117 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Chuyên đề 7: Phương trình (có đáp án)

Câu 1:

Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt{3} x + \sqrt{12} x = \sqrt{27}$

a) $\sqrt{3} x + \sqrt{12} x = \sqrt{27} \Leftrightarrow \sqrt{3} x + 2 \sqrt{3} x = 3 \sqrt{3} \Leftrightarrow 3 \sqrt{3} x = 3 \sqrt{3} \Leftrightarrow x = 1$

Vậy S={1}

Câu 2:

b) $x^{2} + x - 20 = 0$

Xem đáp án

b) $x^{2} + x - 20 = 0$

$Δ = 1^{2} - 4.1. (- 20) = 81 > 0$ . Phương trình có hai nghiệm phân biệt $[\begin{array}{l} x_{1} = \frac{- 1 + \sqrt{81}}{2} = 4 \\ x_{2} = \frac{- 1 - \sqrt{81}}{2} = - 5 \end{array}$

Vậy S={-5;4}

Câu 3:

Cho phương trình bậc hai ẩn $x : x^{2} + (4 m + 1) x + 2 m - 8 = 0$ (m là tham số).

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂ với mọi tham số m.

Xem đáp án

a) Ta có $Δ = {(4 m + 1)}^{2} - 4.1. (2 m - 8) = 16 m^{2} + 33 > 0$ với mọi giá trị của m.

Nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂ với mọi tham số m.

Câu 4:

b) Tìm m để hai nghiệm x₁; x₂của phương trình đã cho thỏa mãn điều kiện |x₁-x₂|=17.

Xem đáp án

b) Vì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂ với mọi tham số m nên theo định lí Vi-et:

$\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = \frac{- b}{a} = - 4 m - 1 \\ x_{1} . x_{2} = \frac{c}{a} = 2 m - 8 \end{cases}$

Ta có: $|x_{1} - x_{2}| = 17 \Leftrightarrow {(x_{1} - x_{2})}^{2} = 289 \Leftrightarrow x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - 2 x_{1} x_{2} = 289 \Leftrightarrow {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 4 x_{1} x_{2} = 289$

\Leftrightarrow {(- 4 m - 1)}^{2} - 4 (2 m - 8) = 289 \Leftrightarrow 16 m^{2} - 256 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 4 \\ m = - 4 \end{array}

Vậy $m = \pm 4$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 5:

Giải phương trình: $x^{2} - 3 x + 2 = 0 .$

Xem đáp án

Cách 1: Do $1 + (- 3) + 2 = 0$ nên phương trình đã cho có hai nghiệm $x_{1} = 1; x_{2} = 2 .$

Cách 2: $Δ = {(- 3)}^{2} - 4.2 = 1 \Rightarrow \sqrt{Δ} = 1 .$

Phương trình đã cho có hai nghiệm $x_{1} = \frac{- (- 3) - 1}{2} = 1;$ $x_{2} = \frac{- (- 3) + 1}{2} = 2 .$

Câu 6:

Giải phương trình: $6 . {(x - \frac{x}{x + 2})}^{2} + \frac{x^{2} - 12 x - 12}{x + 1} = 0 .$

Xem đáp án

Điều kiện $x \neq 1$

Phương trình $\Leftrightarrow 6 {(\frac{x^{2}}{x + 1})}^{2} + \frac{x^{2}}{x + 1} - 12 = 0$

Đặt: $t = \frac{x^{2}}{x + 1}$

Phương trình trở thành $6 t^{2} + t - 12 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t_{1} = \frac{4}{3} \\ t_{1} = - \frac{3}{2} \end{array}$

Với $t = \frac{4}{3}$ ta được $\frac{x^{2}}{x + 1} = \frac{4}{3} \Leftrightarrow 3 x^{2} - 4 x - 4 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 2 \\ x = - \frac{2}{3} \end{array}$

Với $t = - \frac{3}{2}$ ta được $\frac{x^{2}}{x + 1} = - \frac{3}{2} \Leftrightarrow 2 x^{2} + 3 x + 3 = 0$ (vô nghiệm).

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm: $S = \{2; \frac{- 2}{3}\} .$

Câu 7:

Cho phương trình $x^{2} - (2 m + 5) x + 2 m + 1 = 0 (1)$ với x là ẩn số, m là tham số.

a) Giải phương trình (1) khi

m = - \frac{1}{2}

.

Xem đáp án

Phương trình $x^{2} - (2 m + 5) x + 2 m + 1 = 0$ (1) với xlà ẩn, m là tham số.

a) Khi $m = \frac{- 1}{2}$ , phương trình trên trở thành $x^{2} - 4 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 4 \end{array}$ .

Câu 8:

b) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x₁ , x₂ sao cho biểu thức $P = | \sqrt{x_{1}} - \sqrt{x_{2}} |$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Xem đáp án

b) Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì $Δ = {(2 m + 5)}^{2} - 4 (2 m + 1) > 0$

$\Leftrightarrow 4 m^{2} + 12 m + 21 > 0 \Leftrightarrow {(2 m + 3)}^{2} + 12 > 0$ . Bất đẳng thức sau cùng luôn đúng với mọi giá trị của m. Do đó phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.

Để $P = | \sqrt{x_{1}} - \sqrt{x_{2}} |$ có nghĩa thì x₁ và x₂ phải dương $\Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 m + 5 \geq 0 \\ 2 m + 1 \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow m \geq - \frac{1}{2}$ .

Khi đó theo định lý Vi-et ta có $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 2 m + 5 \\ x_{1} x_{2} = 2 m + 1 \end{cases}$ ( với x₁ và x₂ là hai nghiệm của (1)).

Do đó $P^{2} = x_{1} + x_{2} - 2 \sqrt{x_{1} x_{2}} = 2 m + 5 - 2 \sqrt{2 m + 1}$

$= {(\sqrt{2 m + 1} - 1)}^{2} + 3 \geq 3 \Rightarrow P \geq \sqrt{3}$ .

Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng $\sqrt{3}$ khi $\sqrt{2 m + 1} = 1 \Leftrightarrow m = 0.$

Câu 9:

Cho phương trình $x^{2} - (m - 1) x - m^{2} + m - 1 = 0 (1)$ .

a) Giải phương trình với m=-1.

Xem đáp án

a) Thay m=-1 vào phương trình (1) ta được: $x^{2} + 2 x - 3 = 0$

Vì $a + b + c = 1 + 2 - 3 = 0$ nên phương trình có hai nghiệm x₁ =1và $x_{2} = \frac{c}{a} = - 3$ .

Câu 10:

b) Chứng minh rằng với mọi m phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt. Giả sử hai nghiệm là x₁, x₂ (x₁<x₂), khi đó tìm m để $|x_{2}| - |x_{1}| = 2$ .

Xem đáp án

b) $Δ = {(m - 1)}^{2} - 4.1. (- m^{2} + m - 1) = 5 m^{2} - 6 m + 5 = 5 [{(m - \frac{3}{5})}^{2} + \frac{16}{25}] > 0$ , với mọi m nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m .

Theo định lí Vi – ét: $x_{1} + x_{2} = m - 1$ và $x_{1} x_{2} = - m^{2} + m - 1 = - [{(m - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{3}{4}] < 0$ , với mọi .

Theo đề: $|x_{2}| - |x_{1}| = 2$ và $x_{2} > x_{1}$ suy ra:

${(|x_{2}| - |x_{1}|)}^{2} = 4 \Leftrightarrow x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - 2 |x_{1} x_{2}| = 4 \Leftrightarrow {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{1} x_{2} + 2 x_{1} x_{2} = 4 \Leftrightarrow {(x_{1} + x_{2})}^{2} = 4 \Leftrightarrow {(m - 1)}^{2} = 4$ .

Vậy m=-1, m=3 là giá trị cần tìm.

Câu 11:

Cho phương trình $2 x^{2} + 3 x - 1 = 0$ . Gọi $x_{1}, x_{2}$ là hai nghiệm phân biệt của phương trình.

Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức: $P = 2 (\frac{x_{1}}{x_{2}} + \frac{x_{2}}{x_{1}})$

Xem đáp án

Phương trình: $2 x^{2} + 3 x - 1 = 0$ . Ta thấy a,c trái dấu nên phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt.

Theo định lí Vi-ét ta có: $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = - \frac{3}{2} \\ x_{1} x_{2} = - \frac{1}{2} \end{cases}$

$P = 2 (\frac{x_{1}}{x_{2}} + \frac{x_{2}}{x_{1}}) = 2 (\frac{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}}{x_{1} x_{2}}) = 2 (\frac{x_{1}^{2} + 2 x_{1} x_{2} + x_{2}^{2} - 2 x_{1} x_{2}}{x_{1} x_{2}}) = \frac{2 {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 4 x_{1} x_{2}}{x_{1} x_{2}}$

$= \frac{2. {(- \frac{3}{2})}^{2} - 4. (- \frac{1}{2})}{- \frac{1}{2}} = \frac{\frac{9}{2} + 2}{- \frac{1}{2}} = - 2 (\frac{9}{2} + 2) = - 13$

Câu 12:

Cho phương trình $x^{2} - 2 m x + m^{2} - 1 = 0 (1),$ với m là tham số.

1) Giải phương trình (1) khi m=2

Xem đáp án

1) Với m=2 PT trở thành $x^{2} - 4 x + 3 = 0$

Giải phương trình tìm được các nghiệm x=1 ;x=3

Câu 13:

2) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m Gọi $x_{1}, x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình (1) lập phương trình bậc hai nhận $x_{1}^{3} - 2 m x_{1}^{2} + m^{2} x_{1} - 2$ và $x_{2}^{3} - 2 m x_{2}^{2} + m^{2} x_{2} - 2$ là nghiệm.

Xem đáp án

2) Ta có $Δ' = m^{2} - m^{2} + 1 = 1 > 0, \forall m .$

Do đó, phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.

