40 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Chuyên đề Toán 12 Bài 2 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án

Câu 1:

Trong không gian Oxyz một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

\frac{x}{- 2} + \frac{y}{- 1} + \frac{z}{3} = 1

là

A.

\vec{n} = (3; 6; - 2) .

B.

\vec{n} = (2; - 1; 3) .

C.

\vec{n} = (- 3; - 6; - 2) .

D. $\vec{n} = (- 2; - 1; 3) .$

Xem đáp án

Ta có phương trình $\frac{x}{- 2} + \frac{y}{- 1} + \frac{z}{3} = 1 \Leftrightarrow \frac{- 1}{2} x - y + \frac{1}{3} z - 1 = 0 \Leftrightarrow 3 x + 6 y - 2 z + 6 = 0.$

Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\vec{n} = (3; 6; - 2) .$

Chọn A.

Câu 2:

Cho ba điểm A(2,1,-1), B(-1,0,4), C(0,-2,1). Phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với BC là

A. $x - 2 y - 5 z - 5 = 0.$

B.

2 x - y + 5 z - 5 = 0.

C.

x - 2 y - 5 = 0.

D.

x - 2 y - 5 z + 5 = 0.

Xem đáp án

Mặt phẳng (P) đi qua $A (2; 1; - 1)$ và vuông góc với BC nên nhận $\vec{B C} = (1; - 2; - 5)$ làm vectơ pháp tuyến. Vì vậy ta viết được phương trình mặt phẳng (P) là: $x - 2 - 2 (y - 1) - 5 (z + 1) = 0 \Leftrightarrow x - 2 y - 5 z - 5 = 0.$

Chọn A.

Câu 3:

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai điểm $A (1; - 3; 2), B (3; 5; - 2) .$ Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có dạng $x + a y + b z + c = 0.$

Khi đó $a + b + c$ bằng

A.-2

B. -4

C. -3

D. 2.

Xem đáp án

Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB ta có $M (2; 1; 0)$ và $\vec{A B} = (2; 8; - 4) = 2 (1; 4; - 2) = 2 \vec{n}$ .

Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB đi qua M và có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n}$ nên có phương trình: $x + 4 y - 2 z - 6 = 0$

Suy ra $a = 4, b = - 2, c = - 6$ .

Vậy $a + b + c = - 4$ .

Chọn B.

Câu 4:

Trong không gian mặt phẳng song song với mặt phẳng (Oxy) và đi qua điểm $A (1; 1; 1)$ có phương trình là

A. $y - 1 = 0$ .

B.

x + y + z - 1 = 0

.

C.

x - 1 = 0

.

D.

z - 1 = 0

.

Xem đáp án

Mặt phẳng song song với mặt phẳng (Oxy) và đi qua $A (1; 1; 1)$ nhận $\vec{k} = (0; 0; 1)$ làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là $z - 1 = 0$ .

Chọn D.

Câu 5:

Cho mặt phẳng $(Q) : x - y + 2 z - 2 = 0.$ Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) đồng thời cắt các trục $O x, O y$ lần lượt tại các điểm $M, N$ sao cho $M N = 2 \sqrt{2}$ .

A. $(P) : x - y + 2 z + 2 = 0$ .

B. $(P) : x - y + 2 z = 0$ .

C.

(P) : x - y + 2 z \pm 2 = 0.

D.

(P) : x - y + 2 z - 2 = 0

.

Xem đáp án

$(P) / / (Q)$ nên phương trình mặt phẳng $(P)$ có dạng $x - y + 2 z + D = 0 (D \neq - 2) .$

Khi đó mặt phẳng $(P)$ cắt các trục $O x, O y$ lần lượt tại các điểm $M (- D; 0; 0), N (0; D; 0)$

Từ giả thiết: $M N = 2 \sqrt{2} \Leftrightarrow \sqrt{2 D^{2}} = 2 \sqrt{2} \Leftrightarrow D = 2 (do D \neq - 2) .$

Vậy phương trình mặt phẳng $(P) : x - y + 2 z + 2 = 0$ .

Chọn A.

Câu 6:

Cho điểm M(1,2,5) Mặt phẳng (P) đi qua điểm M cắt trục tọa độ Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho M là trực tâm tam giác ABC. Phương trình mặt phẳng (P) là

A. $x + y + z - 8 = 0$ .

B.

x + 2 y + 5 z - 30 = 0

.

C.

\frac{x}{5} + \frac{y}{2} + \frac{z}{1} = 0

.

D. $\frac{x}{5} + \frac{y}{2} + \frac{z}{1} = 1$ .

Xem đáp án

Ta có $O A ⊥ (O B C) \Rightarrow \begin{array}{l} O A ⊥ B C \\ A M ⊥ B C \end{array}\} \Rightarrow B C ⊥ (O A M) \Rightarrow B C ⊥ O M (1)$

Tương tự $A B ⊥ O M (2)$ .

Từ (1) và (2) suy ra $O M ⊥ (A B C)$ hay $O M ⊥ (P)$ .

Suy ra $\vec{O M} = (1; 2; 5)$ là vectơ pháp tuyến của $(P)$ .

