43 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Bộ 25 đề thi học kì 1 Toán 12 năm 2022-2023 có đáp án (Đề 2)

Câu 1:

Điểm biểu diễn của số phức z = 7 + bi với $b \in ℝ$ , nằm trên đường thẳng có phương trình là:

A. y = x+ 7

B. y = 7

C. x = 7

D. y = x

Xem đáp án

Đáp án C.

Điểm biểu diễn của số phức z = 7 +bi với $b \in ℝ$ là M(7,b) $b \in ℝ$ .

M(7,b) $b \in ℝ$ thuộc đường thẳng $x = 7 \forall b \in ℝ .$

Câu 2:

Với số phức z thỏa mãn $|z - 2 + i| = 4$ , tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là một đường tròn. Tìm bán kính R của đường tròn đó.

A. R = 8

B. R = 16

C. R = 2

D. R = 4

Xem đáp án

Đáp án D.

Đặt $z = x + y i (x, y \in ℝ) .$ Theo bài ra ta có:

$|x + y i - 2 + i| = 4 \Leftrightarrow {(x - 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 16$

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là một đường tròn có tâm I(2,1) bán kính R = 4

Chú ý và sai lầm: Đường tròn có phương trình ${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = R^{2}$ có tâm I(a,b), bán kính R

Câu 3:

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho các điểm $A (4; 0), B (1; 4)$ và C(1;-1). Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Biết rằng G là điểm biểu diễn số phức z. Mệnh dề nào sau đây là đúng?

A. $z = 3 - \frac{3}{2} i$

B.

z = 3 + \frac{3}{2} i

C.z = 2 -i

D. z = 2 +i

Xem đáp án

Đáp án D.

Ta có: $\{\begin{cases} x_{G} = \frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3} = \frac{4 + 1 + 1}{3} = 2 \\ y_{G} = \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3} = \frac{0 + 4 - 1}{3} = 1 \end{cases} \Rightarrow G (2; 1) .$

Điểm G(2;1)là điểm biểu diễn cho số phức z = 2 + i

Câu 4:

Cho ba số phức $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ phân biệt thỏa mãn $|z_{1}| = |z_{2}| = |z_{3}| = 3$ và $\bar{z_{1}} + \bar{z_{2}} = \bar{z_{3}}$ . Biết $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ lần lượt được biểu diễn bởi các điểm A, B, C trên mặt phẳng phức. Tính góc $∠ A C B$ .

A.

150^{0}

B.

90^{0}

C.

120^{0}

D.

45^{0}

Xem đáp án

Đáp án C.

Cho ba số phức z1,z2,z3 phân biệt thỏa mãn môdun z1= môdun z2= môdun z3= 3 và z1 ngang + z2 ngang = z3 ngang (ảnh 1)

Câu 5:

Tìm nguyên hàm của hàm số $f (x) = x e^{x}$

A. $\int_{}^{} f (x) d x = (x + 1) e^{x} + C$

B.

\int_{}^{} f (x) d x = (x - 1) e^{x} + C

C.

\int_{}^{} f (x) d x = x e^{x} + C

D.

\int_{}^{} f (x) d x = x^{2} e^{x} + C

Xem đáp án

Đáp án B.

$\int f (x) d x = \int x e^{x} d x = \int x d (e^{x})$

$= x e^{x} - \int e^{x} d x = x e^{x} - e^{x} + C = (x - 1) e^{x} + C$

Câu 6:

Cho hai mặt phẳng $(P) : x + m y + (m - 1) z + 1 = 0$ và $(Q) : x + y + 2 z = 0$ . Tập hợp tất cả các giá trị của m để hai mặt phẳng này không song song là:

A. $(0; + \infty)$

B.

R \ \{- 1; 1; 2\}

C.

(- \infty; - 3)

D. R

Xem đáp án

Đáp án D.

$(P) // (Q) \Leftrightarrow \frac{1}{1} = \frac{m}{1} = \frac{m - 1}{2} \neq \frac{1}{2} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m = 1 \\ m = 3 \end{cases} \Rightarrow m \in \emptyset$

$\Rightarrow$ Với mọi giá tri của m thì hai mặt phẳng (P) và (Q) không song song.