Từ giả thiết ta có $x_{i}^{2} - 2 m x_{i} + m^{2} - 1 = 0, i = 1; 2.$

$x_{i}^{3} - 2 m x_{i}^{2} + m^{2} x_{i} - 2 = x_{i} (x_{i}^{2} - 2 m x_{i} + m^{2} - 1) + x_{i} - 2 = x_{i} - 2, i = 1; 2.$

Áp dụng định lí Viét cho phương trình (1) ta có $x_{1} + x_{2} = 2 m$ ; $x_{1} . x_{2} = m^{2} - 1$

Ta có

$\begin{array}{l} (x_{1} - 2) + (x_{2} - 2) = 2 m - 4; \\ (x_{1} - 2) (x_{2} - 2) = x_{1} x_{2} - 2 (x_{1} + x_{2}) + 4 \\ = m^{2} - 1 - 4 m + 4 = m^{2} - 4 m + 3. \end{array}$

Vậy phương trình bậc hai nhận $x_{1}^{3} - 2 m x_{1}^{2} + m^{2} x_{1} - 2, x_{2}^{3} - 2 m x_{2}^{2} + m^{2} x_{2} - 2$

là nghiệm là $x^{2} - (2 m - 4) x + m^{2} - 4 m + 3 = 0.$

Câu 14:

Giải phương trình $(x^{2} - x + 1) (x^{2} + 4 x + 1) = 6 x^{2}$

Xem đáp án

Dễ thấy x=0 không là nghiệm của phương trình nên

$P T \Leftrightarrow (x + \frac{1}{x} - 1) (x + \frac{1}{x} + 4) = 6.$

Đặt $t = x + \frac{1}{x}$ ta được $(t - 1) (t + 4) = 6 \Leftrightarrow t^{2} + 3 t - 10 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 2 \\ t = - 5 \end{array} .$

Với $t = 2 \Rightarrow x + \frac{1}{x} = 2 \Leftrightarrow x^{2} - 2 x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1.$

Với $t = - 5 \Rightarrow x + \frac{1}{x} = - 5 \Leftrightarrow x^{2} + 5 x + 1 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{- 5 - \sqrt{21}}{2} \\ x = \frac{- 5 + \sqrt{21}}{2} \end{array} .$

Câu 15:

Cho phương trình: $x^{2} - 2 (m - 1) x - (2 m + 1) = 0$ (1) (m là tham số)

a) Giải phương trình (1) với m=2.

Xem đáp án

a) Thay m=2 vào ta có phương trình: $x^{2} - 2 x - 5 = 0$

$Δ^{'} = {(- 1)}^{2} - 1. (- 5) = 6 > 0$

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là: $[\begin{matrix} x_{1} = \frac{- b^{'} + \sqrt{Δ^{'}}}{a} \\ x_{2} = \frac{- b^{'} - \sqrt{Δ^{'}}}{a} \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} x_{1} = 1 + \sqrt{6} \\ x_{2} = 1 - \sqrt{6} \end{matrix} .$

Câu 16:

b) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

Xem đáp án

b) Phương trình: $x^{2} - 2 (m - 1) x - (2 m + 1) = 0$ có:

$Δ^{'} = {[- (m - 1)]}^{2} + 1. (2 m + 1) = (m^{2} - 2 m + 1) + (2 m + 1) = m^{2} + 2 > 0, \forall m$

Vậy phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

Câu 17:

c) Tìm m để phương trình (1) luôn có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau.

Xem đáp án

c) Với mọi m phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn:

$\{\begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 2 (m - 1) \\ x_{1} x_{2} = - (2 m + 1) \end{matrix} .$

Yêu cầu bài toán tương đương: $x_{1} = - x_{2} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 0 \\ x_{1} x_{2} < 0 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} 2 (m - 1) = 0 \\ - (2 m + 1) < 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} m = 1 \\ m > - \frac{1}{2} \end{matrix} \Leftrightarrow m = 1.$

Vậy với m=1 thì phương trình (1) luôn có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau.

Câu 18:

Cho phương trình $x^{2} - 10 m x + 9 m = 0$ (1) ( với m là tham số).

a. Giải phương trình (1) khi m=1.

Xem đáp án

Cho phương trình $x^{2} - 10 m x + 9 m = 0$ (1) ( với m là tham số).

a. Khi m=1 thì phương trình (1) trở thành: $x^{2} - 10 x + 9 = 0$

Vì $a + b + c = 1 + (- 10) + 9 = 0$ nên phương trình có hai nghiệm: $x_{1} = 1$ , $x_{2} = 9$ .

Câu 19:

b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn điều kiện $x_{1} - 9 x_{2} = 0$ .

Xem đáp án

b. $x^{2} - 10 m x + 9 m = 0$ (1) ( với m là tham số).

Ta có: $Δ' = {(- 5 m)}^{2} - 1.9 m = 25 m^{2} - 9 m$

· Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt: $\Leftrightarrow Δ' > 0$

$\Leftrightarrow 25 m^{2} - 9 m > 0$

$\Leftrightarrow m (25 m - 9) > 0$

$\Leftrightarrow m < 0$ hay $m > \frac{9}{25}$

· Khi m<0 hay $m > \frac{9}{25}$ thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂.

Theo hệ thức vi-et ta có: $\{\begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 10 m (2) \\ x_{1} . x_{2} = 9 m (3) \end{matrix}$

· Theo yêu cầu bài toán: $x_{1} - 9 x_{2} = 0$ (4)

Kết hợp (2) với (4) ta được hệ phương trình:

$\{\begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 10 m \\ x_{1} - 9 x_{2} = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} x_{1} = 9 m \\ x_{2} = m \end{matrix}$

Thay $x_{1} = 9 m$ , $x_{2} = m$ vào (3) ta được phương trình: $9 m . m = 9 m \Leftrightarrow 9 m (m - 1) = 0$

$\Leftrightarrow m = 0$ ( loại) hay m=1(nhận)

Vậy m=1 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn yêu cầu $x_{1} - 9 x_{2} = 0$ .

Câu 20:

Cho phương trình $x^{2} - 2 m x - 6 m - 9 = 0$

a) Giải phương trình khi m=0.

Xem đáp án

a) Khi m=0 phương trình trở thành:

$x^{2} - 9 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 3$

Câu 21:

b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm

x_{1}, x_{2}

trái dấu thỏa mãn

{x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} = 13

Xem đáp án

b) Với a=1, b=-2m, b'=-m, c=-6m-9.

$Δ = b'^{2} - a c = m^{2} + 6 m + 9 = {(m - 3)}^{2} \geq 0, \forall m$

Phương trình luôn có 2 nghiệm $x_{1}, x_{2}$ với mọi m.

Theo hệ thức Viet ta có: $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 2 m \\ x {}_{1}. x_{2} = - 6 m - 9 \end{cases}$

Phương trình có 2 nghiệm trái dấu $\Leftrightarrow x_{1} x_{2} < 0 \Leftrightarrow - 6 m - 9 < 0 \Leftrightarrow m > \frac{- 3}{2}$

Ta có : $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 13$

$\Leftrightarrow {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{1} x_{2} = 13 \Leftrightarrow {(2 m)}^{2} - 2 (- 6 m - 9) - 13 = 0 \Leftrightarrow 4 m^{2} + 12 m + 5 = 0$

$\Leftrightarrow m = \frac{- 5}{2}$ (loại) hoặc $m = \frac{- 1}{2}$ (nhận).

Vậy $m = \frac{- 1}{2}$ .

Câu 22:

Cho phương trình: $2 x^{2} - 2 m x + m^{2} - 2 = 0 (1)$ , với m là tham số.

a. Giải phương trình (1) khi m=2

Xem đáp án

a. Với m=2 thay vào phương trình (1) ta được: $2 x^{2} - 4 x + 2 = 0 \Leftrightarrow 2 {(x - 1)}^{2} = 0 \Leftrightarrow x = 1.$

Vậy với m=2 thì phương trình (1) có nghiệm là x=1

Câu 23:

b. Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm $x_{1}, x_{2}$ sao cho biểu thức $A = |2 x_{1} x_{2} - x_{1} - x_{2} - 4|$ đạt giá trị lớn nhất.

Xem đáp án

b.Phương trình (1) có hai nghiệm $x_{1}, x_{2} \Leftrightarrow Δ \geq 0 \Leftrightarrow m^{2} - 4 \leq 0 \Leftrightarrow - 2 \leq m \leq 2.$

Theo Vi – et ta có: $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = m \\ x_{1} . x_{2} = \frac{m^{2} - 2}{2} \end{cases}$

Theo đề bài ta có: $A = |2 x_{1} x_{2} - x_{1} - x_{2} - 4| = |m^{2} - m - 6| = |(m - 3) (m + 2)|$ Do $- 2 \leq m \leq 2$ nên $m + 2 \geq 0$ , $m - 3 \leq 0.$ Suy ra $A = (m + 2) (- m + 3) = - m^{2} + m + 6 = - {(m - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{25}{4} \leq \frac{25}{4} .$

Vậy A đạt giá trị lớn nhất bằng $\frac{25}{4}$ khi $m = \frac{1}{2}$ .

Câu 24:

Giải phương trình $x^{2} - 4 x + 3 = 0$

Xem đáp án

$x^{2} - 4 x + 3 = 0 (a = 1, b = - 4, c = 3) Δ = b^{2} - 4 a c = {(- 4)}^{2} - 4.1.3 = 4$

Do $Δ > 0$ nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

$x_{1} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a} = 3; x_{2} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a} = 1$

Câu 25:

Cho phương trình: $m x^{2} + x - 2 = 0$ (1), với mlà tham số.

a. Giải phương trình (1) khi m=0.

Xem đáp án

Cho phương trình: $m x^{2} + x - 2 = 0$ (1), với m là tham số

a. Giải phương trình (1) khi m=0.

Khi m=0, ta có phương trình: $x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2$

Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất là x=2.

Câu 26:

b) Giải phương trình (1) khi m=1.

Xem đáp án

Giải phương trình (1) khi m=1.

Khi m=1, ta có phương trình: $x - 2 = 0$

Ta thấy: a+b+c=0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

$x_{1} = 1$ ; $x_{2} = - 2$ .

Câu 27:

Giải phương trình $3 x - 5 = x + 2$

Xem đáp án

$3 x - 5 = x + 2$

$\Leftrightarrow 3 x - x = 2 + 5$

$\Leftrightarrow 2 x = 7$

$\Leftrightarrow x = \frac{7}{2}$

Câu 28:

Giải phương trình: $2 x^{2} - (1 - 2 \sqrt{2}) x - \sqrt{2} = 0$

Xem đáp án

$2 x^{2} - (1 - 2 \sqrt{2}) x - \sqrt{2} = 0 \Leftrightarrow 2 x^{2} - x + 2 \sqrt{2} x - \sqrt{2} = 0 \Leftrightarrow x (2 x - 1) + \sqrt{2} (2 x - 1) = 0 \Leftrightarrow (x + \sqrt{2}) (2 x - 1) = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x + \sqrt{2} = 0 \Leftrightarrow x = - \sqrt{2} \\ 2 x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2} \end{matrix}$

Câu 29:

Giải các phương trình sau trên tập số thực:

a) $2 x^{2} - 9 x + 10 = 0$

Xem đáp án

a) Giải phương trình

$\begin{array}{l} 2 x^{2} - 9 x + 10 = 0 (1) \\ Δ = {(- 9)}^{2} - 4.2.10 = 1 \end{array}$

Vì $Δ > 0$ nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt:

$\begin{array}{l} x_{1} = \frac{9 + 1}{4} = \frac{5}{2} \\ x_{2} = \frac{9 - 1}{4} = 2 \end{array}$

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là $S = \{2; \frac{5}{2}\}$ .

