50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Bộ 25 đề thi học kì 1 Toán 12 năm 2022-2023 có đáp án (Đề 5)

Câu 1:

Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện $|z - (3 + 2 i)| = 2$ là

A. Đường tròn tâm I(3;2), bán kính R = 2.

B. Đường tròn tâm I(-3;2), bán kính R = 2.

C. Đường tròn tâm I(3;2), bán kính

R = \sqrt{2}

.

D. Đường tròn tâm I(3;- 2), bán kính R = 2.

Xem đáp án

Giả sử $z = a + b i, (a, b \in R)$ có điểm biểu diễn là M(a;b), thỏa mãn điều kiện: $|z - (3 + 2 i)| = 2$

Khi đó, $\sqrt{{(a - 3)}_{}^{2} + {(b - 2)}_{}^{2}} = 2 \Leftrightarrow {(a - 3)}_{}^{2} + {(b - 2)}_{}^{2} = 2_{}^{2}$

Vậy, tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I(3;2), bán kính R = 2.

Chọn: A

Câu 2:

Cho $w = \frac{z_{}^{2} - {(\bar{z})}_{}^{2}}{1 + z . \bar{z}}$ với z là số phức tùy ý cho trước. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. w là số ảo.

B. w = -1

C. w = 1.

D. w là số thực.

Xem đáp án

Giả sử $z = a + b i, (a, b \in R)$

Ta có $w = \frac{z_{}^{2} - {(\bar{z})}_{}^{2}}{1 + z . \bar{z}} = \frac{(a_{}^{2} - b_{}^{2} + 2 b i) - (a_{}^{2} - b_{}^{2} - 2 b i)}{1 + a_{}^{2} + b_{}^{2}} = \frac{4 b i}{1 + a_{}^{2} + b_{}^{2}}$ là số ảo

Chọn: A

Câu 3:

Gọi z1, z2,z3, z4 là các nghiệm phức của phương trình ${(z_{}^{2} + z)}_{}^{2} + 4 (z_{}^{2} + z) - 12 = 0$ . Tính $S = {|z_{1}^{}|}_{}^{2} + {|z_{2}^{}|}_{}^{2} + {|z_{3}^{}|}_{}^{2} + {|z_{4}^{}|}_{}^{2}$

A. S = 18

B. S = 16

C. S = 17

D. S = 15

Xem đáp án

Ta có ${(z_{}^{2} + z)}_{}^{2} + 4 (z_{}^{2} + z) - 12 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} z_{}^{2} + z = 2 \\ z_{}^{2} + z = - 6 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} z_{}^{2} + z - 2 = 0 \\ z_{}^{2} + z + 6 = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} z = 1 \\ z = - 2 \\ z = \frac{- 1 + \sqrt{23} i}{2} \\ z = \frac{- 1 - \sqrt{23} i}{2} \end{array}$

$S = {|z_{1}^{}|}_{}^{2} + {|z_{2}^{}|}_{}^{2} + {|z_{3}^{}|}_{}^{2} + {|z_{4}^{}|}_{}^{2} = 1_{}^{2} + 2_{}^{2} + \frac{1 + 23}{4} .2 = 17$

Chọn: C

Câu 4:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: $\{\begin{cases} x = 1 - t \\ y = 3 \\ z = - 1 + 2 t \end{cases}$ , vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d?

A. $\vec{u_{4}^{}} = (- 1; 3; 2)$

B.

\vec{u_{1}^{}} = (1; 0; - 2)

C.

\vec{u_{2}^{}} = (1; 3; - 1)

D.

\vec{u_{1}^{}} = (1; 0; 2)

Xem đáp án

Đường thẳng $\{\begin{cases} x = 1 - t \\ y = 3 \\ z = - 1 + 2 t \end{cases}$ có một vectơ chỉ phương $\vec{u} = (1; 0; - 2)$ .

Chọn: B

Câu 5:

Cho số phức z = 3+ 4i. Mệnh đề nào dưới đây là sai

A. z là số thực.

B.

\bar{z} = 3 - 4 i

C. Phần ảo của số phức z bằng 4

D.

|z| = 5

Xem đáp án

Mệnh đề sai: z là số thực.

Chọn: A

Câu 6:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm $A (3; - 2; - 2), B (3; 2; 0)$ . Phương trình mặt cầu đường kính AB là:

A. ${(x - 3)}_{}^{2} + y_{}^{2} + {(z + 1)}_{}^{2} = 20$

B.

{(x - 3)}_{}^{2} + y_{}^{2} + {(z + 1)}_{}^{2} = 5

C.

{(x + 3)}_{}^{2} + y_{}^{2} + {(z - 1)}_{}^{2} = 5

D.

{(x + 3)}_{}^{2} + y_{}^{2} + {(z - 1)}_{}^{2} = 20

Xem đáp án

Mặt cầu đường kính AB có tâm I(3;0;-1) là trung điểm của đoạn thẳng AB và bán kính $R = \frac{A B}{2} = \frac{\sqrt{0_{}^{2} + 4_{}^{2} + 2_{}^{2}}}{2} = \sqrt{5}$ , có phương trình ${(x - 3)}_{}^{2} + y_{}^{2} + {(z + 1)}_{}^{2} = 5$

Chọn: B

Câu 7:

Cửa lớn của một trung tâm giải trí có dạng Parabol (như hình vẽ). Người ta dự định lắp cửa kính cường lực 12 ly với đơn giá 800.000 đồng/m2. Tính chi phí để lắp cửa.

