28 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Các dạng vô định

Câu 1:

Tính $\lim_{x \to - 1} (x^{2} - x + 7)$ bằng?

A.5

B.7

C.9

D.6

Xem đáp án

$\lim_{x \to - 1} (x^{2} - x + 7) = {(- 1)}^{2} - (- 1) + 7 = 9.$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 2:

Tính $\lim_{x \to - 2} (3 x^{2} - 3 x - 8)$ bằng?

A.-2

B.5

C.9

D.10

Xem đáp án

$\lim_{x \to - 2} (3 x^{2} - 3 x - 8) = 3. {(- 2)}^{2} - 3. (- 2) - 8 = 12 + 6 - 8 = 10.$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 3:

Tính $\lim_{x \to 2} \sqrt{\frac{x^{4} + 3 x - 1}{2 x^{2} - 1}}$ bằng?

A.3

B. $\sqrt{3}$

C.-3

D. $\frac{1}{3}$

Xem đáp án

$\lim_{x \to 2} \sqrt{\frac{x^{4} + 3 x - 1}{2 x^{2} - 1}} = \sqrt{\frac{2^{4} + 3.2 - 1}{{2.2}^{2} - 1}} = \sqrt{\frac{16 + 6 - 1}{8 - 1}} = \sqrt{3} .$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 4:

Tính $\lim_{x \to - \infty} \frac{3 x^{2} - 2 x - 1}{x^{2} + 1}$ bằng?

A.-3

B.-2

C.2

D.3

Xem đáp án

$\lim_{x \to - \infty} \frac{3 x^{2} - 2 x - 1}{x^{2} + 1} = \lim_{x \to - \infty} \frac{3 - \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{1}{x^{2}}} = \frac{3}{1} = 3.$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 5:

Tính $\lim_{x \to 3^{+}} \frac{|x - 3|}{3 x - 9}$ bằng?

A. $- \frac{1}{3}$

B.0

C. $\frac{1}{3}$

D.Không tồn tại

Xem đáp án

$\lim_{x \to 3^{+}} \frac{|x - 3|}{3 x - 9} = \lim_{x \to 3^{+}} \frac{x - 3}{3 x - 9} = \lim_{x \to 3^{+}} \frac{1}{3} = \frac{1}{3} .$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 6:

Trong các mệnh đề sau đâu là mệnh đề đúng?

A. $\lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 3 x + 2}{|x + 1|} = - 1$

B. $\lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 3 x + 2}{|x + 1|} = 0$

C. $\lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 3 x + 2}{|x + 1|} = 1$

D. Không tồn tại $\lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 3 x + 2}{|x + 1|}$

Xem đáp án

$\begin{array}{l} \lim_{x \to - 1^{+}} \frac{x^{2} + 3 x + 2}{|x + 1|} = \lim_{x \to - 1^{+}} \frac{(x + 1) (x + 2)}{x + 1} \\ \lim_{x \to - 1^{+}} (x + 2) = - 1 + 2 = 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \lim_{x \to - 1^{-}} \frac{x^{2} + 3 x + 2}{|x + 1|} = \lim_{x \to - 1^{-}} \frac{(x + 1) (x + 2)}{- (x + 1)} \\ = \lim_{x \to - 1^{-}} [- (x + 2)] = - (- 1 + 2) = - 1 \end{array}$

$\lim_{x \to - 1^{+}} \frac{x^{2} + 3 x + 2}{|x + 1|} \neq \lim_{x \to - 1^{-}} \frac{x^{2} + 3 x + 2}{|x + 1|}$

Suy ra, không tồn tại $\lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 3 x + 2}{|x + 1|} .$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 7:

Tính

\lim_{x \to 3} \frac{x^{2} - 4 x + 3}{x^{2} - 9}

bằng?

A. $\frac{1}{5}$

B. $\frac{2}{5}$

C. $\frac{1}{2}$

D. $\frac{1}{3}$

Xem đáp án

$\lim_{x \to 3} \frac{x^{2} - 4 x + 3}{x^{2} - 9} = \lim_{x \to 3} \frac{(x - 1) (x - 3)}{(x - 3) (x + 3)} = \lim_{x \to 3} \frac{x - 1}{x + 3} = \frac{3 - 1}{3 + 3} = \frac{1}{3} .$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 8:

Tính

\lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 6 x + 5}{x^{3} + 2 x^{2} - 1}

bằng?