Câu 30:

b) ${(x - 1)}^{4} - 8 {(x - 1)}^{2} - 9 = 0$

Xem đáp án

${(x - 1)}^{4} - 8 {(x - 1)}^{2} - 9 = 0 (1)$

Đặt ${(x - 1)}^{2} = t^{2} (t \geq 0)$ .

Khi đó phương trình (1) trở thành:

$\begin{array}{l} t^{2} - 8 t - 9 = 0 (2) \\ Δ = {(- 8)}^{2} - 4.1. (- 9) = 100 \end{array}$

Vì $Δ > 0$ nên phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt:

$t_{1} = \frac{8 + \sqrt{100}}{2} = 9$ (thoả mãn)

$t_{2} = \frac{8 - \sqrt{100}}{2} = - 1$ (không thoả mãn)

Với t=9 ta có:

$\begin{array}{l} {(x - 1)}^{2} = 9 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x - 1 = 3 \\ x - 1 = - 3 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 4 \\ x = - 2 \end{array} \end{array}$

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: S={-2;4}.

Câu 31:

Cho phương trình $x^{2} - (m + 4) x - 2 m^{2} + 5 m + 3 = 0$ (m là tham số). Tìm các giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt sao cho tích của hai nghiệm này bằng -30. Khi đó, tính tổng hai nghiệm của phương trình.

Xem đáp án

$\begin{array}{l} x^{2} - (m + 4) x - 2 m^{2} + 5 m + 3 = 0 (1) \\ Δ = {[- (m + 4)]}^{2} - 4.1. (- 2 m^{2} + 5 m + 3) \\ = m^{2} + 8 m + 16 + 8 m^{2} - 20 m - 12 \\ = 9 m^{2} - 12 m + 4 = {(3 m - 2)}^{2} > 0 \forall m \in ℤ \end{array}$

Vì $Δ > 0 \forall m \in ℤ$ nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình (1).

Theo hệ thức Viet ta có: $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = m + 4 \\ x_{1} . x_{2} = - 2 m^{2} + 5 m + 3 \end{cases}$

Theo đề bài ta có: $x_{1} . x_{2} = - 30$

Với m=-3 ta có: $x_{1} + x_{2} = m + 4 = - 3 + 4 = 1$

Vậy tổng hai nghiệm của phương trình là 1.

Câu 32:

Giải phương trình $3 x - 5 = x + 2$

Xem đáp án

$3 x - 5 = x + 2 \Leftrightarrow 3 x - x = 2 + 5 \Leftrightarrow 2 x = 7 \Leftrightarrow x = \frac{7}{2}$

Câu 33:

Giải phương trình: $2 x^{2} - (1 - 2 \sqrt{2}) x - \sqrt{2} = 0$

Xem đáp án

$2 x^{2} - (1 - 2 \sqrt{2}) x - \sqrt{2} = 0 \Leftrightarrow 2 x^{2} - x + 2 \sqrt{2} x - \sqrt{2} = 0 \Leftrightarrow x (2 x - 1) + \sqrt{2} (2 x - 1) = 0 \Leftrightarrow (x + \sqrt{2}) (2 x - 1) = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x + \sqrt{2} = 0 \Leftrightarrow x = - \sqrt{2} \\ 2 x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2} \end{matrix}$

Câu 34:

Giải phương trình: $5 x - 18 = 3 x + 24$

Xem đáp án

$5 x - 18 = 3 x + 24 \Leftrightarrow 2 x = 42 \Leftrightarrow x = 21$

Câu 35:

Tìm m để phương trình $x^{2} - 2 (m + 2) x + 6 m + 2 = 0$ có hai nghiệm mà nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.

Xem đáp án

Phương trình có 2 nghiệm x₁, x₂ $\Leftrightarrow Δ^{'} \geq 0$ .

$\Leftrightarrow {(m + 2)}^{2} - (6 m + 2) \geq 0 \Leftrightarrow m^{2} - 2 m + 2 \geq 0 \Leftrightarrow {(m - 1)}^{2} + 1 \geq 0$ (luôn đúng với mọi ).

Theo hệ thức Vi-et ta có: $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 2 (m + 2) (1) \\ x_{1} x_{2} = 6 m + 2 (2) \end{cases}$ .

Theo giả thiết, giả sử: $x_{1} = 2 x_{2} (3)$ .

Từ (1) và (3) ta có: $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 2 (m + 2) \\ x_{1} = 2 x_{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{1} = \frac{4 (m + 2)}{3} \\ x_{2} = \frac{2 (m + 2)}{3} \end{cases} (4)$ .

Thay (4) vào (2) ta được:

$\frac{4 (m + 2)}{3} . \frac{2 (m + 2)}{3} = 6 m + 2 \Leftrightarrow 4 m^{2} - 11 m + 7 = 0 \Leftrightarrow (4 m - 7) (m - 1) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 1 \\ m = \frac{7}{4} \end{array}$

Câu 36:

Cho phương trình $x^{2} - 2 (m + 1) x + m^{2} + 5 = 0 (1)$ , với x là ẩn số.

a) Giải phương trình (1) khi m=2.

Xem đáp án

a) Khi m=2, phương trình trở thành: $x^{2} - 6 x + 9 = 0 \Leftrightarrow {(x - 3)}^{2} = 0 \Leftrightarrow x = 3$

Vậy khi m=2 thì phương trình có một nghiệm x=3.

Câu 37:

b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x₁ và x₂ thỏa mãn đẳng thức sau:

$2 x_{1} x_{2} - 5 (x_{1} + x_{2}) + 8 = 0$ .

Xem đáp án

$Δ^{'} = {(m + 1)}^{2} - (m^{2} + 5) = 2 m - 4$

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow Δ^{'} > 0 \Leftrightarrow 2 m - 4 > 0 \Leftrightarrow m > 2$

Với m>2, phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$

Theo định lý viet: $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 2 (m + 1) \\ x_{1} x_{2} = m^{2} + 5 \end{cases}$

Ta có

$\begin{array}{l} 2 x_{1} x_{2} - 5 (x_{1} + x_{2}) + 8 = 0 \Leftrightarrow 2 (m^{2} + 5) - 5.2 (m + 1) + 8 = 0 \\ \Leftrightarrow 2 m^{2} + 10 - 10 m - 2 = 0 \Leftrightarrow 2 m^{2} - 10 m + 8 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 1 \\ m = 4 \end{array} \end{array}$

Vì m>2 nên m=4.

Câu 38:

Giải phương trình $16 x^{4} - 8 x^{2} + 1 = 0$

Xem đáp án

$16 x^{4} - 8 x^{2} + 1 = 0$

Đặt $t = x^{2}$ ; điều kiện $t \geq 0$

(*) $\Rightarrow 16 t^{2} - 8 t + 1 = 0; (a = 16; b = - 8; c = 1)$ ;

$Δ' = b'^{2} - a c = {(- 4)}^{2} - 16.1 = 0$

$\Rightarrow$ phương trình có nghiệm kép:

$t_{1} = t_{2} = \frac{- b'}{a} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$

$t = \frac{1}{4} \Leftrightarrow x^{2} = \pm \frac{1}{2}$

Vậy phương trình có tập nghiệm là $S = \{- \frac{1}{2}; \frac{1}{2}\}$

Câu 39:

Cho phương trình $x^{2} - m x + m - 1 = 0$ (có ẩn số x).

a/ Chứng minh phương trình đã cho luôn có hai nghiệm $x_{1} {; x}_{2}$ với mọi m

Xem đáp án

PT đã cho: $x^{2} - m x + m - 1 = 0$ (có ẩn số x).

a/ $Δ = {(- m)}^{2} - 4.1 (m - 1) = m^{2} - 4 m + 4 = {(m - 2)}^{2} \geq 0$ với mọi m vậy PT đã cho luôn có hai nghiệm x₁; x₂ với mọi m.

Câu 40:

Cho biểu thức $B = \frac{2 x_{1} x_{2} + 3}{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + 2 (1 + x_{1} x_{2})}$ . Tìm giá trị của m để B=1

Xem đáp án

Theo Vi-et: $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} = m \\ x_{1} . x_{2} = \frac{c}{a} = m - 1 \end{cases}$

$B = \frac{2 x_{1} x_{2} + 3}{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + 2 (1 + x_{1} x_{2})} = \frac{2 x_{1} x_{2} + 3}{{(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{1} x_{2} + 2 (1 + x_{1} x_{2})} = \frac{2 x_{1} x_{2} + 3}{{(x_{1} + x_{2})}^{2} + 2} = \frac{2 (m - 1) + 3}{m^{2} + 2} = \frac{2 m + 1}{m^{2} + 2} B = 1 \Leftrightarrow \frac{2 m + 1}{m^{2} + 2} = 1 \Leftrightarrow 2 m + 1 = m^{2} + 2 \Leftrightarrow m^{2} - 2 m + 1 = 0 \Leftrightarrow {(m - 1)}^{2} = 0 \Leftrightarrow m = 1$

Câu 41:

Giải phương trình $x^{2} - 9 x + 20 = 0.$

Xem đáp án

$x^{2} - 9 x + 20 = 0 Δ = 9^{2} - 4.1.20 = 1$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $x_{1} = \frac{9 + \sqrt{1}}{2} = 5; x_{2} = \frac{9 - \sqrt{1}}{2} = 4$

Câu 42:

Giải phương trình: $x^{4} - 2 x^{2} - 3 = 0$ .