Vậy phương trình mặt phẳng $(P)$ là $x - 1 + 2 (y - 2) + 5 (z - 5) = 0 \Leftrightarrow x + 2 y + 5 z - 30 = 0.$

Chọn B.

Câu 7:

Cho tứ diện ABCD có đỉnh $A (8; - 14; - 10); A D, A B, A C$ lần lượt song song với $O x, O y, O z .$ Phương trình mặt phẳng $(B C D)$ đi qua $H (7; - 16; - 15)$ là trực tâm $Δ B C D$ có phương trình là

A. $x + 2 y + 5 z - 100 = 0$ .

B.

x + 2 y + 5 z + 100 = 0

.

C.

\frac{x}{7} + \frac{y}{- 16} + \frac{z}{- 15} = 0

.

D.

\frac{x}{7} + \frac{y}{- 16} + \frac{z}{- 15} = 1

.

Xem đáp án

Theo đề ra, ta có $(B C D)$ đi qua $H (7; - 16; - 15),$ nhận $\vec{H A} = (1; 2; 5)$ là vectơ pháp tuyến. Phương trình mặt phẳng $(B C D)$ là $\begin{array}{l} (x - 7) + 2 (y + 16) + 5 (z + 15) = 0 \\ \Leftrightarrow x + 2 y + 5 z + 100 = 0. \end{array}$

Vậy $(B C D) : x + 2 y + 5 z + 100 = 0$ .

Chọn B.

Câu 8:

Cho hai điểm $A (1; - 1; 5), B (0; 0; 1)$ . Mặt phẳng (P) chứa A,B và song song với trục Oy có phương trình là

A. $4 x - z + 1 = 0$ .

B.

4 x + y - z + 1 = 0

.

C.

2 x + z - 5 = 0

.

D.

x + 4 z - 1 = 0

.

Xem đáp án

Do mặt phẳng $(P)$ chứa $A, B$ và song song với trục $O y$ nên vectơ pháp tuyến của $(P)$ là

$\vec{n} = [\vec{A B}; \vec{j}] = (4; 0; - 1)$

Phương trình mặt phẳng $(P)$ là: $4 (x - 0) + 0 (y - 0) - 1 (z - 1) = 0 \Leftrightarrow 4 x - z + 1 = 0$

Chọn A.

Câu 9:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm $A (1; 2; - 1); B (2; 1; 0)$ và mặt phẳng $(P) : 2 x + y - 3 z + 1 = 0.$ Gọi $(Q)$ là mặt phẳng chứa $A; B$ và vuông góc với $(P) .$ Phương trình mặt phẳng $(Q)$ là

A. $2 x + 5 y + 3 z - 9 = 0$ .

B.

2 x + y - 3 z - 7 = 0

.

C.

2 x + y - z - 5 = 0

.

D.

x - 2 y - z - 6 = 0

.

Xem đáp án

Phương trình mặt phẳng $(Q)$ chứa $A B$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)$ nên có cặp vectơ chỉ phương là $\vec{A B} = (1; - 1; 1)$ và $\vec{n_{P}} = (2; 1; - 3)$ .

Suy ra $\vec{n_{Q}} = [\vec{A B}; \vec{n_{P}}] = (2; 5; 3)$ .

Mặt phẳng $(Q)$ đi qua $A (1; 2; - 1)$ nên $2 (x - 1) + 5 (y - 2) + 3 (z + 1) = 0$

$\Leftrightarrow 2 x + 5 y + 3 z - 9 = 0$

Chọn A.

Câu 10:

Mặt phẳng $(α)$ đi qua gốc tọa độ O và vuông góc với hai mặt phẳng $(P) : x - y + z - 7 = 0, (Q) : 3 x + 2 y - 12 z + 5 = 0$ có phương trình là

A. $2 x - 3 y - z = 0$ .

B.

10 x - 15 y + 5 z + 2 = 0

.

C.

10 x + 15 y + 5 z - 2 = 0

.

D.

2 x + 3 y + z = 0

.

Xem đáp án

Ta có $(P) : x - y + z - 7 = 0$ có vectơ pháp tuyến là ${\vec{n}}_{1} = (1; - 1; 1)$ và

$(Q) : 3 x + 2 y - 12 z + 5 = 0$ có vectơ pháp tuyến là $\vec{n_{2}} = (3; 2; - 12)$

Do $(α) ⊥ (P)$ và $(α) ⊥ (Q)$ nên $(α)$ có vectơ pháp tuyến là

$\vec{n} = [\vec{n_{1}}; \vec{n_{2}}] = (10; 15; 5)$

Vậy $(α)$ có phương trình $10 x + 15 y + 5 z = 0 \Leftrightarrow 2 x + 3 y + z = 0$ .

Chọn D.

Câu 11:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0,1,2), B(2,-2,1), C(-2,1,0). Khi đó, phương trình mặt phẳng $(A B C)$ là $a x + y - z + d = 0.$ Hãy xác định a và d.

A. $a = 1, d = 1$ .

B.

a = 6, d = - 6

.

C.

a = - 1, d = - 6

.

D.

a = - 6, d = 6

.

