51 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Mặt trụ có đáp án

Câu 1:

Thể tích V của một khối trụ có bán kính đáy bằng R, độ dài đường sinh bằng l được xác định bởi công thức nào sau đây?

A. $V = π R^{2} l$

B. $V = π R^{3} l$

C. $V = \frac{1}{3} π R^{2} l$

D. $V = \frac{1}{3} π R^{3} l$

Xem đáp án

Chọn A.

V = S_{D} . l = π R^{2} l

Câu 2:

Cho hai điểm A, B cố định. Tập hợp các điểm M sao cho diện tích tam giác MAB không đổi là

A. một mặt phẳng.

B. một mặt trụ.

C. một mặt cầu.

D. không xác định được.

Xem đáp án

Chọn B

Cho hai điểm A, B cố định. Tập hợp các điểm M sao cho diện tích tam giác MAB không đổi là (ảnh 1)

Vì AB cố định nên diện tích tam giác MAB không đổi khi d (M,AB) = const hay M thuộc mặt trụ trục là đường thẳng AB.

$S_{Δ M A B} = \frac{1}{2} d (M, A B) . A B = \frac{1}{2} . M H . A B$

Câu 3:

Cho khối trụ (T) có bán kính đáy R=1, thể tích

V = 5 π

. Diện tích toàn phần của hình trụ tương ứng là

A. $S = 12 π$

B. $S = 11 π$

C. $S = 10 π$

D. $S = 7 π$

Xem đáp án

Chọn A

Vì bán kính đáy R=1, thể tích $V = 5 π \Rightarrow π {.1}^{2} . h = 5 π .$

Vậy diện tích toàn phần của hình trụ là $S = 2 π .1.5 + 2 π {.1}^{2} = 12 π$

Câu 4:

Cho hình trụ có chiều cao bằng

3 \sqrt{3}

. Cắt hình trụ đã cho bởi mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng 1, thiết diện thu được có diện tích bằng 18. Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng

A. $6 π \sqrt{3}$

B. $6 π \sqrt{39}$

C. $3 π \sqrt{39}$

D. $12 π \sqrt{3}$

Xem đáp án

Chọn D

Cho hình trụ có chiều cao bằng 3 căn bậc hai 3. Cắt hình trụ đã cho bởi mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng 1 (ảnh 1)

Thiết diện thu được là hình chữ nhật ABCD và OO' // (ABCD), gọi I là trung điểm của AB

Ta có

\begin{array}{l} O I ⊥ (A B C D) \\ \Rightarrow d (O O'; (A B C D)) = d (O; (A B C D)) = O I = 1 \\ S_{A B C D} = A B . B C \Leftrightarrow A B .3 \sqrt{3} = 18 \\ \Leftrightarrow A B = 2 \sqrt{3} \\ \Rightarrow A I = \sqrt{3} \\ \Rightarrow r = O A = \sqrt{O I^{2} + A I^{2}} = 2 \end{array}

Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho là

S_{x q} = 2 π r l = 12 π \sqrt{3}

Câu 5:

Cắt một hình trụ bằng một mặt phẳng qua trục của nó, ta được thiết diện là một hình vuông cạnh 2a. Diện tích xung quanh của hình trụ bằng

A. $2 π a^{2}$

B. $8 π a^{2}$

C. $4 π a^{2}$

D. $16 π a^{2}$

Xem đáp án

Chọn C

Cắt một hình trụ bằng một mặt phẳng qua trục của nó, ta được thiết diện là một hình vuông cạnh 2a. Diện tích xung quanh của hình trụ bằng (ảnh 1)

Do thiết diện là một hình vuông cạnh 2a nên chiều cao h của hình trụ bằng 2a và đường kính mặt đáy bằng 2a suy ra bán kính đáy r = a. Khi đó diện tích xung quanh của hình trụ là $S_{x q} = 2 π r h = 4 π a^{2}$

Câu 6:

Cho hình trụ có diện tích xung quanh bằng $50 π$ và độ dài đường sinh bằng đường kính của đường tròn đáy. Bán kính r của đường tròn đáy là

A. $r = 5$

B. $r = 5 \sqrt{π}$

C. $r = \frac{5 \sqrt{2 π}}{2}$

D. $r = \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

Xem đáp án

Chọn D

Theo giả thiết độ dài đường sinh l = 2r

Ta có

S_{x q} = 2 π r l = 50 π \Leftrightarrow 2 r^{2} = 25 \Rightarrow r = \frac{5 \sqrt{2}}{2}

Câu 7:

Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O) và (O'), thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông. Gọi A, B là hai điểm lần lượt nằm trên hai đường tròn (O) và (O'). Biết AB = 2a và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và OO' bằng

\frac{a \sqrt{3}}{2}

. Bán kính đáy bằng

A. $\frac{a \sqrt{17}}{3}$

B. $\frac{a \sqrt{14}}{2}$

C. $\frac{a \sqrt{14}}{4}$

D. $\frac{a \sqrt{14}}{9}$

Xem đáp án

Chọn C

Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O) và (O'), thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông. Gọi A, B là hai điểm lần lượt nằm trên hai đường tròn (O) và (O'). (ảnh 1)

Gọi r là bán kính đáy.

Do thiết diện qua trục là hình vuông nên độ dài đường sinh bằng 2r.