Xem đáp án

$x^{4} - 2 x^{2} - 3 = 0$

Đặt $t = x^{2} (t \geq 0)$ thì phương trình đã cho trở thành: $t^{2} - 2 t - 3 = 0$

Phương trình bậc hai có $a - b + c = 1 + 2 - 3 = 0$ nên có nghiệm

t=-1 (loại) hoặc t=3.

với $t = 3 \Rightarrow x^{2} = 3 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{3}$

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm: $S = {\pm \sqrt{3}}$

Câu 43:

Tìm các giá trị của tham số m để phương trình

x^{2} + (2 m - 1) x + m^{2} - 1 = 0

có hai nghiệm

x_{1}; x_{2}

sao cho biểu thức

P = x_{1}^{2} + x_{2}^{2}

đạt giá trị nhỏ nhất

Xem đáp án

Xét phương trình $x^{2} + (2 m - 1) x + m^{2} - 1 = 0$ có $Δ = {(2 m - 1)}^{2} - 4.1. (m^{2} - 1) = - 4 m + 5$

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì $Δ > 0 \Rightarrow - 4 m + 5 > 0 \Leftrightarrow m < \frac{5}{4}$

Khi $x_{1}; x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình đã cho, theo hệ thức Vi-et ta có:

$\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 1 - 2 m \\ x_{1} . x_{2} = m^{2} - 1 \end{cases}$

Khi đó: $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{1} x_{2} = {(1 - 2 m)}^{2} - 2 (m^{2} - 1) = 2 m^{2} - 4 m + 3 = 2 {(m - 1)}^{2} + 1 \geq 1$

Vậy $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất là 1 khi m = 1 (thỏa điều kiện $m < \frac{5}{4}$ )

Vậy giá trị m cần tìm là 1

Câu 44:

Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình $x^{2} - 2 x + m - 1 = 0$ có hai nghiệm x₁,x₂thỏa mãn $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - x_{1} x_{2} + x_{1}^{2} x_{2}^{2} - 14 = 0$

Xem đáp án

$x^{2} - 2 x + m - 1 = 0 (1)$

(1) là phương trình bậc hai có $Δ^{'} = 1 - (m - 1) = 2 - m$

(1) có hai nghiệm x₁, x₂ $\Leftrightarrow Δ^{'} \geq 0 \Leftrightarrow 2 - m \geq 0 \Leftrightarrow m \leq 2$ (*)

Khi đó theo hệ thức Viet ta có $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 2 \\ x_{1} x_{2} = m - 1 \end{cases}$ (2)

Biến đổi $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - x_{1} x_{2} + x_{1}^{2} x_{2}^{2} - 14 = 0 \Leftrightarrow {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 3 x_{1} x_{2} + x_{1}^{2} x_{2}^{2} - 14 = 0$ .

Kết hợp với (2) ta được $2^{2} - 3 (m - 1) + {(m - 1)}^{2} - 14 = 0$

$\Leftrightarrow m^{2} - 5 m - 6 = 0 \Leftrightarrow m (m + 1) - 6 (m + 1) = 0 \Leftrightarrow (m + 1) (m - 6) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = - 1 \\ m = 6 \end{array}$ .

Kết hợp với (*) ta được m=-1 thỏa mãn.

Đ/s: m=-1.

Câu 45:

Giải phương trình: $x^{2} - 4 x + 3 = 0.$

Xem đáp án

Ta có

$x^{2} - 4 x + 3 = 0 \Leftrightarrow (x - 1) (x - 3) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x - 1 = 0 \\ x - 3 = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = 3 \end{array}$

Vậy tập nghiệm của phương trihf là S={1;3}

Câu 46:

Cho phương trình $x^{2} - 2 (m + 2) x + m^{2} = 0$ (m là tham số). Tìm giá trị m để phương trình đã cho có hai nghiệm $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $(x_{1} + 3) (x_{2} + 3) = 28.$

Xem đáp án

Phương trình có hai nghiệm khi: $Δ' = {(m + 2)}^{2} - m^{2} \geq 0 \Leftrightarrow 4 m + 4 \geq 0 \Leftrightarrow m \geq - 1$ (1) .

Theo hệ thức Vi-ét ta có : $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 2 (m + 2) \\ x_{1} . x_{2} = m^{2} \end{cases}$ (2).

Ta có : $(x_{1} + 3) (x_{2} + 3) = 28 \Leftrightarrow x_{1} x_{2} + 3 (x_{1} + x_{2}) = 19.$ (3).

Thay (2) vào (3) ta có $m^{2} + 6 (m + 2) = 19 \Leftrightarrow m^{2} + 6 m - 7 = 0$

$\Leftrightarrow m = 1$ hoặc m=-7.

Đối chiếu điều kiện (1) ta được m=1.

Câu 47:

Giải phương trình (2x-1)(x+2)=0

Xem đáp án

$(2 x - 1) (x + 2) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 2 x - 1 = 0 \\ x + 2 = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{1}{2} \\ x = - 2 \end{array}$

Câu 48:

Tìm m để phương trình: x² +5x+3m-1=0 (x là ẩn, m là tham số) có hai nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn $x_{1}^{3} - x_{2}^{3} + 3 x_{1} x_{2} = 75$ .

Xem đáp án

$Δ = 29 - 12 m$ .

Phương trình có nghiệm $\Leftrightarrow m \leq \frac{29}{12}$ .

Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = - 5 \\ x_{1} x_{2} = 3 m - 1 \end{cases}$

Cách 1:

(1) $\Leftrightarrow x_{2} = - 5 - x_{1}$ , thay vào hệ thức ${x_{1}}^{3} - {x_{2}}^{3} + 3 x_{1} x_{2} = 75$ ta được:

${x_{1}}^{3} + {(5 + x_{1})}^{3} + 3 x_{1} (- 5 - x_{1}) = 75$ .

$\Leftrightarrow {x_{1}}^{3} + 6 {x_{1}}^{2} + 30 x_{1} + 25 = 0$ .

Giải phương trình được x=-1 $\Rightarrow x_{2} = - 4$ .

Thay x₁ và x₂vào (2), tìm được $m = \frac{5}{3}$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy $m = \frac{5}{3}$ là giá trị cần tìm.

Cách 2:

${x_{1}}^{3} - {x_{2}}^{3} + 3 x_{1} x_{2} = 75 \Leftrightarrow (x_{1} - x_{2}) ({x_{1}}^{2} + x_{1} x_{2} + {x_{2}}^{2}) = 75 - 3 x_{1} x_{2} \Leftrightarrow (x_{1} - x_{2}) [{(x_{1} + x_{2})}^{2} - x_{1} x_{2}] = 3 (25 - x_{1} x_{2}) \Leftrightarrow (x_{1} - x_{2}) (26 - 3 m) = 3 (26 - 3 m)$

$\Leftrightarrow (x_{1} - x_{2}) = 3$ (do $m \leq \frac{29}{12} \Rightarrow 26 - 3 m > 0$ ).

Ta có hệ phương trình: $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = - 5 \\ x_{1} - x_{2} = 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{1} = - 1 \\ x_{2} = - 4 \end{cases}$ .

Từ đó tìm được m.

Câu 49:

Giải phương trình: $x^{2} - 3 x - 10 = 0$

Xem đáp án

$x^{2} - 3 x - 10 = 0 \begin{array}{l} Δ = {(- 3)}^{2} - 4.1. (- 10) = 49 \\ \Rightarrow \sqrt{Δ} = 7 \end{array}$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt: $x_{1} = \frac{3 - 7}{2} = - 2$ và $x_{2} = \frac{3 + 7}{2} = 5$

Câu 50:

b. Gọi x₁ và x₂ là nghiệm của phương trình (1). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$

Xem đáp án

b. Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

Theo hệ thức Vi – ét ta có: $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 2 (m - 2) \\ x_{1} x_{2} = - 6 m \end{cases}$

Suy ra $P = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{1} x_{2} \begin{array}{l} = {(2 m - 4)}^{2} - 2 (- 6 m) \\ = 4 m^{2} - 16 m + 16 + 12 m \\ = 4 m^{2} - 4 m + 16 \\ = {(2 m - 1)}^{2} + 15 \end{array}$

Vì ${(2 m - 1)}^{2} \geq 0$ mọi m

Nên ${(2 m - 1)}^{2} + 15 \geq 15$ mọi m

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 15

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow 2 m - 1 = 0 \Rightarrow m = \frac{1}{2}$ .

Câu 51:

2.Cho phương trình: $x^{2} - 2 (m - 2) x - 6 m = 0$ (1) (m là tham số).

a. Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

Xem đáp án

a. $Δ = {(m - 2)}^{2} - (- 6 m) = m^{2} - 4 m + 4 + 6 m = m^{2} + 2 m + 4 = {(m + 1)}^{2} + 3$

Vì ${(m + 1)}^{2} \geq 0$ với mọi m nên ${(m + 1)}^{2} + 3 > 0$ với mọi m

Câu 52:

Giải các phương trình sau:

a)

5 x^{2} - 16 x + 3 = 0

Xem đáp án

a) $5 x^{2} - 16 x + 3 = 0$

Ta có: $Δ = 196 > 0$

Phương trình có 2 nghiệm $x_{1} = 3$ , $x_{2} = \frac{1}{5}$

Câu 53:

b) $x^{4} + 9 x^{2} - 10 = 0$

Xem đáp án

b) $x^{4} + 9 x^{2} - 10 = 0$

Đặt $t = x^{2}, t \geq 0$ , phương trình trở thành $t^{2} + 9 t - 10 = 0$

Giải phương trình ta được t=1 (nhận); t=-10 (loại)

Khi t=1, ta có $x^{2} = 1 \Leftrightarrow x = \pm 1$ .

Câu 54:

Cho phương trình $x^{2} - 2 (m + 1) x + m - 1 = 0$ (m là tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn $3 x_{1} + x_{2} = 0$ .

Xem đáp án

Phương trình có $Δ' = {(m + 1)}^{2} - 1. (m - 1) = m^{2} + 2 m + 1 - m + 1 = m^{2} + m + 2$ .

$Δ' = m^{2} + m + 2 = {(m + \frac{1}{2})}^{2} + (2 - \frac{1}{4}) = {(m + \frac{1}{2})}^{2} + \frac{7}{4} > 0, \forall m$ .

