16 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Chuyên đề Toán 12 Bài 1 Dạng 1: Tìm tọa độ điểm, vectơ trong hệ trục Oxyz có đáp án

Câu 1:

Trong không gian Oxyz, cho $\vec{a} (- 2; 2; 0), \vec{b} (2; 2; 0), \vec{c} (2; 2; 2) .$

Giá trị của $|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|$ bằng

A. 6.

B.

2 \sqrt{6} .

C. 11.

D.

2 \sqrt{11} .

Xem đáp án

Ta có $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = (2; 6; 2)$ nên $|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}| = \sqrt{2^{2} + 6^{2} + 2^{2}} = \sqrt{44} = 2 \sqrt{11} .$

Chọn D.

Câu 2:

Trong không gian Oxyz cho hai điểm $A (1; 2; 3), B (- 1; 0; 1) .$

Trọng tâm G của tam giác OAB có tọa độ là:

A. $(0; 1; 1) .$

B.

(0; \frac{2}{3}; \frac{4}{3}) .

C.

(0; 2; 4) .

D.

(- 2; - 2; - 2) .

Xem đáp án

Tọa độ trọng tâm tam giác là: $\{\begin{cases} x_{G} = \frac{1 - 1 + 0}{3} = 0 \\ y_{G} = \frac{2 + 0 + 0}{3} = \frac{2}{3} \\ z_{G} = \frac{3 + 1 + 0}{3} = \frac{4}{3} \end{cases} \Rightarrow G (0; \frac{2}{3}; \frac{4}{3}) .$

Chọn B.

Câu 3:

Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm A(1;2;3) trên mặt phẳng (Oyz) là

A.

M (0; 2; 3) .

B.

N (1; 0; 3) .

C.

P (1; 0; 0) .

D.

Q (0; 2; 0) .

Xem đáp án

Chú ý: Hình chiếu của điểm M(x;y;z) lên mặt phẳng (Oyz) là $M^{'} (0; y; z) .$

Ta có $M (0; 2; 3)$ là hình chiếu của điểm $A (1; 2; 3)$ trên mặt phẳng (Oyz).

Chọn A.

Câu 4:

Trong không gian Oxyz, góc giữa hai vectơ

\vec{i} v à \vec{u} = (- \sqrt{3}; 0; 1)

là

A. $30^{o} .$

B.

120^{o} .

C.

60^{o} .

D.

150^{o} .

Xem đáp án

Ta có $\vec{i} = (1; 0; 0) v à \vec{u} = (- \sqrt{3}; 0; 1)$ , áp dụng công thức tính góc giữa hai vectơ,

ta có: $(\vec{i}, \vec{u}) = \frac{\vec{i}, \vec{u}}{|\vec{i}| . |\vec{u}|} = \frac{- \sqrt{3}}{1.2} = - \frac{\sqrt{3}}{2} .$

Suy ra góc giữa hai vectơ cần tìm là $(\vec{i}, \vec{u}) = 150^{o} .$

Chọn D.

Câu 5:

Trong không gian Oxyz, cho vectơ

\vec{a} = (1; - 2; 4), \vec{b} = (x_{0}; y_{0}; z_{0})

) cùng phương với vectơ

\vec{a}

. Biết vectơ

\vec{b}

tạo với tia Oy một góc nhọn và

|\vec{b}| = \sqrt{21} .

Giá trị của tổng

x_{0} + y_{0} + z_{0}

bằng

A. $- 3$

B. 6.

C. -6

D. 3.

Xem đáp án

Ta có $\vec{a}, \vec{b}$ cùng phương nên ta có $\vec{b} = k . \vec{a} = (k; - 2 k; 4 k); (k \neq 0)$

Lại có $|\vec{b}| = \sqrt{21} .$ suy ra $\sqrt{k^{2} + 4 k^{2} + 16 k^{2}} = \sqrt{21} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} k = 1 \\ k = - 1. \end{array}$

Với $k = 1$ ta có $|\vec{b}| = (1; - 2; 4),$ suy ra góc giữa $\vec{b}$ và Oy thỏa mãn

$\cos (\vec{b}, O y) = \frac{\vec{b} . \vec{j}}{|\vec{b}| . |\vec{j}|},$ trong đó $\vec{b} . \vec{j} = - 2 < 0.$

Suy ra góc tạo bởi $\vec{b}$ và Oy là góc tù. Suy ra $k = 1$ không thỏa mãn.

Với $k = - 1$ ta có $|\vec{b}| = (- 1; 2; - 4),$ suy ra góc giữa $\vec{b}$ và Oy thỏa mãn

$\cos (\vec{b}, O y) = \frac{\vec{b} . \vec{j}}{|\vec{b}| . |\vec{j}|},$ trong đó $\vec{b} . \vec{j} = 2 > 0.$

Suy ra góc tạo bởi $\vec{b}$ và Oy là góc nhọn. Vậy $k = - 1$ thỏa mãn.

Do đó $|\vec{b}| = (- 1; 2; - 4) .$ Suy ra $x_{0} + y_{0} + z_{0} = - 1 + 2 - 4 = - 3.$

Chọn A.

Câu 6:

Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có $A^{'} (\sqrt{3}; - 1; 1),$ hai đỉnh B, C thuộc trục Oz và $A A^{'} = 1$ (C không trùng với O). Biết vectơ $\vec{u} = (a; b; 2)$ (với $a, b \in ℝ$ ) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng A'C. Tính $T = a^{2} + b^{2} .$

A. $T = 5.$

B.

T = 16

.

C.

T = 4.

D.

T = 9.

Xem đáp án

Lấy M là trung điểm BC.

