28 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Các hàm số lượng giác

Câu 1:

Hàm số y = sinx có tập xác định là:

A. R\{kπ, kϵZ}

B. R\ $\{\frac{k π}{2}, k \in Z\}$

C. R\ $\{\frac{π}{2} + k π, k \in Z\}$

D. R

Xem đáp án

Hàm y = sinx có TXĐ D = R.

Đáp án cần chọn là: D

Câu 2:

Tập giá trị của hàm số y=sinx là:

A. (−1;1)

B. [−1;1]

C. R

D. [0;1]

Xem đáp án

Hàm số y=sinx có tập giá trị [−1;1].

Đáp án cần chọn là: B

Câu 3:

Hàm số y=cosx nghịch biến trên mỗi khoảng:

A. $\{\frac{π}{2} + k 2 π, \frac{3 π}{2} + k 2 π\}$

B. (−π + k2π; k2π)

C. (k2π; π + k2π)

D. R

Xem đáp án

Hàm số y=cosx nghịch biến trên mỗi khoảng (k2π; π + k2π)

Đáp án cần chọn là: C

Câu 4:

Đồ thị hàm số y = tanx luôn đi qua điểm nào dưới đây?

A. O(0; 0)

B. M(0; 1)

C. $N (\frac{π}{2}; 0)$

D. P(1; 0)

Xem đáp án

Nếu x = 0 thì y=tan0=0 nên điểm O nằm trên đồ thị hàm số y = tanx

B sai vì khi thay hoành độ của điểm M vào ta được

y = tanx = tan0 = 0 ≠ 1

C sai vì với $x = \frac{π}{2}$ , không tồn tại $\tan \frac{π}{2}$

D sai vì với x = 1 thì ta được y = tan1 ≠ 0

Đáp án cần chọn là: A

Câu 5:

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y=2sin2x+cos22x

y = 2sin² x + cos² 2x:

A. $\max y = 4; \min y = \frac{3}{4}$

B. max y = 3; min y = 2

C. max y = 4; min y = 2

D. $\max y = 3; \min y = \frac{3}{4}$

Xem đáp án

Bước 1:

Theo công thức hạ bậc ta có:

2sin² x = 1 – cos 2x

=> y = 2sin² x + cos² 2x

= 1 − cos2x + cos² 2x

= (cos2x)²− cos2x + 1

Bước 2:

Đặt t = cos2x; t∈[−1;1]

ta được y = f(t) = t²– t + 1; t∈[−1;1]

Bước 3:

Ta cần tìm GTLN và GTNN của hàm số f(t) = t²– t + 1trên đoạn ∈[−1;1] $\Rightarrow f (1) = 1; f (\frac{1}{2}) = \frac{3}{4}; f (- 1) = 3$

Số lớn nhất là 3, số nhỏ nhất là $\frac{3}{4}$

⇒ $\max y = 3; \min y = \frac{3}{4}$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 6:

Tìm tập xác định của hàm số $y = \tan (2 x - \frac{π}{4})$

A. D = R\ $\{\frac{π}{8} + \frac{k π}{2}, k \in Z\}$

B. D = R\ $\{\frac{3 π}{8} + \frac{k π}{2}, k \in Z\}$

C. D = R\ $\{\frac{3 π}{8} + k π, k \in Z\}$

D. D = R\

\{\frac{3 π}{4} + \frac{k π}{2}, k \in Z\}

Xem đáp án

Điều kiện:

$\cos (2 x - \frac{π}{4}) \neq 0$

$\Leftrightarrow 2 x - \frac{π}{4} \neq \frac{π}{2} + k π$

$\Leftrightarrow 2 x \neq \frac{3 π}{4} + k π$

$\Leftrightarrow x \neq \frac{3 π}{8} + \frac{k π}{2}$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 7:

Hàm số $y = \frac{1 - \sin 2 x}{\cos 3 x - 1}$ xác định trên

A. D = R\ $\{\frac{k 2 π}{3}, k \in Z\}$

B. D = R\ $\{\frac{π}{6} + \frac{k π}{3}, k \in Z\}$

C. D = R\ $\{\frac{k π}{3}, k \in Z\}$

D. D = R\

\{\frac{k π}{2}, k \in Z\}

Xem đáp án

Điều kiện:

$\cos 3 x - 1 \neq 0$

$\Leftrightarrow \cos 3 x \neq 1$

$\Leftrightarrow 3 x \neq k 2 π$

$\Leftrightarrow x \neq \frac{k 2 π}{3}$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 8:

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số sau

y = 1 + 3 \sin (2 x - \frac{π}{4})

A. max y = - 2, min y = 4

B. max y = 2, min y = - 4

C. max y = - 2, min y = 3

D. max y = 4, min y = - 2

Xem đáp án

Ta có:

$- 1 \leq \sin (2 x - \frac{π}{4}) \leq 1$

$\Rightarrow \sin (2 x - \frac{π}{4}) \leq 1$

$\Leftrightarrow 3. \sin (2 x - \frac{π}{4}) \leq 3.1$

$\Rightarrow y = 1 + 3 \sin (2 x - \frac{π}{4}) \leq 1 + 3 = 4$

max y = 4. Dấu “=” xảy ra khi $\sin (2 x - \frac{π}{4}) = 1$

Ta có:

$\sin (2 x - \frac{π}{4}) \geq - 1$

$\Leftrightarrow 3. \sin (2 x - \frac{π}{4}) \geq 3. (- 1)$

$\Rightarrow y = 1 + 3 \sin (2 x - \frac{π}{4}) \geq 1 + 3. (- 1) = - 2$

min y = -2. Dấu “=” xảy ra khi $\sin (2 x - \frac{π}{4}) = - 1$

vậy max y = 4, min y = - 2

Đáp án cần chọn là: D

Câu 9:

Chọn mệnh đề đúng:

A. Hàm số y = sinx có chu kỳ T = π

B. Hàm số y = cosx và hàm số y = tanx có cùng chu kỳ.

C. Hàm số y = cotx và hàm số y = tanx có cùng chu kỳ.

D. Hàm số y = cotx có chu kỳ T = 2π

Xem đáp án

Hàm số y = sinx và y = cosx có chu kì T = 2π.

Hàm số y = cotx và hàm số y = tanx có chu kì T = π.

Vậy chỉ có đáp án C đúng.

Đáp án cần chọn là: C

Câu 10:

Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số $y = \frac{4}{1 + 2 \sin^{2} x}$

A. $\min y = \frac{4}{3}; \max y = 4$

B. $\min y = \frac{4}{3}; \max y = 3$

C. $\min y = \frac{4}{3}; \max y = 2$

D. $\min y = \frac{1}{2}; \max y = 2$

Xem đáp án

+) Tìm GTLN

$\sin^{2} x \geq 0 \Rightarrow 2 \sin^{2} x \geq 0 \Rightarrow 1 + 2 \sin^{2} x \geq 1$

Lấy nghịch đảo 2 vế bất đẳng thức ta được:

$\frac{1}{1 + 2 \sin^{2} x} \leq \frac{1}{1} = 1$

Nhân 2 vế với 4 ta được:

$\Rightarrow \frac{1}{1 + 2 \sin^{2} x} \leq 4.1 = 4$

$\Rightarrow y \leq 4$

Dấu “=” xảy ra khi $\sin^{2} x = 0 \Leftrightarrow \sin x = 0$

+) Tìm GTNN

$\sin^{2} x \leq 1 \Rightarrow 2 \sin^{2} x \leq 2$

$\Rightarrow 1 + 2 \sin^{2} x \leq 1 + 2 = 3$

Lấy nghịch đảo 2 vế bất đẳng thức ta được:

$\frac{1}{1 + 2 \sin^{2} x} \geq \frac{1}{3}$

Nhân 2 vế với 4 ta được:

\Rightarrow \frac{4}{1 + 2 \sin^{2} x} \geq \frac{4}{3}

\Rightarrow y \geq \frac{4}{3}

Dấu “=” xảy ra khi $\sin^{2} x = 1 \Leftrightarrow \sin x = \pm 1$

Vậy GTLN là 4, GTNN là $\frac{4}{3}$ .