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

Khi đó, theo Vi-ét $x_{1} + x_{2} = 2 m + 2 (1)$ ;

$x_{1} . x_{2} = m - 1$ . (2)

Theo đề bài ta có $3 x_{1} + x_{2} = 0$ (3)

Từ (1) và (3) suy ra $x_{1} = - 1 - m; x_{2} = 3 m + 3$ thay vào (2) ta được

$(- 1 - m) (3 m + 3) = m - 1 \Leftrightarrow [\begin{matrix} m = - 2 \\ m = - \frac{1}{3} \end{matrix}$

Câu 55:

Cho phương trình: $x^{2} - (m - 1) x - m = 0$ (1) (với x là ẩn số, m là tham số).

a) Giải phương trình (1) với m=4;

Xem đáp án

Với m=4 phương trình (1) có dạng: $x^{2} - 3 x - 4 = 0$ .

Ta có: $Δ = {(- 3)}^{2} - 4. (- 4) .1 = 25 > 0 \Rightarrow$ Phương trình có hai nghiệm phân biệt: $x_{1} = - 1; x_{2} = 4$ .

Vậy khi m=4 thì phương trình (1) có hai nghiệm $x_{1} = - 1; x_{2} = 4$ .

Câu 56:

b) Xác định các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂ thoả mãn điều kiện: $x_{1} (3 - x_{2}) + 20 \geq 3 (3 - x_{2}) .$

Xem đáp án

Tính $Δ = {(m - 1)}^{2} + 4 m = {(m + 1)}^{2}$ .

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì $Δ > 0 \Leftrightarrow {(m + 1)}^{2} > 0 \Leftrightarrow m \neq - 1$ .

Khi đó theo hệ thức Vi-et ta có: $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = m - 1 \\ x_{1} . x_{2} = - m \end{cases}$ .

Theo đầu bài ta có: $x_{1} (3 - x_{2}) + 20 \geq 3 (3 - x_{2})$

$\Leftrightarrow 3 (x_{1} + x_{2}) - x_{1} x_{2} \geq - 11 \Leftrightarrow 3 (m - 1) + m \geq - 11 \Leftrightarrow 4 m \geq - 8 \Leftrightarrow m \geq - 2.$

Vậy $m \geq - 2; m \neq - 1$ thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn $x_{1} (3 - x_{2}) + 20 \geq 3 (3 - x_{2})$ .

Câu 57:

Tìm x biết:

a) 2x-3=0

Xem đáp án

a) $2 x - 3 = 0 \Leftrightarrow 2 x = 3 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}$

Vậy $x = \frac{3}{2}$

Câu 58:

b) |x+3|=2

Xem đáp án

b) $|x + 3| = 2 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x + 3 = 2 \\ x + 3 = - 2 \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = - 1 \\ x = - 5 \end{matrix}$

Vậy x=-1 hoặc x=-5

Câu 59:

Giải phương trình: ${(x + 1)}^{4} - 2 {(x + 1)}^{2} - 3 = 0$ .

Xem đáp án

Đặt $t = {(x + 1)}^{2}$ , điều kiện $t \geq 0$

Phương trình trở thành: $t^{2} - 2 t - 3 = 0$

$\Leftrightarrow t^{2} + t - 3 t - 3 = 0 \Leftrightarrow (t + 1) (t - 3) = 0$

Vậy ${(x + 1)}^{2} = 3 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = - 1 + \sqrt{3} \\ x = - 1 - \sqrt{3} \end{matrix}$

Kết luận: tập nghiệm của phương trình là $S = \{- 1 + \sqrt{3}; - 1 - \sqrt{3}\}$

Câu 60:

Giải phương trình: $x^{2} = (x - 1) (3 x - 2)$

Xem đáp án

$\begin{array}{l} x^{2} = (x - 1) (3 x - 2) \\ \Leftrightarrow - 2 x^{2} + 5 x - 2 = 0 \end{array} Δ = b^{2} - 4 a c = 5^{2} - 4. (- 2) . (- 2) = 9$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$[\begin{array}{l} x_{1} = 2 \\ x_{2} = \frac{1}{2} \end{array}$

Câu 61:

Giải phương trình: $x - 3 \sqrt{x} - 10 = 0$

Xem đáp án

$x - 3 \sqrt{x} - 10 = 0 \Leftrightarrow x + 2 \sqrt{x} - 5 \sqrt{x} - 10 = 0 \Leftrightarrow (\sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 5) = 0 \Leftrightarrow \sqrt{x} - 5 = 0 (v ì \sqrt{x} + 2 > 0) \Leftrightarrow x = 25$

Câu 62:

Không sử dụng máy tính, hãy tìm nghiệm của phương trình $x^{2} + 3 x - 10 = 0.$

Xem đáp án

$x^{2} + 3 x - 10 = 0 \Leftrightarrow x^{2} - 2 x + 5 x - 10 = 0 \Leftrightarrow x (x - 2) + 5 (x - 2) = 0 \Leftrightarrow (x - 2) (x + 5) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 2 \\ x = - 5 \end{array}$

Vậy nghiệm dương của phương trình là x=2

Câu 63:

Giải phương trình:

a) 2x-1=0

Xem đáp án

a) Ta có: $2 x - 1 = 0 \Leftrightarrow 2 x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}$

Câu 64:

b) $x^{2} - 6 x - 7 = 0$

Xem đáp án

b) $x^{2} - 6 x - 7 = 0 (a = 1; b = - 6; c = - 7)$

Ta có: $a - b + c = 0$ $\Leftrightarrow [\begin{matrix} x_{1} = - 1 \\ x_{2} = 7 \end{matrix}$

Câu 65:

Cho phương trình: $x^{2} - (2 m + 1) x + m^{2} + 1 = 0$

a) Tìm m để phương trình có nghiệm.

Xem đáp án

$\begin{matrix} Δ = b^{2} - 4 a c \\ = {(2 m + 1)}^{2} - 4. (m^{2} + 1) \\ = 4 m^{2} + 4 m + 1 - 4 m^{2} - 4 \\ = 4 m - 3 \end{matrix}$

Để phương trình có nghiệm $\Leftrightarrow Δ \geq 0 \Leftrightarrow 4 m - 3 \geq 0 \Leftrightarrow m \geq \frac{3}{4}$

Câu 66:

b) Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình. Tìm m để x₁=2x₂.

Xem đáp án

b) Theo định lý Vi-ét: $\{\begin{cases} S = x_{1} + x_{2} = \frac{- b}{a} = 2 m + 1 (1) \\ P = x_{1} x_{2} = \frac{c}{a} = m^{2} + 1 (2) \end{cases}$

Ta có: $x_{1} = 2 x_{2}$ thế vào (1) $\Rightarrow 3 x_{2} = 2 m + 1 \Leftrightarrow x_{2} = \frac{2 m + 1}{3}$ thế vào (2) $\Rightarrow 2. \frac{{(2 m + 1)}^{2}}{9} = m^{2} + 1$

\begin{array}{l} \Leftrightarrow 8 m^{2} + 8 m + 2 = 9 m^{2} + 9 \\ \Leftrightarrow m^{2} - 8 m + 7 = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 1 \\ m = 7 \end{array} \end{array}

Câu 67:

Xác định phương trình $a x^{2} + b x + c = 0$ với $a \neq 0$ ; b, c là các số và b+c=5. Biết rằng phương trình có hai nghiệm x_1,x₂ thỏa mãn $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = - 4 \\ x_{1} x_{2} = - 5 \end{cases}$ .

Xem đáp án

Theo định lý Vi-et ta có: $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = \frac{- b}{a} = - 4 \\ x_{1} x_{2} = \frac{c}{a} = - 5 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} b = 4 a (1) \\ c = - 5 a (2) \end{cases}$

Từ (1) và (2) thay vào b+c=5 ta được: $4 a - 5 a = 5 \Leftrightarrow a = - 5$

Suy ra $b = - 20; c = 25$ .

Vậy phương trình đã cho có dạng: $- 5 x^{2} - 20 x + 25 = 0$

Câu 68:

Giải phương trình:

a) $x^{2} - 12 x + 35 = 0$

Xem đáp án

$x^{2} - 12 x + 35 = 0$

Ta có phương trình tương đương:

$x^{2} - 5 x - 7 x + 35 = 0 \Leftrightarrow x (x - 5) - 7 (x - 5) = 0 \Leftrightarrow (x - 5) (x - 7) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x - 5 = 0 \\ x - 7 = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 5 \\ x = 7 \end{array}$

Vậy, phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $x_{1} = 5, x_{2} = 7$

Câu 69:

b) $x^{4} - 3 x^{2} - 4 = 0$

Xem đáp án

$x^{4} - 3 x^{2} - 4 = 0$

Đặt $t = x^{2}$ , điều kiện $t \geq 0$

Phương trình đã cho trở thành $t^{2} - 3 t - 4 = 0 \Leftrightarrow (t + 1) (t - 4) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t + 1 = 0 \\ t - 4 = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = - 1 \\ t = 4 \end{array}$

Do $t \geq 0$ nên ta chọn t=4. Khi đó, ta có $x^{2} = 4 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 2 \\ x = - 2 \end{array}$

Vây, phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $x_{1} = 2, x_{2} = - 2$

Câu 70:

Giải phương trình: 3x-2=0

Xem đáp án

$3 x - 2 = 0 \Leftrightarrow 3 x = 2 \Leftrightarrow x = \frac{2}{3} .$

Câu 71:

Cho phương trình $x^{2} - m x - 1 = 0, m$ là tham số. Tìm giá trị của m để phương trình có hai

nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $(x_{1}^{2} - 1) (x_{2}^{2} - 1) = - 1.$

Xem đáp án

- Phương trình: $x^{2} - m x - 1 = 0$ có $Δ = m^{2} + 4 > 0$ , Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂.