Câu 7:

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $A (1; - 2; 3), B (4; 2; 3), C (3; 4; 3)$ . Gọi $(S_{1}), (S_{2}), (S_{3})$ là các mặt cầu có tâm A, B, C và bán kính lần lượt bằng 3, 2, 3. Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng qua điểm $I (\frac{14}{5}; \frac{2}{5}; 3)$ và tiếp xúc với cả 3 mặt cầu $(S_{1}), (S_{2}), (S_{3})$ .

A. 2

B. 7

C. 0

D. 1

Xem đáp án

Đáp án D.

Gọi $\vec{n} = (1; a; b)$ là 1 VTPT của (P), khi đó phương trình (P) là:

$1 (x - \frac{14}{5}) + a (y - \frac{2}{5}) + b (z - 3) = 0 \Leftrightarrow 5 x + 5 a y + 5 b z - 14 - 2 a - 15 b = 0$ .

Theo bài ra ta có:

$\{\begin{cases} d (A; (P)) = 3 \\ d (B; (P)) = 2 \\ d (C; (P)) = 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \frac{|5 - 10 a + 15 b - 14 - 2 a - 15 b|}{\sqrt{25 + 25 a^{2} + 25 b^{2}}} = 3 \\ \frac{|20 + 10 a + 15 b - 14 - 2 a - 15 b|}{\sqrt{25 + 25 a^{2} + 25 b^{2}}} = 2 \\ \frac{|15 + 20 a + 15 b - 14 - 2 a - 15 b|}{\sqrt{25 + 25 a^{2} + 25 b^{2}}} = 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \frac{|- 12 a - 9|}{5 \sqrt{1 + a^{2} + b^{2}}} = 3 \\ \frac{|8 a + 6|}{5 \sqrt{1 + a^{2} + b^{2}}} = 2 \\ \frac{|18 a + 1|}{5 \sqrt{1 + a^{2} + b^{2}}} = 3 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} \frac{|4 a + 3|}{5 \sqrt{1 + a^{2} + b^{2}}} = 1 \\ \frac{|4 a + 3|}{5 \sqrt{1 + a^{2} + b^{2}}} = 1 \\ \frac{|18 a + 1|}{5 \sqrt{1 + a^{2} + b^{2}}} = 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} |4 a + 3| = 5 \sqrt{1 + a^{2} + b^{2}} \\ |18 a + 1| = 15 \sqrt{1 + a^{2} + b^{2}} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} |18 a + 1| = 3 |4 a + 3| \\ |4 a + 3| = 5 \sqrt{1 + a^{2} + b^{2}} \end{cases}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} [\begin{array}{l} 18 a + 1 = 12 a + 9 \\ 18 a + 1 = - 12 a - 9 \end{array} \\ |4 a + 3| = 5 \sqrt{1 + a^{2} + b^{2}} \end{array} \Leftrightarrow \{\begin{cases} [\begin{array}{l} a = \frac{4}{3} \\ a = \frac{- 1}{3} \end{array} \\ |4 a + 3| = 5 \sqrt{1 + a^{2} + b^{2}} \end{cases} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} a = \frac{4}{3} \\ \sqrt{\frac{25}{9} + b^{2}} = \frac{5}{3} \end{cases} \\ \{\begin{cases} a = \frac{- 1}{3} \\ \sqrt{\frac{25}{9} + b^{2}} = \frac{1}{3} (v o n g h i e m) \end{cases} \end{array} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = \frac{4}{3} \\ b = 0 \end{cases}$

Vậy có 1 mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 8:

Giả sử $\int_{0}^{9} f (x) d x = 37$ và $\int_{9}^{0} g (x) d x = 16$ . Khi đó $I = \int_{0}^{9} [2 f (x) + 3 g (x)] d x$ bằng:

A. I = 122

B. I = 26

C. I = 143

D. I = 58

Xem đáp án

Đáp án B.

$I = \int_{0}^{9} [2 f (x) + 3 g (x)] d x = 2 \int_{0}^{9} f (x) d x + 3 \int_{0}^{9} g (x) d x$

$= 2 \int_{0}^{9} f (x) d x - 3 \int_{9}^{0} g (x) d x = 2.37 - 3.16 = 26$

Câu 9:

Cho các số phức $z_{1} = 3 i, z_{2} = - 1 - 3 i, z_{3} = m - 2 i$ . Tập giá trị tham số m để số phức $z_{3}$ có môđun nhỏ nhất trong ba số phức đã cho là:

A. $[- \sqrt{5}; \sqrt{5}]$

B.

