IMG-LOGO
Trang chủ Lớp 12 Toán Bộ 25 đề thi học kì 1 Toán 12 năm 2022-2023 (tiếp theo) có đáp án

Bộ 25 đề thi học kì 1 Toán 12 năm 2022-2023 (tiếp theo) có đáp án

Bộ 25 đề thi học kì 1 Toán 12 năm 2022-2023 (tiếp theo) - Đề 29 có đáp án

  • 2104 lượt thi

  • 60 câu hỏi

  • 90 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Tìm khoảng nghịch biến của hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} + 2\)

Xem đáp án

Đáp án C

Phương pháp:

Xác định khoảng mà tại đó \(y' \le 0\), dấu “=” xảy ra ở hữu hạn điểm.

Cách giải:

\(y = {x^3} + 3{x^2} + 2 \Rightarrow y' = 3{x^2} + 6x\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 2\end{array} \right.\)

Bảng xét dấu y’:

Tìm khoảng nghịch biến của hàm số y = x^3 + 3x^2 + 2 A. (2; + vô cùng) B. (0; 2)C. (-2; 0) (ảnh 1)

Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 2;0} \right)\) 2


Câu 2:

Hình đa diện đều nào dưới đây không có tâm đối xứng?

Hình đa diện đều nào dưới đây không có tâm đối xứng A. Hình bát diện đều. B. Hình lập phương. (ảnh 1)
Xem đáp án

Đáp án C

Phương pháp:

Dựa vào khái niệm tâm đối xứng của khối đa diện.

Cách giải:

Hình tứ diện đều không có tâm đối xứng.


Câu 3:

Cho tam giác đều ABC có đường cao AI. Khi tam giác ABC quay quanh trục là đường thẳng AI một góc \({360^0}\) thì các cạnh của tam giác ABC sinh ra hình gì?
Xem đáp án

Đáp án B

Phương pháp:

Dựa vào khái niệm khối nón.

Cách giải:

Khi tam giác ABC quay quanh trục là đường thẳng AI một góc \({360^0}\) thì các cạnh của tam giác ABC sinh ra một hình nón.


Câu 4:

Giải phương trình \({\log _2}\left( {2 + x} \right) = 2\)

Xem đáp án

Đáp án D

Phương pháp: \({\log _a}x = b \Leftrightarrow x = {a^b}\left( {0 < a \ne 1;\,\,x > 0} \right)\)

Cách giải: \({\log _2}\left( {2 + x} \right) = 2 \Leftrightarrow 2 + x = {2^2} \Leftrightarrow x = 2\)


Câu 5:

Tìm giá trị cực tiểu \({y_{CT}}\) của hàm số \(y = - {x^4} + 2{x^2} + 2\)

Xem đáp án

Đáp án A

Phương pháp:

+) Tính y’ và giải phương trình \(y' = 0\)

+) Lập bảng xét dấu của y’ và rút ra kết luận.

+) Điểm \(x = {x_0}\) được gọi là điểm cực tiểu của hàm số khi và chỉ khi qua điểm đó y’ đổi dấu từ âm sang dương.

Cách giải: \(y = - {x^4} + 2{x^2} + 2 \Rightarrow y' = - 4{x^3} + 4x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm 1\end{array} \right.\)

Bảng xét dấu y’:

Tìm giá trị cực tiểu yCT của hàm số y = -x^4 + 2x^2 + 2 A. yCT = 2 B. yCT = 1 C. yCT = -2 (ảnh 1)

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 0\), giá trị cực tiểu \({y_{CT}} = y\left( 0 \right) = 2\)


Câu 6:

Cho tấm tôn hình chữ nhật quay quanh trục là đường thẳng chứa một cạnh của tấm tôn một góc \({360^0}\) ta được một vật tròn xoay nào dưới đây?

Xem đáp án

Đáp án C

Phương pháp:

Dựa vào khái niệm khối trụ.

Cách giải:

Cho tấm tôn hình chữ nhật quay quanh trục là đường thẳng chứa một cạnh của tấm tôn một góc 0 360 ta được một

khối trụ.


Câu 7:

Tìm tập xác định D của hàm số \(y = {\left( {1 + x} \right)^{\frac{1}{3}}}\)
Xem đáp án

Đáp án A

Phương pháp:

Tập xác định của hàm số \(y = {x^\alpha }\):

+) Nếu \(\alpha \) là số nguyên dương thì TXĐ: \(D = \mathbb{R}\)

+) Nếu \(\alpha \) là số nguyên âm hoặc bằng 0 thì TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\)

+) Nếu \(\alpha \) là số không nguyên thì TXĐ: \(D = \left( {0; + \infty } \right)\)

Cách giải:

\(y = {\left( {1 + x} \right)^{\frac{1}{3}}}\) : Điều kiện xác định: \(x + 1 > 0 \Leftrightarrow x > - 1\)

TXĐ: \(D = \left( { - 1; + \infty } \right)\)


Câu 8:

Phương trình \({2^{2{x^2} - 3x + 1}} = 1\) có bao nhiêu nghiệm?

Xem đáp án

Đáp án B

Phương pháp: \({a^x} = b \Leftrightarrow x = {\log _a}b\,\,\left( {0 < a \ne 1;\,\,b > 0} \right)\)

Cách giải: \({2^{2{x^2} - 3x + 1}} = 1 \Leftrightarrow 2{x^2} - 3x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \frac{1}{2}\end{array} \right.\)

Vậy, phương trình đã cho có 2 nghiệm.


Câu 9:

Tính đạo hàm của hàm số \(y = {5^{3x + 1}}\)

Xem đáp án

Đáp án D

Phương pháp: \(y = {a^{u.x}} \Rightarrow y' = {a^{u.x}}.\ln a.\left( {u.x} \right)'\)

Cách giải: \(y = {5^{3x + 1}} \Rightarrow y' = {5^{3x + 1}}.\ln 5.3 = {3.5^{3x + 1}}\ln 5\)


Câu 10:

Tính giá trị nhỏ nhất M của hàm số \(y = - {x^3} + 3{x^2} + 2\) trên đoạn \(\left[ {1;3} \right]\)

Xem đáp án

Đáp án B

Phương pháp:

- Tìm TXĐ

- Tìm nghiệm và các điểm không xác định của y’.

- Tính giá trị của hàm số tại các điểm trên, từ đó đánh giá giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ {1;3} \right]\)

Cách giải:

\(y = - {x^3} + 3{x^2} + 2 \Rightarrow y' = - 3{x^2} + 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\left( L \right)\\x = 2\end{array} \right.\)

Ta có: \(y\left( 1 \right) = 4,\,\,y\left( 2 \right) = 6,\,\,y\left( 3 \right) = 2 \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {1;3} \right]} = 2\)


Câu 11:

Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê (ảnh 1)
Xem đáp án

Đáp án A

Phương pháp:

Nhận biết dạng của hàm số bậc ba và hàm số bậc 4 trùng phương.

Cách giải:

Quan sát đồ thị hàm số, ta thấy: đồ thị hàm số không phải đồ thị của hàm số bậc 4 trùng phương \( \Rightarrow \) Loại phương án C

Khi \(x \to + \infty \) thì nên \(a > 0 \Rightarrow \) Loại phương án B

Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị, trong đó 1 cực trị tại \(x = 0\), 1 cực trị tại \(x = {x_0} > 0\)

Xét \(y = {x^3} + 3{x^2} + 2 \Rightarrow y' = 3{x^2} + 6x,\,\,\,y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 2 < 0\end{array} \right. \Rightarrow \) Loại phương án D


Câu 12:

Cho đường tròn quay quanh một đường thẳng đi qua tâm đường tròn đó một góc \({360^0}\) ta được hình gì?
Xem đáp án

Đáp án A

Phương pháp:

Dựa vào khái niệm khối cầu.

