34 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Các phép toán trên tập hợp số phức có đáp án

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} a = - 1 \\ \{\begin{cases} b \geq - 3 \\ {(b + 3)}^{2} = 1 + b^{2} \end{cases} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = - 1 \\ b = - \frac{4}{3} \end{cases} \Rightarrow S = 3.$

Câu 7:

Cho số phức z thỏa mãn (1 + i)z = 14 - 2i. Tổng phần thực và phần ảo của

\bar{z}

bằng

A. 14

B. 2

C. -2

D. -14

Xem đáp án

Chọn A.

Ta có: $(1 + i) z = 14 - 2 i \Leftrightarrow z = \frac{14 - 2 i}{1 + i} \Leftrightarrow z = 6 - 8 i \Rightarrow \bar{z} = 6 + 8 i .$

Suy ra, $\bar{z}$ có phần thực bằng 6 và phần ảo bằng 8.

Do đó tổng phần thực và phần ảo của bằng 14.

Câu 8:

Cho hai số phức z = 3 + 2i và z' = a + (a² - 11)i. Tất cả các giá trị thực của a để z + z' là một số thực là

A. a = -3

B. a = 3

C. a = 3 hoặc a = -3

D. $a = \sqrt{13}$ hoặc $a = - \sqrt{13}$

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có: $z + z^{'} = 3 + 2 i + a + (a^{2} - 11) i . = 3 + a + (a^{2} - 9) i .$

$z + z^{'}$ là số thực khi và chỉ khi $a^{2} - 9 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} a = - 3 \\ a = 3 \end{array} .$

Câu 9:

Cho số phức

z = {(1 + i)}^{2} (1 + 2 i) .

Số phức có phần ảo là

A. 2

B. 4

C. -2

D. 2i

Xem đáp án

Chọn A.

Ta có: $z = {(1 + i)}^{2} (1 + 2 i) = (1 + 2 i + i^{2}) (1 + 2 i) = 2 i (1 + 2 i) = 2 i + 4 i^{2} = 2 i - 4$

Vậy số phức z có phần ảo là 2.

Câu 10:

Cho số phức z thỏa mãn z(2 - i) + 13i = 1. Mô đun của số phức z là

A. $|z| = 34.$

B. $|z| = \frac{5 \sqrt{34}}{3} .$

C. $|z| = \sqrt{34} .$

D. $|z| = \frac{\sqrt{34}}{3} .$

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có: $z (2 - i) + 13 i = 1 \Rightarrow z = \frac{1 - 13 i}{2 - i} = 3 - 5 i .$

Do đó $|z| = \sqrt{3^{2} + {(- 5)}^{2}} = \sqrt{34} .$

Câu 11:

Cho số phức

z_{1} = 3 + 2 i, z_{2} = 6 + 5 i .

Số phức liên hợp của số phức

z = 6 z_{1} + 5 z_{2}

là

A. $\bar{z} = 51 + 40 i .$

B. $\bar{z} = 51 - 40 i .$

C. $\bar{z} = 48 + 37 i .$

D. $\bar{z} = 48 - 37 i .$

Xem đáp án

Chọn D.

Ta có: $z = 6 z_{1} + 5 z_{2} = 6 (3 + 2 i) + 5 (6 + 5 i) = 48 + 37 i .$

Suy ra

\bar{z} = 48 - 37 i .

Câu 12:

Gọi $z_{1}, z_{2}$ lần lượt có điểm biểu diễn là M và N trên mặt phẳng Oxy ở hình bên. Khi đó $|z_{1} + z_{2}|$ bằng

A. $2 \sqrt{29} .$

B. 20

C. $2 \sqrt{5} .$

D. 116

Xem đáp án

Chọn C.