(- \sqrt{5}; \sqrt{5})

C.

\{- \sqrt{5}; \sqrt{5}\}

D.

(- \infty; - \sqrt{5}) \cup (\sqrt{5}; + \infty)

Xem đáp án

Đáp án B.

Ta có: $|z_{1}| = 3, |z_{2}| = \sqrt{{(- 1)}^{2} + {(- 3)}^{2}} = \sqrt{10}, |z_{3}| = \sqrt{m^{2} + 4}$

Để số phức $z_{3}$ có môđun nhỏ nhất trong ba số phức đã cho

$\Rightarrow \sqrt{m^{2} + 4} < 3 \Leftrightarrow m^{2} + 4 < 9 \Leftrightarrow m^{2} < 5 \Leftrightarrow - \sqrt{5} < m < \sqrt{5} .$

Câu 10:

Biết rằng tích phân $\int_{0}^{1} (2 x + 1) e^{x} d x = a + b . e$ với $a, b \in ℝ$ , tích ab bằng:

A. 1

B. -1

C. -15

D. 20

Xem đáp án

Đáp án A.

Ta có:

$\int_{0}^{1} (2 x + 1) e^{x} d x = \int_{0}^{1} (2 x + 1) d (e^{x})$

$= (2 x + 1) e^{x} |_{_{_{0}}}^{^{^{1}}} - 2 \int_{0}^{1} e^{x} d x = 3 e - 1 - 2 e^{x} |_{_{_{0}}}^{^{^{1}}} = 3 e - 1 - 2 e + 2 = e + 1$

$\Rightarrow \{\begin{cases} a = 1 \\ b = 1 \end{cases} \Rightarrow a b = 1$

Câu 11:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho H(1,2,3). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm H và cắt các trục tọa độ tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho H là trực tâm tam giác ABC.

A. $(P) : x + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1$

B.

(P) : x + 2 y + 3 z - 14 = 0

C.

(P) : x + y + z - 6 = 0

D.

(P) : \frac{x}{3} + \frac{y}{6} + \frac{z}{9} = 1

Xem đáp án

Đáp án B.

Tứ diện OABC vuông tại O, lại có H là trực tâm tam giác ABC nên $R = I A = \sqrt{1^{2} + 1^{2} + 3^{2}} = \sqrt{11}$

Ta có $\vec{O H} = (1; 2; 3) \Rightarrow (P)$ nhận $\vec{n} = (1; 2; 3)$ là 1 VTPT. Do đó phương trình mặt phẳng (P) là :

$1 (x - 1) + 2 (y - 2) + 3 (z - 3) = 0 \Leftrightarrow x + 2 y + 3 z - 14 = 0.$

Câu 12:

Người ta làm một chiếc phao như hình vẽ (với bề mặt có được bằng cách quay đường tròn (C) quanh trục d). Biết $O I = 30 c m, R = 5 c m$ . Tính thể tích V của chiếc phao.

A. $V = 1500 π^{2} c m^{3}$

B.

V = 9000 π^{2} c m^{3}

C.

V = 1500 π c m^{3}

D.

V = 9000 π^{} c m^{3}

Xem đáp án

Đáp án A.

Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ, phương trình đường tròn là:

$(C) : x^{2} + {(y - 30)}^{2} = 25 \Leftrightarrow {(y - 30)}^{2} = 25 - x^{2} \Leftrightarrow y = \pm \sqrt{25 - x^{2}} + 30$

Khi đó V được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số $\{\begin{cases} y = \sqrt{25 - x^{2}} + 30 \\ y = - \sqrt{25 - x^{2}} + 30 \end{cases}$ quanh quanh trục Ox

$\Rightarrow V = π \int_{- 5}^{5} |{(\sqrt{25 - x^{2}} + 30)}^{2} - {(- \sqrt{25 - x^{2}} + 30)}^{2} |d x = 1500 π^{2} (c m^{3}) .$

Câu 13:

Cho $I = \int_{1}^{2} x \sqrt{4 - x^{2}} d x$ và đặt $t = \sqrt{4 - x^{2}}$ . Khẳng định nào sau đây sai?

A. $I = \sqrt{3}$

B.