A. 9.600.000 đồng

B. 19.200.000 đồng

C. 33.600.000 đồng

D. 7.200.000 đồng

Xem đáp án

Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Giả sử phương trình đường Parabol là: $y = a x_{}^{2} + b x + c, a \neq 0 (P)$

Ta có: $\{\begin{cases} 0 = Invalid <m:msubsup> element a + b (- 3) + c \\ 0 = a {.3}_{}^{2} + b .3 + c \\ 6 = c \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 9 a - 3 b + 6 = 0 \\ 9 a + 3 b + 6 = 0 \\ c = 6 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = - \frac{2}{3} \\ b = 0 \\ c = 6 \end{cases}$

$\Rightarrow (P); y = - \frac{2}{3} x_{}^{2} + 6$

Diện tích làm cửa là: $S = \int_{- 3}^{3} (- \frac{2}{3} x_{}^{2} + 6) d x = {(- \frac{2}{9} x_{}^{3} + 6 x)|}_{- 3}^{3} = (- 6 + 18) - (6 - 18) = 24 (m_{}^{2})$

Chi phí làm cửa là: $24 \times 800 000 = 19 200 000$ (đồng)

Chọn: B

Câu 8:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;-1;1) và hai mặt phẳng $(P) : 2 x - z + 1 = 0, (Q) : y - 2 = 0.$ Viết phương trình mặt phẳng $(α)$ đi qua A và vuông góc với hai mặt phẳng (P), (Q).

A. $(α) : 2 x - y + z - 4 = 0$

B.

(α) : x + 2 z - 4 = 0

C.

(α) : 2 x + y - 4 = 0

D.

(α) : x + 2 y + z = 0

Xem đáp án

Chọn: B

Câu 9:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm $A (0; 0; 1), B (- 1; - 2; 0), C (2; 0; - 1) .$ Tập hợp các điểm M các đều ba điểm A, B, C là đường thẳng $Δ$ . Viết phương trình $Δ$ .

A. $Δ : \{\begin{cases} x = \frac{1}{3} + t \\ y = - \frac{2}{3} + t \\ z = t \end{cases}$

B.

Δ : \{\begin{cases} x = \frac{1}{3} + t \\ y = - \frac{2}{3} - t \\ z = t \end{cases}

C.

Δ : \{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = - \frac{3}{2} + t \\ z = t \end{cases}

D.

Δ : \{\begin{cases} x = \frac{1}{2} + t \\ y = - 1 - t \\ z = - \frac{1}{2} + t \end{cases}

Xem đáp án

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0;0;1); B(-1; -2;0); C( 2;0;-1). Tập hợp các điểm M các đều ba điểm A, B, C là đường thẳng . Viết phương trình . (ảnh 1)

Chọn: D

Câu 10:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $(P) : \frac{x}{2} + \frac{y}{1} + \frac{z}{3} = 1$ , vecto nào dưới đây là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P)?

A. $\vec{n_{1}^{}} (3; 6; 2)$

B.

\vec{n_{3}^{}} (- 3; 6; 2)

C.

\vec{n_{2}^{}} (2; 1; 3)

D.

\vec{n_{4}^{}} (- 3; 6; - 2)

Xem đáp án

$(P) : \frac{x}{2} + \frac{y}{1} + \frac{z}{3} = 1 \Leftrightarrow 3 x + 6 y + 2 z - 6 = 0$ có 1 VTPT $\vec{n_{1}^{}} = (3; 6; 2)$

Chọn: A

Câu 11:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng $(α)$ chứa trục Ox và đi qua điểm M(2;-1;3)

A. $(α) : - y + 3 z = 0$

B.

(α) : 2 x - z + 1 = 0

C.

(α) : x + 2 y + z - 3 = 0

D.

(α) : 3 y + z = 0

Xem đáp án

Mặt phẳng $(α)$ có 1 VTPT $\vec{n} = [\vec{i}; \vec{O M}] = (0; - 3; - 1)$ có phương trình là

$0 - 3 (y - 0) - 1 (z - 0) = 0 \Leftrightarrow 3 y + z = 0$

Chọn: D

Câu 12:

Hàm số f(x) nào dưới đây thỏa mãn $\int f (x) d x = \ln |x + 3| + C$ ?

A. $f (x) = (x + 3) \ln (x + 3) - x$

B.

f (x) = \frac{1}{x + 3}

C.

f (x) = \frac{1}{x + 2}

D.

f (x) = \ln (\ln (x + 3))

Xem đáp án

$\int f (x) d x = \ln |x + 3| + C \Rightarrow f (x) = (\ln |x + 3| + C)' = \frac{1}{x + 3}$

Chọn: B

Câu 13:

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đường cong $y_{}^{2} - 2 y + x = 0$ và đường thẳng x + y - 2 = 0. Tính diện tích S của hình (H)?

A. S = 6

B. S = 14

C.

S = \frac{17}{6}

D.