- Ta có: $(x_{1}^{2} - 1) (x_{2}^{2} - 1) = - 1 \Leftrightarrow x_{1}^{2} x_{2}^{2} - x_{1}^{2} - x_{2}^{2} + 1 = - 1 \Leftrightarrow {(x_{1} x_{2})}^{2} - {(x_{1} + x_{2})}^{2} + 2 x_{1} x_{2} + 2 = 0 \Leftrightarrow {(\frac{c}{a})}^{2} - {(\frac{- b}{a})}^{2} + 2 \frac{c}{a} + 2 = 0 \Leftrightarrow 1 - m^{2} - 2 = 0 \Leftrightarrow m^{2} = 1 \Leftrightarrow m = 1$ (thỏa mãn) hoặc m=-1 (thỏa mãn). Vậy 2 giá trị cần tìm của m là m=1 hoặc m=-1

Câu 72:

Giải phương trình: $\sqrt{4 x^{2} - 12 x + 9} = 9$

Xem đáp án

$\sqrt{4 x^{2} - 12 x + 9} = 9$

Đặt $4 x^{2} - 12 x + 9 \geq 0$ $\Leftrightarrow {(2 x - 3)}^{2} \geq 0 \forall x \in R$

$\sqrt{4 x^{2} - 12 x + 9} = 9 \Leftrightarrow \sqrt{{(2 x - 3)}^{2}} = 9 \Leftrightarrow 2 x - 3 = 9 \Leftrightarrow x = 6$

Câu 73:

Giải phương trình: $3 x^{2} + 2 x - 8 = 0$ (không giải trực tiếp bằng máy tính)

Xem đáp án

Pphương trình: $3 x^{2} + 2 x - 8 = 0 (a = 3; b' = 1; c = - 8)$

$\sqrt{Δ'} = \sqrt{b'^{2} - a c} = \sqrt{1 + 24} = \sqrt{25} = 5 \Leftrightarrow x_{1} = \frac{- 1 + 5}{3} = \frac{4}{3}; x_{2} = \frac{- 1 - 5}{3} = - 2$

Câu 74:

Cho phương trình: $x^{2} - 2 (m + 1) x + m^{2} - 3 = 0$ (m là tham số). Tìm tất cả các giá trị tham số m để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $\frac{x_{1}}{x_{2}} + \frac{x_{2}}{x_{1}} = - 2$

Xem đáp án

Phương trình: $x^{2} - 2 (m + 1) x + m^{2} - 3 = 0$ (m là tham số) (1)

$(a = 1; b' = - (m + 1); c = m^{2} - 3) \begin{array}{l} Δ' = b'^{2} - a c = - (m^{2} - 3) \\ = 2 m + 4 \end{array}$

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:

$Δ' > 0 \Leftrightarrow 2 m + 4 > 0 \Leftrightarrow m > - 2$

Theo đề ra ta có: $\frac{x_{1}}{x_{2}} + \frac{x_{2}}{x_{1}} = - 2$

$\begin{array}{l} \frac{x_{1}}{x_{2}} + \frac{x_{2}}{x_{1}} = - 2 \Leftrightarrow \frac{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}}{x_{1} . x_{2}} = \frac{- 2 x_{1} . x_{2}}{x_{1} . x_{2}} \\ \Leftrightarrow {(x_{1} + x_{2})}^{2} = 0 \Leftrightarrow x_{1} + x_{2} = 0 (2) \end{array}$

Áp dụng hệ thức vi et ta có: $x_{1} + x_{2} = 2 (m + 1)$

$\begin{array}{l} (2) \Leftrightarrow 2 (m + 1) = 0 \\ \Leftrightarrow m = - 1 \end{array}$

Vậy với m=-1 phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $\frac{x_{1}}{x_{2}} + \frac{x_{2}}{x_{1}} = - 2$ .

Câu 75:

Cho phương trình $x^{2} - x + m + 1 = 0$ (m là tham số).

1) Tìm các giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

Xem đáp án

Δ = - 4 m - 3

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow m < - \frac{3}{4}$

Câu 76:

Gọi x₁, x₂ là 2 nghiệm phân biệt của phương trình. Tìm các giá trị của m sao cho ${x_{1}}^{2} + x_{1} x_{2} + 3 x_{2} = 7$ .

Xem đáp án

Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 1 \\ x_{1} x_{2} = m + 1 \end{cases}$

Cách 1:

$x_{1}^{2} + x_{1} x_{2} + 3 x_{2} = 7 \Leftrightarrow x_{1} (x_{1} + x_{2}) + 3 x_{2} = 7 \Leftrightarrow x_{1} + 3 x_{2} = 7 (do x_{1} + x_{2} = 1)$

Ta có hệ: $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 1 \\ x_{1} + 3 x_{2} = 7 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{1} = - 2 \\ x_{2} = 3 \end{cases}$ $\Rightarrow - 2.3 = m + 1 \Leftrightarrow m = - 7$ (thỏa mãn điều kiện)

Cách 2:

$x_{1} + x_{2} = 1 \Leftrightarrow x_{2} = 1 - x_{1}$ .

Do đó: $x_{1}^{2} + x_{1} x_{2} + 3 x_{2} = 7$

$\Leftrightarrow x_{1}^{2} + x_{1} (1 - x_{1}) + 3 (1 - x_{1}) = 7 \Leftrightarrow x_{1}^{2} + x_{1} - x_{1}^{2} + 3 - 3 x_{1} = 7 \Leftrightarrow - 2 x_{1} = 4 \Leftrightarrow x_{1} = - 2$

Từ đó tìm x₂ rồi tìm m.

Câu 77:

Giải phương trình: $2 x^{2} - 5 x + 2 = 0$

Xem đáp án

Ta có: $Δ = 9 > 0 \Rightarrow$ phương trình có hai nghiệm phân biệt: $x_{1} = 2, x_{2} = \frac{1}{2}$ .

Câu 78:

Giải phương trình: $x + \frac{2 \sqrt{2} x}{\sqrt{1 + x^{2}}} = 1$

Xem đáp án

Ta có $V P = 1 > 0 \Rightarrow V T > 0 \Rightarrow x > 0$ .

Phương trình đã cho tương đương với $(1 - x) \sqrt{1 + x^{2}} = 2 \sqrt{2} x (1)$ .

Từ (*) và (1) suy ra 0<x<1.

Do đó $(1) \Leftrightarrow {(1 - x)}^{2} (1 + x^{2}) = 8 x^{2}$ (vì 0<x<1).

$\Leftrightarrow {(1 + x^{2})}^{2} - 2 x (1 + x^{2}) = 8 x^{2} \Leftrightarrow {(1 + x^{2} - x)}^{2} = 9 x^{2} \Leftrightarrow x^{2} - x + 1 = 3 x$ (vì 3x>0 và $x^{2} - x + 1 > 0$ ).

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 2 - \sqrt{3} (t m) \\ x = 2 + \sqrt{3} (l) \end{array}$ .

Vậy phương trình có tập nghiệm S={ $2 - \sqrt{3}$ } .

Câu 79:

Cho phương trình: $x^{2} + 2 (m + 2) x + 4 m - 1 = 0$ (1) (x là ẩn số, m là tham số).

a) Giải phương trình (1) khi m=2.

Xem đáp án

a) Thay m=2 vào phương trình (1) ta được phương trình: $x^{2} + 8 x + 7 = 0 (*)$

Ta có: 1-8+7=0

Phương trình (*) có hai nghiệm x₁=-1, x₂=-7.

Câu 80:

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt. Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình (1), tìm m để $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 30$

Xem đáp án

b) Ta có: $Δ' = {(m + 2)}^{2} - (4 m - 1)$ .

$= m^{2} + 5 > 0$ với $\forall m$

$\Rightarrow$ Phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ với $\forall m$ .

Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = - 2 (m + 2) \\ x_{1} x_{2} = 4 m - 1 \end{cases}$

${x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} = 30 \Leftrightarrow {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{1} x_{2} = 30 \Leftrightarrow {[- 2 (m + 2)]}^{2} - 2 (4 m - 1) = 30 \Leftrightarrow m^{2} + 2 m - 3 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 1 \\ m = - 3 \end{array}$ .

Vậy m=-3 hoặc m=1 thì phương trình (1) có 2 nghiệm x₁; x₂thỏa mãn: ${x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} = 30$ .

Câu 81:

Giải các bất phương trình và các phương trình sau:

a) 4x-5>7

Xem đáp án

a) $4 x - 5 > 7 \Leftrightarrow 4 x > 12 \Leftrightarrow x > 3$ .

Vậy nghiệm của bất phương trình : x>3.

Câu 82:

b) 2x+3(4x+2)=8

Xem đáp án

b) $2 x + 3 (4 x + 2) = 8 \Leftrightarrow 14 x + 6 = 8 \Leftrightarrow 14 x = 2 \Leftrightarrow x = \frac{1}{7}$ .

Vậy nghiệm của phương trình : $x = \frac{1}{7}$ .

Câu 83:

c) $\frac{1}{2} x^{2} = 3 x - 4$

Xem đáp án

c) $\frac{1}{2} x^{2} = 3 x - 4 \Leftrightarrow x^{2} - 6 x + 8 = 0 \Leftrightarrow (x - 2) (x - 4) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 2 \\ x = 4 \end{array}$ .

Vậy nghiệm của phương trình : x={2;4}.

Câu 84:

Giải phương trình: $\frac{x + 2}{2} - 1 = 0.$

Xem đáp án

Ta có $\frac{x + 2}{2} - 1 = 0 \Leftrightarrow \frac{x + 2}{2} = 1 \Leftrightarrow x + 2 = 2 \Leftrightarrow x = 0$ .

Vậy phương trình có nghiệm x=0

Câu 85:

Cho phương trình: $x^{2} - (2 m + 1) x + m^{2} + m - 1 = 0$ (m là tham số).

a) Giải phương trình với m=0

Xem đáp án

a) Với m=0 ta có phương trình:

$x^{2} - x - 1 = 0. Δ = {(- 1)}^{2} - 4.1. (- 1) = 5.$

Vậy phương trình có 2 nghiệm $x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}; x = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} .$

Câu 86:

Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂ thỏa mãn điều kiện: $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = 4.$

Xem đáp án

b) Ta có $Δ = {(2 m + 1)}^{2} - 4. (m^{2} + m - 1) = 5 > 0 \forall m$

Nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂ với mọi .

Theo định lý Vi-ét ta có:

$\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 2 m + 1 \\ x_{1} . x_{2} = m^{2} + m - 1 \end{cases}$

Điều kiện $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = 4 \Leftrightarrow \frac{x_{1} + x_{2}}{x_{1} . x_{2}} = 4 \Rightarrow \frac{2 m + 1}{m^{2} + m - 1} = 4 \Leftrightarrow 2 m + 1 = 4 m^{2} + 4 m - 4 \Leftrightarrow 4 m^{2} + 2 m - 5 = 0$ $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = \frac{- 1 + \sqrt{21}}{4} \\ m = \frac{- 1 - \sqrt{21}}{4} \end{array}$

Vậy $m \in \{\frac{- 1 + \sqrt{21}}{4}; \frac{- 1 - \sqrt{21}}{4}\}$ .