I = \frac{t^{2}}{2} |\begin{array}{l} ^{\sqrt{3}} \\ _{0} \end{array}

C.

I = \int_{0}^{\sqrt{3}} t^{2} d t

D.

I = \frac{t^{2}}{3} |\begin{array}{l} ^{\sqrt{3}} \\ _{0} \end{array}

Xem đáp án

Đáp án B.

Đặt $t = \sqrt{4 - x^{2}} \Rightarrow t^{2} = 4 - x^{2} \Rightarrow t d t = - x d x$ và $x^{2} = 4 - t^{2}$

Đổi cận: $\{\begin{cases} x = 1 \Rightarrow t = \sqrt{3} \\ t = 2 \Rightarrow t = 0 \end{cases} .$

$I = \int_{\sqrt{3}}^{0} t^{2} d t = \int_{0}^{\sqrt{3}} t^{2} d t = \frac{t^{3}}{3} |_{_{0}}^{^{\sqrt{3}}} = \sqrt{3} .$

Vậy đáp án B sai.

Câu 14:

Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi đường cong có phương trình $y = \sqrt{x}$ , nửa đường tròn có phương trình $y = \sqrt{2 - x^{2}}$ (với $0 \leq x \leq \sqrt{2}$ ) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của hình (H) bằng:

Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi đường cong có phương trình y = căn x , nửa đường tròn có phương trình y = căn 2 -x^2 (với (ảnh 1)

A. $\frac{3 π + 2}{12}$

B.

\frac{4 π + 2}{12}

C.

\frac{3 π + 1}{12}

D.

\frac{4 π + 1}{6}

Xem đáp án

Đáp án A.

Ta có: $S = \int_{0}^{1} \sqrt{x} d x + \int_{1}^{\sqrt{2}} \sqrt{2 - x^{2}} d x = \frac{2}{3} + \frac{π - 2}{4} = \frac{3 π + 2}{12} .$

Câu 15:

Biết $\int_{}^{} f (u) d y = F (u) + C$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $\int_{}^{} f (2 x - 1) d x = 2 F (2 x - 1) + C$

B.

\int_{}^{} f (2 x - 1) d x = 2 F (x) - 1 + C

C.

\int_{}^{} f (2 x - 1) d x = \frac{1}{2} F (2 x - 1) + C

D.

\int_{}^{} f (2 x - 1) d x = F (2 x - 1) + C

Xem đáp án

Đáp án C.

$\int f (2 x - 1) d x = \frac{1}{2} F (2 x - 1) + C$

Câu 16:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;-2;3) và B(5;4;7). Phương trình mặt cầu nhận AB làm đường kính là:

A. ${(x - 6)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 10)}^{2} = 17$

B.

{(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 17

C.

{(x - 3)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 5)}^{2} = 17

D.

{(x - 5)}^{2} + {(y - 4)}^{2} + {(z - 7)}^{2} = 17

Xem đáp án

Đáp án C.

Gọi I là trung điểm $A B \Rightarrow I (3; 1; 5) .$

Ta có $A B = \sqrt{4^{2} + 6^{2} + 4^{2}} = 2 \sqrt{17} .$

Mặt cầu đường kính AB nhận I(3,1,5)là tâm và có bán kính $R = \frac{A B}{2} = \sqrt{17},$ do đó có phương trình

${(x - 3)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 5)}^{2} = 17$

Câu 17:

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng $(P) : x - y - z + 6 = 0; (Q) : 2 x + 3 y - 2 z + 1 = 0$ . Gọi (S) là mặt cầu có tâm thuộc (Q) và cắt (P) theo giao tuyến là đường tròn có tâm E(-1;2;3), bán kính r = 8. Phương trình mặt cầu (S) là:

A. $x^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 64$

B.

x^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 67

C.

x^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 3

D.

x^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 64

Xem đáp án

Đáp án B.

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x - y - z + 6 = 0, (Q): 2x + 3y - 2z + 1= 0 . Gọi (S) là mặt cầu có tâm thuộc (Q) và cắt (P) theo giao tuyến là đường tròn có tâm , bán kính . Phương trình mặt cầu là: (ảnh 1)

Câu 18:

Cho f(x) là hàm chẵn trên R thỏa mãn $\int_{- 3}^{0} f (x) d x = 2$ . Chọn mệnh đề đúng.

A. $\int_{- 3}^{3} f (x) d x = 4$

B.

\int_{3}^{0} f (x) d x = 2

C.

\int_{3}^{0} f (x) d x = - 2

D.

\int_{- 3}^{3} f (x) d x = 2

Xem đáp án

Đáp án A.

Cho f(x) là hàm chẵn trên R thỏa mãn tích phân từ -3 đến 0 của f(x) dx = 2 . Chọn mệnh đề đúng. (ảnh 1)

Câu 19:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, trong các điểm cho dưới đây, điểm nào thuộc trục Oy?

A. N(2,0,0)

B. Q(0,3,2)

C. P(2,0,3)

D. M(0,-3,0)

Xem đáp án

Đáp án D.

Trong 4 đáp án chỉ có $M (0; - 3; 0) \in O y .$

Câu 20:

Cho số phức z = 3 - 5i. Gọi a, b lần lượt là phần thực và phần ảo của z. Tính S = a+ b

A. S = -8

B. S = 8

C. S = 2

D. S = -2

Xem đáp án

Đáp án D.

$z = 3 - 5 i \Rightarrow Re z = a = 3; Im z = b = - 5 \Rightarrow S = a + b = 3 + (- 5) = - 2.$

Câu 21:

Cho số phức $z_{1} = 1 + 2 i, z_{2} = 3 - i$ . Tìm số phức liên hợp của số phức $w = z_{1} + z_{2}$ .

A.

\bar{w} = 4 - i

B.

\bar{w} = 4 + i

C.

\bar{w} = - 4 + i

D.

\bar{w} = - 4 - i

Xem đáp án

Đáp án A.

Ta có $w = z_{1} + z_{2} = (1 + 2 i) + (3 - i) = 4 + i \Rightarrow \bar{w} = 4 - i .$

Câu 22:

Cho z là một số thuần ảo khác 0. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $\bar{z}$ là số thực

B. Phần ảo của z bằng 0

C.

z = \bar{z}

D.

z + \bar{z} = 0

Xem đáp án

Đáp án D.

Gọi z = a + bi. Do z là một số thuần ảo khác 0 nên $\{\begin{cases} a = 0 \\ b \neq 0 \end{cases} .$

Ta có $\bar{z} = a - b i \Rightarrow z + \bar{z} = a + b i + a - b i = 2 a = 0.$

Vậy mệnh đề D đúng.

Câu 23:

Tích phân $I = \int_{1}^{2} (x^{2} + \frac{x}{x + 1}) d x$ có giá trị là :

A. $I = \frac{10}{3} + \ln 2 - \ln 3$

B.

I = \frac{10}{3} + \ln 2 + \ln 3

C.

I = \frac{10}{3} - \ln 2 + \ln 3

D.

I = \frac{10}{3} - \ln 2 - \ln 3

Xem đáp án

Đáp án A

Cách 1: Tự luận:

$I = \int_{1}^{2} (x^{2} + \frac{x}{x + 1}) d x = \int_{1}^{2} (x^{2} + 1 - \frac{1}{x + 1}) d x = (\frac{x^{3}}{3} + x - \ln |x + 1|) |\begin{array}{l} ^{2} \\ _{1} \end{array}$

$= \frac{14}{3} - \ln 3 - \frac{4}{3} + \ln 2 = \frac{10}{3} - \ln 3 + \ln 2$

Cách 2: Sử dụng MTCT:

Câu 24:

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a,b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = f(x), các đường thẳng x = a, x = b là :

A. $\int_{b}^{a} f (x) d x$

B.

\int_{b}^{a} f (x) d x

C.

\int_{a}^{b} |f (x)| d x

D.

- \int_{a}^{b} f (x) d x

Xem đáp án

Đáp án C

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a,b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = f(x),

các đường thẳng x = a, x =b, là $\int_{a}^{b} |f (x)| d x$ .

Câu 25:

Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A. $\int_{- 2}^{2} f (x) d x = - \int_{0}^{2} [f (x) + f (- x)] d x$

B.

\int_{- 2}^{2} f (x) d x = - 2 \int_{0}^{2} f (x) d x

C.

\int_{- 2}^{2} 2 f (x) d x = 2 \int_{- 2}^{2} f (x) d x

D.

\int_{- 2}^{2} f (x) d x = 2 \int_{0}^{2} f (x) d x

Xem đáp án

Đáp án C

Khẳng định đúng là $\int_{- 2}^{2} 2 f (x) d x = 2 \int_{- 2}^{2} f (x) d x$ .

Câu 26:

Tìm nguyên hàm của hàm số $f (x) = 5^{x}$ ?

A. $\int_{}^{} f (x) d x = 5^{x} \ln 5 + C$

B.

\int_{}^{} f (x) d x = 5^{x} + C

C.

\int_{}^{} f (x) d x = \frac{5^{x}}{\ln x} + C

D.

\int_{}^{} f (x) d x = \frac{5^{x}}{\ln 5} + C

Xem đáp án

Đáp án D

$\int_{}^{} f (x) d x = \frac{5^{x}}{\ln 5} + C$

Câu 27:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $(P) : 2 x + 3 y + 4 z - 5 = 0$ và điểm A(1,-3,1). Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng (P).

A. $d = \frac{8}{9}$

B.

d = \frac{8}{29}

C.

d = \frac{8}{\sqrt{29}}

D.

d = \frac{3}{\sqrt{29}}

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $d = d (A; (P)) = \frac{|2.1 + 3 (- 3) + 4.1 - 5|}{\sqrt{2^{2} + 3^{2} + 4^{2}}} = \frac{8}{\sqrt{29}}$

Câu 28:

Hàm số nào dưới đây là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{1}{x - 1}$ ?

A. $F (x) = - \frac{1}{4} \ln |4 - 4 x| + 3$

B. $F (x) = - \ln |1 - x| + 4$

C.

F (x) = \ln |1 - x| + 2

D.

F (x) = \frac{1}{2} \ln (x^{2} - 2 x + 1) + 5

Xem đáp án

Đáp án B

$\int_{}^{} f (x) d x = \int_{}^{} \frac{d x}{1 - x} = - \ln |1 - x| + C$

Vậy $F (x) = - \ln |1 - x| + 4$ là một nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{1}{x - 1}$ .

Câu 29:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi $(α)$ là mặt phẳng cắt ba trục tọa độ tại ba điểm $A (4; 0; 0); B (0; - 2; 0); C (0; 0; 6)$ . Phương trình mặt phẳng $(α)$ là:

A. $\frac{x}{4} + \frac{y}{- 2} + \frac{z}{6} = 0$

B.

\frac{x}{4} + \frac{y}{- 2} + \frac{z}{6} = 1

C.

\frac{x}{4} + \frac{y}{- 2} + \frac{z}{6} = 1

D.

3 x - 6 y + 2 z - 1 = 0

Xem đáp án

Đáp án C

Phương trình mặt phẳng $(α) : \frac{x}{4} + \frac{y}{- 2} + \frac{z}{6} = 1$

Câu 30:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt phẳng (Oxz) là:

A. x = 0

B. x +z = 0

C. z = 0

D. y = 0

Xem đáp án

Đáp án D

Phương trình mặt phẳng (Oxz): y = 0.

Câu 31:

Tìm hàm số F(x) biết

F^{'} (x) = \sin 2 x

và

F (\frac{π}{2}) = 1

.

A. $F (x) = \frac{1}{2} \cos 2 x + \frac{3}{2}$

B.

F (x) = 2 x - π + 1

C.

F (x) = - \frac{1}{2} \cos 2 x + \frac{1}{2}

D.

F (x) = - \cos 2 x

Xem đáp án

Đáp án C

$F (x) = \int_{}^{} F^{'} (x) d x = \int_{}^{} \sin 2 x d x = - \frac{1}{2} \cos 2 x + C$

$F (\frac{π}{2}) = 1 \Leftrightarrow - \frac{1}{2} \cos π + C = 1 \Leftrightarrow - \frac{1}{2} (- 1) + C = 1 \Leftrightarrow C = \frac{1}{2}$

$\Rightarrow F (x) = - \frac{1}{2} \cos 2 x + \frac{1}{2}$

Câu 32:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(3;2;-1) và đi qua điểm A(2;1;2). Mặt phẳng nào dưới đây tiếp xúc với (S) tại A?

A. $x + y - 3 z - 8 = 0$

B.

x + y - 3 z + 3 = 0

C.

x + y + 3 z - 9 = 0

D.

x - y - 3 z + 3 = 0

Xem đáp án

Đáp án B

Xét đáp án B ta có: $x + y - 3 z + 3 = 0 (P)$

$d (I; (P)) = \frac{|1.3 + 1.2 - 3 (- 1) + 3|}{\sqrt{1 + 1 + 9}} = \frac{11}{\sqrt{11}} = \sqrt{11}$

$R = I A = \sqrt{1^{2} + 1^{2} + 3^{2}} = \sqrt{11}$

$\Rightarrow d (I; (P)) = R$

Do đó mặt phẳng ở đáp án B tiếp xúc với mặt cầu (S).

Câu 33:

Cho đồ thị hàm số y = f(x) như hình vẽ và $\int_{- 2}^{0} f (x) d x = a, \int_{0}^{3} f (x) d x = b$ . Tính diện tích của phần được gạch chéo theo a, b.

Cho đồ thị hàm số y = f(x) như hình vẽ và tích phân từ -2 đến 0 của f(x) dx= a, tích phân từ 0 đến 3 của f(x) dx = b . Tính diện tích của phần được gạch chéo theo a, b. (ảnh 1)

A. $\frac{a + b}{2}$

B. a - b

C. b - a

D. a + b

Xem đáp án

Đáp án B

$S = \int_{- 2}^{3} |f (x)| d x = \int_{- 2}^{0} |f (x)| d x + \int_{0}^{3} |f (x)| d x = \int_{- 2}^{0} f (x) d x - \int_{0}^{3} f (x) d x = a - b$

Câu 34:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho $A (1; 2; 3), B (- 2; 4; 4), C (4; 0; 5)$ . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Biết điểm M nằm trên mặt phẳng (Oxy) sao cho độ dài đoạn thẳng GM ngắn nhất. Tính độ dài đoạn thẳng GM.

A. GM = 4

B. GM = $\sqrt{5}$

C. GM = 1

D. GM = $\sqrt{2}$

Xem đáp án

Đáp án A

G là trọng tâm tam giác $A B C \Rightarrow G (1; 2; 4)$ .

M nằm trên mặt phẳng (Oxy) sao cho độ dài đoạn thẳng GM ngắn nhất khi và chỉ khi $G M ⊥ (O x y)$ . Khi đó $G M = d (G; (O x y)) = |z_{G}| = 4$ .

Câu 35:

Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y = |x|, y = x^{2} - 2$ .

A. $S = \frac{20}{3}$

B.

S = \frac{11}{3}

C. S = 3

D.

S = \frac{13}{3}

Xem đáp án

Đáp án A

Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = môdun x, y = x^2 - 2. (ảnh 1)

Dựa vào đồ thị hàm số ta có: $S = \int_{- 2}^{2} ||x| - x^{2} + 2| d x = \frac{20}{3} /$

Câu 36:

Giá trị nào của a để $\int_{0}^{a} (3 x^{2} + 2) d x = a^{3} + 2$ ?

A. 1

B. 2

C. 0

D. 3

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $\int_{0}^{a} (3 x^{2} + 2) d x = (x^{3} + 2 x) |\begin{array}{l} ^{a} \\ _{0} \end{array} = a^{3} + 2 a = a^{3} + 2 \Leftrightarrow a = 1$

Câu 37:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho $A (1; - 1; 0), B (0; 2; 0), C (2; 1; 3)$ . Tọa độ điểm M thỏa mãn $\vec{M A} - \vec{M B} + \vec{M C} = \vec{0}$ là:

A. (3,2,-3)

B. (3;-2;3)

C. (3;-2;-3)

D. (3;2;3)

Xem đáp án

Đáp án B

Gọi M(a,b,c) ta có $\{\begin{cases} \vec{M A} = (1 - a; - 1 - b; - c) \\ \vec{M B} = (- a; 2 - b; - c) \\ \vec{M C} = (2 - a; 1 - b; 3 - c) \end{cases} \Rightarrow \vec{M A} - \vec{M B} + \vec{M C} = (3 - a; - 2 - b; 3 - c) = \vec{0}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} 3 - a = 0 \\ - 2 - b = 0 \\ 3 - c = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 3 \\ b = - 2 \\ c = 3 \end{cases} \Rightarrow M (3; - 2; 3)$

Câu 38:

Một ô tô đang đi với vận tốc lớn hơn 72km/h, phía trước là đoạn đường chỉ cho phép chạy với tốc độ tối đa là 72km/h, vì thế người lái xe đạp phanh để ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v (t) = 30 - 2 t (m / s)$ , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc bắt đầu đạp phanh đến lúc đạt tốc độ 72km/h, ô tô đã di chuyển quãng đường là bao nhiêu mét?

A. 100m

B. 150m

C. 175m

D. 125m

Xem đáp án

Đáp án D

Khi $v = 72 k m / h = 20 m / s$ ta có: $20 = 30 - 2 t \Leftrightarrow t = 5$ .

Vậy $s = \int_{0}^{5} (30 - 2 t) d t = 125 (m)$ .

Câu 39:

Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y = x^{2} - 2 x, y = 0, x = - 1, x = 2$ quanh quanh trục Ox bằng:

A. $\frac{16 π}{5}$

B.

\frac{17 π}{5}

C.

\frac{18 π}{5}

D.

\frac{5 π}{18}

Xem đáp án

Đáp án C

Xét phương trình hoành độ giao điểm: $x^{2} - 2 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 2 \end{array}$

Khi đó ta có: $V = π |\int_{- 1}^{0} {(x^{2} - 2 x)}^{2} d x| + π |\int_{0}^{2} {(x^{2} - 2 x)}^{2} d x| = \frac{38 π}{15} + \frac{16 π}{15} = \frac{18 π}{5}$ .

Câu 40:

Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng giới hạn bởi Parabol $(P) : y = x^{2}$ và đường thẳng d: y = x xoay quanh trục Ox bằng:

A. $π \int_{0}^{1} x^{2} d x - π \int_{0}^{1} x^{4} d x$

B.

π \int_{0}^{1} x^{2} d x + π \int_{0}^{1} x^{4} d x

C.

π \int_{0}^{1} {(x^{2} - x)}^{2} d x

D.

π \int_{0}^{1} (x^{2} - x) d x

Xem đáp án

Đáp án A

Xét phương trình hoành độ giao điểm: $x^{2} = x \Leftrightarrow x (x - 1) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 1 \end{array}$

$\Rightarrow V = π \int_{0}^{1} |x^{4} - x^{2}| d x$ . Xét trên (0,1) ta có $x^{4} - x^{2} = x^{2} (x^{2} - 1) < 0 \Rightarrow |x^{4} - x^{2}| = x^{2} - x^{4}$

Vậy $V = π \int_{0}^{1} (x^{2} - x^{4}) d x = π \int_{0}^{1} x^{2} d x - π \int_{0}^{1} x^{4} d x$

Câu 41:

Tính tích phân

I = \int_{0}^{1} x {(1 + x)}^{2} d x

Xem đáp án

$I = \int_{0}^{1} x {(1 + x)}^{2} d x = \int_{0}^{1} x (x^{2} + 2 x + 1) d x = \int_{0}^{1} (x^{3} + 2 x^{2} + x) d x$

$= (\frac{x^{4}}{4} + \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2}) |\begin{array}{l} ^{1} \\ _{0} \end{array} = \frac{1}{4} + \frac{2}{3} + \frac{1}{2} = \frac{17}{12}$

Câu 42:

Tìm số phức z thỏa mãn $|z| = 2$ và z là số thuần ảo.

Xem đáp án

Đặt z = a + bi. Theo đề bài ta có $\{\begin{cases} \sqrt{a^{2} + b^{2}} = 2 \\ a = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 0 \\ |b| = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 0 \\ b = \pm 2 \end{cases} \Rightarrow z = \pm 2 i$ .

Câu 43:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho I(2;1;1) và mặt phẳng $(P) : 2 z + y + 2 z + 2 = 0$ . Viết phương trình mặt phẳng qua điểm I và song song với mặt phẳng (P).

Xem đáp án

Gọi (Q) là mặt phẳng qua điểm I và song song với mặt phẳng (P) $\Rightarrow \vec{n_{Q}} = \vec{n_{P}} = (2; 1; 2)$ .

$\Rightarrow p t (Q) : 2 (x - 2) + 1 (y - 1) + 2 (z - 1) = 0 \Leftrightarrow x + y + 2 z - 7 = 0$