Dựng đường sinh AA'.

Gọi M là trung điểm của A' B

$\begin{array}{l} \Rightarrow O' M ⊥ (A A' B) \\ \Rightarrow d (O O', A B) = O' M \\ \Rightarrow O' M = \frac{a \sqrt{3}}{2} \end{array}$

Ta có $A' B = \sqrt{A B^{2} - A A'^{2}} = \sqrt{4 a^{2} - 4 r^{2}}$

Mặt khác $A' M = \sqrt{O' A'^{2} - O' M'^{2}} = \sqrt{r^{2} - \frac{3 a^{2}}{4}}$

$\Rightarrow \sqrt{4 a^{2} - 4 r^{2}} = 2 \sqrt{r^{2} - \frac{3 a^{2}}{4}} \Leftrightarrow r = \frac{a \sqrt{14}}{4}$

Câu 8:

Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O) và (O'), chiều cao 2R và bán kính đáy R. Một mặt phẳng $(α)$ đi qua trung điểm của OO' và tạo với OO' một góc 30^o. Hỏi $(α)$ cắt đường tròn đáy theo một dây cung có độ dài bằng bao nhiêu?

A. $\frac{2 R \sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

B. $\frac{4 R}{3 \sqrt{3}}$

C. $\frac{2 R}{\sqrt{3}}$

D. $\frac{2 R}{3}$

Xem đáp án

Chọn A

Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O) và (O'), chiều cao 2R và bán kính đáy R. Một mặt phẳng đi qua trung điểm của OO' và tạo với OO' (ảnh 1)

Gọi I là trung điểm của OO'

Khi đó, mặt phẳng $(α) = (I A B)$

Hạ $O H ⊥ A B, O K ⊥ I H$ . Dễ thấy H là trung điểm của AB và $O K ⊥ (I A B)$

Suy ra $(O O', (α)) = (I O, (I A B)) = (O I, K I) = \hat{K I O} = 30 °$ (vì $Δ K I O$ vuông tại O)

Khi đó

K O = \frac{1}{2} I O = \frac{R}{2}

. Vì

Δ H I O

vuông tại O nên

\frac{1}{O K^{2}} = \frac{1}{O H^{2}} + \frac{1}{O I^{2}}

\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{O H^{2}} = \frac{1}{O K^{2}} - \frac{1}{O I^{2}} = \frac{4}{R^{2}} - \frac{1}{R^{2}} = \frac{3}{R^{2}} \Rightarrow O H^{2} = \frac{R^{2}}{3} \\ \Rightarrow A H = \sqrt{O A^{2} - O H^{2}} = \sqrt{R^{2} - \frac{R^{2}}{3}} = \frac{R \sqrt{2}}{\sqrt{3}} \\ A B = \frac{2 R \sqrt{2}}{\sqrt{3}} \end{array}

Câu 9:

Cho hình trụ có chiều cao bằng

6 \sqrt{2}

. Biết rằng một mặt phẳng không vuông góc với đáy và cắt hai mặt đáy theo hai dây cung song song AB, A'B' mà AB = A'B' = 6, dỉện tích hình chữ nhật ABB'A' bằng 60. Bán kính đáy của hình trụ là

A. 5

B. $3 \sqrt{2}$

C. 4

D. $5 \sqrt{2}$

Xem đáp án

Chọn C

Cho hình trụ có chiều cao bằng 6 căn bậc hai 2. Biết rằng một mặt phẳng không vuông góc với đáy và cắt hai mặt đáy theo hai dây cung song song (ảnh 1)

Diện tích hình chữ nhật ABB'A' bằng 60 (cm²)

nên AB.BB' = 60 $\Leftrightarrow 6. B B' = 60 \Leftrightarrow B B' = 10$

Ta có $M K = 5$

Chiều cao hình trụ bằng $6 \sqrt{2}$ (cm) nên $M O = 3 \sqrt{2}$

$\begin{array}{l} O K = \sqrt{M K^{2} - M O^{2}} = \sqrt{25 - 18} = \sqrt{7}; \\ A B = 6 \Rightarrow K B = 3. \\ B O = \sqrt{O K^{2} + K B^{2}} = \sqrt{7 + 9} = 4 \end{array}$

Câu 10:

Một hình trụ có bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a. Một hình vuông ABCD có AB, CD là hai dây cung của 2 đường tròn đáy và mặt phẳng không vuông góc với đáy. Diện tích hình vuông đó bằng

A. $\frac{5 a^{2}}{4}$

B. $5 a^{2}$

C. $\frac{5 a^{2} \sqrt{2}}{2}$

D. $\frac{5 a^{2}}{2}$

Xem đáp án

Chọn D

Một hình trụ có bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a. Một hình vuông ABCD có AB, CD là hai dây cung của 2 đường tròn đáy và mặt phẳng (ảnh 1)

Đặt $A B = A D = 2 x \Rightarrow S_{A B C D} = 4 x^{2}$

Gọi A', B' lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B lên mặt đáy của hình trụ.

