43 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 5: Trắc nghiệm hệ phương trình có đáp án

Câu 1:

Không dùng máy tính, giải hệ phương trình

\{\begin{cases} 2 x - y = 4 \\ x + 3 y = - 5 \end{cases}

Xem đáp án

$\{\begin{cases} 2 x - y = 4 \\ x + 3 y = - 5 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x - y = 4 \\ 2 x + 6 y = - 10 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 7 y = - 14 \\ x = - 5 - 3 y \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = - 5 - 3. (- 2) \\ y = - 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 1 \\ y = - 2 \end{cases}$

Câu 2:

Không sử dụng máy tính cầm tay, giải hệ phương trình

\{\begin{cases} 4 x - y = 7 \\ x + 3 y = 5 \end{cases}

Xem đáp án

$\{\begin{cases} 4 x - y = 7 \\ x + 3 y = 5 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} 12 x - 3 y = 21 \\ x + 3 y = 5 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} 13 x = 26 \\ y = 4 x - 7 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 2 \\ y = 4. 2 - 7 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 2 \\ y = 1 \end{cases}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là: $(x; y) = (2; 1)$

Câu 3:

Không sử dụng máy tính cầm tay, giải hệ phương trình

\{\begin{cases} x + y = 101 \\ - x + y = - 1 \end{cases}

Xem đáp án

$\{\begin{cases} x + y = 101 \\ - x + y = - 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = y + 1 \\ y + 1 + y = 101 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = y + 1 \\ 2 y = 100 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 50 + 1 \\ y = 50 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 51 \\ y = 50 \end{cases}$

Câu 4:

Giải hệ phương trình

\{\begin{cases} x - y = 1 \\ 2 x + y = 5 \end{cases}

Xem đáp án

$\{\begin{cases} x - y = 1 \\ 2 x + y = 5 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 x = 6 \\ 2 x + y = 5 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 2 \\ 2.2 + y = 5 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 2 \\ y = 1 \end{cases}$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm $(x; y) = (2; 1)$

Câu 5:

Giải hệ phương trình

\{\begin{cases} x + 4 y = 8 \\ 2 x + 5 y = 13 \end{cases}

Xem đáp án

Ta có $\{\begin{cases} x + 4 y = 8 \\ 2 x + 5 y = 13 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 8 - 4 y \\ 2 (8 - 4 y) + 5 y = 13 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 y = 3 \\ x = 8 - 4 y \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{matrix} x = 4 \\ y = 1 \end{matrix}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm $(x; y) = (4; 1)$

Câu 6:

Giải hệ phương trình

\{\begin{cases} 2 x - 3 y = 1 \\ x - 2 y = - 1 \end{cases}

Xem đáp án

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} 2 x - 3 y = 1 \\ x - 2 y = - 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 2 y - 1 \\ 2 (2 y - 1) - 3 y = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 2 y - 1 \\ y = 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 2.3 - 1 \\ y = 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 5 \\ y = 3 \end{cases} \\ V ậ y (x; y) = (5; 3) \end{array}$

Câu 7:

Giải hệ phương trình

\{\begin{cases} x - y = 4 \\ 2 x - y = 5 \end{cases}

Xem đáp án

$\{\begin{cases} x - y = 4 \\ 2 x - y = 5 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 4 + y \\ 2 (4 + y) - y = 5 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 4 + y \\ y = - 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 4 - 3 \\ y = - 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 1 \\ y = - 3 \end{cases}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm $(x; y) = (1; - 3)$

Câu 8:

Giải hệ phương trình

\{\begin{cases} x + 2 y = 5 \\ 3 x - y = 1 \end{cases}

Xem đáp án

$\{\begin{cases} x + 2 y = 5 \\ 3 x - y = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x + 2 y = 5 \\ 6 x - 2 y = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 7 x = 7 \\ x + 2 y = 5 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 1 \\ y = 2 \end{cases}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm $(x; y) = (1; 2)$

Câu 9:

Giải hệ phương trình:

\{\begin{cases} x + 2 y = 12 \\ 3 x - y = 1 \end{cases} .