Cách giải:

Cho đường tròn quay quanh một đường thẳng đi qua tâm đường tròn đó một góc \({360^0}\) ta được hình là một mặt cầu.


Câu 13:

Biết đường thẳng \(y = x - 1\) cắt đồ thị hàm số \(y = \frac{{3x + 1}}{{x - 1}}\) tại hai điểm phân biệt A, B có hoành độ lần lượt là \({x_A},\,{x_B},\,\,{x_A} < {x_B}\). Hãy tính tổng \(2{x_A} + 3{x_B}\)

Xem đáp án

Đáp án B

Phương pháp:

Giải phương trình hoành độ giao điểm, từ đó tính tổng \(2{x_A} + 3{x_B}\)

Cách giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng \(y = x - 1\) và đồ thị hàm số \(y = \frac{{3x + 1}}{{x - 1}}\)

\(\frac{{3x + 1}}{{x - 1}} = x - 1,\,\,\,x \ne 1 \Leftrightarrow 3x + 1 = {\left( {x - 1} \right)^2} \Leftrightarrow {x^2} - 5x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 5\end{array} \right.\)

Do \({x_A} < {x_B}\) nên \({x_A} = 0,\,\,{x_B} = 5 \Rightarrow 2{x_A} + 3{x_B} = 15\)


Câu 14:

Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}\)

Xem đáp án

Đáp án C

Phương pháp:

Hàm số bậc nhất trên bậc nhất \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\) có 1 TCĐ là \(x = \frac{{ - d}}{c}\) và 1 TCN là \(y = \frac{a}{c}\)

Cách giải:

Đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}\) có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là \(x = - 1;\,\,y = 2\)


Câu 15:

Hình đa diện bên có bao nhiêu mặt?

Hình đa diện bên có bao nhiêu mặt A. 6 B. 10 C. 11 D. 12 (ảnh 1)
Xem đáp án

Đáp án C

Phương pháp:

Đếm các mặt của đa diện.

Cách giải:

Hình đa diện bên có 11 mặt.


Câu 16:

Tìm giá trị lớn nhất M và nhỏ nhất m của hàm số \(y = \sin 2x - {\cos ^2}2x + 1\)

Xem đáp án

Đáp án C

Phương pháp:

Đặt \(\sin 2x = t,\,\,t \in \left[ { - 1;1} \right]\), khảo sát, tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của hàm số với ẩn là t.

Cách giải: \(y = \sin 2x - {\cos ^2}2x + 1 = {\sin ^2}2x + \sin 2x\)

Đặt \(\sin 2x = t,\,\,t \in \left[ { - 1;1} \right]\), ta có: \(y = {t^2} + t = f\left( t \right),\,\,\,y' = 2t + 1,\,\,\,y' = 0 \Leftrightarrow t = - \frac{1}{2}\)

Ta có: \(f\left( { - 1} \right) = 0,\,\,f\left( { - \frac{1}{2}} \right) = - \frac{1}{4},\,\,\,f\left( 1 \right) = 2 \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} y = - \frac{1}{4},\,\,\,\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} y = 2\) hay \(M = 2;\,\,\,m = - \frac{1}{4}\)


Câu 17:

Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn (ảnh 1)
Xem đáp án

Đáp án A

Phương pháp:

Loại trừ từng đáp án.

Cách giải:

+) Đồ thị hàm số \(y = {x^4}\) có dạng là hình parabol \( \Rightarrow \) Loại phương án B

+) \(y = {x^{\sqrt 2 }}\) cos TXDD: \(D = \left( {0; + \infty } \right) \Rightarrow \) Loại phương án C

+) Đồ thị hàm số \(y = {2^x}\) luôn đồng biến trên R \( \Rightarrow \) Loại phương án D


Câu 18:

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { \pm 1} \right\}\), liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên hình bên. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình \(f\left( x \right) = m + 1\) vô nghiệm.

Cho hàm số y = f(x) xác định trên R\{+ - 1}, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng (ảnh 1)
Xem đáp án

Đáp án A

Phương pháp:

Số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = m + 1\) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = m + 1\)

Cách giải:

Phương trình \(f\left( x \right) = m + 1\) vô nghiệm \( \Leftrightarrow - 2 \le m + 1 < 1 \Leftrightarrow - 3 \le m < 0\)


Câu 19:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, biết \(SA \bot \left( {ABC} \right),\,\,SA = a,\,\,AB = 2a,\,\,AC = 3a\). Tính bán kính r của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.

Xem đáp án

Đáp án D

Phương pháp:

S.ABC là tứ diện vuông là một phần của hình hộp chữ nhật SB’D’C’.ABCD (như hình vẽ bên), có tâm mặt cầu ngoại tiếp trùng với tâm của hình hộp chữ nhật, có bán kính bằng nửa đường chéo của hình hộp chữ nhật (độ dài các cạnh là a, b, c) bằng \(r = \frac{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}{2}\)

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, biết SA vuông góc (ABC), SA = a, AB = 2a, AC = 3a (ảnh 1)

Cách giải:

Bán kính r của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC  : \(r = \frac{{\sqrt {S{A^2} + B{A^2} + C{A^2}} }}{2} = \frac{{\sqrt {{a^2} + {{\left( {2a} \right)}^2} + {{\left( {3a} \right)}^2}} }}{2} = \frac{{a\sqrt {14} }}{2}\)


Câu 20:

Tính diện tích xung quanh \({S_{xq}}\) của hình trụ có đường cao \(h = 2a\) và thể tích \(V = 8\pi {a^3}\)

Xem đáp án

Đáp án C

Phương pháp:

Diện tích xung quanh \({S_{xq}}\) của hình trụ: \({S_{xq}} = 2\pi rh\)

Thể tích của hình trụ: \(V = \pi {r^2}h\)

Cách giải:

Hình trụ có \(V = 8\pi {a^3} \Leftrightarrow \pi {r^2}h = 8\pi {a^3} \Leftrightarrow \pi {r^2}.2a = 8\pi {a^3} \Leftrightarrow {r^2} = 4{a^2} \Leftrightarrow r = 2a\)

Diện tích xung quanh \({S_{xq}}\) của hình trụ: \({S_{xq}} = 2\pi rh = 2\pi rh = 2\pi .2a.2a = 8\pi {a^2}\)


Câu 21:

Phương trình \({9^{2x + 3}} = {27^{4 + x}}\) tương đương với phương trình nào sau đây?

Xem đáp án

Đáp án C

Phương pháp:

Hai phương trình tương đương là hai phương trình có cùng tập nghiệm.

Cách giải:

\({9^{2x + 3}} = {27^{4 + x}} \Leftrightarrow {3^{2\left( {2x + 3} \right)}} = {3^{3\left( {4 + x} \right)}} \Leftrightarrow 4x + 6 = 12 + 3x \Leftrightarrow x - 6 = 0\)


Câu 22:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho hàm số \(y = \frac{1}{{\sqrt {{{\log }_2}\left( {{x^2} - 2x + 2m} \right)} }}\) có tập xác định là R.