A.4

B.6

C.-4

D.-6

Xem đáp án

$\lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 6 x + 5}{x^{3} + 2 x^{2} - 1} = \lim_{x \to - 1} \frac{(x + 1) (x + 5)}{(x + 1) (x^{2} + x - 1)} = \lim_{x \to - 1} \frac{x + 5}{x^{2} + x - 1} = \frac{- 1 + 5}{{(- 1)}^{2} + (- 1) - 1} = - 4$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 9:

Tính

\lim_{x \to 2} \frac{x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6}{x^{2} - 4}

bằng?

A. $\frac{1}{4}$

B. $\frac{1}{3}$

C. $\frac{- 1}{4}$

D. $\frac{- 1}{3}$

Xem đáp án

$\lim_{x \to 2} \frac{x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6}{x^{2} - 4} = \lim_{x \to 2} \frac{(x - 1) (x - 2) (x - 3)}{(x - 2) (x + 2)} = \lim_{x \to 2} \frac{(x - 1) (x - 3)}{x + 2} = \frac{(2 - 1) (2 - 3)}{2 + 2} = \frac{- 1}{4}$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 10:

Tính $\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x + 1} - 2}{\sqrt{3 x} - 3}$ bằng?

A. $\frac{2}{3}$

B. $\frac{1}{3}$

C. $\frac{1}{2}$

D.1

Xem đáp án

$\begin{array}{l} \lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x + 1} - 2}{\sqrt{3 x} - 3} \\ = \lim_{x \to 3} \frac{(\sqrt{x + 1} - 2) (\sqrt{x + 1} + 2) (\sqrt{3 x} + 3)}{(\sqrt{3 x} - 3) (\sqrt{3 x} + 3) (\sqrt{x + 1} + 2)} \\ = \lim_{x \to 3} \frac{(x + 1 - 4) (\sqrt{3 x} + 3)}{(3 x - 9) (\sqrt{x + 1} + 2)} \\ = \lim_{x \to 3} \frac{(x - 3) (\sqrt{3 x} + 3)}{3 (x - 3) (\sqrt{x + 1} + 2)} \\ = \lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{3 x} + 3}{3 (\sqrt{x + 1} + 2)} \\ = \frac{\sqrt{3.3} + 3}{3 (\sqrt{3 + 1} + 2)} = \frac{1}{2} \end{array}$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 11:

Tính $\lim_{x \to 2} \frac{x - \sqrt{x + 2}}{\sqrt{4 x + 1} - 3}$ bằng?

A. $\frac{1}{2}$

B. $\frac{9}{8}$

C.1

D. $\frac{3}{4}$

Xem đáp án

$\lim_{x \to 2} \frac{x - \sqrt{x + 2}}{\sqrt{4 x + 1} - 3}$

$= \lim_{x \to 2} \frac{(x - \sqrt{x + 2}) (x + \sqrt{x + 2}) (\sqrt{4 x + 1} + 3)}{(\sqrt{4 x + 1} - 3) (\sqrt{4 x + 1} + 3) (x + \sqrt{x + 2})}$

$\begin{array}{l} = \lim_{x \to 2} \frac{(x^{2} - x - 2) (\sqrt{4 x + 1} + 3)}{(4 x + 1 - 9) (x + \sqrt{x + 2})} \\ = \lim_{x \to 2} \frac{(x + 1) (x - 2) (\sqrt{4 x + 1} + 3)}{4 (x - 2) (x + \sqrt{x + 2})} \\ = \lim_{x \to 2} \frac{(x + 1) (\sqrt{4 x + 1} + 3)}{4 (x + \sqrt{x + 2})} \\ = \frac{(2 + 1) (\sqrt{4.2 + 1} + 3)}{4 (2 + \sqrt{2 + 2})} = \frac{9}{8} \end{array}$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 12:

Tính $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \sqrt[3]{x + 1}}{3 x}$ bằng?