Đáp án cần chọn là: A

Câu 11:

Tìm tập xác định của hàm số

y = \sqrt{\frac{1 - \cos 3 x}{1 + \sin 4 x}}

A. D = R\ $\{- \frac{π}{8} + k \frac{π}{4}, k \in Z\}$

B. D = R\ $\{- \frac{3 π}{8} + k \frac{π}{2}, k \in Z\}$

C. D = R\ $\{- \frac{π}{8} + k \frac{π}{2}, k \in Z\}$

D. D = R\

\{\frac{k 2 π}{3}, k \in Z\}

Xem đáp án

Điều kiện:

\frac{1 - \cos 3 x}{1 + \sin 4 x} \geq 0

Nhận thấy:

$\{\begin{matrix} \cos 3 x \leq 1, \forall x \Rightarrow 1 - \cos 3 x \geq 0 \\ \sin 4 x \geq - 1, \forall x \Rightarrow 1 + \sin 4 x \geq 0 \end{matrix}$

$\Rightarrow \frac{1 - \cos 3 x}{1 + \sin 4 x} \geq 0, \forall x$

Do đó hàm xố xác định nếu:

$1 + \sin 4 x \neq 0$

$\Leftrightarrow \sin 4 x \neq - 1$

$\Leftrightarrow 4 x \neq - \frac{π}{2} + k 2 π$

$\Leftrightarrow x \neq - \frac{π}{8} + k \frac{π}{2}$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 12:

Hình nào dưới đây biểu diễn đồ thị hàm số y = f(x) = 2 sin 2x

A. Media VietJack

B. Media VietJack

C. Media VietJack

D. Media VietJack

Xem đáp án

Ta có: −2 ≤ 2sin2x ≤ 2 nên loại đáp án A và B.

Cho x = 0 ⇒ y = 2sin0 = 0, do đó đồ thị hàm số y = f(x) = 2sin2x đi qua điểm (0;0). Loại đáp án D.

Đáp án cần chọn là: C

Câu 13:

Xét sự biến thiên của hàm số y = 1 − sinx trên một chu kì tuần hoàn của nó. Trong các kết luận sau, kết luận nào sai?

A. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $(- \frac{π}{2}; 0)$

B. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $(0; \frac{π}{2})$

C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(\frac{π}{2}; π)$

D. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng

(\frac{π}{2}; \frac{3 π}{2})

Xem đáp án

Hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì 2π và kết hợp với các đáp án ta xét sự biến thiên của hàm số trên đoạn $[- \frac{π}{2}; \frac{3 π}{2}]$

- Hàm số y = sinx đồng biến trên

(- \frac{π}{2}; \frac{π}{2})

nên hàm số y = 1 – sinx nghịch biến trên

(- \frac{π}{2}; \frac{π}{2})

- Hàm số y = sinx nghịch biến trên $(\frac{π}{2}; \frac{3 π}{2})$ nên hàm số y = 1 − sinx đồng biến trên $(\frac{π}{2}; \frac{3 π}{2})$ Do đó chỉ có đáp án D là sai.

Đáp án cần chọn là: D

Câu 14:

Hàm số nào trong các hàm số sau có đồ thị nhận OyOy làm trục đối xứng ?

A, $y = |x| \sin x$

B. $y = \sin x . \cos^{2} x + \tan x$

C. $y = \frac{\sin^{2020} x + 2019}{\cos x}$

D.y = tan x

Xem đáp án

Xét đáp án A:

TXĐ: $D = R \Rightarrow \forall x \in D \Rightarrow - x \in D$

$y (- x) = |- x| . \sin (- x) = x . (- \sin x)$

$= - x . \sin x = - y (x)$

=> Đây là hàm số lẻ nên không nhận Oy làm trục đối xứng.