Xem đáp án

Đáp án A

Phương pháp:

\({\log _a}x\) xác định \( \Leftrightarrow x > 0\)

\(\sqrt A \) xác định \( \Leftrightarrow A \ge 0\)

\(\frac{1}{A}\) xác định \( \Leftrightarrow A \ne 0\)

Cách giải:

Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{array}{l}{\log _2}\left( {{x^2} - 2x + 2m} \right) > 0\\{x^2} - 2x + 2m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 2m > 1 \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 2m - 1 > 0\)

Để hàm số có tập xác định là R thì

\({x^2} - 2x + 2m - 1 > 0,\,\,\,\forall x \in R \Leftrightarrow \Delta ' < 0 \Leftrightarrow 1 - 2m + 1 < 0 \Leftrightarrow m > 1\)


Câu 23:

Số tuổi của An và Bình là các nghiệm của phương trình \(\frac{1}{{5 - {{\log }_3}x}} + \frac{2}{{1 + {{\log }_3}x}} = 1\). Tính tổng số tuổi của An và Bình.
Xem đáp án

Đáp án A

Phương pháp:

+) Tìm TXĐ.

+) Đặt \({\log _3}x = t\), quy đồng, giải phương trình ẩn t, từ đó suy ra nghiệm x.

Cách giải:

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\{\log _3}x \ne 5\\{\log _3} \ne - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x \ne {3^5}\\x \ne \frac{1}{3}\end{array} \right.\)

Đặt \({\log _3}x = t\,\,\left( {t \ne 5,\,\,t \ne - 1} \right)\). Khi đó, phương trình \(\frac{1}{{5 - {{\log }_3}x}} + \frac{2}{{1 + {{\log }_3}x}} = 1\) trở thành:

\(\frac{1}{{5 - t}} + \frac{2}{{1 + t}} = 1 \Leftrightarrow 1 + t + 10 - 2t = 5 + 5t - t - {t^2} \Leftrightarrow {t^2} - 5t + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2\\t = 3\end{array} \right.\left( {tm} \right)\)

\(t = 2 \Rightarrow {\log _3}x = 2 \Leftrightarrow x = 9\)

\(t = 3 \Rightarrow {\log _3}x = 3 \Leftrightarrow x = 27\)

Tổng số tuổi của An và Bình là: \(9 + 27 = 36\) (tuổi)


Câu 24:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng \(a\sqrt 3 \), góc \(ASB = {60^0}\). Tính thể tích của khối nón đỉnh S có đáy là đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD.

Xem đáp án

Đáp án B

Phương pháp: \({V_{n\'o n}} = \frac{1}{3}\pi {R^2}h\)

Cách giải:
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a căn bậc hai 3, góc ASB = 60 độ (ảnh 1)

S.ABCD là chóp tứ giác đều \( \Rightarrow \) ABCD là hình vuông

\(BD = AB\sqrt 2 = a\sqrt 3 .\sqrt 2 = a\sqrt 6 \Rightarrow r = OB = \frac{{BD}}{2} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\)

Tam giác SAB có: \(SA = AB,\,\,\,ASB = {60^0} \Rightarrow \Delta ASB\) đều \( \Rightarrow SA = SB = a\sqrt 3 \)

\( \Rightarrow SB = SD = AD = AB = a\sqrt 3 \)

\( \Rightarrow \Delta SBD = ABD\left( {c.c.c} \right) \Rightarrow SO = OA = OB = OD = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\)

Thể tích của khối nón đỉnh S có đáy là đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD:

\(V = \frac{1}{3}\pi {R^2}h = \frac{1}{3}\pi .O{A^2}.SO = \frac{1}{3}\pi .{\left( {\frac{{a\sqrt 6 }}{2}} \right)^3} = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 6 }}{4}\)


Câu 25:

Tính thể tích khối chóp S.MNP biết \(SM = a\sqrt 3 \), \(\Delta MNP\) đều, \(\Delta SMN\) vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy.

Xem đáp án

Đáp án B

Phương pháp:

+) Gọi I là trung điểm của MN \( \Rightarrow SI \bot \left( {MNP} \right)\)

+) Tính diện tích tam giác MNP.

Tính thể tích khối chóp S.MNP biết SM = a căn bậc hai 3, tam giác MNP đều, tam giác SMN (ảnh 1)

+) \({V_{S.MNP}} = \frac{1}{3}SI.{S_{MNP}}\)

Cách giải:

\(\Delta SMN\) vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy, gọi I là trung điểm của MN \( \Rightarrow SI \bot \left( {ABC} \right)\)\(SI = \frac{{SM}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{a\sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }}\)

\(MN = 2SI = 2.a\sqrt {\frac{3}{2}} = a\sqrt 6 \)

\(\Delta MNP\) đều \( \Rightarrow {S_{MNP}} = \frac{{M{N^2}.\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{{\left( {a\sqrt 6 } \right)}^2}.\sqrt 3 }}{4} = \frac{{3\sqrt 3 {a^2}}}{2}\)

Thể tích khối chóp S.MNP là: \(V = \frac{1}{3}.{S_{MNP}}.SI = \frac{1}{3}.\frac{{3\sqrt 3 {a^2}}}{2}.\frac{{\sqrt 3 a}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{3\sqrt 2 {a^3}}}{4}\)


Câu 26:

Cho hàm số \(y = \frac{{3x - 4}}{{x + 1}}\). Khẳng định nào sau đây sai?

Xem đáp án

Đáp án C

Phương pháp:

Dựa vào các đường tiệm cận của đồ thị hàm số và tính đơn điệu của đồ thị hàm số.

Cách giải:

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = - 1\) và tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = 4\) là khẳng định sai. (do Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = - 1\) và tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = 3\)).

Câu 27:

Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C' . Gọi M là trung điểm của AA' . Mặt phẳng \(\left( {BCM} \right)\) chia khối lăng trụ ABC.A'B'C' thành hai khối. Tính tỉ số thể tích (số lớn chia số bé) của hai khối đó.

Xem đáp án

Đáp án D

Phương pháp:

Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C' . Gọi M là trung điểm của AA' . Mặt phẳng (BCM) chia khối lăng (ảnh 1)

Lập tỉ lệ thể tích của hai khối trên với thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C' .

Cách giải:

Đặt \({V_{ABC.A'B'C'}} = V\). Khi đó: \(\frac{{{V_{M.ABC}}}}{V} = \frac{1}{3}.\frac{1}{2} = \frac{1}{6} \Rightarrow {V_{M.ABC}} = \frac{V}{6}\)

\( \Rightarrow {V_{MBC.A'B'C'}} = V - \frac{V}{6} = \frac{{5V}}{6} \Rightarrow \frac{{{V_{MBC.A'B'C'}}}}{{{V_{M.ABC}}}} = \frac{{\frac{{5V}}{6}}}{{\frac{V}{6}}} = 5\)


Câu 28:

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {x^2}{\left( {x - 1} \right)^3}\left( {x + 1} \right)\). Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

Xem đáp án

Đáp án D

Phương pháp:

Xác định số điểm mà tại đó \(f'\left( x \right)\) đổi dấu

Cách giải:

\(f'\left( x \right) = {x^2}{\left( {x - 1} \right)^3}\left( {x + 1} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x = - 1\end{array} \right. \Leftarrow f'\left( x \right)\) đổi dấu tại 2 điểm \(x = 1,\,\,x = - 1\). Do đó, hàm số có 2 điểm cực trị.


Câu 29:

Cho a, b là hai số dương khác 1. Đặt \({\log _a}b = m\). Tính theo m giá trị của biểu thức \(P = {\log _a}b - {\log _{\sqrt b }}{a^3}\)

Xem đáp án

Đáp án B

Phương pháp: \({\log _{{a^c}}}b = \frac{1}{c}{\log _a}b;\,\,\,{\log _a}{b^c} = c{\log _a}b\)

Cách giải:

\(P = {\log _a}b - {\log _{\sqrt b }}{a^3} = {\log _a}b - \frac{3}{{\frac{1}{2}}}{\log _b}a = {\log _a}b - 6{\log _b}a = {\log _a}b - \frac{6}{{{{\log }_a}b}} = m - \frac{6}{m} = \frac{{{m^2} - 6}}{m}\)


Câu 30:

Tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y = \frac{{5x + 11}}{{\sqrt {3{x^2} + 2017} }}\)

Xem đáp án

Đáp án C

Phương pháp:

* Định nghĩa tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\)

Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = a\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = a \Rightarrow y = a\)là TCN của đồ thị hàm số.