A. $- \frac{1}{3}$

B.0

C. $\frac{1}{3}$

D. $\frac{- 1}{9}$

Xem đáp án

$\begin{array}{l} \lim_{x \to 0} \frac{1 - \sqrt[3]{x + 1}}{3 x} \\ = \lim_{x \to 0} \frac{(1 - {}^{3}{\sqrt{x + 1}}) (1 + {}^{3}{\sqrt{x + 1}} + {({}^{3}{\sqrt{x + 1}})}^{2})}{3 x (1 + {}^{3}{\sqrt{x + 1}} + {({}^{3}{\sqrt{x + 1}})}^{2})} \\ = \lim_{x \to 0} \frac{1 - (x + 1)}{3 x (1 + {}^{3}{\sqrt{x + 1}} + {({}^{3}{\sqrt{x + 1}})}^{2})} \\ = \lim_{x \to 0} \frac{- 1}{3 x (1 + {}^{3}{\sqrt{x + 1}} + {({}^{3}{\sqrt{x + 1}})}^{2})} \\ = \lim_{x \to 0} \frac{- 1}{3 (1 + \sqrt[3]{0 + 1} + {(\sqrt[3]{0 + 1})}^{2})} = \frac{- 1}{9} \\ = \lim_{x \to 0} \frac{- x}{3 x (1 + {}^{3}{\sqrt{x + 1}} + {({}^{3}{\sqrt{x + 1}})}^{2})} \end{array}$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 13:

Giới hạn $\lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{2} + 3 x + 5}}{4 x - 1}$ .

A. $\frac{1}{4}$

B. $\frac{- 1}{4}$

C.1

D.0

Xem đáp án

Bước 1: Đưa $|x|$ ra ngoài căn bậc hai: $\sqrt{x^{2} + 3 x + 5} = |x| \sqrt{1 + \frac{3}{x} + \frac{5}{x^{2}}}$
Bước 2: Phá dấu giá trị tuyệt đối và rút gọn x ở mẫu.

Đáp án cần chọn là: B

Câu 14:

Cho a,b là các số nguyên và

\lim_{x \to 1} \frac{a x^{2} + b x - 5}{x - 1} = 20

. Tính

P = a^{2} + b^{2} - a - b

A.400

B.225

C.320

D.325

Xem đáp án

Bước 1:

$\begin{array}{l} a x^{2} + b x - 5 \\ = (a x + a + b) (x - 1) + a + b - 5 \end{array}$

Bước 2:

$\begin{array}{l} \underset{x \to 1}{l i m} \frac{a x^{2} + b x - 5}{x - 1} \\ = \underset{x \to 1}{l i m} (a x + a + b + \frac{a + b - 5}{x - 1}) = 20 \end{array}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} a .1 + b + a = 20 \\ a + b - 5 = 0 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} a = 15 \\ 6 = - 10 \end{matrix}$

$\Rightarrow P = a^{2} + b^{2} - a - b = 320$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 15:

Tính $\lim_{x \to - \infty} (x - 1) \sqrt{\frac{x^{2}}{2 x^{4} + x^{2} + 1}}$ bằng?

A. $- \frac{\sqrt{2}}{2}$

B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

C. $\frac{1}{2}$

D. $- \frac{1}{2}$

Xem đáp án

$\begin{array}{l} \lim_{x \to - \infty} (x - 1) \sqrt{\frac{x^{2}}{2 x^{4} + x^{2} + 1}} \\ = \lim_{x \to - \infty} [- \sqrt{\frac{x^{2} {(x - 1)}^{2}}{2 x^{4} + x^{2} + 1}}] \\ = \lim_{x \to - \infty} [- \sqrt{\frac{x^{2} (x^{2} - 2 x + 1)}{2 x^{4} + x^{2} + 1}}] \\ = \underset{x \to - \infty}{\lim_{x \to - \infty} [- {\sqrt{\frac{x^{4} - 2 x^{3} + x^{2}}{2 x^{4} + x^{2} + 1}}}^{}]} \\ = \lim_{x \to - \infty} [- \sqrt{\frac{1 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{2 + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{4}}}}] = - \frac{\sqrt{2}}{2} \end{array}$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 16:

Tính $\lim_{x \to + \infty} (\sqrt{x^{2} + x + 3} - x)$ bằng?

