14 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Chuyên đề Toán 12 Bài 1 Dạng 2: Tích có hướng và ứng dụng có đáp án

Câu 1:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ $\vec{a} = (2; 1; - 2)$ và vectơ $\vec{b} = (1; 0; 2) .$ Tìm tọa độ vectơ $\vec{c}$ là tích có hướng của $\vec{a} v à \vec{b}$ .

A. $\vec{c} = (2; 6; - 1) .$

B.

\vec{c} = (4; 6; - 1) .

C.

\vec{c} = (4; - 6; - 1) .

D.

\vec{c} = (2; - 6; - 1) .

Xem đáp án

$\vec{c} = [\vec{a}, \vec{b}] = (|\begin{matrix} 1 & - 2 \\ 0 & 2 \end{matrix}|; |\begin{matrix} - 2 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix}|; |\begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}|) = (2; - 6; - 1) .$

Chọn D.

Câu 2:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ khác $\vec{0} .$

Kết luận nào sau đây sai?

A.

[\vec{a}, 3 \vec{b}] = 3 [\vec{a}, \vec{b}] .

B.

[\vec{2 a}, \vec{b}] = 2 [\vec{a}, \vec{b}] .

C.

[\vec{3 a}, 3 \vec{b}] = 3 [\vec{a}, \vec{b}] .

D.

|[\vec{a}, \vec{b}]| = |\vec{a}| . |\vec{b}| . \sin (\vec{a}, \vec{b}) .

Xem đáp án

Ta có: $[\vec{3 a}, 3 \vec{b}] = 3 [\vec{a}, 3 \vec{b}] = 9 [\vec{a}, \vec{b}] .$ (C sai)

Chọn C.

Câu 3:

Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ $\vec{a} = (1; 2; 1), \vec{b} = (0; 2; - 1), \vec{c} = (m, 1; 0) .$

Tìm giá trị thực của tham số m để ba vectơ $\vec{a}; \vec{b}; \vec{c}$ đồng phẳng.

A. $m = 1.$

B.

m = 0.

C.

m = - \frac{1}{4} .

D.

m = \frac{1}{4} .

Xem đáp án

Ta có $[\vec{a}, \vec{b}] = (- 4; 1; 2) .$

Ba vectơ $\vec{a}; \vec{b}; \vec{c}$ đồng phẳng $\Leftrightarrow [\vec{a}, \vec{b}] . \vec{c} = 0 \Leftrightarrow - 4 m + 1 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{1}{4} .$

Chọn D.

Câu 4:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho năm điểm $A (0; 0; 3), B (2; - 1; 0), C (3; 2; 4), D (1; 3; 5), E (4; 2; 1)$ tạo thành một hình chóp có đáy là tứ giác. Đỉnh của hình chóp tương ứng là

A. Điểm C.

B. Điểm A.

C. Điểm B.

D. Điểm D.

Xem đáp án

Xét đáp án A, giả sử C là đỉnh của hình chóp, ta có:

$\vec{A B} = (2; - 1; - 3), \vec{A D} = (1; 3; 2), \vec{A E} = (4; 2; - 2), \vec{A C} = (3; 2; 1) \Rightarrow \{\begin{cases} [\vec{A B}, \vec{A D}] . \vec{A E} = 4.7 - 2.7 - 2.7 = 0 \\ [\vec{A B}, \vec{A D}] . \vec{A C} = 3.7 - 2.7 + 1.7 = 14. \end{cases}$

Suy ra A, B, D, E đồng phẳng.

Vậy điểm C là đỉnh của hình chóp.

Chọn A.

Câu 5:

Trong không gian Oxyz cho các điểm $A (1; 0; 0), B (0; 2; 0), C (0; 0; 3), D (2; - 2; 0) .$

Có tất cả bao nhiêu mặt phẳng phân biệt đi qua 3 trong 5 điểm O, A, B, C, D?

A. 10.

B. 7.

C. 5.

D. 6.

Xem đáp án

Ta có $\vec{A B} = (- 1; 2; 0), \vec{A D} = (1; - 2; 0),$ suy ra 3 điểm A, B, D thẳng hàng.

Từ đó chúng ta xác định được vị trí các điểm trong hệ trục độ Oxyz và đếm trực tiếp ta có 5 mặt phẳng đi qua 3 trong 5 điểm O, A, B, C, D là:

$(O C B), (O C A), (O C D), (O A B), (A B C)$

Chọn C.

Câu 6:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm $A (1; 2; 0), B (2; 1; 2), C (- 1; 3; 1) .$

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là

A.

3 \sqrt{10} .

B. $\frac{3 \sqrt{10}}{5} .$

C. $\frac{\sqrt{10}}{5} .$

D.

\sqrt{10} .

Xem đáp án

Ta có: $\vec{A B} = (1; - 1; 2), \vec{A C} = (- 2; 1; 1), \vec{B C} = (- 3; 2; - 1)$

Suy ra $A B = A C = \sqrt{6}; B C = \sqrt{14} .$

Suy ra $S_{A B C} = \frac{1}{2} |[\vec{A B}, \vec{A C}]| = \frac{\sqrt{35}}{2} .$

Gọi R_ABC là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, ta có

$R_{A B C} = \frac{A B . A C . B C}{4 S_{A B C}} = \frac{\sqrt{6} . \sqrt{6} . \sqrt{14}}{4. \frac{\sqrt{35}}{2}} = \frac{3 \sqrt{10}}{5} .$

Chọn B.

