

f (1) = 0, f (3) = - 6, f (\frac{4}{3}) = \frac{13}{27} .

Vậy

\max_{[1; 3]} f (x) = f (\frac{4}{3}) = \frac{13}{27}

.

Câu 6:

Cho hàm số

y = - x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 2

. Khẳng định nào sau đây là ĐÚNG?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng

(- \infty; 1)

và đồng biến trên khoảng

(1; + \infty)

.

B. Hàm số đồng biến trên khoảng $(- \infty; 1)$ và nghịch biến trên khoảng $(1; + \infty)$ .

C. Hàm số luôn đồng biến trên $ℝ$ .

D. Hàm số luôn nghịch biến trên

ℝ

.

Xem đáp án

Chọn D
Ta có:

y = - x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 2 \Rightarrow y' = - 3 x^{2} + 6 x - 3 = - 3 {(x - 1)}^{2} \Rightarrow y' \leq 0, \forall x \neq 1

Vậy hàm số

y = - x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 2

luôn nghịch biến trên

ℝ

.

Câu 7:

Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số

y = 3 x^{4} - 4 x^{3} - 6 x^{2} + 12 x + 1

là điểm

M (x_{0}; y_{0})

. Tính tổng

T = x_{0} + y_{0} .

A. $T = 8.$

B. $T = - 11.$

C. $T = 4.$

D. $T = 3.$

Xem đáp án

Chọn B
Ta có

y' = 12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + 12 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \\ x = 1 \end{array}

Bảng biến thiên:

Từ BBT, đồ thị hàm số

y = 3 x^{4} - 4 x^{3} - 6 x^{2} + 12 x + 1

có điểm cực tiểu là điểm

M (- 1; - 10) .

Vậy

T = - 11.

Câu 8:

Tổng các giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số

y = \sqrt{2 - x^{2}} - x

bằng

A. $2 - \sqrt{2} .$

B. $2 + \sqrt{2} .$

C. 1

D. 2

Xem đáp án

Chọn A
Điều kiện:

2 - x^{2} \geq 0 \Leftrightarrow - \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}

TXĐ:

D = [- \sqrt{2}; \sqrt{2}]

Hàm số liên tục trên

[- \sqrt{2}; \sqrt{2}];

y' = \frac{- x}{\sqrt{2 - x^{2}}} - 1

\forall x \in (- \sqrt{2}; \sqrt{2})

thì

y' = 0 \Leftrightarrow \sqrt{2 - x^{2}} = - x \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \leq 0 \\ 2 - x^{2} = x^{2} \end{cases} \Leftrightarrow x = - 1 \in (- \sqrt{2}; \sqrt{2})

Ta có:

y (- \sqrt{2}) = \sqrt{2}; y (\sqrt{2}) = - \sqrt{2}; y (- 1) = 2.

Do đó

\underset{x \in [- \sqrt{2}; \sqrt{2}]}{M i n y} = y (\sqrt{2}) = - \sqrt{2}; \underset{x \in [- \sqrt{2}; \sqrt{2}]}{Max y} = y (- 1) = 2.

Vậy tổng các giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số

y = \sqrt{2 - x^{2}} - x

bằng

2 - \sqrt{2} .

Câu 9:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số

y = - \frac{1}{3} x^{3} - m x^{2} + (2 m - 3) x - m + 2

luôn nghịch biến trên R

A. $- 3 < m < 1.$

B. $m \leq 1.$

C. $- 3 \leq m \leq 1.$

D. $m \in (- \infty; - 3] \cup [1; + \infty) .$

Xem đáp án

Chọn C
Hàm số

y = - \frac{1}{3} x^{3} - m x^{2} + (2 m - 3) x - m + 2

luôn nghịch biến trên R

\Leftrightarrow y' \leq 0, \forall x \in R

và dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm trên R

\begin{array}{l} \Leftrightarrow - x^{2} - 2 m x + 2 m - 3 \leq 0, \forall x \in R \\ \Leftrightarrow \{\begin{cases} Δ' \leq 0 \\ a = - 1 < 0 \end{cases} \Leftrightarrow m^{2} + 2 m - 3 \leq 0 \Leftrightarrow - 3 \leq m \leq 1 \end{array}

Vậy các giá trị m cần tìm là

- 3 \leq m \leq 1.

Câu 10:

Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

y = \frac{\sqrt{x + 9} - 3}{x^{2} + x}

là:

A. 2

B. 3

C. 0

D. 1

Xem đáp án

Chọn D
TXĐ:

D = R \ \{- 1; 0\} .

\forall x \notin {0; - 1},

ta có:

\frac{\sqrt{x + 9} - 3}{x^{2} + x} = \frac{(\sqrt{x + 9} - 3) (\sqrt{x + 9} + 3)}{(x^{2} + x) (\sqrt{x + 9} + 3)} = \frac{x}{(x^{2} + x) (\sqrt{x + 9} + 3)} = \frac{1}{(x + 1) (\sqrt{x + 9} + 3)}

Do đó:

\lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sqrt{x + 9} - 3}{x^{2} + x} = \underset{x \to 0^{-}}{l i m} \frac{\sqrt{x + 9} - 3}{x^{2} + x} = \underset{x \to 0}{l i m} \frac{1}{(x + 1) (\sqrt{x + 9} + 3)} = \frac{1}{6}

Mặt khác,

\lim_{x \to - 1^{+}} \frac{\sqrt{x + 9} - 3}{x^{2} + x} = + \infty; \underset{x \to - 1^{-}}{l i m} \frac{\sqrt{x + 9} - 3}{x^{2} + x} = - \infty

Nên đồ thị hàm số đã cho chỉ có một tiệm cận đứng là đường thẳng

x = - 1.

Câu 11:

Hàm số

y = \sqrt{4 - x^{2}}

nghịch biến trong khoảng nào?