Gọi z1, z2 lần lượt có điểm biểu diễn là M và N trên mặt phẳng Oxy ở hình bên. Khi đó trị tuyệt đối z1 z2 bằng (ảnh 1)

Từ hình vẽ ta có điểm M(3;2) biểu diễn số phức

$z_{1} = 3 + 2 i,$ điểm N(1;-4) biểu diễn số phức $z_{2} = 1 - 4 i .$

Ta có $z_{1} + z_{2} = 4 - 2 i$

$\Rightarrow |z_{1} + z_{2}| = \sqrt{{(4)}^{2} + {(- 2)}^{2}} = 2 \sqrt{5} .$

Câu 13:

Cho số phức z = a + bi, với a, b là các số thực thỏa mãn a + bi + 2i(a - bi) + 4 = i, với i là đơn vị ảo. Môđun của $ω = 1 + z + z^{2}$ là

A. $|ω| = \sqrt{229} .$

B. $|ω| = \sqrt{13} .$

C. $|ω| = 229.$

D. $|ω| = 13.$

Xem đáp án

Chọn A.

Ta có $a + b i + 2 i (a - b i) + 4 = i \Leftrightarrow \{\begin{cases} a + 2 b = - 4 \\ b + 2 a = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 2 \\ b = - 3 \end{cases} .$ Suy ra $z = 2 - 3 i .$

Do đó

ω = 1 + z + z^{2} = - 2 - 15 i .

Vậy

|ω| = \sqrt{{(- 2)}^{2} + {(- 15)}^{2}} = \sqrt{229}

Câu 14:

Cho số phức z thỏa mãn

\bar{z} = \frac{1 + 3 i}{1 - i} .

Môđun của số phức

w = i . \bar{z} + z

là

A. $|w| = 4 \sqrt{2} .$

B. $|w| = \sqrt{2} .$

C. $|w| = 3 \sqrt{2} .$

D. $|w| = 2 \sqrt{2} .$

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có:

\bar{z} = \frac{1 + 3 i}{1 - i} = - 1 + 2 i .

\Rightarrow z = - 1 - 2 i \Rightarrow w = i . (- 1 + 2 i) + (- 1 - 2 i) = - 3 - 3 i .

\Rightarrow |w| = \sqrt{{(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{2}} = \sqrt{18} = 3 \sqrt{2} .

Câu 15:

Cho $z_{1}, z_{2}$ là các số phức thỏa mãn $|z_{1}| = |z_{2}| = 1$ và $|z_{1} - 2 z_{2}| = \sqrt{6} .$ Giá trị của biểu thức $P = |2 z_{1} + z_{2}|$ là

A. P = 2

B. $P = \sqrt{3} .$

C. P = 3

D. P = 1

Xem đáp án

Chọn A.

Đặt $z_{1} = a_{1} + b_{1} i; a_{1}, b_{1} \in ℝ, z_{2} = a_{2} + b_{2} i; a_{2}, b_{2} \in ℝ .$

Suy ra $a_{1}^{2} + b_{1}^{2} = a_{2}^{2} + b_{2}^{2} = 1$ và $|z_{1} - 2 z_{2}| = \sqrt{6} \Leftrightarrow a_{1} . a_{2} + b_{1} . b_{2} = \frac{- 1}{4} .$

Ta có: $2 z_{1} + z_{2} = 2 a_{1} + a_{2} + (2 b_{1} + b_{2}) i$

$\Rightarrow |2 z_{1} + z_{2}| = \sqrt{{(2 a_{1} + a_{2})}^{2} + {(2 b_{1} + b_{2})}^{2}} = 2 \sqrt{(a_{1}^{2} + b_{1}^{2}) + \frac{1}{4} . (a_{2}^{2} + b_{2}^{2}) + (a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2})}$

Suy ra

P = |2 z_{1} + z_{2}| = 2.

Câu 16:

Điểm biểu diễn của số phức

z = \frac{1}{2 - 3 i}

là

A. (3;-2)

B. $(\frac{2}{13}; \frac{3}{13}) .$

C. (-2;3)

D. (4;-1)

Xem đáp án

Chọn B.

z = \frac{1}{2 - 3 i} = \frac{2 + 3 i}{(2 - 3 i) (2 + 3 i)} = \frac{2}{13} + \frac{3}{13} i .

Suy ra điểm biểu diễn của số phức

z = \frac{1}{2 - 3 i}

là:

(\frac{2}{13}; \frac{3}{13}) .