Câu 7:

Trong không gian Oxyz, cho $A (2; 1; - 1), B (3; 0; 1), C (2; - 1; 3)$ và D nằm trên trục Oy. Thể tích tứ diện ABCD bằng 5. Tọa độ của D là

A. $D (0; - 7; 0) .$

B.

D (0; 8; 0) .

C. $D (0; - 7; 0) .$ hoặc

D (0; 8; 0) .

D.

D (0; 7; 0)

hoặc

D (0; - 8; 0) .

Xem đáp án

Vì $D \in O y$ nên $D (0; y; 0) .$ Khi đó. Thể tích của tứ diện ABCD là

$V = \frac{1}{6} |[\vec{A B}, \vec{A C}] . \vec{A D}| = \frac{1}{6} |4 y - 2|$

Theo đề ra, ta có $\frac{1}{6} |4 y - 2| = 5 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} y = - 7 \\ y = 8. \end{array}$

Chọn C.

Câu 8:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụ ABC..A'B'C' có tọa độ các đỉnh

A (0; 0; 0), B (0; a; 0), C (\frac{a \sqrt{3}}{2}; \frac{a}{2}; 0) v à A^{'} (0; 0; 2 a) .

Gọi D là trung điểm cạnh BB' và M di động trên cạnh AA'. Diện tích nhỏ nhất của tam giác MDC' là

A. $\frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} .$

B.

\frac{a^{2} \sqrt{5}}{4} .

C.

\frac{a^{2} \sqrt{6}}{4} .

D.

\frac{a^{2} \sqrt{15}}{4} .

Xem đáp án

Ta có $\vec{C C^{'}} = \vec{A A^{'}} \Rightarrow C^{'} (\frac{a \sqrt{3}}{2}; \frac{a}{2}; 2 a) .$

$\vec{C C^{'}} = \vec{B B^{'}} \Rightarrow B^{'} (0; a; 2 a) .$

Điểm D là trung điểm của BB' nên $D (0; a; a) .$

$M (0; 0; t)$ với $0 < t < 2 a .$ Ta có $\vec{D C^{'}} = (\frac{a \sqrt{3}}{2}; - \frac{a}{2}; a), \vec{D M} = (0; - a; t - a) .$

Ta có:

$S_{M D C^{'}} = \frac{1}{2} |[\vec{D C^{'}}, \vec{D M}]| = \frac{a \sqrt{4 t^{2} - 12 a t + 15 a^{2}}}{4} = \frac{a \sqrt{{(2 t - 3 a)}^{2} + 6 a^{2}}}{4} \geq \frac{a^{2} \sqrt{6}}{4} .$

Suy ra ${minS}_{△ M D C^{'}} = \frac{a^{2} \sqrt{6}}{4}$ khi $t = \frac{3}{2} a .$

Chọn C.

Câu 9:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ $\vec{a} = (2; 1; - 2)$ và vectơ $\vec{b} = (1; 0; 2) .$ Tìm tọa độ vectơ $\vec{c}$ là tích có hướng của $\vec{a} v à \vec{b}$

A. $\vec{c} = (2; 6; - 1) .$

B.

\vec{c} = (4; 6; - 1) .

C.

\vec{c} = (4; - 6; - 1) .

D.

\vec{c} = (2; - 6; - 1) .

Xem đáp án

Chọn D

Câu 10:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm $A (1; - 2; 0), B (1; 0; - 1), c (0; - 1; 2) v à D (0; m; p) .$ Hệ thức liên hệ giữa m và p để bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng là

A. $m + p = 3.$

B.

2 m - 3 p = 3.

C.

2 m + p = 3.

D.

m + 2 p = 3.

Xem đáp án

Chọn D

Câu 11:

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hình bình hành ABCD với $A (1; 0; 1), B (2; 1; 2),$ giao điểm hai đường chéo $I (\frac{3}{2}; 0; \frac{3}{2}) .$ Diện tích hình bình hành là

A. $\sqrt{2} .$

B.

\sqrt{5} .

C.

\sqrt{6} .

D.

\sqrt{3} .

Xem đáp án

Chọn A

Câu 12:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm $A (1; 0; 2), B (- 2; 1; 3), C (3; 2; 4), D (6; 9; - 5) .$ Tọa độ trọng tâm của tứ diện ABCD là

A.

(2; 3; 1) .

B.

(- 2; 3; 1) .

C.

(2; 3; - 1) .

D.

(2; - 3; 1) .

Xem đáp án

Chọn A

Câu 13:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' với $A (- 2; 1; 3), C (2; 3; 5), B' (2; 4; - 1), D' (0; 2; 1) .$ Tìm tọa độ điểm B.

A. $B (1; - 3; 3) .$

B.

B (- 1; 3; 3) .

C.

C (1; 3; - 3) .

D.

B (1; 3; 3) .

Xem đáp án

Chọn D

Câu 14:

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho $A (2; 0; 0), B (0; 2; 0), C (0; 0; 2) .$ Có tất cả bao nhiêu điểm M trong không gian thỏa mãn M không trùng với các điểm A, B, C và $\hat{A M B} = \hat{B M C} = \hat{C M A} = 90 ° ?$

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Xem đáp án

Chọn C