164 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Chuyên đề Toán 12 Bài 3: Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số có đáp án

Câu 1:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x^{3} - 3 x + 1$ trên khoảng (0; 2) là

A. 1

B. 3

C. 0

D. -1

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Hàm số liên tục trên khoảng (0; 2).

Ta có $y^{'} = 3 x^{2} - 3$

$y^{'} = 0 \Leftrightarrow 3 x^{2} = 3 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \\ x = 1 \end{array}$

Vì ta đang xét hàm số trên khoảng (0; 2) nên ta loại giá trị $x = - 1$

Xét bảng biến thiên của hàm số trên khoảng (0; 2)

Giá trị nhỏ nhất của hàm số y=x^3-3x+1 trên khoảng (0; 2) là (ảnh 1)

Từ bảng biến thiên suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số $\min_{(0; 2)} y = - 1$ đạt tại $x = 1$

Chọn D

Câu 2:

Cho hàm số $f (x) = - \frac{1}{3} x^{6} + \frac{2}{5} x^{5} - \frac{1}{2} x^{2} + x + 1$ .

Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\max_{ℝ} f (x) = \frac{17}{30}$

B. $\max_{ℝ} f (x) = \frac{47}{30}$

C. $\max_{ℝ} f (x) = \frac{67}{30}$

D. Hàm số không tồn tại giá trị lớn nhất

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Tập xác định $D = ℝ$

Ta có $f^{'} (x) = - 2 x^{5} + 2 x^{4} - x + 1 = - (x - 1) (2 x^{4} + 1)$

Khi đó $f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow - (x - 1) (2 x^{4} + 1) = 0 \Leftrightarrow x = 1$

Bảng biến thiên

Cho hàm số y= -1/3x^6+2/5x65-1/3x62+x+1 . Khẳng định nào sau đây đúng? (ảnh 1)

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy $\max_{ℝ} f (x) = \frac{47}{30}$ tại $x = 1$

Chọn B

Câu 3:

Gọi a là giá trị lớn nhất của hàm số $f (x) = \frac{6 - 8 x}{x^{2} + 1}$ trên khoảng $(- \infty; 1)$

Khi đó giá trị của biểu thức $P = \frac{6 - 8 a}{a^{2} + 1}$ bằng

A. $\frac{22}{5}$

B. $\frac{6}{13}$

C. $- \frac{58}{65}$

D. $- \frac{74}{101}$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Hàm số liên tục trên khoảng $(- \infty; 1)$

Ta có $f^{'} (x) = \frac{8 x^{2} - 12 x - 8}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Khi đó $f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow 8 x^{2} - 12 x - 8 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 2 \notin (- \infty; 1) \\ x = - \frac{1}{2} \in (- \infty; 1) \end{array}$

Bảng biến thiên

Gọi a là giá trị lớn nhất của hàm số f(x)= 6-8x/ x^2+1 trên khoảng ( - vô cùng, 1) Khi đó giá trị của biểu thức P=6-8a/a^2+1 bằng (ảnh 1)

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy $\max_{(- \infty; 1)} f (x) = 8 \Rightarrow P = \frac{6 - 8 a}{a^{2} + 1} = - \frac{58}{65}$

Chọn C

Câu 4:

Cho hàm số $y = f (x) = \frac{x^{2} - x + 1}{x^{2} + x + 1}$ . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. $\min_{ℝ} f (x) = 1$

B. $\min_{ℝ} f (x) = \frac{1}{3}$

C. $\min_{ℝ} f (x) = 3$

D. Hàm số không có giá trị nhỏ nhất

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Tập xác định $D = ℝ$

Ta có $y = f (x) = 1 - \frac{2 x}{x^{2} + x + 1} \Rightarrow y^{'} = - \frac{2 (x^{2} + x + 1) - 2 x (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}} = \frac{2 x^{2} - 2}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Do đó $y^{'} = 0 \Leftrightarrow 2 x^{2} - 2 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$

Bảng biến thiên

Cho hàm số y=f(x)=x^2-x+1/ x62+x+1. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? (ảnh 1)

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy $\min_{ℝ} f (x) = \frac{1}{3}$ tại $x = 1$

Câu 5:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \frac{x^{2}}{x - 2}$ trên (2; 6) là

A. $\min_{(2; 6)} y = 8$

B. $\min_{(2; 6)} y = 4$

C. $\min_{(2; 6)} y = 3$

D. $\min_{(2; 6)} y = 9$

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Câu 6:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \frac{x^{2} - x + 1}{x - 1}$ trên khoảng $(1; + \infty)$ là

A. $\min_{(1; + \infty)} y = 3$

B. $\min_{(1; + \infty)} y = 1$

C. $\min_{(1; + \infty)} y = 2$

D. $\min_{(1; + \infty)} y = 0$

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Câu 7:

Mệnh đề nào sau đây là đúng với hàm số $y = \frac{x + 1}{\sqrt{x^{2} + 5}}$ trên tập xác định của nó?

A. Hàm số không có giá trị lớn nhất và không có giá trị nhỏ nhất

B. Hàm số không có giá trị lớn nhất và có giá trị nhỏ nhất

C. Hàm số có giá trị lớn nhất và có giá trị nhỏ nhất

D. Hàm số có giá trị lớn nhất và không có giá trị nhỏ nhất

Xem đáp án

Chọn đáp án D

Câu 8:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x + \frac{2}{x} - {(1 + \sqrt{2})}^{2}$ trên khoảng $(0; + \infty)$ là

A. Không tồn tại

B. -3

C.. $- 1 + \sqrt{2}$

D. 0

Xem đáp án

Chọn đáp án B

Câu 9:

Cho hàm số $y = - x^{3} + 3 x^{2} + 2$ . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên [0; 3]. Giá trị của $M + m$ bằng

A. 8

B. 10

C. 6

D. 4

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Hàm số xác định và liên tục trên [0; 3]

Ta có $y^{'} = 0 \Leftrightarrow - 3 x^{2} + 6 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \in [0; 3] \\ x = 2 \in [0; 3] \end{array}$

Khi đó $y (0) = 2, y (2) = 6, y (3) = 2$

Vậy $M = 6; m = 2 \Rightarrow M + m = 8$

Chọn A.

Câu 10:

Giá trị lớn nhất của hàm số

y = - x^{4} + 3 x^{2} + 1

trên [-1; 2] là

A. 29

B. 1

C. 3

D. $\frac{13}{4}$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Hàm số xác định và liên tục trên [-1; 2]

Ta có $y^{'} = - 4 x^{3} + 6 x - 2 x (2 x^{2} - 3) \Rightarrow y^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \in [- 1; 2] \\ x = \frac{\sqrt{6}}{2} \in [- 1; 2] \\ x = - \frac{\sqrt{6}}{2} \notin [- 1; 2] \end{array}$

Vì $y (0) = 1; y (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{13}{4}; y (2) = - 3; y (- 1) = 3$ nên $\max_{[- 1; 2]} y = \frac{13}{4}$

Chọn D

Câu 11:

Cho hàm số $y = \frac{x + 2}{x - 1}$ . Giá trị của ${(\min_{[2; 3]} y)}^{2} + {(\max_{[2; 3]} y)}^{2}$ bằng

A. 16

B. $\frac{45}{4}$

C. $\frac{25}{4}$

D. $\frac{89}{4}$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có $y^{'} = \frac{- 3}{{(x - 1)}^{2}} < 0, \forall x \neq 1$ , do đó hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $(- \infty; 1); (1; + \infty) \Rightarrow$ Hàm số nghịch biến trên [2; 3].

Do đó $\min_{[2; 3]} y = y (3) = \frac{5}{2}; \max_{[2; 3]} y = y (2) = 4$

Vậy ${(\min_{[2; 3]} y)}^{2} + {(\max_{[2; 3]} y)}^{2} = {(\frac{5}{2})}^{2} + 4^{2} = \frac{89}{4}$

Chọn D

Câu 12:

Giá trị lớn nhất của hàm số $f (x) = \frac{x^{2} - 8 x}{x + 1}$ trên đoạn [1; 3] bằng

A. $\frac{- 15}{4}$

B. $\frac{- 7}{2}$

C. -3

D. -4

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Hàm số $f (x) = \frac{x^{2} - 8 x}{x + 1}$ liên tục trên [1; 3]

$f^{'} (x) = \frac{(2 x - 8) (x + 1) - x^{2} + 8 x}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x^{2} + 2 x - 8}{{(x + 1)}^{2}}$

$f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x^{2} + 2 x - 8 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 2 \in [1; 3] \\ x = - 4 \notin [1; 3] \end{array}$

Ta thấy $y (1) = \frac{- 7}{2}; y (3) = \frac{- 15}{4}; y (2) = - 4$

Vậy $\max_{[1; 3]} f (x) = \frac{- 7}{2}$

Chọn B

Câu 13:

Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $y = x + \sqrt{4 - x^{2}}$

Giá trị của biểu thức

P = M + m

bằng

A. $2 (\sqrt{2} - 1)$

B. $2 (\sqrt{2} + 1)$

C. $\sqrt{2} + 1$

D. $\sqrt{2} - 1$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Tập xác định $D = [- 2; 2]$

Ta có $y^{'} = 1 - \frac{x}{\sqrt{4 - x^{2}}} = \frac{\sqrt{4 - x^{2}} - x}{\sqrt{4 - x^{2}}}, x \in (- 2; 2)$

$y^{'} = 0 \Leftrightarrow \sqrt{4 - x^{2}} = x \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \geq 0 \\ x = \pm 2 \in (- 2; 2) \end{cases}$
$y (\sqrt{2}) = 2 \sqrt{2}; y (- \sqrt{2}) = 0; y (2) = 2; y (- 2) = - 2$

Vậy $M = 2 \sqrt{2}, m = - 2 \Rightarrow P = 2 \sqrt{2} - 2 = 2 (\sqrt{2} - 1)$

Chọn A

Câu 14:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số

y = 2 x^{3} - 3 x^{2} + m

trên đoạn [0; 5] bằng 5 khi m bằng

A. 6

B. 10

C. 7

D. 5

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Hàm số xác định và liên tục trên $D = [0; 5]$

Ta có $y^{'} = 0 \Leftrightarrow 6 x^{2} - 6 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \in D \\ x = 1 \in D \end{array}$

$f (0) = m; f (1) = m - 1; f (5) = 175 + m$

Dễ thấy $f (5) > f (0) > f (1), \forall m \in ℝ$ nên $\min_{[0; 5]} f (x) = f (1) = m - 1$

Theo đề bài $\min_{[0; 5]} f (x) = 5 \Leftrightarrow m - 1 = 5 \Leftrightarrow m = 6$

Chọn A.

Câu 15:

Gọi A, B là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số $y = \frac{x + m^{2} + m}{x - 1}$ trên đoạn [2; 3]. Tất cả các giá trị thực của tham số m để $A + B = \frac{13}{2}$ là

A. $m = 1; m = - 2$

B. $m = - 2$

C. $m = \pm 2$

D. $m = - 1; m = 2$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Hàm số đã cho liên tục trên đoạn [2; 3]

Ta có $y^{'} = \frac{- (m^{2} + m + 1)}{{(x - 1)}^{2}} < 0, \forall m$

$\Rightarrow A = y (3) = \frac{m^{2} + m + 3}{2}; B = y (2) = m^{2} + m + 2$

Do đó $A + B = \frac{13}{2} \Leftrightarrow \frac{m^{2} + m + 3}{2} + m^{2} + m + 2 = \frac{13}{2}$

$\Leftrightarrow 3 m^{2} + m - 6 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 1 \\ m = - 2 \end{array}$

Chọn A

Câu 16:

Biết hàm số $y = x^{3} + 3 m x^{2} + 3 (2 m - 1) x + 1$ (với m là tham số) trên đoạn [-2; 0] đạt giá trị lớn nhất bằng 6. Các giá trị của tham số m là

A. $m = 1$

B. $m = 0$

C. $m = 3$

D. $m = - 1$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có $y^{'} = 3 x^{2} + 6 m x + 3 (2 m - 1) = 3 [x^{2} + 2 m x + 2 m - 1]$

$y^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \\ x = 1 - 2 m \end{array}$

Vì $y (- 2) = - 1; y (0) = 1$ và theo bài ra $\max_{[- 2; 0]} y = 6$ nên giá trị lớn nhất không đạt tại $x = - 2; x = 0$ . Do đó giá trị lớn nhất đạt tại $y (- 1)$ hoặc $y (1 - 2 m)$ .

Ta có $y (- 1) = - 3 m + 3, y (1 - 2 m) = {(1 - 2 m)}^{2} (m - 2) + 1$

- Trường hợp 1: Xét $- 3 m + 3 = 6 \Leftrightarrow m = - 1$

Thử lại với $m = - 1$ , ta có $y^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \in [- 2; 0] \\ x = 3 \notin [- 2; 0] \end{array}$ nên $m = - 1$ là một giá trị cần tìm.

- Trường hợp 2: Xét $\{\begin{cases} {(1 - 2 m)}^{2} (m - 2) + 1 = 6 \\ - 2 < 1 - 2 m < 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} {(1 - 2 m)}^{2} (m - 2) = 5 (1) \\ \frac{1}{2} < m < \frac{3}{2} \end{cases}$

Vì $\frac{1}{2} < m < \frac{3}{2} \Rightarrow m - 2 < 0 \Rightarrow {(1 - 2 m)}^{2} (m - 2) < 0$ nên (1) vô nghiệm

Chọn D

Câu 17:

Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ của hàm số $y = |x^{2} - 2 x - 2|$ trên đoạn [-1; 1] lần lượt là a, b thì giá trị của $a + b$ bằng

A. 4

B. 3

C. 0

D. 1

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Xét hàm $f (x) = x^{2} - 2 x - 2 \Rightarrow f^{'} (x) = 2 x - 2$

$f^{'} (x) = 2 x - 2 = 0 \Rightarrow x = 1$

Suy ra $\max_{[- 1; 1]} y = f (- 1) = 1; \min_{[- 1; 1]} y = f (1) = - 3$

Do đó giá trị lớn nhất $y = |- 3| = 3 \Rightarrow a = 3$ tại $x = 1$ và giá trị nhỏ nhất $y = 0 \Rightarrow b = 0$ tại $x = 1 - \sqrt{3}$

Vậy giá trị $a + b = 3 + 0 = 3$

Chọn B

Câu 18:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = |x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 68|$ trên đoạn [-1; 4] bằng

A. 48

B. 52

C. -102

D. 0

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Bảng biến thiên của hàm số $y = x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 68$ trên $[- 1; 4]$

Giá trị nhỏ nhất của hàm số y=|x^3-9x^2+24-68| trên đoạn [-1; 4] bằng (ảnh 1)

Suy ra bảng biến thiên của hàm số $y = |x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 68|$ trên đoạn $[- 1; 4]$ là

Giá trị nhỏ nhất của hàm số y=|x^3-9x^2+24-68| trên đoạn [-1; 4] bằng (ảnh 2)

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = |x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 68|$ trên đoạn $[- 1; 4]$ bằng 48.

Chọn A

Câu 19:

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số

y = |\frac{x^{2} + m x + m}{x + 1}|

trên đoạn [1; 2] bằng 2.
Số phần tử của tập S là

A. 3

B. 1

C. 4

D. 2

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Xét hàm số $y = f (x) = \frac{x^{2} + m x + m}{x + 1}$

Ta có $y^{'} = \frac{x^{2} + 2 x}{{(x + 1)}^{2}} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \notin [1; 2] \\ x = - 2 \notin [1; 2] \end{array}$

Mặt khác $f (1) = \frac{2 m + 1}{2}; f (2) = \frac{3 m + 4}{3}$

Do đó $\max_{[1; 2]} y = \max \{|\frac{2 m + 1}{2}|; |\frac{3 m + 4}{3}|\}$

- Trường hợp 1: $\max_{[1; 2]} y = |\frac{2 m + 1}{2}| = 2 \to [\begin{array}{l} m = \frac{3}{2} \\ m = - \frac{5}{2} \end{array}$

+) Với $m = \frac{3}{2} \Rightarrow |\frac{3 m + 4}{3}| = \frac{17}{6} > 2$ (loại)

+) Với $m = - \frac{5}{2} \Rightarrow |\frac{3 m + 4}{3}| = \frac{7}{6} < 2$ (thỏa mãn)

- Trường hợp 2: $\max_{[1; 2]} y = |\frac{3 m + 4}{3}| = 2 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = \frac{2}{3} \\ m = - \frac{10}{3} \end{array}$

+) Với $m = \frac{2}{3} \Rightarrow |\frac{2 m + 1}{2}| = \frac{7}{6} < 2$ (thỏa mãn)

+) Với $m = - \frac{10}{3} \Rightarrow |\frac{2 m + 1}{2}| = \frac{17}{6} > 2$ (loại)

Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn.

Chọn D

Câu 20:

Gọi S là tập các giá trị nguyên của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số $f (x) = |\frac{1}{4} x^{4} - 14 x^{2} + 48 x + m - 30|$ trên đoạn [0; 2] không vượt quá 30. Tổng các phần tử của S bằng

A. 108

B. 120

C. 210

D. 136

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Xét hàm số $g (x) = \frac{1}{4} x^{4} - 14 x^{2} + 48 x + m - 30$ trên đoạn [0; 2]

Ta có $g^{'} (x) = x^{3} - 28 x + 48 \Rightarrow g^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 6 \notin [0; 2] \\ x = 2 \in [0; 2] \\ x = 4 \notin [0; 2] \end{array}$

Để $\max_{[0; 2]} |g (x)| \leq 30 \Leftrightarrow \{\begin{cases} |g (0)| \leq 30 \\ |g (2)| \leq 30 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} |m - 30| \leq 30 \\ |m + 14| \leq 30 \end{cases} \Leftrightarrow 0 \leq m \leq 16$

$\Rightarrow m \in \{0; 1; 2; ...; 15; 16\}$

Tổng các phần tử của S là 136.

Chọn D

Câu 21:

Biết giá trị lớn nhất của hàm số $y = |\sqrt{4 - x^{2}} + x - \frac{1}{2}| + m$ bằng 18.

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $0 < m < 5$

B. $10 < m < 15$

C. $5 < m < 10$

D. $15 < m < 20$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Xét hàm số $g (x) = \sqrt{4 - x^{2}} + x - \frac{1}{2}$ liên tục trên tập xác định [-2; 2]

Ta có $g^{'} (x) = \frac{- x}{\sqrt{4 - x^{2}}} + 1 \Rightarrow g^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow \frac{- x}{\sqrt{4 - x^{2}}} + 1 = 0, x \in (- 2; 2)$

$\Leftrightarrow \sqrt{4 - x^{2}} = x \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \geq 0 \\ 4 - x^{2} = x^{2} \end{cases} \Leftrightarrow x = \sqrt{2} \in (- 2; 2)$

$g (- 2) = - \frac{5}{2}; g (\sqrt{2}) = \frac{- 1 + 4 \sqrt{2}}{2}; g (2) = \frac{3}{2}$

Do đó $\max_{[- 2; 2]} |g (x)| = \frac{5}{2}$ khi $x = - 2$ , suy ra giá trị lớn nhất của hàm số bằng $\frac{5}{2} + m$

Theo bài ra $\frac{5}{2} + m = 18 \Leftrightarrow m = 15, 5$ . Vậy $15 < m < 20$

Chọn D

Câu 22:

Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số $y = |x^{2} + 2 x + m - 4|$ trên đoạn [-2; 1] đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị của tham số m bằng

A. 1

B. 3

C. 4

D. 5

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đặt $f (x) = x^{2} + 2 x$

Ta có $f^{'} (x) = 2 x + 2; f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x = - 1 \in [- 2; 1]$

$f (- 2) = 0; f (1) = 3; f (- 1) = - 1$

Do đó $\max_{[- 2; 1]} f (x) = 3; \min_{[- 2; 1]} f (x) = - 1$

Suy ra $\max_{[- 2; 1]} y = \max \{|m - 5|; |m - 1|\}$

$\geq \frac{|m - 5| + |m - 1|}{2} \geq \frac{|5 - m + m - 1|}{2} = 2$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

$\{\begin{cases} |m - 5| = |m - 1| \\ (5 - m) (m - 1) \geq 0 \end{cases} \Rightarrow m = 3$ (thỏa mãn)

Câu 23:

Để giá trị lớn nhất của hàm số

y = |\sqrt{2 x - x^{2}} - 3 m + 4|

đạt giá trị nhỏ nhất thì m bằng

A. $m = \frac{3}{2}$

B. $m = \frac{5}{3}$

C. $m = \frac{4}{3}$

D. $m = \frac{1}{2}$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Tập xác định $D = [0; 2]$

Đặt $f (x) = \sqrt{2 x - x^{2}}, x \in D$ .

Ta có $f^{'} (x) = \frac{1 - x}{\sqrt{2 x - x^{2}}} \Rightarrow f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x = 1$

$f (0) = 0; f (2) = 0; f (1) = 1$

Suy ra $P = \max_{D} y = \max \{|3 m - 4|; |3 m - 5|\} \geq \frac{|3 m - 4| + |3 m - 5|}{2}$

$\geq \frac{|5 - 3 m + 3 m - 4|}{2} = \frac{1}{2}$

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow \{\begin{cases} |3 m - 4| = |3 m - 5| \\ (5 - 3 m) (3 m - 4) \geq 0 \end{cases} \Rightarrow m = \frac{3}{2}$ (thỏa mãn)

Suy ra giá trị lớn nhất của hàm số là nhỏ nhất khi $m = \frac{3}{2}$

Chọn A

Câu 24:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = f (x, m) = |x^{2} - 2 x + 5| + m x$ đạt giá trị lớn nhất bằng

A. 2

B. 5

C. 8

D. 9

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có $\min f (x, m) \leq f (0, m) = 5, \forall m \in ℝ$

Xét $m = 2$ ta có $f (x, 2) = |x^{2} - 2 x + 5| + 2 x \geq x^{2} - 2 x + 5 + 2 x \geq 5, \forall x \in ℝ$

Dấu bằng xảy ra tại $x = 0$ . Suy ra $\min f (x, 2) = 5, \forall x \in ℝ$

Do đó $\{\begin{cases} \min f (x, m) \leq 5, \forall m \in ℝ \\ \min f (x, 2) = 5, \forall x \in ℝ \end{cases} \Rightarrow \max (\min f (x, m)) = 5$ , đạt được khi $m = 2$

Chọn B.

Câu 25:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f (x, m) = |x^{2} - 4 x - 7| + m x$ đạt giá trị lớn nhất bằng

A. 7

B. -7

C. 0

D. 4

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Phương trình $x^{2} - 4 x - 7 = 0$ luôn có hai nghiệm trái dấu $x_{1} < 0 < x_{2}$

Trường hợp 1: Nếu $m \geq 0$

Ta có $\min f (x, m) \leq f (x, m) = m x_{1} \leq 0, \forall m \in ℝ$

Xét $m = 0$ ta có $f (x, 0) = |x^{2} - 4 x - 7| \geq 0, \forall x \in ℝ$ . Dấu bằng xảy ra tại $x = x_{1, 2}$ .

Suy ra $\min f (x, 0) = 0, \forall x \in ℝ$

Do đó $\{\begin{cases} \min f (x, m) \leq 0, \forall m \in ℝ \\ \min f (x, 0) = 0, \forall x \in ℝ \end{cases} \Rightarrow \max (\min f (x, m)) = 0$ khi $m = 0$

Trường hợp 2: Nếu $m < 0$

Ta có $\min f (x, m) \leq f (x_{2}, m) = m x_{2} < 0, \forall m \in ℝ \Rightarrow \max (\min f (x, m)) < 0$

So sánh cả hai trường hợp thì $\max (\min f (x, m)) = 0$ khi $m = 0$

Chọn C

Câu 26:

Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $f (x) = x^{5} - 5 x^{4} + 5 x^{3} + 2$ trên đoạn $[- 1; 2]$ . Khi đó $M - m$ có giá trị bằng

A. -6

B. -12

C. 12

D. 3

Xem đáp án

Chọn đáp án B

Câu 27:

Trên đoạn $[- \frac{1}{2}; \frac{7}{3}]$ hàm số $f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 2}{x + 1}$ đạt giá trị lớn nhất tại

A. $x_{0} = - \frac{1}{2}$

B. $x_{0} = 0$

C. $x_{0} = \frac{7}{3}$

D. $x_{0} = 2$

Xem đáp án

Chọn đáp án C

Câu 28:

Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f (x) = 2 x - 4 \sqrt{6 - x}$ trên $[- 3; 6]$ . Tổng $M + m$ có giá trị là

A. -12

B. -6

C. 18

D. -4

Xem đáp án

Chọn đáp án B

Câu 29:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f (x) = x + \sqrt{2 - x^{2}}$ trên tập xác định là

A. $- \sqrt{2}$

B. -1

C. 1

D. $\sqrt{2}$

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Câu 30:

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f (x) = x + \cos^{2} x$ trên đoạn $[0; \frac{π}{4}]$ là

A. $\max_{[0; \frac{π}{4}]} f (x) = \frac{1}{2}; \min_{[0; \frac{π}{4}]} f (x) = - 1$

B. $\max_{[0; \frac{π}{4}]} f (x) = \frac{π}{4}; \min_{[0; \frac{π}{4}]} f (x) = \frac{π}{6}$

C. $\max_{[0; \frac{π}{4}]} f (x) = \frac{π}{4} + \frac{1}{2}; \min_{[0; \frac{π}{4}]} f (x) = 1$

D. $\max_{[0; \frac{π}{4}]} f (x) = \frac{π}{2} + \frac{1}{4}; \min_{[0; \frac{π}{4}]} f (x) = \frac{1}{2}$

Xem đáp án

Chọn đáp án C

Câu 31:

Với giá trị nào của tham số m thì hàm số $f (x) = \frac{m x - 1}{x + m}$ đạt giá trị lớn nhất trên đoạn $[1; 3]$ bằng 2?

A. $m = 7$

B. $m = - 3$

C. $m = - 7$

D. $m = 3$

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Câu 32:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f (x) = - x^{3} - 3 x^{2} + \frac{1}{2} m$ trên đoạn $[- 1; 1]$ bằng 0 khi

A. $m = 4$

B. $m = 12$

C. $m = 0$

D. $m = 8$

Xem đáp án

Chọn đáp án D

Câu 33:

Với những giá trị nào của tham số m thì hàm số $f (x) = \frac{x - 1}{x + m^{2}}$ đạt giá trị lớn nhất trên đoạn $[2; 3]$ bằng ?

A. $m = - 2$

B. $m = 1$

C. $m = \pm 1$

D. $m = \pm 2$

Xem đáp án

Chọn đáp án C

Câu 34:

Giá trị lớn nhất của hàm số $f (x) = |x^{3} + 3 x^{2} - 72 x + 90| + m$ trên đoạn [-5; 5] bằng 2018. Trong các khẳng định dưới đây khẳng định nào đúng?

A. $1600 < m < 1700$

B. $m = 1600$

C. $m < 1500$

D. $1500 < m < 1600$

Xem đáp án

chọn đáp án A

Câu 35:

Để giá trị lớn nhất của hàm số $y = f (x) = |x^{3} - 3 x + 2 m - 1|$ trên đoạn $[2; 4]$ là nhỏ nhất thì giá trị của m thuộc khoảng nào dưới đây?

A. $(0; 1)$

B. $(- 1; 0)$

C. $(1; 2)$

D. $(- 2; - 1)$

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Câu 36:

Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số

y = |x^{3} - 3 x^{2} + x + m|

trên đoạn

[2; 4]

,

m_{0}

là giá trị của tham số m để M đạt giá trị nhỏ nhất. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $1 < m_{0} < 5$

B. $- 7 < m_{0} < - 5$

C. $- 4 < m_{0} < 0$

D. $m_{0} < - 8$

Xem đáp án

Chọn đáp án D

Câu 37:

Có bao nhiêu số nguyên m để giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = |x^{4} - 38 x^{2} + 120 x + 4 m|$ trên đoạn [0,2] đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó giá trị của tham số m bằng

A. 26

B. 13

C. 14

D. 27

Xem đáp án

Chọn đáp án D

Câu 38:

Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số $y = |x^{4} - 38 x^{2} + 120 x + 4 m|$ trên đoạn [0; 2] đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó giá trị của tham số m bằng

A. -12

B. -13

C. -14

D. -11

Xem đáp án

Chọn đáp án B

Câu 39:

Xét hàm số $y = |x^{2} + a x + b|$ với a, b là tham số. Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[- 1; 3]$ . Khi M nhận giá trị nhỏ nhất thì $a + 2 b$ bằng

A. 5

B. -4

C. 2

D. -3

Xem đáp án

Chọn đáp án B

Câu 40:

Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số $y = |x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + m|$ trên đoạn $[- 2; 4]$ bằng 16. Số phần tử của S là

A. 0

B. 2

C. 4

D. 1

Xem đáp án

Chọn đáp án D

Câu 41:

Gọi S là tập hợp các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số $y = |x^{3} - 3 x + m|$ trên đoạn [0; 2] bằng 3. Số phần tử của S là

A. 0

B. 2

C. 3

D. 1

Xem đáp án

Chọn đáp án B

Câu 42:

Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số $y = |x^{3} - 3 x^{2} + m|$ trên đoạn $[- 2; 4]$ bằng 50. Tổng các phần tử của tập S là

A. 4

B. 36

C. 140

D. 0

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Câu 43:

Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số $y = |\frac{1}{4} x^{4} - \frac{19}{2} x^{2} + 30 x + m - 20|$ trên đoạn $[0; 2]$ không vượt quá 20. Tổng các phần tử của S bằng

A. 210

B. -195

C. 105

D. 300

Xem đáp án

Chọn đáp án C

Câu 44:

Cho hàm số $f (x) = |x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2} + a|$ . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn $[0; 2]$ . Có bao nhiêu số nguyên a thuộc đoạn $[- 3; 2]$ sao cho ?

A. 7

B. 5

C. 6

D. 4

Xem đáp án

Chọn đáp án D

Câu 45:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = f (x, m) = |x^{2} - 2020 x + 2019| + m x$ đạt giá trị lớn nhất khi tham số m bằng

A. 2020

B. 2019

C. 0

D. 2018

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Câu 46:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = f (x, m) = |x^{2} + 6 x - 10| + m x$ đạt giá trị lớn nhất bằng

A.6

B. -6

C. 0

D. 10

Xem đáp án

Chọn đáp án C

Câu 47:

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình vẽ

Giá trị lớn nhất của hàm số trên R là

A. $\max_{ℝ} y = - \frac{1}{2}$

B. $\max_{ℝ} y = - 1$

C. $\max_{ℝ} y = 1$

D. $\max_{ℝ} y = 3$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Dựa vào bảng biên thiên ta có hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 3 tại $x = - \frac{1}{2}$

Chọn D

Câu 48:

Hàm số $y = f (x)$ liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình bên dưới

Biết $f (- 4) > f (8)$ , khi đó giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên R bằng

A. 9

B. $f (- 4)$

C. $f (8)$

D. -4

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Từ bảng biến thiên ta có $f (x) \geq f (- 4), \forall x \in (- \infty; 0]$ và $f (x) \geq f (8), \forall x \in (0; + \infty)$ .

Mặt khác $f (- 4) > f (8)$ suy ra $\forall x \in (- \infty; + \infty)$ thì $f (x) \geq f (8)$

Vậy $\min_{ℝ} f (x) = f (8)$

Chọn C

Câu 49:

Cho hàm số $y = f (x)$ xác định trên tập hợp $D = (- \infty; - 1] \cup [1; \frac{3}{2}]$ và có bảng biến thiên như sau

Cho hàm số y= f(x) xác định trên tập hợp D=( âm vô cùng, -1] hợp [1,3/2] và có bảng biến thiên như sau (ảnh 1)

Khẳng định đúng là

A. $\max_{D} f (x) = 0$ ; không tồn tại

\min_{D} f (x)

B. $\max_{D} f (x) = 0$ ;

\min_{D} f (x) = - \sqrt{5}

C. $\max_{D} f (x) = 0$ ;

\min_{D} f (x) = - 1

D.

\min_{D} f (x) = 0

; không tồn tại

\max_{D} f (x)

Xem đáp án

Dựa vào bảng biến thiên thì $\max_{D} f (x) = f (\pm 1) = 0; \min_{D} f (x) = f (\frac{3}{2}) = - \sqrt{5}$

Chọn B

Câu 50:

Cho hàm số

y = f (x)

có đồ thị trên khoảng

(- 3; 3)

như hình bên dưới

Khẳng định đúng là

A. Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 3

B. Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 4

C. Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng -3

D. Hàm số không có giá trị lớn nhất

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Từ đồ thị của hàm số $y = f (x)$ ta thấy rằng hàm số $y = f (x)$ xác định, liên tục và $f (x) < 4$ , với mọi , nên hàm số không có giá trị $x \in (- 3; 3)$ lớn nhất

Chọn D

Câu 51:

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục và có bảng biến thiên trên đoạn $[0; 2]$ như sau

Giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số $y = f (x)$ trên đoạn $[0; 2]$ là

A. $M = 4$ và m=1

B. M=0 và m=2

C. M=2 và m=0

C. M=1 và m=4

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy $m = \min_{[0; 2]} y = 1$ khi $x = 2$ và $M = \max_{[0; 2]} y = 4$ khi x=0

Chọn A

Câu 52:

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục và có bảng biến thiên trên đoạn $[- 2; 4]$ như sau

Giá trị lớn nhất của hàm số $y = f (x)$ trên đoạn $[- 2; 4]$ bằng

A. $f (- 2)$

B. $f (0)$

C. $f (2)$

D. $f (4)$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy $\max_{[- 2; 4]} y = 17$ khi x=4

Chọn D

Câu 53:

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên đoạn $[- 1; 3]$ và có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn $[- 1; 3]$ . Giá trị của $M - m$ bằng

A. 1

B. 3

C. 4

D. 5

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Dựa vào đồ thị suy ra $M = f (3) = 3; m = f (2) = - 2$

Vậy $M - m = 5$

Chọn D

Câu 54:

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên đoạn $[- 1; 1]$ và có đồ thị như hình vẽ.

Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn $[- 1; 1]$ . Giá trị của $M - m$ bằng

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Từ đồ thị ta thấy $M = 1; m = 0$ nên $M - m = 1$

Chọn B

Câu 55:

Cho đồ thị hàm số $y = f^{'} (x)$ như hình vẽ

Hàm số $y = f (x)$ đạt giá trị lớn nhất trên khoảng $[1; 3]$ tại $x_{0}$ . Khi đó giá trị của $x_{0}^{2} - 2 x_{0} + 2019$ bằng bao nhiêu?

A. 2018

B. 2019

C. 2021

D. 2022

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Dựa vào đồ thị của hàm số $y = f^{'} (x)$ ta có bảng biến thiên như sau

Cho đồ thị hàm số y=f'(x) như hình vẽ Hàm số y=f(x) đạt giá trị lớn nhất trên khoảng [1,3] tại x0 . (ảnh 2)

Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số $y = f (x)$ đạt giá trị lớn nhất trên khoảng $[1; 3]$ tại $x_{0} = 2$ .

Vậy $x_{0}^{2} - 2 x_{0} + 2019 = 2019$

Chọn B

Câu 56:

Giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số

y = 2 \cos 2 x + 2 \sin x

là

A. $M = \frac{9}{4}; m = - 4$

B. $M = 4; m = 0$

C. $M = 0; m = - \frac{9}{4}$

D. $M = 4; m = - \frac{9}{4}$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có $y = 2 \cos 2 x + 2 \sin x = 2 (1 - 2 \sin^{2} x) + 2 \sin x = - 4 \sin^{2} x + 2 \sin x + 2$

Đặt $t = \sin x, t \in [- 1; 1]$ , ta được $y = - 4 t^{2} + 2 t + 2$

Ta có $y^{'} = 0 \Leftrightarrow - 8 t + 2 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{4} \in (- 1; 1)$

Vì $\{\begin{cases} y (- 1) = - 4 \\ y (1) = 0 \\ y (\frac{1}{4}) = \frac{9}{4} \end{cases}$ nên $M = \frac{9}{4}; m = - 4$

Chọn A

Câu 57:

Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \frac{\cos^{2} x + |\cos x| + 1}{|\cos x| + 1}$ bằng

A. $\frac{3}{2}$

B. $\frac{5}{2}$

C. $\frac{7}{2}$

D. 3

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đặt $t = |\cos x| \Rightarrow 0 \leq t \leq 1$ , ta được $y = f (t) = \frac{t^{2} + t + 1}{t + 1}$ với $0 \leq t \leq 1$

Vì $f^{'} (t) = \frac{t^{2} + 2 t}{{(t + 1)}^{2}} \geq 0, \forall t \in [0; 1]$ nên $\min_{[0; 1]} f (t) = f (0) = 1; \max_{[0; 1]} f (t) = f (1) = \frac{3}{2}$

Suy ra tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho bằng

$\min_{[0; 1]} f (t) + \max_{[0; 1]} f (t) = 1 + \frac{3}{2} = \frac{5}{2}$

Chọn B

Câu 58:

Giá trị lớn nhất M của hàm số $y = \cos^{4} x + \sqrt{3} \sin^{2} x + 2$ là

A. $M = 2 + \sqrt{3}$

B. $M = 3$

C. $M = \frac{5}{4} + \sqrt{3}$

D. $M = 3 + \sqrt{3}$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đặt $t = \cos^{2} x \Rightarrow 0 \leq t \leq 1$ , ta được $y = t^{2} + \sqrt{3} (1 - t) + 2$ với $t \in [0; 1]$

Ta có $y^{'} = 2 t - \sqrt{3} = 0 \Leftrightarrow t = \frac{\sqrt{3}}{2} \in (0; 1)$

Vì $y (0) = 2 + \sqrt{3}; y (\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{5}{4} + \sqrt{3}; y (1) = 3$ nên $M = 2 + \sqrt{3}$

Chọn A

Câu 59:

Cho hàm số $y = \frac{|\sin^{2} x - (m + 1) \sin x + 2 m + 2|}{\sin x - 2}$ (với m là tham số thực).

Giá trị lớn nhất của hàm số đạt giá trị nhỏ nhất khi m bằng

A. $- \frac{3}{2}$

B. $\frac{1}{2}$

C. $\frac{3}{2}$

D. $- \frac{1}{2}$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Xét $f (x) = \frac{\sin^{2} x - \sin x + 2}{\sin x - 2}$

Đặt $t = \sin x \Rightarrow - 1 \leq t \leq 1$ , ta được $f (t) = \frac{t^{2} - t + 2}{t - 2}$ với $t \in [- 1; 1]$

Ta có $f^{'} (t) = \frac{t^{2} - 4 t}{{(t - 2)}^{2}} = 0 \Rightarrow t^{2} - 4 t = 0 \Rightarrow [\begin{array}{l} t = 0 \in (- 1; 1) \\ t = 4 \notin (- 1; 1) \end{array}$

Vì $f (- 1) = \frac{- 4}{3}; f (1) = - 2; f (0) = - 1$ nên $\max_{[- 1; 1]} f (t) = - 1$ và $\min_{[- 1; 1]} f (t) = - 2$

Hay $- 2 \leq \frac{\sin^{2} x - \sin x + 2}{\sin x - 2} \leq - 1, \forall x$

Mặt khác $y = |\frac{\sin^{2} x - \sin x + 2}{\sin x - 2} - m| = |f (x) - m|, \forall - 2 \leq f (x) \leq - 1$

Do đó $\max_{ℝ} y = \max_{[- 2; - 1]} |f (x) - m| = \max \{|m + 2|, |m + 1|\} = \max \{|m + 2|, |- m - 1|\}$

$\Rightarrow \max y \geq \frac{|m + 2| + |- m - 1|}{2} \geq \frac{|(m + 2) + (- m - 1)|}{2} = \frac{1}{2}$

Dấu bằng đạt được khi $\{\begin{cases} |m + 2| = |- m - 1| \\ (m + 2) (- m - 1) \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow m = - \frac{3}{2}$

Chọn A

Câu 60:

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = |1 + 2 \cos x| + |1 + 2 \sin x|$ bằng

A. $\sqrt{2} - 1$

B. $\sqrt{3} - 1$

C. 1

D. $2 - \sqrt{3}$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có $P^{2} = 6 + 4 (\sin x + \cos x) + 2 |1 + 2 (\sin x + \cos x) + 4 \sin x \cos x|$

Đặt $t = \sin x + \cos x = \sqrt{2} . \sin (x + \frac{π}{4})$ với $|t| \leq \sqrt{2} \Rightarrow \sin x \cos x = \frac{t^{2} - 1}{2}$

Xét $y = P^{2} = 6 + 4 t + 2 |2 t^{2} + 2 t - 1| = \{\begin{cases} 4 t^{2} + 8 t + 4 k h i t \leq \frac{- 1 - \sqrt{3}}{2}; t \geq \frac{- 1 + \sqrt{3}}{2} \\ - 4 t^{2} + 8 k h i \frac{- 1 - \sqrt{3}}{2} < t < \frac{- 1 + \sqrt{3}}{2} \end{cases}$

$\Rightarrow y^{'} = \{\begin{cases} 8 t + 8 k h i t < \frac{- 1 - \sqrt{3}}{2}; t > \frac{- 1 + \sqrt{3}}{2} \\ - 8 t k h i \frac{- 1 - \sqrt{3}}{2} < t < \frac{- 1 + \sqrt{3}}{2} \end{cases}$

Bảng biến thiên

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= | 1+2cosx|+|1+2sinx| bằng (ảnh 1)

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra $\min_{[- \sqrt{2}; \sqrt{2}]} f (t) = 4 - 2 \sqrt{3} = {(\sqrt{3} - 1)}^{2}$

$\Rightarrow \min P = \sqrt{3} - 1$

Chọn B

Câu 61:

Giá trị lớn nhất của hàm số $f (x) = \sin x + \cos 2 x$ trên đoạn $[0; π]$ là

A. $\max_{[0; π]} y = \frac{5}{4}$

B. $\max_{[0; π]} y = 1$

C. $\max_{[0; π]} y = 2$

D. $\max_{[0; π]} y = \frac{9}{8}$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đặt $t = \sin x \Rightarrow \cos 2 x = 1 - 2 \sin^{2} x = 1 - 2 t^{2}$ , với $x \in [0; π] \Rightarrow t \in [0; 1]$

Ta được với $t \in [0; 1]$

Ta có $f^{'} (t) = - 4 t + 1 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{4} \in (0; 1)$

Do $f (0) = 1; f (\frac{1}{4}) = \frac{9}{8}; f (1) = 0$ nên $\max_{[0; 1]} f (t) = \frac{9}{8}$

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là $\max_{[0; π]} y = \frac{9}{8}$

Chọn D

Câu 62:

Cho hàm số $y = f (x)$ có bảng biến thiên như sau

Biết giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lần lượt là M, m. Giá trị biểu thức $P = M^{2} + m^{2}$ là

A. $P = \frac{1}{4}$

B. $P = \frac{1}{2}$

C. 2

D. 1

Xem đáp án

Chọn đáp án B

Câu 63:

Cho hàm số $y = f (x)$ xác định và liên tục trên khoảng $(- 3; 2)$ , $\lim_{x \to {(- 3)}^{+}} f (x) = - 5, \lim_{x \to 2^{-}} f (x) = 3$

và có bảng biến thiên như sau

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên khoảng

(- 3; 2)

B. Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng -5

C. Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 3

D. Giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng

(- 3; 2)

bằng 0.

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Câu 64:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đồ thị trên khoảng $(- 2; 2)$ như hình bên. Khẳng định đúng là

A. Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 2

B. Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 1

C. Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng -1

D. Hàm số không có giá trị lớn nhất

Xem đáp án

Chọn dáp án A

Câu 65:

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên $[- 5; 3)$ và có bảng biến thiên như sau

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số không có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị lớn nhất trên [-5; 3)

B. Hàm số không có giá trị nhỏ nhất và có giá trị lớn nhất trên [-5; 3)

C. Hàm số có giá trị nhỏ nhất và có giá trị lớn nhất trên [-5; 3)

D. Hàm số có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị lớn nhất trên [-5; 3)

Xem đáp án

Chọn đáp án D

Câu 66:

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên và có bảng biến thiên như sau

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số

y = f (x)

không có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị lớn nhất

B. Hàm số

y = f (x)

không có giá trị nhỏ nhất và có giá trị lớn nhất

C. Hàm số

y = f (x)

có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị lớn nhất

D. Hàm số

y = f (x)

có giá trị nhỏ nhất và có giá trị lớn nhất

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Câu 67:

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục và có bảng biến thiên trong đoạn $[- 6; 0]$ như sau

Giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số $y = f (x)$ trên đoạn $[- 6; 0]$ là

A. M=7 và m=0

B. M=0 và m=6

C. M=6 và m=7

D. M=0 và m=7

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Câu 68:

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên đoạn $[- 1; 4]$ và có bảng biến thiên như sau

Mệnh đề nào sau đây sai

A. Hàm số

y = f (x)

không có giá trị lớn nhất trên khoảng

(- 1; 4)

B. Hàm số

y = f (x)

không có giá trị lớn nhất trên nửa khoảng

[- 1; 4)

C. Hàm số

y = f (x)

không có giá trị nhỏ nhất trên nửa khoảng

(- 1; 4]

D. Hàm số

y = f (x)

không có giá trị nhỏ nhất trên đoạn

[- 1; 4]

Xem đáp án

Chọn đáp án D

Câu 69:

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên và có bảng biến thiên như sau

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số

y = f (x)

không có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị lớn nhất

B. Hàm số

y = f (x)

không có giá trị nhỏ nhất và có giá trị lớn nhất

C. Hàm số

y = f (x)

có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị lớn nhất

D. Hàm số

y = f (x)

có giá trị nhỏ nhất và có giá trị lớn nhất

Xem đáp án

Chọn đáp án B

Câu 70:

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên $[- 1; 3]$ và có bảng biến thiên như sau

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = f (x) + 2$ bằng trên đoạn $[- 1; 1]$ bằng

A.-4

B. -1

C. -3

D. -2

Xem đáp án

Chọn đáp án D

Câu 71:

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên đoạn R và có đồ thị như hình vẽ

Giá trị nhỏ nhất trên đoạn $[- 1; 1]$ của hàm số là

A. $\min y = - 1$

B. $\min y = 1$

C. $\min y = 0$

D. $\min y = - 2$

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Câu 72:

Cho đồ thị hàm số $y = f' (x)$ như hình vẽ

Hàm số $y = f (x)$ đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn [0; 2] tại x bằng bao nhiêu?

A. $x = \frac{2}{3}$

B. $x = 0$

C. x=1

D. x=2

Xem đáp án

Chọn đáp án C

Câu 73:

Cho hàm số $y = f (x) = \frac{a x + b}{c x + b}$ xác định và liên tục trên khoảng $(- \infty; \frac{1}{2})$ và $(\frac{1}{2}; + \infty)$ . Đồ thị hàm số $y = f (x)$ là đường cong trong hình vẽ dưới đây

Cho hàm số y= f(x)= ax+b/cx+b xác định và liên tục trên khoảng ( âm vô cùng, 1/2) và ( 1/2, dương vô cùng) . (ảnh 1)

Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau

A. $\max_{[- 1; 0]} f (x) = f (0)$

B. $\max_{[- 3; 0]} f (x) = f (- 3)$

C. $\max_{[3; 4]} f (x) = f (4)$

D. $\max_{[1; 2]} f (x) = f (2)$

Xem đáp án

Chọn đáp án B

Câu 74:

Giá trị lớn nhất của hàm số $y = 4 {(\frac{x}{x^{2} + 1})}^{3} + \frac{6 x}{x^{2} + 1} - 1$ bằng

A. $\frac{5}{2}$

B. -5

C. $- \frac{9}{2}$

D. 3

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Do $x^{2} + 1 \geq 2 |x| \Rightarrow \frac{|x|}{x^{2} + 1} \leq \frac{1}{2}$

Đặt $t = \frac{x}{x^{2} + 1} \Rightarrow |t| \leq \frac{1}{2}$

Khi đó $y = 4 t^{3} + 6 t - 1$ với $t \in [- \frac{1}{2}; \frac{1}{2}]$

Vì $y^{'} = 12 t^{2} + 6 > 0, \forall t$ nên hàm số đồng biến trên $[- \frac{1}{2}; \frac{1}{2}]$

Do đó $\max_{[- \frac{1}{2}; \frac{1}{2}]} y = y (\frac{1}{2}) = \frac{5}{2}$

Chọn A

Câu 75:

Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

y = \sqrt{x - 1} + \sqrt{- x + 9}

lần lượt là

A. $2; \sqrt{2}$

B. $4; 2$

C. $4; \sqrt{2}$

D. $4; 2 \sqrt{2}$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Tập xác định $D = [1; 9]$

Ta có $y^{'} = \frac{1}{2 \sqrt{x - 1}} - \frac{1}{2 \sqrt{- x + 9}} = 0 \Rightarrow \sqrt{x - 1} = \sqrt{- x + 9} \Rightarrow x = 5 \in (1; 9)$

Vì $y (1) = y (9) = 2 \sqrt{2}; y (5) = 4$ nên $\max y = 4; \min y = 2 \sqrt{2}$ .

Chọn D

Câu 76:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \sqrt{x + 1} - \sqrt{3 - x} - \sqrt{(x + 1) (3 - x)}$ bằng

A. $\frac{- 5}{2}$

B. -2

C. -4

D. 2

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Tập xác định của hàm số là D= [ -1,3]

Đặt $t = \sqrt{x + 1} - \sqrt{3 - x} \Rightarrow t^{2} = 4 - 2 \sqrt{(x + 1) (3 - x)} \Rightarrow \sqrt{(x + 1) (3 - x)} = \frac{4 - t^{2}}{2}$

Do $t^{2} = 4 - 2 \sqrt{(x + 1) (3 - x)} \leq 4, \forall x \in [- 1; 3]$ , từ đó suy ra $- 2 \leq t \leq 2$

Bài toán quy về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $g (t) = \frac{t^{2}}{2} + t - 2$ trên đoạn $[- 2; 2]$ .

Ta có $g^{'} (t) = t + 1 = 0 \Leftrightarrow t = - 1 \in (- 2; 2)$

Lại có $g (- 2) = - 2; g (2) = 2; g (- 1) = \frac{- 5}{2}$

Suy ra giá trị nhỏ nhất bằng $\frac{- 5}{2}$

Chọn A

Câu 77:

Giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số $y = \sin^{4} x - 4 \sin^{2} x + 5$ là

A. $M = 2; m = - 5$

B. $M = 5; m = 2$

C. M= 5, m= -2

D. $M = - 2; m = - 5$

Xem đáp án

Chọn đáp án B

Câu 78:

Giá trị nhỏ nhất m của hàm số $y = - \cos^{3} x - \sin^{2} x + \cos x - 3$ là

A. $m = 3$

B. $m = - \frac{113}{27}$

C. $m = \frac{113}{27}$

D. $m = - 3$

Xem đáp án

Chọn đáp án B

Câu 79:

Giá trị lớn nhất của hàm số $y = \sqrt{2} \cos 2 x + 4 \sin x$ trên đoạn $[0; \frac{π}{2}]$ là

A. $M = 4$

B. $M = 2$

C. $M = - \sqrt{2}$

D. $M = 2 \sqrt{2}$

Xem đáp án

Chọn đáp án D

Câu 80:

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \frac{3 \cos^{4} x + 4 \sin^{2} x}{3 \sin^{4} x + 2 \cos^{2} x}$ theo thứ tự là

A. $\frac{8}{5}; \frac{4}{3}$

B. $- \frac{3}{2}; \frac{4}{3}$

C. $\frac{1}{2}; \frac{1}{3}$

D. $\frac{3}{2}; - \frac{4}{3}$

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Câu 81:

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \frac{\sqrt{x + 1} + 2 \sqrt{3 - x} + 2}{2 \sqrt{x + 1} + \sqrt{3 - x} + 1}$ theo thứ tự là

A. $2; \frac{- 4}{5}$

B. $2; \frac{4}{5}$

C. $\frac{4}{5}; - 2$

D. $\frac{- 4}{5}; - 2$

Xem đáp án

Chọn đáp án B

Câu 82:

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = 2 \cos^{6} x - \frac{3}{4} \cos 2 x$ theo thứ tự là

A. 4 và $\frac{1}{4}$

B. 4 và $\frac{1}{2}$

C. 2 và $\frac{1}{2}$

D. $\frac{5}{4}$ và $\frac{1}{4}$

Xem đáp án

Chọn đáp án D

Câu 83:

Giá trị lớn nhất của hàm số $y = f (x) = \sqrt{x + 1} + \sqrt{3 - x}$ là

A. $\max_{[- 1; 3]} y = 2 \sqrt{3}$

B. $\max_{[- 1; 3]} y = 2 \sqrt{2}$

C. $\max_{[- 1; 3]} y = 2$

D. $\max_{[- 1; 3]} y = 3 \sqrt{2}$

Xem đáp án

Chọn đáp án C

Câu 84:

Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \sqrt{1 - x^{2}} + \sqrt[3]{{(1 - x^{2})}^{2}}$ bằng

A. 1

B. 2

C. 3

D. 5

Xem đáp án

Chọn đáp án B

Câu 85:

Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f (x) = x^{6} + 4 {(1 - x^{2})}^{3}$ trên đoạn $[- 1; 1]$ . Khi đó tỉ số $\frac{M}{m}$ bằng

A. $\frac{9}{4}$

B. $\frac{9}{16}$

C. 9

D. $\frac{4}{9}$

Xem đáp án

Chọn đáp án C

Câu 86:

Cho biểu thức $P = \frac{x^{2} + x y + y^{2}}{x^{2} - x y + y^{2}}$ với $x^{2} + y^{2} \neq 0$ . Giá trị nhỏ nhất của P bằng

A. 3

B. $\frac{1}{3}$

C. 1

D. 4

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Nếu $y = 0$ thì P =1. (1)
Nếu $y \neq 0$ thì $P = \frac{x^{2} + x y + y^{2}}{x^{2} - x y + y^{2}} = \frac{{(\frac{x}{y})}^{2} + (\frac{x}{y}) + 1}{{(\frac{x}{y})}^{2} - (\frac{x}{y}) + 1} .$

Đặt $t = \frac{x}{y}$ , khi đó $P = f (t) = \frac{t^{2} + t + 1}{t^{2} - t + 1} .$

$f^{'} (t) = \frac{- 2 t^{2} + 2}{{(t^{2} - t + 1)}^{2}} = 0 \Leftrightarrow - 2 t^{2} + 2 = 0 \Leftrightarrow t = \pm 1.$

Bảng biến thiên

Cho biểu thức P= x^2+xy+y^2/ x^2-xy+y^2 với x^2+y^2 khác 0. Giá trị nhỏ nhất của P bằng (ảnh 1)

Dựa vào bảng biến thiên ta có $P = f (t) \geq \frac{1}{3} .$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $P = f (t) \geq \frac{1}{3} \Rightarrow \min P = \frac{1}{3}$ .

Chọn B.

Câu 87:

Cho hai số thực x,y thỏa mãn

x \geq 0; y \geq 0

và

x + y = 1

. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức

P = \frac{x}{y + 1} + \frac{y}{x + 1}

lần lượt là

A. $\frac{1}{2}$ và 1

B. 0 và 1

C. $\frac{2}{3}$ và 1

D. 1 và 2

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có $P = \frac{x}{y + 1} + \frac{y}{x + 1} = \frac{x (x + 1) + y (y + 1)}{(x + 1) (y + 1)} = \frac{{(x + y)}^{2} - 2 x y + 1}{x y + x + y + 1} = \frac{2 - 2 x y}{2 + x y} .$

Đặt $t = x y$ ta được $P = \frac{2 - 2 t}{2 + t} .$

Vì $x \geq 0; y \geq 0 \Rightarrow t \geq 0.$

Mặt khác $1 = x + y \geq 2 \sqrt{x y} \Leftrightarrow x y \leq \frac{1}{4} \Rightarrow t \leq \frac{1}{4} .$

Khi đó, bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số $g (t) = \frac{2 - 2 t}{2 + t}$ trên $[0; \frac{1}{4}] .$

Xét hàm số $g (t) = \frac{2 - 2 t}{2 + t}$ xác định và liên tục trên $[0; \frac{1}{4}] .$

Ta có $g^{'} (t) = \frac{- 6}{{(2 + t)}^{2}} < 0$ với $\forall t \in (0; \frac{1}{4})$

$\Rightarrow$ hàm số $g (t)$ nghịch biến trên đoạn $[0; \frac{1}{4}] .$

Do đó $\{\begin{cases} \min_{[0; \frac{1}{4}]} g (t) = g (\frac{1}{4}) = \frac{2}{3} \\ \max_{[0; \frac{1}{4}]} g (t) = g (0) = 1 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} \min P = \frac{2}{3} \\ \max P = 1 \end{cases}$ .

Chọn C.

Câu 88:

Cho x, y là các số thực thỏa mãn ${(x - 3)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 5$ . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \frac{3 y^{2} + 4 x y + 7 x + 4 y - 1}{x + 2 y + 1}$ bằng

A. 3

B. $\sqrt{3}$

C. $\frac{114}{11}$

D. $2 \sqrt{3}$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

${(x - 3)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 5 \Rightarrow x^{2} + y^{2} - 6 x - 2 y + 5 = 0.$

$\begin{array}{l} P = \frac{(3 y^{2} + 4 x y + 7 x + 4 y - 1) + (x^{2} + y^{2} - 6 x - 2 y + 5)}{x + 2 y + 1} \\ = \frac{4 y^{2} + 4 x y + x^{2} + x + 2 y + 4}{x + 2 y + 1} = \frac{{(2 y + x)}^{2} + (x + 2 y) + 4}{x + 2 y + 1} \end{array}$

Đặt $t = x + 2 y .$

$(1^{2} + 2^{2}) [{(x - 3)}^{2} + {(y - 1)}^{2}] \geq {[(x - 3) + (2 y - 2)]}^{2}$

$\Rightarrow {(x + 2 y - 5)}^{2} \leq 25 \Leftrightarrow 0 \leq x + 2 y \leq 10.$

Ta được $P = f (t) = \frac{t^{2} + t + 4}{t + 1} = t + \frac{4}{t + 1}, 0 \leq t \leq 10.$

Xét $f^{'} (t) = 1 - \frac{4}{{(t + 1)}^{2}} = 0 \Rightarrow {(t + 1)}^{2} = 4 \Rightarrow [\begin{array}{l} t = 1 \in (0; 10) \\ t = - 3 \notin (0; 10) \end{array}$

Vì $f (0) = 4; f (10) = \frac{114}{11}; f (1) = 3 \Rightarrow \min P = 3$ khi $t = 1$ . Chọn A.

Câu 89:

Gọi $x_{0}, y_{0}, z_{0}$ là ba số thực dương sao cho biểu thức $P = \frac{3}{2 x + y + \sqrt{8 y z}} - \frac{8}{\sqrt{2 (x^{2} + y^{2} + z^{2}) + 4 x z} + 3} - \frac{1}{x + y + z}$

đạt giá trị nhỏ nhất.

Tổng $x_{0} + y_{0} + z_{0}$ bằng

A. 3

B. 1

C. $3 \sqrt{3}$

D. $\frac{3}{2}$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có $P = \frac{3}{2 x + y + 2 \sqrt{2 y z}} - \frac{8}{\sqrt{2 y^{2} + 2 {(x + z)}^{2}} + 3} - \frac{1}{x + y + z}$

$\geq \frac{3}{2 (x + y + z)} - \frac{8}{(x + y + z) + 3} - \frac{1}{x + y + z}$ .

Đặt $x + y + z = t > 0$ . Khi đó $P = f (t) = \frac{1}{2 t} - \frac{8}{t + 3}, (t > 0)$ .

Ta có $f^{'} (t) = \frac{3 (t - 1) (5 t + 3)}{2 t^{2} {(t + 3)}^{2}} = 0 \Leftrightarrow t = 1$ .

Bảng biến thiên

Gọi x0,y0,z0 là ba số thực dương sao cho biểu thức P= 3/2x+y+ căn8yz -8/ căn 2(x^2+y^2+z^2)+4xz+3- 1/x+y+z đạt giá trị nhỏ nhất. (ảnh 1)

Suy ra $P \geq - \frac{3}{2}$ . Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x + y + z = 1 \\ y = 2 z \\ y = x + z \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = z = \frac{1}{4} \\ y = \frac{1}{2} \end{cases}$ .

Do đó $x_{0} + y_{0} + z_{0} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = 1.$ Chọn B.

Câu 90:

Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện

\{\begin{cases} x^{2} - x y + 3 = 0 \\ 2 x + 3 y - 14 \leq 0 \end{cases}

.

Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức $P = 3 x^{2} y - x y^{2} - 2 x^{3} + 2 x$ bằng

A. 8

B. 0

C. 12

D. 4

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Với điều kiện bài toán $x, y > 0$ và $x^{2} - x y + 3 = 0 \Rightarrow y = \frac{x^{2} + 3}{x} = x + \frac{3}{x}$ .

Lại có $2 x + 3 y - 14 \leq 0 \Leftrightarrow 2 x + 3 (x + \frac{3}{x}) - 14 \leq 0 \Leftrightarrow 5 x^{2} - 14 x + 9 \leq 0 \Leftrightarrow x \in [1; \frac{9}{5}]$

.

Từ đó $P = 3 x^{2} (x + \frac{3}{x}) - x {(x + \frac{3}{x})}^{2} - 2 x^{3} + 2 x = 5 x - \frac{9}{x}$ .

Xét hàm số $f (x) = 5 x - \frac{9}{x}; \forall x \in [1; \frac{9}{5}] \Rightarrow f^{'} (x) = 5 + \frac{9}{x^{2}} > 0; \forall x \in [1; \frac{9}{5}]$ .

Suy ra hàm số đồng biến trên $[1; \frac{9}{5}]$

$\Rightarrow f (1) \leq f (x) \leq f (\frac{9}{5}) \Rightarrow - 4 \leq f (x) \leq 4 \Rightarrow \max P + \min P = 4 + (- 4) = 0$ . Chọn B.

Câu 91:

Cho x, y, z là ba số thực thuộc đoạn

[1; 9]

và

x \geq y, x \geq z

. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = \frac{y}{10 y - x} + \frac{1}{2} (\frac{y}{y + z} + \frac{z}{z + x})

bằng

A. $\frac{11}{18} .$

B. $\frac{1}{3}$

C. $\frac{1}{2}$

D. 1

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Với a, b dương thỏa mãn $a b \geq 1$ ta có bất đẳng thức $\frac{1}{1 + a} + \frac{1}{1 + b} \geq \frac{2}{1 + \sqrt{a b}}$ .

Thật vậy $\frac{1}{1 + a} + \frac{1}{1 + b} \geq \frac{2}{1 + \sqrt{a b}} \Leftrightarrow {(\sqrt{a} - \sqrt{b})}^{2} (\sqrt{a b} - 1) \geq 0$ đúng do $a b \geq 1$ .

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b hoặc ab = 1.

Áp dụng bất đẳng thức trên $P = \frac{1}{10 - \frac{x}{y}} + \frac{1}{2} (\frac{1}{1 + \frac{z}{y}} + \frac{1}{1 + \frac{x}{z}}) \geq \frac{1}{10 - \frac{x}{y}} + \frac{1}{1 + \sqrt{\frac{x}{y}}}$ .

Đặt $\sqrt{\frac{x}{y}} = t \in [1; 3]$ . Xét hàm số $f (t) = \frac{1}{10 - t^{2}} + \frac{1}{1 + t}$ trên đoạn $[1; 3]$ .

$f^{'} (t) = \frac{2 t}{{(10 - t^{2})}^{2}} - \frac{1}{{(1 + t)}^{2}}; f^{'} (t) = 0 \Leftrightarrow t^{4} - 2 t^{3} - 24 t^{2} - 2 t + 100 = 0$ .

$\Leftrightarrow (t - 2) (t^{3} - 24 t - 50) = 0 \Leftrightarrow t = 2$ do $t^{3} - 24 t - 50 < 0, \forall t \in [1; 3]$ .

Bảng biến thiên

Cho x, y, z là ba số thực thuộc đoạn [1,9] và x>=y, x>=z. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=y= 10y-x+1/2( y/ y+z+ z/z+x) bằng (ảnh 1)

Suy ra

P_{\min} = \frac{1}{2}

khi và chỉ khi

\{\begin{cases} x = 4 y \\ [\begin{array}{l} \frac{z}{y} = \frac{x}{z} \\ \frac{x}{y} = 1 \end{array} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 4 y \\ z = 2 y \end{cases} \end{cases}

Chọn C.

Câu 92:

Cho các số thực x, y thay đổi nhưng luôn thỏa mãn $3 x^{2} - 2 x y - y^{2} = 5$ . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = x^{2} + x y + 2 y^{2}$ thuộc khoảng nào sau đây?

A. ( 4,7)

B. (-2,1)

C. (1,4)

D. (7,10)

Xem đáp án

Chọn đáp án C

Câu 93:

Cho x, y là hai số thực không âm thỏa mãn $x + y = 1$ . Giá trị lớn nhất của biểu thức $P = \frac{x^{2} y + x y^{2}}{x^{2} + y^{2} - x y}$

là

A. $\max P = 0$

B. $\max P = 1$

C. $\max P = - 1$

D. $\max P = \frac{1}{3}$

Xem đáp án

Chọn đáp án B

Câu 94:

Cho hai số thực x, y thỏa mãn $x^{3} + y^{3} = 2$ . Giá trị nhỏ nhất của $P = x^{2} + y^{2}$ là

A. $\min P = 1.$

B. $\min P = \sqrt[3]{2} .$

C. $\min P = \sqrt[3]{4} .$

D. $\min P = 2.$

Xem đáp án

Chọn đáp án C

Câu 95:

Cho hai số thực x, y thỏa mãn $2 (x^{2} + y^{2}) - x y = 1$ và biểu thức $P = 7 (x^{4} + y^{4}) + 4 x^{2} y^{2}$ . Gọi M, m theo thứ tự là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P. Tổng $M + m$ là

A. $M + m = \frac{- 260}{33}$

B. $M + m = 0$

C. $M + m = \frac{2344}{825}$

D. $M + m = \frac{- 232}{25}$

Xem đáp án

Chọn đáp án C

Câu 96:

Cho x, y là các số thực thỏa mãn $x^{2} - x y + y^{2} = 1$ và biểu thức $P = \frac{x^{4} + y^{4} + 1}{x^{2} + y^{2} + 1}$ . Gọi M, m thứ tự là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P. Tổng $M + 15 m$ bằng

A. $17 - 2 \sqrt{6}$

B. $17 + \sqrt{6}$

C. $17 + 2 \sqrt{6}$

D. $17 - \sqrt{6}$

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Câu 97:

Cho các số thực x, y dương thỏa mãn $x \geq 1, y \geq 1$ và $3 (x + y) = 4 x y$ . Gọi M, m thứ tự là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $P = x^{3} + y^{3} + 3 (\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}})$ . Tổng $M + m$ là

A. $M + m = \frac{163}{4}$

B. $M + m = \frac{197}{12}$

C. $M + m = \frac{673}{12}$

D. $M + m = \frac{613}{6}$

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Câu 98:

Cho các số thực dương x, y, z. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M = \frac{3 x^{4} + 4 y^{3} + 16 z^{3} + 1}{{(x + y + z)}^{3}}$ bằng

A. $\frac{16}{25}$

B. $\frac{8}{9}$

C. $\frac{9}{25}$

D. $\frac{7}{25}$

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Câu 99:

Cho a, b, c không âm phân biệt. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = (a^{2} + b^{2} + c^{2}) [\frac{1}{{(a - b)}^{2}} + \frac{1}{{(b - c)}^{2}} + \frac{1}{{(c - a)}^{2}}]$

bằng

A. $\frac{11 + 5 \sqrt{5}}{2}$

B. $\frac{10 + 5 \sqrt{5}}{2}$

C. 11

D. 13

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Câu 100:

Xét ba số thực a; b; c thay đổi thuộc đoạn $[0; 3]$ . Giá trị lớn nhất của biểu thức $T = 4 |(a - b) (b - c) (c - a)| + (a b + b c + c a) - (a^{2} + b^{2} + c^{2})$

bằng

A. $- \frac{3}{2}$

B. 0

C. $\frac{81}{4}$

D. $\frac{41}{2}$

Xem đáp án

Chọn đáp án C

Câu 101:

Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn $x^{2} + y^{2} \leq \frac{1}{2} z^{2}$ . Giá trị lớn nhất của biểu thức $P = (x^{4} + y^{4} + z^{4}) (\frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{y^{4}} + \frac{1}{z^{4}})$ bằng

A. $\frac{297}{8}$

B. $\frac{320}{9}$

C. $\frac{219}{6}$

D. $\frac{412}{11}$

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Câu 102:

Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 1$ . Giá trị lớn nhất của biểu thức $P = a + b + c - 4 a b c$ bằng

A. $\sqrt{2}$

B. $\frac{5}{3 \sqrt{3}}$

C. $\sqrt{3}$

D. $\frac{1}{\sqrt{2}}$

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Câu 103:

Cho $x, y, z \in [1; 4]$ và $x \geq y; x \geq z$ . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \frac{x}{2 x + 3 y} + \frac{y}{y + z} + \frac{z}{z + x}$ là

A. $\frac{33}{34}$

B. $\frac{34}{35}$

C. $\frac{35}{34}$

D. $\frac{34}{33}$

Xem đáp án

Chọn đáp án D

Câu 104:

Cho $x, y, z \in [1; 4]$ và $x \geq y$ . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \frac{{(y + 1)}^{2}}{40 y - 4 x} + \frac{y}{\sqrt{8 y z} + z} + \frac{z}{2 (x + z)}$ bằng

A. $\frac{1}{2}$

B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

C. $\frac{1}{2 \sqrt{2}}$

D. $\sqrt{2}$

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Câu 105:

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên tập R và có bảng biến thiên như sau

Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = f (x^{2} - 2 x)$ trên đoạn $[- \frac{3}{2}; \frac{7}{2}]$ . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau.

A. $M . m > 10$

B. $\frac{M}{m} > 2$

C. $M - m > 3$

D. $M + m > 7$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đặt $t = x^{2} - 2 x$ .

Ta có $x \in [- \frac{3}{2}; \frac{7}{2}] \Leftrightarrow - \frac{5}{2} \leq x - 1 \leq \frac{5}{\begin{array}{l} 2 \end{array}}$

$\Leftrightarrow 0 \leq {(x - 1)}^{2} \leq \frac{25}{4}$

$\Leftrightarrow - 1 \leq {(x - 1)}^{2} - 1 \leq \frac{21}{4} \Rightarrow t \in [- 1; \frac{21}{4}]$

Xét hàm số $y = f (t), t \in [- 1; \frac{21}{4}]$ .

Từ bảng biến thiên suy ra

$m = \min_{[- 1; \frac{21}{4}]} f (t) = f (1) = 2;$ .

$M = \max_{[- 1; \frac{21}{4}]} f (t) = f (\frac{21}{4}) = 5$

$\Rightarrow \frac{M}{m} > 2$

Chọn B.

Câu 106:

Cho hàm số

y = f (x)

có bảng biến thiên như sau

Hàm số $y = f (|x - 1|)$ có giá trị nhỏ nhất trên đoạn $[0; 2]$ bằng

A. $f (- 2)$

B. $f (2)$

C. $f (1)$

D. $f (0)$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đặt $t = |x - 1|, \forall x \in [0; 2] \Rightarrow t \in [0; 1] .$

Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số $y = f (t)$ có giá trị nhỏ nhất $\min_{[0; 1]} f (t) = f (0) .$

Chọn D.

Câu 107:

Cho hàm số

y = f (x)

có đồ thị như hình vẽ. Khi đó hàm số

y = f (2 - x^{2})

đạt giá trị nhỏ nhất trên

[0; \sqrt{2}]

bằng

A. $f (- 2)$

B. $f (2)$

C. $f (1)$

D. $f (0)$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đặt $t = 2 - x^{2}$ . Từ $x \in [0; \sqrt{2}] \Leftrightarrow 0 \leq x^{2} \leq 2 \Leftrightarrow 2 \geq 2 - x^{2} \geq 0 \Rightarrow t \in [0; 2]$ .

Dựa vào đồ thị, hàm số $y = f (t)$ có giá trị nhỏ nhất $\min_{[0; 2]} f (t) = f (2) .$

Chọn B.

Câu 108:

Cho hàm số

y = f (x) = a x^{4} + b x^{2} + c

xác định và liên tục trên R và có bảng biến thiên sau

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = f (x + 3)$ trên đoạn $[0; 2]$ là

A. 64

B. 65

C. 66

D. 67

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Hàm số có dạng $f (x) = a x^{4} + b x^{2} + c$ . Từ bảng biến thiên ta có

$\{\begin{cases} f (0) = 3 \\ f (1) = 2 \\ f^{'} (1) = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} c = 3 \\ a + b + c = 2 \\ 4 a + 2 b = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} c = 3 \\ b = - 2 \\ a = 1 \end{cases} \Rightarrow f (x) = x^{4} - 2 x^{2} + 3$ .

Đặt $t = x + 3, x \in [0; 2] \Leftrightarrow t \in [3; 5]$ .

Dựa vào đồ thị, hàm số $y = f (t)$ đồng biến trên đoạn $[3; 5]$ .

Do đó $\min_{[0; 2]} f (x + 3) = \min_{[3; 5]} f (t) = f (3) = 66$ .

Chọn C.

Câu 109:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm và liên tục trên R. Biết rằng đồ thị hàm số $y = f^{'} (x)$ như dưới đây.

Lập hàm số $g (x) = f (x) - x^{2} - x$ .

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $g (- 1) > g (1)$

B. $g (- 1) = g (1)$

C. $g (1) = g (2)$

D. $g (1) > g (2)$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có $g^{'} (x) = f^{'} (x) - 2 x - 1$ .

Từ đồ thị hàm số $y = f^{'} (x)$ và đường thẳng $y = 2 x + 1$ ta có $g^{'} (x) = 0$

$\Leftrightarrow f^{'} (x) = 2 x + 1 \Rightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \\ x = 1 \\ x = 2 \end{array}$ .

Bảng biến thiên

Cho hàm số y= f(x) có đạo hàm và liên tục trên R . Biết rằng đồ thị hàm số y=f'(x) như dưới đây. Lập hàm số g(x)=f(x)-x^2-x . (ảnh 1)

Ta chỉ cần so sánh trên đoạn

[- 1; 2]

. Đường thẳng

y = 2 x + 1

là đường thẳng đi qua các điểm

A (- 1; - 1)

,

B (1; 3)

,

C (2; 5)

nên đồ thị hàm số

y = f^{'} (x)

và đường thẳng

y = 2 x + 1

cắt nhau tại 3 điểm

Chọn D.

Câu 110:

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên R và có bảng biến thiên như sau

Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số $y = g (x) = f (3 - x)$ trên $[0; 3]$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $M = f (0)$

B. $M = f (3)$

C. $M = f (1)$

D. $M = f (2)$

Xem đáp án

Chọn đáp án D

Câu 111:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đồ thị như hình vẽ. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \frac{3}{2} f (\frac{x}{2})$ trên đoạn $[0; 2]$ $M + m$ . Khi đó bằng

Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình vẽ. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y=3/2f(x/2) trên đoạn (ảnh 1)

A. 3

B. 1

C. 2

D. 0

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Câu 112:

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên R và có bảng biến thiên như sau

Hàm số $y = f (2 \sin x)$ đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất lần lượt là M và m. Mệnh đề nào dưới đây đúng

A. $m = - 2 M$

B. $M = 2 m$

C. $M + m = 0$

D. $M + m = 2$

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Câu 113:

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên $[- 2; 4]$ và có bảng biến thiên như sau

Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $g (x) = f (\cos 2 x - 4 \sin^{2} x + 3)$ . Giá trị của $M - m$ bằng

A. 4

B. -4

C. 2

D. 1

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Câu 114:

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Khi đó giá trị lớn nhất của hàm số $y = f (\sqrt{4 - x^{2}})$ trên nửa khoảng $[- \sqrt{2}; \sqrt{3})$ là

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Khi đó giá trị lớn nhất của hàm số y= f(căn 4-x^2) trên nửa khoảng (ảnh 1)

A. 3

B. -1

C. 0

D. không tồn tại

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Câu 115:

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $g (x) = f (\frac{2 x}{x^{2} + 1})$ trên $(- \infty; + \infty)$ . Tổng $M + m$ bằng

A. 4

B. 6

C. 8

D. 12

Xem đáp án

Chọn đáp án C

Câu 116:

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi M, m theo thứ tự là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = f (|x - 2|)$ trên đoạn $[- 1; 5]$ . Tổng $M + m$ bằng

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi M, m theo thứ tự là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y=f(|x-2|) (ảnh 1)

A. 9

B. 8

C. 7

D. 1

Xem đáp án

Chọn đáp án C

Câu 117:

Cho hàm số $y = f (x)$ có bảng biến thiên như hình vẽ

Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = f (|- x^{2} + 2 x + 5|)$ trên đoạn $[- 1; 3]$ lần lượt là M, m. Tổng $M + m$ bằng

A. 13

B. 7

C. $f (2) - 2$

D. 2

Xem đáp án

Chọn đáp án B

Câu 118:

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên $(- \infty; + \infty)$ và có đồ thị như hình vẽ

Cho hàm số Y=f(x) liên tục trên ( âm vô cùng , dương vô cùng) và có đồ thị như hình vẽ Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, (ảnh 1)

Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = f (|x^{3} - 3 x + 1|)$ trên đoạn $[- 2; 0]$ . Tổng $M + m$ bằng

A. $M + m = - 2$

B. $M + m = - \frac{7}{2}$

C. $M + m = - \frac{11}{2}$

D. $M + m = 0$

Xem đáp án

Chọn đáp án B

Câu 119:

Cho hàm số $y = f (x)$ , biết hàm số $y = f^{'} (x)$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Hàm số $y = f (x)$ đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn $[\frac{1}{2}; \frac{3}{2}]$ tại điểm nào sau đây?

Cho hàm số y=f(x) , biết hàm số y=f'(x) có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Hàm số y=f(x) đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn [1/2,3/2] tại điểm nào (ảnh 1)

A. $x = \frac{3}{2}$

B. $x = \frac{1}{2}$

C. x=1

D. x=0

Xem đáp án

Chọn đáp án C

Câu 120:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm $f^{'} (x)$ . Hàm số $y = f^{'} (x)$ liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ. Biết $f (- 1) = \frac{13}{4}, f (2) = 6$ . Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $g (x) = f^{3} (x) - 3 f (x)$ trên $[- 1; 2]$ bằng

A. $\frac{1573}{64}$

B. 198

C. $\frac{37}{4}$

D. $\frac{14245}{64}$

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Câu 121:

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên R. Đồ thị của hàm số $y = f^{'} (x)$ như hình vẽ. Đặt $g (x) = 2 f (x) - {(x + 1)}^{2}$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $\min_{[- 3; 3]} g (x) = g (1)$

B. $\max_{[- 3; 3]} g (x) = g (1)$

C. $\max_{[- 3; 3]} g (x) = g (3)$

D. Không tồn tại giá trị nhỏ nhất của $g (x)$ trên $[- 3; 3]$ .

Xem đáp án

Chọn đáp án B

Câu 122:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đồ thị $y = f^{'} (x)$ như hình vẽ.

Xét hàm số $g (x) = f (x) - \frac{1}{3} x^{3} - \frac{3}{4} x^{2} + \frac{3}{2} x + 2018$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $\min_{[- 3; 1]} g (x) = g (- 1)$

B. $\min_{[- 3; 1]} g (x) = g (1)$

C. $\min_{[- 3; 1]} g (x) = g (- 3)$

D. $\min_{[- 3; 1]} g (x) = \frac{g (- 3) + g (1)}{2}$

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Câu 123:

Cho hàm số $y = f (x)$ ,hàm số $f^{'} (x)$ có đồ thị như hình vẽ

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $g (x) = \frac{1}{2} f (2 x - 1) + \frac{11}{19} {(2 x - 1)}^{2} - 4 x$ trên khoảng $[0; \frac{5}{2}]$ bằng

A. $\frac{1}{2} f (1) + \frac{11}{19}$

B. $\frac{1}{2} f (4) - \frac{14}{19}$

C. $\frac{1}{2} f (0) - 2$

D. $\frac{1}{2} f (2) - \frac{70}{19}$

Xem đáp án

Chọn đáp án D

Câu 124:

Cho hàm số $y = f (x)$ . Biết hàm số $y = f^{'} (x)$ có đồ thị như hình vẽ. Trên đoạn $[- 4; 3]$ ,hàm số $g (x) = 2 f (x) + {(1 - x)}^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm

A. $x_{0} = - 3$

B. $x_{0} = - 4$

C. $x_{0} = - 1$

D. $x_{0} = 3$

Xem đáp án

Chọn đáp án C

Câu 125:

Một chất điểm chuyển động theo quy luật

s = 3 t^{2} - t^{3}

. Thời điểm t (giây) mà tại đó vận tốc

v (m / s)

của chất điểm chuyển động đạt giá trị lớn nhất là

A. t = 2s

B. t = 5s

C. t = 1s

D. t =3s

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có $v (t) = s^{'} (t) = 6 t - 3 t^{2} \Rightarrow v (t) = - 3 {(t - 1)}^{2} + 3 \leq 3, \forall t \in ℝ$

Giá trị lớn nhất của $v (t) = 3$ khi $t = 1$ . Chọn C

Câu 126:

Một vật chuyển động theo quy luật

s = - \frac{1}{3} t^{3} + 6 t^{2}

với t (giây) là khoảng thời gian tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật di chuyển được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 7 giây, kể từ khi bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu?

A. 180 (m/s)

B. 36 (m/s)

C. 144 (m/s)

D. 24 (m/s)

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có $v (t) = s^{'} (t) = - t^{2} + 12 t$

$v^{'} (t) = - 2 t + 12 = 0 \Leftrightarrow t = 6$

Vì $v (6) = 36; v (0) = 0; v (7) = 35$ nên vận tốc lớn nhất đạt được bằng 36 (m/s). Chọn B

Câu 127:

Một loại thuốc được dùng cho một bệnh nhân và nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân được giám sát bởi bác sĩ. Biết rằng nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân sau khi tiêm vào cơ thể trong t giờ được cho bởi công thức

c (t) = \frac{t}{t^{2} + 1} (m g / L)

. Sau khi tiêm thuốc bao lâu thì nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân cao nhất?

A. 4 giờ

B. 1 giờ

C. 3 giờ

D. 2 giờ

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Xét hàm số $c (t) = \frac{t}{t^{2} + 1} (t > 0)$

$c^{'} (t) = \frac{1 - t^{2}}{{(t^{2} + 1)}^{2}} = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} t = 1 \in (0; \infty) \\ t = - 1 \notin (0; \infty) \end{matrix}$

Bảng biến thiên

Một loại thuốc được dùng cho một bệnh nhân và nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân được giám sát bởi bác sĩ. (ảnh 1)

Với t = 1 (giờ) thì nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân cao nhất. Chọn B

Câu 128:

Người ta xây một bể chứa nước với dạng khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng

\frac{500}{3} m^{3}

. Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Giá thuê nhân công để xây bể là

600.000

đồng /

m^{2}

. Hãy xác định kích thước của bể sao cho chi phí thuê nhân công thấp nhất. Chi phí đó là

A. 75 triệu đồng

B. 85 triệu đồng

C. 90 triệu đồng

D. 95 triệu đồng

Xem đáp án

Gọi $x (m)$ là chiều rộng của đáy bể, khi đó chiều dài của đáy bể là $2 x (m)$ và $h (m)$ là chiều cao bể

Người ta xây một bể chứa nước với dạng khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng 500/3 m^3 . Đáy bể là hình chữ nhật (ảnh 1)

Bể có thể tích bằng $2 x^{2} h = \frac{500}{3} \Leftrightarrow h = \frac{250}{3 x^{2}}$

Diện tích cần xây $S = 2 (x h + 2 x h) + 2 x^{2} = 6 x \frac{250}{3 x^{2}} + 2 x^{2} = \frac{500}{x} + 2 x^{2}$

Xét hàm $f (x) = \frac{500}{x} + 2 x^{2}, (x > 0); f^{'} (x) = \frac{- 500}{x^{2}} + 4 x \Rightarrow f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x = 5$

Bảng biến thiên

Người ta xây một bể chứa nước với dạng khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng 500/3 m^3 . Đáy bể là hình chữ nhật (ảnh 2)

Do đó $\min_{(0; + \infty)} f (x) = f (5) = 150$

Chi phí thuê nhân công thấp nhất khi diện tích xây dựng là nhỏ nhất và bằng $S_{\min} = 150$

Vậy giá thuê nhân công thấp nhất là 150.600000 = 90.000.000 đồng. Chọn C

Câu 129:

Bác Hoàng có một tấm thép mỏng hình tròn, tâm O, bán kính 4 dm. Bác định cắt ra một hình quạt tròn tâm O, quấn rồi hàn ghép hai mép của hình quạt tròn lại để tạo thành một đồ vật dạng mặt nón tròn xoay (tham khảo hình vẽ). Dung tích lớn nhất có thể của đồ vật mà bác Hoàng tạo ra bằng bao nhiêu? (bỏ qua phần mối hàn và độ dày của tấm thép)

Bác Hoàng có một tấm thép mỏng hình tròn, tâm O, bán kính 4 dm. Bác định cắt ra một hình quạt tròn tâm O, (ảnh 1)

A. $\frac{128 π \sqrt{3}}{27} d m^{3}$

B. $\frac{128 π \sqrt{3}}{81} d m^{3}$

C. $\frac{16 π \sqrt{3}}{27} d m^{3}$

D. $\frac{64 π \sqrt{3}}{27} d m^{3}$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Khi hàn hai mép của hình quạt tròn, độ dài đường sinh của hình nón bằng bán kính của hình quạt tròn, tức là $O A = 4 d m$

Thể tích của hình nón $V = \frac{1}{3} π . r^{2} . h = \frac{1}{3} π . (16 - h^{2}) . h$ với $0 < h < 4$

Ta có $V^{'} (h) = \frac{1}{3} π . (16 - 3 h^{2}) \Rightarrow V^{'} (h) = 0 \Leftrightarrow h = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Bác Hoàng có một tấm thép mỏng hình tròn, tâm O, bán kính 4 dm. Bác định cắt ra một hình quạt tròn tâm O, (ảnh 2)

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra thể tích lớn nhất của hình nón là $\frac{128 π \sqrt{3}}{27} d m^{3}$ . Chọn A

Câu 130:

Người ta làm chiếc thùng phi dạng hình trụ, kín hai đáy, với thể tích theo yêu cầu là

2 π m^{3}

. Hỏi bán kính đáy R và chiều cao h của thùng phi bằng bao nhiêu để khi làm thì tiết kiệm vật liệu nhất

A. $R = \frac{1}{2} m; h = 8 m$

B. $R = 1 m; h = 2 m$

C. $R = 2 m; h = \frac{1}{2} m$

D. $R = 4 m; h = \frac{1}{5} m$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Người ta làm chiếc thùng phi dạng hình trụ, kín hai đáy, với thể tích theo yêu cầu là 2bim^3 . Hỏi bán kính đáy R và chiều cao (ảnh 1)

Từ giả thiết ta có $V = π R^{2} h = 2 π \Rightarrow h = \frac{2}{R^{2}}$

Diện tích toàn phần của thùng phi là $S_{t p} = 2 π R h + 2 π R^{2} = 2 π (R^{2} + \frac{2}{R})$

Xét hàm số $f (R) = R^{2} + \frac{2}{R}$ với $R \in (0; + \infty)$

Ta có $f^{'} (R) = 2 R - \frac{2}{R^{2}} = \frac{2 (R^{3} - 1)}{R^{2}}$

$f^{'} (R) = 0 \Leftrightarrow R = 1$

Bảng biến thiên

Người ta làm chiếc thùng phi dạng hình trụ, kín hai đáy, với thể tích theo yêu cầu là 2bim^3 . Hỏi bán kính đáy R và chiều cao (ảnh 2)

Suy ra diện tích toàn phần đạt giá trị nhỏ nhất khi $R = 1 \Rightarrow h = 2$

Vậy để tiết kiệm vật liệu nhất khi làm thùng phi thì $R = 1 m; h = 2 m$ . Chọn B

Câu 131:

Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở A đến một hòn đảo ở C như hình vẽ. Khoảng cách từ C đến B là 1 km. Bờ biển chạy thẳng từ A đến B với khoảng cách là 4km. Tổng chi phí lắp đặt cho 1km dây điện trên biển là 40 triệu đồng, còn trên đất liền là 20 triệu đồng. Tính tổng chi phí nhỏ nhất để hoàn thành công việc trên (làm tròn đến hai chữ số sau dấu phẩy)

A. 120 triệu đồng

B. 164,92 triệu đồng

C. 114,64 triệu đồng

D. 106,25 triệu đồng

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Gọi M là điểm trên đoạn thẳng AB để lắp đặt đường dây điện ra biển nối với điểm C

Đặt $A M = x \Rightarrow B M = 4 - x \Rightarrow C M = \sqrt{1 + {(4 - x)}^{2}} = \sqrt{17 - 8 x + x^{2}}, x \in [0; 4]$

Khi đó tổng chi phí lắp đặt là $y = x .20 + 40 \sqrt{x^{2} - 8 x + 17}$ (đơn vị: triệu đồng)

$y^{'} = 20 + 40. \frac{x - 4}{\sqrt{x^{2} - 8 x + 17}} = 20. \frac{\sqrt{x^{2} - 8 x + 17} + 2 (x - 4)}{\sqrt{x^{2} - 8 x + 17}}$

$y^{'} = 0 \Leftrightarrow \sqrt{x^{2} - 8 x + 17} = 2 (4 - x) \Leftrightarrow x = \frac{12 - \sqrt{3}}{3}$

Ta có $y (\frac{12 - \sqrt{3}}{3}) = 80 + 20 \sqrt{3} \approx 114, 64; y (0) = 40 \sqrt{17} \approx 164, 92; y (4) = 120$

Do đó chi phí nhỏ nhất để hoàn thành công việc là 114,64 triệu đồng. Chọn C

Câu 132:

Một chất điểm chuyển động theo quy luật

s = 3 t^{2} - t^{3}

. Thời điểm t (giây) mà tại đó vận tốc

v (m / s)

của chất điểm chuyển động đạt giá trị lớn nhất là

A. t = 2s

B. t = 5s

C. t = 1s

D. t =3s

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có $v (t) = s^{'} (t) = 6 t - 3 t^{2} \Rightarrow v (t) = - 3 {(t - 1)}^{2} + 3 \leq 3, \forall t \in ℝ$

Giá trị lớn nhất của

v (t) = 3

khi

t = 1

. Chọn C

Câu 133:

Một vật chuyển động theo quy luật

s = - \frac{1}{3} t^{3} + 6 t^{2}

với t (giây) là khoảng thời gian tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật di chuyển được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 7 giây, kể từ khi bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu?

A. 180 (m/s)

B. 36 (m/s)

C. 144 (m/s)

D. 24 (m/s)

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có $v (t) = s^{'} (t) = - t^{2} + 12 t$

$v^{'} (t) = - 2 t + 12 = 0 \Leftrightarrow t = 6$

Vì $v (6) = 36; v (0) = 0; v (7) = 35$ nên vận tốc lớn nhất đạt được bằng 36 (m/s). Chọn B

Câu 134:

Một loại thuốc được dùng cho một bệnh nhân và nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân được giám sát bởi bác sĩ. Biết rằng nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân sau khi tiêm vào cơ thể trong t giờ được cho bởi công thức

c (t) = \frac{t}{t^{2} + 1} (m g / L)

. Sau khi tiêm thuốc bao lâu thì nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân cao nhất?

A. 4 giờ

B. 1 giờ

C. 3 giờ

D. 2 giờ

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Xét hàm số $c (t) = \frac{t}{t^{2} + 1} (t > 0)$

$c^{'} (t) = \frac{1 - t^{2}}{{(t^{2} + 1)}^{2}} = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} t = 1 \in (0; \infty) \\ t = - 1 \notin (0; \infty) \end{matrix}$

Bảng biến thiên

Một loại thuốc được dùng cho một bệnh nhân và nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân được giám sát bởi bác sĩ. Biết rằng (ảnh 1)

Với t = 1 (giờ) thì nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân cao nhất. Chọn B

Câu 135:

Một vật chuyển động theo quy luật $s = - \frac{1}{2} t^{3} + 9 t^{2}$ với t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu?

A. 216 (m/s)

B. 30 (m/s)

C. 400 (m/s)

D. 54 (m/s)

Xem đáp án

Chọn đáp án D

Câu 136:

Một đoàn tàu chuyển động thẳng khởi hành từ một nhà ga. Quãng đường s (mét) đi được của đoàn tàu là một hàm số của thời gian t (giây), hàm số đó là $s = - t^{3} + 6 t^{2}$ . Thời điểm t (giây) mà tại đó vận tốc v(m/s) của chuyển động đạt giá trị lớn nhất là

A. t = 2s

B. t = 6s

C. t = 8s

D. t = 4s

Xem đáp án

chọn đáp án A

Câu 137:

Một chất điểm chuyển động có phương trình chuyển động là $s = - t^{3} + 6 t^{2} + 17 t$ , với t (s) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và s (m) là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó. Trong khoảng thời gian 6 giây đầu tiên, vận tốc v (m/s) của chất điểm đạt giá trị lớn nhất bằng

A. 29 m/s

B. 26 m/s

C. 17 m/s

D. 36 m/s

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Câu 138:

Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức $G (x) = 0, 035 x^{2} (15 - x)$ , trong đó x là liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân ( x được tính bằng miligam). Liều lượng thuốc cần tiêm (đơn vị miligam) cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất là

A. x = 8

B. x = 10

C. x = 15

D. x = 7

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Câu 139:

Để thiết kế một chiếc bể cá không có nắp đậy hình hộp chữ nhật có chiều cao 60cm, thể tích là $96.000 c m^{3}$ , người thợ dùng loại kính để sử dụng làm mặt bên có giá thành là 70.000 đồng / $m^{2}$ và loại kính để làm mặt đáy có giá thành là 100.000 đồng / $m^{2}$ . Chi phí thấp nhất để làm bể cá là

A. 28.300 đồng

B. 38.200 đồng

C. 83.200 đồng

D. 83.200 đồng

Xem đáp án

Chọn đáp án C

Câu 140:

Một cái hộp có dạng hình hộp chữ nhật có thể tích bằng 48 $(m^{3})$ và chiều dài gấp đôi chiều rộng. Chất liệu làm đáy và bốn mặt bên của hộp có giá thành gấp ba lần giá thành của chất liệu làm nắp hộp. Gọi h là chiều cao của hộp để giá thành làm chiếc hộp là thấp nhất. biết $h = \frac{m}{n}$ với m, n là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tổng m + n bằng

A. 12

B. 13

C. 11

D. 10

Xem đáp án

Chọn đáp án C

Câu 141:

Một người thợ xây, muốn xây một bồn chứa thóc hình trụ tròn với thể tích là $150 m^{3}$ (như hình vẽ). Đáy làm bằng bê tông, thành làm bằng tôn và nắp bể làm bằng nhôm. Biết giá thành các vật liệu như sau: bê tông 100 nghìn đồng một $m^{2}$ , tôn 90 nghìn một $m^{2}$ và nhôm 120 nghìn đồng một $m^{2}$ . Chi phí thấp nhất để làm bồn chứa thóc (làm tròn đến hàng nghìn) là

Một người thợ xây, muốn xây một bồn chứa thóc hình trụ tròn với thể tích là 150m^3(như hình vẽ) (ảnh 1)

A. 15038000 đồng

B. 15037000 đồng

C. 15039000 đồng

D. 15040000 đồng

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Câu 142:

Một công ty dự kiến chi 1 tỉ đồng để sản xuất các thùng đựng sơn hình trụ có dung tích 5 lít. Biết rằng chi phí để làm mặt xung quanh của thùng đó là 100.000 đồng / $m^{2}$ , chi phí để làm mặt đáy là 120.000 đồng / $m^{2}$ . Số thùng sơn tối đa mà công ty đó sản xuất được (giả sử chi phí cho các mối nối không đáng kể) là

A. 58135 thùng

B. 18209 thùng

C. 12525 thùng

D. 57582 thùng

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Câu 143:

Một cốc hình trụ có bán kính đáy là 2cm, chiều cao 20cm. Trong cốc đang có một ít nước, khoảng cách giữa đáy cốc và mặt nước là 12cm (hình vẽ). Một con quạ muốn uống được nước trong cốc thì mặt nước phải cách miệng cốc không quá 6cm. Con quạ thông minh mổ những viên đá hình cầu có bán kính 0,6cm thả vào cốc để mực nước dâng lên. Để uống được nước thì con quạ cần thả vào cốc ít nhất bao nhiêu viên đá?

Một cốc hình trụ có bán kính đáy là 2cm, chiều cao 20cm. Trong cốc đang có một ít nước, khoảng cách giữa đáy cốc và (ảnh 1)

A. 30

B. 27

C. 28

D. 29

Xem đáp án

Chọn đáp án C

Câu 144:

Một người cần đi từ khách sạn A bên bờ biển đến hòn đảo C. Biết rằng khoảng cách từ đảo C đến bờ biển là 10km, khoảng cách từ khách sạn A đến điểm B trên bờ gần đảo C nhất là 40km. Người đó có thể đi đường thủy hoặc đi đường bộ rồi đi đường thủy (như hình vẽ bên). Biết kinh phí đi đường thủy là 5 USD/km, đi đường bộ là 3 USD/km. Hỏi người đó phải đi đường bộ một khoảng bao nhiêu để kinh phí nhỏ nhất?

Một người cần đi từ khách sạn A bên bờ biển đến hòn đảo C. Biết rằng khoảng cách từ đảo C đến bờ biển là 10km (ảnh 1)

A. $\frac{15}{2} k m$

B. $10 k m$

C. $\frac{65}{2} k m$

D. $40 k m$

Xem đáp án

Chọn đáp án C

Câu 145:

Một ngọn hải đăng đặt ở vị trí A cách bờ biển một khoảng AB = 5 (km). Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí C cách B một khoảng là 7(km). Người canh hải đăng có thể chèo đò từ A đến vị trí M trên bờ biển với vận tốc 4 (km/h) rồi đi bộ từ M đến C với vận tốc 6 (km/h). Vị trí của điểm M cách B một khoảng gần nhất với giá trị nào sau đây để người đó đến kho nhanh nhất?