Xét tam giác AA'D vuông tại A' ta có $A' D = \sqrt{A D^{2} - A A'^{2}} = \sqrt{4 x^{2} - a^{2}}$

Mặt khác, gọi I là trung điểm của A'D thì ta có:

$A' D = 2 A' I = 2 \sqrt{O' A'^{2} - O' I^{2}} = 2 \sqrt{O' A'^{2} - {(\frac{1}{2} C D)}^{2}} = 2 \sqrt{a^{2} - {(\frac{1}{2} 2 x)}^{2}} = 2 \sqrt{a^{2} - x^{2}}$

Do đó

\sqrt{4 x^{2} - a^{2}} = 2 \sqrt{a^{2} - x^{2}} \Leftrightarrow 4 x^{2} - a^{2} = 4 (a^{2} - x^{2}) \Leftrightarrow 4 x^{2} = \frac{5 a^{2}}{2}

Vậy

S_{A B C D} = \frac{5 a^{2}}{2}

(đvdt)

Câu 11:

Tính theo a thể tích của một khối trụ có bán kính đáy là a, chiều cao bằng 2a

A. $2 π a^{3}$

B. $\frac{2 π a^{3}}{3}$

C. $\frac{π a^{3}}{3}$

D. $π a^{3}$

Xem đáp án

Chọn A

Tính theo a thể tích của một khối trụ có bán kính đáy là a, chiều cao bằng 2a (ảnh 1)

Thể tích khối trụ là

V = π R^{2} . h = π a^{2} .2 a = 2 π a^{3}

Câu 12:

Một hình trụ có bán kính đáy bằng a, chu vi thiết diện qua trục bằng 10a. Thể tích của khối trụ đã cho bằng

A. $\frac{4 π a^{3}}{3}$

B. $3 π a^{3}$

C. $4 π a^{3}$

D. $π a^{3}$

Xem đáp án

Chọn B

Một hình trụ có bán kính đáy bằng a, chu vi thiết diện qua trục bằng 10a. Thể tích của khối trụ đã cho bằng (ảnh 1)

Gọi ABCD là thiết diện qua trục của hình trụ, ta có ABCD là hình chữ nhật. Từ giả thiết suy ra AB = 2a và $2 (A B + B C) = 10 a \Rightarrow B C = 3 a .$

Vậy thể tích khối trụ đã cho bằng: $π a^{2} .3 a = 3 π a^{3}$

Câu 13:

Cắt một khối trụ bởi mặt phẳng qua trục ta được thiết diện là hình chữ nhật ABCD có cạnh AB và cạnh CD nằm trên hai đáy của khối trụ. Biết

B D = a \sqrt{2}

,

\hat{D C A} = 30 °

. Tính theo a thể tích khối trụ.

A. $\frac{3 \sqrt{2}}{48} π a^{3}$

B. $\frac{3 \sqrt{2}}{32} π a^{3}$

C. $\frac{3 \sqrt{2}}{16} π a^{3}$

D. $\frac{3 \sqrt{6}}{16} π a^{3}$

Xem đáp án

Chọn C

Cắt một khối trụ bởi mặt phẳng qua trục ta được thiết diện là hình chữ nhật ABCD có cạnh AB và cạnh CD nằm trên hai đáy của khối trụ. (ảnh 1)

Ta có $A C = B D = a \sqrt{2}$

Mặt khác xét tam giác ADC vuông tại D, ta có

$A D = A C . \sin 30 ° = \frac{\sqrt{2}}{2} a \Rightarrow h = \frac{\sqrt{2}}{2} a$ và $C D = A C \cos 30 ° = \frac{\sqrt{6}}{2} a \Rightarrow r = \frac{C D}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} a$

Nên

V = π r^{2} h = π {(\frac{\sqrt{6}}{4} a)}^{2} . \frac{\sqrt{2}}{2} a = \frac{3 \sqrt{2}}{16} π a^{3}

Câu 14:

Cho hình chữ nhật ABCD có AD = 3AB. Gọi

V_{1}

là thể tích của khối trụ tạo thành khi cho hình chữ nhật quay xung quanh cạnh AB,

V_{2}

là thể tích khối trụ tạo thành khi cho hình chữ nhật quay xung quanh cạnh AD. Tỉ số

\frac{V_{1}}{V_{2}}

là:

A. 9

B. 3

C. $\frac{1}{3}$

D. $\frac{1}{9}$

Xem đáp án

Chọn B

Khối trụ tạo thành khi cho hình chữ nhật ABCD quay xung quanh cạnh AB có bán kính đáy và chiều cao lần lượt là $r_{1} = A D = 3 A B; h_{1} = A B$

Khi đó, thể tích của khối trụ này là $V_{1} = π {r_{1}}^{2} h_{1} = 9 π A B^{3}$

Khối trụ tạo thành khi cho hình chữ nhật ABCD quay xung quanh cạnh AD có bán kính đáy và chiều cao lần lượt là $r_{2} = A B; h_{2} = A D = 3 A B$

Khi đó, thể tích của khối trụ này là $V_{2} = π {r_{2}}^{2} h_{2} = 3 π A B^{3}$

Vậy

\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{9 π A B^{3}}{3 π A B^{3}} = 3

Câu 15:

Cho hình thang ABCD vuông tại A và B với

A B = B C = \frac{A D}{2} a

. Quay hình thang và miền trong của nó quanh đường thẳng chứa cạnh BC. Thể tích V của khối tròn xoay được tạo thành là