A.-1

B.0

C. $\frac{1}{2}$

D.1

Xem đáp án

Bước 1:

$\begin{array}{l} \lim_{x \to + \infty} (\sqrt{x^{2} + x + 3} - x) \\ = \lim_{x \to + \infty} \frac{(\sqrt{x^{2} + x + 3} - x) (\sqrt{x^{2} + x + 3} + x)}{(\sqrt{x^{2} + x + 3} + x)} \\ = \lim_{x \to + \infty} \frac{x^{2} + x + 3 - x^{2}}{\sqrt{x^{2} + x + 3} + x} \\ = \lim_{x \to + \infty} \frac{x + 3}{\sqrt{x^{2} + x + 3} + x} \end{array}$

Bước 2:

$= \lim_{x \to + \infty} \frac{1 + \frac{3}{x}}{\sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{3}{x^{2}}} + 1}$

Bước 3:

$= \frac{1 + 0}{\sqrt{1 + 0 + 0} + 1} = \frac{1}{2}$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 17:

Tính $\lim_{x \to - \infty} (\sqrt{x^{2} + 1} + x - 1)$ bằng?

A.-1

B.0

C. $\frac{1}{2}$

D.1

Xem đáp án

$\lim_{x \to - \infty} (\sqrt{x^{2} + 1} + x - 1)$

$= \lim_{x \to - \infty} \frac{(\sqrt{x^{2} + 1} + x - 1) (\sqrt{x^{2} + 1} - x + 1)}{\sqrt{x^{2} + 1} - x + 1}$

$\begin{array}{l} = \lim_{x \to - \infty} \frac{x^{2} + 1 - {(x - 1)}^{2}}{\sqrt{x^{2} + 1} - x + 1} \\ = \lim_{x \to - \infty} \frac{x^{2} + 1 - x^{2} + 2 x - 1}{\sqrt{x^{2} + 1} - x + 1} \\ = \lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{\sqrt{x^{2} + 1} - x + 1} \\ = \lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{2 x}{x}}{\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x} - \frac{x}{x} + \frac{1}{x}} \\ = \lim_{x \to - \infty} \frac{2}{- \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}} - 1 + \frac{1}{x}} \\ = \frac{2}{- 1 - 1 + 0} = - 1 \end{array}$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 18:

Cho hàm số $f (x) = \sqrt{x^{2} + 2 x + 4} - \sqrt{x^{2} - 2 x + 4}$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.Giới hạn của f(x) khi $x \to + \infty$ là 0.

B.Giới hạn của f(x) khi $x \to - \infty$ là 2.

C.Giới hạn của f(x) khi $x \to + \infty$ là −2.

D. $\lim_{x \to + \infty} f (x) = - \lim_{x \to - \infty} f (x)$

Xem đáp án

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 2 x + 4} - \sqrt{x^{2} - 2 x + 4}$

Ta có:

$\underset{x \to + \infty}{l i m} f (x) = \underset{x \to + \infty}{l i m} (\sqrt{x^{2} + 2 x + 4} - \sqrt{x^{2} - 2 x + 4}) (\sqrt{x^{2} + 2 x + 4} - \sqrt{x^{2} - 2 x + 4})$

$= \underset{x \to + \infty}{l i m} \frac{(\sqrt{x^{2} + 2 x + 4} + \sqrt{x^{2} - 2 x + 4})}{(\sqrt{x^{2} + 2 x + 4} + \sqrt{x^{2} - 2 x + 4})}$

$= \underset{x \to + \infty}{l i m} \frac{(x^{2} + 2 x + 4) - (x^{2} - 2 x + 4)}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 4} + \sqrt{x^{2} - 2 x + 4}}$

$\begin{array}{l} = \underset{x \to + \infty}{l i m} \frac{4 x}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 4} + \sqrt{x^{2} - 2 x + 4}} \\ = \underset{x \to + \infty}{l i m} \frac{4}{\sqrt{1 + \frac{2}{x} + \frac{4}{x^{2}}} + \sqrt{1 - \frac{2}{x} + \frac{4}{x^{2}}}} = 2 \end{array}$