A. $(- 2; 2)$

B. $(- 2; 0)$

C. $(0; + \infty)$

D. $(0; 2)$

Xem đáp án

Chọn D
TXĐ:

D = [- 2; 2]

y^{'} = \frac{- x}{\sqrt{4 - x^{2}}}

;

y' = 0 \Leftrightarrow x = 0

BBT

Hàm số nghịch biến trên khoảng

(0; 2) .

Câu 12:

Cho hàm số

y = f (x)

có bảng biến thiên dưới đây. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.Hàm số đạt cực đại tại

x = 2

.

B. Hàm số đạt cực đại tại $x = 3$ .

C. Hàm số đạt cực đại tại

x = 4

.

D. Hàm số đạt cực đại tại

x = - 2

Xem đáp án

Chọn A
Dựa vào bảng biến thiên ta có: Hàm số đạt cực đại tại

x = 2

và đạt cực tiểu tại

x = 4.

Câu 13:

Đồ thị hàm số

y = \frac{2 x - 3}{x - 1}

có các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là:

A. $x = 2$ và $y = 1$

B. $x = - 1$ và $y = 2$

C. $x = 1$ và $y = 2$

D. $x = 1$ và $y = - 3$

Xem đáp án

Chọn C
Ta có

\lim_{x \to 1^{+}} y = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{2 x - 3}{x - 1} = - \infty

;

\lim_{x \to 1^{-}} y = \lim_{x \to 1^{-}} \frac{2 x - 3}{x - 1} = + \infty

nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng

x = 1

\lim_{x \to + \infty} y = \lim_{x \to + \infty} \frac{2 x - 3}{x - 1} = \lim_{x \to + \infty} \frac{2 - \frac{3}{x}}{1 - \frac{1}{x}} = 2

,

\lim_{x \to - \infty} y = \lim_{x \to - \infty} \frac{2 x - 3}{x - 1} = \lim_{x \to - \infty} \frac{2 - \frac{3}{x}}{1 - \frac{1}{x}} = 2

nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang

y = 2

.

Câu 14:

Giả sử M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x + \frac{1}{x}$ trên $[\frac{1}{2}; 3]$ . Khi đó $3 M + m$ bằng bao nhiêu?

A. $\frac{7}{2}$

B. $\frac{35}{6}$

C. 10

D. 12

Xem đáp án

Chọn D
Hàm số

y = x + \frac{1}{x}

liên tục trên

[\frac{1}{2}; 3]

.
Ta có

y^{'} = 1 - \frac{1}{x^{2}}

.

y^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \in [\frac{1}{2}; 3] \\ x = - 1 \in [\frac{1}{2}; 3] \end{array}

y (\frac{1}{2}) = \frac{5}{2}

;

y (1) = 2

;

y (3) = \frac{10}{3}

Suy ra

M = \max_{[\frac{1}{2}; 3]} y = \frac{10}{3}

,

m = \min_{[\frac{1}{2}; 3]} y = 2

.
Do đó

3 M + m = 12

.

Câu 15:

Cho hàm số

y = f (x)

có bảng biến thiên dưới đây. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng

(2; + \infty) .

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(- \infty; - 1) .$

C. Hàm số đồng biến trên khoảng

(- 2; + \infty) .

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng

(0; 1) .

Xem đáp án

Chọn C
Dựa vào bảng biến thiên ta có:
-Hàm số đồng biến trên khoảng

(1; + \infty)

; hàm số nghịch biến trên khoảng

(- \infty; 0)

và

(0; 1)

.
Nên đáp án A,B,D đúng và đáp án C sai.

Câu 16:

Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

y = \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x - 2}

trên tập hợp

D = (- \infty; - 1) \cup [1; \frac{3}{2}]

. Tính giá trị

P = M + m

?

A. $P = - 2$

B. $P = - \sqrt{5} .$

C. $P = 0.$

D. $P = \sqrt{3} .$

Xem đáp án

Chọn B
Xét hàm số

y = \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x - 2}

trên

(- \infty; - 1) \cup [1; \frac{3}{2}]

.
Ta có:

y' = \frac{\frac{1}{2 \sqrt{x^{2} - 1}} .2 x . (x - 2) - \sqrt{x^{2} - 1}}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{- 2 x + 1}{{(x - 2)}^{2} \sqrt{x^{2} - 1}} = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2} \notin (- \infty; - 1) \cup [1; \frac{3}{2}]

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

M = 0, m = - \sqrt{5}

. Vậy

P = M + m = - \sqrt{5}

Câu 17:

Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m sao cho hàm số

y = \frac{x - 1}{x - m}

nghịch biến trên khoảng

(4; + \infty)

. Tính tổng của các giá trị m của S.

A. $P = - 9$

B. $P = 9$

C. $P = - 10$

D. $P = 10$

Xem đáp án

Chọn B
Tập xác định:

D = ℝ \ \{m\}

Để hàm số

y = \frac{x - 1}{x - m}

nghịch biến trên khoảng

(4; + \infty)

thì

\{\begin{cases} y' < 0 \forall x \in (4; + \infty) \\ m \leq 4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \frac{- m + 1}{{(x - m)}^{2}} < 0 \forall x \in (4; + \infty) \\ m \leq 4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m > 1 \\ m \leq 4 \end{cases} \Leftrightarrow 1 < m \leq 4

Như vậy

S = \{2; 3; 4\}

Câu 18:

Cho hàm số

y = f (x)

có đạo hàm liên tục trên R. Bảng biến thiên của hàm số

y = f^{'} (x)

được cho như hình vẽ.

Hàm số

y = f (1 - \frac{x}{2}) + x

nghịch biến trên khoảng nào ?