Xem đáp án

$\{\begin{cases} x + 2 y = 12 \\ 3 x - y = 1 \end{cases} .$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x + 2 y = 12 \\ 6 x - 2 y = 2 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x + 2 y = 12 \\ 7 x = 14 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 2 \\ y = 5 \end{cases}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm $(x; y) = (2; 5)$

Câu 10:

Giải hệ phương trình

\{\begin{cases} x + 2 y = 14 \\ 2 x + 3 y = 24. \end{cases}

Xem đáp án

$\{\begin{cases} x + 2 y = 14 \\ 2 x + 3 y = 24. \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x + 4 y = 28 \\ 2 x + 3 y = 24. \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} y = 4 \\ 2 x + 3 y = 24. \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} y = 4 \\ 2 x + 3 \cdot 4 = 24. \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} y = 4 \\ x = 6. \end{cases}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm $(x; y) = (6; 4) .$

Câu 11:

a) Cho hệ phương trình $\{\begin{cases} 3 x - y = 2 m - 1 \\ x + 2 y = 3 m + 2 \end{cases} \cdot$ Giải hệ phương trình khi m=1 .

Xem đáp án

a) Thay m=1 vào hệ phương trình đã cho ta được $\{\begin{cases} 3 x - y = 1 \\ x + 2 y = 5 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} y = 3 x - 1 \\ x + 2 (3 x - 1) = 5 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 7 x = 7 \\ y = 3 x - 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 1 \\ y = 2. \end{cases}$

Vậy khi m=1 hệ phương trình đã cho có nghiệm .

Câu 12:

a) Tìm m để hệ có nghiệm (x;y) thỏa mãn: $x^{2} + y^{2} = 10$

Xem đáp án

$\{\begin{matrix} 3 x - y = 2 m - 1 \\ x + 2 y = 3 m + 2 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} 6 x - 2 y = 4 m - 2 \\ x + 2 y = 3 m + 2 \end{matrix} \Rightarrow \{\begin{matrix} x = m \\ y = m + 1 \end{matrix}$

Vậy với hệ luôn có nghiệm duy nhất $(m; m + 1)$

Để hệ có nghiệm thỏa mãn: $x^{2} + y^{2} = 10 \Leftrightarrow m^{2} + {(m + 1)}^{2} = 10$

$\Leftrightarrow 2 m^{2} + 2 m - 9 = 0 \Rightarrow m = \frac{- 1 \pm \sqrt{19}}{2}$ Vậy có 2 giá trị m thỏa mãn bài toán: $m = \frac{- 1 \pm \sqrt{19}}{2}$ .

Câu 13:

Giải hệ phương trình sau $\{\begin{cases} x + 3 y = 5 \\ 5 x - 2 y = 8. \end{cases}$

Xem đáp án

$\{\begin{cases} x + 3 y = 5 \\ 5 x - 2 y = 8 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = - 3 y + 5 \\ 5 (5 - 3 y) - 2 y = 8 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 2 \\ y = 1. \end{cases}$

Vậy hệ có nghiệm

\{\begin{cases} x = 2 \\ y = 1. \end{cases}

Câu 14:

Giải hệ phương trình

\{\begin{cases} x - 2 y = 3 \\ 3 x + 2 y = 1. \end{cases}

Xem đáp án

Ta có

\{\begin{cases} x - 2 y = 3 \\ 3 x + 2 y = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 2 y + 3 \\ 3 (2 y + 3) + 2 y = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 2 y + 3 \\ 8 y = - 8 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 1 \\ y = - 1. \end{cases}

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

(x; y) = (1; - 1)

Câu 15:

Không sử dụng máy tính cầm tay, giải hệ phương trình

\{\begin{cases} 2 x - y = 1 \\ x - 2 y = - 4. \end{cases}

Xem đáp án

$\{\begin{cases} 2 x - y = 1 \\ x - 2 y = - 4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x - y = 1 \\ 2 x - 4 y = - 8 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 2 y - 4 \\ - 3 y = - 9 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 2 y - 4 \\ y = 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 2 \\ y = 3 \end{cases}$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $(x; y) = (2; 3)$ .