$\begin{array}{l} \underset{x \to - \infty}{l i m} f (x) = \underset{x \to - \infty}{l i m} (\sqrt{x^{2} + 2 x + 4} - \sqrt{x^{2} - 2 x + 4}) (\sqrt{x^{2} + 2 x + 4} - \sqrt{x^{2} - 2 x + 4}) \\ = \underset{x \to - \infty}{l i m} \frac{(\sqrt{x^{2} + 2 x + 4} + \sqrt{x^{2} - 2 x + 4})}{(\sqrt{x^{2} + 2 x + 4} + \sqrt{x^{2} - 2 x + 4})} \\ = \underset{x \to - \infty}{l i m} \frac{(x^{2} + 2 x + 4) - (x^{2} - 2 x + 4)}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 4} + \sqrt{x^{2} - 2 x + 4}} \\ = \underset{x \to - \infty}{l i m} \frac{4 x}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 4} + \sqrt{x^{2} - 2 x + 4}} \\ = \underset{x \to - \infty}{l i m} \frac{\frac{4 x}{x}}{\frac{\sqrt{x^{2} + 2 x + 4}}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 4}}{x}} \\ = \underset{x \to - \infty}{l i m} \frac{4}{\sqrt{1 + \frac{2}{x} + \frac{4}{x^{2}}} + \sqrt{1 - \frac{2}{x} + \frac{4}{x^{2}}}} = \frac{4}{- 1 - 1} = - 2 \end{array}$

$\Rightarrow \lim_{x \to + \infty} f (x) = - \lim_{x \to - \infty} f (x)$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 19:

Tính $\lim_{x \to - \infty} (\sqrt[3]{x^{3} + 1} + x - 1)$ bằng?

A.-1

B.0

C. $\frac{1}{2}$

D. $- \infty$

Xem đáp án

$\lim_{x \to - \infty} (\sqrt[3]{x^{3} + 1} + x - 1) = \lim_{x \to - \infty} (x \sqrt[3]{1 + \frac{1}{x^{3}}} + x - 1)$

$= \lim_{x \to - \infty} [x (\sqrt[3]{1 + \frac{1}{x^{3}}} + 1 - \frac{1}{x})] = - \infty$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 20:

Tính $\lim_{x \to - \infty} x \sqrt{\frac{3 x + 2}{2 x^{3} + x^{2} - 1}}$ bằng?

A. $- \sqrt{\frac{3}{2} .}$

B. $\sqrt{\frac{3}{2}} .$

C. $\frac{3}{2}$

D. $\frac{- 3}{2}$

Xem đáp án

$\begin{array}{l} \lim_{x \to - \infty} x \sqrt{\frac{3 x + 2}{2 x^{3} + x^{2} - 1}} = \lim_{x \to - \infty} (- \sqrt{\frac{x^{2} (3 x + 2)}{2 x^{3} + x^{2} - 1}}) = \lim_{x \to - \infty} (- \sqrt{\frac{3 x^{3} + 2 x^{2}}{2 x^{3} + x^{2} - 1}}) \\ = \lim_{x \to - \infty} (- \sqrt{\frac{3 + \frac{2}{x}}{2 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{3}}}}) = - \sqrt{\frac{3}{2}} \end{array}$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 21:

Tính $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + 2 x} . \sqrt[3]{1 + 3 x} . \sqrt[4]{1 + 4 x} - 1}{x}$

A. $\frac{23}{2}$

B.24

C. $\frac{3}{2}$

D.3

Xem đáp án

Ta có:

$\begin{array}{l} \sqrt{1 + 2 x} . \sqrt[3]{1 + 3 x} . \sqrt[4]{1 + 4 x} - 1 \\ = \sqrt{1 + 2 x} - \sqrt{1 + 2 x} + \sqrt{1 + 2 x} . \sqrt[3]{1 + 3 x} - \sqrt{1 + 2 x} . \sqrt[3]{1 + 3 x} + \sqrt{1 + 2 x} . \sqrt[3]{1 + 3 x} . \sqrt[4]{1 + 4 x} - 1 \\ = (\sqrt{1 + 2 x} - 1) + \sqrt{1 + 2 x} (\sqrt[3]{1 + 3 x} - 1) + \sqrt{1 + 2 x} . \sqrt[3]{1 + 3 x} . (\sqrt[4]{1 + 4 x} - 1) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + 2 x} . \sqrt[3]{1 + 3 x} . \sqrt[4]{1 + 4 x} - 1}{x} \\ = \lim_{x \to 0} (\frac{\sqrt{1 + 2 x} - 1}{x}) + \lim_{x \to 0} (\sqrt{1 + 2 x} . \frac{\sqrt[3]{1 + 3 x} - 1}{x}) + \lim_{x \to 0} (\sqrt{1 + 2 x} . \sqrt[3]{1 + 3 x} . \frac{\sqrt[4]{1 + 4 x} - 1}{x}) \end{array}$

