50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia năm 2022 có lời giải (Đề 16)

Câu 1:

Cho a, b là các số thực dương. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $\log (a . b) = \log a . \log b .$

B. $\log (a . b) = \log a + \log b .$

C. $\log \frac{a}{b} = \frac{\log a}{\log b}$

D. $\log \frac{a}{b} = \log b - \log a$

Xem đáp án

Chọn B.

Câu 2:

Tính tích phân

I = \int_{0}^{1} 10^{x} d x

A. 90

B. $\frac{9}{\ln 10}$

C. 40

D. 9ln10

Xem đáp án

Chọn B.

Ta có $I = \int_{0}^{1} 10^{x} d x = \frac{10^{x}}{\ln 10} |\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} = \frac{9}{\ln 10} .$

Câu 3:

Có bao nhiêu cách xếp 4 học sinh thành một hàng dọc

A. 12

B. 6

C. 24

D. 64

Xem đáp án

Chọn C.

Số cách xếp 4 học sinh thành một hàng dọc là số hoán vị của 4 phần tử $P_{4} = 4! = 24$ cách.

Câu 4:

Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = \cos x - \frac{1}{\sin^{2} x}$ là

A. $- \sin x + \cot x + C .$

B. $\sin x + \cot x + C .$

C. $- \sin x - \cot x + C .$

D. $\sin x - \cot x + C .$

Xem đáp án

Chọn B.

Áp dụng bảng nguyên hàm, ta được họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = \cos x - \frac{1}{\sin^{2} x}$ là

F (x) = \int_{}^{} f (x) d x = \int_{}^{} (\cos x - \frac{1}{\sin^{2} x}) d x = \sin x + \cot x + C .

Câu 5:

Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?

A. $y = x^{4} - 2 x^{2} + 2.$

B. $y = - x^{4} + 2 x^{2} + 2.$

C. $y = x^{3} - 3 x^{2} + 2.$

D. $y = - x^{3} + 3 x^{2} + 2.$

Xem đáp án

Chọn B.

Đây là dạng đồ thị của hàm bậc 4 trùng phương có hệ số của $x^{4}$ âm.

Câu 6:

Số nghiệm của phương trình $\log_{2} (- x + 2) = \log_{2} x^{2}$ là

A. 1

B. 3

C. 2

D. 0

Xem đáp án

Chọn C.

\log_{2} (- x + 2) = \log_{2} x^{2} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 0 \neq x < 2 \\ - x + 2 = x^{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 0 \neq x < 2 \\ [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = - 2 \end{array} \end{cases} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = - 2 \end{array} .

Câu 7:

Khối cầu (S) có bán kính R có thể tích bằng

A. $4 π R^{2}$

B. $\frac{1}{3} π R^{3} .$

C. $\frac{4}{3} π R^{3} .$

D. $π R^{3}$

Xem đáp án

Chọn C.

Thể tích khối cầu có bán kính R là $V = \frac{4}{3} π R^{3} .$

Câu 8:

Tập nghiệm của bất phương trình

\log_{2} (2 x + 4) < 3

là

A. $(- \infty; 2)$

B. $(- 2; + \infty)$

C. $(- \infty; - 2)$

D. (-2; 2)

Xem đáp án

Chọn D.

Điều kiện của bất phương trình $2 x + 4 > 0 \Leftrightarrow x > - 2.$

Ta có $\log_{2} (2 x + 4) < 3 \Leftrightarrow 2 x + 4 < 2^{3} \Leftrightarrow 2 x + 4 < 8 \Leftrightarrow x < 2.$

Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là (-2; 2)

Câu 9:

Cho hàm số

y = {(x - 1)}^{\sqrt{2}}

. Tập xác định của hàm số là:

A. $ℝ$

B. $(1; + \infty) .$

C. $ℝ \ \{1\} .$

D. $[1; + \infty)$

Xem đáp án

Chọn B.

Do $\sqrt{2} \notin ℤ$ nên điều kiện của hàm số là $x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > 1.$ Do đó tập xác định của hàm số là $(1; + \infty) .$

Câu 10:

Cho năm số thực a < b < c < d < e. Hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên đoạn [a; e] và đồ thị hàm số y = f(x) như hình vẽ:

Cho năm số thực a < b < c < d < e. Hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên (ảnh 1)

Đồ thị hàm số y = f(x) có bao nhiêu điểm cực tiểu?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 5

Xem đáp án

Chọn A.

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại x = c.

Vậy đồ thị hàm số y = f(x) có đúng 1 điểm cực tiểu trên đoạn [a; e].

Câu 11:

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $A (- 1; 0; 3), B (- 3; 2; - 1), C (- 2; 1; 1) .$ Tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là:

A. (-4; 2; 2)

B. (-2; 1; 1)

C. (-1; 1; -2)

D. (-2; 2; -4)

Xem đáp án

Chọn B.

Tọa độ trọng tâm tam giác ABC được xác định bởi công thức sau: $\{\begin{cases} x = \frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3} = - 2 \\ y = \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3} = 1 \\ z = \frac{z_{A} + z_{B} + z_{C}}{3} = 1 \end{cases} .$

Vậy tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là (-2; 1; 1).