Xét đáp án B:

$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$

→ ĐKXĐ:

\cos x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \frac{π}{2} + k π, k \in Z

→ TXĐ: D = R\ $\{\frac{π}{2} + k π, k \in Z\} \Rightarrow \forall x \in D \Rightarrow - x \in D$

$y (- x) = \sin (- x) \cos^{2} (- x) + \tan (- x)$

$= (- \sin x) {[\cos (- x)]}^{2} + (- \tan x)$

$= - \sin x . {(\cos x)}^{2} + \tan x$

$= - \sin x . \cos^{2} x - \tan x$

$= - (\sin x . \cos^{2} x + \tan x)$

= - y(x)

=> Đây là hàm số lẻ nên không nhận Oy làm trục đối xứng.

Xét đáp án C:

→ TXĐ: D = R\ $\{\frac{π}{2} + k π, k \in Z\} \Rightarrow \forall x \in D \Rightarrow - x \in D$

$y (- x) = \frac{\sin^{2020} (- x) + 2019}{\cos (- x)}$

$= \frac{\sin^{2020} x + 2019}{\cos x} = y (- x)$

Do đó hàm số $y = \frac{\sin^{2020} x + 2019}{\cos x}$ là hàm số chẵn và nhận trục Oy làm trục đối xứng.

Xét đáp án D:

Theo lý thuyết về hàm số y = tanx thì đây là hàm số lẻ nên không nhận Oy làm trục đối xứng.

Đáp án cần chọn là: C

Câu 15:

Cho các mệnh đề sau :

(I): Hàm số y = sinx có chu kì là $\frac{π}{2}$ .

(II): Hàm số y = tanx có tập giá trị là R∖ $\{\frac{π}{2} + k π |k \in Z\}$

(III): Đồ thị hàm số y = cosx đối xứng qua trục tung.

(IV): Hàm số y = cotx nghịch biến trên (−π; 0)

Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên ?

A. 2

B. 4

C. 1

D. 3

Xem đáp án

(I): Hàm số y = sinx có chu kỳ là 2π nên I sai.

(II): Hàm số y = tanx có tập giá trị là R nên II sai.

Tập hợp bài đưa ra là tập xác định của hàm số.

(III): Ta có hàm số y = cosx có

y(−x) = cos(−x) = cosx = y(x)

=> y(x) = y(−x) nên đồ thị hàm số đối xứng với nhau qua trục tung nên III đúng.

(IV): Hàm số y = cotx luôn nghịch biến trên (kπ; π + kπ)

Với k = −1 thì hàm số nghịch biến trên (−π; 0) nên IV đúng.

Đáp án cần chọn là: A

Câu 16:

Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau $y = \sqrt{2 \sin x + 3}$

A. $\max y = \sqrt{5}, miny = 1$

B. $\max y = \sqrt{5}, miny = 0$

C. $\max y = \sqrt{5}, miny = \sqrt{3}$

D. $\max y = \sqrt{5}, miny = 3$

Xem đáp án

Do $- 1 \leq \sin x \leq 1$

$\Rightarrow - 2 \leq 2 \sin x \leq 2$

$\Rightarrow - 2 + 3 \leq 2 \sin x + 3 \leq 2 + 3$

$\Rightarrow 1 \leq \sqrt{2 \sin x + 3} \leq \sqrt{5}$

Dấu “=” xảy ra khi lần lượt sinx = −1 và sinx = 1

Đáp án cần chọn là: A

Câu 17:

Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số y = 3sinx + 4cosx − 1

A. min y = −6; max y = 4

B. min y = −5; max y = 5

C. min y = −3; max y = 4

D. min y = −6; max y = 6

Xem đáp án

Bước 1:

Ta có: y = 3sinx + 4cosx − 1

⇔ y + 1 = 3sinx + 4cosx

⇒(y+1)²= (3sinx + 4cosx)²

Bước 2:

Sử dụng bất đẳng thức Bu – nhi – a Cốp – xki:

(ac + bd)²≤ (a²+ b²)(c²+ d²)

. Với a = 3,c = sinx, b = 4, d = cosx

Khi đó

(3.sinx + 4.cosx)²≤ (3²+ 4²)(sin² x + cos² x)

= (3²+ 4²).1 = 25

⇒ −5 ≤ y + 1 ≤ 5
⇔ −6 ≤ y ≤ 4

Bước 3:

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow \frac{\sin x}{3} = \frac{\cos x}{4}$

$\Leftrightarrow \tan x = \frac{3}{4}$

$\Leftrightarrow x = \arctan \frac{3}{4} + k π$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 18:

Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

y = cos2x + cosx. Khi đó M + m bằng bao nhiêu?