A. $(- 4; - 2)$

B. $(- 2; 0)$

C. $(2; 4)$

D. $(0; 2)$

Xem đáp án

Chọn A
Ta có:

y = f (1 - \frac{x}{2}) + x \Rightarrow y^{'} = - \frac{1}{2} . f^{'} (1 - \frac{x}{2}) + 1.

Hàm số

y = f (1 - \frac{x}{2}) + x

nghịch biến

y^{'} \leq 0 \Leftrightarrow f^{'} (1 - \frac{x}{2}) \geq 2

\Rightarrow 2 \leq 1 - \frac{x}{2} < 3

\Leftrightarrow - 4 \leq x < - 2

Câu 19:

Có bao nhiêu giá trị nguyên

m \in (- 3; 3)

sao cho đồ thị của hàm số

y = \frac{x + 1}{\sqrt{m x^{2} + 1}}

có hai tiệm cận ngang.

A. 2

B. 0

C. 3

D. 1

Xem đáp án

Chọn A
Hàm số

y = \frac{x + 1}{\sqrt{m x^{2} + 1}}

có hai tiệm cận ngang khi tồn tại hai giới hạn hữu hạn sau:

\lim_{x \to + \infty} y = \lim_{x \to + \infty} \frac{x + 1}{\sqrt{m x^{2} + 1}} = a, \lim_{x \to - \infty} y = \lim_{x \to - \infty} \frac{x + 1}{\sqrt{m x^{2} + 1}} = b (b \neq a)

\Rightarrow 1 + m x^{2} > 0, \forall x \in ℝ \Leftrightarrow m \geq 0

Với

m = 0 \Rightarrow y = x + 1

. Đồ thị hàm số là một đường thẳng, không thỏa mãn điều kiện.
Với

m = 1 \Rightarrow y = \frac{x + 1}{\sqrt{x^{2} + 1}}

. Đồ thị hàm số có hai tiệm cân ngang

y = 1; y = - 1

.
Với

m = 2 \Rightarrow y = \frac{x + 1}{\sqrt{2 x^{2} + 1}}

. Đồ thị hàm số có hai tiệm cân ngang

y = \frac{1}{\sqrt{2}}; y = - \frac{1}{\sqrt{2}}

.

Câu 20:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số

y = \frac{m x + 1}{4 x + m}

luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định của hàm số.

A. 1

B. 3

C. Vô số

D. 2

Xem đáp án

Chọn B
Tập xác định

D = ℝ \ \{- \frac{m}{4}\}

.
Yêu cầu bài toán

\Leftrightarrow y' < 0, \forall x \in D

\Leftrightarrow \frac{m^{2} - 4}{{(4 x + m)}^{2}} < 0, \forall x \in D \Leftrightarrow m^{2} - 4 < 0 \Leftrightarrow - 2 < m < 2.

Với điều kiện

m \in ℤ

thì

m \in \{- 1; 0; 1\} .

Câu 21:

Gọi S là tập giá trị m là các số nguyên để hàm số

y = \frac{1}{3} x^{3} - (m + 1) x^{2} + (m - 2) x + 2 m - 3

đạt cực trị tại hai điểm

x_{1}, x_{2}

thỏa mãn

x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 18.

Tính tổng P của các giá trị nguyên của S

A. $P = 1.$

B. $P = - 5.$

C. $P = - 4.$

D. $P = - \frac{3}{2} .$

Xem đáp án

Chọn A
Ta có

y^{'} = x^{2} - 2 (m + 1) x + m - 2.

Hàm số đạt cực trị tại hai điểm

x_{1}, x_{2}

khi có hai nghiệm phân biệt

x_{1}, x_{2}

\Leftrightarrow x^{2} - 2 (m + 1) x + m - 2 = 0

có hai nghiệm phân biệt.

\Leftrightarrow Δ^{'} > 0 \Leftrightarrow m^{2} + m + 3 > 0

( luôn đúng với mọi m )
Do đó, với mọi m thì hàm số luôn có hai điểm cực trị

x_{1}, x_{2}

.
Theo định lý vi-et ta có

\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 2 m + 2 \\ x_{1} . x_{2} = m - 2 \end{cases} .

Theo giả thiết :

x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 18 \Leftrightarrow {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{1} x_{2} - 18 = 0 \Leftrightarrow 4 m^{2} + 6 m - 10 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 1 \\ m = - \frac{5}{2} \end{array}

Mà

m \in Z \Rightarrow m = 1.

Câu 22:

Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí A có khoảng cách đến bờ biển AB=5km. Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí C cách B một khoảng B=7km. Người canh hải đăng có thể chèo đò từ A đến vị trí M trên bờ biển với vận tốc

4 k m / h

rồi đi bộ đến C với vận tốc

6 k m / h .

Vị trí điểm M cách B một khoảng bao nhiêu để người đó đi đến kho nhanh nhất ? ( xem hình vẽ).

A. $7 k m .$

B. $2 \sqrt{5} k m .$

C. $0 k m .$

D. $\frac{14 + 5 \sqrt{5}}{12} k m .$

Xem đáp án

Chọn B
Đặt

B M = x \Rightarrow M C = B C - B M = 7 - x

Tam giác ABM vuông tại B, có

A M = \sqrt{A B^{2} + B M^{2}} = \sqrt{x^{2} + 25}

Thời gian đi từ A đến M là

\frac{\sqrt{x^{2} + 25}}{4}

, thời gian đi từ M đến C là

\frac{7 - x}{6}

.
Tổng thời gian đi từ A đến C là

\frac{\sqrt{x^{2} + 25}}{4}

+

\frac{7 - x}{6}

.
Xét hàm số

f (x) = \frac{\sqrt{x^{2} + 25}}{4} + \frac{7 - x}{6}

trên khoảng

(0; 7)

, có

f^{'} (x) = \frac{x}{4 \sqrt{x^{2} + 25}} - \frac{1}{6} .