Xem đáp án

Ta có: $\vec{A B} = (2; - 3; - 1); \vec{A C} = (- 2; 0; - 2) .$

$[\vec{A B}; \vec{A C}] = (|\begin{array}{l} - 3 \\ 0 \end{array} \begin{array}{l} - 1 \\ - 2 \end{array}|; |\begin{array}{l} - 1 \\ - 2 \end{array} \begin{array}{l} 2 \\ - 2 \end{array}|; |\begin{array}{l} 2 \\ - 2 \end{array} \begin{array}{l} - 3 \\ 0 \end{array}|) = (6; 6; - 6) .$

Chọn $\vec{n} = \frac{1}{6} [\vec{A B}; \vec{A C}] = (1; 1; - 1)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(A B C) .$

Ta có phương trình mặt phẳng $(A B C) .$ là: $x + y - 1 - z + 2 = 0 \Leftrightarrow x + y - z + 1 = 0.$

Vậy $a = 1, d = 1.$

Chọn A.

Câu 12:

Trong không gian Oxyz, biết mặt phẳng ax+by+cz+5=0 qua hai điểm A(3,1,-1), B(2,-1,4) và vuông góc với $(P) : 2 x - y + 3 z + 4 = 0$ .Giá trị của $a - b + c$ bằng

A. 9.

B. 12.

C. 10.

D. 8.

Xem đáp án

Gọi $(α) : a x + b y + c z + 5 = 0.$ Ta có $\vec{A B} = (- 1; - 2; 5), \vec{n_{P}} = (2; - 1; 3)$ .

Mặt phẳng $(α)$ nhận $\vec{n} = [\vec{A B}, \vec{n_{P}}] = (- 1; 13; 5)$ làm vectơ pháp tuyến nên $(α)$ có dạng

$- x + 13 y + 5 z + D = 0$

Mặt phẳng $(α)$ qua $A (3; 1; - 1)$ nên $- 3 + 13.1 + 5. (- 1) + D = 0 \Leftrightarrow D = - 5$ .

$\Rightarrow (α) : - x + 13 y + 5 z - 5 = 0$ hay $(α) : x - 13 y - 5 z + 5 = 0$ .

Suy ra $a = 1; b = - 13; c = - 5$ .

Vậy $a - b + c = 9$ .

Chọn A.

Câu 13:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, lập phương trình của các mặt phẳng song song với mặt phẳng $(β) : x + y - z + 3 = 0$ và cách $(β)$ một khoảng bằng $\sqrt{3}$ .

A. $x + y - z + 6 = 0; x + y - z = 0$ .

B.

x + y - z + 6 = 0

.

C.

x - y - z + 6 = 0; x - y - z = 0

.

D.

x + y + z + 6 = 0; x + y + z = 0

.

Xem đáp án

Gọi $(α)$ là mặt phẳng cần tìm. Ta có $A (0; 0; 3) \in (β)$ .

Do $(α) / / (β)$ nên phương trình của mặt phẳng $(α)$ có dạng:

$x + y - z + m = 0$ với $m \neq 3$ .

Ta có $d ((α), (β)) = \sqrt{3} \Leftrightarrow d (A, (α)) = \sqrt{3} \Leftrightarrow \frac{| m - 3 |}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ .

$\Leftrightarrow | m - 3 | = 3 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 6 \\ m = 0 \end{array}$ (thỏa mãn).

Vậy phương trình của các mặt phẳng cần tìm là

$x + y - z + 6 = 0$ và $x + y - z = 0$ .

Chọn A.

Câu 14:

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng

$(P) : x + 3 z + 2 = 0, (Q) : x + 3 z - 4 = 0$

Mặt phẳng song song và cách đều $(P)$ và (Q) có phương trình là:

A. $x + 3 z - 1 = 0$ .

B.

x + 3 z - 2 = 0

.

C.

x + 3 z - 6 = 0

.

D.

x + 3 z + 6 = 0

.

Xem đáp án

Điểm $M (x; y; z)$ bất kỳ cách đều (P) và $(Q) \Leftrightarrow d (M; (P)) = d (M; (Q))$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{| x + 3 z + 2 |}{\sqrt{1 + 9}} = \frac{| x + 3 z - 4 |}{\sqrt{1 + 9}} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x + 3 z + 2 = x + 3 z - 4 \\ x + 3 z + 2 = - x - 3 z + 4 \end{array} \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 2 = - 4 \\ x + 3 z - 1 = 0 \end{array} \Leftrightarrow x + 3 z - 1 = 0. \end{array}$

Vậy M thuộc $(α) : x + 3 z - 1 = 0.$ Nhận thấy $(α)$ song song với (P) và (Q).

Chọn A.

Câu 15:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1,2,1), B(3,4,0) và mặt phẳng $(P) : a x + b y + c z + 46 = 0$ . Biết rằng khoảng cách từ $A, B$ đến mặt phẳng $(P)$ lần lượt bằng 6 và 3. Giá trị của biểu thức $T = a + b + c$ bằng

A.-3

B. -6

C. 3.

D. 6.

Xem đáp án

Gọi $H, K$ lần lượt là hình chiếu của $A, B$ trên mặt phẳng $(P)$ .