Câu 17:

Gọi

z_{1}, z_{2}

lần lượt có điểm biểu diễn là M, N trên mặt phẳng phức (hình bên). Khi đó phần ảo của số phức

\frac{z_{1}}{z_{2}}

là

Gọi z1, z2 lần lượt có điểm biểu diễn là M, N trên mặt phẳng phức (hình bên). Khi đó phần ảo của số phức z1/a2là (ảnh 1)

A. $\frac{14}{17} .$

B. $- \frac{1}{4} .$

C. $- \frac{5}{17} .$

D. $\frac{1}{2} .$

Xem đáp án

Chọn A.

Dựa vào hình vẽ ta có được $z_{1} = 3 + 2 i, z_{2} = 1 - 4 i \Rightarrow \frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{3 + 2 i}{1 - 4 i} = - \frac{5}{17} + \frac{14}{17} i .$

Câu 18:

Cho số phức z thỏa mãn (1 + i)z = 11 - 3i. Điểm M biểu diễn cho số phức z trong mặt phẳng tọa độ là

A. M(4;-7)

B. M(14;-14)

C. M(8;-14)

D. M(7;-7)

Xem đáp án

Chọn A.

Ta có: $(1 + i) z = 11 - 3 i \Rightarrow z = \frac{11 - 3 i}{1 + i} = 4 - 7 i .$

Suy ra điểm biểu diễn cho số phức z là M(4,-7)

Câu 19:

Cho lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức

4 - 3 i, (1 + 2 i) i,

\frac{1}{i} .

Số phức có điểm biểu diễn D sao cho ABCD là hình bình hành là

A. $z = - 6 - 4 i .$

B. $z = - 6 + 3 i .$

C. $z = 6 - 5 i .$

D. $z = 4 - 2 i .$

Xem đáp án

Chọn C

Ta có

A là điểm biểu diễn của số phức 4 - 3i nên A(4;-3)

B là điểm biểu diễn của số phức (1 + 2i)i nên B(-2;1)

C là điểm biểu diễn của số phức $\frac{1}{i} = - i$ nên C(0;-1)

Điều kiện để ABCD là hình bình hành là $\vec{A D} = \vec{B C}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{D} - x_{A} = x_{C} - x_{B} \\ y_{D} - y_{A} = y_{C} - y_{B} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{D} = x_{C} + x_{A} - x_{B} = 6 \\ y_{D} = y_{C} + y_{A} - y_{B} = - 5 \end{cases} \Rightarrow D (6; - 5) \Rightarrow z = 6 - 5 i .$

Câu 20:

Cho tam giác ABC có ba đỉnh A, B, C lần lượt là điểm biểu diễn hình học của các số phức

z_{1} = 2 - i, z_{2} = - 1 + 6 i, z_{3} = 8 + i .

Số phức z₄ có điểm biểu diễn hình học là trọng tâm của tam giác ABC. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $z_{4} = 3 - 2 i .$

B. $|z_{4}| = 5.$

C. ${(z_{4})}^{2} = 13 + 12 i .$

D. $\bar{z_{4}} = 3 - 2 i .$

Xem đáp án

Chọn D

Ta có: A(2;-1), B(-1;6), C(8;1)

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC

$\Rightarrow G (3; 2) \Leftrightarrow z_{4} = 3 + 2 i \Rightarrow \bar{z_{4}} = 3 - 2 i .$

Câu 21:

Cho các số phức $z_{1}, z_{2}$ thoả mãn $|z_{1}| = 3, |z_{2}| = 4, |z_{1} - z_{2}| = 5$ . Gọi A, B lần lượt là các điểm biểu diễn số phức $z_{1}, z_{2}$ trên mặt phẳng toạ độ. Diện tích S của $Δ O A B$ (với O là gốc toạ độ) là

A. $S = 5 \sqrt{2} .$

B. S = 6

C. $S = \frac{25}{2} .$

D. S = 12

Xem đáp án

Chọn B.