Phương trình

f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} 0 < x < 7 \\ 2 \sqrt{x^{2} + 25} = 3 x \end{cases} \Leftrightarrow x = 2 \sqrt{5}

\min_{(0; 7)} f (x) = f (2 \sqrt{5}) .

Câu 23:

Đồ thị hàm số

y = x^{3} - 2 m x^{2} + m^{2} x + n

có tọa độ điểm cực tiểu là

(1; 3)

. Khi đó

m + n

bằng

A. 3

B. 4

C. 2

D. 1

Xem đáp án

Chọn B
Ta có

y' = 3 x^{2} - 4 m x + m^{2}; y'' = 6 x - 4 m

Theo giả thiết ta suy ra:

y' (1) = 0 \Leftrightarrow m^{2} - 4 m + 3 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 1 \\ m = 3 \end{array}

Khi

m = 1 \Rightarrow \{\begin{cases} y' (1) = 0 \\ y'' (1) = 2 > 0 \end{cases}

\Rightarrow x = 1

là điểm cực tiểu của hàm số thỏa mãn.
Lúc đó

y (1) = {(m - 1)}^{2} + n = 0^{2} + n = n \Rightarrow n = 3

Vậy trong trường hợp này

\Rightarrow m + n = 4

Khi

m = 3 \Rightarrow \{\begin{cases} y' (1) = 0 \\ y'' (1) = - 9 < 0 \end{cases}

\Rightarrow x = 1

là điểm cực đại của hàm số nên loại.

Câu 24:

Có bao nhiêu giá trị của m để đồ thị hàm số

y = \frac{x - m}{m x - 1}

không có tiệm cận đứng.

A. 1

B. 0

C. 3

D. 2

Xem đáp án

Chọn C
TH1:

m = 0 \Rightarrow y = - x

là hàm bậc nhất nên không có tiện cận đứng.
TH2:

m \neq 0 \Rightarrow

để hàm số không có tiệm cận đứng thì nghiệm của mẫu số củng là nghiệm của tử số nên suy ra:

\frac{1}{m} - m = 0 \Leftrightarrow m = \pm 1

Vậy có 3 giá trị của m là:

m = 0; m = \pm 1

Câu 25:

Tìm mối liên hệ giữa các tham số a và b sao cho hàm số

y = f (x) = 2 x + a \sin x + b cos x

luôn tăng trên R?

A. $a + 2 b \geq \frac{1 + \sqrt{2}}{3}$

B. $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1$

C. $a^{2} + b^{2} \leq 4$

D. $a + 2 b = 2 \sqrt{3}$

Xem đáp án

Chọn C
Hàm số

y = f (x) = 2 x + a \sin x + b cos x

luôn tăng trên R nên

y^{'} \geq 0, \forall x \in ℝ

(dấu “=” xảy ra tại hữu hạn điểm)

\Leftrightarrow 2 + a cos x - b \sin x \geq 0, \forall x \in ℝ

\Leftrightarrow 2 \geq b \sin x - a cos x, \forall x \in ℝ \Leftrightarrow 2 \geq \underset{ℝ}{m a x} (b \sin x - a cos x)

\Leftrightarrow 2 \geq \sqrt{a^{2} + b^{2}} \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} \leq 4

Câu 26:

Một hình chóp có 100 cạnh có bao nhiêu mặt?

A. 50

B. 53

C. 51

D. 52

Xem đáp án

Chọn C
Giả sử hình chóp có đáy là đa giác n cạnh, suy ra có n mặt bên và có n cạnh bên. Khi đó tổng số cạnh của hình chóp là

2 n = 100 \Leftrightarrow n = 50.

Vậy hình chóp có 50 mặt bên và 1 mặt đáy. Vậy có tất cả là 51 mặt.

Câu 27:

Cho khối chóp có thể tích

V = 36 (c m^{3})

và diện tích đáy

B = 6 (c m^{2})

. Tính chiều cao của khối chóp.

A. $h = 6 (c m) .$

B. $h = 72 (c m) .$

C. $h = \frac{1}{2} (c m) .$

D. $h = 18 (c m) .$

Xem đáp án

Chọn D
Ta có

V = \frac{1}{3} B h \Rightarrow h = \frac{3 V}{B} = \frac{3.36}{6} = 18 (c m) .

Câu 28:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên hớp với đáy một góc

60^{°}

. Gọi M là trung điểm của SC. Mặt phẳng qua A,M và song song với BD cắt SB, SD lần lượt tại E và F và chia khối chóp S.ABCD là hai phần, khối chóp S.AEMF và đa diện

A E M F B C D

. Tính thể tích của khối đa diện

A E M F B C D

?

A. $V = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{36}$

B. $V = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{9}$

C. $V = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{12}$

D. $V = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{18}$

Xem đáp án

Chọn B

ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O, nên

A O = \frac{a \sqrt{2}}{2}

Xét tam giác

Δ S A O

vuông tại O và

\hat{S A O} = 60^{°}

,
nên

\tan \hat{S A O} = \frac{S O}{A O} \Rightarrow S O = \frac{a \sqrt{2}}{2} \sqrt{3} = \frac{a \sqrt{6}}{2}

Ta có, thể tích khối chóp

S . A B C D

là:

V = \frac{1}{3} S O . S_{A B C D} = \frac{1}{3} \frac{a \sqrt{6}}{2} . a^{2} = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{6} (d v t t)

Gọi G là giao điểm của AM và SO. Vì AM và SO là 2 trung tuyến của tam giác đó, nên G là trọng tâm của nó. Ta có

S G = \frac{2}{3} S O

Mặt phẳng A, M qua và song song với BD đi qua G và cắt SB, SD lần lượt tại E và F ta suy ra

