Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 16, xảy ra khi và chỉ khi  $x=y=\frac{1}{4},z=\frac{1}{2},t=1$

Cách 1: Theo đề bài $ab+bc+ca=3.$ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có

$$\begin{gathered} 3=ab+bc+ac\ge 3\sqrt[3]{a^2{b}^2{c}^2}\Rightarrow abc\le 1,\left(1\right) \\ {\left(a+b+c\right)}^2\ge 3\left(ab+bc+ac\right)=9\Rightarrow a+b+c\ge 3,\left(2\right) \\ Từ \left(1\right) và \left(2\right) \Rightarrow a+b+c\ge 3abc. \\ Đặt x=\frac{1}{a+1};y=\frac{1}{b+1};z=\frac{1}{c+1}\left(\Rightarrow x,y,z>0;z\ge x\right) \\ \Rightarrow P=x^2+2y^2+3z^2=x^2+z^2+2y^2+2z^2\ge 2\left(x^2+y^2+z^2\right) \\ \Rightarrow P\ge 2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge 2\left(xy+yz+xz\right).(*) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} Ta tìm giá trị nhỏ nhất của xy+yz+xz . \\ xy+yz+xz=\frac{1}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}+\frac{1}{\left(c+1\right)\left(b+1\right)}+\frac{1}{\left(a+1\right)\left(c+1\right)} \\ \iff xy+yz+xz=\frac{a+b+c+3}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}=\frac{a+b+c+3}{abc+a+b+c+4} \\ \iff xy+yz+xz=\frac{a+b+c+3}{abc+a+b+c+4}=\frac{3\left(a+b+c+3\right)}{3abc+3\left(a+b+c\right)+12} \\ \iff xy+yz+xz=\frac{3\left(a+b+c+3\right)}{3abc+3\left(a+b+c\right)+12}\ge \frac{3\left(a+b+c+3\right)}{\left(a+b+c\right)+3\left(a+b+c\right)+12}=\frac{3}{4} \\ \Rightarrow P\ge 2.\frac{3}{4}=\frac{3}{2}. \end{gathered}$$

Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z\Rightarrow a=b=c=1.$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $P=\frac{3}{2}.$

Cách 2: Vì $Vì a\ge c\Rightarrow P=\frac{1}{{\left(a+1\right)}^2}+\frac{2}{{\left(b+1\right)}^2}+\frac{3}{{\left(c+1\right)}^2}\ge \frac{1}{{\left(a+1\right)}^2}+\frac{2}{{\left(b+1\right)}^2}+\frac{2}{{\left(c+1\right)}^2}+\frac{1}{{\left(a+1\right)}^2}$

$\Rightarrow P\ge \frac{2}{{\left(a+1\right)}^2}+\frac{2}{{\left(b+1\right)}^2}+\frac{2}{{\left(c+1\right)}^2}$

Ta chứng minh đẳng thức với x, y không âm.

$\frac{1}{{\left(x+1\right)}^2}+\frac{1}{{\left(y+1\right)}^2}\ge \frac{1}{1+xy}$

$$\begin{gathered} \iff \left(1+xy\right)\left(x^2+y^2+2x+2y+2\right)-{\left(xy+x+y+1\right)}^2\ge 0 \\ \iff \left(1+xy\right)\left(x^2+y^2-2xy+2xy+2x+2y+2\right)-{\left(xy+x+y+1\right)}^2\ge 0 \\ \iff \left(1+xy\right){\left(x-y\right)}^2+2\left(1+xy\right)\left(xy+x+y+1\right)-{\left(xy+x+y+1\right)}^2\ge 0 \\ \iff \left(1+xy\right){\left(x-y\right)}^2+\left(xy-x-y+1\right)\left(xy+x+y+1\right)\ge 0 \\ \iff xy{\left(x-y\right)}^2+{\left(x-y\right)}^2+{\left(xy+1\right)}^2-{\left(x+y\right)}^2\ge 0 \\ \iff xy{\left(x-y\right)}^2+{\left(xy-1\right)}^2\ge 0. \end{gathered}$$

Luôn đúng, dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1.