A. $M + n = \frac{9}{8}$

B. $M + n = \frac{9}{7}$

C. $M + n = \frac{8}{7}$

D. $M + n = \frac{7}{8}$

Xem đáp án

Trả lời:

Ta có: y = cos 2x + cos x = 2cos²x + cosx – 1

Đặt cosx = t, t∈[−1;1].

Hàm số trở thành y = 2t²+ t − 1. Đây là 1 parabol có bề lõm hướng lên, có hoành độ đỉnh $x = - \frac{b}{2 a} = - \frac{1}{4}$

BBT:

Media VietJack

Dựa vào BBT ta có: $M = 2, m = - \frac{9}{8}$

Vậy $M + m = 2 - \frac{9}{8} = \frac{7}{8}$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 19:

Có bao nhiêu giá trị xϵ[0; 5π] để hàm số y = tanx nhận giá trị bằng 0?

A. 9

B. 10

C. 7

D. 6

Xem đáp án

Ta vẽ đồ thị hàm số y = tanx trên đoạn [0;5π].

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy trên đoạn [0;5π], đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 6 điểm phân biệt (điểm màu đỏ), do đó có 6 giá trị xϵ[0;5π] để hàm số y = tanx nhận giá trị bằng 0.

Đáp án cần chọn là: D

Câu 20:

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. y = |tanx| đồng biến trong $[- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]$

B. y = |tanx| là hàm số chẵn trên D = R\ $\{\frac{π}{2} + k π |k \in Z\}$

C. y = |tanx| có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.

D. y = |tanx| luôn nghịch biến trong

(- \frac{π}{2}; \frac{π}{2})

Xem đáp án

Ta có đồ thị hàm số y = |tanx| như sau:

TXĐ: D = R\ $\{\frac{π}{2} + k π |k \in Z\}$

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy:

- Hàm số y = |tanx| nghịch biến trên $(- \frac{π}{2}; 0)$ và đồng biến trên $(0; \frac{π}{2})$ ,do đó đáp án A và D sai.

- Đặt f(x) = |tanx|, ∀x∈D ⇒ −x∈D

f(−x) = |tan(−x)| = |−tanx| = |tanx| = f(x), do đó hàm số đã cho là hàm chẵn trên tập xác định. Do đó đáp án B đúng.

- Do là hàm chẵn nên đồ thị hàm số đối xứng qua trục Oy chứ không đối xứng qua tâm O, do đó đáp án C sai.

Đáp án cần chọn là: B

Câu 21:

Xét sự biến thiên của hàm số y = sinx − cosx. Trong các kết luận sau, kết luận nào đúng?

A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(- \frac{π}{4}; \frac{3 π}{4})$

B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(\frac{3 π}{4}; \frac{7 π}{4})$

C. Hàm số đã cho có tập giá trị là [−1;1].

D. Hàm số đã cho luôn nghịch biến trên khoảng

(- \frac{π}{4}; \frac{7 π}{4})

Xem đáp án

Ta có: $\sin x - \cos x = \sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4})$ nên tập giá trị của hàm số là $[- \sqrt{2}; \sqrt{2}]$ do đó loại đáp án C.

- Hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì 2π, ta xét sự biến thiên của hàm số trên đoạn $[- \frac{π}{4}; \frac{7 π}{4}]$

- Hàm số y = sinx đồng biến trên $(- \frac{π}{2}; \frac{π}{2})$ nên hàm số $y = \sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4})$ nghịch biến trên $(- \frac{π}{4}; \frac{3 π}{4})$

- Hàm số y = sinx nghịch biến trên $(\frac{π}{2}; \frac{3 π}{2})$ nên hàm số $y = \sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4})$ nghịch biến trên $(\frac{3 π}{4}; \frac{7 π}{4})$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 22:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2 cos²x + sin2x là:

A. $2 \sqrt{2}$

B. $1 - \sqrt{2}$

C. $1 + \sqrt{2}$

D. 3

Xem đáp án

Bước 1:

Ta có: $y = 2 \cos^{2} x + \sin 2 x$

$y = 2. \frac{1 + \cos 2 x}{2} + \sin 2 x$

$y = 1 + 2 \cos 2 x + \sin 2 x$

Bước 2:

$\Rightarrow \frac{y}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos 2 x + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin 2 x$

$= \frac{1}{\sqrt{2}} + \cos 2 x \cos \frac{π}{4} + \sin 2 x . \sin \frac{π}{4}$

$= \frac{1}{\sqrt{2}} + \cos (2 x - \frac{π}{4})$

Bước 3:

Ta có:

$\cos (2 x - \frac{π}{4}) \geq - 1$

$\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{2}} + \cos (2 x - \frac{π}{4}) \geq - 1 + \frac{1}{\sqrt{2}}$

Hay $\frac{y}{\sqrt{2}} \geq - 1 + \frac{1}{\sqrt{2}}$ $\Leftrightarrow y \geq 1 - \sqrt{2}$

Bước 4:

Dấu = xảy ra khi

$\cos (2 x - \frac{π}{4}) = - 1$

$2 x - \frac{π}{4} = - π + k 2 π$

$\Leftrightarrow x = \frac{- 3 π}{8} + k π (k \in Z)$

Bước 5:

Vậy giá trị nhỏ nhất của y là $1 - \sqrt{2}$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 23:

Tìm m để hàm số $y = \sqrt{8 \cos x - 6 \sin x - {(3 \sin x - 4 \cos x)}^{2} - 2 m}$ có tập xác định là R.

A. $m \leq - \frac{35}{2}$

B. $m \leq - 35$

C. $m \leq \frac{1}{2}$

D. $m \leq \frac{- 3}{2}$

Xem đáp án

Bước 1:

Ta có: $y = \sqrt{8 \cos x - 6 \sin x - {(3 \sin x - 4 \cos x)}^{2} - 2 m}$

Hàm số trên có tập xác định R khi:

$8 \cos x - 6 \sin x - {(3 \sin x - 4 \cos x)}^{2} - 2 m \geq 0$

$\Leftrightarrow 2 (4 \cos x - 3 \sin x) - {(3 \sin x - 4 \cos x)}^{2} - 2 m \geq 0$

Bước 2:

Đặt t = 4cosx − 3sinx

Theo BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki ta có:

$t^{2} = {(4 \cos x - 3 \sin x)}^{2} \leq (4^{2} + 3^{2}) (\sin^{2} x + \cos^{2} x) = 25$

$\Leftrightarrow - 5 \leq t \leq 5$

Bước 3:

Ta có bất phương trình $2 t - t^{2} - 2 m \geq 0, \forall t \in [- 5; 5]$

$\Leftrightarrow - 2 m \geq t^{2} - 2 t, \forall t \in [- 5; 5]$

Bước 4:

Xét hàm số f(t) = t²− 2t trên [−5; 5]

Ta có $- \frac{b}{2 a} = 1 \in [- 5; 5]$

Vì a = 1 > 0 nên hàm số nghịch biến trên (−∞;1) và đồng biến trên (1;+∞)

Mà (−5;1)⊂(−∞;1) và (1;5)⊂(1;+∞) nên hàm số nghịch biến trên (−5;1) và đồng biến trên (1;5).