Câu 12:

Từ một tấm tôn hình chữ nhật kích thước 50cmx240cm người ta gò tấm tôn thành mặt xung quanh của thùng đựng nước hình trụ có chiều cao bằng 50cm. Bán kính đáy của thùng đựng nước bằng

Từ một tấm tôn hình chữ nhật kích thước 50cmx240cm người ta gò tấm tôn (ảnh 1)

A. $\sqrt{\frac{120}{π}} c m .$

B. $\frac{25}{π} c m .$

C. $\frac{120}{π} c m .$

D. $\sqrt{\frac{25}{π}} c m .$

Xem đáp án

Chọn C.

Gọi r là bán kính đáy của thùng đựng nước.

Theo bài ra, ta có:

2 π r = 240 \Leftrightarrow r = \frac{120}{π} (c m) .

Câu 13:

Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm M(2; 1; -1) trên trục Oz là

A. (2; 1; 0)

B. (2; 0; 0)

C. (0; 0; -1)

D. (0; 1; 0)

Xem đáp án

Chọn C.

Theo lý thuyết, điểm I(x; y; z) có hình chiếu lên trục Oz là H(0; 0; z)

Vậy hình chiếu vuông góc của điểm M(2; 1; -1) trên trục Oz là (0; 0; -1).

Câu 14:

Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau

Số nghiệm của phương trình 3f(x) - 2 = 0 là

A. 0

B. 3

C. 1

D. 2

Xem đáp án

Chọn B.

Số nghiệm của phương trình 3f(x) - 2 = 0 là số giao điểm của đồ thị hàm số f(x) và đường thẳng $y = \frac{2}{3} .$

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy số giao điểm của đồ thị hàm số f(x) và đường thẳng $y = \frac{2}{3} .$ là 3 điểm phân biệt.

Vậy phương trình 3f(x) - 2 = 0 có 3 nghiệm phân biệt.

Câu 15:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 3)}^{2} = 4.$ Tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu đã cho là

A. $I (1; 2; - 3), R = 2.$

B. $I (1; 2; - 3), R = 4 .$

C. $I (- 1; - 2; 3), R = 4.$

D. $I (- 1; - 2; 3), R = 2 .$

Xem đáp án

Chọn A.

Theo lý thuyết, mặt cầu (S) có tọa độ tâm I(a; b; c) và bán kính R có phương trình là $(S) : {(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} + {(z - c)}^{2} = R^{2} .$

Vậy mặt cầu $(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 3)}^{2} = 4$ có tâm I(1; 2; -3) và bán kính R = 2.

Câu 16:

Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:

Giá trị cực đại của hàm số đã cho là

A. 3

B. -2

C. 1

D. 0

Xem đáp án

Chọn A.

Giá trị cực đại của hàm số $y_{C D} = 3$ tại x = 0.

Câu 17:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(0; 1; 1), B(1; 2; 3). Viết phương trình của mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng AB.

A. $x + y + 2 z - 6 = 0.$

B. $x + y + 2 z - 3 = 0.$

C. $x + 3 y + 4 z - 7 = 0.$

D. $x + 3 y + 4 z - 26 = 0.$

Xem đáp án

Chọn B.

Ta có $\vec{A B} = (1; 1; 2)$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) nên mặt phẳng (P) có phương trình là:

$1 (x - 0) + (y - 1) + 2 (z - 1) = 0 \Leftrightarrow x + y + 2 z - 3 = 0.$

Câu 18:

Tập nghiệm của phương trình

3^{2 x - 1} = 27

là

A. {1}

B. {5}

C. {4}

D. {2}

Xem đáp án

Chọn D.

Điều kiện: $x \in ℝ .$

Ta có $3^{2 x - 1} = 27 \Leftrightarrow 2 x - 1 = 3 \Leftrightarrow x = 2.$

Câu 19:

Họ nguyên hàm của hàm số

f (x) = 4 x^{3} + 3 x^{2} + 5

là

A. $12 x^{2} + 6 x + C$

B. $4 x^{3} + 3 x^{2} + 5 x + C$

C. $x^{4} + x^{3} + C .$

D. $x^{4} + x^{6} + 5 x + C .$

Xem đáp án

Chọn D.

Ta có $\int_{}^{} (4 x^{3} + 3 x^{2} + 5) d x = x^{4} + x^{3} + 5 x + C .$

Câu 20:

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình bên dưới. Hàm số đồng biến trên khoảng nào?

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình bên dưới. Hàm số đồng biến (ảnh 1)

A. (0; 1)

B. (-1; 1)

C. (-1; 0)

D. (-2; -1)

Xem đáp án

Chọn C.

Dựa vào đồ thị ta có hàm số đồng biến trong khoảng (-1; 0).

Câu 21:

Tính đạo hàm của hàm số y = log x.

A. $y' = \frac{1}{x}$

B. $y' = \frac{\ln 10}{x}$

C. $y' = \frac{x}{\ln 10}$

D. $y' = \frac{1}{x \ln 10}$

Xem đáp án

Chọn D.

Ta có $y = \log x \Rightarrow y' = \frac{1}{x \ln 10} .$

Câu 22:

Cho số phức z thỏa mãn

2 z - i . \bar{z} = 3 i .

Mô đun của z bằng

A. 3

B. 5

C. $\sqrt{5}$

D. $\sqrt{3}$

Xem đáp án

Chọn C.