Tính:

$\lim_{x \to 0} (\frac{\sqrt{1 + 2 x} - 1}{x}) = \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{1 + 2 x} - 1) (\sqrt{1 + 2 x} + 1)}{x (\sqrt{1 + 2 x} + 1)} = \lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x (\sqrt{1 + 2 x} + 1)} = \lim_{x \to 0} \frac{2}{\sqrt{1 + 2 x} + 1} = \frac{2}{1 + 1} = 1$

$\begin{array}{l} \underset{x \to 0}{l i m} (\sqrt{1 + 2 x} . \frac{\sqrt[3]{1 + 3 x} - 1}{x}) \\ = \underset{x \to 0}{l i m} (\sqrt{1 + 2 x} . \frac{(\sqrt[3]{1 + 3 x} - 1) [{(\sqrt[3]{1 + 3 x})}^{2} + \sqrt[3]{1 + 3 x} + 1]}{x . [{(\sqrt[3]{1 + 3 x})}^{2} + \sqrt[3]{1 + 3 x} + 1]}) \\ = \underset{x \to 0}{l i m} (\sqrt{1 + 2 x} . \frac{3 x}{x . [{(\sqrt[3]{1 + 3 x})}^{2} + \sqrt[3]{1 + 3 x} + 1]}) \\ = \underset{x \to 0}{l i m} (\frac{3 \sqrt{1 + 2 x}}{[{(\sqrt[3]{1 + 3 x})}^{2} + \sqrt[3]{1 + 3 x} + 1]}) = \frac{3.1}{1 + 1 + 1} = 3 \end{array}$

$\underset{x \to 0}{l i m} (\sqrt{1 + 2 x} . \sqrt[3]{1 + 3 x} . \frac{\sqrt[4]{1 + 4 x} - 1}{x})$

$= \underset{x \to 0}{l i m} (\sqrt{1 + 2 x} . \sqrt[3]{1 + 3 x} . \frac{(\sqrt[4]{1 + 4 x} - 1) [{(\sqrt[4]{1 + 4 x})}^{3} + {(\sqrt[4]{1 + 4 x})}^{2} + \sqrt[4]{1 + 4 x} + 1]}{x . [{(\sqrt[4]{1 + 4 x})}^{3} + {(\sqrt[4]{1 + 4 x})}^{2} + \sqrt[4]{1 + 4 x} + 1]})$

$= \underset{x \to 0}{l i m} (\sqrt{1 + 2 x} . \sqrt[3]{1 + 3 x} . \frac{4 x}{\frac{(\sqrt[4]{1 + 4 x} - 1) [{(\sqrt[4]{1 + 4 x})}^{3} + {(\sqrt[4]{1 + 4 x})}^{2} + \sqrt[4]{1 + 4 x} + 1]}{x . [{(\sqrt[4]{1 + 4 x})}^{3} + {(\sqrt[4]{1 + 4 x})}^{2} + \sqrt[4]{1 + 4 x} + 1]}})$

$= \underset{x \to 0}{l i m} \frac{4 \sqrt{1 + 2 x} . \sqrt[3]{1 + 3 x}}{[{(\sqrt[4]{1 + 4 x})}^{3} + {(\sqrt[4]{1 + 4 x})}^{2} + \sqrt[4]{1 + 4 x} + 1]} = \frac{4.1.1}{1 + 1 + 1 + 1} = 1$

Vậy $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + 2 x} . \sqrt[3]{1 + 3 x} . \sqrt[4]{1 + 4 x} - 1}{x} = 1 + 1 + 1 = 3$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 22:

Tính $\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x + 1} - 2}{\sqrt{3 x} - 3}$ bằng?