* Định nghĩa tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\)

Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right) = - \infty \) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f\left( x \right) = + \infty \) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f\left( x \right) = - \infty \) thì \(x = a\) là TCĐ của đồ thị hàm số.

Cách giải:

TXĐ: \(D = R\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{5x + 11}}{{\sqrt {3{x^2} + 2017} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{5 + \frac{{11}}{x}}}{{\sqrt {3 + \frac{{2017}}{{{x^2}}}} }} = \frac{5}{{\sqrt 3 }};\,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{5x + 11}}{{\sqrt {3{x^2} + 2017} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{5 + \frac{{11}}{x}}}{{ - \sqrt {3 + \frac{{2017}}{{{x^2}}}} }} = - \frac{5}{{\sqrt 3 }}\)

Đồ thị hàm số \(y = \frac{{5x + 1}}{{\sqrt {3{x^2} + 2017} }}\) có 2 đường tiệm cận là \(y = \frac{5}{{\sqrt 3 }},\,\,\,y = - \frac{5}{{\sqrt 3 }}\)


Câu 31:

Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có thể tích bằng \({a^3}\). Biết tam giác ABC vuông tại A, \(AB = a,\,\,AC = 2a\). Tính độ dài đường cao của khối lăng trụ.

Xem đáp án

Đáp án D

Phương pháp:

Thể tích khối lăng trụ:

Cách giải:

Diện tích đáy: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}.a.2a = {a^2}\)

Thể tích khối lăng trụ: \(V = {S_{ABC}}.h = {a^2}.h = {a^3} \Rightarrow h = a\)


Câu 32:

Cho a, b, x, y là các số thực dương khác 1. Khẳng định nào sau đây đúng?

Xem đáp án

Đáp án A

Phương pháp:

Dựa vào các công thức liên quan đến logarit.

Cách giải:

Khẳng định đúng là: \({\log _y}x = \frac{{{{\log }_a}x}}{{{{\log }_a}y}}\), với a,b, x, y là các số thực dương khác 1.


Câu 33:

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị hàm số đường cong trong hình vẽ bên. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \(\left| {f\left( x \right)} \right| = m\) có 4 nghiệm phân biệt.

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có đồ thị hàm số đường cong trong hình vẽ bên (ảnh 1)
Xem đáp án

Đáp án D

Phương pháp:

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có đồ thị hàm số đường cong trong hình vẽ bên (ảnh 2)

Số nghiệm của phương trình \(\left| {f\left( x \right)} \right| = m\) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) và đường thẳng \(y = m\)

Cách giải:

Từ đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) ta có đồ thị hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) như hình bên:

Số nghiệm của phương trình \(\left| {f\left( x \right)} \right| = m\) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) và đường thẳng \(y = m\)

\( \Rightarrow \) Để phương trình \(\left| {f\left( x \right)} \right| = m\) có 4 nghiệm phân biệt thì \(1 < m < 3\)


Câu 34:

Cho hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có đồ thị như hình vẽ

Cho hàm số y = ax^3 + bx^2 + cx + d có đồ thị như hình vẽ A. a, b, d < 0; c > 0 B. a, b, c < 0 (ảnh 1)
Xem đáp án

Đáp án D

Phương pháp:

Nhận dạng hàm số bậc ba.

Cách giải:

Quan sát đồ thị hàm số, ta thấy: khi \(x \to + \infty \) thì \(y \to + \infty \)\(a > 0 \Rightarrow \) Loại các đáp án A, B, C. Chọn D.


Câu 35:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số \(y = \frac{{{m^2}x - 4}}{{mx - 1}}\) có tiệm cận đi qua điểm \(A\left( {1;4} \right)\)

Xem đáp án

Đáp án B

Phương pháp:

Xác định các trường hợp của m, trong mỗi trường hợp, tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số và cho các đường tiệm cận đi qua điểm \(A\left( {1;4} \right)\)

Cách giải:

+) Với \(m = 0 \Rightarrow y = 4\): Đồ thị hàm số không có tiệm cận.

+) Với \(m \ne 0,\,\,\,{m^2}.\left( { - 1} \right) - \left( { - 4} \right).m = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 4\) thì \(y = 4\): Đồ thị hàm số không có tiệm cận.

+) Với \(m \ne 0,\,\,m \ne 4 \Rightarrow y = \frac{{{m^2}x - 4}}{{mx - 1}}\) có tiệm cận đứng \(x = \frac{1}{m}\), tiệm cận ngang \(y = m\)

Giả sử \(x = \frac{1}{m}\) đi qua \(A\left( {1;4} \right) \Rightarrow \frac{1}{m} = 1 \Leftrightarrow m = 1\)

Giả sử \(y = m\) đi qua \(A\left( {1;4} \right) \Rightarrow m = 4\) (loại)

Kết luận: \(m = 1\)


Câu 36:

Cho hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} + mx + m - 2\). Với giá trị nào của m thì hàm số có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía trục tung.

Xem đáp án

Đáp án A

Phương pháp:

Hàm số bậc ba có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía trục tung khi và chỉ khi phương trình\(y' = 0\) có hai nghiệm trái dấu.

Cách giải:

\(y = {x^3} + 3{x^2} + mx + m - 2 \Rightarrow y' = 3{x^2} + 6x + m\)

Hàm số bậc ba có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía trục tung khi và chỉ khi phương trình \(y' = 0\) có hai nghiệm trái dấu \( \Leftrightarrow ac = 0\)

\( \Leftrightarrow 3.m < 0 \Leftrightarrow m < 0\)


Câu 37:

Tìm tập nghiệm của bất phương trình \({\log _x}125x + {\log _{24}}x > \frac{3}{2} + \log _5^2x\)

Xem đáp án

Đáp án D

Phương pháp:

+) Tìm TXĐ.

+) Đưa phương trình về ẩn \({\log _5}x\)

Cách giải:

ĐKXĐ: \(x > 0,\,\,x \ne 1\)

    \({\log _x}\left( {125x} \right).{\log _{25}}x > \frac{3}{2} + \log _5^2x\)

\( \Leftrightarrow {\log _x}125 + 1.{\log _{25}}x > \frac{3}{2} + \log _5^2x\)

\( \Leftrightarrow 3{\log _x}5 + 1.\frac{1}{2}{\log _5}x > \frac{3}{2} + \log _5^2x\)

\( \Leftrightarrow \left( {\frac{3}{{{{\log }_5}x}} + 1} \right){\log _5}x > 3 + 2\log _5^2x\)

\( \Leftrightarrow 3 + {\log _5}x > 3 + 2\log _5^2x \Leftrightarrow 2\log _5^2x - {\log _5}x < 0\)

\( \Leftrightarrow 0 < {\log _5}x < \frac{1}{2} \Leftrightarrow 1 < x < \sqrt 5 \)

Vậy, bất phương trình có tập nghiệm \(S = \left( {1;\sqrt 5 } \right)\)


Câu 38:

Tìm số nghiệm dương của phương trình \({2^{{x^2} + x}} - {4.2^{{x^2} - x}} - {2^{2x}} + 4 = 0\)

Xem đáp án

Đáp án B

Phương pháp:

Nhóm nhân tử chung, đưa về phương trình mũ cơ bản để giải.