Câu 87:

Giải phương trình: ${(x^{3} - 4)}^{3} = {(\sqrt[3]{{(x^{2} + 4)}^{2}} + 4)}^{2} .$

Xem đáp án

Đặt ${(x^{3} - 4)}^{3} = {(\sqrt[3]{{(x^{2} + 4)}^{2}} + 4)}^{2} = t^{6}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} x^{3} - 4 = t^{2} \\ \sqrt[3]{{(x^{2} + 4)}^{2}} = t^{3} - 4 \end{cases} .$

Đặt $\sqrt[3]{x^{2} + 4} = a .$ Khi đó ta có hệ

$\{\begin{cases} x^{3} - 4 = t^{2} \\ t^{3} - 4 = a^{2} \\ a^{3} - 4 = x^{2} \end{cases} \Rightarrow x, t, a \geq 0.$

Nếu $a^{2} \geq x^{2} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a \geq x \\ t^{3} - 4 \geq a^{3} - 4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a \geq x (1) \\ t \geq a (2) \end{cases}$

Do $t \geq a \Rightarrow t^{2} \geq a^{2} \Leftrightarrow x^{3} - 4 \geq t^{3} - 4 \Leftrightarrow x \geq t (3) .$

Từ (1), (2), (3) suy ra $a \geq x \geq t \geq a \Leftrightarrow a = x = t \Leftrightarrow x^{3} - 4 = x^{2} \Leftrightarrow x = 2.$

Câu 88:

Giải phương trình: $x^{2} + 7 x + 10 = 0$

Xem đáp án

Giải phương trình: $x^{2} + 7 x + 10 = 0$ .

$Δ = 7^{2} - 4.1.10 = 49 - 40 = 9 > 0$

$x_{1} = \frac{- 7 + \sqrt{9}}{2} = - 2$ ; $x_{2} = \frac{- 7 - \sqrt{9}}{2} = - 5$ .

Câu 89:

Giải phương trình và hệ phương trình sau:

$x^{4} + 2017 x^{2} - 2018 = 0.$

Xem đáp án

$x^{4} + 2017 x^{2} - 2018 = 0 \Leftrightarrow (x^{2} + 2018) (x^{2} - 1) = 0 \Leftrightarrow x^{2} - 1 = 0 (d o x^{2} + 2018 > 0 \forall x \in R) \Leftrightarrow x^{2} = 1. \Leftrightarrow x = - 1 \lor x = 1$

Câu 90:

Cho phương trình bậc hai $x^{2} - 2 x + m + 3 = 0$ (m là tham số)

Xem đáp án

Cho phương trình bậc hai $x^{2} - 2 x + m + 3 = 0$ (m là tham số).

a) Pt có nghiệm $x = - 1 \Rightarrow {(- 1)}^{2} + 2 + m + 3 = 0 \Leftrightarrow m = - 6$

Với m=-6, pt đã cho thành: $x^{2} - 2 x - 3 = 0 \Leftrightarrow (x + 1) (x - 3) = 0 \Leftrightarrow x = - 1 \lor x = 3$

Vậy với m=-6 , pt có nghiệm x=-1 và nghiệm còn lại là x=3

Câu 91:

Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

x_{1}, x_{2}

thỏa mãn hệ thức:

x_{1}^{3} + x_{2}^{3} = 8

Xem đáp án

Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn hệ thức: $x_{1}^{3} + x_{2}^{3} = 8$

Đk pt có hai nghiệm phân biệt $\{\begin{cases} a \neq 0 \\ Δ' = 1 - m - 3 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow m < - 2 (*)$

Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = S = 2 \\ x_{1} x_{2} = P = m + 3 \end{cases}$

Ta có $x_{1}^{3} + x_{2}^{3} = 8 \Leftrightarrow S^{3} - 2 S P = 8 \Leftrightarrow 8 - 3.2 (m + 3) = 8 \Leftrightarrow m = - 3$ (thỏa *)

Vậy m=-3

Đk pt có hai nghiệm phân biệt $\{\begin{cases} a \neq 0 \\ Δ' = 1 - m - 3 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow m < - 2 (*)$

Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = S = 2 \\ x_{1} x_{2} = P = m + 3 \end{cases}$

Ta có $x_{1}^{3} + x_{2}^{3} = 8 \Leftrightarrow S^{3} - 2 S P = 8 \Leftrightarrow 8 - 3.2 (m + 3) = 8 \Leftrightarrow m = - 3$ (thỏa *)

Vậy m=-3

Câu 92:

Cho phương trình $x^{2} - (2 m + 1) x + m^{2} - 1 = 0$ (m là tham số)

Xem đáp án

Với m=5 phương trình có hai nghiệm phân biệt: $x_{1} = 3; x_{2} = 8$

Câu 93:

Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm $x_{1}; x_{2}$ thỏa mãn:

$(x_{1}^{2} - 2 m x_{1} + m^{2}) (x_{2} + 1) = 1$ .

Xem đáp án

Phương trình có hai nghiệm $\Leftrightarrow Δ \geq 0 \Leftrightarrow {[- (2 m + 1)]}^{2} - 4 (m^{2} - 1) \geq 0 \Leftrightarrow 4 m + 5 \geq 0 \Leftrightarrow m \geq \frac{- 5}{4}$

Với $m \geq \frac{- 5}{4}$ phương trình có hai nghiệm theo Vi_ét ta có: $\{\begin{cases} x_{1} + x_{_{2}} = 2 m + 1 \\ x_{1} x_{_{2}} = m^{2} - 1 \end{cases}$

Vì x₁ là nghiệm của phương trình nên ta có: $x_{1}^{2} - (2 m + 1) x_{1} + m^{2} - 1 = 0 \Leftrightarrow x_{1}^{2} = (2 m + 1) x_{1} - m^{2} + 1$

Thay vào hệ thức $x_{1}^{2} - (2 m + 1) x_{1} + m^{2} - 1 = 0$ ta có:

$\begin{array}{l} (x_{1}^{2} - 2 m x_{1} + m^{2}) (x_{2} + 1) = 1 \Leftrightarrow (x_{1} + 1) (x_{2} + 1) = 1 \\ \Leftrightarrow x_{1} x_{2} + x_{1} + x_{2} + 1 = 1 \\ \Leftrightarrow m^{2} - 1 + 2 m + 1 + 1 = 1 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 0 (T M) \\ m = - 2 (K T M) \end{array} \end{array}$

Câu 94:

a) Giải phương trình $2 x^{4} - 3 x^{2} - 2 = 0$ (1)

Xem đáp án

Đặt $t = x^{2}, t \geq 0$

Phương trình (1) trở thành

2 t^{2} - 3 t - 2 = 0

(2)

Giải phương trình (2) được:

t = \frac{1}{2}

(loại ) hoặc t=2

Với t=2 suy ra được

x = \pm \sqrt{2}

Câu 95:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình $x^{2} - 2 m x + m^{2} - 3 m + 2 = 0$ có $Δ' = 3 m - 2$

Xem đáp án

Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt khi $Δ' > 0 \Leftrightarrow m > \frac{2}{3}$ .

Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm phân biệt khác 0 là:

m > \frac{2}{3}

và

m^{2} - 3 m + 2 \neq 0

(1)

Theo định lí Viet:

x_{1} + x_{2} = 2 m; x_{1} x_{2} = m^{2} - 3 m + 2

\frac{x_{1}}{x_{2}} + \frac{x_{2}}{x_{1}} = 16 \Leftrightarrow x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 16 x_{1} x_{2} \Leftrightarrow {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 18 x_{1} x_{2} = 0

\Leftrightarrow {(2 m)}^{2} - 18 (m^{2} - 3 m + 2) = 0 \Leftrightarrow 7 m^{2} - 27 m + 18 = 0 \Leftrightarrow m = 3

hoặc

m = \frac{6}{7}

(thỏa (1))

Vậy m=3 hoặc

m = \frac{6}{7}

Câu 96:

Giải các phương trình sau:

$3 x^{2} - 2 x - 1 = 0$

Xem đáp án

a) $3 x^{2} - 2 x - 1 = 0$ (a)

Vì phương trình (a) có $a + b + c = 3 - 2 - 1 = 0$ nên phương trình (a) có 2 nghiệm

$[\begin{array}{l} x_{1} = 1 \\ x_{2} = \frac{c}{a} = \frac{- 1}{3} \end{array}$

Vậy tập nghiệm của phương trình $S = \{\frac{- 1}{3}; 1\}$ .

Câu 97:

b) $x^{4} + 5 x^{2} - 36 = 0$

Xem đáp án

$x^{4} + 5 x^{2} - 36 = 0$ (b)

Đặt $u = x^{2} \geq 0$ , phương trình thành : $u^{2} + 5 u - 36 = 0$ (*)

Có $Δ = b^{2} - 4 a c = 5^{2} - 4. (- 36) = 169 > 0$

$\Rightarrow$ phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt

$u_{1} = \frac{- 5 + 13}{2} = 4$ hay $u_{2} = \frac{- 5 - 13}{2} = - 9 < 0$ (loại)

$\Rightarrow x^{2} = 4 \Leftrightarrow x = \pm 2$

Vậy tập nghiệm của phương trình $S = \{\pm 2\}$ .

Cách khác : (b) $\Leftrightarrow (x^{2} - 4) (x^{2} + 9) = 0$ $\Leftrightarrow x^{2} = 4 \Leftrightarrow x = \pm 2$

Câu 98:

$3 x^{2} + 5 x + \sqrt{3} - 3 = 0$

Xem đáp án

$3 x^{2} - x \sqrt{3} + \sqrt{3} - 3 = 0$ (c)

Vì phương trình (c) có $a + b + c = 3 - \sqrt{3} + \sqrt{3} - 3 = 0$ nên phương trình (c) có hai nghiệm

$[\begin{array}{l} x_{1} = 1 \\ x_{2} = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{3} - 3}{3} \end{array}$

Vậy tập nghiệm của phương trình $S = \{\frac{\sqrt{3} - 3}{3}; 1\}$ .

Câu 99:

Giải các phương trình sau:

a) $x^{2} - 5 x + 6 = 0$

Xem đáp án

a) $x^{2} - 5 x + 6 = 0$

Ta có: $Δ = b^{2} - 4 a c = 5^{2} - 4.6 = 25 - 24 = 1 > 0$

Phương trình (a) có hai nghiệm phân biệt:

$x_{1} = \frac{5 - 1}{2} = 2 x_{2} = \frac{5 + 1}{2} = 3$

Vậy tập nghiệm của phương trình S={2;3}

Câu 100:

b)

x^{2} - 2 x - 1 = 0

Xem đáp án

b) $x^{2} - 2 x - 1 = 0$ (b)

Ta có : $Δ^{'} = 1 + 1 = 2$

Phương trình (b) có hai nghiệm phân biệt : $x_{1} = 1 - \sqrt{2} x_{2} = 1 + \sqrt{2}$

Vậy tập nghiệm của phương trình $S = \{1 \pm \sqrt{2}\}$ .