Giả sử $z = x + y i (x, y \in ℝ; i^{2} = - 1) .$

$2 z - i . \bar{z} = 3 i$

$\Rightarrow 2 (x + y i) - i . (x - y i) = 3 i$

$\Leftrightarrow 2 x + 2 y i - x i + y i^{2} = 3 i$

$\Leftrightarrow (2 x - y) + (- x + 2 y) i = 3 i$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x - y = 0 \\ - x + 2 y = 3 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 1 \\ y = 2 \end{cases}$

Vậy $|z| = \sqrt{1^{2} + 2^{2}} = \sqrt{5} .$

Câu 23:

Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay miền mặt phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) trục hoành và hai đường thẳng x = 0; x = 1 quanh Ox

A. $\int_{0}^{1} f^{2} (x) d x .$

B. $- \int_{0}^{1} f (x) d x .$

C. $π \int_{0}^{1} f^{2} (x) d x .$

D. ${\int |}_{0}^{1} f (x) | d x .$

Xem đáp án

Chọn C.

Theo lý thuyết thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay miền mặt phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) trục hoành và hai đường thẳng x = 0; x = 1 quanh Ox là $π \int_{0}^{1} f^{2} (x) d x .$

Câu 24:

Cho hàm số

f (x) = \{\begin{cases} x^{2} - 2 x khi x \leq 1 \\ - x^{3} khi x > 1 \end{cases} .

Tính

I = \int_{0}^{2} f (x) d x .

A. $I = - \frac{53}{12} .$

B. $I = - \frac{4}{3} .$

C. I = -4.

D. $I = - \frac{16}{3} .$

Xem đáp án

Chọn A.

$I = \int_{0}^{2} f (x) d x = \int_{0}^{1} f (x) d x + \int_{1}^{2} f (x) d x$

$= \int_{0}^{1} (x^{2} - 2 x) d x + \int_{1}^{2} (- x^{3}) d x$

$= (\frac{x^{3}}{3} - x^{2}) |\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} + (- \frac{x^{4}}{4}) |\begin{array}{l} 2 \\ 1 \end{array}$

$= - \frac{53}{12} .$

Câu 25:

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng song song với mặt phẳng $(P) : x + 2 y + 3 z - 4 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là

A. $\vec{n_{3}} = (3; - 4; 1) .$

B. $\vec{n_{2}} = (2; 3; - 4) .$

C. $\vec{n_{1}} = (1; 2; 3) .$

D. $\vec{n_{4}} = (- 4; 1; 2) .$

Xem đáp án

Chọn C.

Mặt phẳng $P : x + 2 y + 3 z - 4 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (1; 2; 3)$ nên mặt phẳng song song với mặt phẳng P có cùng vec tơ pháp tuyến của P nên chọn C.

Câu 26:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh $a, S A ⊥ (A B C D), S C = a \sqrt{3} .$ Thể tích khối chóp S.ABCD bằng

A. $a^{3}$

B. $\frac{a^{3}}{6} .$

C. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{3}$

D. $\frac{a^{3}}{3} .$

Xem đáp án

Chọn D.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a (ảnh 1)

Trong tam giác SAC vuông tại A có $S A = \sqrt{S C^{2} - A C^{2}} = \sqrt{3 a^{2} - 2 a^{2}} = a$

$V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} B . h = \frac{1}{3} a^{2} . a = \frac{a^{3}}{3} .$

Câu 27:

Gọi $z_{1}, z_{2}$ là hai nghiệm của phương trình $z^{2} + 2 z + 5 = 0.$ Tính $|z_{1} - z_{2}| .$

A. $|z_{1} - z_{2}| = 2.$

B. $|z_{1} - z_{2}| = \sqrt{6} .$

C. $|z_{1} - z_{2}| = 1 .$

D. $|z_{1} - z_{2}| = 4 .$

Xem đáp án

Chọn D.

Ta có:

z^{2} + 2 z + 5 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} z_{1} = - 1 + 2 i \\ z_{2} = - 1 - 2 i \end{array} \Rightarrow |z_{1} - z_{2}| = |- 1 + 2 i + 1 + 2 i| = |4 i| = \sqrt{4^{2}} = 4

Câu 28:

Cho số phức

z_{1} = 2 + i; z_{2} = - 1 + 3 i .

Số phức

z_{1} + z_{2}

có phần ảo bằng:

A. 1

B. 4i

C. 4

D. i

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có $z_{1} + z_{2} = (2 + i) + (- 1 + 3 i) = 1 + 4 i .$ Vậy số phức $z_{1} + z_{2}$ có phần ảo bằng 4.

Câu 29:

Cho khối lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại C, biết $A B = 2 a, A C = a,$ AA' = 2a. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

A. $4 a^{3}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{2}$

C. $a^{3} \sqrt{3}$

D. $\frac{4 a^{3}}{3} .$

Xem đáp án

Chọn C.

Cho khối lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại C (ảnh 1)

Xét tam giác ABC vuông tại C có $B C = \sqrt{A B^{2} - A C^{2}} = a \sqrt{3} .$

Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng $V_{A B C . A' B' C'} = \frac{1}{2} . a . a \sqrt{3} .2 a = a^{3} \sqrt{3} .$

Câu 30:

Cho cấp số cộng $(u_{n})$ có số hạng đầu $u_{1} = 2$ và $u_{2} = - 2.$ Công sai của cấp số cộng đã cho bằng

A. 8

B. -4

C. -8

D. 4

Xem đáp án

Chọn B.