A. $V = \frac{4 π a^{3}}{3}$

B. $V = \frac{5 π a^{3}}{3}$

C. $V = π a^{3}$

D. $V = \frac{7 π a^{3}}{3}$

Xem đáp án

Chọn B

Cho hình thang ABCD vuông tại A và B với AB = BC = AD/2a. Quay hình thang và miền trong của nó quanh đường thẳng chứa cạnh BC. (ảnh 1)

Thể tích $V = V_{1} - V_{2}$ . Trong đó $V_{1}$ là thể tích khối trụ có bán kính đáy là BA = a và chiều cao AD = 2a. $V_{2}$ là thể tích khối nón có bán kính đáy là B'D = a và chiều cao CB' = a

Khi đó

V = V_{1} - V_{2} = π a^{2} .2 a - \frac{1}{3} π a^{2} . a = \frac{5 π a^{3}}{3}

Câu 16:

Cho hình trụ có bán kính đáy bằng a. cắt hình trụ bởi một mặt phẳng (P) song song với trục của hình trụ và cách trục của hình trụ một khoảng bằng

\frac{a}{2}

ta được thiết diện là một hình vuông. Thể tích khối trụ bằng

A. $3 π a^{3}$

B. $π a^{3} \sqrt{3}$

C. $\frac{π a^{3} \sqrt{3}}{4}$

D. $π a^{3}$

Xem đáp án

Chọn B

Cho hình trụ có bán kính đáy bằng a. cắt hình trụ bởi một mặt phẳng (P) song song với trục của hình trụ và cách trục của hình trụ một khoảng (ảnh 1)

Giả sử hình vuông ABCD là thiết diện của hình trụ cắt bởi (P) như hình vẽ.

Gọi H, K lần lượt là trung điểm AD, BC.

Ta có $O H ⊥ A D \Rightarrow O H ⊥ (P) \Rightarrow d (O; (P)) = O H \Rightarrow O H = \frac{a}{2}$

Do đó $A D = 2 A H = 2 \sqrt{O A^{2} - O H^{2}} = 2 \frac{a \sqrt{3}}{2} = a \sqrt{3}$

Suy ra $O O' = A B = A D = a \sqrt{3}$

Vậy nên

V = π R^{2} h = π a^{2} . a \sqrt{3} = π a^{3} \sqrt{3}

Câu 17:

Cắt một khối trụ cao 18cm bởi một mặt phẳng, ta được khối hình dưới đây. Biết rằng thiết diện là một elip, khoảng cách từ điểm thuộc thiết diện gần đáy nhất và điểm thuộc thiết diện xa mặt đáy nhất lần lượt là 8cm và 14cm. Tỉ số thể tích của hai khối được chia ra (khối nhỏ chia khối lớn) là

A. $\frac{2}{11}$

B. $\frac{1}{2}$

C. $\frac{5}{11}$

D. $\frac{7}{11}$

Xem đáp án

Chọn D

Cắt một khối trụ cao 18cm bởi một mặt phẳng, ta được khối hình dưới đây. Biết rằng thiết diện là một elip, khoảng cách từ điểm thuộc thiết diện gần đáy nhất (ảnh 1)

Gọi V₁; V₂ lần lượt là thể tích khối nhỏ và khối lớn.

Ta có thể tích khối trụ là $V = \frac{π R^{2} (8 + 14)}{2} = 11 π R^{2}$ (với R là bán kính khối trụ).

Thể tích $V_{2} = \frac{π R^{2} (8 + 14)}{2} = 11 π R^{2}$

Vậy

\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{V - V_{2}}{V_{2}} = \frac{18 π R^{2} - 11 π R^{2}}{11 π R^{2}} = \frac{7}{11}

Câu 18:

Cho tam giác vuông cân ABC có

A B = A C = a \sqrt{2}

và hình chữ nhật MNPQ với MQ = 3MN được xếp chồng lên nhau sao cho M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC (như hình vẽ). Tính thể tích V của vật thể tròn xoay khi quay mô hình trên quanh trục AI, với I là trung điểm PQ

Cho tam giác vuông cân ABC có AB = AC = a căn bậc hai 2 và hình chữ nhật MNPQ với MQ = 3MN được xếp chồng lên nhau sao cho M, N lần lượt là trung điểm (ảnh 1)

A. $V = \frac{11 π a^{3}}{6} .$

B. $V = \frac{5 π a^{3}}{6} .$

C. $V = \frac{11 π a^{3}}{8} .$

D. $V = \frac{17 π a^{3}}{24} .$

Xem đáp án

Chọn D

Cho tam giác vuông cân ABC có AB = AC = a căn bậc hai 2 và hình chữ nhật MNPQ với MQ = 3MN được xếp chồng lên nhau sao cho M, N lần lượt là trung điểm (ảnh 2)

Ta có $B C = \sqrt{A B^{2} + A C^{2}} = 2 a \Rightarrow M N = a, M Q = 2 a .$

Gọi E, F lần lượt là trung điểm MN và BC.

$A F = a, E F = \frac{a}{2} \Rightarrow I F = \frac{3}{2} a$

Vậy thể tích cần tìm là tổng thể tích của khối nón có chiều cao là AF bán kính đáy FB và thề tích khối trụ có chiều cao IF bán kính IQ.