Cách giải:

\({2^{{x^2} + x}} - {4.2^{{x^2} - x}} - {2^{2x}} + 4 = 0\)

\( \Leftrightarrow {2^{{x^2} - x}}\left( {{2^{2x}} - 4} \right) - {2^{2x}} - 4 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {{2^{2x}} - 4} \right)\left( {{2^{{x^2} - x}} - 1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{2^{2x}} - 4 = 0\\{2^{{x^2} - x}} - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{2^{2x}} = 4\\{2^{{x^2} - x}} = 1\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = 2\\{x^2} - x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\)

Số nghiệm dương của phương trình đã cho là 1.


Câu 39:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \({\log _2}\left( {{5^x} - 1} \right).{\log _4}\left( {{{2.5}^x}} \right) - 2 = m\) có nghiệm \(x \ge 1\)

Xem đáp án

Đáp án C

Phương pháp:

Biến đổi, đặt \({\log _2}\left( {{5^x} - 1} \right) = t,\,\,t \ge 2\)

Cách giải:

    \({\log _2}\left( {{5^x} - 1} \right).{\log _4}\left( {{{2.5}^x}} \right) - 2 = m\)

\( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{5^x} - 1} \right).{\log _{{2^2}}}\left( {{{2.5}^x}} \right) - 1 = m\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}{\log _2}\left( {{5^x} - 1} \right).1 + {\log _2}\left( {{5^x} - 1} \right) = m\)

\( \Leftrightarrow \log _2^2\left( {{5^x} - 1} \right) + {\log _2}\left( {{5^x} - 1} \right) - 2m = 0\)

Đặt \({\log _2}\left( {{5^x} - 1} \right) = t,\,\,t \ge 2\), phương trình trở thành: \({t^2} + t = 2m = 0,\,\,t \ge 2 \Leftrightarrow {t^2} + t = 2m,\,\,t \ge 2\left( * \right)\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {t^2} + t,\,\,t \ge 2\) có: \(f'\left( t \right) = 2t + 1 > 0,\,\,\,\forall t \ge 2 \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left[ {2; + \infty } \right)\)

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình log2 (5^x - 1).log4 (2.5^x) - 2 = m (ảnh 1)

Để phương trình (*) có nghiệm thì \(2m \ge 6 \Leftrightarrow m \ge 3\)


Câu 40:

Tính tích các nghiệm của phương trình \({\log _2}x.{\log _4}x.{\log _8}x.{\log _{16}}x = \frac{{81}}{{24}}\)

Xem đáp án

Đáp án A

Phương pháp: \({\log _{{a^c}}} = \frac{1}{c}{\log _a}b\left( {0 < a \ne 1;\,\,b > 0} \right)\)

Cách giải:

\({\log _2}x.{\log _4}x.{\log _8}x.{\log _{16}}x = \frac{{81}}{{24}} \Leftrightarrow {\log _2}x.\frac{1}{2}{\log _2}x.\frac{1}{3}{\log _2}x.\frac{1}{4}{\log _2}x = \frac{{81}}{{24}} \Leftrightarrow \frac{1}{{24}}{\log _2}{x^4} = \frac{{81}}{{24}}\)

\( \Leftrightarrow {\log _2}{x^4} = 81 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _2}x = 3\\{\log _2}x = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 8\\x = \frac{1}{8}\end{array} \right.\)

Tích hai nghiệm là: \(8.\frac{1}{8} = 1\)


Câu 41:

Số lượng của một số loài vi khuẩn sau t (giờ) được tính xấp xỉ bởi đẳng thức \(Q = {Q_0}.{e^{0,195t}}\), trong đó \({Q_0}\) là số lượng vi khuẩn ban đầu. Nếu số lượng vi khuẩn ban đầu là 5000 con thì sau bao lâu có 100 000 con.

Xem đáp án

Đáp án D

Phương pháp:

Giải phương trình mũ cơ bản.

Cách giải:

\(Q = {Q_0}.{e^{0,195t}} \Rightarrow 100\,000 = 5000.{e^{0,195t}} \Leftrightarrow 0,195t = \ln 20 \Leftrightarrow t = \frac{{\ln 20}}{{0,195}} \approx 15,36\) (giờ)

Câu 42:

Cho các số thực \(a,\,b,\,x > 0\)\(b,\,x \ne 1\) thỏa mãn \({\log _x}\frac{{a + 2b}}{3} = {\log _x}\sqrt a + {\log _x}\sqrt b \). Tính giá trị của biểu thức \(P = \left( {2{a^2} + 3ab + {b^2}} \right){\left( {a + 2b} \right)^{ - 2}}\) khi \(a > b\)

Xem đáp án

Đáp án D

Phương pháp:

\({\log _a}f\left( x \right) = {\log _a}g\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right)\,\,\,\left( {0 < a \ne 1;\,\,f\left( x \right) > 0;\,\,g\left( x \right) > 0} \right)\)

Tính tỉ số \(\frac{a}{b}\)

Cách giải:

    \({\log _x}\frac{{a + 2b}}{3} = {\log _x}\sqrt a + {\log _x}\sqrt b \)

\( \Leftrightarrow {\log _x}\frac{{a + 2b}}{3} = {\log _x}\sqrt {ab} \)

\( \Leftrightarrow \frac{{a + 2b}}{3} = \sqrt {ab} \Leftrightarrow a + 2b = 3\sqrt {ab} \Leftrightarrow \frac{a}{b} - 3.\sqrt {\frac{a}{b}} + 2 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt {\frac{a}{b}} = 1\\\sqrt {\frac{a}{b}} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{a}{b} = 1\\\frac{a}{b} = 4\end{array} \right.\)

Do \(a > b > 0\) nên \(\frac{a}{b} = 4\)

\(P = \left( {2{a^2} + 3ab + {b^2}} \right){\left( {a + 2b} \right)^{ - 2}} = \frac{{2{a^2} + 3ab + {b^2}}}{{{{\left( {a + 2b} \right)}^2}}} = \frac{{2{a^2} + 3ab + {b^2}}}{{{a^2} + 4ab + 4{b^2}}} = \frac{{2{{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^2} + 2.\frac{a}{b} + 1}}{{{{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^2} + 4.\frac{a}{b} + 4}}\)

\(P = \frac{{{{2.4}^2} + 3.4 + 1}}{{{4^2} + 4.4 + 4}} = \frac{{45}}{{36}} = \frac{5}{4}\)


Câu 43:

Cho hình lăng trụ đều ABC.A'B'C' có \(AB = 2a;\,\,AA' = a\sqrt 3 \). Tính thể tích khối lăng trụ

ABC.A'B'C' .

Xem đáp án

Đáp án B

Phương pháp: \({V_{ABC.A'B'C'}} = AA'.{S_{ABC}}\)

Cách giải:

ABC.A'B'C' là lăng trụ đều \( \Rightarrow \Delta ABC\) đều \( \Rightarrow {S_{ABC}} = \frac{{A{B^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{{\left( {2a} \right)}^2}.\sqrt 3 }}{4} = \sqrt 3 {a^2}\)

Thể tích ABC.A'B'C': \(V = {S_{ABC}}.AA' = \sqrt 3 {a^2}.a\sqrt 3 = 3{a^3}\)


Câu 44:

Cho một hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều. Thể tích của hình lăng trụ là . Để diện tích toàn phần của hình lăng trụ nhỏ nhất thì cạnh đáy của lăng trụ là bao nhiêu? V

Xem đáp án

Đáp án C

Phương pháp:

Thể tích hình lăng trụ \(V = Sh\)

Diện tích toàn phần của lăng trụ:

Cách giải:

Giả sử hình lăng trụ có đáy là tam giác đều cạnh a, có chiều cao h.