A. $\frac{2}{3}$

B. $\frac{1}{3}$

C. $\frac{1}{2}$

D.1

Xem đáp án

$\begin{array}{l} \lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x + 1} - 2}{\sqrt{3 x} - 3} \\ = \lim_{x \to 3} \frac{(\sqrt{x + 1} - 2) (\sqrt{x + 1} + 2) (\sqrt{3 x} + 3)}{(\sqrt{3 x} - 3) (\sqrt{3 x} + 3) (\sqrt{x + 1} + 2)} \\ = \lim_{x \to 3} \frac{(x + 1 - 4) (\sqrt{3 x} + 3)}{(3 x - 9) (\sqrt{x + 1} + 2)} \\ = \lim_{x \to 3} \frac{(x - 3) (\sqrt{3 x} + 3)}{3 (x - 3) (\sqrt{x + 1} + 2)} \\ = \lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{3 x} + 3}{3 (\sqrt{x + 1} + 2)} \\ = \frac{\sqrt{3.3} + 3}{3 (\sqrt{3 + 1} + 2)} = \frac{1}{2} \end{array}$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 23:

Tính $\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x + 1} - 2}{\sqrt{3 x} - 3}$ bằng?

A. $\frac{2}{3}$

B. $\frac{1}{3}$

C. $\frac{1}{2}$

D.1

Xem đáp án

$\begin{array}{l} \lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x + 1} - 2}{\sqrt{3 x} - 3} \\ = \lim_{x \to 3} \frac{(\sqrt{x + 1} - 2) (\sqrt{x + 1} + 2) (\sqrt{3 x} + 3)}{(\sqrt{3 x} - 3) (\sqrt{3 x} + 3) (\sqrt{x + 1} + 2)} \\ = \lim_{x \to 3} \frac{(x + 1 - 4) (\sqrt{3 x} + 3)}{(3 x - 9) (\sqrt{x + 1} + 2)} \\ = \lim_{x \to 3} \frac{(x - 3) (\sqrt{3 x} + 3)}{3 (x - 3) (\sqrt{x + 1} + 2)} \\ = \lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{3 x} + 3}{3 (\sqrt{x + 1} + 2)} \\ = \frac{\sqrt{3.3} + 3}{3 (\sqrt{3 + 1} + 2)} = \frac{1}{2} \end{array}$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 24:

Tính $\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x + 1} - 2}{\sqrt{3 x} - 3}$ bằng?

A. $\frac{2}{3}$

B. $\frac{1}{3}$

C. $\frac{1}{2}$

D.1

Xem đáp án

$\begin{array}{l} \lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x + 1} - 2}{\sqrt{3 x} - 3} \\ = \lim_{x \to 3} \frac{(\sqrt{x + 1} - 2) (\sqrt{x + 1} + 2) (\sqrt{3 x} + 3)}{(\sqrt{3 x} - 3) (\sqrt{3 x} + 3) (\sqrt{x + 1} + 2)} \\ = \lim_{x \to 3} \frac{(x + 1 - 4) (\sqrt{3 x} + 3)}{(3 x - 9) (\sqrt{x + 1} + 2)} \\ = \lim_{x \to 3} \frac{(x - 3) (\sqrt{3 x} + 3)}{3 (x - 3) (\sqrt{x + 1} + 2)} \\ = \lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{3 x} + 3}{3 (\sqrt{x + 1} + 2)} \\ = \frac{\sqrt{3.3} + 3}{3 (\sqrt{3 + 1} + 2)} = \frac{1}{2} \end{array}$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 25:

Tính $\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x + 1} - 2}{\sqrt{3 x} - 3}$ bằng?