$\Rightarrow P=\frac{1}{{\left(a+1\right)}^2}+\frac{2}{{\left(b+1\right)}^2}+\frac{3}{{\left(c+1\right)}^2}\ge \frac{1}{{\left(a+1\right)}^2}+\frac{2}{{\left(b+1\right)}^2}+\frac{2}{{\left(c+1\right)}^2}+\frac{1}{{\left(a+1\right)}^2}$

$\Rightarrow P\ge \frac{1}{{\left(a+1\right)}^2}+\frac{1}{{\left(b+1\right)}^2}+\frac{1}{{\left(b+1\right)}^2}+\frac{1}{{\left(c+1\right)}^2}+\frac{1}{{\left(a+1\right)}^2}\ge \frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ac}.$

Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số không âm ta có

$$\begin{gathered} \left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge 9\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge \frac{9}{x+y+z} \\ \Rightarrow P\ge \frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ac}\ge \frac{9}{3+ab+bc+ac}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}. \end{gathered}$$

Vậy GTNN của $P=\frac{3}{2}$ khi $a=b=c=1.$

Từ giả thiết: $a+b+c=1\Rightarrow 1-a=b+c$ ;$1-b=a+c$ ;$1-c=a+b$ 

Suy ra $a+2b+c\ge 4\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)$

$\iff (a+b)+(b+c)\ge 4\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)$ 

Đặt $x=a+b ;\text{ y}=b+c ;\text{ z}=c+a$ $\left(x,y,z\ge 0\right)$ 

Suy ra$\text{ x}+y+z=2,$ta phải chứng minh $x+y\ge 4xyz$ 

Áp dụng BĐT Cauchy ta có :  $x+y+z=\left(x+y\right)+z\ge 2\sqrt{(x+y).z}$  suy ra $2\ge 2\sqrt{(x+y).z}$ 

suy ra $1\ge \left(x+y\right)z$, do $x+y\ge 0$ suy ra $x+y\ge {(x+y)}^{2}z$  (1)

Mặt khác  ${\left(x+y\right)}^2\ge 4xy,$ do $z\ge 0$ suy ${\left(x+y\right)}^{2}z\ge 4xyz$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $x+y\ge 4xyz$ suy ra bài toán được chứng minh.

+ Tìm giá trị nhỏ nhất.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương ta có:$\left\{\begin{array}{c}{a}^2+b^2\ge 2ab\\ b^2+c^2\ge 2bc\\ c^2+a^2\ge 2ca\end{array}\right.\Rightarrow 2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge 2\left(ab+bc+ca\right)$

$\Rightarrow P=a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca=9$

Dấu ‘=’ xảy ra $\iff \left\{\begin{array}{c}a=b=c\ge 1\\ ab+bc+ca=9\end{array}\iff a=b=c=\sqrt{3}\right.$.

+ Tìm giá trị lớn nhất.

Vì $\left\{\begin{array}{c}a\ge 1\\ b\ge 1\\ c\ge 1\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge 0\\ \left(b-1\right)\left(c-1\right)\ge 0\\ \left(c-1\right)\left(a-1\right)\ge 0\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}ab-a-b+1\ge 0\\ bc-b-c+1\ge 0\\ ca-c-a+1\ge 0\end{array}\right.$

$\Rightarrow ab+bc+ca-2\left(a+b+c\right)+3\ge 0$

$\Rightarrow 3\le a+b+c\le \frac{ab+bc+ca+3}{2}=6$

$\Rightarrow {\left(a+b+c\right)}^2\le 36$

$\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\le 36$

$\Rightarrow P\le 36-2\left(ab+bc+ca\right)=18$

Dấu ‘=’ xảy ra $\iff \left[\begin{array}{c}a=4,b=c=1\\ b=4,c=a=1\\ c=4,a=b=1\end{array}\right.$.

Vậy GTNN của P là 9, xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=\sqrt{3}$.