S = \frac{1}{6}

Xem đáp án

Ta có: $y_{}^{2} - 2 y + x = 0 \Leftrightarrow x = - y_{}^{2} + 2 y; x + y - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2 - y$

Giải phương trình $- y_{}^{2} + 2 y = 2 - y \Leftrightarrow [\begin{array}{l} y = 1 \\ y = 2 \end{array}$

Diện tích cần tìm là:

$\begin{array}{l} S = \int_{1}^{2} |(- y_{}^{2} + 2 y) - (2 - y)| d y = \int_{1}^{2} |(- y_{}^{2} + 3 y - 2)| d y \\ = \int_{1}^{2} (- y_{}^{2} + 3 y - 2) d y = {(- \frac{1}{3} y_{}^{3} + \frac{3}{2} y_{}^{2} - 2 y)|}_{1}^{2} \\ = (- \frac{8}{3} + 6 - 4) - (- \frac{1}{3} + \frac{3}{2} - 2) = \frac{1}{6} \end{array}$

Chọn: D

Câu 14:

Cho số phức $z = a + b i (a, b \in ℝ)$ thỏa mãn $(1 + i) z - \frac{3 + 4 i}{2 - i} = {(1 + i)}_{}^{2}$ . Tính P = 10a + 10b

A. P = -42

B. P = 20

C. P = 4

D. P = 2

Xem đáp án

Ta có:

$\begin{array}{l} (1 + i) z - \frac{3 + 4 i}{2 - i} Invalid <m:msubsup> element = \Leftrightarrow (1 + i) z - \frac{(3 + 4 i) (2 + i)}{5} = - 2 i \\ \Leftrightarrow (1 + i) z - \frac{2 + 11 i}{5} = - 2 i \Leftrightarrow (1 + i) z = - 2 i + \frac{2 + 11 i}{5} \Leftrightarrow (1 + i) z = \frac{2 + i}{5} \\ \Leftrightarrow z = \frac{2 + i}{5 (1 + i)} \Leftrightarrow z = \frac{(2 + i) (1 - i)}{5.2} \Leftrightarrow z = \frac{3}{10} - \frac{1}{10} i \\ \Rightarrow \{\begin{cases} a = \frac{3}{10} \\ b = - \frac{1}{10} \end{cases} \Rightarrow P = 10 a + 10 b = 2 \end{array}$

Chọn: D

Câu 15:

Tìm phần thực a của số phức $z = i_{}^{2} + ... + i_{}^{2019}$

A. a = 1

B.

a = - 2_{}^{1009}

C.

a = 2_{}^{1009}

D. a = -1

Xem đáp án

Nhận xét: Tổng của 4 số hạng liên tiếp trong biểu thức đều bằng 0. Tổng $z = i_{}^{2} + ... + i_{}^{2019}$ có 2018 số hạng (2018 = 4.504 +2) nên $z = i_{}^{2} + ... + i_{}^{2019} = i_{}^{2} + i_{}^{3} + (i_{}^{4} + ... + i_{}^{2019}) = i_{}^{2} + i_{}^{3} + 0 = - 1 - i$

Phần thực của số phức z là: -1

Chọn: D

Câu 16:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng $d_{1}^{} : \{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 0 \\ z = - 5 + t \end{cases}$ và $d_{1}^{} : \{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 0 \\ z = - 5 + t \end{cases}$ . Viết phương trình đường vuông góc chung $Δ$ của d1, d2.

A. $Δ : \frac{x}{2} = \frac{y - 4}{- 3} = \frac{z - 5}{- 2}$

B.

Δ : \frac{x - 4}{2} = \frac{y}{- 3} = \frac{z - 2}{2}

C.

Δ : \frac{x - 1}{22} = \frac{y}{3} = \frac{z + 5}{2}

D.

Δ : \frac{x - 4}{- 2} = \frac{y}{3} = \frac{z + 2}{2}

Xem đáp án

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: x = 1+t; y = 0; z = -5+t và d2: x = 1 +t; y = 0; z = -5+t . Viết phương trình đường vuông góc chung của d1, d2. (ảnh 1)

Chọn: D

Câu 17:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A (- 3; 5; - 5), B (5; - 3; 7)$ và mặt phẳng $(P) : x + y + z = 0$ . Tìm tọa độ của điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho $M A_{}^{2} - 2 M B_{}^{2}$ đạt giá trị lớn nhất.

A. M(-2;1;1)

B. M(2;-1;1)

C. M(6;-18;12)

D. M(-6;18;12)

Xem đáp án

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(-3;5;-5),B(5;-3;7) và mặt phẳng (P): x +y + z = 0 . Tìm tọa độ của điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho đạt giá trị lớn nhất. (ảnh 1)

Chọn: C

Câu 18:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $M (3; 0; 0), N (2; 2; 2)$ . Mặt phẳng (P) thay đổi qua M, N cắt các trục Oy, Oz lần lượt tại B(0;b;0), C(0;0;c) ( $b, c \neq 0$ )

A. b + c =6

B. bc = 3(b + c)

C. bc = b + c

D.

\frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{6}

Xem đáp án

(P) đi qua các điểm $M (3; 0; 0), B (0; b; 0), C (0; 0; c), (b, c \neq 0) \Rightarrow$ Phương trình mặt phẳng (P) là: $\frac{x}{3} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$

Do N(2;2;2) $\in (P) \Rightarrow \frac{2}{3} + \frac{2}{b} + \frac{2}{c} = 1 \Leftrightarrow \frac{2}{b} + \frac{2}{c} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{6}$

Chọn: D

Câu 19:

Cho $I = \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \frac{\cot_{}^{3} x}{\sin_{}^{2} x} d x$ và u = cotx. Mệnh đê nào dưới đây đúng?

A. $I = \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} u_{}^{3} d u$

B.

I = \int_{0}^{1} u_{}^{3} d u

C.

I = - \int_{0}^{1} u_{}^{3} d u

D.

I = \int_{0}^{1} u d u

Xem đáp án

Đặt $u = \cot x \Rightarrow d u = \frac{- 1}{\sin_{}^{2} x} d x$

Đổi cận: $x = \frac{π}{4} \to t = 1; x = \frac{π}{2} \to t = 0$

$I = \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \frac{\cot_{}^{3} x}{\sin_{}^{2} x} d x = - \int_{1}^{0} u_{}^{3} d u = \int_{0}^{1} u_{}^{3} d u$

Chọn: B

Câu 20:

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm liện tục trên [0;2] biết $\int_{0}^{2} f (x) d x = 8$ . Tính $\int_{0}^{3} [f (2 - x) + 1] d x$ .