$V = \frac{1}{3} π A F . F B^{2} + π I F . I Q^{2} = \frac{1}{3} π . a . a^{2} + π . \frac{3}{2} a . {(\frac{a}{2})}^{2} = \frac{17}{24} π a^{3}$

Câu 19:

Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, góc giữa AC' và mặt phẳng (BCC'B') bằng 30^o (tham khảo hình vẽ). Thể tích của khối trụ ngoại tiếp lăng trụ ABC.A'B'C' bằng

Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, góc giữa AC' và mặt phẳng (BCC'B') (ảnh 1)

A. $π a^{3}$

B. $2 π a^{3}$

C. $4 π a^{3}$

D. $3 π a^{3}$

Xem đáp án

Chọn C

Gọi bán kính của hình trụ là R.

Ta có $C C' ⊥ (A B C) \Rightarrow C C' ⊥ A I$

Lại có tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A nên

A I ⊥ B C

do đó

A I ⊥ (B C C' B')

hay góc giữa AC’ và mặt phẳng (BCC'B') là

\hat{I C' A}

Xét tam giác AIC' ta có $I C' = \frac{A I}{\tan \hat{I C' A}} = R \sqrt{3}$

Xét tam giác CIC' ta có $I C'^{2} = I C^{2} + C C'^{2} \Rightarrow 3 R^{2} = R^{2} + 4 a^{2} \Rightarrow R = a \sqrt{2}$

Thể tích khối trụ ngoại tiếp lăng trụ ABC.A'B'C' là $V = π R^{2} h = 4 π a^{3}$

Câu 20:

Một cơ sở sản xuất có hai bể nước hình trụ có chiều cao bằng nhau, bán kính đáy lần lượt bằng 1m và 1,5m. Chủ cơ sở dự định làm một bể nước mới, hình trụ, có cùng chiều cao và có thể tích bằng tổng thể tích của hai bể trên. Bán kính đáy của bể nước dự định làm gần nhất với kết quả nào dưới đây?

A. 1,6m

B. 2,5m

C. 1,8m

D. 2,1m

Xem đáp án

Chọn C

Gọi r là bán kính bể dự định làm, h là chiều cao các bể.

Ta có:

π r^{2} h = π (1^{2} + 1, 5^{2}) h \Rightarrow r = \sqrt{1 + 1, 5^{2}} \approx 1, 8 (m)

Câu 21:

Cho một tấm bìa hình chữ nhật có kích thước 3a, 6a. Người ta muốn tạo tấm bìa đó thành 4 hình không đáy như hình vẽ dưới đây, trong đó có hai hình trụ lần lượt có chiều cao 3a, 6a và hai hình lăng trụ tam giác đều có chiều cao lần lượt 3a, 6a. Trong bốn hình H1, H2, H3, H4 lần lượt theo thứ tự có thể tích lớn nhất và nhỏ nhất là

A. H1, H4.

B. H1, H3.

C. H2, H3.

D. H2, H4.

Xem đáp án

Chọn A

Gọi R₁ , R₂ lần lượt là bán kính của hai hình trụ ở hình H1, H2.

Gọi $V_{1}, V_{2}$ lần lượt là thể tích của hai hình trụ ở hình H1, H2.

$C_{1}, C_{2}$ lần lượt là chu vi đáy của hai hình trụ ở hình H1, H2.

Ta có: $C_{1} = 2 π R_{1} = 6 a \Rightarrow R_{1} = \frac{3 a}{π}; C_{2} = 2 π R_{2} = 3 a \Rightarrow R_{2} = \frac{3 a}{2 π}$

$V_{1} = 3 a π {(\frac{3 a}{π})}^{2} = \frac{27 a^{3}}{π}; V_{2} = 6 a π {(\frac{3 a}{2 π})}^{2} = \frac{27 a^{3}}{2 π}$

Do hai hình H3, H4 là hai hình lăng trụ tam giác đều nên ta có độ dài các cạnh đáy của hai hình H3, H4 lần lượt là 2a ;a.

Thể tích hình H3, H4 lần lượt là: $V_{3} = 3 a . \frac{1}{2} .2 a .2 a . \sin 60^{°} = 3 \sqrt{3} a^{3}; V_{4} = 6 a . \frac{1}{2} . a . a . \sin 60^{°} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} a^{3}$

Từ đó ta có hai hình có thể tích lớn nhất và nhỏ nhất lần lượt theo thứ tự là H1, H4.

Câu 22:

Người ta đổ một cái cống bằng cát, đá, xi măng và sắt thép như hình vẽ bên dưới. Thể tích nguyên vật liệu cần dùng là

A. H1, H4.

B. H1, H3.

C. H2, H3.

D. H2, H4.

Xem đáp án

Chọn A

Ta có: $V = V_{1} - V_{2} = π R_{1}^{2} I - π R_{2}^{2} I = π I (R_{1}^{2} - R_{2}^{2}) = π .2. (0, 5^{2} - 0, 3^{2}) = 0, 32 π$

Câu 23:

Một người thợ có một khối đá hình trụ. Kẻ hai đường kính MN, PQ của hai đáy sao cho MN

⊥

PQ. Người thợ đó cắt khối đá theo các mặt cắt đi qua 3 trong 4 điểm M, N, P, Q để khối đá có hình tứ diện MNPQ. Biết MN = 60 cm và thể tích khối tứ diện MNPQ bằng 30 dm³. Thể tích lượng đá cắt bỏ là bao nhiêu? (Làm tròn đến một chữ số thập phân sau dấu phẩy).