Bảng biến thiên:

Media VietJack

Bước 5:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy bất đẳng thức (1) xảy ra khi

$- 2 m \geq 35 \Leftrightarrow m \leq - \frac{35}{2}$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 24:

Tìm tập giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số sau $y = \frac{\sin 2 x + 2 \cos 2 x + 3}{2 \sin 2 x - \cos 2 x + 4}$

A. $\min y = - \frac{2}{11}; \max y = 2$

B. $\min y = \frac{2}{11}; \max y = 3$

C. $\min y = \frac{2}{11}; \max y = 4$

D. $\min y = \frac{2}{11}; \max y = 2$

Xem đáp án

Bước 1:

Ta có:

$y = \frac{\sin 2 x + 2 \cos 2 x + 3}{2 \sin 2 x - \cos 2 x + 4}$

$\Leftrightarrow 2 y . \sin 2 x - y . \cos 2 x + 4 y = \sin 2 x + 2 \cos 2 x + 3$

$\Leftrightarrow (2 y - 1) . \sin 2 x - (y + 2) . \cos 2 x = 3 - 4 y$

$\Rightarrow {[(2 y - 1) . \sin 2 x - (y + 2) . \cos 2 x]}^{2} = {(3 - 4 y)}^{2}$ (*)

Bước 2:

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có

${[(2 y - 1) . \sin 2 x - (y + 2) . \cos 2 x]}^{2} \leq [{(2 y - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2}] (\sin^{2} 2 x + \cos^{2} 2 x)$

${[(2 y - 1) . \sin 2 x - (y + 2) . \cos 2 x]}^{2} \leq {(2 y - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2}$

Bước 3:

Kết hợp với (*) ta được:

${(3 - 4 y)}^{2} \leq {(2 y - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2}$

$\Leftrightarrow 9 - 24 y + 16 y^{2} \leq (4 y^{2} - 4 y + 11) + (y^{2} + 4 y + 4)$

$\Leftrightarrow 16 y^{2} - 24 y + 9 \leq 5 y^{2} + 5$

$\Leftrightarrow 11 y^{2} - 24 y + 4 \leq 0$

$\Leftrightarrow \frac{2}{11} \leq y \leq 2$

$\Rightarrow \min y = \frac{2}{11}; \max y = 2$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 25:

Tìm tập giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số sau: $y = 3 {(3 \sin x + 4 \cos x)}^{2} + 4 (3 \sin x + 4 \cos x) + 1$

A. $\min y = \frac{1}{3}; \max y = 96$

B. $\min y = \frac{1}{3}; \max y = 6$

C. $\min y = - \frac{1}{3}; \max y = 96$

D. $\min y = 2; \max y = 6$

Xem đáp án

Đặt t = 3.sinx + 4.cosx, theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có:

t²= (3sinx + 4cosx)² ≤ (3²+ 4²)(sin2x + cos2x)

t² ≤ 25.1 = 25

⇒ t²≤ 25

⇒ −5 ≤ t ≤ 5

Xét hàm số y = 3t²+ 4t + 1 trên [−5;5]

Hàm số y = 3t²+ 4t + 1 là hàm bậc hai có:

$- \frac{b}{2 a} = - \frac{2}{3} \in [- 5; 5]$

$y (- \frac{2}{3}) = - \frac{1}{3}$

y(−5) = 56

y(5) = 96

Ta có bảng biến thiên:

Media VietJack

$\Rightarrow \min y = - \frac{1}{3}$ khi $t = - \frac{1}{3}$

max y = 96 khi t = 5

Đáp án cần chọn là: C

Câu 26:

Tìm m để bất phương trình

\frac{3 \sin 2 x + \cos 2 x}{\sin 2 x + 4 \cos^{2} x + 1} \leq m + 1

đúng với mọi x∈R

A. $m \geq \frac{\sqrt{65}}{4}$

B. $m \geq \frac{\sqrt{65} + 9}{4}$

C. $m \geq \frac{\sqrt{65} - 9}{2}$

D. $m \geq \frac{\sqrt{65} - 9}{4}$

Xem đáp án

Đặt $y = \frac{3 \sin 2 x + \cos 2 x}{\sin 2 x + 4 \cos^{2} x + 1}$

$\Rightarrow y = \frac{3 \sin 2 x + \cos 2 x}{\sin 2 x + 2 (1 + \cos 2 x) + 1}$

$\Rightarrow y = \frac{3 \sin 2 x + \cos 2 x}{\sin 2 x + 2 \cos 2 x + 3}$

$\Leftrightarrow y . \sin 2 x + 2 y . \cos 2 x + 3 y = 3. \sin 2 x + \cos 2 x$

$\Leftrightarrow (y - 3) . \sin 2 x + (2 y - 1) . \cos 2 x = - 3 y (*)$

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có

$[(y - 3) . \sin 2 x + (2 y - 1) . \cos 2 x] \leq {(y - 3)}^{2} + {(2 y - 1)}^{2}$