GTLN của P là 18, xảy ra khi và chỉ khi $\left[\begin{array}{c}a=4,b=c=1\\ b=4,c=a=1\\ c=4,a=b=1\end{array}\right.$.

b) Áp dụng bất đẳng thức ở phần a) ta có:

$\frac{1}{3a+2b+c}=\frac{1}{3a+2b+c}\le \frac{1}{4}\left[\frac{1}{3a}+\frac{1}{2b+c}\right]\left(1\right)$

Chứng minh được với a; b; c>0 ta có $\frac{9}{a+b+c}\le \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\cdot$

Áp dụng bất đẳng thức trên ta được:

$\frac{1}{4}\left[\frac{1}{3a}+\frac{1}{2b+c}\right]\le \frac{1}{4}\left[\frac{1}{3a}+\frac{1}{9}\left(\frac{2}{b}+\frac{1}{c}\right)\right]=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{3a}+\frac{2}{9b}+\frac{1}{9c}\right)\left(2\right)$

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{1}{3a+2b+c}\le \frac{1}{4}\left(\frac{1}{3a}+\frac{2}{9b}+\frac{1}{9c}\right)$

Chứng minh tương tự ta được:

$\frac{1}{a+3b+2c}\le \frac{1}{4}\left(\frac{1}{9a}+\frac{1}{3b}+\frac{2}{9c}\right);\frac{1}{2a+b+3c}\le \frac{1}{4}\left(\frac{2}{9a}+\frac{1}{9b}+\frac{1}{3c}\right)$

Ta có $\sqrt{\frac{a}{1-a}}+\sqrt{\frac{b}{1-b}}+\sqrt{\frac{c}{1-c}}>2$

$\begin{array}{l}\iff \sqrt{\frac{a}{a+b+c-a}}+\sqrt{\frac{b}{a+b+c-b}}+\sqrt{\frac{c}{a+b+c-c}}>2\\ \iff \sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}>2\\ \iff \frac{2a}{2\sqrt{a\left(b+c\right)}}+\frac{2b}{2\sqrt{b\left(a+c\right)}}+\frac{2c}{2\sqrt{c\left(a+b\right)}}>2\\ \iff \frac{a}{2\sqrt{a\left(b+c\right)}}+\frac{b}{2\sqrt{b\left(a+c\right)}}+\frac{c}{2\sqrt{c\left(a+b\right)}}>1\end{array}$

Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có

 $\left\{\begin{array}{l}a+\left(b+c\right)\ge 2\sqrt{a\left(b+c\right)}\\ b+\left(a+c\right)\ge 2\sqrt{b\left(a+c\right)}\\ c+\left(a+b\right)\ge 2\sqrt{c\left(a+b\right)}\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\frac{a}{2\sqrt{a\left(b+c\right)}}\ge \frac{a}{a+b+c}\\ \frac{b}{2\sqrt{b\left(a+c\right)}}\ge \frac{b}{a+b+c}\\ \frac{c}{2\sqrt{c\left(a+b\right)}}\ge \frac{c}{a+b+c}\end{array}\right.$

$\Rightarrow \frac{a}{2\sqrt{a\left(b+c\right)}}+\frac{b}{2\sqrt{b\left(a+c\right)}}+\frac{c}{2\sqrt{c\left(a+b\right)}}\ge \frac{a+b+c}{a+b+c}=1$

Dấu “=” xảy ra khi $\left\{\begin{array}{l}a=b+c\\ b=c+a\\ c=a+b\end{array}\right.\Rightarrow a=b=c=0$ ( vô lý vì a, b, c>0).

Vậy $\sqrt{\frac{a}{1-a}}+\sqrt{\frac{b}{1-b}}+\sqrt{\frac{c}{1-c}}>2$.

Đặt $a=x^2$; $b=y^2$ ($a\ge 0$; $b\ge 0$) thì $P=\frac{(a-b)(1-ab)}{{(1+a)}^2{(1+b)}^2}$

Vì $a\ge 0$; $b\ge 0$ nên:

$\begin{array}{l}(a-b)(1-ab)=a-a^{2}b-b+a{b}^2\\ \le a+a{b}^2=a\left(1+b^2\right)\le a\left(1+2b+b^2\right)=a{\left(1+b\right)}^2\end{array}$ 

Lại có: ${(1+a)}^2={(1-a)}^2+4a\ge 4a$

$\Rightarrow P\le \frac{a{(1+b)}^2}{4a{(1+b)}^2}=\frac{1}{4}$

Dấu bằng xảy ra: $\iff \left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=\pm 1\\ y=0\end{array}\right.$

Vậy max $P=\frac{1}{4}\iff \left\{\begin{array}{l}x=\pm 1\\ y=0\end{array}\right.$ .