A. 101,3 dm³

B. 111,4 dm³

C. 121,3 dm³

D. 141,3 dm³

Xem đáp án

Chọn B

Gọi O, O' lần lượt là tâm đáy trên và đáy dưới của hình trụ.

Ta có: $V_{K T} = O O^{'} . π \cdot R^{2} = {5.3}^{2} . π = 45 π$

$= 2. S_{△ O P Q} = 2 \cdot \frac{1}{2} . O O^{'} \cdot 6 = 30 \Rightarrow O O^{'} = 5$

Ta có thể tích khối trụ là: $V_{K T} = O O^{'} . π \cdot R^{2} = {5.3}^{2} . π = 45 π$

Vậy thể tích lượng đá cắt bỏ là:

45 π - 30 \approx 111, 4 ({dm}^{3})

Câu 24:

Một khối đồ chơi gồm hai khối trụ

(H_{1}), (H_{2})

xếp chồng lên nhau, lần lượt có bán kính đáy và chiều cao tương ứng là

r_{1}, h_{1}, r_{2}, h_{2}

thỏa mãn

r_{2} = \frac{1}{2} h_{1}, h_{2} = 2 h_{1}

(tham khảo hình vẽ bên). Biết rằng thể tích của toàn bộ khối đồ chơi bằng 30cm³, thể tích khối trụ

(H_{1})

bằng

A. $24 c m^{3}$

B. $15 c m^{3}$

C. $20 c m^{3}$

D. $10 c m^{3}$

Xem đáp án

Chọn C

Gọi thể tích của toàn bộ khối đồ chơi là V, thể tích của khối dưới và khối trên lần lượt là V₁ và V_2.

Ta có: $V = V_{1} + V_{2}$

Mà $r_{2} = \frac{1}{2} r_{1}, h_{2} = 2 h_{1}$ nên $V_{2} = h_{2} \cdot π r_{2}^{2} = 2 h_{1} \cdot π \cdot \frac{1}{4} \cdot r_{1}^{2} = \frac{1}{2} h_{1} \cdot π \cdot r_{1}^{2} = \frac{1}{2} V_{1}$

$\Rightarrow 30 = V_{1} + \frac{1}{2} V_{1} \Rightarrow V_{1} = 20$

Câu 25:

Cho một dụng cụ đựng chất lỏng được tạo bởi một hình trụ và hình nón được lắp đặt như hình sau. Bán kính đáy hình nón bằng bán kính đáy hình trụ. Chiều cao hình trụ bằng chiều cao hình nón và bằng h. Trong bình, lượng chất lỏng có chiều cao bằng

\frac{1}{24}

chiều cao hình trụ. Lật ngược dụng cụ theo phương vuông góc với mặt đất. Độ cao phần chất lỏng trong hình nón theo h là

A. $\frac{h}{8}$

B. $\frac{3 h}{8}$

C. $\frac{h}{2}$

D. $\frac{h}{8}$

Xem đáp án

Chọn C

Thể tích chất lỏng $V = π r^{2} . \frac{1}{24} h = \frac{1}{24} π r^{2} . h$

Khi lật ngược bình, thể tích phần hình nón chứa chất lỏng là $V' = \frac{1}{3} π {r^{'}}^{2} h^{'}$

Mà $\frac{r^{'}}{r} = \frac{h^{'}}{h} \Rightarrow r^{'} = \frac{h^{'}}{h} \cdot r .$ Do dó $V^{'} = \frac{1}{3} π {(\frac{h^{'}}{h} \cdot r)}^{2} \cdot h^{'} = \frac{1}{3} π r^{2} \cdot \frac{{h^{'}}^{3}}{h^{2}}$

Theo bài ra

V^{'} = V \Leftrightarrow \frac{1}{3} π r^{2} \cdot \frac{{h^{'}}^{3}}{h^{2}} = \frac{1}{24} π r^{2} h \Leftrightarrow {h^{'}}^{3} = \frac{1}{8} h^{3} \Leftrightarrow h^{'} = \frac{h}{2}

Câu 26:

Người ta thiết kế một thùng chứa hình trụ (như hình vẽ) có thể tích V nhất định. Biết rằng giá của vật liệu làm mặt đáy và nắp của thùng bằng nhau và đắt gấp 3 lần so với giá vật liệu để làm mặt xung quanh của thùng (chi phí cho mỗi đơn vị diện tích). Gọi chiều cao của thùng là h và bán kính đáy là r. Tỉ số $\frac{h}{r}$ sao cho chi phí vật liệu Sản xuất thùng là nhỏ nhất là bao nhiêu?