Theo giả thiết, ta có: $A B = 3, A H = 6, B K = 3$ .

Do đó $A, B$ ở cùng phía với mặt phẳng $(P)$ .

Lại có: $A B + B K \geq A K \geq A H .$ Mà $A B + B K = A H$ nên $H \equiv K$ .

Suy ra $A, B, H$ là ba điểm thẳng hàng và B là trung điểm của AH nên tọa độ $H (5; 6; - 1)$ .

Vậy mặt phẳng $(P)$ đi qua $H (5; 6; - 1)$ và nhận $\vec{A B} = (2; 2; - 1)$ là vectơ pháp tuyến nên có phương trình là $2 (x - 5) + 2 (y - 6) - 1 (z + 1) = 0 \Leftrightarrow 2 x + 2 y - z - 23 = 0$

Theo bài ra, ta có $(P) : - 4 x - 4 y + 2 z + 46 = 0$ nên $a = - 4, b = - 4, c = 2$ .

Vậy $T = a + b + c = - 6$ .

Chọn B.

Câu 16:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1,2,1), B(3,4,0) và mặt phẳng $(P) : a x + b y + c z + 46 = 0$ . Biết rằng khoảng cách từ $A, B$ đến mặt phẳng $(P)$ lần lượt bằng 6 và 3. Giá trị của biểu thức $T = a + b + c$ bằng

A.-3

B. -6

C. 3.

D. 6.

Xem đáp án

Gọi $H, K$ lần lượt là hình chiếu của $A, B$ trên mặt phẳng $(P)$ .

Theo giả thiết, ta có: $A B = 3, A H = 6, B K = 3$ .

Do đó $A, B$ ở cùng phía với mặt phẳng $(P)$ .

Lại có: $A B + B K \geq A K \geq A H .$ Mà $A B + B K = A H$ nên $H \equiv K$ .

Suy ra $A, B, H$ là ba điểm thẳng hàng và B là trung điểm của AH nên tọa độ $H (5; 6; - 1)$ .

Vậy mặt phẳng $(P)$ đi qua $H (5; 6; - 1)$ và nhận $\vec{A B} = (2; 2; - 1)$ là vectơ pháp tuyến nên có phương trình là $2 (x - 5) + 2 (y - 6) - 1 (z + 1) = 0 \Leftrightarrow 2 x + 2 y - z - 23 = 0$

Theo bài ra, ta có $(P) : - 4 x - 4 y + 2 z + 46 = 0$ nên $a = - 4, b = - 4, c = 2$ .

Vậy $T = a + b + c = - 6$ .

Chọn B.

Câu 17:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình ${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 12$ và mặt phẳng $(P) : 2 x + 2 y - z - 3 = 0.$ Viết phương trình mặt phẳng song song với $(P)$ và cắt $(S)$ theo thiết diện là đường tròn $(C)$ sao cho khối nón có đỉnh là tâm mặt cầu và đáy là hình tròn (C) có thể tích lớn nhất.

A. $2 x + 2 y - z + 2 = 0$ hoặc $2 x + 2 y - z + 8 = 0$ .

B. $2 x + 2 y - z - 1 = 0$ hoặc $2 x + 2 y - z + 11 = 0$ .

C. $2 x + 2 y - z - 6 = 0$ hoặc $2 x + 2 y - z + 3 = 0$ .

D. $2 x + 2 y - z + 2 = 0$ hoặc $2 x + 2 y - z + 2 = 0$ .

Xem đáp án

Ta có $(α) / / (P)$ nên $(α) : 2 x + 2 y - z + d = 0 (d \neq - 3) .$

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I (1; - 2; 3),$ bán kính $R = 2 \sqrt{3}$ .

Gọi $(H)$ là khối nón thỏa mãn đề bài với đường sinh $I M = R = 2 \sqrt{3} .$

Đặt $x = h = d (I, (α)) .$ Khi đó bán kính đường tròn đáy hình nón là $r = \sqrt{12 - x^{2}}$ .

Thể tích khối nón là $V_{(H)} = \frac{1}{3} π (12 - x^{2}) x$ với $0 < x < 2 \sqrt{3}$ .

Xét hàm số: $f (x) = \frac{1}{3} π (12 - x^{2}) x$ với $0 < x < 2 \sqrt{3}$ .

Khi đó $f (x)$ đạt giá trị lớn nhất tại $x = 2$ hay $d (I, (α)) = 2$ .

Ta có $d (I, (α)) = 2 \Leftrightarrow \frac{| 2.1 + 2 \cdot (- 2) - 3 + d |}{\sqrt{2^{2} + 2^{2} + {(- 1)}^{2}}} = 2 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} d - 5 = 6 \\ d - 5 = - 6 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} d = 11 \\ d = - 1 \end{array}$ .

Chọn B.

Câu 18:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): $x^{2} + y^{2} + {(z - 1)}^{2} = 4$ và điểm $A (2; 2; 2) .$ Từ A kẻ ba tiếp tuyến $A B, A C, A D$ với mặt cầu $(B, C, D$ là các tiếp điểm). Phương trình mặt phẳng $(B C D)$ là

A. $2 x + 2 y + z - 1 = 0$ .

B.