Câu 16:

Giải hệ phương trình

\{\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{2}{y + 1} = 4 \\ \frac{2}{x} - \frac{1}{y + 1} = 3 \end{cases}

Xem đáp án

$\{\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{2}{y + 1} = 4 \\ \frac{2}{x} - \frac{1}{y + 1} = 3 \end{cases} Đ ặ t a = \frac{1}{x}; v = \frac{1}{y + 1}$

Hệ phương trình trở thành $\{\begin{cases} a + 2 b = 4 \\ 2 a - b = 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 2 \\ b = 1 \end{cases}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} \frac{1}{x} = 2 \\ \frac{1}{y + 1} = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \frac{1}{2} \\ y = 0 \end{cases}$

Vậy $(x; y) = (\frac{1}{2}; 0)$

Câu 17:

Cho hệ phương trình $\{\begin{cases} 3 x - y = 2 m + 3 \\ x + 2 y = 3 m + 1 \end{cases}$ (m là tham số).

Giải hệ phương trình với m = 2.

b Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) thỏa mãn điều kiện x² + y² = 5

Xem đáp án

Kh Khi m =2, hệ phương trình trở thành $\{\begin{cases} 3 x - y = 7 \\ x + 2 y = 7 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x + 2 (3 x - 7) = 7 \\ y = 3 x - 7 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 7 x = 21 \\ y = 3 x - 7 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 3 \\ y = 2 \end{cases}$

Vây Vậy $(x; y) = (3; 2)$

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} 3 x - y = 2 m + 3 \\ x + 2 y = 3 m + 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 6 x - 2 y = 4 m + 6 \\ x + 2 y = 3 m + 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 7 x = 7 m + 7 \\ y = 3 x - 2 m - 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = m + 1 \\ y = 3 m + 3 - 2 m - 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = m + 1 \\ y = m \end{cases} \\ V× x^{2} + y^{2} = 5 h a y + m^{2} = 5 \Leftrightarrow 2 m^{2} + 2 m + 1 - 5 = 0 \\ \Leftrightarrow m^{2} + m - 2 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 1 \\ m = - 2 \end{array} . \end{array}$

s

đ

Vậy

Câu 18:

Giải hệ phương trình

\{\begin{cases} x - y = 2 \\ 3 x + 2 y = 11 \end{cases} \cdot

Xem đáp án

Ta có $\{\begin{cases} x - y = 2 \\ 3 x + 2 y = 11 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 2 + y \\ 3 (2 + y) + 2 y = 11 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 5 y = 5 \\ x = 2 + y \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{matrix} x = 3 \\ y = 1 \end{matrix}$ .

Vậy hệ phương trình có nghiệm $(x; y) = (3; 1)$ .

Câu 19:

Giải phương trình sau

\{\begin{cases} x + y = 4 \\ 2 x - y = 5 \end{cases}

Xem đáp án

$\{\begin{cases} x + y = 4 \\ 2 x - y = 5 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 x = 9 \\ y = 4 - x \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 3 \\ y = 4 - 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 3 \\ y = 1 \end{cases}$

Vậy hệ phương trình có nghgiệm duy nhất $(x; y) = (3; 1)$

Câu 20:

Giải hệ phương trình sau:

\{\begin{cases} 3 x - y = 11 \\ 2 x + y = 9 \end{cases}

Xem đáp án

$\{\begin{cases} 3 x - y = 11 \\ 2 x + y = 9 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 5 x = 20 \\ y = 3 x - 11 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 4 \\ y = 3.4 - 11 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 4 \\ y = 1 \end{cases}$

Vậy Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y)=(4;1)

Câu 21:

Giải hệ phương trình:

\{\begin{cases} 2 x - y = 8 \\ 3 x + 2 y = 5 \end{cases}

Xem đáp án

$\{\begin{cases} 2 x - y = 8 \\ 3 x + 2 y = 5 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} y = 2 x - 8 \\ 3 x + 2 (2 x - 8) = 5 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 7 x = 21 \\ y = 2 x - 8 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 3 \\ y = 2.3 - 8 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 3 \\ y = - 2 \end{cases}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x; y) = (3; - 2)$

Câu 22:

Giải hệ phương trình

\{\begin{cases} x - 2 y = 6 \\ 2 x + y = 2 \end{cases}

Xem đáp án

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} x - 2 y = 6 \\ 2 x + y = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x - 4 y = 12 \\ 2 x + y = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 5 y = - 10 \\ x = 6 + 2 y \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 6 + 2. (- 2) \\ y = - 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 2 \\ y = - 2 \end{cases} \\ V ậ y (x; y) = (2; - 2) \end{array}$

Câu 23:

Giải hệ phương trình

\{\begin{cases} x - y = 3 \\ 3 x - 2 y = 8 \end{cases}

Xem đáp án

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} x - y = 3 \\ 3 x - 2 y = 8 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x - 2 y = 6 \\ 3 x - 2 y = 8 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 2 \\ y = x - 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 2 \\ y = - 1 \end{cases} \\ v ậ y (x; y) = (2; - 1) \end{array}$

Câu 24:

Giải hệ phương trình

\{\begin{cases} 4 x - |y + 2| = 3 \\ x + 2 |y + 2| = 3 \end{cases}

Xem đáp án

Ta có: $\begin{array}{l} \{\begin{cases} 4 x - |y + 2| = 3 \\ x + 2 |y + 2| = 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 8 x - 2 |y + 2| = 6 \\ x + 2 |y + 2| = 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 9 x = 9 \\ x + 2 |y + 2| = 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 1 \\ 2 |y + 2| = 3 - 1 = 2 \end{cases} \\ \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 1 \\ |y + 2| = 1 \end{cases} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} x = 1 \\ y + 2 = 1 \end{cases} \\ \{\begin{cases} x = 1 \\ y + 2 = - 1 \end{cases} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} x = 1 \\ y = - 1 \end{cases} \\ \{\begin{cases} x = 1 \\ y = - 3 \end{cases} \end{array} \end{array}$

Câu 25:

Không dùng máy tính, giải hệ phương trình

\{\begin{cases} 2 x - y = 4 \\ x + 3 y = - 5 \end{cases}

Xem đáp án

$\{\begin{cases} 2 x - y = 4 \\ x + 3 y = - 5 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x - y = 4 \\ 2 x + 6 y = - 10 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 7 y = - 14 \\ x = - 5 - 3 y \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = - 5 - 3. (- 2) \\ y = - 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 1 \\ y = - 2 \end{cases}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là: $(x, y) = (1; - 2) .$

Câu 26:

Giải hệ phương trình

\{\begin{cases} 9 x + y = 11 \\ 5 x + 2 y = 9 \end{cases}

Xem đáp án

$\{\begin{cases} 9 x + y = 11 \\ 5 x + 2 y = 9 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 5 x + 2 (11 - 9 x) = 9 \\ y = 11 - 9 x \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} - 13 x = - 13 \\ y = 11 - 9 x \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 1 \\ y = 11 - 9.1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 1 \\ y = 2 \end{cases}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là: $(x; y) = (1; 2)$

Câu 27:

Không sử dụng máy tính, giải hệ phương trình sau:

\{\begin{cases} 3 x + y = 5 \\ 2 x - y = 10 \end{cases}

Xem đáp án

$\{\begin{cases} 3 x + y = 5 \\ 2 x - y = 10 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} 5 x = 15 \\ y = 5 - 3 x \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 3 \\ y = 5 - 3.3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 3 \\ y = - 4 \end{cases}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là: $(x; y) = (3; - 4)$

Câu 28:

Giải hệ phương trình:

\{\begin{cases} 2 x + y = 4 \\ 3 x - y = 1 \end{cases}

Xem đáp án

$\{\begin{cases} 2 x + y = 4 \\ 3 x - y = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x + 3 x - 1 = 4 \\ y = 3 x - 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 5 x = 5 \\ y = 3 x - 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 1 \\ y = 3.1 - 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 1 \\ y = 2 \end{cases}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là: $(x; y) = (1; 2) .$

Câu 29:

Giải hệ phương trình sau:

\{\begin{cases} 3 x + 2 y = 1 \\ 4 x - 3 y = 41 \end{cases}

Xem đáp án

$\{\begin{cases} 3 x + 2 y = 1 \\ 4 x - 3 y = 41 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 9 x + 6 y = 3 \\ 8 x - 6 y = 82 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 17 x = 85 \\ y = \frac{1 - 3 x}{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 5 \\ y = \frac{1 - 3.5}{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 5 \\ y = - 7 \end{cases}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là: $(x; y) = (5; - 7) .$

Câu 30:

Giải hệ phương trình sau:

\{\begin{cases} 2 x - 3 y = 12 \\ 3 x + y = 7 \end{cases}

Xem đáp án

$\{\begin{cases} 2 x - 3 y = 12 \\ 3 x + y = 7 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} y = 7 - 3 x \\ 2 x - 3 (7 - 3 x) = 12 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} y = 7 - 3 x \\ 2 x - 21 + 9 x = 12 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 11 x = 33 \\ y = 7 - 3 x \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 3 \\ y = 7 - 3.3 = - 2 \end{cases}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là: $(x; y) = (3; - 2) .$

Câu 31:

Giải hệ phương trình

\{\begin{cases} x - y = 6 \\ 2 x + y = - 3 \end{cases}

Xem đáp án

$\{\begin{cases} x - y = 6 \\ 2 x + y = - 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 6 + y \\ 2 (6 + y) + y = - 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 6 + y \\ 3 y = - 15 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 6 - 5 \\ y = - 5 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 1 \\ y = - 5 \end{cases}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là: $(x; y) = (1; - 5) .$

Câu 32:

Giải hệ phương trình

\{\begin{cases} x + 2 y = 6 \\ 2 x - 2 y = 6 \end{cases}

Xem đáp án

$\{\begin{cases} x + 2 y = 6 \\ 2 x - 2 y = 6 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x + 2 x - 6 = 6 \\ 2 y = 2 x - 6 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 x = 12 \\ y = x - 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 4 \\ y = 1 \end{cases}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là $(x; y) = (4; 1)$

Câu 33:

Giải hệ phương trình

\{\begin{cases} 2 x + y = 1 \\ x - 3 y = 11 \end{cases}

Xem đáp án

$\{\begin{cases} 2 x + y = 1 \\ x - 3 y = 11 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x + y = 1 \\ 2 x - 6 y = 22 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 7 y = - 21 \\ x = 11 + 3 y \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 11 + 3. (- 3) \\ y = - 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 2 \\ y = - 3 \end{cases}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là $(x; y) = (2; - 3)$

Câu 34:

Giải hệ phương trình

\{\begin{cases} 2 x - 3 y = 7 \\ 2 x + y = 3 \end{cases}

Xem đáp án

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} 2 x - 3 y = 7 \\ 2 x + y = 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x - 3 (3 - 2 x) = 7 \\ y = 3 - 2 x \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 8 x = 16 \\ y = 3 - 2 x \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 2 \\ y = 3 - 2.2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 2 \\ y = - 1 \end{cases} \\ V ậ y (x; y) = (2; - 1) \end{array}$

Câu 35:

Giải hệ phương trình

\{\begin{cases} x - 3 y - 2 + \sqrt{y (x - y - 1) + x} = 0 \\ 3 \sqrt{8 - x} - \frac{4 y}{\sqrt{y + 1} + 1} = x^{2} - 14 y - 8. \end{cases}