A. $\frac{h}{r} = \sqrt{2}$

B. $\frac{h}{r} = 2$

C. $\frac{h}{r} = 6$

D. $\frac{h}{r} = 3 \sqrt{2}$

Xem đáp án

Chọn C

Người ta thiết kế một thùng chứa hình trụ (như hình vẽ) có thể tích V nhất định. Biết rằng giá của vật liệu làm mặt đáy và nắp của thùng bằng nhau và đắt gấp 3 lần (ảnh 1)

Ta có $V = π h \cdot r^{2} \Rightarrow h = \frac{V}{π r^{2}} \Rightarrow \frac{h}{r} = \frac{V}{π r^{3}}$

Giá thành vật liệu để làm chiếc thùng là $T = (2 π r h + 6 π r^{2}) \cdot A = (\frac{2 V}{r} + 6 π \cdot r^{2}) \cdot A = (\frac{V}{r} + \frac{V}{r} + 6 π r^{2}) \cdot A,$ trong đó A là giá của một đơn vị diện tích vật liệu làm mặt xung quanh của thùng. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho các số dương $\frac{V}{r}, \frac{V}{r}, 6 π r^{2}$ được $T \geq 3 \sqrt[3]{6 π V^{2}}$

Dấu “= ” xảy ra khi $\frac{V}{r} = 6 π r^{2} \Leftrightarrow \frac{V}{π r^{3}} = 6$

Vậy chi phí vật liệu sản xuất thùng là nhỏ nhất khi

\frac{h}{r} = 6

Câu 27:

Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau

A. Hình cầu có vô số mặt phẳng đối xứng.

B. Mặt cầu là mặt tròn xoay sinh bởi một đường tròn khi quay quanh một đường kính của nó.

C. Cắt hình trụ tròn xoay bằng một mặt phẳng cắt trục của hình trụ ta được được thiết diện là hình tròn.

D. Cắt hình nón tròn xoay bằng một mặt phẳng đi qua trục thu được thiết diện là tam giác cân.

Xem đáp án

Chọn C

Câu 28:

Mệnh đề nào sau đây là sai?

A. Tồn tại một mặt trụ tròn xoay chứa tất cả các cạnh bên của một hình lập phương.

B. Tồn tại một mặt trụ tròn xoay chứa tất cả các cạnh bên của một hình hộp.

C. Tồn tại một mặt nón tròn xoay chứa tất cả các cạnh bên của một hình chóp tứ giác đều.

D. Tồn tại một mặt cầu chứa tất cả các đỉnh của một hình tứ diện đều.

Xem đáp án

Chọn B

Câu 29:

Cho hình trụ (T) có đáy là các đường tròn tâm O và O’, bán kính bằng 1, chiều cao hình trụ bằng 2. Các điểm A, B lần lượt nằm trên hai đường tròn (O) và (O') sao cho góc

(O A, O' B) = 60 °

. Diện tích toàn phần của tứ diện OAO'B

A. $S = \frac{4 + \sqrt{19}}{2}$

B. $S = \frac{4 + \sqrt{19}}{4}$

C. $S = \frac{3 + \sqrt{19}}{2}$

D. $S = \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{2}$

Xem đáp án

Chọn A

Câu 30:

Cho hình trụ có tỉ số diện tích xung quanh và diện tích toàn phần bằng

\frac{1}{3}

. Biết thể tích khối trụ bằng

4 π

. Bán kính đáy của hình trụ là

A. 3

B. $\sqrt{3}$

C. $\sqrt{2}$

D. 2

Xem đáp án

Chọn D

Câu 31:

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = 6, AD = 8, AC’ = 12. Diện tích xung quanh S_xqcủa hình trụ có hai đường tròn đáy là hai đường tròn ngoại tiếp hai hình chữ nhật ABCD và A'B'C’D' là

A. $S_{x q} = 20 \sqrt{11} π$

B. $S_{x q} = 10 \sqrt{11} π$

C. $S_{x q} = 10 (2 \sqrt{11} + 5) π$

D. $S_{x q} = 5 (4 \sqrt{11} + 5) π$

Xem đáp án

Chọn A

Câu 32:

Cho hình lăng trụ đều ABC.A'B'C', biết góc giữa hai mặt phẳng (A'BC) và (ABC) bằng 45°, diện tích

Δ A^{'} B C

bằng

a^{2} \sqrt{6}

. Tính diện tích xúng quanh của hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ ABC.A'B'C'

A. $\frac{4 π a^{2} \sqrt{3}}{3}$

B. $2 π a^{2}$

C. $4 π a^{2}$

D. $\frac{8 π a^{2} \sqrt{3}}{3}$

Xem đáp án

Chọn C

Câu 33:

Một cái trục lăn sơn nước có dạng một hình trụ. Đường kính của đường tròn đáy là 6cm, chiều dài lăn là 25cm (như hình dưới đây). Sau khi lăn trọn 10 vòng thì trục lăn tạo nên bức tường phẳng một diện tích là

Một cái trục lăn sơn nước có dạng một hình trụ. Đường kính của đường tròn đáy là 6cm, chiều dài lăn là 25cm (như hình dưới đây). (ảnh 1)

A. $1500 π c m^{2}$

B. $150 π c m^{2}$

C. $3000 π c m^{2}$

D. $300 π c m^{2}$

Xem đáp án

Chọn A

Câu 34:

Cho hình trụ có chiều cao bằng

6 \sqrt{2}

cm. Biết rằng một mặt phẳng không vuông góc với đáy và cắt hai mặt đáy theo hai dây cung song song AB, A'B' mà AB = A'B' = 6cm , diện tích tứ giác ABB'A’ bằng 60cm². Tính bán kính đáy của hình trụ.

