16 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Chuyên đề Toán 12 Bài 2 Dạng 2: Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng, giữa mặt cầu và mặt phẳng có đáp án

Câu 1:

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng $(P) : 2 x + y + z - 2 = 0$ vuông góc với mặt phẳng nào dưới đây?

A. $2 x - y - z - 2 = 0$ .

B.

x - y - z - 2 = 0

.

C.

x + y + z - 2 = 0

.

D.

2 x + y + z - 2 = 0

.

Xem đáp án

Mặt phẳng $(P)$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n_{P}} = (2; 1; 1)$ .

Mặt phẳng $(Q) : x - y - z - 2 = 0$ có một vectơ pháp tuyến $\vec{n_{Q}} = (1; - 1; - 1)$ .

Mà $\vec{n_{P}} \cdot \vec{n_{Q}} = 2 - 1 - 1 = 0 \Rightarrow \vec{n_{P}} ⊥ \vec{n_{Q}} \Rightarrow (P) ⊥ (Q)$ .

Vậy mặt phẳng $x - y - z - 2 = 0$ là mặt phẳng cần tìm.

Chọn B.

Câu 2:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình $m x + (m - 1) y + z - 10 = 0$ và mặt phẳng $(Q) : 2 x + y - 2 z + 3 = 0$ .

Với giá trị nào của m thì (P) và (Q) vuông góc với nhau?

A. $m = - 2$ .

B.

m = 2

.

C.

m = 1

.

D.

m = - 1

.

Xem đáp án

$(P) : m x + (m - 1) y + z - 10 = 0$ có vectơ pháp tuyến ${\vec{n}}_{1} = (m; m - 1; 1)$ .

$(Q) : 2 x + y - 2 z + 3 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n_{2}} = (2; 1; - 2)$ .

$(P) ⊥ (Q) \Leftrightarrow {\vec{n}}_{1} \cdot {\vec{n}}_{2} = 0 \Leftrightarrow 2 m + m - 1 - 2 = 0 \Leftrightarrow m = 1$

Chọn C.

Câu 3:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6 x + 4 y - 12 = 0$

Mặt phẳng nào cắt (S) theo một đường tròn có bán kính r=3?

A. $4 x - 3 y - z - 4 \sqrt{26} = 0$ .

B.

2 x + 2 y - z + 12 = 0

.

C.

3 x - 4 y + 5 z - 17 + 20 \sqrt{2} = 0

.

D.

x + y + z + \sqrt{3} = 0

.

Xem đáp án

Phương trình mặt cầu $(S)$ là $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6 x + 4 y - 12 = 0.$

Suy ra tâm $I (3; - 2; 0)$ và bán kính $R = 5$ .

Ta gọi khoảng cách từ tâm I của mặt cầu tới các mặt phẳng ở các đáp án là h, khi đó để mặt phẳng cắt mặt cầu $(S)$ theo một đường tròn có bán kính $r = 3$ thì $h = \sqrt{R^{2} - r^{2}} = \sqrt{25 - 9} = 4$ .

Đáp án A loại vì $h = \frac{| 18 - 4 \sqrt{26} |}{\sqrt{26}} \neq 4$ .

Đáp án B loại vì $h = \frac{14}{3} \neq 4$ .

Chọn đáp án C vì $h = 4$ .

Đáp án D loại vì $h = \frac{1 + \sqrt{3}}{\sqrt{3}} \neq 4$ .

Chọn C.

Câu 4:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I(1,2,-2) và mặt phẳng $(P) : 2 x + 2 y + z + 5 = 0.$

Phương trình mặt cầu tâm I cắt mặt phẳng $(P)$ theo giao tuyến là một đường tròn có diện tích bằng $16 π$ là

A. ${(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 36$ .

B.

{(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 9

.

C.

{(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 25

.

D.

{(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 16

.

Xem đáp án

Ta có $a = d (I; (P)) = \frac{| 2.1 + 2.2 - 2 + 5 |}{\sqrt{2^{2} + 2^{2} + 1^{2}}} = 3$ .

Bán kính của đường tròn giao tuyến là: $r = \sqrt{\frac{S}{π}} = \sqrt{16} = 4$ .

Mặt cầu tâm I cắt mặt phẳng $(P)$ theo giao tuyến là một đường tròn nên ta có

$R^{2} = a^{2} + r^{2} = 9 + 16 = 25 \Rightarrow R = 5$

Vậy phương trình mặt cầu tâm I, bán kính $R = 5$ là:

${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 25$

Chọn C.

Câu 5:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x - 4 y - 6 z - 2 = 0$ và mặt phẳng $(α) : 4 x + 3 y - 12 z + 10 = 0.$ Tìm phương trình mặt phẳng $(β)$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện: tiếp xúc với $(S)$ ; song song với $(α)$ và cắt trục $O z$ ở điểm có cao độ dương.

A. $4 x + 3 y - 12 z - 78 = 0$ .

B.

4 x + 3 y - 12 z - 26 = 0

.

C.

4 x + 3 y - 12 z + 78 = 0

.

D.

4 x + 3 y - 12 z + 26 = 0

.

Xem đáp án

Mặt cầu $(S)$ có tâm (1,2,3) bán kính $R = \sqrt{1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + 2} = 4$ .

Vì $(α) / / (β)$ nên phương trình $(α)$ có dạng: $4 x + 3 y - 12 z + d = 0, d \neq 10$ .

Vì $(β)$ tiếp xúc mặt cầu $(S)$ nên

$d_{(I, (β))} = R \Leftrightarrow \frac{| 4.1 + 3.2 - 12.3 + d |}{\sqrt{4^{2} + 3^{2} + {(- 12)}^{2}}} = 4 \Leftrightarrow | d - 26 | = 52 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} d = - 26 \\ d = 78 \end{array}$

Do $(β)$ cắt trục Oz ở điểm có cao độ dương nên chọn $d = 78$ .

Vậy phương trình mặt phẳng $(β) : 4 x + 3 y - 12 z + 78 = 0$ .

Chọn C.

Câu 6:

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng nào dưới đây song song với mặt phẳng (Oxz)?

A. $(P) : x - 3 = 0.$

B.

(Q) : y - 2 = 0

.

C.

(R) : z + 1 = 0

.

D.

(S) : x + z + 3 = 0

.

Xem đáp án

Chọn B

Câu 7:

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng $(α)$ : $x + y + z - 1 = 0$ và $(β) : 2 x - y + m z - m + 1 = 0$ , với m là tham số thực. Giá trị của m để $(α) ⊥ (β)$ là

A. -1.

B. 0.

C. 1.

D. -4.

.

Xem đáp án

Chọn A

Câu 8:

Trong không gian Oxyz, có bao nhiêu số thực m để mặt phẳng ( $P) : x + 2 y - 2 z - 1 = 0$ song song với mặt phẳng $(Q) : 2 x + (m + 2) y - 2 m z - m = 0 ?$

A. 1.

B. 0.

C. Vô số.

D. 2.

Xem đáp án

Chọn B

Câu 9:

Cho mặt cầu (S) có đường kính 10 cm và mặt phẳng (P) cách tâm mặt cầu một khoảng 4 cm. Khẳng định nào sau đây sai?

A. $(P)$ và $(S)$ có vô số điểm chung.

B. $(P)$ tiếp xúc với $(S)$ .

C. $(P)$ cắt $(S)$ theo một đường tròn bán kính 3 cm.

D. $(P)$ cắt $(S)$ .

Xem đáp án

Chọn C

Câu 10:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): ${(x + 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 12.$ Mặt phẳng nào sau đây cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là một đường tròn?

A. $(P_{1}) : x + y - z + 2 = 0$ .

B.

(P_{2}) : x + y - z - 5 = 0

.

C.

(P_{3}) : x + y - z + 10 = 0

.

D.

(P_{4}) : x + y - z - 10 = 0

.

Xem đáp án

Chọn A

Câu 11:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình ${(x - 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 4$ và mặt phẳng (P) có phương trình $4 x - 3 y - m = 0.$ Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) có đúng một điểm chung.

A. $m = 1$ .

B.

m = - 1

hoặc

m = - 21

.

C.

m = 1

hoặc

m = 21

.

D.

m = - 9

hoặc

m = 31

.

Xem đáp án

Chọn C

Câu 12:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình ${(x - 2)}^{2} + {(y - 4)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 4$ và mặt phẳng (P) có phương trình $x + m y + z - 3 m - 1 = 0$ . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn có đường kính bằng 2.

A. $m = 1$ .

B.

m = - 1

hoặc

m = - 2

.

C.

m = 1

hoặc

m = 2

.

D.

m = - 1

.

Xem đáp án

Chọn A

Câu 13:

Biết rằng trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, có hai mặt phẳng (P) và (Q) cùng thoả mãn các điều kiện sau: đi qua hai điểm $A (1; 1; 1)$ và $B (0; - 2; 2)$ đồng thời cắt các trục toạ độ $O x, O y$ tại hai điểm cách đều O. Giả sử $(P)$ có phương trình $x + b_{1} y + c_{1} z + d_{1} = 0$ và $(Q)$ có phương trình $x + b_{2} y + c_{2} z + d_{2} = 0.$

Giá trị biểu thức $b_{1} b_{2} + c_{1} c_{2}$ bằng

A. 7.

B. -9

C. -7

D. 9.

Xem đáp án

Chọn B

Câu 14:

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $(P) : 2 m x + (m^{2} + 1) y + (m^{2} - 1) z - 10 = 0$ và điểm $A (2; 11; - 5) .$ Biết khi m thay đổi thì luôn tồn tại hai mặt cầu cố định tiếp xúc với mặt phẳng $(P)$ và đi qua A. Tổng bán kính hai mặt cầu đó bằng

A. $7 \sqrt{2} .$

B.

15 \sqrt{2} .

C.

5 \sqrt{2} .

D.

12 \sqrt{2} .

Xem đáp án

Chọn D

Câu 15:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $(S) : {(x + 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 9$ tiếp xúc với hai mặt phẳng $(P) : 2 x - 2 y + z - 4 = 0$ và $(Q) : 2 x - y + 2 z - 4 = 0$ lần lượt tại các điểm $A, B .$ Độ dài đoạn AB là

A. $3 \sqrt{2} .$

B.

\sqrt{3} .

C.

\sqrt{2} .

D.

2 \sqrt{3} .

Xem đáp án

Chọn C

Câu 16:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $(S) : {(x + 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 9$ tiếp xúc với hai mặt phẳng $(P) : 2 x - 2 y + z - 4 = 0$ và $(Q) : 2 x - y + 2 z - 4 = 0$ lần lượt tại các điểm $A, B .$ Độ dài đoạn AB là

A. $3 \sqrt{2} .$

B.

\sqrt{3} .

C.

\sqrt{2} .

D.

2 \sqrt{3} .

Xem đáp án

Chọn C