2 x + 2 y + z - 3 = 0

.

C.

2 x + 2 y + z + 1 = 0

.

D.

2 x + 2 y + z - 5 = 0

.

Xem đáp án

Ta có mặt cầu $(S)$ có tâm (0;0;1) và bán kính $R = 2$ .

Do $A B, A C, A D$ là ba tiếp tuyến của mặt cầu $(S)$ với $B, C, D$ là các tiếp điểm nên

$\{\begin{array}{l} A B = A C = A D \\ I B = I C = I D = R \end{array} \Rightarrow I A$ là trục của đường tròn ngoại tiếp $Δ B C D .$

$\Rightarrow I A ⊥ (B C D)$

Khi đó mặt phẳng $(B C D)$ có một vectơ pháp tuyến $\vec{n} = \vec{I A} = (2; 2; 1)$ .

Gọi J là tâm của đường tròn ngoại tiếp $Δ B C D \Rightarrow J \in I A$ và $I J ⊥ B J .$

Ta có $Δ I B A$ vuông tại B và $B J ⊥ I A$ nên

$I B^{2} = I J . I A \Rightarrow I J = \frac{I B^{2}}{I A} = \frac{4}{3} \Rightarrow \vec{I J} = \frac{4}{9} \vec{I A}$

Đặt $J (x; y; z) .$ Ta có $\vec{I J} = (x; y; z - 1); \vec{I A} = (2; 2; 1)$ .

Từ $\vec{I J} = \frac{4}{9} \vec{I A}$ suy ra $J (\frac{8}{9}; \frac{8}{9}; \frac{13}{9})$ .

Mặt phẳng $(B C D)$ đi qua $J (\frac{8}{9}; \frac{8}{9}; \frac{13}{9})$ và nhận vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (2; 2; 1)$ có phương trình:

$2 (x - \frac{8}{9}) + 2 (y - \frac{8}{9}) + (z - \frac{13}{9}) = 0 \Rightarrow 2 x + 2 y + z - 5 = 0$

Chọn D.

Câu 19:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu : ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 12$ và mặt phẳng $(P) : x - 2 y + 2 z + 11 = 0.$ Xét điểm M di động trên $(P)$ và các điểm $A, B, C$ phân biệt di động trên $(S)$ sao cho $A M, B M, C M$ là các tiếp tuyến của $(S) .$ Mặt phẳng $(A B C)$ luôn đi qua điểm cố định nào dưới đây?

A. $(\frac{1}{4}; - \frac{1}{2}; - \frac{1}{2})$ .

B.

(0; - 1; 3)

.

C.

(\frac{3}{2}; 0; 2)

.

D.

(0; 3; - 1)

.

Xem đáp án

Mặt cầu $(S)$ có tâm (1;1;1) và bán kính $R = 2 \sqrt{3}$ .

Xét điểm

M (a; b; c) \in (P); A (x; y; z) \in (S)

nên ta có hệ điều kiện:

$\{\begin{cases} {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 12 \\ A I^{2} + A M^{2} = I M^{2} \\ a - 2 b + 2 c + 11 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 12 (1) \\ 12 + {(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} + {(z - c)}^{2} = {(a - 1)}^{2} + {(b - 1)}^{2} + {(c - 1)}^{2} (2) \\ a - 2 b + 2 c + 11 = 0 (3) \end{cases}$

Lấy (1) $- (2)$ ta có:

${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} - [12 + {(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} + {(z - c)}^{2}] = 12 - [{(a - 1)}^{2} + {(b - 1)}^{2} + {(c - 1)}^{2}] \Leftrightarrow (a - 1) x + (b - 1) y + (c - 1) z - a - b - c - 9 = 0$

Vậy mặt phẳng đi qua ba tiếp điểm là: $(Q) : (a - 1) x + (b - 1) y + (c - 1) z - a - b - c - 9 = 0$

Kết hợp với (3) suy ra mặt phẳng này luôn đi qua điểm cố định (0;3;-1).

Chọn D.

Câu 20:

Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1,2,3) . Gọi A,B,C lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm M lên các trục Ox, Oy, Oz. Phương trình mặt phẳng (ABC) là

A. $\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1$ .

B.

\frac{x}{1} - \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1

.

C.

\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 0

.

D.

- \frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1

.

Xem đáp án

Ta có $A (1; 0; 0), B (0; 2; 0), C (0; 0; 3)$ lần lượt là hình chiếu của M lên $O x, O y, O z .$ Phương trình mặt phẳng $(A B C)$ có dạng $\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1$ .

Chọn A.

Câu 21:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm $M (3; 0; 0), N (2; 2; 2)$ . Mặt phẳng (P) thay đổi qua $M, N$ cắt các trục $O y, O z$ lần lượt tại $B (0; b; 0), C (0; 0; c)$ với $b, c \neq 0.$ Hệ thức nào dưới đây là đúng?

A. $b + c = 6$ .

B.

b c = 3 (b + c)

.

C.

b c = b + c

.

D.

\frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{6}

.

Xem đáp án

Mặt phẳng $(P)$ đi qua $M (3; 0; 0), B (0; b; 0), C (0; 0; c)$ với $b, c \neq 0$ nên phương trình mặt phẳng $(P)$ theo đoạn chắn là: $\frac{x}{3} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$

Mặt phẳng $(P)$ đi qua $N (2; 2; 2)$ suy ra $\frac{2}{3} + \frac{2}{b} + \frac{2}{c} = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{6}$ .

Chọn D.

Câu 22:

Trong không gian Oxyz, cho điểm G(1,4,3). Phương trình mặt phẳng cắt các trục tọa độ $O x, O y, O z$ lần lượt tại $A, B, C$ sao cho G là trọng tâm tứ diện $O A B C$ là

A. $\frac{x}{3} + \frac{y}{12} + \frac{z}{9} = 1$ .

B.

\frac{x}{4} + \frac{y}{16} + \frac{z}{12} = 1

.

C.

3 x + 12 y + 9 z - 78 = 0

.

D.

4 x + 16 y + 12 z - 104 = 0

.

Xem đáp án

Giả sử $A (a, 0, 0); B (0, b, 0); C (0; 0; c)$ .

$G (1; 4; 3)$ là trọng tâm tứ diện $O A B C \Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{G} = \frac{x_{A} + x_{B} + x_{C} + x_{D}}{4} \\ y_{G} = \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C} + y_{D}}{4} \\ x_{G} = \frac{z_{A} + z_{B} + z_{C} + z_{D}}{4} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{array}{l} 0 + a + 0 + 0 = 4.1 \\ 0 + 0 + b + 0 = 4.4 \\ 0 + 0 + 0 + c = 4.3 \end{array} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 4 \\ b = 16 \\ c = 12 \end{cases}$

Ta có phương trình mặt phẳng $(A B C)$ là: $\frac{x}{4} + \frac{y}{16} + \frac{z}{12} = 1$ .

Chọn B.

Câu 23:

Trong không gian Oxyz, cho điểm G(1,4,3). Phương trình mặt phẳng cắt các trục tọa độ $O x, O y, O z$ lần lượt tại $A, B, C$ sao cho G là trọng tâm tứ diện $O A B C$ là

A. $\frac{x}{3} + \frac{y}{12} + \frac{z}{9} = 1$ .

B.

\frac{x}{4} + \frac{y}{16} + \frac{z}{12} = 1

.

C.

3 x + 12 y + 9 z - 78 = 0

.

D.

4 x + 16 y + 12 z - 104 = 0

.

Xem đáp án

Giả sử $A (a, 0, 0); B (0, b, 0); C (0; 0; c)$ .

$G (1; 4; 3)$ là trọng tâm tứ diện $O A B C \Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{G} = \frac{x_{A} + x_{B} + x_{C} + x_{D}}{4} \\ y_{G} = \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C} + y_{D}}{4} \\ x_{G} = \frac{z_{A} + z_{B} + z_{C} + z_{D}}{4} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{array}{l} 0 + a + 0 + 0 = 4.1 \\ 0 + 0 + b + 0 = 4.4 \\ 0 + 0 + 0 + c = 4.3 \end{array} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 4 \\ b = 16 \\ c = 12 \end{cases}$

Ta có phương trình mặt phẳng $(A B C)$ là: $\frac{x}{4} + \frac{y}{16} + \frac{z}{12} = 1$ .

Chọn B.

Câu 24:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm $M (1; 2; 3)$ và cắt các trục $O x, O y, O z$ lần lượt tại ba điểm $A, B, C$ khác với gốc tọa độ O sao cho biểu thức $\frac{1}{O A^{2}} + \frac{1}{O B^{2}} + \frac{1}{O C^{2}}$ có giá trị nhỏ nhất.

A. $(P) : x + 2 y + z - 14 = 0$ .

B.

(P) : x + 2 y + 3 z - 14 = 0

.

C.

(P) : x + 2 y + 3 z - 11 = 0

.

D.

(P) : x + y + 3 z - 14 = 0

.

Xem đáp án

Gọi H là trực tâm $Δ A B C .$

Ta có $\{\begin{array}{l} B H ⊥ A C \\ O B ⊥ A C \end{array} \Rightarrow A C ⊥ (O B H) \Rightarrow A C ⊥ O H (1) .$

Chứng minh tương tự, ta có: $B C ⊥ O H (2)$ .

Từ (1), (2) ta có $O H ⊥ (A B C)$ .

Suy ra $\frac{1}{O A^{2}} + \frac{1}{O B^{2}} + \frac{1}{O C^{2}} = \frac{1}{O H^{2}}$ .

Vậy để biểu thức $\frac{1}{O A^{2}} + \frac{1}{O B^{2}} + \frac{1}{O C^{2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất thì $O H$ đạt giá trị lớn nhất. Mà $O H \leq O M$ nên OH đạt giá lớn nhất bằng OM hay $H \equiv M .$

Khi đó $O M ⊥ (A B C)$ nên $(P)$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec{O M} = (1; 2; 3)$ .

Phương trình mặt phẳng $(P)$ là

$1 (x - 1) + 2 (y - 2) + 3 (z - 3) = 0 \Leftrightarrow x + 2 y + 3 z - 14 = 0$

Chọn B.

Câu 25:

Trong không gian Oxyz, có bao nhiêu mặt phẳng qua điểm $M (4; - 4; 1)$ và chắn trên ba trục tọa độ $O x, O y, O z$ theo ba đoạn thẳng có độ dài theo thứ tự lập thành cấp số nhân có công bội bằng $\frac{1}{2} ?$

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Xem đáp án

Gọi $A (a; 0; 0), B (0; b; 0), C (0; 0; c)$ với $a b c \neq 0$ là giao điểm của mặt phẳng $(P)$ và các trục toạ độ. Khi đó $(P)$ có phương trình là $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ .

Theo giả thiết ta có: $\{\begin{array}{l} M \in (P) \\ O C = \frac{1}{2} O B = \frac{1}{4} O A \end{array} \Leftrightarrow \{\begin{array}{l} \frac{4}{a} - \frac{4}{b} + \frac{1}{c} = 1 \\ | c | = \frac{1}{2} | b | = \frac{1}{4} | a | \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} a = - 8, b = - 4, c = 2 \\ a = 8, b = - 4, c = - 2 \\ a = 16, b = - 8, c = 4 \end{array}$

Vậy có ba mặt phẳng thỏa mãn.

Chọn C.

Câu 26:

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(1,0,0), B(0,1,0). Mặt phẳng $x + a y + b z + c = 0$ đi qua các điểm $A, B$ đồng thời cắt tia Oz tại C sao cho tứ diện OABC có thể tích bằng $\frac{1}{6} .$ Giá trị của $a + 3 b - 2 c$ là

A. 16.

B. 1.

C. 10.

D. 6.

Xem đáp án

Mặt phẳng đi qua các điểm $A, B$ đồng thời cắt tia $O z$ tại $C (0; 0; t)$ với $t > 0$ có phương trình là

$\frac{x}{1} + \frac{y}{1} + \frac{z}{t} = 1$

Mặt khác: $V_{OABC} = \frac{1}{6} \Leftrightarrow \frac{1}{6} .$ OA.OB.OC $= \frac{1}{6} \Leftrightarrow t = 1$ .

Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm có dạng $\frac{x}{1} + \frac{y}{1} + \frac{z}{1} = 1 \Leftrightarrow x + y + z - 1 = 0$ .

Vậy $a = b = 1, c = - 1$ .

Suy ra $a + 3 b - 2 c = 1 + 3.1 + 2 = 6$ .

Chọn D.

Câu 27:

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình $x - y + 2 z - 3 = 0$ . Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là

A. $\vec{n} = (- 1; 1; - 2) .$

B.

\vec{n} = (1; 1; - 2)

.

C.

\vec{n} = (- 1; 2; - 3)

.

D.

\vec{n} = (1; 2; - 3)

.

Xem đáp án

Chọn A

Câu 28:

Cho ba điểm $A (2; 1; - 1), B (- 1; 0; 4), C (0; - 2; - 1) .$ Phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với BC là

A. $x - 2 y - 5 z - 5 = 0$ .

B. $2 x - y + 5 z - 5 = 0$ .

C. $x - 2 y - 5 = 0$ .

D.

x - 2 y - 5 z + 5 = 0

.

Xem đáp án

Chọn A

Câu 29:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(3,2,1). Mặt phẳng (P) đi qua M và cắt các trục tọa độ $O x, O y, O z$ lần lượt tại các điểm $A, B, C$ không trùng với gốc tọa độ sao cho M là trực tâm tam giác ABC. Trong các mặt phẳng sau, mặt phẳng song song với mặt phẳng (P) là

A. $3 x + 2 y + z - 14 = 0$ .

B.

2 x + y + z - 9 = 0

.

C.

3 x + 2 y + z + 14 = 0

.

D.

2 x + y + 3 z + 9 = 0

.

Xem đáp án

Chọn A

Câu 30:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $(P) : x - 2 y + 2 z - 5 = 0$ và hai điểm $A (- 3; 0; 1), B (0; - 1; 3) .$ Phương trình mặt phẳng $(Q)$ đi qua A và song song với mặt phẳng $(P)$ là

A. $x - 2 y + 2 z - 1 = 0$ .

B.

x - 2 y - 2 z + 1 = 0

.

C.

x - 2 y - 2 z - 1 = 0

.

D.

x - 2 y + 2 z + 1 = 0

.

Xem đáp án

Chọn D

Câu 31:

Trong không gian Oxyz, cho A(0,1,1), B(1,0,0) và mặt phẳng $x + 2 y + 2 z - 6 = 0$ là mặt phẳng song song với $(P)$ đồng thời đường thẳng AB cắt $(Q)$ tại C sao cho $C A = 2 C B$ . Mặt phẳng $(Q)$ có phương trình là:

A. $x + y + z - \frac{4}{3} = 0$ hoặc $x + y + z = 0$ .

B.

x + y + z = 0

.