Ta có: $|z_{1} - z_{2}| = A B = 5$ , $|z_{1} - z_{2}| = A B = 5$

$\Rightarrow Δ O A B$ vuông tại O (vì $O A^{2} + O B^{2} = A B^{2}$ )

$\Rightarrow S_{Δ O A B} = \frac{1}{2} O A . O B = \frac{1}{2} .3.4 = 6.$

Câu 22:

Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn

\{\begin{cases} |z - i| = |z - 1| \\ |z - 2 i| = |z| \end{cases} ?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Chọn A

Đặt $z = x + y i, (x, y \in ℝ) .$

Ta có hệ phương trình: $\{\begin{cases} x^{2} + {(y - 1)}^{2} = {(x - 1)}^{2} + y^{2} \\ x^{2} + {(y - 2)}^{2} = x^{2} + y^{2} \end{cases} \Rightarrow x = y = 1.$

Do đó z = 1 + i nên có một số phức thỏa mãn.

Câu 23:

Có bao nhiêu số phức z thỏa điều kiện

|z . \bar{z} + z| = 2

và

|z| = 2 ?

A. 2

B. 3

C. 1

D. 4

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có: $|z . \bar{z} + z| = 2 \Leftrightarrow |{|z|}^{2} + z| = 2 \Leftrightarrow |z + 4| = 2.$

Suy ra điểm M biểu diễn số phức z là giao của hai đường tròn $(C_{1}) : x^{2} + y^{2} = 4$ và $(C_{2}) : {(x + 4)}^{2} + y^{2} = 4.$

Vì $I_{1} I_{2} = R_{1} + R_{2}$ ( $I_{1}, I_{2}$ là tâm của các đường tròn $(C_{1}), (C_{2})$ ) nên $(C_{1})$ và $(C_{2})$ tiếp xúc nhau).

Suy ra: Có một số phức thỏa mãn yêu cầu.

Câu 24:

Có bao nhiêu số phức thỏa mãn

|z| (z - 6 - i) + 2 i = (7 - i) z ?

A. 2

B. 3

C. 1

D. 4

Xem đáp án

Chọn B

Nhận xét: Từ giả thiết, ứng với mỗi $|z|$ cho ta duy nhất một số phức z

Đặt $|z| = a \geq 0, a \in ℝ$ , khi đó ta có

$|z| (z - 6 - i) + 2 i = (7 - i) z \Leftrightarrow a (z - 6 - i) + 2 i = (7 - i) z \Leftrightarrow (a - 7 + i) z = 6 a + a i - 2 i \Leftrightarrow (a - 7 + i) z = 6 a + (a - 2) i \Leftrightarrow |(a - 7 + i)| |z| = |6 a + (a - 2) i| \Leftrightarrow [{(a - 7)}^{2} + 1] a^{2} = 36 a^{2} + {(a - 2)}^{3} \Leftrightarrow a^{4} - 14 a^{3} + 13 a^{2} + 4 a - 4 = 0 \Leftrightarrow (a - 1) (a^{3} - 13 a^{2} + 4) = 0.$

Hàm số $f (a) = a^{3} - 13 a^{2} (a \geq 0)$ có bảng biến thiên:

Có bao nhiêu số phức thỏa mãn trị tuyệt đối z (z - 6 - i) + 2i = (7 - i)z ? (ảnh 1)

Đường thẳng y = -4 cắt đồ thị hàm số f(a) tại hai điểm nên phương trình $a^{3} - 13 a^{2} + 4 = 0$ có hai nghiệm khác 1 (do $f (1) \neq 0$ ). Thay giá trị môđun của z vào giả thiết ta được 3 số phức thỏa mãn điều kiện.