Diện tích đáy: \(S = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)

Thể tích \(V = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.h \Rightarrow h = \frac{{4V}}{{\sqrt 3 {a^2}}}\)

Diện tích toàn phần:

\({S_{tp}} = 3a.h + 2.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = 3a.\frac{{4V}}{{\sqrt 3 {a^2}}} + \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\)

\( = \frac{{4\sqrt 3 V}}{a} + \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} = \frac{{2\sqrt 3 V}}{a} + \frac{{2\sqrt 3 V}}{a} + \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} \ge 3\sqrt[{}]{{\frac{{2\sqrt 3 V}}{a}.\frac{{2\sqrt 3 V}}{a}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}}}\)

\( = 3\sqrt 3 .\sqrt[3]{{2{V^2}}}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{{2\sqrt 3 V}}{a} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow {a^3} = 4V \Leftrightarrow a = \sqrt[3]{{4V}}\)


Câu 45:

Hàm số \(y = \left( {{x^2} - 2x + 1} \right){e^{2x}}\) nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

Xem đáp án

Đáp án A

Phương pháp:

Phương pháp xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:

- Bước 1: Tìm tập xác định, tính \(f'\left( x \right)\)

- Bước 2: Tìm các điểm tại đó \(f'\left( x \right) = 0\) hoặc \(f'\left( x \right)\) không xác định

- Bước 3: Sắp xếp các điểm đó theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên

- Bước 4: Kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Cách giải:

\(y = \left( {{x^2} - 2x + 1} \right){e^{2x}} \Rightarrow y' = \left( {2x - 2} \right){e^{2x}} + \left( {{x^2} - 2x + 1} \right)2{e^{2x}} = 2.\left( {{x^2} - x} \right).{e^{2x}}\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\)

Bảng xét dấu y’:

Hàm số y = (x^2 - 2x + 1)e^2x nghịch biến trên khoảng nào sau đây A. (0; 1) B. (0; + vô cùng) (ảnh 1)

Hàm số \(y = \left( {{x^2} - 2x + 1} \right){e^{2x}}\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;1} \right)\)


Câu 46:

Cho hàm số \(y = \ln x\) có đồ thị như hình 1. Đồ thị hình 2 là của hàm số nào dưới đây ?

Cho hàm số y = ln x có đồ thị như hình 1. Đồ thị hình 2 là của hàm số nào dưới đây  (ảnh 1)
Xem đáp án

Đáp án D

Phương pháp:

Dựa vào cách vẽ đồ thị hàm số các hàm có chứa trị tuyệt đối.

Cách giải:

Đồ thị hình 2 là của hàm số \(y = \left| {\ln x} \right|\) được dựng từ đồ thị ở Hình 1, bằng cách: giữ nguyên phần đồ thị nằm phía trên trục hoành, lấy đối xứng phần đồ thị nằm phía dưới trục hoành qua trục hoành.


Câu 47:

Cho mặt cầu tâm O, bán kính \(R = a\). Một hình nón có đỉnh là ở trên mặt cầu và đáy là đường tròn giao của mặt cầu đó với mặt phẳng vuông góc với đường thẳng SO tại H sao cho \(SH = \frac{{3a}}{2}\). Độ dài đường sinh l của hình nón bằng:

Xem đáp án

Đáp án B

Phương pháp: \(l = \sqrt {{h^2} + {r^2}} \)

Cách giải:
Cho mặt cầu tâm O, bán kính \(R = a\). Một hình nón có đỉnh là ở trên mặt cầu và đáy (ảnh 1)

\(SH = \frac{{3a}}{2} > r \Rightarrow OH = SH - r = \frac{{3a}}{2} - a = \frac{a}{2}\)

\(\Delta AOH\) vuông tại H \( \Rightarrow AH = \sqrt {O{A^2} - O{H^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

\(\Delta SAH\) vuông tại H \( \Rightarrow SA = \sqrt {S{H^2} + A{H^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{3a}}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} = a\sqrt 3 \)

\( \Rightarrow l = a\sqrt 3 \)


Câu 48:

Người ta đặt được vào một hình nón hai khối cầu có bán kính lần lượt là a và 2a sao cho các khối cầu đều tiếp xúc với mặt xung quanh của hình nón, hai khối cầu tiếp xúc với nhau và khối cầu lớn tiếp xúc với đáy của hình nón. Tính bán kính đáy r của hình nón đã cho.

Xem đáp án

Đáp án B

Cách giải:

Người ta đặt được vào một hình nón hai khối cầu có bán kính lần lượt là a và 2a sao cho các khối  (ảnh 1)
Người ta đặt được vào một hình nón hai khối cầu có bán kính lần lượt là a và 2a sao cho các khối  (ảnh 2)

Ta có: \({O_1}E \bot SB,\,\,\,{O_2}E \bot SB \Rightarrow {O_1}E//{O_2}E\)

\({O_1}E = \frac{1}{2}{O_2}E \Rightarrow {O_1}E\) là đường trung bình của tam giác \(S{O_2}F \Rightarrow S{O_1} = {O_1}{O_2} = a + 2a = 3a\)

\(\Delta SE{O_1}\) vuông tại E \( \Rightarrow SE = \sqrt {SO_1^2 - {O_1}{E^2}} = \sqrt {{{\left( {3a} \right)}^2} - {a^2}} = 2\sqrt 2 a\)

Đoạn \(SH = S{O_1} + {O_1}{O_2} + {O_2}H = 3a + 3a + 2a = 8a\)

\(\Delta SE{O_1}\) đồng dạng \(\Delta SHB \Rightarrow \frac{{SE}}{{SH}} = \frac{{{O_1}E}}{{HB}} \Leftrightarrow \frac{{2\sqrt 2 a}}{{8a}} = \frac{a}{{HB}} \Rightarrow HB = 2\sqrt 2 a\)


Câu 49:

Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên với đáy bằng \({45^0}\). Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC. Tính thể tích của khối tứ diện AMNP.

Xem đáp án

Đáp án A

Phương pháp:

- Lập tỉ lệ thể tích khối tứ diện AMNP với khối chóp S.ABCD

- Tính thể tích khối chóp S.ABCD

- Tính thể tích khối tứ diện AMNP .

Cách giải:

M là trung điểm của SA \( \Rightarrow {S_{AMP}} = \frac{1}{2}{S_{SAP}} \Rightarrow {V_{AMNP}} = \frac{1}{2}{V_{N.SMP}}\)

Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên với đáy bằng 45 độ C. Gọi M, N, P (ảnh 1)

N là trung điểm của SB \( \Rightarrow {V_{N.SMP}} = \frac{1}{2}{V_{S.ABP}}\)

P là trung điểm của CD \( \Rightarrow {S_{ABP}} = \frac{1}{2}{S_{ABCD}} \Rightarrow {V_{S.ABP}} = \frac{1}{2}{V_{S.ABCD}}\)

\( \Rightarrow {V_{AMNP}} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^3}.{V_{S.ABCD}} = \frac{{{V_{S.ABCD}}}}{8}\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}OP \bot CD\\SO \bot CD\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SOP} \right) \Rightarrow \left( {\left( {SCD} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = SPO = {45^0} \Rightarrow \Delta SOP\) vuông cân tại O

\( \Rightarrow SO = OP = \frac{a}{2}\)

Thể tích khối chóp S.ABCD: \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.SO.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.\frac{a}{2}.{a^2} = \frac{{{a^3}}}{6}\)

\( \Rightarrow {V_{AMNP}} = \frac{{{V_{S.ABCD}}}}{8} = \frac{{{a^3}}}{{48}}\)


Câu 50:

Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục của nó, ta được thiết diện là một hình vuông có cạnh bằng 3a. Tính diện tích toàn phần của khối trụ.