Một ngọn hải đăng đặt ở vị trí A cách bờ biển một khoảng AB = 5 (km). Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí C cách B một (ảnh 1)

A. $1, 0 k m$

B. $7, 0 k m$

C. $4, 5 k m$

D. $2, 1 k m$

Xem đáp án

Chọn đáp án C

Câu 146:

Thầy Toản có thanh gỗ dài là 3,2 m. Thầy Toản dự định dùng thanh gỗ để thiết kế 5 hình tam giác giống nhau làm kệ trang trí phòng đọc sách, trong đó các tam giác có 1 cạnh có độ dài là 24 cm (coi các mẩu cắt bỏ đi không đáng kể). Tổng diện tích của 5 tam giác có giá trị lớn nhất là

Thầy Toản có thanh gỗ dài là 3,2 m. Thầy Toản dự định dùng thanh gỗ để thiết kế 5 hình tam giác giống nhau làm kệ trang trí (ảnh 1)

A. $40 \sqrt{119} c m^{2}$

B. $16 \sqrt{119} c m^{2}$

C. $480 c m^{2}$

D. $960 c m^{2}$

Xem đáp án

Chọn đáp án D

Câu 147:

Một kĩ sư được một công ty xăng dầu thuê thiết kế một mẫu bồn chứa xăng với thể tích V cho trước, hình dạng như hình vẽ bên, các kích thước r, h thay đổi sao cho nguyên vật liệu làm bồn xăng là ít nhất. Người kĩ sư này phải thiết kế kích thước h như thế nào để đảm bảo được đúng yêu cầu mà công ty xăng dầu đã đưa ra?

A. $h = 0$

B. $h = \frac{\sqrt[3]{V}}{π}$

C. $h = 2 \sqrt[3]{V}$

D. $h = \frac{\sqrt[3]{V}}{2}$

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Câu 148:

Một kĩ sư được một công ty xăng dầu thuê thiết kế một mẫu bồn chứa xăng với thể tích V cho trước, hình dạng như hình vẽ bên, các kích thước r, h thay đổi sao cho nguyên vật liệu làm bồn xăng là ít nhất. Người kĩ sư này phải thiết kế kích thước h như thế nào để đảm bảo được đúng yêu cầu mà công ty xăng dầu đã đưa ra?

A. $h = 0$

B. $h = \frac{\sqrt[3]{V}}{π}$

C. $h = 2 \sqrt[3]{V}$

D. $h = \frac{\sqrt[3]{V}}{2}$

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Câu 149:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m trong đoạn $[- 100; 100]$ để phương trình $2 \sqrt{x + 1} = x + m$ có nghiệm thực?

A. 100

B.101

C. 102

D. 103

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Điều kiện $x \geq - 1$

Đặt $t = \sqrt{x + 1} \Rightarrow \{\begin{matrix} t \geq 0 \\ x = t^{2} - 1 \end{matrix}$

Ta được phương trình $2 t = t^{2} - 1 + m \Leftrightarrow m = - t^{2} + 2 t + 1$

Xét hàm số $f (t) = - t^{2} + 2 t + 1, t \geq 0$

$f^{'} (t) = - 2 t + 2 = 0 \Leftrightarrow t = 1$

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra phương trình đã cho có nghiệm khi $m \leq 2 \Rightarrow - 100 \leq m \leq 2$

Vậy có 103 giá trị nguyên m thỏa mãn

Chọn D

Câu 150:

Cho phương trình

m (\sqrt{x^{2} - 2 x + 2 + 1}) - x^{2} + 2 x = 0

( m là tham số). Biết rằng tập hợp các giá trị của tham số m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn

[0; 1 + 2 \sqrt{2}]

là đoạn

[a; b]

. Giá trị của biểu thức

T = - a + 2 b

là

A. $T = 4$

B. $T = \frac{7}{2}$

C. $T = 3$

D. $T = \frac{1}{2}$

Xem đáp án

Đặt $t = \sqrt{x^{2} - 2 x + 2}$

Xét hàm số $t (x) = \sqrt{x^{2} - 2 x + 2}$ trên đoạn $[0; 1 + 2 \sqrt{2}]$

$t^{'} (x) = \frac{x - 1}{\sqrt{x^{2} - 2 x + 2}} \Rightarrow t^{'} = 0 \Leftrightarrow x = 1$

Vì $t (0) = \sqrt{2}; t (1) = 1; t (1 + 2 \sqrt{2}) = 3$ nên $t \in [1; 3]$

Yêu cầu của bài toán tương đương với phương trình $m (t + 1) = t^{2} - 2$ có nghiệm thuộc đoạn $[1; 3] \Leftrightarrow m = \frac{t^{2} - 2}{t + 1}$ có nghiệm thuộc đoạn $[1; 3]$ (1)

Xét hàm số $f (t) = \frac{t^{2} - 2}{t + 1}$ trên đoạn

$f^{'} (t) = \frac{t^{2} + 2 t + 2}{{(t + 1)}^{2}} > 0, \forall t \in [1; 3]$ khi hàm số đồng biến trên đoạn $[1; 3]$

Để phương trình (1) đã cho có nghiệm thì $\min_{[1; 3]} f (t) \leq m \leq max_{[1; 3]} f (t)$

$\Leftrightarrow f (1) \leq m \leq f (3) \Leftrightarrow - \frac{1}{2} \leq m \leq \frac{7}{4}$

Vậy $a = - \frac{1}{2}; b = \frac{7}{4} \Rightarrow T = 4$ . Chọn A

Câu 151:

Giá trị nhỏ nhất của tham số m để hệ phương trình

\{\begin{matrix} x + y = 2 \\ x^{4} + y^{4} = m \end{matrix}

(x, y \in ℝ)

có nghiệm là

m_{0}

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $m_{0} \in (- 20; - 15)$

B. $m_{0} \in (- 12; - 8)$

C. $m_{0} \in (\frac{- 3}{2}; 0)$

D. $m_{0} \in (\frac{1}{2}; \frac{9}{4})$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có $\{\begin{matrix} x + y = 2 \\ x^{4} + y^{4} = m \end{matrix} \begin{matrix} (1) \\ (2) \end{matrix}$

Từ (1) suy ra $y = 2 - x$ thay vào (2) ta được (2) $\Rightarrow x^{4} + {(2 - x)}^{4} = m$ (3)

Xét hàm số $f (x) = x^{4} + {(2 - x)}^{4}$ có tập xác định $D = ℝ$

$f^{'} (x) = 4 x^{3} - 4 {(2 - x)}^{3} \Rightarrow f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x^{3} = {(2 - x)}^{3} \Leftrightarrow x = 2 - x \Leftrightarrow x = 1$

Bảng biến thiên

Giá trị nhỏ nhất của tham số m để hệ phương trình x+y=2 và x^4 + y^4=m( x,y thuộc R) có nghiệm là m0 Mệnh đề nào dưới đây đúng? (ảnh 1)

Hệ đã cho có nghiệm thực khi và chỉ khi phương trình (3) có nghiệm thực

Dựa vào bảng biến thiên ta được $m \geq 2 \Rightarrow m_{0} = 2 \in (\frac{1}{2}; \frac{9}{4})$ . Chọn D

Câu 152:

Các giá trị của tham số m để bất phương trình $x + \frac{4}{x - 1} - m \geq 0$ có nghiệm trên khoảng $(- \infty; 1)$ là

A. $m < 5$

B. $m \leq - 3$

C. $m \leq 1$

D. $m \geq 3$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Bất phương trình đã cho tương đương với $x + \frac{4}{x - 1} \geq m$

Xét hàm số $y = x + \frac{4}{x - 1}$ trên khoảng $(- \infty; 1)$

$y^{'} = 1 - \frac{4}{{(x - 1)}^{2}} = \frac{{(x - 1)}^{2} - 4}{{(x - 1)}^{2}}$

$\Rightarrow y^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 3 \notin (- \infty; 1) \\ x = - 1 \in (- \infty; 1) \end{matrix}$

Bảng biến thiên

Các giá trị của tham số m để bất phương trình x+4/x-1-m>=0 có nghiệm trên khoảng ( - vô cùng, 1) là (ảnh 1)

Từ bảng biến thiên, để bất phương trình

x + \frac{4}{x - 1} - m \geq 0

có nghiệm trên khoảng

(- \infty; 1)

thì

m \leq - 3

. Chọn B

Câu 153:

Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số

m \in [0; 2019]

để bất phương trình

x^{2} - m + \sqrt{{(1 - x^{2})}^{3}} \leq 0

nghiệm đúng với mọi

x \in [- 1; 1]

. Số các phần tử của tập S là

A. 1

B. 2020

C. 2019

D. 2

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đặt $t = \sqrt{1 - x^{2}}$ , với $x \in [- 1; 1] \Rightarrow t \in [0; 1]$

Bất phương trình đã cho trở thành $t^{3} - t^{2} + 1 - m \leq 0 \Leftrightarrow m \geq t^{3} - t^{2} + 1$ (1)

Yêu cầu của bài toán tương đương với bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi $t \in [0; 1]$

Xét hàm số $f (t) = t^{3} - t^{2} + 1 \Rightarrow f^{'} (t) = 3 t^{2} - 2 t$

$f^{'} (t) = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} t = 0 \notin (0; 1) \\ t = \frac{2}{3} \in (0; 1) \end{matrix}$

Vì $f (0) = f (1) = 1; f (\frac{2}{3}) = \frac{23}{27}$ nên $\max_{[0; 1]} f (t) = 1$

Do đó bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi khi $t \in [0; 1]$ và chỉ khi $m \geq 1$

Mặt khác m là số nguyên thuộc $[0; 2019]$ nên $m \in \{1; 2; 3; ...; 2019\}$

Vậy có 2019 giá trị của m thỏa mãn bài toán. Chọn C

Câu 154:

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên $[- 1; 3]$ và có đồ thị như hình vẽ. Bất phương trình $f (x) + \sqrt{x + 1} + \sqrt{7 - x} \geq m$ có nghiệm thuộc $[- 1; 3]$ khi và chỉ khi

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên [-1,3] và có đồ thị như hình vẽ. Bất phương trình f(x)+căn x+1 + căn 7-x >=m có nghiệm thuộc [-1,3] khi và chỉ khi (ảnh 1)

A. $m \leq 7$

B. $m \geq 7$

C. $m \leq 2 \sqrt{2} - 2$

D. $m \geq 2 \sqrt{2} - 2$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Xét hàm số $P = \sqrt{x + 1} + \sqrt{7 - x}$ trên đoạn $[- 1; 3]$

Ta có $P^{2} = 8 + 2 \sqrt{(x + 1) . (7 - x)} \leq 8 + (x + 1) + (7 - x) = 16 \Rightarrow P \leq 4$

Dấu bằng xảy ra khi $x = 3$

Suy ra $max_{[- 1; 3]} P = 4$ tại $x = 3$ (1)

Mặt khác dựa vào đồ thị của f(x) ta có $max_{[- 1; 3]} f (x) = 3$ tại $x = 3$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $max_{[- 1; 3]} (f (x) + \sqrt{x + 1} + \sqrt{7 - x}) = 7$ tại x=3

Vậy bất phương trình $f (x) + \sqrt{x + 1} + \sqrt{7 - x} \geq m$ có nghiệm thuộc $[- 1; 3]$ khi và chỉ khi $m \leq max_{[- 1; 3]} (f (x) + \sqrt{x + 1} + \sqrt{7 - x}) \Leftrightarrow m \leq 7$ .

Chọn A

Câu 155:

Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên âm của tham số m để phương trình $x + \sqrt{4 - x^{2}} = \frac{m}{2}$ có nghiệm. Tập S có số phần tử là

A. 10

B. 6

C. 4

D. 2

Xem đáp án

Chọn đáp án C

Câu 156:

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình $\sqrt{4 x + m - 1} = x - 1$ có hai nghiệm thực phân biệt ?

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

Xem đáp án

Chọn đáp án B

Câu 157:

Cho phương trình $\sqrt{2 x^{2} - 2 m x - 4} = x - 1$ (m là tham số). Gọi p, q lần lượt là các giá trị m nguyên nhỏ nhất và giá trị lớn nhất thuộc $[- 10; 10]$ để phương trình có nghiệm. Khi đó giá trị $T = p + 2 q$ là

A. 10

B. 19

C. 20

D. 8

Xem đáp án

Chọn đáp án B

Câu 158:

Biết rằng tập hợp tất cả giá trị của tham số m để phương trình $\sqrt{x} + \sqrt{9 - x} = \sqrt{- x^{2} + 9 x + m}$ có nghiệm thực là $S = [a; b]$ . Tổng $a + b$ là

A. $a + b = \frac{31}{4}$

B. $a + b = \frac{49}{4}$

C. $a + b = 10$

D. $a + b = \frac{5}{2}$

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Câu 159:

Có tất cả bao nhiêu số tự nhiên m để bất phương trình $\sqrt{x + 5} + \sqrt{4 - x} \geq m$ có nghiệm?

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

Xem đáp án

Chọn đáp án D

Câu 160:

Tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình $6 x + \sqrt{(2 + x) (8 - x)} \leq x^{2} + m - 1$ nghiệm đúng với mọi $x \in [- 2; 8]$ là

A. $m \geq 16$

B. $m \geq 15$

C. $m \geq 8$

D. $- 2 \leq m \leq 16$

Xem đáp án

Chọn đáp án B

Câu 161:

Có bao nhiêu số nguyên $m \in (- 2018; 2018)$ để bất phương trình $x^{4} + x^{2} + 2 m - 2 \leq 2 x \sqrt{x^{2} + 1}$ nghiệm đúng với mọi

A. 2017

B. 2018

C. 2019

D. 2020

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Câu 162:

Tổng các giá trị nguyên của $m \in (- 20; 20)$ để bất phương trình $x + 2 \sqrt{(2 - x) (2 x + 2)} > m + 4 (\sqrt{2 - x} + \sqrt{2 x + 2})$ có nghiệm là

A. -195

B. -175

C. -165

D. -162

Xem đáp án

Chọn đáp án D

Câu 163:

Có bao nhiêu giá trị của tham số

m \in (0; 2018)

để hệ phương trình

\{\begin{matrix} 2 x^{2} - 7 x + 3 \leq 0 \\ x^{2} - 4 x + m \leq 0 \end{matrix} (x, y \in ℝ)

có nghiệm

A. 4

B. 5

C. 2014

D. 2015

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Câu 164:

Cho hệ phương trình $\{\begin{matrix} x - y + m = 0 \\ \sqrt{x y} + y = 2 \end{matrix} \begin{matrix} (1) \\ (2) \end{matrix}$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m \in [0; 2019]$ để hệ phương trình có nghiệm?

A. 2018

B. 2019

C. 2017

D. 2016

Xem đáp án

Chọn đáp án A