Câu 25:

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để có đúng hai số phức z thỏa mãn $|z - (2 m - 1) - i| = 10$ và $|z - 1 + i| = |\bar{z} - 2 + 3 i| ?$

A. 40

B. 41

C. 165

D. 164

Xem đáp án

Chọn B

Giả sử $z = x + y i (x, y \in ℝ)$ và M(x;y) là điểm biểu diễn số phức z

Ta có: $|z - (2 m - 1) - i| = 10 \Leftrightarrow {|z - (2 m - 1) - i|}^{2} = 100$

$\Leftrightarrow {[x - (2 m - 1)]}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 100.$

Khi đó điểm biểu diễn số phức z nằm trên đường tròn (C) có tâm I(2m - 1;1) bán kính R = 10

Lại có $|z - 1 + i| = |\bar{z} - 2 + 3 i| \Leftrightarrow {|(x - 1) + (y + 1) i|}^{2} = {|(x - 2) + (3 - y) i|}^{2}$

$\Leftrightarrow {(x - 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = {(x - 2)}^{2} + {(3 - y)}^{2} \Leftrightarrow 2 x + 8 y - 11 = 0.$

Khi đó điểm biểu diễn số phức z cũng nằm trên đường thẳng $Δ : 2 x + 8 y - 11 = 0$

Có đúng hai số phức z thỏa mãn nếu đường thẳng $△$ cắt đường tròn (C) tại 2 điểm phân biệt.

Tức là $d (I, Δ) < 10 \Leftrightarrow \frac{|2 (2 m - 1) + 8 - 11|}{\sqrt{2^{2} + 8^{2}}} < 10 \Leftrightarrow \frac{5 - 20 \sqrt{17}}{4} < m < \frac{5 + 20 \sqrt{17}}{4} .$

Vậy có 41 giá trị nguyên của m để có đúng hai số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 26:

Cho hai số phức z₁ và z₂ thỏa mãn

|z_{1}| = 3, |z_{2}| = 4, |z_{1} - z_{2}| = \sqrt{37} .

Hỏi có bao nhiêu số z mà

z = \frac{z_{1}}{z_{2}} = a + b i ?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Chọn B

Đặt $z_{1} = x + y i, z_{2} = c + d i (x, y, c, d \in ℝ) .$

Ta có:

$|z_{1}| = 3 \Rightarrow x^{2} + y^{2} = 9; |z_{2}| = 4 \Rightarrow c^{2} + d^{2} = 16; |z_{1} - z_{2}| = \sqrt{37} \Rightarrow x^{2} + y^{2} + c^{2} + d^{2} - 2 x c - 2 y d = 37 \Leftrightarrow x c + y d = - 6.$

Lại có: $\frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{x + y i}{c + d i} = \frac{x c + y d}{c^{2} + d^{2}} + \frac{y c - x d}{c^{2} + d^{2}} i = - \frac{3}{8} + b i .$

Suy ra $a = - \frac{3}{8} .$

Mà $|\frac{z_{1}}{z_{2}}| = \frac{|z_{1}|}{|z_{2}|} = \frac{3}{4} = \sqrt{a^{2} + b^{2}} \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} = \frac{9}{16} \Rightarrow b^{2} = \frac{9}{16} - a^{2} = \frac{27}{64} \Rightarrow b = \pm \frac{3 \sqrt{3}}{8}$

Vậy có hai số phức z thỏa mãn.

Câu 27:

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn tại duy nhất số phức z thỏa mãn

z . \bar{z} = 1

và

|z - \sqrt{3} + i| = m

. Số phần tử của S là

A. 2

B. 4

C. 1

D. 3

Xem đáp án

Chọn A

Dễ thấy m > 0

Đặt $z = a + b i; a, b \in ℝ$ ta có hệ phương trình.

$\{\begin{cases} a^{2} + b^{2} = 1 \\ {(a - \sqrt{3})}^{2} + {(b + 1)}^{2} = m^{2} \end{cases}$

Phương trình $a^{2} + b^{2} = 1$ là đường tròn tâm O, bán kính R = 1

Phương trình ${(a - \sqrt{3})}^{2} + {(b + 1)}^{2} = m^{2}$ là đường tròn tâm $I (\sqrt{3}; - 1),$ bán kính R = m.

Có duy nhất số phức thỏa mãn đề bài

<=> Hệ phương trình $\{\begin{cases} a^{2} + b^{2} = 1 \\ {(a - \sqrt{3})}^{2} + {(b + 1)}^{2} = m^{2} \end{cases}$ có nghiệm duy nhất

<=> Hai đường tròn này tiếp túc với nhau

$\Leftrightarrow O I = |m \pm 1| \Leftrightarrow |m \pm 1| = 2 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 1 \\ m = 3 \end{array}$ (thỏa mãn m > 0).