Khi đó ta có $\{\begin{cases} A M ⊥ B C \\ A A^{'} ⊥ B C \end{cases}$ nên $B C ⊥ A^{'} M$ tại M;

suy ra M là hình chiếu của A' trên trục Oz

$\Rightarrow M (0; 0; 1) v à A^{'} M = 2.$

Mặt khác $A M = \sqrt{A^{'} M^{2} - A {A^{'}}^{2}} = \sqrt{3} .$

Lại có DABC đều nên $A M = \frac{\sqrt{3}}{2} B C = \sqrt{3}$

$\Rightarrow B C = 2 \Rightarrow M C = 1.$

Gọi $C (0; 0; c), c \neq 0$ suy ra $M C = |c - 1| .$

$M C = 1 \Leftrightarrow |c - 1| = 1 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} c = 0 \\ c = 2 \end{array}$ ( loại $c = 0$ ) $\Rightarrow C (0; 0; 2) .$

$\vec{A^{'} C} = (- \sqrt{3}; 1; 1)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng A'C

Suy ra $\vec{u} = (- 2 \sqrt{3}; 2; 2)$ cũng là một vectơ chỉ phương củaA'C .

Vậy $a = - 2 \sqrt{3}; b = 2.$ Suy ra $T = a^{2} + b^{2} = 16.$

Chọn B

Câu 7:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho

\vec{a} = - \vec{i} + 2 \vec{j} - 3 \vec{k} .

Tọa độ của vectơ

\vec{a}

là

A. $(- 2; - 1; - 3) .$

B.

(- 3; 2; - 1) .

C.

(2; - 3; - 1) .

D.

(- 1; 2; - 3) .

Xem đáp án

Chọn D

Câu 8:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho $\vec{a} = (2; - 3; 3), \vec{b} = (0; 2; - 1), \vec{c} = (3; - 1; 5) .$

Tọa độ của vectơ $\vec{u} = 2 \vec{a} + 3 \vec{b} - 2 \vec{c}$ là

A. $(10; - 2; 13) .$

B.

(- 2; 2; - 7) .

C.

(- 2; - 2; 7) .

D.

(- 2; 2; 7) .

Xem đáp án

Chọn B

Câu 9:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, nếu

\vec{u}

là vectơ chỉ phương của trục Oy thì

A. $\vec{u}$ cùng hướng với vectơ $\vec{j} = (0; 1; 0) .$

B. $\vec{u}$ cùng phương với vectơ $\vec{j} = (0; 1; 0) .$

C. $\vec{u}$ cùng hướng với vectơ $\vec{i} = (1; 0; 0) .$

D. $\vec{u}$ cùng phương với vectơ $\vec{i} = (1; 0; 0) .$

Xem đáp án

Chọn B

Câu 10:

Trong không gian Oxyz cho điểm $A (- 2; 1; 3) .$ Hình chiếu vuông góc của A lên trục Ox có tọa độ là:

A. $(0; 1; 0) .$

B.

(- 2; 0; 0) .

C.

(0; 0; 3) .

D.

(0; 1; 3) .

Xem đáp án

Chọn B

Câu 11:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vectơ $\vec{u} = (2; 3; - 1) v à \vec{v} = (5; - 4; m) .$

Tìm m để $\vec{u} ⊥ \vec{v} .$

A. $m = - 2.$

B.

m = 2.

C.

m = 4.

D.

m = 0.

Xem đáp án

Chọn A

Câu 12:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm $M (x; y; z) .$

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Nếu M' đối xứng với M qua mặt phẳng (Oxz) thì $M' (x; y; - z) .$

B. Nếu M' đối xứng với M qua Oy thì $M' (x; y; - z) .$

C. Nếu M' đối xứng với M qua mặt phẳng (Oxy) thì $M' (x; y; - z) .$

D. Nếu M' đối xứng với M qua gốc tọa độ O thì $M' (2 x; 2 y; 0) .$

Xem đáp án

Chọn C

Câu 13:

Trong không gian Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' biết , $A (1; 0; 1), B (2; 1; 2), D (1; - 1; 1), C (4; 5; - 5) .$ Tọa độ của điểm A' là:

A.

A^{'} (4; 6; - 5) .

B.

A^{'} (- 3; 4; - 1) .

C.

A^{'} (3; 5; - 6) .

D.

A^{'} (3; 5; 6) .

Xem đáp án

Chọn C

Câu 14:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình thang ABCD có hai đáy AB, CD; có tọa độ ba đỉnh

A (1; 2; 1), B (2; 0; - 1), C (6; 1; 0) .

Biết hình thang có diện tích bằng

6 \sqrt{2} .

A. $a + b + c = 6.$

B.

a + b + c = 5.

C. $a + b + c = 8.$

D.

a + b + c = 7.

Xem đáp án

Chọn C

Câu 15:

Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với $A (1; 2; 5), B (3; 4; 1), C (2; 3; - 3) .$ Gọi G là trọng tâm tam giác ABC và M là điểm thay đổi trên mp(Oxz). Độ dài GM ngắn nhất bằng

A. 2.

B. 3.

C. 4.

D. 1.

Xem đáp án

Chọn B

Câu 16:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A (1; 0; 1), B (0; 1; - 1) .$ Hai điểm D, E thay đổi trên các đoạn OA, OB sao cho đường thẳng DE chia tam giác OAB thành hai phần có diện tích bằng nhau. Khi DE ngắn nhất thì trung điểm của đoạn DE có tọa độ là

A. $I (\frac{\sqrt{2}}{4}; \frac{\sqrt{2}}{4}; 0) .$

B.

I (\frac{\sqrt{2}}{3}; \frac{\sqrt{2}}{3}; 0) .

C.

I (\frac{1}{3}; \frac{1}{3}; 0) .

D.

I (\frac{1}{4}; \frac{1}{4}; 0) .

Xem đáp án

Chọn A