E F / / B D

. Thiết diện tạo bởi mặt phẳng đó với hình chóp là tứ giác

A E M F,

chia khối chóp thành 2 phần: Khối chóp

S . A E M F

và phần còn lại, đa diện

A E M F B C D

Xét tam giác SBD, vì EF song song với BD nên ta có

\frac{S E}{S B} = \frac{S F}{S D} = \frac{S G}{S O} = \frac{2}{3}

, nên ta có:

\frac{V_{S . A E M}}{V_{S . A B C}} = \frac{S A}{S A} . \frac{S E}{S B} . \frac{S M}{S C} = \frac{1}{3}

. Vì

V_{S . A E M F} = 2 V_{S . A E M}, V_{S . A B C} = \frac{1}{2} V_{S . A B C D}

, nên

\begin{array}{l} V_{S . A E M F} = 2. V_{S . A E M} = 2. \frac{1}{3} V_{S . A B C D} = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{18} (d v t t) \\ \Rightarrow V_{A E M F B C D} = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{6} - \frac{a^{3} \sqrt{6}}{18} = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{9} (d v t t) \end{array}

Câu 29:

Cho hình hộp chữ nhật

A B C D . A ’ B ’ C ’ D ’

, có

A B = 2 c m, A D = 5 c m, AA' = 3 c m

. Tính thể tích của khối chóp

A . A ’ B ’ D ’

?

A. $20 c m^{3}$

B. $5 c m^{3}$

C. $15 c m^{3}$

D. $10 c m^{3}$

Xem đáp án

Chọn B
Ta có

V_{A . A^{'} B^{'} D^{'}} = \frac{1}{2} V_{A . A B C D} = \frac{1}{2} . \frac{1}{3} V_{A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}} = \frac{1}{6} 2.5.3 = 5 (c m^{3})

Câu 30:

Cho hình chóp đều

S . A B C

có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng

\frac{a \sqrt{21}}{6}

. Tính theo a thể tích V của khối chóp đã cho

A. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6} .$

B. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{8} .$

C. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{24} .$

D. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{12} .$

Xem đáp án

Chọn C
Áp dụng công thức: Hình chóp đều

S . A B C

có cạnh đáy bẳng a, cạnh bên bằng b thì thể tích khối chóp S.ABC là:

V = \frac{1}{3} . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} . \sqrt{b^{2} - \frac{a^{2}}{3}}

V = \frac{1}{3} . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} . \sqrt{{(\frac{a \sqrt{21}}{6})}^{2} - \frac{a^{2}}{3}} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{24}

Câu 31:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và

A B = B C = a

. Cạnh bên

S A = 2 a

và vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tích V của khối chóp

S . A B C

A. $V = a^{3} .$

B. $V = \frac{2 a^{3}}{3} .$

C. $V = \frac{a^{3}}{3} .$

D. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{2} .$

Xem đáp án

Chọn C

V = \frac{1}{3} . S_{Δ A B C} . S A = \frac{1}{3} . (\frac{1}{2} . B A . B C) . S A = \frac{1}{3} . (\frac{1}{2} . a . a) .2 a = \frac{a^{3}}{3}

Câu 32:

Số đỉnh của hình bát diện đều là bao nhiêu.

A. 10

B. 12

C. 6

D. 8

Xem đáp án

Chọn C

Dựa vào hình vẽ ta chọn được đáp án C.

Câu 33:

Kim tự tháp Kheops ( Kê-Ốp ) ở Ai Cập được xây dựng vào năm 2500 trước công nguyên. Kim tự tháp này là một khối chóp tứ giác đều có chiều cao 147m , cạnh đáy dài 230 m. Tính thể tích của nó.

A. $2592100 m^{3} .$

B. $3888150 m^{3} .$

C. $2952100 m^{3} .$

D. $7776300 m^{3} .$

Xem đáp án

Chọn A
Kim tự tháp Kheops là một khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy dài 230m nên diện tích của đáy S là:

S = {(230)}^{2} = 52900 (m^{2}) .

Chiều cao h của kim tự tháp Kheops là:

h = 147 m .

Thể tích V của kim tự tháp Kheops là:

V = \frac{1}{3} .52900.147 = 2592100 (m^{3}) .

Câu 34:

Một khúc gỗ dạng hình hộp chữ nhật có các kích thước như hình vẽ. Người ta cắt đi một phần khúc gỗ có dạng hình lập phương cạnh bằng 4cm. Tính thể tích phần gỗ còn lại.

A. $262 {cm}^{3} .$

B. $206 {cm}^{3} .$

C. $145 {cm}^{3} .$

D. $54 {cm}^{3} .$

Xem đáp án

Chọn B
Thể tích khối hộp chữ nhật:

V_{1} = 9.6.5 = 270 ({cm}^{3}) .

Thể tích khối lập phương:

V_{2} = 4^{3} = 64 ({cm}^{3}) .

Thể tích phần gỗ còn lại:

V = V_{1} - V_{2} = 270 - 64 = 206 ({cm}^{3}) .

Câu 35:

Tính thể tích V của khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a và tổng diện tích các mặt bên bằng

3 a^{2} .

A. $V = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{3} .$

B. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{12} .$

C. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{4} .$

D. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6} .$

Xem đáp án

Chọn C
Khối lăng trụ tam giác đều

A B C . A' B' C'

có cạnh đáy a chiều cao h

\Rightarrow S_{A B C} = \frac{a^{2} . \sqrt{3}}{4} .

Theo giả thiết;

3. (a h) = 3 a^{2} \Rightarrow h = a .

Vậy thể tích của khối lăng trụ

A B C . A' B' C'

:

V = S_{A B C} . h = \frac{a^{3} . \sqrt{3}}{4}

(đvtt).

Câu 36:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, SA = 3a, SA vuông góc với đáy, SB tạo với mặt đáy một góc bằng

60 °

. Tính thể tích khối chóp S.ABC.