Ta có

u_{2} = u_{1} + d = 2 + d = - 2 \Leftrightarrow d = - 4.

Câu 31:

Bạn An dùng một dụng cụ múc nước (cái gàu) dạng hình nón có bán kính đáy bằng 1,5 dm và độ dài đường sinh bằng 4 dm (như hình vẽ bên) để đổ vào bể. Hỏi bạn An phải múc ít nhất bao nhiêu lượt để đổ đầy một bể nước? Biết bể nước chứa được tối đa 240 lít nước (1 lít nước tương ứng với 1 dm³)

Bạn An dùng một dụng cụ múc nước (cái gàu) dạng hình nón có bán kính (ảnh 1)

A. 26 lượt

B. 28 lượt

C. 27 lượt

D. 25 lượt

Xem đáp án

Chọn B.

Ta có: chiều cao cái gàu là

$h = \sqrt{l^{2} - r^{2}} = \sqrt{4^{2} - 1, 5^{2}} = \frac{\sqrt{55}}{2} (d m)$

Thể tích cái gàu là $V = \frac{1}{3} π r^{2} h = \frac{1}{3} π {(\frac{3}{2})}^{2} \frac{\sqrt{55}}{2} = π \frac{3 \sqrt{55}}{8} (d m^{3}) .$

Vì $240 : \frac{3 π \sqrt{55}}{8} ≃ 27.5$ nên bạn An phải múc ít nhất 28 lượt mới đầy bể nước.

Câu 32:

Để đảm bảo an toàn khi lưu thông trên đường, các xe ô tô khi dừng đèn đỏ phải cách nhau tối thiểu 1m. Ô tô A đang chạy với vận tốc 16m/s gặp ô tô B đang dừng đèn đỏ nên ô tô A chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v (t) = 16 - 4 t (m / s),$ trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ thời điểm ô tô A bắt đầu hãm phanh. Hỏi rằng để hai ô tô A và B dừng lại đạt khoảng cách an toàn thì ô tô A phải hãm phanh khi cách ô tô B một khoảng tối thiểu là bao nhiêu mét?

A. 34m

B. 31m

C. 32m

D. 33m

Xem đáp án

Chọn D.

Ta có: $v (t) = 0 \Leftrightarrow 16 - 4 t = 0 \Leftrightarrow t = 4.$

Để hai ô tô A và B dừng lại đạt khoảng cách an toàn thì ô tô A phải hãm phanh khi cách ô tô B một khoảng tối thiểu là $S = \int_{0}^{4} (16 - 4 t) d t + 1 = (16 t - 2 t^{2}) |\begin{array}{l} 4 \\ 0 \end{array} + 1 = 33 (m) .$

Câu 33:

Xét tích phân $I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos x . \cos 2 x d x$ , nếu đặt t = sinx thì I bằng

A. $\int_{0}^{1} (1 - 2 t^{2}) d t .$

B. $2 \int_{0}^{1} (1 - t^{2}) d t .$

C. $- 2 \int_{0}^{1} (1 - t^{2}) d t .$

D. $\int_{0}^{1} (2 t^{2} - 1) d t$

Xem đáp án

Chọn A.

Ta có $I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos x . \cos 2 x d x = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos x . (1 - 2 \sin^{2} x) d x$

Đặt $t = \sin x \Rightarrow d t = \cos x d x$

Với $x = 0 \Rightarrow t = 0; x = \frac{π}{2} \Rightarrow t = 1$

Vậy $I = \int_{0}^{1} (1 - 2 t^{2}) d t .$

Câu 34:

Cho lăng trụ đều ABC.A'B'C'. Tất cả các cạnh có độ dài bằng a. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và BC' bằng?

A. $\frac{a}{2} .$

B. $\frac{a \sqrt{2}}{4} .$

C. $\frac{a \sqrt{2}}{2} .$

D. $\frac{a}{4} .$

Xem đáp án

Chọn B.

Cho lăng trụ đều ABC.A'B'C'. Tất cả các cạnh có độ dài bằng a. Gọi M (ảnh 1)

Gọi N là trung điểm của $C C' \Rightarrow M N / / B C', M N \subset (A M N) \Rightarrow B C' / / (A M N)$

$\Rightarrow d (B C', M N) = d (B C', (A M N)) = d (B, (A M N)) = d (C, (A M N)) .$

Ta có $Δ A B C$ đều, M là trung điểm của $B C \Rightarrow A M ⊥ B C, A M ⊥ C C' \Rightarrow A M ⊥ (B C C' B')$

Mà $A M \subset (A M N) \Rightarrow (B C C' B') ⊥ (A M N) .$

Gọi H là trung điểm của MN, vì tam giác CMN vuông cân tại C (do $C M = C N = \frac{a}{2})$

$\Rightarrow C H ⊥ M N \Rightarrow C H ⊥ (A M N) \Rightarrow d (C, (A M N)) = C H = \frac{M N}{2} = \frac{\sqrt{2} a}{4} .$

Vậy $d (A M, B C') = \frac{\sqrt{2} a}{4} .$

Câu 35:

Hỏi giá trị lớn nhất của hàm số $y = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x + 2.$ Trên đoạn [-1; 2] là?

A. 6

B. 15

C. 10

D. 11

Xem đáp án

Chọn B.