Câu 101:

c) $x^{4} + 3 x^{2} - 4 = 0$

Xem đáp án

c) Đặt $u = x^{2} \geq 0$ phương trình trở thành:

$u^{2} + 3 u - 4 = 0 \Leftrightarrow (u - 1) (u + 4) = 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} u = 1 \Leftrightarrow x^{2} = 1 \Leftrightarrow x = \pm 1 \\ u = - 4 (L) \end{cases}$

Vậy tập nghiệm của phương trình $S = \{\pm 1\}$ .

Cách khác :

Phương trình: $\Leftrightarrow (x^{2} - 1) (x^{2} + 4) = 0 \Leftrightarrow x^{2} - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$

Câu 102:

Giải phương trình: $x^{2} - 5 x - 14 = 0$

Xem đáp án

Ta có: a=1; b=-5; c=-14

Biệt thức : $Δ = b^{2} - 4 a c = 25 + 56 = 81 > 0 \Rightarrow \sqrt{Δ} = 9$

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_{1} = 7$ , $x_{2} = - 2$

Câu 103:

Giải các phương trình sau:

a) ${(x - 1)}^{2} + 2 = - 2 x^{2} + 8 x$

Xem đáp án

a) ${(x - 1)}^{2} + 2 = - 2 x^{2} + 8 x \Leftrightarrow 3 x^{2} - 10 x + 3 = 0$

Ta có : $Δ = b^{2} - 4 a c = {(- 10)}^{2} - 4.3.3 = 64 > 0 \Rightarrow \sqrt{Δ} = 8$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt :

$x_{1} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a} = \frac{10 + 8}{6} = 3$ ; $x_{2} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a} = \frac{10 - 8}{6} = \frac{1}{3}$

Câu 104:

b) $x^{3} (x + 1) - 7 = x^{2} (x + 7) + 1$

Xem đáp án

b) $x^{3} (x + 1) - 7 = x^{2} (x + 7) + 1 \Leftrightarrow x^{4} - 7 x^{2} - 8 = 0$

Đặt $x^{2} = t$ ( $t \geq 0$ )

Ta có phương trình : $t^{2} - 7 t - 8 = 0$

Phương trình trên có : $a - b + c = 1 + 7 - 8 = 0$ nên phương trình có hai nghiệm :

$t_{1} = - 1$ (loại) $t_{2} = \frac{- c}{a} = \frac{8}{1} = 8$ (nhận)

t = 8 \Leftrightarrow x^{2} = 8 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{8}

Câu 105:

Giải các phương trình:

a) $3 x^{2} - 4 x + 1 = 0$

Xem đáp án

a) $3 x^{2} - 4 x + 1 = 0$

Ta thấy a+b+c=0 nên phương trình có nghiệm là x=1 và $x = \frac{1}{3}$

Câu 106:

b) $x^{4} - 3 x^{2} - 4 = 0$

Xem đáp án

b) $x^{4} - 3 x^{2} - 4 = 0$

Đặt $t = x^{2} \geq 0$ ta có phương trình:

$t^{2} - 3 t - 4 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = - 1 (l) \\ t = 4 (t m) \end{array}$

Với t=4 ta có: $x^{2} = 4 \Leftrightarrow x = \pm 2$

Vậy $S = \{\pm 2\}$ .

Câu 107:

Cho phương trình $x^{2} - 2 m x - 4 m - 5 = 0$ (x là ẩn số) (1)

a) Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có nghiệm với mọi m.

Xem đáp án

a) Phương trình (1) có

Δ^{'} = m^{2} + 4 m + 5 = {(m + 2)}^{2} + 1 > 0

với mọi m nên phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

Câu 108:

b) Gọi x₁, x₂ là các nghiệm của phương trình. Tìm m để biểu thức

A = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - x_{1} x_{2}

. đạt giá trị nhỏ nhất.

Xem đáp án

b) Do đó, theo Viet, với mọi m, ta có: $S = - \frac{b}{a} = 2 m$ ; $P = \frac{c}{a} = - 4 m - 5$

$\Rightarrow A = {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 3 x_{1} x_{2} = 4 m^{2} + 3 (4 m + 5) = {(2 m + 3)}^{2} + 6 \geq 6$ với mọi m

$\Rightarrow A = 6$ khi $m = \frac{- 3}{2}$

Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất là 6 khi $m = \frac{- 3}{2}$ .

Câu 109:

Cho phương trình $8 x^{2} - 8 x + m^{2} + 1 = 0$ (*) (x là ẩn số)

a) Định m để phương trình (*) có nghiệm $x = \frac{1}{2}$

Xem đáp án

a) Phương trình (*) có nghiệm $x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow 2 - 4 + m^{2} + 1 = 0 \Leftrightarrow m = \pm 1$

Câu 110:

b) Định m để phương trình (*) có hai nghiệm x₁, x₂ thỏa điều kiện: $x_{1}^{4} - x_{2}^{4} = x_{1}^{3} - x_{2}^{3}$

Xem đáp án

Δ^{'} = 16 - 8 m^{2} - 8 = 8 (1 - m^{2})

b) Định m để phương trình (*) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện: x1^4-x2^4=x1^3-x2^3 (ảnh 1)

Câu 111:

Tìm m để phương trình $x^{2} + x - m + 2 = 0$ có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn $x_{1}^{3} + x_{2}^{3} + x_{1}^{2} x_{2}^{2} = 17$ .

Xem đáp án

Phương trình $x^{2} + x - m + 2 = 0$

Điều kiện: $Δ = 1^{2} - 4. (- m + 2) = 1 + 4 m - 8 = 4 m - 7 > 0 \Leftrightarrow m > \frac{7}{4}$

Khi đó theo Vi-ét tá có $x_{1} + x_{2} = - 1$ và $x_{1} . x_{2} = - m + 2$ .

$x_{1}^{3} + x_{2}^{3} + x_{1}^{2} x_{2}^{2} = 17 {(x_{1} + x_{2})}^{3} - 3 x_{1} x_{2} (x_{1} + x_{2}) + {(x_{1} x_{2})}^{2} = 17 {(- 1)}^{3} - 3 (- m + 2) (- 1) + {(2 - m)}^{2} = 17 - 1 - 3 m + 6 + 4 - 4 m + m^{2} = 17 m^{2} - 7 m - 8 = 0 c ó a - b + c = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} m = - 1 (l) \\ m = 8 (t m) \end{matrix}$

Vậy với m=8 thì thỏa yêu cầu đề bài.

Câu 112:

Cho phương trình $x^{2} - (m - 1) x - m = 0$

a) Chứng tỏ phương trình luôn luôn có nghiệm x₁, x₂ với mọi m.

Xem đáp án

a) Ta có : $Δ = {(m - 1)}^{2} + 4 m = m^{2} + 2 m + 1 = {(m + 1)}^{2} \geq 0$ với mọi m

Vậy phương trình luôn luôn có nghiệm x₁, x₂ với mọi m.

Câu 113:

b) Tìm giá trị của m để

x_{1}^{2} x_{2} + x_{1} x_{2}^{2} - 3 x_{1} x_{2} = - 5

Xem đáp án

b) Theo định lý Vi-et ta có: $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = \frac{- b}{a} = m - 1 \\ x_{1} . x_{2} = \frac{c}{a} = - m \end{cases}$

$x_{1}^{2} x_{2} + x_{1} x_{2}^{2} - 3 x_{1} x_{2} = - 5 \Leftrightarrow x_{1} x_{2} (x {}_{1}+ x_{2}) - 3 x_{1} x_{2} + 5 = 0$

$\Leftrightarrow - m^{2} + 4 m + 5 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = - 1 \\ m = 5 \end{array}$ (thỏa mãn)

Vậy $m \in \{- 1; 5\}$ là giá trị cần tìm.

Câu 114:

Cho phương trình: $x^{2} + 4 x + m - 1 = 0$ (ẩn x)

a) Tìm m để phương trình có nghiệm

Xem đáp án

a) Ta có: $Δ = 20 - 4 m$

Để phương trình có nghiệm thì $Δ \geq 0 \Leftrightarrow 20 - 4 m \geq 0 \Leftrightarrow - 4 m \geq - 20 \Leftrightarrow m \leq 5$

Câu 115:

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x₁, x₂ sao cho $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - 3 x_{1} x_{2} = 4.$

Xem đáp án

b) Theo định lí Vi-ét ta có : $\{\begin{cases} S = x_{1} + x_{2} = - 4 \\ P = x_{1} . x_{2} = m - 1 \end{cases}$

có : $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - 3 x_{1} x_{2} = 4 \Leftrightarrow S^{2} - 2 P - 3 P = 4 \Leftrightarrow S^{2} - 5 P - 4 = 0 \Leftrightarrow 16 - 5 m + 5 = 4 \Leftrightarrow m = \frac{- 17}{5}$

Vậy $m = \frac{- 17}{5}$ là giá trị cần tìm.

Câu 116:

Cho phương trình: $x^{2} + (m - 1) . x - m = 0$ (x là ẩn số, m là tham số)

a) Chứng tỏ phương trình luôn có nghiệm với mọi m

Xem đáp án

a) $x^{2} + (m - 1) . x - m = 0$

Ta có: $Δ = b^{2} - 4 a c = {(m - 1)}^{2} - 4.1 (- m) = m^{2} + 2 m + 1$ $= {(m + 1)}^{2} \geq 0$ , với mọi só thực m

Vậy phương trình trên luôn có nghiệm với mọi số thực m

Câu 117:

b) Tìm m để $x_{1}^{2} . x_{2} + x_{1} x_{2}^{2} = 6$ (với $x_{1}, x_{2}$ là các nghiệm của phương trình trên).

Xem đáp án

b) Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 1 - m \\ x_{1} . x_{2} = - m \end{cases}$ thế vào biểu thức: $x_{1}^{2} . x_{2} + x_{1} x_{2}^{2} = 6 \Leftrightarrow x_{1} . x_{2} (x_{1} + x_{2}) = 6$ ta được:

$- m (1 - m) = 6 \Leftrightarrow m^{2} - m - 6 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 3 \\ m = - 2 \end{array}$

Vậy $m \in \{- 2; 3\}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán