82 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Chuyên đề Toán 12 Bài 3: Mặt cầu - Khối cầu có đáp án

Câu 1:

Diện tích mặt cầu có bán kính R là

A. $4 π R^{2} .$

B. $4 π R^{3} .$

C. $\frac{4}{3} π R^{2} .$

D. $\frac{4}{3} π R^{3} .$

Xem đáp án

Chọn A

Từ công thức tính diện tích của mặt cầu $S = 4 π R^{2}$ ta suy ra đáp án.

Câu 2:

Cho hình cầu có bán kính R. Khi đó thể tích khối cầu là

A. $\frac{4}{3} π R^{3} .$

B. $\frac{2}{3} π R^{3} .$

C. $\frac{1}{3} π R^{3} .$

D. $4 π R^{3} .$

Xem đáp án

Chọn A.

Từ công thức tính thể tích của khối cầu

V = \frac{4}{3} π R^{3}

ta suy ra đáp án.

Câu 3:

Từ một điểm M nằm ngoài mặt cầu S(O;R) có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với mặt cầu?

A. Vô số

B. 0

C. 1

D. 2

Xem đáp án

Chọn A.

Từ một điểm M nằm ngoài mặt cầu S(O;R) có thể kẻ được vô số tiếp tuyến với mặt cầu.

Câu 4:

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. Hình chóp đều luôn có mặt cầu ngoại tiếp.

B. Hình lăng trụ đều luôn có mặt cầu ngoại tiếp.

C. Hình hộp đứng luôn có mặt cầu ngoại tiếp.

D. Hình chóp tam giác luôn có mặt cầu ngoại tiếp.

Xem đáp án

Chọn C.

Đáy của hình hộp đứng không nội tiếp trong một đường tròn khi đáy của nó là hình bình hành (không phải các trường hợp đặc biệt như hình chữ nhật hay hình vuông) và khi đó hình hộp đứng không có mặt cầu ngoại tiếp.

Câu 5:

Cho mặt cầu có tâm, bán kính. Mặt phẳng cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn có bán kính. Kết luận nào sau đây sai?

A.

R = \sqrt{r^{2} + d^{2} (O, (α))} .

B.

d (O, (α)) < r .

C. Diện tích của mặt cầu là

S = 4 π r^{2} .

D. Đường tròn lớn của mặt cầu có bán kính bằng bán kính mặt cầu

Xem đáp án

Chọn A

Cho mặt cầu có tâm, bán kính. Mặt phẳng cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn có bán kính. Kết luận nào sau đây sai? (ảnh 1)

Đáp án A sai vì

r = \sqrt{R^{2} + d^{2} (O, (α))} .

Câu 6:

Thể tích V của khối cầu có bán kính

R = a \sqrt{3}

là

A. $V = 4 π a^{3} \sqrt{3} .$

B. $V = 12 π a^{3} \sqrt{3} .$

C. $V = \frac{4 π a^{3} \sqrt{3}}{3} .$

D. $V = \frac{4 π a^{3}}{3} .$

Xem đáp án

Chọn A.

Ta có

V = \frac{4}{3} π R^{3} = \frac{4}{3} π {(a \sqrt{3})}^{3} = 4 π a^{3} \sqrt{3} .

Câu 7:

Một mặt cầu có diện tích xung quanh là

π

thì có bán kính bằng

A. $\frac{\sqrt{3}}{2} .$

B. $\sqrt{3} .$

C. $\frac{1}{2} .$

D. 1

Xem đáp án

Chọn C.

$S_{m c} = 4 π R^{2} \Leftrightarrow 4 π R^{2} = π \Leftrightarrow R = \frac{1}{2} .$

Câu 8:

Diện tích S của một mặt cầu có bán kính

R = a \sqrt{6}

là

A. $S = 6 π a^{2} .$

B. $S = 24 π a^{2} .$

C. $S = 8 π a^{2} .$

D. $S = π a^{2} .$

Xem đáp án

Chọn B.

Diện tích của một mặt cầu có bán kính

R = a \sqrt{6}

là

S = 4 π R^{2} = 4 π {(a \sqrt{6})}^{2} = 24 π a^{2} .

Câu 9:

Khối cầu

(S_{1})

có thể tích bằng 54 cm³ và có bán kính gấp 3 lần bán kính khối cầu

(S_{2})

. Thể tích V của khối cầu

(S_{2})

là

A. 2cm³.

B. 18cm³.

C. 4cm³.

D. 6cm³.

Xem đáp án

Chọn A.

Khối cầu $(S_{1})$ có bán kính R. Khi đó khối cầu $(S_{2})$ có bán kính $\frac{R}{3} .$

Từ giả thiết ta có $\frac{4}{3} π R^{3} = 54.$

Do đó, thể tích khối cầu

(S_{2})

là

V = \frac{4}{3} π {(\frac{R}{3})}^{3} = \frac{1}{27} . \frac{4}{3} π R^{3} = \frac{1}{27} .54 = 2 (c m^{3}) .

Câu 10:

Cắt mặt cầu (S) bằng một mặt phẳng cách tâm một khoảng bằng 4cm ta được một thiết diện là đường tròn có bán kính bằng 3cm. Bán kính của mặt cầu (S) là

A. 10cm.

B. 7cm.

C. 12cm.

D. 5cm.

Xem đáp án

Chọn D.

Cắt mặt cầu (S) bằng một mặt phẳng cách tâm một khoảng bằng 4cm ta được một thiết diện là đường tròn có bán kính bằng 3cm (ảnh 1)

Bán kính mặt cầu (S) là

R = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5 (c m) .

Câu 11:

Cho hình hộp chữ nhật có ba kích thước là 2a, 4a, 4a với

0 < a \in R .

Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật đã cho bằng

A. 6a

B. 4a

C. 3a

D. 2a

Xem đáp án

Chọn C

Cho hình hộp chữ nhật có ba kích thước là 2a, 4a, 4a với 0 < a thuộc R. Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật đã cho bằng (ảnh 1)

Giả sử hình hộp chữ nhật là ABCD.A'B'C'D'. Dễ thấy điểm O là trung điểm của AC’ là tâm mặt cầu ngoại tiếp của hình hộp chữ nhật.

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật là R = OA

R = \frac{1}{2} A C^{'} = \frac{1}{2} \sqrt{{(A^{'} A)}^{2} + {(A^{'} C^{'})}^{2}} \begin{array}{l} = \frac{1}{2} \sqrt{{(A^{'} A)}^{2} + {(A^{'} D^{'})}^{2} + {(D^{'} C^{'})}^{2}} \\ = \frac{1}{2} \sqrt{{(2 a)}^{2} + {(4 a)}^{2} + {(4 a)}^{2}} = 3 a . \end{array}

Câu 12:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là điểm I với

A. I là trung điểm của đoạn thẳng SD.

B. I là trung điểm của đoạn thẳng AC.

C. I là trung điểm của đoạn thẳng SC.

D. I là trung điểm của đoạn thẳng SB.

Xem đáp án

Chọn C

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là điểm I với (ảnh 1)

Từ giả thiết ta có $\{\begin{cases} B C ⊥ A B \\ B C ⊥ S A \end{cases}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow B C ⊥ (S A B) \Rightarrow B C ⊥ S B \\ \Rightarrow \hat{S B C} = 90^{o} (1) . \end{array}$

Chứng minh tương tự ta cũng có $C D ⊥ S D \Rightarrow \hat{S D C} = 90^{o} (2) .$

Do $S A ⊥ (A B C D) \Rightarrow S A ⊥ A C \Rightarrow \hat{S A C} = 90^{o} (3) .$

Từ (1), (2) và (3) suy ra mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là mặt cầu đường kính SC nên tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là trung điểm I của đoạn thẳng SC.

Câu 13:

Cho khối chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng $a \sqrt{3}$ . Thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp là

A. $V = 3 π a^{3} \sqrt{6} .$

B. $V = π a^{3} \sqrt{6} .$

C. $V = \frac{π a^{3} \sqrt{6}}{8} .$

D. $V = \frac{3 π a^{3} \sqrt{6}}{8} .$

Xem đáp án

Chọn B

Cho khối chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a căn bậc hai 3. Thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp là (ảnh 1)

Vì S.ABCD là hình chóp đều nên $S O ⊥ (A B C D) .$

Ta có $O D = \frac{1}{2} B D = \frac{1}{2} . a \sqrt{6} = \frac{a \sqrt{6}}{2},$

$S O = \sqrt{S D^{2} - O D^{2}} = \frac{a \sqrt{6}}{2} .$

Vậy $O S = O A = O D = O B = O C,$ nên O là tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD.

Vậy thể tích khối cầu cần tìm là $V = \frac{4}{3} π . S O^{3} = π a^{3} \sqrt{6}$ (đvtt)

Câu 14:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông,

S A ⊥ (A B C D)

và

S A = A B = a .

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là

A. $\frac{a \sqrt{2}}{2} .$

B. $\frac{a \sqrt{3}}{2} .$

C. $\frac{a \sqrt{5}}{2} .$

D. $a \sqrt{2} .$

Xem đáp án

Chọn B

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA vuông và Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là (ảnh 1)

Chứng minh tương tự như ví dụ 2 ta được kết quả

=> Ba đỉnh A, B, D đều nhìn cạnh SC dưới một góc vuông.

=> Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là trung điểm SC và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là $R = \frac{S C}{2} .$

Ta có ABCD là hình vuông cạnh a $\Rightarrow A C = a \sqrt{2} .$

Xét tam giác SAC vuông tại A có $S C = \sqrt{a^{2} + 2 a^{2}} = a \sqrt{3} .$

Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là

R = \frac{a \sqrt{3}}{2} .

Câu 15:

Cho tứ diện ABCD có các mặt ABC và BCD là các tam giác đều cạnh bằng 2, hai mặt phẳng (ABD) và (ACD) vuông góc với nhau. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD bằng

A. $2 \sqrt{2} .$

B. $\sqrt{2} .$

C. $\frac{2 \sqrt{2}}{3} .$

D. $\frac{\sqrt{6}}{3} .$

Xem đáp án

Chọn B

Cho tứ diện ABCD có các mặt ABC và BCD là các tam giác đều cạnh bằng 2, hai mặt phẳng (ABD) và (ACD) vuông góc với nhau. (ảnh 1)

Ta có $△$ ABC, $△$ BCD đều cạnh bằng 2 nên $A C = C D = 2 \Rightarrow Δ A C D$ cân tại C.