Kết hợp với (*) ta được:

$9 y^{2} \leq {(y - 3)}^{2} + {(2 y - 1)}^{2}$

$\Leftrightarrow y \leq \frac{- 5 + \sqrt{65}}{4}$

$\Rightarrow \max y = \frac{- 5 + \sqrt{65}}{4}$

Để bất phương trình $y \leq m + 1; x \in R$

$\Leftrightarrow m + 1 \geq \max y = \frac{- 5 + \sqrt{65}}{4}$

$\Leftrightarrow m \geq \frac{\sqrt{65} - 9}{4}$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 27:

Cho hàm số lượng giác

f (x) = \tan x - \frac{1}{\sin x}

Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì (nếu có) của hàm số trên.

A. Hàm tuần hoàn với chu kì T = 2π.

B. Hàm tuần hoàn với chu kì T = π.

C. Hàm tuần hoàn với chu kì T = 3π.

D. Hàm số không tuần hoàn.

Xem đáp án

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của hàm số $f (x) = \tan x - \frac{1}{\sin x}$

Điều kiện xác định $\{\begin{matrix} \cos x \neq 0 \\ \sin x \neq 0 \end{matrix} \Leftrightarrow x \neq k \frac{π}{2}$

→D = R\ $\{k \frac{π}{2}\}$

Bước 2: Chu kì của hàm số y = tan x và $g (x) = \frac{1}{\sin x}$

Xét hàm số y = tan x là hàm tuần hoàn có chu kì T₁= π

Xét hàm số $g (x) = \frac{1}{\sin x}$

Ta có

$g (x + T_{2}) = g (x)$

$\Leftrightarrow \frac{1}{\sin (x + T_{2})} = \frac{1}{\sin x}$

$\Leftrightarrow \sin (x + T_{2}) = \sin x$

Chọn $x = \frac{π}{2} \Rightarrow \sin x = 1$

$\Rightarrow \sin (\frac{π}{2} + T_{2}) = 1$

$\Leftrightarrow \frac{π}{2} + T_{2} = \frac{π}{2} + k 2 π (k \in Z)$

$\Leftrightarrow T_{2} = k 2 π (k \in Z)$

Giá trị nhỏ nhất của T₂ là 2π.

Ta thấy ∀x∈D; x + k2π∈D thì g(x + k2π) = g(x)

Vậy hàm số $g (x) = \frac{1}{\sin x}$ là hàm số tuần hoàn với chu kì T₂= 2π.

Bước 3: Chu kì của hàm số $f (x) = \tan x - \frac{1}{\sin x}$

Khi đó, hàm số $y = \tan x - \frac{1}{\sin x}$ là hàm tuần hoàn với chu kì T = 2π.

Đáp án cần chọn là: A

Câu 28:

Cho hàm số lượng giác $f (x) = \tan x - \frac{1}{\sin x}$

Xét tính chẵn, lẻ của hàm số trên.

A. Hàm số f(x) là hàm số chẵn

B. Hàm số f(x) là hàm số vừa chẵn vừa lẻ.

C. Hàm số f(x) là hàm số lẻ.

D. Hàm số f(x) là hàm số không có tính chẵn lẻ.

Xem đáp án

Bước 1: Chứng tỏ ∀x∈D ⇒ −x∈D

Ta thấy ∀x∈D ⇒ −x∈D.

Bước 2: Tính f(−x) và kết luận

Mặt khác, $f (- x) = \tan (- x) - \frac{1}{\sin (- x)} = - \tan x + \frac{1}{\sin x} = - f (x)$

⇒ Hàm số $f (x) = \tan x - \frac{1}{\sin x}$ là hàm lẻ.

Đáp án cần chọn là: C