Vậy, có hai số thực thỏa mãn.

Câu 28:

Có tất cả bao nhiêu số phức z thỏa mãn

|z| = 1

và

|\frac{z}{\bar{z}} + \frac{\bar{z}}{z}| = 1.

A. 3

B. 4

C. 6

D. 8

Xem đáp án

Chọn D

Đặt $z = a + b i, (a, b \in ℝ) .$ Ta có

$|z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}} = 1 \Rightarrow a^{2} + b^{2} = 1.$

$|\frac{z}{\bar{z}} + \frac{\bar{z}}{z}| = |\frac{z^{2} + {\bar{z}}^{2}}{z . \bar{z}}| = \frac{|{(a + b i)}^{2} + {(a - b i)}^{2}|}{{|z|}^{2}} = |2 a^{2} - 2 b^{2}| = 1.$

Ta có hệ: $\{\begin{cases} a^{2} + b^{2} = 1 \\ |2 a^{2} - 2 b^{2}| = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a^{2} + b^{2} = 1 \\ a^{2} - b^{2} = \frac{1}{2} \end{cases}$ hoặc $\{\begin{cases} a^{2} + b^{2} = 1 \\ a^{2} - b^{2} = - \frac{1}{2} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} a^{2} = \frac{3}{4} \\ b^{2} = \frac{1}{4} \end{cases}$ hoặc $\{\begin{cases} a^{2} = \frac{1}{4} \\ b^{2} = \frac{3}{4} \end{cases} .$

Suy ra $(a; b) \in \{(\frac{1}{2}; \pm \frac{\sqrt{3}}{2}); (- \frac{1}{2}; \pm \frac{\sqrt{3}}{2}); (\frac{\sqrt{3}}{2}; \pm \frac{1}{2}); (- \frac{\sqrt{3}}{2}; \pm \frac{1}{2})\} .$

Vậy có 8 cặp số (a;b) do đó có 8 số phức thỏa mãn.

Câu 29:

Xét các số phức z thỏa mãn

(z - 6) (8 + \bar{z} . i)

là số thực. Biết rằng tập hợp tất cả các điểm biểu diễn của z là một đường tròn, có tâm I(a;b) và bán kính R. Giá trị a + b + R bằng

A. 6

B. 4

C. 12

D. 24

Xem đáp án

Chọn B.

Đặt $z = x + y i (x, y \in ℝ) .$

Vì $(z - 6) (8 + \bar{z} . i) = [(x - 6) + y i] [(y + 8) + x i]$ là số thực nên $x (x - 6) + y (y + 8) = 0 \Leftrightarrow {(x - 3)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 25.$

Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn của z là đường tròn có tâm I(3;-4) bán kính R = 5

Vậy a + b + R = 4

Câu 30:

Cho số phức z thỏa mãn

|z - 3| + |z + 3| = 10

. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là

A. Một parabol.

B. Một đường tròn.

C. Một elip.

D. Một hypebol.

Xem đáp án

Chọn C

Gọi $z = x + y i (x, y \in ℝ)$ thì $|z - 3| + |z + 3| = 10 \Leftrightarrow |(x - 3) + y i| + |(x + 3) + y i| = 10 (*)$

Gọi M là điểm biểu diễn số phức z và các điểm $F_{1} (3; 0), F_{2} (- 3; 0) .$ Dễ thấy $F_{1} F_{2} = 6 = 2 c$

Khi đó: $|z - 3| + |z + 3| = 10 \Leftrightarrow M F_{1} + M F_{2} = 10 = 2 a .$

Vậy tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là elip có hai tiêu điểm $F_{1}, F_{2}$ , độ dài trục lớn là 2a = 10

Câu 31:

Cho số phức z thỏa mãn $|z| = 10$ và $w = (6 + 8 i) \bar{z} + {(1 - 2 i)}^{2} .$ Tập hợp các điểm biểu diễn số phức w là đường tròn có tâm là