Xem đáp án

a) Điều kiện: $x^{2} + 2 x - 1 > 0.$

$2 ((1 - x) \sqrt{x^{2} + 2 x - 1} + x) = x^{2} - 1 \Leftrightarrow 2 (1 - x) \sqrt{x^{2} + 2 x - 1} = x^{2} - 2 x - 1 (1)$

Đặt $\sqrt{x^{2} + 2 x - 1} = y . (y \geq 0)$

PT (1) trở thành $y^{2} - 2 (1 - x) y - 4 x = 0$ $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} y = 2 \\ y = - 2 x \end{array}$

Với $y = 2$ thì $\sqrt{x^{2} + 2 x - 1} = 2 \Leftrightarrow x = - 1 \pm \sqrt{6} .$ (thỏa mãn điều kiện)

Với $y = - 2 x$ thì $\sqrt{x^{2} + 2 x - 1} = - 2 x$ (vô nghiệm)

Câu 36:

Cho hệ phương trình: $\{\begin{cases} x + a y = 3 a \\ - a x + y = 2 - a^{2} \end{cases} (I)$ vớilà tham số.

a) Giải hệ phương trình(I) khi $a = 1$ ;

b) Tìmđể hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất $(x; y)$ thỏa mãn $\frac{2 y}{x^{2} + 3}$ là số nguyên.

Xem đáp án

a) Khi a=1, hệ (I) có dạng $\{\begin{cases} x + y = 3 \\ - x + y = 1 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 y = 4 \\ x + y = 3 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 3 - y \\ y = 2 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 1 \\ y = 2 \end{cases}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x; y) = (1; 2)$ .

b) $(I) \Leftrightarrow \{\begin{cases} x + a y = 3 a \\ - a x + y = 2 - a^{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = a \\ y = 2 \end{cases}$

Hệ (I) luôn có nghiệm duy nhất $\{\begin{cases} x = a \\ y = 2 \end{cases}$ với mọi a.

Khiđó: $\frac{2 y}{x^{2} + 3} = \frac{4}{a^{2} + 3}$ . Do $x^{2} + 3 \geq 3$ với mọi x nên: $\frac{4}{a^{2} + 3}$ là số nguyên

khi và chỉ khi $a^{2} + 3 = 4 \Leftrightarrow a = \pm 1$ .

Câu 37:

Giải hệ phương trình

\{\begin{cases} x (2 x - 2 y + 1) = y \\ y + 2 \sqrt{1 - x - 2 x^{2}} = 2 \end{cases}

Xem đáp án

$\{\begin{cases} x (2 x - 2 y + 1) = y (1) \\ y + 2 \sqrt{1 - x - 2 x^{2}} = 2 (1 + y^{2}) (2) \end{cases}$

Điều kiện: $1 - x - 2 x^{2} \geq 0 \Leftrightarrow (x + 1) (2 x - 1) \leq 0 \Rightarrow - 1 \leq x \leq \frac{1}{2}$

$(1) \Leftrightarrow x (2 x - 2 y + 1) = y$

$\Leftrightarrow 2 x^{2} - 2 x y + x - y = 0$

$\Leftrightarrow 2 x (x - y) + (x - y) = 0$

$\Leftrightarrow (2 x + 1) (x - y) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - \frac{1}{2} \\ x = y \end{array}$

Ta có:

$*) V í i x = - \frac{1}{2} \Rightarrow (2) \Leftrightarrow y + 2 \sqrt{1 + \frac{1}{2} - 2. \frac{1}{4}} = 2 {(1 + y)}^{2}$

$\Leftrightarrow 2 y^{2} - y = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} y = 0 \\ y = \frac{1}{2} \end{array}$

$*) x = y \Rightarrow (2) \Leftrightarrow x + 2 \sqrt{1 - x - 2 x^{2}} = 2 (1 + x^{2})$