Tập xác định: $D = ℝ .$

Ta có $y' = 6 x^{2} + 6 x - 12; y' = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \in (- 1; 2) \\ x = - 2 \notin (- 1; 2) \end{array} .$

$y (- 1) = 15; y (1) = - 5; y (2) = 6.$

Vậy $\max_{[- 1; 2]} y = 15$ khi x = -1.

Câu 36:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho ba điểm $A (1; 0; 0), B (0; 2; 0), C (0; 0; 3) .$ Tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC có tọa độ I(a; b;c) tổng a + b + c bằng

A. 1

B. 0

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Chọn D.

Ta có I(a; b; c) là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC nên IO = IA = IB = IC.

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} I A^{2} = I O^{2} \\ I B^{2} = I O^{2} \\ I C^{2} = I O^{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} {(1 - a)}^{2} + b^{2} + c^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} \\ a^{2} + {(2 - b)}^{2} + c^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} \\ a^{2} + b^{2} + {(3 - c)}^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = \frac{1}{2} \\ b = 1 \\ c = \frac{3}{2} \end{cases} .$

Vậy a + b + c = 3.

Câu 37:

Có 4 bác sĩ nam và 6 bác sĩ nữ. Cần lập một đoàn công tác tăng cường cho công tác phòng chống dịch bệnh COVID-19 gồm 4 bác sĩ trong số 10 bác sĩ trên. Xác suất để đoàn công tác có cả bác sĩ nam và bác sĩ nữ là

A. $\frac{33}{35}$

B. $\frac{97}{105}$

C. $\frac{13}{105}$

D. $\frac{17}{105}$

Xem đáp án

Chọn B.

Chọn 4 bác sĩ trong 10 bác sĩ có $C_{10}^{4}$ cách.

Gọi A là biến cố chọn được 4 bác sĩ có cả nam và nữ. Nên $n (A) = C_{10}^{4} - C_{4}^{4} - C_{6}^{4} .$

Suy ra

P (A) = \frac{C_{10}^{4} - C_{4}^{4} - C_{6}^{4}}{C_{10}^{4}} = \frac{97}{105} .

Câu 38:

Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $f (x) = \frac{x}{|x| - 1}$ là

A. 2

B. 3

C. 4

D. 1

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có $f (x) = \frac{x}{|x| - 1} = \{\begin{cases} \frac{x}{x - 1} khi x \geq 0 \\ \frac{x}{- x - 1} khi x < 0 \end{cases}$ .

+ $\lim_{x \to 1^{+}} f (x) = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{x}{x - 1} = + \infty .$ + $\lim_{x \to 1^{-}} f (x) = \lim_{x \to 1^{-}} \frac{x}{x - 1} = - \infty .$

+ $\lim_{x \to - 1^{+}} f (x) = \lim_{x \to - 1^{+}} \frac{x}{- x - 1} = - \infty .$ + $\lim_{x \to - 1^{-}} f (x) = \lim_{x \to - 1^{-}} \frac{x}{- x - 1} = + \infty .$

+ $\lim_{x \to - \infty} f (x) = \lim_{x \to - \infty} \frac{x}{- x - 1} = - 1.$ + $\lim_{x \to + \infty} f (x) = \lim_{x \to + \infty} \frac{x}{x - 1} = 1.$

Vậy hàm số đã cho có 4 đường tiệm cận.

Câu 39:

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại $B, A B = \sqrt{3} a .$ Cạnh bên $S A = \sqrt{3} a$ vuông góc với đáy. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng

A. $30^{0}$

B. $90^{0}$

C. $60^{0}$

D. $45^{0}$

Xem đáp án

Chọn D.

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B (ảnh 1)

Ta có $(S B C) \cap (A B C) = B C$

$\{\begin{cases} B C ⊥ A B (1) \\ S A ⊥ B C \end{cases} \Rightarrow B C ⊥ (S A B) \Rightarrow B C ⊥ S B (2)$

Nên từ (1) và (2) suy ra $\hat{((S B C); (A B C))} = \hat{(S B; A B)} = \hat{S B A} .$

Mà $Δ S A B$ vuông cân tại A suy ra $\hat{((S B C); (A B C))} = \hat{S B A} = 45^{0} .$

Câu 40:

Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng 12 và G là trọng tâm tam giác BCD. Tính thể tích của khối chóp A.GBC.

A. 3

B. 5

C. 4

D. 6

Xem đáp án

Chọn C.

Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng 12 và G là trọng tâm tam giác BCD (ảnh 1)

Ta có

V_{A . G B C} = V_{G . A B C} = \frac{1}{3} d (G, (A B C)) . S_{Δ A B C} = \frac{1}{3} . \frac{1}{3} . d (D, (A B C)) . S_{Δ A B C} = \frac{1}{3} V_{A B C D} = 4.

Câu 41:

Cho phương trình $z^{2} + a z + b = 0 (a, b \in ℝ)$ có một nghiệm là 3 + 4i. Giá trị của biểu thức a + b bằng

A. 5

B. 19

C. 31

D. 29

Xem đáp án

Chọn B.

Theo giả thiết 3 + 4i là nghiệm của phương trình $z^{2} + a z + b = 0 (a, b \in ℝ)$ suy ra

${(3 + 4 i)}^{2} + a (3 + 4 i) + b = 0 \Leftrightarrow - 7 + 24 i + a (3 + 4 i) + b = 0$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} - 7 + 3 a + b = 0 \\ 24 + 4 a = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} b = 25 \\ a = - 6 \end{cases} \Rightarrow a + b = 19.$

Câu 42:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm

A (1; 2; - 3), B (- 2; - 2; 1)

và mặt phẳng

(P) : 2 x + 2 y - z + 9 = 0.