A. $27 a^{3} .$

B. $\frac{3 a^{3}}{2} .$

C. $\frac{9 a^{3}}{2} .$

D. $9 a^{3} .$

Xem đáp án

Chọn B

Ta có: $\hat{(S B, (A B C))} = \hat{(S B, A B)} = \hat{S B A} = 60 °$

$A B = \frac{S A}{\tan 60 °} = \frac{3 a}{\sqrt{3}} = a \sqrt{3} .$
$S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} B A . B C = \frac{1}{2} a \sqrt{3} . a \sqrt{3} = \frac{3 a^{2}}{2} .$

$V_{S . A B C} = \frac{1}{3} S A . S_{Δ A B C} = \frac{1}{3} .3 a . \frac{3 a^{2}}{2} = \frac{3 a^{3}}{2} .$

Câu 37:

Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Gọi M là trung điểm SB, N là điểm trên đoạn SC sao cho NS = 2NC. Tính thể tích V của khối chóp A. BCNM.

A. $V = \frac{a^{3} \sqrt{11}}{16} .$

B. $V = \frac{a^{3} \sqrt{11}}{36} .$

C. $V = \frac{a^{3} \sqrt{11}}{24} .$

D. $V = \frac{a^{3} \sqrt{11}}{18} .$

Xem đáp án

Chọn D

Ta có:

N S = 2 N C \Rightarrow \frac{S N}{S C} = \frac{2}{3}

\frac{V_{S . A M N}}{V_{S . A B C}} = \frac{S M}{S B} . \frac{S N}{S C} = \frac{1}{2} . \frac{2}{3} = \frac{1}{3} .

S_{Δ A B C} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} .

A O = \frac{2}{3} A H = \frac{2}{3} . \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{a \sqrt{3}}{3} .

S O = \sqrt{{(2 a)}^{2} - {(\frac{a \sqrt{3}}{3})}^{2}} = \frac{a \sqrt{33}}{3} .

V_{S . A B C} = \frac{1}{3} S O . S_{Δ A B C} = \frac{1}{3} . \frac{a \sqrt{33}}{3} . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{a^{3} \sqrt{11}}{12} .

V_{S . A M N} = \frac{1}{3} V_{S . A B C} = \frac{1}{3} . \frac{a^{3} \sqrt{11}}{12} = \frac{a^{3} \sqrt{11}}{36} .

V_{A . B C N M} = V_{S . A B C} - V_{S . A M N} = \frac{a^{3} \sqrt{11}}{18} .

Câu 38:

Cho

(H)

là khối lăng trụ đứng tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a. Tính thể tích của

(H)

A. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{2} .$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{4} .$

C. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{3} .$

D. $\frac{a^{3}}{2} .$

Xem đáp án

Chọn B

Vì

Δ A B C

đều cạnh a:

S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} A B . A C . \sin 60^{0} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}

Thể tích khối lăng trụ:

V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} = A A^{'} \cdot S_{Δ A B C} = a \cdot \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{4} \cdot

Câu 39:

Cho hình 20 mặt đều có các cạnh bằng 2. Gọi S là tổng diện tích tất cả các mặt của hình đa diện đó. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $S = 10.$

B. $S = 20 \sqrt{3} .$

C. $S = 10 \sqrt{3} .$

D. $S = 20.$

Xem đáp án

Chọn B
Vì một mặt là tam giác đều cạnh 2 nên:

S_{Δ} = \frac{1}{2} \cdot 2.2. \sin 60^{0} = \sqrt{3} .

Tổng diện tích tất cả các mặt của hình đa diện đó là:

S = 20. S_{Δ} = 20 \sqrt{3} .

Câu 40:

Hình lập phương có đường chéo của một mặt bên bằng

4 c m

. Tính thể tích của khối lập phương đó.

A. $8 \sqrt{2} c m^{3}$

B. $8 c m^{3} .$

C. $16 \sqrt{2} c m^{3} .$

D. $2 \sqrt{2} c m^{3} .$

Xem đáp án

Chọn C

Giả sử khối lập phương

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

có

B C^{/} = 4 c m \Leftrightarrow B C = \frac{B C^{/}}{\sqrt{2}} = 2 \sqrt{2} c m .

\Rightarrow V_{k l p} = {(2 \sqrt{2})}^{3} = 16 \sqrt{2} c m^{3} .

Câu 41:

Cho khối tam giác có đường cao bằng 100cm và các cạnh đáy bằng 20cm, 21cm, 29cm. Tính thể tích của khối tam giác này.

A. $6213 c m^{3}$

B. $7000 c m^{3} .$

C. $7000 \sqrt{2} c m^{3} .$

D. $6000 c m^{3} .$

Xem đáp án

Chọn B

Giả sử khối tam giác

S A B C

có

A B = 20 c m, A C = 21 c m, B C = 29 c m,

đường cao khối chóp

h = 100 c m

Ta có:

p = \frac{20 + 21 + 29}{2} = 35 \Rightarrow S_{Δ A B C} = \sqrt{p (p - 20) (p - 21) (p - 29)} = 210 c m^{2} .

\Rightarrow V_{k c} = \frac{1}{3} h . S_{Δ A B C} = \frac{1}{3} .100.210 = 7000 c m^{3} .

Câu 42:

Cho hình hộp

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

có tất cả các cạnh đều bằng 2a, đáy ABCD là hình vuông. Hình chiếu vuông góc của đỉnh A' lên mặt phẳng đáy trùng với tâm của đáy. Tính theo a thể tích V của khối hộp đã cho.