Gọi I là trung điểm $A D \Rightarrow C I ⊥ A D .$

Lại có $\{\begin{cases} (A C D) ⊥ (A D B) \\ (A C D) \cap (A D B) = A D \\ I C ⊥ A D \end{cases} \Rightarrow C I ⊥ (A B D)$

$\Rightarrow C I ⊥ I B (d o I B \subset (A B D)) (1)$

Ta có $Δ A C D = Δ A B D (c . c . c) \Rightarrow C I = I B (2) .$

Từ (1) và (2) ta có ACB vuông cân tại $I \Rightarrow C B = I B \sqrt{2} \Rightarrow I B = \frac{C B}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} = I C .$

$△$ DIB vuông tại $I \Rightarrow I D = \sqrt{B D^{2} - I B^{2}} = \sqrt{2} \Rightarrow A D = 2 I D = 2 \sqrt{2} .$

Xét $△$ ADB có $A B = D B = 2; A D = 2 \sqrt{2} \Rightarrow Δ A B D$ vuông tại B.

$\Rightarrow \hat{A B D} = 90^{o} \Rightarrow \hat{A C D} = 90^{o} .$

Suy ra mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có đường kính là AD nên bán kính là $R = I D = \sqrt{2} .$

Câu 16:

Cho hình chóp S.ABC có

S A ⊥ (A B C),

tam giác ABC vuông tại B. Biết SA = 4a, AB = 2a, BC = 4a. Bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là

A. 3a

B. 2a

C. a

D. 6a

Xem đáp án

Chọn A

Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc (ABC) tam giác ABC vuông tại B. Biết SA = 4a, AB = 2a, BC = 4a. (ảnh 1)

Ta có $\{\begin{cases} B C ⊥ A B \\ B C ⊥ S A (d o S A ⊥ (A B C)) \end{cases} \Rightarrow B C ⊥ (S A B) \Rightarrow B C ⊥ S B .$

$S A ⊥ (A B C) \Rightarrow S A ⊥ A C$

Suy ra hai điểm A, B cùng nhìn SC dưới một góc vuông. Vậy tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là trung điểm SC, bán kính mặt cầu là $R = \frac{S C}{2} .$

Ta có $A C^{2} = A B^{2} + B C^{2} = 4 a^{2} + 16 a^{2} = 20 a^{2}$

$\Rightarrow S C = \sqrt{S A^{2} + A C^{2}} = \sqrt{16 a^{2} + 20 a^{2}} = 6 a \{\begin{cases} (α) / / B D \\ (S B D) \cap (α) = E F \end{cases} \Rightarrow B D / / E F .$

Vậy R = 3a

Câu 17:

Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B,

A C = a \sqrt{3}, \hat{A C B} = 30^{o} .

Góc giữa đường thẳng AB' và mặt phẳng (ABC) bằng 60°. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A'ABC bằng

A. $\frac{a \sqrt{21}}{4} .$

B. $\frac{a \sqrt{21}}{2} .$

C. $\frac{3 a}{4} .$

D. $\frac{a \sqrt{21}}{8} .$

Xem đáp án

Chọn A

Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AC = a căn bậc hai 3, góc ACB = 30 độ. Góc giữa đường thẳng AB' và mặt phẳng (ABC) (ảnh 1)

Trong tam giác vuông ABC có $A B = A C . \sin 30^{o} = \frac{a \sqrt{3}}{2} .$

Vì $A B^{'} \cap (A B C) = \{A\}$ và hình chiếu của B lên mặt phẳng (ABC) là B nên góc giữa đường thẳng AB' và mặt phẳng (ABC) bằng góc giữa hai đường thẳng AB' và AB, và bằng góc $\hat{B^{'} A B}$ (vì tam giác AB'B vuông tại B). Do đó $\hat{B^{'} A B} = 60^{o} .$

Trong tam giác vuông AB'B có $B B^{'} = A B . \tan 60^{o} = \frac{a \sqrt{3}}{2} \tan 60^{o} = \frac{3 a}{2} .$

Trong tam giác vuông AA'C có $A^{'} C = \sqrt{A {A^{'}}^{2} + A C^{2}} = \sqrt{{(\frac{3 a}{2})}^{2} + {(\sqrt{3} a)}^{2}} = \frac{\sqrt{21}}{2} a .$

Ta có $B C ⊥ A B$ và $B C ⊥ A A^{'}$ nên $B C ⊥ (A B B^{'} A^{'}),$ suy ra $B C ⊥ A^{'} B$ hay $\hat{A^{'} B C} = 90^{o} .$ Mà $\hat{A^{'} A C} = 90^{o},$ suy ra hai điểm A, B cùng nhìn A'C dưới một góc vuông.

Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A'ABC bằng

R = \frac{A^{'} C}{2} = \frac{\sqrt{21}}{4} a .