Điểm M di động trên (P) sao cho M luôn nhìn đoạn AB dưới góc

90^{0} .

Khi khoảng cách giữa M và B lớn nhất, tính độ dài đoạn MB.

A. $\frac{5}{2} .$

B. $\sqrt{5}$

C. $\frac{\sqrt{5}}{2} .$

D. $\frac{\sqrt{10}}{2} .$

Xem đáp án

Chọn B.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 2; -3) (ảnh 1)

Ta có: $A \notin (P), B \in (P); A B = \sqrt{41} .$

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên trên (P). Ta có $A M \geq A H; A B^{2} = M A^{2} + M B^{2}, M B$ lớn nhất khi $A M = A H = d (A, (P)) = 6.$ Khi đó $M B = \sqrt{A B^{2} - A H^{2}} = \sqrt{5} .$

Câu 43:

Cho phương trình $\log_{3}^{2} 3 x + \log_{3} x + m - 1 = 0$ (m là tam số thực). Số giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm phân biệt thuộc khoảng (0; 1)

A. 1

B. 5

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Chọn C.

Điều kiện: x > 0.

$\log_{3}^{2} 3 x + \log_{3} x + m - 1 = 0 \Leftrightarrow {(1 + \log_{3}^{} x)}^{2} + \log_{3} x + m - 1 = 0$

Đặt $\log_{3} x = t .$ Với mỗi $x \in (0; 1)$ thì có một giá trị $t \in (- \infty; 0) .$ Phương trình trở thành ${(1 + t)}^{2} + t + m - 1 = 0 \Leftrightarrow t^{2} + 3 t = - m .$

Xét hàm số $y = t^{2} + 3 t$ trên $(- \infty; 0),$ có y' = 2t + 3

Cho phương trình log3^2(3x) + log3(x) + m - 1 = 0 (m là tam số thực) (ảnh 1)

Từ bảng biến thiên ta có:

0 > - m > - \frac{9}{4} \Leftrightarrow 0 < m < \frac{9}{4} \overset{m \in ℤ}{\Leftrightarrow} m \in \{1; 2\} .

Câu 44:

Cho phương trình $\log_{3} (3 x^{2} - 6 x + 6) = 3^{y^{2}} + y^{2} - x^{2} + 2 x - 1.$ Hỏi có bao nhiêu cặp $(x; y); 0 < x < 2021; y \in ℕ$ thỏa mãn phương trình đã cho

A. 5

B. 6

C. 4

D. 7

Xem đáp án

Chọn B.

$\log_{3} (3 x^{2} - 6 x + 6) = 3^{y^{2}} + y^{2} - x^{2} + 2 x - 1 \Leftrightarrow \log_{3} (x^{2} - 2 x + 2) + x^{2} - 2 x + 2 = y^{2} + 3^{y^{2}}$

$\Leftrightarrow \log_{3} (x^{2} - 2 x + 2) + 3^{\log_{3} (x^{2} - 2 x + 2)} = y^{2} + 3^{y^{2}} .$

Xét hàm số $f (t) = t + 3^{t}; f' (t) = 1 + 3^{t} \ln 3 > 0, \forall t$ nên hàm số đồng biến trên $ℝ$ . Vậy phương trình đã cho tương đương với $y^{2} = \log_{3} (x^{2} - 2 x + 2) \Leftrightarrow y^{2} = \log_{3} [{(x - 1)}^{2} + 1] .$

Vì 0 < x < 2021 nên $- 1 < x - 1 < 2020 \Rightarrow 0 < {(x - 1)}^{2} < 2020^{2} \Leftrightarrow 1 < {(x - 1)}^{2} + 1 < 2020^{2} + 1$

$\Leftrightarrow 0 < y^{2} < \log_{3} (2020^{2} + 1) \overset{y \geq 0}{\Leftrightarrow} 0 < y < \sqrt{\log_{3} (2020^{2} + 1)} \approx 3, 7.$

Vì $y \in ℕ$ nên $y \in \{1; 2; 3\} .$ Với mỗi giá trị của y > 0. Ta có 2 giá trị của x thỏa mãn $x = 1 \pm \sqrt{3^{y^{2}} - 1} .$

Vậy có 6 cặp số (x; y) thỏa mãn đề bài.

Câu 45:

Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên $ℝ$ và có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình $f (2 - \sqrt{2 x - x^{2}}) = m$ có nghiệm.

Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ (ảnh 1)

A. 6

B. 3

C. 7

D. 2

Xem đáp án

Chọn B.

Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ (ảnh 2)

Điều kiện $x \in [0; 2] .$

Đặt $t = 2 - \sqrt{2 x - x^{2}} .$

Ta có $t' = \frac{x - 1}{\sqrt{2 x - x^{2}}}, \forall x \in (0; 2) .$

$t' = 0 \Leftrightarrow x = 1.$

Bảng biến thiên của hàm $t = 2 - \sqrt{2 x - x^{2}}$ trên đoạn [0; 2] như sau:

Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ (ảnh 3)

Từ bảng biến thiên suy ra $t \in [1; 2] .$

Khi $t \in [1; 2]$ , quan sát đồ thị ta thấy $f (t) \in [3; 5] .$

Vậy phương trình $f (2 - \sqrt{2 x - x^{2}}) = m$ có nghiệm $x \in [0; 2]$ khi phương trình f(t) = m có nghiệm $t \in [1; 2]$ . Điều này chỉ có $\Leftrightarrow m \in [3; 5] .$

Do $m \in ℤ$ nên $m \in \{3; 4; 5\} .$ Vậy có ba giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 46:

Gọi S là tập hợp các số phức z thỏa mãn |z| = 10. Gọi

z_{1}, z_{2}

là hai số phức thuộc S sao cho

\frac{z_{1}}{z_{2}}

là số thuần ảo. Gọi A, B lần lượt là các điểm biểu diễn số phức

z_{1}, z_{2} .

Diện tích

Δ A O B

bằng

A. $25 \sqrt{3}$

B. 25

C. 50

D. $50 \sqrt{3}$

Xem đáp án

Chọn C.

Đặt $z_{2} = a + b i, (a, b \in ℝ)$

Do $\frac{z_{1}}{z_{2}}$ là số thuần ảo nên $\frac{z_{1}}{z_{2}} = k i$ (với $k \in ℝ) .$

Ta có $\frac{z_{1}}{z_{2}} = k i \Leftrightarrow z_{1} = z_{2} . k i$

$= (a + b i) . k i$

$= - b k + a k i .$

Mặt khác theo bài ra thì $|z_{1}| = |z_{2}| = 10$ nên ta có

$\sqrt{a^{2} + b^{2}} = \sqrt{{(- b k)}^{2} + {(a k)}^{2}} = 10 \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} = k^{2} (a^{2} + b^{2}) = 100 \Rightarrow k^{2} = 1 \Rightarrow |k| = 1.$

Do A, B lần lượt là các điểm biểu diễn $z_{1}, z_{2}$ nên $A (- b k; a k), B (a; b) .$

Khi đó $\vec{O A} = (- b k; a k), \vec{O B} = (a; b) .$

Suy ra diện tích tam giác AOB là: $S = \frac{1}{2} |(- b k) . b - (a k) . k| = \frac{1}{2} |k| |a^{2} + b^{2}| = \frac{1}{2} .1.100 = 50.$

Câu 47:

Cho hàm số f(x) xác định, có đạo hàm, liên tục và đổng biến trên [1; 4] thỏa mãn $x + 2 x f (x) = {[f' (x)]}^{2}, \forall x \in [1; 4], f (1) = \frac{3}{2} .$

Giá trị f(4) bằng

A. $\frac{361}{18}$

B. $\frac{391}{18}$

C. $\frac{381}{18}$

D. $\frac{371}{18}$

Xem đáp án

Chọn B.

Từ giả thiết ta suy ra $f' (x) \geq 0, \forall x \in [1; 4]$ và $f (x) > 0, \forall x \in [1; 4]$ nên

$x + 2 x f (x) = {[f' (x)]}^{2} \Leftrightarrow \sqrt{x (1 + 2 f (x))} = f' (x) \Leftrightarrow \frac{f' (x)}{\sqrt{1 + 2 f (x)}} = \sqrt{x}$

$\Leftrightarrow (\sqrt{1 + 2 f (x)})' = \sqrt{x} \Leftrightarrow \int_{}^{} (\sqrt{1 + 2 f (x)})' d x = \int_{}^{} \sqrt{x} d x .$

$\Leftrightarrow \sqrt{1 + 2 f (x)} = \frac{2}{3} . x \sqrt{x} + C, (*)$

Thay x = 1 vào (*) ta được $\Leftrightarrow \sqrt{1 + 2 f (1)} = \frac{2}{3} .1 \sqrt{1} + C \Leftrightarrow C = \frac{4}{3} .$

Thay $x = 4, C = \frac{4}{3}$ vào (*) ta được $\Leftrightarrow \sqrt{1 + 2 f (4)} = \frac{2}{3} .4 \sqrt{4} + \frac{4}{3} \Leftrightarrow f (4) = \frac{391}{18} .$

Câu 48:

Trong không gian Oxyz, cho điểm A(0; 4; -3). Xét mặt phẳng (P) thay đổi cách điểm B(4; 0; -1) một khoảng bằng 3. Khi khoảng cách từ A đến (P) lớn nhất, (P) đi qua điểm nào dưới đây?

A. $M (0; - 3; 10)$

B. $P (- 3; 0; - 3) .$

C. $N (0; 3; - 5) .$

D. $Q (0; 5; 8) .$

Xem đáp án

Chọn A.

Trong không gian Oxyz, cho điểm A(0; 4; -3). Xét mặt phẳng (P) thay đổi (ảnh 1)

Ta có $\vec{A B} (4; - 4; 2) \Rightarrow A B = \sqrt{4^{2} + {(- 4)}^{2} + 2^{2}} = 6.$

Trường hợp 1: Hai điểm A, B nằm cùng phía so với (P) có hai hình vẽ biểu diễn là hình 1 và hình 2.

Từ hình vẽ 1 ta có $d (A, (P)) = A K, d (B; (P)) = B H = 3.$

$A K = A I + I K \leq A B + B H = 6 + 3 = 9$ (do $I K = B H, A I \leq A B$ ).

Suy ra AK lớn nhất bằng 9 khi AI = AB điều này xảy ra khi A, B, H thẳng hàng và H = K.