A. $5 c m$

B. $3 \sqrt{2} c m$

C. $4 c m$

D. $5 \sqrt{2} c m$

Xem đáp án

Chọn C

Câu 35:

Cho khối trụ có hai đáy là hai hình tròn (O;R) và (O';R), OO' = 4R. Trên đường tròn (O;R) lấy hai điểm A, B sao cho AB =

a \sqrt{3}

. Mặt phẳng (P) đi qua A, B cắt đoạn OO' và tạo với đáy một góc 60^o, (P) cắt khối trụ theo thiết diện là một phần của elip. Diện tích thiết diện đó bằng

A. $(\frac{4 π}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}) R^{2}$

B. $(\frac{2 π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4}) R^{2}$

C. $(\frac{2 π}{3} + \frac{\sqrt{3}}{4}) R^{2}$

D. $(\frac{4 π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}) R^{2}$

Xem đáp án

Chọn A

Câu 36:

Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục ta được thiết diện là hình chữ nhật có cạnh và cạnh CD nằm trên hai đáy của khối trụ. Biết

B D = a \sqrt{2}, \hat{D A C} = 60^{0}

. Thể tích khối trụ bằng

A. $\frac{3 \sqrt{6}}{16} π a^{3}$

B. $\frac{3 \sqrt{2}}{16} π a^{3}$

C. $\frac{3 \sqrt{2}}{32} π a^{3}$

D. $\frac{3 \sqrt{2}}{48} π a^{3}$

Xem đáp án

Chọn B

Câu 37:

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có độ dài cạnh đáy bằng a, chiều cao là h. Thể tích V của khối trụ ngoại tiếp hình lăng trụ là

A. $V = \frac{π a^{2} h}{9}$

B. $V = \frac{π a^{2} h}{3}$

C. $V = 3 π a^{2} h$

D. $V = π a^{2} h$

Xem đáp án

Chọn B

Câu 38:

Thể tích khối trụ tròn xoay sinh ra khi quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh AD biết AB=3; AD=4 là

A. $48 π$

B. $36 π$

C. $12 π$

D. $72 π$

Xem đáp án

Chọn B

Câu 39:

Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, góc giữa AC’ và mặt phẳng (BCC’B’) bằng 30° (tham khảo hình vẽ). Thể tích của khối trụ ngoại tiếp lăng trụ ABC.A'B'C' bằng

A. $π a^{3}$

B. $2 π a^{3}$

C. $4 π a^{3}$

D. $3 π a^{3}$

Xem đáp án

Chọn C

Câu 40:

Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB = 1, đáy lớn CD = 3, cạnh bên BC = DA =

\sqrt{2}

. Cho hình thang đó quay quanh AB thì được vật tròn xoay có thể tích bằng

A. $\frac{4}{3} π$

B. $\frac{5}{3} π$

C. $\frac{2}{3} π$

D. $\frac{7}{3} π$

Xem đáp án

Chọn D

Câu 41:

Cho hình thang ABCD vuông tại A và D, AD = CD = a, AB = 2a. Quay hình thang ABCD quanh đường thẳng CD. Thể tích khối tròn xoay thu được là

A. $\frac{5 π a^{3}}{3}$

B. $\frac{7 π a^{3}}{3}$

C. $\frac{4 π a^{3}}{3}$

D. $π a^{3}$

Xem đáp án

Chọn A

Câu 42:

Môt hình trụ có tâm hai đáy là O và O', bán kính đáy bằng R, đường cao của trụ bằng 2R. Gọi A là một điểm cố định nằm trên đường tròn tâm O' và điểm B thay đổi trên đường tròn tâm sao cho AB không là đường sinh. Độ dài đoạn thẳng AB trong trường hợp thể tích OO'AB lớn nhất là bao nhiêu?

A. $2 R \sqrt{5}$

B. $R \sqrt{6}$

C. $R \sqrt{5}$

D. $2 R \sqrt{6}$

Xem đáp án

Chọn B

Câu 43:

Một hình trụ có thiết diện qua trục là hình chữ nhật có chu vi bằng 12cm. Thể tích lớn nhất mà hình trụ có thể nhận được là

A. $8 π c m^{3}$

B. $32 π c m^{3}$

C. $16 π c m^{3}$

D. $64 π c m^{3}$

Xem đáp án

Chọn A

Câu 44:

Các hình trụ tròn xoay có diện tích toàn phần là S không đổi, gọi chiều cao hình trụ là h và bán kính đáy hình trụ là r. Thể tích của khối trụ đó đạt giá trị lớn nhất khi

A. $h = 4 r$

B. $h = 3 r$

C. $h = 2 r$

D. $h = r$

Xem đáp án

Chọn C

Câu 45:

Ông A dự định làm một cái bể nuôi cá có dạng hình trụ (không có nắp) với dung tích 200dm³. Bán kính r của đáy hình trụ để ông A sử dụng nguyên liệu ít tốn kém nhất là

A. $r = 31, 69$ cm

B. $r = 39, 93$ cm

C. $r = 42, 57$ cm

D. $r = 57, 58$ cm

Xem đáp án

Chọn A

Câu 46:

Một người dùng một cái ca hình bán cầu (một nửa hình cầu) có bán kính là 3 cm để múc nước đổ vào một cái thùng hình trụ chiều cao 10 cm và bán kính đáy bằng 6 cm. Hỏi người ấy sau bao nhiêu lần đổ thì nước đầy thùng? (Biết mỗi lần đổ, nước trong ca luôn đầy)

A. 10 lần.

B. 24 lần.

C. 12 lần.

D. 20 lần.