Xem đáp án

Đáp án B

Phương pháp:
Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục của nó, ta được thiết diện là một hình vuông có (ảnh 1)

Diện tích xung quanh của khối trụ \({S_{xq}} = 2\pi rh\)

Diện tích toàn phần của khối trụ:

Cách giải:

Khối trụ có đường cao \(h = 3a\), bán kính đáy \(r = \frac{{3a}}{2}\)

Diện tích xung quanh của khối trụ \({S_{xq}} = 2\pi .3a.\frac{{3a}}{2} = 9\pi {a^2}\)

Diện tích toàn phần của khối trụ:


Câu 51:

2. Phần dành cho học sinh chuyên

Cho hai số thực dương a, b khác 1. Biết rằng bất kì đường thẳng nào song song với trục hoành mà cắt các đường \(y = {a^x},\,\,y = {b^x}\) và trục tung lần lượt tại M, N, A thì \(2AN = 5AM\) (hình vẽ bên). Hỏi khẳng định nào sau đây đúng?

Cho hai số thực dương a, b khác 1. Biết rằng bất kì đường thẳng nào song song với trục hoành (ảnh 1)
Xem đáp án

Đáp án D

Phương pháp:

+) Gọi \(M\left( {{x_M};{a^{{x_M}}}} \right);\,\,\,N\left( {{x_N};{a^{{x_N}}}} \right)\)

+) Từ \(2AN = 5BM \Rightarrow \) mối liên hệ giữa \({x_M};\,\,{x_N}\) từ đó suy ra mối liên hệ giữa a và b.

Cách giải:

Theo đề bài: \(2AN = 5AM \Leftrightarrow 2\left| {{x_N}} \right| = 5\left| {{x_M}} \right| \Leftrightarrow 2{x_N} = - 5{x_M}\) (do M, N nằm khác phía so với trục Oy)

\( \Leftrightarrow {x_N} = \frac{{ - 5}}{2}{x_M}\)

Tung độ các điểm M, N \({a^{{x_M}}} = {b^{{x_N}}} \Leftrightarrow {a^{{x_M}}} = {b^{\frac{{ - 5}}{2}{x_M}}} = {\left( {{b^{\frac{{ - 5}}{2}}}} \right)^{{x_M}}}\)

Do M tùy ý nên \(a = {b^{ - \frac{5}{2}}} \Leftrightarrow a{b^{\frac{5}{2}}} = 1 \Leftrightarrow {a^2}{b^5} = 1\)


Câu 52:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \(y = {\left( {\frac{2}{\pi }} \right)^{{x^3} + 3m{x^2} + 3mx + 10}}\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)

Xem đáp án

Đáp án C

Phương pháp:

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right) \Rightarrow f'\left( x \right) \ge 0\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\)

Cách giải:

\(y = {\left( {\frac{2}{\pi }} \right)^{{x^3} + 3m{x^2} + 3mx + 10}}\)

\( \Rightarrow y' = \left( {3{x^2} + 6mx + 3m} \right).\ln \frac{2}{\pi }.{\left( {\frac{2}{\pi }} \right)^{{x^3} + 3m{x^2} + 3mx + 10}}\)

\( = 3\ln \frac{2}{\pi }.\left( {{x^2} + 2mx + m} \right).{\left( {\frac{2}{\pi }} \right)^{{x^3} + 3m{x^2} + 3mx + 10}}\)

Hàm số \(y = {\left( {\frac{2}{\pi }} \right)^{{x^3} + 3m{x^2} + 3mx + 10}}\)nghịch biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right) \Leftrightarrow y' \le 0,\,\,x \in \left( {0; + \infty } \right)\)

\(\ln \frac{2}{\pi } < 0,\,\,\,{\left( {\frac{2}{\pi }} \right)^{{x^3} + 3m{x^2} + 3mx + 10}} > 0,\,\,\,\forall x \Rightarrow {x^2} + 2mx + m \ge 0,\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\Delta ' \le 0\\\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\{x_1} < {x_2} \le 0\end{array} \right.\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' \le 0\\\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\S < 0\\P > 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - m \le 0\\\left\{ \begin{array}{l}{m^2} - m > 0\\ - 2m < 0\\m \ge 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0 \le m \le 1\\\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m >

1\\m < 0\end{array} \right.\\m > 0\\m \ge 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0 \le m \le 1\\\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 1\\m < 0\end{array} \right.\\m > 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0 \le m \le 1\\m > 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m \ge 0\)

Kết luận: \(m \in \left[ {0; + \infty } \right)\)


Câu 53:

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right)\). Biết đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) là hình bên. Đặt \(g\left( x \right) = f\left( x \right) - x\). Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'(x). Biết đồ thị hàm số y = f'(x) là hình bên. Đặt g(x) = f(x) - x  (ảnh 1)
Xem đáp án

Đáp án C

Phương pháp:

+) Tính \(g'\left( x \right)\) theo \(f'\left( x \right)\)

+) Xác định dấu của \(g\left( x \right)\) trên \(\left[ { - 1;2} \right]\) và kết luận.

Cách giải:

\(g\left( x \right) = f\left( x \right) - x \Rightarrow g'\left( x \right) = f'\left( {x - 1} \right)\)

Với \(x \in \left[ { - 1;2} \right]\) thì \(f'\left( x \right) \le 1\) dấu “=” chỉ xảy ra tại ba điểm \(x = - 1,\,\,x = 1,\,\,x = 2\)

Khi đó: \(g'\left( x \right) \le 0,\,\,\forall x\left[ { - 1;2} \right]\). Hàm số \(y = g\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left[ { - 1;2} \right] \Rightarrow g\left( { - 1} \right) > g\left( 1 \right) > g\left( 2 \right)\)

Câu 54:

Ông A vay ngân hàng 300 triệu đồng để mua nhà theo phương thức trả góp với lãi suất 0,5% mỗi tháng. Nếu cuối mỗi tháng, bắt đầu từ tháng thứ nhất ông hoàn nợ cho ngân hàng 4.500.000 đồng và chịu lãi số tiền chưa trả. Hỏi sau bao nhiêu tháng ông A sẽ trả hết số tiền vay?

Xem đáp án

Đáp án B

Phương pháp:

Bài toán lãi suất trả góp: \(A = \frac{{N{{\left( {1 + r} \right)}^n}r}}{{{{\left( {1 + r} \right)}^n} - 1}}\)

Trong đó:

N: số tiền vay

r: lãi suất

A: số tiền phải trả hàng tháng để sau n tháng là hết nợ.

Cách giải:

\(A = \frac{{N{{\left( {1 + r} \right)}^n}r}}{{{{\left( {1 + r} \right)}^n} - 1}} \Leftrightarrow 4,5 = \frac{{300 + {{\left( {1 + 0,5\% } \right)}^n}.0,5\% }}{{{{\left( {1 + 0,5\% } \right)}^n} - 1}} \Leftrightarrow 450.{\left( {1 + 0,5\% } \right)^n} - 450 = 150.{\left( {1 + 0,5\% } \right)^n}\)

\( \Leftrightarrow 300.{\left( {1 + 0,5\% } \right)^n} = 450 \Leftrightarrow n = {\log _{1,005}}\frac{3}{2} \approx 81,3\)

Vậy, sau 82 tháng, ông An sẽ trả hết số tiền vay.


Câu 55:

Từ một tấm tôn hình chữ nhất có chiều dài và rộng là 60cm, 40cm. Người ta cắt đi 6 hình vuông cạnh \(x\left( {cm} \right)\) rồi gấp tấm tôn còn lại để được một cái hộp có nắp như hình vẽ dưới đây. Tìm x để hộp nhận được có thể tích lớn nhất.
 