Ta có: $P=\frac{2}{x^2+y^2}+\frac{35}{xy}+2xy=\frac{2}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}+\frac{32}{xy}+2xy+\frac{2}{xy}$.

Với a>0, b>0 ta có $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge \frac{4}{a+b}$ (*). (Chứng minh bằng biến đổi tương đương hoặc cô-si).

Áp dụng (*) cho hai số dương $\frac{2}{x^2+y^2}$; $\frac{1}{xy}$ ta được:

$\frac{2}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}=2\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)\ge 2.\frac{4}{x^2+y^2+2xy}=\frac{8}{{\left(x+y\right)}^2}>\frac{8}{4^2}=\frac{1}{2}$.

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số dương , ta có:

$$\begin{gathered} 2\sqrt{xy}\le x+y\le 4\Rightarrow xy\le 4\Rightarrow \frac{2}{xy}\ge \frac{2}{4}=\frac{1}{2} \\ \frac{32}{xy}+2xy\ge 2\sqrt{\frac{32}{xy}.2xy}=16 \end{gathered}$$.

Do đó $P=\frac{2}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}+\frac{32}{xy}+2xy+\frac{2}{xy}\ge \frac{1}{2}+16+\frac{1}{2}=17$.

Dấu đẳng thức xảy ra khi $\left\{\begin{array}{c}{x}^2+y^2=2xy\\ xy=4\\ x=y\\ x+y=4\end{array}\right.\iff x=y=2$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 17khi x=y=2.

Ta có $S_1=2\left(ab+ac+bc\right),$

$S_2=4\pi \frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)}{4}=\pi \left(a^2+b^2+c^2\right).$

Do đó:

$\frac{S_1}{S_2}=\frac{2\left(ab+ac+bc\right)}{\pi \left(a^2+b^2+c^2\right)}=\frac{2\left(2ab+2ac+2bc\right)}{\pi \left(2a^2+2b^2+2c^2\right)}$

Mặt khác $\frac{2\left(2ab+2ac+2bc\right)}{\pi \left(2a^2+2b^2+2c^2\right)}\le \frac{2}{\pi }$

Do đó, tỉ lệ $\frac{S_1}{S_2}$ lớn nhất là $\frac{2}{\pi }.$ Điều này xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c.$

- Dùng máy tính casio ta chọn được điểm rơi tại x = 2, y = 4. Nên ta có:

$P=3x+2y+\frac{6}{x}+\frac{8}{y}=\left(\frac{3x}{2}+\frac{6}{x}\right)+\left(\frac{2y}{4}+\frac{8}{y}\right)+1,5x+1,5y$

- Áp dụng BĐT Cô-si cho từng cặp số trong ngoặc ta được

$P\ge 6+4+1,5(x+y)=6+4+1,5.6=19$

Dấu bằng xảy ra khi: $\left\{\begin{array}{l}\frac{3x}{2}=\frac{6}{x}\\ \frac{2y}{4}=\frac{8}{y}\\ x+y\ge 6\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=\pm 2\\ y=\pm 4\\ x+y\ge 6\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=4\end{array}\right.$

Vậy P_min = 19 tại $\left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=4\end{array}\right.$.

Có $x-y=2\Rightarrow y=x-2$ $\Rightarrow Q=3x^2+y^2+8=3x^2+{\left(x-2\right)}^2+8=4x^2-4x+12$$={\left(2x-1\right)}^2+11\ge 11$

$\Rightarrow$  Giá trị nhỏ nhất của Q bằng 11. Khi $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}\\ y=-\frac{3}{2}\end{array}\right.$.