C.

x + y + z - \frac{4}{3} = 0

.

D.

x + y + z - 2 = 0

hoặc

x + y + z = 0

.

Xem đáp án

Chọn A

Câu 32:

Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng (P) song song và cách mặt phẳng $(Q) : x + 2 y + 2 z - 3 = 0$ một khoảng bằng 1 đồng thời (P) không đi qua O là

A. $x + 2 y + 2 z + 1 = 0$ .

B.

x + 2 y + 2 z = 0

.

C.

x + 2 y + 2 z - 6 = 0

.

D.

x + 2 y + 2 z + 3 = 0

.

Xem đáp án

Chọn C

Câu 33:

Trong không gian Oxyz, cho $A (2; 0; 0), B (0; 4; 0), C (0; 0; 6), D (2; 4; 6) .$ Gọi $(P)$ là mặt phẳng song song với $(A B C)$ , cách đều D và mặt phẳng $(A B C)$ . Phương trình của $(P)$ là

A. $6 x + 3 y + 2 z - 24 = 0$ .

B. $6 x + 3 y + 2 z - 12 = 0$ .

C. $6 x + 3 y + 2 z = 0$ .

D.

6 x + 3 y + 2 z - 36 = 0

.

Xem đáp án

Chọn A

Câu 34:

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(3,2,3), B(2,1,2), C(4,1,6). Phương trình mặt phẳng (ABC) là

A. $2 x - y - z - 1 = 0$ .

B.

x + y - z - 2 = 0

.

C.

x - y + 2 z - 7 = 0

.

D.

x - y - z + 2 = 0

.

Xem đáp án

Chọn A

Câu 35:

Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1,2,3). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M cắt các trục $O x, O y, O z$ lần lượt tại $A, B, C$ sao cho M là trọng tâm tam giác ABC

A. $(P) : 6 x + 3 y + 2 z + 18 = 0$ .

B.

(P) : 6 x + 3 y + 2 z + 6 = 0

.

C.

(P) : 6 x + 3 y + 2 z - 18 = 0

.

D.

(P) : 6 x + 3 y + 2 z - 6 = 0

.

Xem đáp án

Chọn C

Câu 36:

Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1,-3,2). Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng đi qua M và cắt các trục toạ độ tại $A, B, C$ mà $O A = O B = O C \neq 0 ?$

A. 3.

B. 1.

C. 4.

D. 2.

Xem đáp án

Chọn A

Câu 37:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x - 4 y - 6 z - 2 = 0.$ Viết phương trình mặt phẳng $(α)$ chứa $O y$ cắt mặt cầu $(S)$ theo thiết diện là đường tròn có chu vi bằng $8 π .$

A. $(α) : 3 x - z = 0$ .

B.

(α) : 3 x + z = 0

.

C.

(α) : x - 3 z = 0

.

D.

(α) : 3 x + z + 2 = 0

.

Xem đáp án

Chọn A

Câu 38:

Cho điểm $M^{'} (4; - 7; - 5), N (3; - 9; - 10)$ và các đường thẳng $d_{1}, d_{2}, d_{3}$ cùng đi qua điểm N và lần lượt song song với $O x, O y, O z .$ Mặt phẳng $(P^{'})$ đi qua $M^{'}$ cắt $d_{1}, d_{2}, d_{3}$ lần lượt tại $A^{'}, B^{'}, C^{'}$ sao cho $M^{'}$ là trực tâm $Δ A^{'} B^{'} C^{'} .$ Phương trình mặt phẳng $(P^{'})$ là

A. $x + 2 y + 5 z - 35 = 0$ .

B. $x + 2 y + 5 z + 35 = 0$ .

C. $\frac{x}{4} + \frac{y}{- 7} + \frac{z}{- 5} = 0$ .

D.

\frac{x}{4} + \frac{y}{- 7} + \frac{z}{- 5} = 1

.

Xem đáp án

Chọn B

Câu 39:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm $A (1; 0; 0), B (0; 2; 0), C (0; 0; 1) .$ Xét ba mặt cầu tiếp xúc ngoài đôi một với nhau và tiếp xúc với mặt phẳng $(A B C)$ lần lượt tại $A, B, C .$ Tổng diện tích của ba mặt cầu trên là:

A. $\frac{33 π}{2}$ .

B.

36 π

.

C.

\frac{31 π}{2}

.

D.

54 π

.

Xem đáp án

Chọn A

Câu 40:

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $(P) : x - y + 2 z - 1 = 0$ , các điểm $A (0; 1; 1), B (1; 0; 0)$ với A và B nằm trên mặt phẳng $(P)$ và mặt cầu $(S) : {(x - 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 4. C D$ là một đường kính thay đổi của $(S)$ sao cho $C D / / (P)$ và bốn điểm $A, B, C, D$ tạo thành một tứ diện. Giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện $A B C D$ bằng

A. $2 \sqrt{2}$ .

B.

2 \sqrt{3}

.

C.

2 \sqrt{5}

.

D.

2 \sqrt{6}

.

Xem đáp án

Chọn A