A. -9

B. 9

C. 10

D. -6

Xem đáp án

Đặt $t = 2 - x \Rightarrow d t = - d x$

Đổi cận: $x = 0 \to t = 2; x = 2 \to t = 0$

Khi đó $I = \int_{0}^{2} f (x) d x = \int_{2}^{0} f (2 - t) (- d t) = \int_{0}^{2} f (2 - t) d t = 8 \Rightarrow \int_{0}^{2} f (2 - x) d x = 8$

$\int_{0}^{2} [f (2 - x) + 1] d x = \int_{0}^{2} f (2 - x) d x + \int_{0}^{2} 1 d x = 8 + {x|}_{0}^{2} = 8 + 2 = 10$

Chọn: C

Câu 21:

Tìm các số thực x, y thỏa mãn $(1 - 3 i) x - 2 y + (1 + 2 y) i = - 3 - 6 i$

A. x = -5;y = -4

B. x = 5; y =4

C. x = 5; y = -4

D. x = -5;y = 4

Xem đáp án

Ta có

$\begin{array}{l} (1 - 3 i) x - 2 y + (1 + 2 y) i = - 3 - 6 i \Leftrightarrow (x - 2 y) + (- 3 x + 1 + 2 y) i = - 3 - 6 i \\ \Leftrightarrow \{\begin{cases} x - 2 y = - 3 \\ - 3 x + 1 + 2 y = - 6 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x - 2 y = - 3 \\ - 3 x + 2 y = - 7 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 5 \\ y = 4 \end{cases} \end{array}$

Chọn: B

Câu 22:

Gọi z1, z2 là hai nghiệm của phức của phương trình $z_{}^{2} + b z + c = 0 (c \neq 0) .$ Tính $P = \frac{1}{z_{1}^{2}} + \frac{1}{z_{2}^{2}}$ theo b,c.

A. $P = \frac{b_{}^{2} - 2 c}{c}$ .

B.

P = \frac{b_{}^{2} + 2 c}{c_{}^{2}}

C.

P = \frac{b_{}^{2} + 2 c}{c}

D.

P = \frac{b_{}^{2} - 2 c}{c_{}^{2}}

Xem đáp án

z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình $z_{}^{2} + b z + c = 0, (c \neq 0) \Rightarrow \{\begin{cases} z_{1}^{} + z_{2}^{} = - b \\ z_{1}^{} z_{2}^{} = c \end{cases}$

$P = \frac{1}{z_{1}^{2}} + \frac{1}{z_{2}^{2}} = \frac{z_{1}^{2} + z_{2}^{2}}{z_{1}^{2} z_{2}^{2}} = \frac{{(z_{1}^{2} + z_{2}^{2})}_{}^{2} - 2 z_{1}^{} z_{2}^{}}{z_{1}^{2} z_{2}^{2}} = \frac{b_{}^{2} - 2 c}{c_{}^{2}}$

Chọn: D

Câu 23:

Tìm các giá trị thực của tham số m để số phức $z = m_{}^{3} + 3 m_{}^{2} - 4 + (m - 1) i$ là số thuần ảo.

A. $[\begin{array}{l} m = 1 \\ m = - 2 \end{array}$

B. m = 1

C. m = - 2

D. m = 0

Xem đáp án

Số phức $z = m_{}^{3} + 3 m_{}^{2} - 4 + (m - 1) i$ là số thuần ảo $\Leftrightarrow m_{}^{3} + 3 m_{}^{2} - 4 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 1 \\ m = - 2 \end{array}$

Chọn: A

Câu 24:

Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp điểm M(x,y) biểu diễn của số phức z = x+ yi $(x, y \in ℝ)$ thỏa mãn $|z - 1 + 3 i| = |z - 2 - i|$ là

A. Đường tròn đường kính AB với A(1;-3), B(2;1)

B. Đường thẳng trung trực của đoạn thẳng AB với A(1;-3), B(2;1)

C. Trung điểm của đoạn thẳng AB với A(1;-3), B(2;1)

D. Đường thẳng trung trực của đoạn thẳng AB với A(-1;-3), B(-2;-1)

Xem đáp án

Ta có $|z - 1 + 3 i| = |z - 2 - i| \Leftrightarrow \sqrt{{(x - 1)}_{}^{2} + {(y + 3)}_{}^{2}} = \sqrt{{(x - 2)}_{}^{2} + {(y - 1)}_{}^{2}}$

$\Rightarrow$ Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z= x +yi $(x, y \in R)$ là đường trung trực của đoạn thẳng AB với A(1;-3), B(2;1).