A. $\frac{2}{3}$

B. $\frac{1}{3}$

C. $\frac{1}{2}$

D.1

Xem đáp án

$\begin{array}{l} \lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x + 1} - 2}{\sqrt{3 x} - 3} \\ = \lim_{x \to 3} \frac{(\sqrt{x + 1} - 2) (\sqrt{x + 1} + 2) (\sqrt{3 x} + 3)}{(\sqrt{3 x} - 3) (\sqrt{3 x} + 3) (\sqrt{x + 1} + 2)} \\ = \lim_{x \to 3} \frac{(x + 1 - 4) (\sqrt{3 x} + 3)}{(3 x - 9) (\sqrt{x + 1} + 2)} \\ = \lim_{x \to 3} \frac{(x - 3) (\sqrt{3 x} + 3)}{3 (x - 3) (\sqrt{x + 1} + 2)} \\ = \lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{3 x} + 3}{3 (\sqrt{x + 1} + 2)} \\ = \frac{\sqrt{3.3} + 3}{3 (\sqrt{3 + 1} + 2)} = \frac{1}{2} \end{array}$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 26:

Tính $\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x + 1} - 2}{\sqrt{3 x} - 3}$ bằng?

A. $\frac{2}{3}$

B. $\frac{1}{3}$

C. $\frac{1}{2}$

D.1

Xem đáp án

$\begin{array}{l} \lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x + 1} - 2}{\sqrt{3 x} - 3} \\ = \lim_{x \to 3} \frac{(\sqrt{x + 1} - 2) (\sqrt{x + 1} + 2) (\sqrt{3 x} + 3)}{(\sqrt{3 x} - 3) (\sqrt{3 x} + 3) (\sqrt{x + 1} + 2)} \\ = \lim_{x \to 3} \frac{(x + 1 - 4) (\sqrt{3 x} + 3)}{(3 x - 9) (\sqrt{x + 1} + 2)} \\ = \lim_{x \to 3} \frac{(x - 3) (\sqrt{3 x} + 3)}{3 (x - 3) (\sqrt{x + 1} + 2)} \\ = \lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{3 x} + 3}{3 (\sqrt{x + 1} + 2)} \\ = \frac{\sqrt{3.3} + 3}{3 (\sqrt{3 + 1} + 2)} = \frac{1}{2} \end{array}$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 27:

Tính $\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x + 1} - 2}{\sqrt{3 x} - 3}$ bằng?

A. $\frac{2}{3}$

B. $\frac{1}{3}$

C. $\frac{1}{2}$

D.1

Xem đáp án

$\begin{array}{l} \lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x + 1} - 2}{\sqrt{3 x} - 3} \\ = \lim_{x \to 3} \frac{(\sqrt{x + 1} - 2) (\sqrt{x + 1} + 2) (\sqrt{3 x} + 3)}{(\sqrt{3 x} - 3) (\sqrt{3 x} + 3) (\sqrt{x + 1} + 2)} \\ = \lim_{x \to 3} \frac{(x + 1 - 4) (\sqrt{3 x} + 3)}{(3 x - 9) (\sqrt{x + 1} + 2)} \\ = \lim_{x \to 3} \frac{(x - 3) (\sqrt{3 x} + 3)}{3 (x - 3) (\sqrt{x + 1} + 2)} \\ = \lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{3 x} + 3}{3 (\sqrt{x + 1} + 2)} \\ = \frac{\sqrt{3.3} + 3}{3 (\sqrt{3 + 1} + 2)} = \frac{1}{2} \end{array}$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 28:

Tính $\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x + 1} - 2}{\sqrt{3 x} - 3}$ bằng?

A. $\frac{2}{3}$

B. $\frac{1}{3}$

C. $\frac{1}{2}$

D.1

Xem đáp án

$\begin{array}{l} \lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x + 1} - 2}{\sqrt{3 x} - 3} \\ = \lim_{x \to 3} \frac{(\sqrt{x + 1} - 2) (\sqrt{x + 1} + 2) (\sqrt{3 x} + 3)}{(\sqrt{3 x} - 3) (\sqrt{3 x} + 3) (\sqrt{x + 1} + 2)} \\ = \lim_{x \to 3} \frac{(x + 1 - 4) (\sqrt{3 x} + 3)}{(3 x - 9) (\sqrt{x + 1} + 2)} \\ = \lim_{x \to 3} \frac{(x - 3) (\sqrt{3 x} + 3)}{3 (x - 3) (\sqrt{x + 1} + 2)} \\ = \lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{3 x} + 3}{3 (\sqrt{x + 1} + 2)} \\ = \frac{\sqrt{3.3} + 3}{3 (\sqrt{3 + 1} + 2)} = \frac{1}{2} \end{array}$

Đáp án cần chọn là: C