Câu 18:

Cho hình chóp S.ABC có đáy là hình vuông cạnh

a, S A = a \sqrt{2}

và vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M là trung điểm cạnh SC. Mặt phẳng

(α)

qua A và M đồng thời song song với đường thẳng BD cắt SB, SD lần lượt tại E, F. Bán kính mặt cầu đi qua 5 điểm S, A, E, M, F nhận giá trị nào sau đây?

A. a

B. $\frac{a}{2} .$

C. $\frac{a \sqrt{2}}{2} .$

D. $a \sqrt{2} .$

Xem đáp án

Chọn C

Cho hình chóp S.ABC có đáy là hình vuông cạnh a, SA = a căn bậc hai 2 và vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M là trung điểm cạnh SC. (ảnh 1)

Gọi I là giao điểm của AM và SO.

Dễ thấy I là trọng tâm tam giác SAC và I, E, F thẳng hàng.

Lại có $\frac{S F}{S D} = \frac{S I}{S O} = \frac{2}{3} \Rightarrow S F = \frac{2}{3} S D$

$\begin{array}{l} \Rightarrow S F . S D = \frac{2}{3} S D^{2} = \frac{2}{3} (S A^{2} + A D^{2}) = 2 a^{2} \\ \Rightarrow S F . S D = S A^{2} . \end{array}$

Xét tam giác vuông SAD có $S F . S D = S A^{2} \Rightarrow A F$ là đường cao tam giác $A F ⊥ S F .$

Chứng minh tương tự ta có $A E ⊥ S B .$

Tam giác $S A = A C = a \sqrt{2}$ nên AM vừa là trung tuyến vừa là đường cao tam giác $A M ⊥ S C .$

Ta có $\{\begin{cases} A M ⊥ S M \\ A F ⊥ S F \\ A E ⊥ S E \end{cases}$ nên mặt cầu đi qua 5 điểm S, A, E, M, F có tâm là trung điểm SA và bán kính bằng $\frac{S A}{2} = \frac{a \sqrt{2}}{2} .$

Câu 19:

Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với mặt đáy một góc 60°. Gọi (S) là mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Thể tích của khối cầu tạo nên bởi mặt cầu (S) bằng

A. $\frac{32 π a^{3}}{81} .$

B. $\frac{32 π a^{3}}{77} .$

C. $\frac{64 π a^{3}}{77} .$

D. $\frac{72 π a^{3}}{39} .$

Xem đáp án

Chọn A

Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với mặt đáy một góc 60°. Gọi (S) là mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. (ảnh 1)

Gọi H là tâm của tam giác ABC, SH là trục của đường tròn ngoại tiếp ABC, mặt phẳng trung trực của SA qua E là trung điểm của SA và cắt SH tại I. Khi đó I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.

Xét trong tam giác SAH ta có $S H = A H . t a n 60^{o} = \frac{a \sqrt{3}}{3} . \tan 60^{o} = a; S A = \frac{S H}{\sin 60^{o}} = \frac{2 a}{\sqrt{3}} .$

Xét hai tam giác đồng dạng $△$ SEI và $△$ SHA

Ta có $\frac{S I}{S A} = \frac{S E}{S H} \Rightarrow S I = \frac{S A . S E}{S H} = \frac{\frac{2 a}{\sqrt{3}} . \frac{2 a}{2 \sqrt{3}}}{a} = \frac{2 a}{3}$

$\Rightarrow R = \frac{2 a}{3} .$

Suy ra thể tích của khối cầu tạo nên bởi mặt cầu (S) bằng

\frac{4}{3} π {(\frac{2 a}{3})}^{3} = \frac{32 π a^{3}}{81} .

Câu 20:

Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đều có tất cả các cạnh đều bằng a.

A. $\frac{7 π a^{2}}{5} .$

B. $\frac{7 π a^{2}}{3} .$

C. $\frac{7 π a^{2}}{6} .$

D. $\frac{3 π a^{2}}{7} .$

Xem đáp án

Chọn B

Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đều có tất cả các cạnh đều bằng a. (ảnh 1)

Gọi O₁, O₂ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp hai đáy lăng trụ => O₁O₂ là trục đường tròn ngoại tiếp hai đa giác đáy.

Gọi I là trung điểm của $O_{1} O_{2} \Rightarrow I A = I B = I C = I A^{'} = I B^{'} = I C^{'} .$

Suy ra trung điểm I của O₁O₂ là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ.

Bán kính $R = I A = \sqrt{A O_{2}^{2} + I O_{2}^{2}} = \sqrt{A O_{2}^{2} + {(\frac{O_{1} O_{2}}{2})}^{2}} = \sqrt{{(\frac{2}{3} . \frac{a \sqrt{3}}{2})}^{2} + {(\frac{a}{2})}^{2}} = a . \sqrt{\frac{7}{12}} .$

Do đó diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đều có tất cả các cạnh đều bằng a là $S = 4 π . R^{2} = 4 π . {(a . \sqrt{\frac{7}{12}})}^{2} = \frac{7 π a^{3}}{3} .$

Câu 21:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và

A B = 2, A C = 4, S A = \sqrt{5} .

Mặt cầu đi qua các đỉnh của hình chóp S.ABC có bán kính là

A. $R = \frac{25}{2} .$

B. $R = \frac{5}{2} .$

C. $R = 5.$

D. $R = \frac{10}{3} .$

Xem đáp án

Chọn B

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và ab = 2, ac = 4, sa = căn bậc hai 5 (ảnh 1)

Gọi M, H lần lượt là trung điểm của BC, SA

Ta có tam giác ABC vuông tại A suy ra A là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Qua M kẻ đường thẳng d sao cho $d ⊥ (A B C) \Rightarrow d$ là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Trong mặt phẳng kẻ đường trung trực $Δ$ của đoạn SA, cắt d tại I $\Rightarrow \{\begin{cases} I A = I B = I C \\ I A = I S \end{cases} \Rightarrow I A = I B = I C = I S$

=> I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Dễ thấy tứ giác HAMI là hình chữ nhật.

Ta có

$\begin{array}{l} A M = \frac{1}{2} B C = \frac{1}{2} \sqrt{2^{2} + 4^{2}} = \sqrt{5}, \\ I M = \frac{1}{2} S A = \frac{\sqrt{5}}{2} . \end{array}$

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là $R = A I = \sqrt{A M^{2} + I M^{2}} = \sqrt{5 + \frac{5}{4}} = \frac{5}{2} .$

Câu 22:

Cho hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là

A. $a \sqrt{2} .$

B. $a .$

C. $\frac{a \sqrt{2}}{2} .$

D. $2 a .$

Xem đáp án

Chọn C

Gọi O là tâm của hình vuông $A B C D \Rightarrow S O ⊥ (A B C D)$

Vậy SO là trục của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD

Trong (SAC) gọi (d) là trung trực của SA và I là giao điểm của (d) với SO

$\begin{array}{l} \Rightarrow \{\begin{cases} I \in (S O) \\ I \in (d) \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} I A = I B = I C = I D \\ I A = I S \end{cases} \\ \Rightarrow I A = I B = I C = I D = I S . \end{array}$

Vậy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

Bán kính mặt cầu là

R = \frac{S A^{2}}{2 S O} = \frac{S A^{2}}{2 \sqrt{S A^{2} - A O^{2}}} = \frac{a^{2}}{2 \sqrt{a^{2} - {(\frac{a \sqrt{2}}{2})}^{2}}} = \frac{a \sqrt{2}}{2} .

Câu 23:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, các mặt bên tạo với đáy một góc 60°. Diện tích S_mc của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là

A. $S_{m c} = \frac{25 π a^{2}}{3} .$

B. $S_{m c} = \frac{32 π a^{2}}{3} .$

C. $S_{m c} = \frac{8 π a^{2}}{3} .$

D. $S_{m c} = \frac{a^{2}}{12} .$

Xem đáp án

Chọn A

Trục của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy là SO. Mặt phẳng trung trực của SB cắt SO tại I, cắt SB tại K thì I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Gọi H là trung điểm BC thì $\hat{S H O} = 60^{o} .$

Xét tam giác vuông SHO, ta có $\tan 60^{o} = \frac{S O}{O H} \Rightarrow S O = a \sqrt{3} .$

Từ đó suy ra $S B = \sqrt{S O^{2} + O B^{2}} = \sqrt{3 a^{2} + 2 a^{2}} = a \sqrt{5} .$

Ta có $Δ S K I ∽ Δ S O B (g . g) .$

$\Rightarrow \frac{S K}{S O} = \frac{S I}{S B} \Rightarrow S I = \frac{S K . S B}{S O} \Rightarrow S I = \frac{a \sqrt{5} . \frac{a \sqrt{5}}{2}}{a \sqrt{3}} = \frac{5 a}{2 \sqrt{3}} = \frac{5 a \sqrt{3}}{6} .$

Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S_{m c} = 4 π R^{2} = 4 π \frac{75 a^{2}}{36} = \frac{25 π a^{2}}{3} .$

Câu 24:

Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy

a \sqrt{2},

cạnh bên 2a. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC, SD. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện ABCDMNPQ

A. $R = \frac{a \sqrt{6}}{2} .$

B. $R = a .$

C. $R = \frac{a \sqrt{6}}{4} .$

D. $R = \frac{a \sqrt{10}}{4} .$

Xem đáp án

Chọn B

Ta có $(A B C D) / / (M N P Q) .$ Gọi $\{O\} = A C \cap B D .$

Mà S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên $S O ⊥ (A B C D) .$ Nên SO là trục của hai đáy (ABCD) và (MNPQ).

Trong mặt phẳng (SAO) kẻ đường trung trực d của đoạn thẳng AM cắt SA, SO tại H, I.

Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện ABCDMNPQ và bán kính là IA.

Ta có $S A = S B = S C = S D = 2 a$

$A B = B C = C D = D A = a \sqrt{2} .$

Lại có $S H = \frac{3}{4} S A = \frac{3}{4} .2 a = \frac{3 a}{2} \Rightarrow H A = \frac{1}{4} S A = \frac{a}{2} .$

$\Rightarrow A C = A B \sqrt{2} = 2 a \Rightarrow A O = a \Rightarrow S O = \sqrt{S A^{2} - A O^{2}} = a \sqrt{3} .$

Mặt khác $Δ S H I ∽ Δ S O A (g . g) \Rightarrow \frac{H I}{O A} = \frac{S H}{S O} \Rightarrow H I = \frac{O A . S H}{S O} = \frac{a . \frac{3 a}{2}}{a \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} a}{2} .$

Bán kính mặt cầu cần tìm là

R = A I = \sqrt{H I^{2} + H A^{2}} = \sqrt{{(\frac{a \sqrt{3}}{2})}^{2} + {(\frac{a}{2})}^{2}} = a .

Câu 25:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = 2a, BC = a, hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của

A D, S H = \frac{a \sqrt{3}}{2} .

Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD bằng bao nhiêu?

A. $\frac{16 π a^{2}}{3} .$

B. $\frac{16 π a^{2}}{9} .$

C. $\frac{4 π a^{3}}{3} .$

D. $\frac{4 π a^{2}}{3} .$

Xem đáp án

Chọn A

Gọi I là giao điểm của AC và BC, qua I dựng đương thẳng d song song với $S H \Rightarrow d ⊥ (A B C D) .$

Gọi M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAD, qua M kẻ đường thẳng d' vuông góc với mp(SAD), d' cắt d tại O => O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD và bán kính bằng $R = O S = \sqrt{M O^{2} + M S^{2}} .$

Với $O M = I H = \frac{A B}{2} = a, M S = r$ (r là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB).

Lại có, $△$ SAD cân tại A, cạnh AD = a, đường cao $S H = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ suy ra tam giác SAD đều $r = A M = \frac{2}{3} S H = \frac{a \sqrt{3}}{3} \Rightarrow R^{2} = \frac{4 a^{2}}{3}$ (R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD).

Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD bằng $S = 4 π R^{2} = \frac{16 π a^{2}}{3} .$

Câu 26:

Cho hình chóp S.ABC có

S A ⊥ (A B C) .

Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SC. Biết

\hat{B A C} = α, B C = a .

Diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện ABCMN là

A. $\frac{π}{\cos^{2} α} a^{2} .$

B. $\frac{π}{\sin^{2} α} a^{2} .$

C. $\frac{4 π}{\cos^{2} α} a^{2} .$

D. $\frac{4 π}{\sin^{2} α} a^{2} .$

Xem đáp án

Chọn B

+) Gọi K, P lần lượt là trung điểm của AC và AB.

$△$ ACN vuông tại N => K là tâm đường tròn ngoại tiếp $△$ ACN.

$△$ ABM vuông tại M => P là tâm đường tròn ngoại tiếp $△$ ABM.

+) Hai mặt phẳng (SAB), (ABC) vuông góc và cắt nhau theo giao tuyến AB nên gọi d1 là trục của đường tròn ngoại tiếp $△$ ABM thì d₁ qua $P, d_{1} \subset (A B C)$ và $d_{1} ⊥ A B .$ Tương tự, gọi d₂ là trục của đường tròn ngoại tiếp $△$ ACN thì d₂ qua $K, d_{2} \subset (A B C)$ và $d_{2} ⊥ A C .$

+) Rõ ràng, trong mặt phẳng (ABC) thì d₁d₂ lần lượt là đường trung trực của các cạch AB, AC nên hai đường này cắt nhau tại tâm đường tròn ngoại tiếp $△$ ABC. Do đó, tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện ABCMN cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp $△$ ABC, bán kính R của mặt cầu này cũng chính là bán kính đường tròn ngoại tiếp $△$ ABC.

+) Áp dụng định lí sin cho $△$ ABC ta được $R = \frac{B C}{2 \sin A} = \frac{a}{2 \sin α} .$

Vây diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện ABCMN là $S = 4 π R^{2} = \frac{π a^{2}}{\sin^{2} α} .$

Câu 27:

Thể tích khối cầu nội tiếp hình lập phương có cạnh bằng 1 là

A. $\frac{π}{12} .$

B. $\frac{π}{3} .$

C. $\frac{2 π}{3} .$

D. $\frac{π}{6} .$

Xem đáp án

Chọn D

Khối cầu nội tiếp hình lập phương có tâm trùng với tâm của hình lập phương và tiếp xúc với các mặt của hình lập phương tại tâm của các hình vuông là các mặt của hình lập phương.

Suy ra bán kính $R = \frac{1}{2} .$

Thể tích khối cầu nội tiếp hình lập phương là

V = \frac{4}{3} π R^{3} = \frac{4}{3} π {(\frac{1}{2})}^{3} = \frac{π}{6} .

Câu 28:

Cho hình lập phương có thể tích bằng 64a³. Thể tích của khối cầu nội tiếp của hình lập phương đó bằng

A. $V = \frac{64 π a^{3}}{3} .$

B. $V = \frac{64 π a^{3}}{3} .$

C. $V = \frac{32 π a^{3}}{3} .$

D. $V = \frac{16 π a^{3}}{3} .$

Xem đáp án

Chọn C.

Hình lập phương có thể tích bằng 64a³, suy ra cạnh hình lập phương là 4a.

Khối cầu nội tiếp hình lập phương có bán kính bằng $\frac{1}{2}$ cạnh hình lập phương $\Rightarrow R = 2 a .$

Vậy

V = \frac{4}{3} π R^{3} = \frac{32 π a^{3}}{3} .