Vậy d(A, (P)) lớn nhất bằng 9 và (P) nhận $\vec{A B} (4; - 4; 2)$ làm véc tơ pháp tuyến.

Mặt phẳng (P) nhận $\vec{n} (2; - 2; 1)$ là véc tơ pháp tuyến có phương trình dạng $2 x - 2 y + z + D = 0.$

$d (A, (P)) = 9 \Leftrightarrow \frac{|D - 11|}{3} = 9 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} D = 38 \\ D = - 16 \end{array} .$

Vậy (P) có phương trình $2 x - 2 y + z + 38 = 0$ và $2 x - 2 y + z - 16 = 0.$

Đối chiếu các phương án ta thấy có phương án A thỏa mãn.

Từ hình vẽ ta có $d (A, (P)) = A H = E H < B K = 3 < 9$ nên loại.

Trường hợp 2: Hai điểm A, B nằm khác phía so với (P).

Từ hình vẽ 3 ta có $d (A, (P)) = A K < A F < A B = 6 < 9$ nên loại.

Vậy đáp án là phương án A.

Câu 49:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh SA, SB và P là điểm bất kỳ thuộc cạnh CD. Biết thể tích khối chóp S.ABCD là V. Tính thể tích của khối tứ diện AMNP theo V.

A. $\frac{V}{6} .$

B. $\frac{V}{12} .$

C. $\frac{V}{8} .$

D. $\frac{V}{4} .$

Xem đáp án

Chọn A.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Gọi M, N (ảnh 1)

Ta có $V_{A . M N P} = V_{S . M N P} = \frac{S M}{S A} . \frac{S N}{S B} . V_{S . A B P} = \frac{1}{4} \frac{S_{Δ A B P}}{S_{A B C D}} . V_{S . A B C D} .$

Mặt khác $S_{Δ A B P} = \frac{1}{2} A B . d (P; A B) = \frac{1}{2} S_{A B C D} .$

Suy ra $V_{A . M N P} = \frac{1}{4} . \frac{S_{Δ A B P}}{S_{A B C D}} = \frac{1}{4} . \frac{1}{2} V = \frac{V}{8} .$

Câu 50:

Cho đồ thị hàm số y = f'(x) như hình vẽ, biết $f " (3) = \frac{2}{3} .$ Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $g (x) = 3 f (3 - 2 x) - m x^{2} + (6 m - 12) x$ có đúng bốn điểm cực trị?

Cho đồ thị hàm số y = f'(x) như hình vẽ, biết f''(3) = 2/3. Hỏi có tất cả (ảnh 1)

A. Vô số.

B. 1

C. 2.

D. 3.

Xem đáp án

Chọn D.

Cho đồ thị hàm số y = f'(x) như hình vẽ, biết f''(3) = 2/3. Hỏi có tất cả (ảnh 2)

Xét hàm số $g (x) = 3 f (3 - 2 x) - m x^{2} + (6 m - 12) x .$

Ta có: $g' (x) = - 6 f' (3 - 2 x) - 2 m x + 6 m - 12 = - 6 [f' (3 - 2 x) + \frac{m}{3} x - m + 2] .$

$g' (x) = 0 \Leftrightarrow f' (3 - 2 x) + \frac{m}{3} x - m + 2 = 0 (*)$

Đặt $t = 3 - 2 x \Rightarrow x = \frac{3 - t}{2},$ suy ra (*) có dạng:

$f' (t) + \frac{m (3 - t)}{6} - m + 2 = 0 \Leftrightarrow f' (t) = \frac{m}{6} t + \frac{m}{2} - 2.$

Số nghiệm bội lẻ của phương trình g'(x) = 0 bằng với số nghiệm bội lẻ của phương trình $f' (t) = \frac{m}{6} t + \frac{m}{2} - 2,$ tương đương với số giao điểm không tiếp xúc của hai đồ thị y = f'(t) và đường thẳng $y = \frac{m}{6} t + \frac{m}{2} - 2 = \frac{m}{2} (\frac{t}{3} + 1) - 2. (d)$

Đường thẳng d luôn đi qua A(-3; -2)

Gọi $d_{1}$ là đường thẳng đi qua A và tiếp xúc với đồ thị hàm số y = f'(t) tại điểm (3; 2) như hình vẽ.

Suy ra: $d_{1} : y = \frac{2}{3} t$ khi đó giá trị tham số $m = m_{1}$ thỏa mãn $\frac{m_{1}}{6} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow m_{1} = 4.$

Gọi $d_{2}$ là đường thẳng đi qua A và tiếp xúc với đồ thị hàm số y = f'(t) tại điểm (1; -2) như hình vẽ.

Suy ra: $d_{2} : y = - 2$ khi đó giá trị tham số $m = m_{2}$ thỏa mãn $- 2 = \frac{m_{2} .1}{6} + \frac{m_{2}}{2} - 2 \Leftrightarrow m_{2} = 0.$

Để hàm số g(x) có bốn điểm cực trị thì phương trình $f' (t) = \frac{m}{6} t + \frac{m}{2} - 2$ có bốn nghiệm bội lẻ, tương đương với đồ thị y = f'(t) và đường thẳng d có bốn giao điểm xuyên qua.

Do đó $m_{2} = 0 < m < m_{1} = 4 \Rightarrow m \in \{1; 2; 3\} .$