A. $V = 8 a^{3} .$

B. $V = \frac{4 a^{3} \sqrt{2}}{3} .$

C. $V = \frac{8 a^{3}}{3} .$

D. $V = 4 a^{3} \sqrt{2} .$

Xem đáp án

Chọn D

Gọi O là tâm hình vuông

A B C D \Rightarrow A^{'} O ⊥ (A B C D)

Ta có:

\begin{array}{l} S_{A B C D} = 4 a^{2}, A O = \frac{A C}{2} = \frac{2 a \sqrt{2}}{2} = a \sqrt{2}, A^{'} O = \sqrt{A^{'} A^{2} - A O^{2}} \\ = \sqrt{{(2 a)}^{2} - {(a \sqrt{2})}^{2}} = a \sqrt{2} . \end{array}

V_{A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}} = A^{'} O . S_{A B C D} = a \sqrt{2} .4 a^{2} = 4 a^{3} \sqrt{2} .

Câu 43:

Hình chóp tứ giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?

A. 4

B. 1

C. 3

D. 2

Xem đáp án

Chọn A

Câu 44:

Mỗi cạnh của một khối đa diện là cạnh chung của bao nhiêu mặt của khối đa diện?

A. Ba mặt.

B. năm mặt.

C. Hai mặt.

D. Bốn mặt.

Xem đáp án

Chọn C

Theo định nghĩa

Câu 45:

Trong các vật thể sau đây, vật thể nào là hình đa diện?

A. Media VietJack

B. Media VietJack

C. Media VietJack

D. Media VietJack

Xem đáp án

Chọn A
Theo định nghĩa

Câu 46:

Cho hình chóp

S . A B C D

có đáy

A B C D

là hình thang vuông tại

A, D; A B = A D = 2 a; C D = a .

Góc giữa hai mặt phẳng

(S B C)

và

(A B C D)

là

60^{o} .

Gọi I là trung điểm của AD biết hai mặt phẳng

(S B I)

,

(C B I)

cùng vuông góc với mặt phẳng

(A B C D) .

Tính thể tích khối chóp

S . A B C D .

A. $\frac{3 \sqrt{15}}{5} a^{3} .$

B. $\frac{3 \sqrt{19}}{5} a^{3} .$

C. $\frac{3 \sqrt{17}}{5} a^{3} .$

D. $\frac{3 \sqrt{23}}{5} a^{3} .$

Xem đáp án

Chọn A

Ta có:

(S B I) \cap (S C I) = S I \Rightarrow S I ⊥ (A B C D) .

Kẻ

I H ⊥ B C (H \in B C)

,

S I ⊥ (A B C D) \Rightarrow S I ⊥ B C

Suy ra:

((S B C), (A B C D)) = \hat{S H I} = 60^{o}

Kẻ

A M ⊥ B C .

Trong

(A B C D), B C \cap A D = K \Rightarrow D

là trung điểm

A K .

Ta có:

S_{A B C} = \frac{1}{2} .2 a .2 a = 2 a^{2} = \frac{1}{2} A M . B C \Rightarrow A M = \frac{4 a^{2}}{B C} = \frac{4 a \sqrt{5}}{5} .

Áp dụng định lý Thales trong

Δ K A M : \frac{K I}{K A} = \frac{I H}{A M} \Rightarrow \frac{I H}{A M} = \frac{3}{4} \Rightarrow I H = \frac{3 a \sqrt{5}}{5} .

Suy ra:

S I = I H . \tan 60^{o} = \frac{3 a \sqrt{15}}{5} .

V = \frac{1}{3} . S I . S_{A B C D} = \frac{1}{3} . \frac{3 a \sqrt{15}}{5} . \frac{(a + 2 a) .2 a}{2} = \frac{3 a^{3} \sqrt{15}}{5} .

Câu 47:

Cho tứ diện ABCD có

A B = A C = B D = C D = 1.

Khi thể tích khối tứ diện ABCD lớn nhất thì khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và BC bằng.

A. $\frac{1}{3} .$

B. $\frac{1}{\sqrt{3}} .$

C. $\frac{2}{\sqrt{3}} .$

D. $\frac{1}{\sqrt{2}} .$

Xem đáp án

Chọn B

Đặt

B C = x; A D = y (x, y > 0) .

Gọi H, K lần lượt là trung điểm BC và AD

Δ A B C

cân tại A và

Δ D B C

cân tại

D \Rightarrow A H ⊥ B C, D H ⊥ B C \Rightarrow B C ⊥ (A H D) \Rightarrow B C ⊥ H K .

Mặt khác,

A H = D H \Rightarrow Δ H A D

cân tại

H \Rightarrow A D ⊥ H K .

Suy ra,

d (B C, A D) = H K .

Ta có:

A H = \sqrt{A B^{2} - B H^{2}} = \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}} = \frac{\sqrt{4 - x^{2}}}{2} \Rightarrow H K = \sqrt{A H^{2} - A K^{2}} = \frac{\sqrt{4 - x^{2} - y^{2}}}{2} .

V_{A B C D} = \frac{1}{3} B C . S_{A H D} = \frac{1}{3} . B C . \frac{1}{2} . H K . A D = \frac{1}{12} x y \sqrt{4 - x^{2} - y^{2}}

Áp dụng bất đắng thức Cauchy ta có:

V_{A B C D} = \frac{1}{12} x y \sqrt{4 - x^{2} - y^{2}} = \frac{1}{12} \sqrt{x^{2} y^{2} (4 - x^{2} - y^{2})} \leq \frac{1}{12} \sqrt{{(\frac{x^{2} + y^{2} + 4 - x^{2} - y^{2}}{3})}^{3}} = \frac{2 \sqrt{3}}{27} .

Dấu = xảy ra

\Leftrightarrow x^{2} = y^{2} = 4 - x^{2} - y^{2} \Leftrightarrow x = y = \frac{2}{\sqrt{3}}

Do đó:

V_{\max} = \frac{2 \sqrt{3}}{27} \Leftrightarrow x = y = \frac{2}{\sqrt{3}} .