A. I(-3;-4)

B. I(3;4)

C. I(1;-2)

D. I(6;8)

Xem đáp án

Chọn A

Ta có

$w = (6 + 8 i) \bar{z} + {(1 - 2 i)}^{2} \Leftrightarrow w - (- 3 - 4 i) = (6 + 8 i) \bar{z} \Leftrightarrow |w - (- 3 - 4 i)| = \sqrt{6^{2} + 8^{2}} |\bar{z}| \Leftrightarrow |w - (- 3 - 4 i)| = 10.10 \Leftrightarrow |w - (- 3 - 4 i)| = 100$

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức w là đường tròn (C) có tâm I(-3;-4)

Câu 32:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm biểu biễn các số phức z thỏa mãn $|z - 1 + 2 i| = |\bar{z} + 1 + 2 i|$ là đường thẳng có phương trình

A. x - 2y + 1 = 0

B. x + 2y = 0

C. x - 2y = 0

D. x + 2y + 1 = 0

Xem đáp án

Chọn C

Đặt $z = x + y i (x, y \in ℝ) \Rightarrow \bar{z} = x - y i .$

Gọi M(x;y) là điểm biểu diễn của số phức z

Ta có: $|z - 1 + 2 i| = |\bar{z} + 1 + 2 i|$

$\Leftrightarrow |x + y i - 1 + 2 i| = |z - y i + 1 + 2 i| \Leftrightarrow |(x - 1) + (y + 2) i| = |(x + 1) + (2 - y) i| \Leftrightarrow \sqrt{{(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2}} = \sqrt{{(x + 1)}^{2} + {(2 - y)}^{2}} \Leftrightarrow x^{2} - 2 x + 1 + y^{2} + 4 y + 4 = x^{2} + 2 x + 1 + y^{2} - 4 y + 4 \Leftrightarrow x - 2 y = 0.$

Vậy tập hợp các điểm biểu biễn các số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán là đường thẳng có phương trình là x - 2y = 0

Câu 33:

Gọi M là điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn $3 |z + i| = |2 \bar{z} - z + 3 i| .$ Tập hợp tất cả các điểm M như vậy là

A. Một parabol.

B. Một đường thẳng.

C. Một đường tròn.

D. Một elip.

Xem đáp án

Chọn A

Gọi M(x;y) là điểm biểu diễn số phức $z = x + y i; \forall x; y \in ℝ .$

Khi đó

$3 |z + i| = |2 \bar{z} - z + 3 i| \Leftrightarrow 3 \sqrt{x^{2} + {(y + 1)}^{2}} = \sqrt{x^{2} + {(- 3 y + 3)}^{2}} \Leftrightarrow 9 [x^{2} + {(y + 1)}^{2}] = x^{2} + {(- 3 y + 3)}^{2} \Leftrightarrow y = - \frac{2 x^{2}}{9}$

Vậy tập hợp tất cả các điểm M là một đường parabol.

Câu 34:

Cho số phức z thỏa mãn điều kiện

3 \leq |z - 3 i + 1| \leq 5.

Tập hợp các điểm biểu diễn của z tạo thành một hình phẳng. Diện tích của hình phẳng đó là

A. $S = 25 π .$

B. $S = 8 π .$

C. $S = 4 π .$

D. $S = 16 π .$

Xem đáp án

Chọn D.

Gọi M(a;b) là điểm biểu diễn của số phức z và A(-1;3) là điểm biểu diễn số phức -1 + 3i

Khi đó $A M = |z - 3 i + 1| = \sqrt{{(a + 1)}^{2} + {(b - 3)}^{2}} .$

Suy ra $3^{2} \leq {(a + 1)}^{2} + {(b - 3)}^{2} \leq 5^{2} \Leftrightarrow 3^{2} \leq A M \leq 5^{2} .$ Tập hợp các điểm biểu diễn của z là hình vành khăn giới hạn bởi hai đường tròn (A;3) và (A;5), kể cả các điểm nằm trên hai đường tròn này.

$S = 25 π - 9 π = 16 π .$