$\Leftrightarrow 2 \sqrt{1 - x - 2 x^{2}} = 4 x^{2} - 2 x^{2} - x + 1 + 1$

$\Leftrightarrow 4 x^{2} - 2 x^{2} - x + 1 - 2 \sqrt{1 - x - 2 x^{2}} + 1 = 0$

$\Leftrightarrow 4 x^{2} + (- 2 x^{2} - x + 1 - 2 \sqrt{1 - x - 2 x^{2}} .1 + 1^{2}) = 0$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 4 x^{2} = 0 \\ {(\sqrt{1 - x - 2 x^{2}} - 1)}^{2} = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x = 0 \\ \sqrt{1 - x - 2 x^{2}} = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 0 \\ 2 x^{2} + x = 0 \end{cases} \Leftrightarrow x = 0$

Vậy hệ phương trình có các nghiệm $(x; y) \in \{(- \frac{1}{2}; 0); (- \frac{1}{2}; \frac{1}{2}); (0; 0)\}$

Câu 38:

Giải hệ phương trình

\{\begin{cases} x + 2 y = 5 \\ x - y = 2 \end{cases}

Xem đáp án

$\{\begin{cases} x + 2 y = 5 \\ x - y = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x + 2 (x - 2) = 5 \\ y = x - 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 x = 9 \\ y = x - 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 3 \\ y = 3 - 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 3 \\ y = 1 \end{cases}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là $(x; y) = (3; 1)$

Câu 39:

Giải hệ phương trình sau $\{\begin{cases} 2 x + y = 1 \\ x - 2 y = 8 \end{cases}$

Xem đáp án

$\{\begin{cases} 2 x + y = 1 \\ x - 2 y = 8 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 8 + 2 y \\ 2 (8 + 2 y) + y = 1 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 8 + 2 y \\ 5 y = - 15 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 8 + 2. (- 3) \\ y = - 3 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 2 \\ y = - 3 \end{cases}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x; y) = (2; - 3)$ .

Câu 40:

Giải hệ phương trình

\{\begin{cases} 3 x - 2 y = - 3 \\ 2 x + 2 y = 8 \end{cases}

Xem đáp án

$\{\begin{cases} 3 x - 2 y = - 3 \\ 2 x + 2 y = 8 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} 5 x = 5 \\ 2 x + 2 y = 8 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 1 \\ y = 3 \end{cases}$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là $(x; y) = (1; 3)$ .

Câu 41:

Giải hệ phương trình sau:

\{\begin{cases} 2 x + y = 1 \\ 3 x - 2 y = 5 \end{cases}

Xem đáp án

$\{\begin{cases} 2 x + y = 1 \\ 3 x - 2 y = 5 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} y = 1 - 2 x \\ 3 x - 2 (1 - 2 x) = 5 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 7 x = 7 \\ y = 1 - 2 x \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 1 \\ y = 1 - 2 \cdot 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 1 \\ y = - 1 \end{cases}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là $(x; y) = (1; - 1)$ .

Câu 42:

Giải hệ phương trình

\{\begin{cases} 3 (x + 1) + 2 (x + 2 y) = 4 \\ 4 (x + 1) - (x + 2 y) = 9 \end{cases}

Xem đáp án

Ta có hệ phương trình $\{\begin{cases} 3 a + 2 b = 4 \\ 4 a - b = 9 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 a + 2 b = 4 \\ 8 a - 2 b = 18 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 11 a = 22 \\ b = 4 a - 9 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 2 \\ b = 4 \cdot 2 - 9 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 2 \\ b = - 1 \end{cases}$

Khi $\{\begin{cases} a = 2 \\ b = - 1 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} x + 1 = 2 \\ x + 2 y = - 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 1 \\ 1 + 2 y = - 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 1 \\ y = - 1 \end{cases}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là $(x; y) = (1; - 1)$ .

Câu 43:

Giải hệ phương trình

\{\begin{cases} 3 x - 2 y = 4 \\ x + 3 y = 5 \end{cases}

Xem đáp án

Ta có: $\{\begin{cases} 3 x - 2 y = 4 \\ x + 3 y = 5 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 x - 2 y = 4 \\ 3 x + 9 y = 15 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 5 - 3 y \\ - 11 y = - 11 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 2 \\ y = 1 \end{cases}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (2;1).