Chọn: B

Câu 25:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $(S) : {(x + 3)}_{}^{2} + y_{}^{2} + {(z - 2)}_{}^{2} = m_{}^{2} + 4$ . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để mặt cầu (S) tiếp xúc với (Oyz)

A. m = 0

B. m = 2; m = -2

C.

m = \sqrt{5}

D.

m = \sqrt{5}, m = - \sqrt{5}

Xem đáp án

Mặt cầu (S): ${(x + 3)}_{}^{2} + y_{}^{2} + {(z - 2)}_{}^{2} = m_{}^{2} + 4$ có tâm I(-3;0;2), bán kính $R = \sqrt{m_{}^{2} + 4}$

Mặt cầu (S) tiếp xúc với (Oyz) $\Leftrightarrow d (I; (O y z)) = R \Leftrightarrow 3 = \sqrt{m_{}^{2} + 4} \Leftrightarrow m_{}^{2} + 4 = 9 \Leftrightarrow m_{}^{2} = 5 \Leftrightarrow m = \pm \sqrt{5}$

Chọn: D

Câu 26:

Cho $\int_{0}^{\frac{π}{8}} \cos_{}^{2} 2 x d x = \frac{π}{a} + \frac{b}{c}$ với a, b, c là số nguyên dương, $\frac{b}{c}$ tối giản. Tính P = a + b + c

A. P = 15

B. P = 23

C. P = 24

D. P = 25

Xem đáp án

Ta có:

$\begin{array}{l} \int_{0}^{\frac{π}{8}} \cos_{}^{2} 2 x d x = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{8}} (1 + \cos 4 x) d x = {\frac{1}{2} (x + \frac{1}{4} \sin 4 x)|}_{0}^{\frac{π}{8}} \\ = \frac{1}{2} . \frac{π}{8} + \frac{1}{8} \sin \frac{π}{2} = \frac{π}{16} + \frac{1}{8} = \frac{π}{a} + \frac{b}{c} \\ \Rightarrow a = 16, b = 1, c = 8 \Rightarrow P = a + b + c = 25. \end{array}$

Chọn: D

Câu 27:

Cho $I = \int_{0}^{1} \frac{d x}{\sqrt{2 x + a}}$ , với $a > 0$ . Tìm a nguyên để $I \geq 1$

A. a = 1

B. a = 0

C. Vô số giá trị của a.

D. Không có giá trị nào của a

Xem đáp án

Cho I = tích phân từ 0 đến 1 của dx/ căn 2x + a , với a lớn hơn 0 . Tìm a nguyên để I lớn hơn hoặc bằng 1 (ảnh 1)

Chọn: D

Câu 28:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A(-1;0;3) qua mặt phẳng $(P) : x + 3 y - 2 z - 7 = 0$

A. A'(-1;-6;0)

B. A'(0;3;1)

C. A'(1;6;-1)

D. A'(11;0;-5)

Xem đáp án

Giả sử A’(a,b,c) là điểm đối xứng với điểm A(-1;0;3) qua mặt phẳng (P): x + 3y – 2z – 7 = 0

Khi đó, ta có: $\{\begin{cases} \vec{AA'} / / \vec{n_{(P)}^{}} \\ I \in (P) \end{cases}$ , với I là trung điểm AA’

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \frac{a + 1}{1} = \frac{b - 0}{3} = \frac{c - 3}{- 2} \\ (\frac{a - 1}{2}) + 3. \frac{b}{2} - 2. \frac{c + 3}{2} - 7 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \frac{a + 1}{1} = \frac{b}{3} = \frac{c - 3}{- 2} \\ a + 3 b - 2 c = 21 \end{cases} \\ \Rightarrow \frac{a + 1}{1} = \frac{b}{3} = \frac{c - 3}{- 2} = \frac{a + 1 + 3 b - 2 c + 6}{1 + 9 + 4} = \frac{21 + 1 + 6}{14} = 2 \Rightarrow \{\begin{cases} a = 1 \\ b = 6 \\ c = - 1 \end{cases} \Rightarrow A' (1; 6; - 1) \end{array}$

Chọn: C

Câu 29:

Tìm nguyên hàm của hàm số $f (x) = 3_{}^{x}$

A. $\int f (x) d x = \frac{3_{}^{x}}{\ln 3} + C$

B.

\int f (x) d x = \frac{3_{}^{x + 1}}{x + 1} + C

C.

\int f (x) d x = 3_{}^{x} + C

D.

\int f (x) d x = 3_{}^{x} \ln 3 + C

Xem đáp án

f(x) = 3x $\Rightarrow \int f (x) d x = \frac{3_{}^{x}}{\ln 3} + C$

Chọn: A

Câu 30:

Số phức z = 4 - 3i có điểm biểu diễn là

A. M(4;3)

B. M(3;4)

C. M(4;-3)

D. M(-3;4)

Xem đáp án

Số phức z = 4 - 3i có điểm biểu diễn là: M(-3; 4)

Chọn: D

Câu 31:

Tính $I = \int_{- 1}^{1} \frac{x_{}^{3}}{x_{}^{2} + 2} d x$

A. I = 1

B. I = 0

C. I = 3

D. I = -3

Xem đáp án

Đặt t = - x $\Rightarrow d t = - d x$ . Đổi cận $\{\begin{cases} x = 1 \to t = - 1 \\ x = - 1 \to t = 1 \end{cases}$

$I = \int_{1}^{- 1} \frac{- t_{}^{3}}{t_{}^{2} + 2} (- d t) = \int_{- 1}^{1} \frac{- t_{}^{3}}{t_{}^{2} + 2} d t = - \int_{- 1}^{1} \frac{t_{}^{3}}{t_{}^{2} + 2} d t = - I \Leftrightarrow I = 0$

Chọn: B

Câu 32:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $Δ : \frac{x - 3}{2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z}{1}$ và mặt phẳng $(α) : 3 x + 4 y + 5 z + 8 = 0$ . Góc giữa đường thẳng $Δ$ và mặt phẳng $(α)$ có số đo là:

A. 45 $°$

B. 90

°

.

C. 30

°

D. 60

°

Xem đáp án

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng đenta: x -3/2 = y -2/ 1= z/1 và mặt phẳng (alpha): 3x +4y +5z +8 =0 . Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng có số đo là: (ảnh 1)

Chọn: D

Câu 33:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu?

A. $x_{}^{2} + y_{}^{2} + 2 x - 4 y + 10 = 0$

B.

x_{}^{2} + y_{}^{2} + z_{}^{2} + 2 x - 2 y - 2 z - 2 = 0

C.

x_{}^{2} + 2 y_{}^{2} + z_{}^{2} + 2 x - 2 y - 2 z - 2 = 0

D.

x_{}^{2} - y_{}^{2} + z_{}^{2} + 2 x - 2 y - 2 z - 2 = 0

Xem đáp án

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu? (ảnh 1)

Chọn: B

Câu 34:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vật thế nằm giữa hai mặt phẳng x = 0 và x = 3. Biết rằng thiết diện của vật thế cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x $(0 \leq x \leq 3)$ là một hình vuông cạnh là $\sqrt{9 - x_{}^{2}}$ . Tính thể tích V của vật thể

A. V = 171

B.

V = 171 π

C. V = 18

D.

V = 18 π

Xem đáp án

Thể tích cần tìm là $V = \int_{0}^{3} S (x) d x = \int_{0}^{3} (9 - x_{}^{2}) d x = {(9 x - \frac{1}{3} x^{3})|}_{0}^{3} = (27 - 9) - 0 = 18$ .

Chọn: C

Câu 35:

Tìm số phức z thỏa mãn $z + 2 \bar{z} = 2 - 4 i$

A. $z = \frac{2}{3} - 4 i$

B.

z = - \frac{2}{3} + 4 i

C.

z = \frac{2}{3} + 4 i

D.

z = - \frac{2}{3} - 4 i

Xem đáp án

Đặt $z = a + b i, (a, b \in R) \Rightarrow \bar{z} = a - b i$ .

Ta có $z + 2 \bar{z} = 2 - 4 i \Leftrightarrow a + b i + 2 (a - b i) = 2 - 4 i \Leftrightarrow 3 a - b i = 2 - 4 i \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 a = 2 \\ - b = - 4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = \frac{2}{3} \\ b = 4 \end{cases} \Rightarrow z = \frac{2}{3} + 4 i$

Chọn: C

Câu 36:

Biết $\int \frac{{(x - 1)}_{}^{2016}}{{(x + 2)}_{}^{2018}} d x = \frac{1}{a} {(\frac{x - 1}{x + 2})}_{}^{b} + C, x \neq - 2$ , với a, b nguyên dương. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. a < b

B. a = b

C. a = 3b

D. b – a = 4034.

Xem đáp án

Ta có : . $(\frac{x - 1}{x + 2})' = \frac{3}{{(x + 2)}_{}^{2}}$

Khi đó: $\int \frac{{(x + 1)}_{}^{2016}}{{(x + 2)}_{}^{2018}} d x = \int {(\frac{x - 1}{x + 2})}_{}^{2016} . \frac{1}{{(x + 2)}_{}^{2}} d x$

Đặt $t = \frac{x - 1}{x + 2} \Rightarrow d t = \frac{3}{{(x + 2)}_{}^{2}} d x \Leftrightarrow \frac{d x}{{(x + 2)}_{}^{2}} = \frac{d t}{3}$ $\begin{array}{l} \Rightarrow \int \frac{{(x + 1)}_{}^{2016}}{{(x + 2)}_{}^{2018}} d x = \int t_{}^{2016} \frac{d t}{3} = \frac{1}{3} \frac{t_{}^{2017}}{2017} + C = \frac{1}{6051} {(\frac{x - 1}{x + 2})}_{}^{2017} + C \\ \Rightarrow a = 6051, b = 2017 \Rightarrow a = 3 b \end{array}$

Chọn: C

Câu 37:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho $\vec{u} = 2 \vec{i} - 3 \vec{j} - \vec{k}$ , tọa độ của $\vec{u}$ là

A. $\vec{u} = (2; 3; - 1)$

B.

\vec{u} = (2; - 1; 3)

C.

\vec{u} = (2; 3; 1)

D.

\vec{u} = (2; - 3; - 1)

Xem đáp án

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vecto u = 2i - 3j - k , tọa độ của vecto u là (ảnh 1)

Chọn: B

Câu 38:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $\{\begin{cases} x = t \\ y = 1 - t \\ z = - 1 + 2 t \end{cases}$ với mặt phẳng $(α) : x + 3 y + z - 2 = 0$ .Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Đường thẳng d cắt mặt phẳng $(α)$

B. Đường thẳng d cắt mặt phẳng

(α)

C. Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng

(α)

D. Đường thẳng d song song với mặt phẳng

(α)

Xem đáp án

$\vec{u} = 2 \vec{i} - 3 \vec{j} - \vec{k} \Leftrightarrow \vec{u} = (2, - 3, - 1)$

Chọn: D

Câu 39:

Cho hai hàm số $F (x) = (x_{}^{2} + a x + b) e_{}^{x}, f (x) = (x_{}^{2} + 3 x + 4) e_{}^{x}$ . Biết a, b là các số thực để F(x) là một nguyên hàm của f(x). Tính S = a+ b

A. S = - 6

B. S = 12

C. S = 6

D. S = 4

Xem đáp án

F(x) là một nguyên hàm của f(x) $\Rightarrow F' (x) = f (x)$

$((x_{}^{2} + a x + b) e_{}^{x})' = (x_{}^{2} + 3 x + 4) e_{}^{x} \Leftrightarrow (2 x + a) e_{}^{x} + (x_{}^{2} + a x + b) e_{}^{x} = (x_{}^{2} + 3 x + 4) e_{}^{x}$

$\Leftrightarrow (x_{}^{2} + (a + 2) x + a + b) e_{}^{x} = (x_{}^{2} + 3 x + 4) e_{}^{x}, \forall x \Rightarrow \{\begin{cases} a + 2 = 3 \\ a + b = 4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 1 \\ b = 3 \end{cases} \Rightarrow S = a + b = 4$

Chọn: D

Câu 40:

Cho hàm số f(x) xác định trên $(e; + \infty)$ thỏa mãn $f' (x) = \frac{1}{x . \ln x}$ và $f (e_{}^{2}) = 0$ . Tính $f (e_{}^{4})$

A. $f (e_{}^{4}) = \ln 2$

B.

f (e_{}^{4}) = - \ln 2

C.

f (e_{}^{4}) = 3 \ln 2

D.

f (e_{}^{4}) = 2

Xem đáp án

$\begin{array}{l} f' (x) = \frac{1}{x . \ln x} \Rightarrow \int_{e_{}^{2}}^{e_{}^{4}} f' (x) d x = \int_{e_{}^{2}}^{e_{}^{4}} \frac{1}{x . \ln x} d x \Leftrightarrow f (e_{}^{4}) - f (e_{}^{2}) = \int_{e_{}^{2}}^{e_{}^{4}} \frac{1}{\ln x} d x (\ln x) \\ \Leftrightarrow f (e_{}^{4}) - 0 = \ln {|\ln x||}_{e_{}^{2}}^{e_{}^{4}} \Leftrightarrow f (e_{}^{4}) = \ln 4 - \ln 2 \Leftrightarrow f (e_{}^{4}) = \ln 2 \end{array}$

Chọn: A

Câu 41:

Cho hình phẳng (H) (phần gạch chép trong hình vẽ). Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình (H) quanh trục hoành

A. $V = 8 π$

B.

V = 10 π

C.

V = \frac{8 π}{3}

D.

V = \frac{16 π}{3}

Xem đáp án

Thể tích cần tìm là:

$\begin{array}{l} V = π \int_{0}^{2} {(\sqrt{x})}_{}^{2} d x + π \int_{2}^{4} [{(\sqrt{x})}_{}^{2} - {(x - 2)}_{}^{2}] = π \int_{0}^{2} x d x + π \int_{2}^{4} [- x_{}^{2} + 5 x - 4] d x \\ = {\frac{1}{2} π x_{}^{2}|}_{0}^{2} + π {(- \frac{1}{3} x_{}^{3} + \frac{5}{2} x_{}^{2} - 4 x)|}_{2}^{4} = 2 π + π [(- \frac{64}{3} + 40 - 16) - (- \frac{8}{3} + 10 - 8)] = \frac{16}{3} π \end{array}$

Chọn: D

Câu 42:

Cho đồ thị hàm số y = f(x). Diện tích S của hình phẳng (phần tô đen trong hình vẽ) được tính theo công thức nào dưới đây?

A. $S = \int_{- 3}^{0} f (x) d x - \int_{0}^{4} f (x) d x$

B.

S = \int_{- 3}^{4} f (x) d x

C.

S = - \int_{- 3}^{0} f (x) d x + \int_{0}^{4} f (x) d x

D.

S = \int_{- 3}^{1} f (x) d x + \int_{1}^{4} f (x) d x

Xem đáp án

$S = \int_{- 3}^{0} |f (x)| d x = \int_{- 3}^{0} f (x) d x - \int_{0}^{4} f (x) d x$

Chọn: A

Câu 43:

Tìm số thực m > 1 thỏa mãn $\int_{1}^{m} x (2 \ln x + 1) d x = 2 m_{}^{2}$

A. m = e B. m = 2 C. m = 0 D. m = e²

B. m = 2

C. m = 0

D. $m = e^{2}$

Xem đáp án

$\begin{array}{l} \int_{1}^{m} x (2 \ln x + 1) d x = \frac{1}{2} \int_{1}^{m} (2 \ln x + 1) d (x_{}^{2}) = {\frac{1}{2} (2 \ln x + 1) x_{}^{2}|}_{1}^{m} - \frac{1}{2} \int_{1}^{m} (x_{}^{2}) d (2 \ln x + 1) \\ = \frac{1}{2} ((2 \ln m + 1) m_{}^{2} - 1) - \frac{1}{2} \int_{1}^{m} x_{}^{2} \frac{2}{x} d x = \frac{1}{2} (2 m_{}^{2} \ln m + m_{}^{2} - 1) - \int_{1}^{m} x d x \\ = \frac{1}{2} (2 m_{}^{2} \ln m + m_{}^{2} - 1) - {\frac{1}{2} x_{}^{2}|}_{1}^{m} = \frac{1}{2} (2 m_{}^{2} \ln m + m_{}^{2} - 1) - \frac{m_{}^{2}}{2} + \frac{1}{2} = m_{}^{2} \ln m \end{array}$

Mà $\int_{1}^{m} x (2 \ln x + 1) d x = 2 m_{}^{2} \Rightarrow m_{}^{2} \ln m = 2 m_{}^{2} \Leftrightarrow m_{}^{2} (\ln m - 2) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 0 (L) \\ \ln m = 2 \end{array} \Leftrightarrow m = e_{}^{2} (t m)$

Chọn: D

Câu 44:

Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z trên mặt phẳng tọa độ là đường tròn tâm I(0;1), bán kính R =3. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. $|z - 1| = 3$

B.

|z - i| = 3

C.

|z - i| = \sqrt{3}

D.

|z + i| = 3

Xem đáp án

Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z trên mặt phẳng tọa độ là đường tròn tâm I(0;1) bán kính R =3. Khi đó $|z - i| = 3$

Chọn: B

Câu 45:

Phương trình nào dưới đây nhận được hai số phức $- \sqrt{3} i$ và $\sqrt{3} i$ là nghiệm?

A. $z_{}^{2} + 5 = 0$

B.

z_{}^{2} + 3 = 0

C.

z_{}^{2} + 9 = 0

D.

z_{}^{2} + \sqrt{3} = 0

Xem đáp án

Phương trình $(z - \sqrt{3} i) (z + \sqrt{3} i) = 0 \Leftrightarrow$ $z_{}^{2} + 3 = 0$ nhận được hai số phức $- \sqrt{3} i$ và $\sqrt{3} i$ là nghiệm

Chọn: B

Câu 46:

Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn $|z_{1}^{} - 1 + i| = 1$ và $z_{2}^{} = 2 i z_{1}^{}$ . Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu thức $P = |2 z_{1}^{} - z_{2}^{}|$

A. $P_{\min}^{} = 2 - \sqrt{2}$

B.

P_{\min}^{} = 8 - \sqrt{2}

C.

P_{\min}^{} = 2 - 2 \sqrt{2}

D.

P_{\min}^{} = 4 - 2 \sqrt{2}

Xem đáp án

Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn môdun z1 -1 +i = 1 và z2 = 2iz1 . Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu thức P= môdun 2z1 - z2 (ảnh 1)

Chọn: D

Câu 47:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A (3; 2; 1), M (3; 0; 0)$ và mặt phẳng $(P) : x + y + z - 3 = 0.$ Đường thẳng $Δ$ đi qua điểm M, nằm trong mặt phẳng (P) sao cho khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng $Δ$ là nhỏ nhất. Gọi vectơ $\vec{u} (a, b, c)$ là một vectơ chỉ phương của $Δ$ (a, b, c là các số nguyên với ước chung lớn nhất là 1). Tính P = a + b + c

A. -1

B. 1

C. 2

D. 0

Xem đáp án

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3,2,1),M(3;0;0) và mặt phẳng (P):x +y +z - 3 = 0. Đường thẳng (ảnh 1)

Chọn: D

Câu 48:

Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn $|z_{1}^{}| = \sqrt{2}, |z_{2}^{}| = 2.$ Gọi M, N lần lượt là các điểm biểu diễn của số phức z1, z2. Biết góc tạo bởi $\vec{O M}, \vec{O N}$ bằng 450. Tính giá trị biểu thức $P = |\frac{z_{1}^{} + z_{2}^{}}{z_{1}^{} - z_{2}^{}}|$

A. $P = \sqrt{5}$

B.

P = \frac{1}{\sqrt{5}}

C.

P = \frac{2 + \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}

D.

P = \frac{2 + \sqrt{2}}{\sqrt{2} - 2}

Xem đáp án

Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn môdun z1 = căn 2, môdun z2 = 2. Gọi M, N lần lượt là các điểm biểu diễn của số phức z1, z2 (ảnh 1)

Chọn: A

Câu 49:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho hai điểm $M (1; 0; 2), N (1; - 1; - 1)$ và mặt phẳng $(P) : x + 2 y - z + 2 = 0.$ Một mặt cầu đi qua M, N, tiếp xúc mặt phẳng (P) tại điểm E. Biết E luôn thuộc một đường tròn cố định, tìm bán kính của đường tròn đó.

A.

R = \frac{\sqrt{10}}{2}

B.

R = \sqrt{10}

C. R = 10

D.

R = 2 \sqrt{5}

Xem đáp án

Gọi I là giao điểm của đường thẳng MN và mặt phẳng (P). Khi đó IE là tiếp tuyến của mặt cầu (S) đã cho và IM.IN=IE2

Ta có $M (1; 0; 2), N (1; - 1; - 1) \Rightarrow \vec{M N} = (0; - 1; - 3)$

Phương trình đường thẳng MN là: $\{\begin{cases} x = 1 \\ y = t \\ z = 2 + 3 t \end{cases}$

Giả sử $I (1; t; 2 + 3 t), I \in (P) \Rightarrow 1 + 2 t - 2 - 3 t + 2 = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow I (1; 1; 5)$

$\Rightarrow I M = \sqrt{0 + 1 + 9} = \sqrt{10}, I N = \sqrt{0 + 4 + 36} = 2 \sqrt{10}, I E_{}^{2} = I M . I N = \sqrt{10} .2 \sqrt{10} = 20 \Rightarrow I E = 2 \sqrt{5}$

Vậy, E luôn thuộc một đường tròn cố định có bán kính $R = 2 \sqrt{5}$

Chọn: D

Câu 50:

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên R và thỏa mãn $f (x) > 0, \forall x \in R$ . Biết f(0) =1 và $f' (x) = (6 x - 3 x_{}^{2}) f (x)$ .Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình f(x) = m có nghiệm duy nhất.

A. $[\begin{array}{l} m > e_{}^{4} \\ 0 < m < 1 \end{array}$

B.

1 < m < e_{}^{4}

C.

[\begin{array}{l} m > e_{}^{4} \\ m < 1 \end{array}

D.

1 \leq m \leq e_{}^{4}

Xem đáp án

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên R và thỏa mãn f(x) lớn hơn 0 , với mọi x thuộc R . Biết f(0) =1 (ảnh 1)

Chọn: A