Khi đó:

H K = \frac{1}{\sqrt{3}} .

Câu 48:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O,

A C = 2 a \sqrt{3}

,

B D = 2 a

. Hai mặt phẳng

(S A C)

và

(S B D)

cùng vuông góc với mặt đáy

(A B C D)

. Biết khoảng cách từ tâm O đến

(S A B)

bằng

\frac{a \sqrt{3}}{4}

. Tính thể tích V của khối chóp

S . A B C D

theo a.

A. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{9}$

B. $V = a^{3} \sqrt{3}$

C. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{3}$

D. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}$

Xem đáp án

Chọn C

Vì

\{\begin{cases} (S A C) \cap (A B C D) \\ (S B D) \cap (A B C D) \\ (S A C) \cap (S B D) = S O \end{cases}

nên

S O ⊥ (A B C D)

.
Kẻ

O H ⊥ A B (H \in A B)

,

O K ⊥ S H (K \in S H)

.
Mà

\begin{matrix} A B ⊥ O H \\ A B ⊥ S O \end{matrix}\} \Rightarrow A B ⊥ (S O H) \Rightarrow A B ⊥ O K

.
Do

O K ⊥ S H

nên

O K ⊥ (S A B) \Rightarrow d (O, (S A B)) = O K = \frac{a \sqrt{3}}{4}

Xét

Δ O A B

vuông tại O, vì

O H ⊥ A B

nên

\frac{1}{O H^{2}} = \frac{1}{O A^{2}} + \frac{1}{O B^{2}} = \frac{4}{3 a^{2}} \Rightarrow O H = \frac{a \sqrt{3}}{2}

.
Xét

Δ S O H

vuông tại O, vì

O K ⊥ S H

nên
.
Diện tích mặt đáy

A B C D

là

S . A B C D = \frac{1}{2} \cdot A C \cdot B D = 2 a^{2} \sqrt{3}

Thể tích hình chóp

S . A B C D

là

V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} \cdot S_{A B C D} \cdot S O = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{3}

Câu 49:

Cho hình lập phương

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

cạnh a. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của A'B' và BC. Mặt phẳng

(D M N)

chia khối lập phương đã cho thành hai khối đa diện. Gọi

(H)

là khối đa diện chứa đỉnh A,

(H^{'})

là khối đa diện còn lại. Tính tỉ số

\frac{V (H)}{V (H^{'})} .

A. $\frac{V (H)}{V (H^{'})} = \frac{1}{2} .$

B. $\frac{V (H)}{V (H^{'})} = \frac{55}{89} .$

C. $\frac{V (H)}{V (H^{'})} = \frac{2}{3} .$

D. $\frac{V (H)}{V (H^{'})} = \frac{37}{48} .$

Xem đáp án

Chọn B

Đặt

A B = 1 \Rightarrow V_{A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}} = 1

Đường thẳng qua M song song với DN cắt A'D' tại K , cắt B'C' tại I. Thiết diện là hình ngũ giác MKDNQ
Dễ thấy

A^{'} K = \frac{1}{4} A^{'} D^{'} = \frac{1}{4}; K D^{'} = \frac{3}{4}; I B^{'} = \frac{1}{4}

Ta có

\frac{K D^{'}}{I C^{'}} = \frac{D^{'} P}{P C^{'}} \Rightarrow \frac{3}{5} = \frac{D^{'} P}{1 + D^{'} P} \Rightarrow D^{'} P = \frac{3}{2}

Tương tự

N C = \frac{1}{2}; C R = \frac{2}{3} \Rightarrow B^{'} Q = \frac{1}{3}

Do đó

V (H^{'}) = V_{C^{'} I P R} - V_{I M B^{'} Q} - V_{P . K D^{'} D} - V_{R . N C D} = \frac{89}{144}

V (H) = 1 - V (H^{'}) = 1 - \frac{89}{144} = \frac{55}{144}

Suy ra

\frac{V (H)}{V (H^{'})} = \frac{55}{89} .

Câu 50:

Cho hình chóp

S . A B C

có đáy

A B C

là tam giác đều và có

S A = S B = S C = 1

. Tính thể tích lớn nhất

V_{max}

của khối chóp đã cho.

A. $V_{max} = \frac{1}{6}$

B. $V_{max} = \frac{1}{12}$

C. $V_{max} = \frac{\sqrt{2}}{12}$

D. $V_{max} = \frac{\sqrt{3}}{12} .$

Xem đáp án

Chọn A

Gọi H là tâm của tam giác ABC đều. Gọi E là trung điểm của BC.

S A = S B = S C \Rightarrow S H ⊥ (A B C)

Đặt

A B = A C = B C = a > 0

S_{A B C} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}; A E = \frac{a \sqrt{3}}{2} \Rightarrow A H = \frac{2}{3} A E = \frac{a \sqrt{3}}{3} .

Xét tam giác

S A H

: .

S H = \sqrt{1 - {(\frac{a \sqrt{3}}{3})}^{2}} = \frac{\sqrt{9 - 3 a^{2}}}{3}

V_{S . A B C} = \frac{1}{3} . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} . \frac{\sqrt{9 - 3 a^{2}}}{3} = \frac{a^{2} \sqrt{3 - a^{2}}}{12} (0 < a < \sqrt{3})

Xét

V_{S . A B C} = \frac{1}{3} . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} . \frac{\sqrt{9 - 3 a^{2}}}{3} = \frac{a^{2} \sqrt{3 - a^{2}}}{12} (0 < a < \sqrt{3})

.

f^{'} (a) = \frac{6 a - 3 a^{3}}{12 \sqrt{3 - a^{2}}} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} a = 0 \\ a = \sqrt{2} \\ a = - \sqrt{2} \end{array}

BBT:

Dựa vào BBT, ta có

V_{max} = f (\sqrt{2}) = \frac{1}{6} .