Xem đáp án

Đáp án A

Phương pháp:

Lập hàm số tính thể tích khối hộp theo biến x, khảo sát tìm x để hộp nhận được có thể tích lớn nhất.

Cách giải:

Sau khi cắt, độ dài 2 chiều của đáy là: \(40 - 2x,\,\,\,\frac{{60 - 3x}}{2}\left( {cm} \right),\,\,x \in \left( {0;20} \right)\)

Thể tích khối hộp: \(V = x\left( {40 - 2x} \right).\frac{{60 - 3x}}{2} = 3x{\left( {20 - x} \right)^2} = f\left( x \right)\)

\(f'\left( x \right) = 3{\left( {20 - x} \right)^2} - 3x.2\left( {20 - x} \right) = 3 = 3.\left( {20 - x} \right)\left( {20 - 3x} \right)\)

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 20\left( L \right)\\x = \frac{{20}}{3}\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

Từ một tấm tôn hình chữ nhất có chiều dài và rộng là 60cm, 40cm. Người ta cắt đi 6 hình  (ảnh 1)

Vậy \(x = \frac{{20}}{3}\) thì hộp nhận được có thể tích lớn nhất.


Câu 56:

Xét các số thực a, b thỏa mãn \({\log _3}\left( {\frac{{1 - ab}}{{a + 2b}}} \right) = 3ab + a + 2b - 4\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = a + b\)
Xem đáp án

Đáp án B

Phương pháp:

Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để đánh giá nghiệm của phương trình.

Cách giải:

\({\log _3}\left( {\frac{{1 - ab}}{{a + 2b}}} \right) = 3ab + a + 2b - 4 \Leftrightarrow {\log _3}\left( {1 - ab} \right) - {\log _3}\left( {a + 2b} \right) = 3ab + a + 2b - 4\)

\( \Leftrightarrow {\log _3}3\left( {1 - ab} \right) + 3\left( {1 - ab} \right) = {\log _3}\left( {a + 2b + a + 2b} \right)\,\,\,\left( * \right)\)

Xét \(f\left( t \right) = {\log _3}t + t,\,\,t > 0\)\(f'\left( t \right) = \frac{1}{{t.\ln 3}} + 1 > 0,\,\,\forall t > 0 \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)

Phương trình \(\left( * \right) \Leftrightarrow f\left( {3\left( {1 - ab} \right)} \right) = f\left( {a + 2b} \right) \Leftrightarrow 3 - 2ab = a + 2b\)

\(P = a + b \Rightarrow a = P - b \Rightarrow 3 - 3\left( {P - b} \right)b = P - b + 2b \Leftrightarrow \left( {3{b^2} - b} \right)\left( {3P + 1 + 3 - P} \right) = 0\)

Để phương trình có nghiệm thì \(\Delta \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {3P + 1} \right)^2} - 4.3.\left( {3 - P} \right) \ge 0 \Leftrightarrow 9{P^2} + 18P - 35 \ge 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}P \ge \frac{{ - 3 + 2\sqrt {11} }}{3}\\P \le \frac{{ - 3 - 2\sqrt {11} }}{3}\end{array} \right.\)

Do \(P = a + b \Rightarrow P > 0 \Rightarrow P \ge \frac{{ - 3 + 2\sqrt {11} }}{3}\)

Vậy \({P_{\min }} = \frac{{ - 3 + 2\sqrt {11} }}{3}\)


Câu 57:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng \(y = - mx\) cắt đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} - m + 2\) tại ba điểm A, B, C phân biệt sao cho \(AB = BC\).

Xem đáp án

Đáp án A

Phương pháp:

+) Giải phương trình hoành độ giao điểm của hai hàm số, tìm điều kiện để phương trình hoành độ giao điểm có 3 nghiệm phân biệt.

+) Sử dụng định lí Vi-et.

Cách giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của \(y = - mx\)\(y = {x^3} - 3{x^2} - m + 2\)

\({x^3} - 3{x^2} - m + 2 = - mx \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} + mx - m + 2 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 2x + m - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\{x^2} - 2x + m - 2 = 0\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Để đường thẳng \(y = - mx\) cắt đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} - m + 2\) tại ba điểm A,B,C phân biệt thì (2) có 2 nghiệm phân biệt và khác 1

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\1 - 2 + m - 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - m + 2 > 0\\m - 3 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m < 3\)

Khi đó, giả sử (2) có 2 nghiệm \({x_1},\,{x_2}\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\). Theo Vi ét: \({x_1} + {x_2} = 2\)

\({y_1} = - m{x_1},\,\,{y_2} = - m{x_2} \Rightarrow {y_1} + {y_2} = - m\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = - 2m\)

Đặt \(A\left( {{x_1};{y_1}} \right),\,\,B\left( {1; - m} \right),\,\,C\left( {{x_2};{y_2}} \right) \Rightarrow \) B là trung điểm của AC với mọi \(m < 3\)


Câu 58:

Đồ thị hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} - 9x + 1\) có hai điểm cực trị A, B. Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng AB.

Xem đáp án

Đáp án C

Phương pháp:

Viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm cực trị của hàm số bậc ba

Kiểm tra các điểm ở các phương án xem có nằm trên d không.

Cách giải:

\(y = {x^3} + 3{x^2} - 9x + 1 \Rightarrow y' = 3{x^2} + 6x - 9\)

Chia y cho y’ ta được: \(y = \frac{1}{3}\left( {x + 1} \right).y' - 8x + 4\)

\( \Rightarrow \) Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị A và B là: \(d:y = - 8x + 4\)

\( - 4 = - 8.1 + 4\) nên \(P\left( {1; - 4} \right) \in d\)

 


Câu 59:

Cho khối tứ diện có thể tích V. Gọi V’ là thể tích của khối đa diện có các đỉnh là các trung điểm của các cạnh của khối tứ diện đó. Tính tỉ số \(\frac{{V'}}{V}\)
Xem đáp án

Đáp án C

Phương pháp:

Cho khối tứ diện có thể tích V. Gọi V’ là thể tích của khối đa diện có các đỉnh là các trung điểm (ảnh 1)

Phân chia và lắp ghép các khối đa diện.

Cách giải:

\(V' = V - {V_{A.MNP}} - {V_{B.MEG}} - {V_{C.EFP}} - {V_{D.NGF}} = V - \frac{V}{8} - \frac{V}{8} - \frac{V}{8} = \frac{{5V}}{8}\)

\( \Rightarrow \frac{{V'}}{V} = \frac{5}{8}\)


Câu 60:

Cho tứ diện đều ABC có cạnh 3a. Hình nón \(\left( N \right)\) có đỉnh A và đường tròn đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Tính diện tích xung quanh của hình nón \(\left( N \right)\)

Xem đáp án

Đáp án B

Phương pháp:

Cho tứ diện đều ABC có cạnh 3a. Hình nón N có đỉnh A và đường tròn đáy là đường tròn  (ảnh 1)

Diện tích xung quanh của hình nón \({S_{xq}} = \pi rl\)

Cách giải:

Gọi O là tâm của tam giác BCD \( \Rightarrow AO \bot \left( {BCD} \right)\)

\(OD = \frac{2}{3}.\frac{{3a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \)

Diện tích xung quanh của hình nón \({S_{xq}} = \pi .OD.AD = \pi .a\sqrt 3 .3a = 3\sqrt 3 \pi {a^2}\)


Bắt đầu thi ngay

Bài thi liên quan


Có thể bạn quan tâm


Các bài thi hot trong chương