Câu 29:

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, AB = 8, BC = 6. Biết SA = 6 và SA vuông góc với mp(ABC). Tính thể tích khối cầu có tâm thuộc phần không gian bên trong của hình chóp và tiếp xúc với tất cả các mặt của hình chóp S.ABC.

A. $\frac{16}{9} π .$

B. $\frac{625}{81} π .$

C. $\frac{256}{81} π .$

D. $\frac{25}{9} π .$

Xem đáp án

Chọn C

Gọi I và r lần lượt là tâm và bán kính của hình cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của hình chóp S.ABC.

Khi đó

$\begin{array}{l} V_{S . A B C} = V_{I . A B C} + V_{I . S B C} + V_{I . S A B} + V_{I . S A C} = \frac{1}{3} r (S_{Δ A B C} + S_{Δ S A B} + S_{Δ S B C} + S_{Δ S A C}) = \frac{r . S_{T P}}{3} \\ \Rightarrow r = \frac{3 V_{S . A B C}}{S_{T P}} . \\ V_{S . A B C} = \frac{1}{3} S A . S_{Δ A B C} = \frac{1}{3} .6. \frac{1}{2} .8.6 = 48; \\ S_{Δ A B C} = S_{Δ S A B} = 24; S_{Δ S B C} = S_{Δ S A C} = 30 \Rightarrow S_{T P} = 108. \end{array}$

Vậy $r = \frac{3 V_{S . A B C}}{S_{T P}} = \frac{3.48}{108} = \frac{4}{3} \Rightarrow V_{m c} = \frac{4}{3} π r^{3} = \frac{256}{81} π .$

Câu 30:

Cho mặt cầu bán kính R = 5cm.Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) có chu vi bằng 8

π

cm. Bốn điểm A, B, C, D thay đổi sao cho A, B, C thuộc đường tròn (C), điểm D thuộc

(S) (D \notin (C))

và tam giác ABC đều. Thể tích lớn nhất của tứ diện ABCD bằng

A. $20 \sqrt{3} c m^{3} .$

B. $32 \sqrt{3} c m^{3} .$

C. $60 \sqrt{3} c m^{3} .$

D. $96 \sqrt{3} c m^{3} .$

Xem đáp án

Chọn B

Gọi H là hình chiếu của D trên mặt phẳng (P). Đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC có chu vi bằng 8 $π$ cm.

Suy ra bán kính đường tròn $R = \frac{8 π}{2 π} = 4 (c m) .$

Suy ra cạnh của tam giác ABC bằng $4 \sqrt{3} (c m)$

Suy ra $S_{Δ A B C} = \frac{{(4 \sqrt{3})}^{2} \sqrt{3}}{4} = 12 \sqrt{3} (c m^{2})$ không đổi

Do đó thể tích khối tứ diện ABCD lớn nhất khi $d (D, (A B C))$ lớn nhất <=> D và O nằm cùng phía SO với mặt phẳng (P) và D, O, H thẳng hàng

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow D H = D O + O H = D O + \sqrt{O A^{2} - A H^{2}} \\ = 5 + \sqrt{25 - 16} = 8. \end{array}$

Khi đó

V_{\max} = \frac{1}{3} .12 \sqrt{3} .8 = 32 \sqrt{3} (c m^{3}) .

Câu 31:

Cho hai mặt cầu

(S_{1}), (S_{2})

có cùng tâm I và bán kính lần lượt là 2 và

\sqrt{10} .

Các điểm A, B thay đổi thuộc

(S_{1})

còn C, D thay đổi thuộc

(S_{2})

sao cho có tứ diện ABCD. Khi thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn nhất thì khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD bằng

A. $\sqrt{10} .$

B. 3

C. $\sqrt{5} .$

D. 2

Xem đáp án

Chọn C

Để có tứ diện ABCD thì AB và CD không đồng phẳng.

Gọi R₁, R₂lần lượt là bán kính của các mặt cầu $(S_{1})$ và $(S_{2}) \Rightarrow R_{1} = 2; R_{2} = \sqrt{10} .$

Gọi K là trung điểm của CD và h là khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD.

Ta $C D = 2 C K, A B \leq 2 R_{1} = 4, \sin (A B, C D) \leq 1.$

Thể tích khối tứ diện ABCD là $V_{A B C D} = \frac{1}{6} A B . C D . \sin (A B, C D) . d (A B, C D) \leq \frac{1}{6} .4. C D . h$

$\overset{C o - s i}{\leq} \frac{4}{3} \sqrt{h^{2} + C K^{2}} \leq \frac{4}{3} \sqrt{I K^{2} + C K^{2}} .$

Xét $△$ ICK vuông tại K có $I K^{2} + C K^{2} = C I^{2} = R_{2}^{2} .$

Khi đó $V_{A B C D} \leq \frac{4}{3} R_{2} = \frac{4}{3} \sqrt{10} .$

Dấu “=” xảy ra

\Leftrightarrow \{\begin{cases} A B ⊥ C D \\ A B = 4 \\ h = I K = C K = \sqrt{5} \end{cases}

Câu 32:

Cho tam giác ABC đều cạnh a, đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi S là điểm thay đổi trên đường thẳng d, H là trực tâm tâm giác SBC. Biết rằng khi S thay đổi trên đường thẳng d thì điểm H nằm trên đường (C). Trong số các mặt cầu chứa đường (C), bán kính mặt cầu nhỏ nhất là

A. $\frac{a \sqrt{2}}{2} .$

B. a

C. $\frac{a \sqrt{3}}{12} .$

D. $\frac{a \sqrt{3}}{6} .$

Xem đáp án

Chọn C

Gọi M là trung điểm BC suy ra $A M ⊥ B C; S M ⊥ B C .$

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, vì tam giác ABC đều cạnh a nên $A M = \frac{a \sqrt{3}}{2}; M G = \frac{1}{3} M A = \frac{a \sqrt{3}}{6}$ suy ra $M G . M A = \frac{a^{2}}{4} .$

Mặt khác H trực tâm tam giác SBC nên tam giác BMH và tam giác SMC là hai tam giác đồng dạng nên $\frac{B M}{S M} = \frac{M H}{M C} \Leftrightarrow M H . M S = B M . M C = \frac{a^{2}}{4} .$

Do đó $M H . M S = M G . M A$ hay $\frac{M H}{M G} = \frac{M A}{M S}$ nên tam giác MHG và tam giác MAS đồng dạng suy ra $G H ⊥ S M .$

Vì H thuộc (SAM) cố định khi S thay đổi trên d và $G H ⊥ S M$ nên (C) là một phần của đường tròn đường kính GM do đó trong các mặt cầu chứa (C), mặt cầu có bán kính nhỏ nhất là mặt cầu nhận GM làm đường kính nên bán kính mặt cầu $R = \frac{G M}{2} = \frac{a \sqrt{3}}{12} .$

Câu 33:

Người ta thả một viên bi có dạng hình cầu với bán kính bằng 3cm vào một cái ly dạng hình trụ đang chứa nước. Người ta thấy viên bi chìm xuống đáy ly và chiều cao của mực nước dâng lên thêm 1cm. Biết rằng chiều cao của mực nước ban đầu trong ly bằng 7,5cm. Tính thể tích V của khối nước ban đầu trong ly (kết quả lấy xấp xỉ).

A. $V = 282, 74 c m^{3} .$

B. $V = 848, 23 c m^{3} .$

C. $V = 636, 17 c m^{3} .$

D. $V = 1272, 35 c m^{3} .$

Xem đáp án

Chọn B

Gọi V₀ là thể tích của viên bi.

Gọi R là bán kính của cái ly (không tính vỏ).

Theo bài ra ta có thể tích của cột nước dâng lên 1cm bằng thể tích viên bi nên ta có $π R^{2} .1 = 36 π \Rightarrow R = 6 (c m)$

Suy ra thể tích V của khối nước ban đầu trong ly $π R^{2} . h = π .36.7, 5 = 848, 23 (c m^{3})$

Câu 34:

Cho ba hình cầu tiếp xúc ngoài với nhau từng đôi một và cùng tiếp xúc với một mặt phẳng. Các tiếp điểm của các hình cầu trên mặt phẳng lập thành tam giác có các cạnh là 4, 2 và 3. Tích bán kính của ba hình cầu trên là

A. 12

B. 3

C. 6

D. 9

Xem đáp án

Chọn B

Gọi $(O_{1}, r_{1}), (O_{2}, r_{2}), (O_{3}, r_{3})$ lần lượt là 3 hình cầu thỏa mãn. Gọi A, B, C lần lượt là hình chiếu của O₁; O₂; O₃ trên mặt phẳng. Giả sử AB = 4, BC = 2, AC = 3

Ta có $O_{1} A = r_{1}; O_{2} B = r_{2}; O_{3} C = r_{3}; O_{1} O_{2} = r_{1} + r_{2}; O_{2} O_{3} = r_{2} + r_{3}; O_{3} O_{1} = r_{3} + r_{1} .$

Kẻ $O_{1} H ⊥ B O_{2} (H \in B O_{2}) \Rightarrow B H = r_{1}; O_{2} H = r_{2} - r_{1} .$

Theo định lý Py-ta-go ta có $O_{1} {O_{2}}^{2} = O_{1} H^{2} + O_{2} H^{2} \Leftrightarrow {(r_{1} + r_{2})}^{2} = A B^{2} + {(r_{2} - r_{1})}^{2} \Leftrightarrow r_{1} r_{2} = \frac{A B^{2}}{4} .$

Tương tự ta có $r_{2} r_{3} = \frac{B C^{2}}{4}; r_{3} r_{1} = \frac{A C^{2}}{4} .$

Vậy

r_{1} r_{2} r_{3} = \sqrt{\frac{A B^{2} B C^{2} C A^{2}}{64}} = 3.

Câu 35:

Cho quả địa cầu có độ dài đường kinh tuyến 30° Đông là 40 $π$ cm (tham khảo hình vẽ). Độ dài đường xích đạo là:

A. $40 \sqrt{3} π c m .$

B. $40 π c m .$

C. $80 π c m .$

D. $\frac{80 π}{\sqrt{3}} c m .$

Xem đáp án

Chọn C

Đường xích đạo là đường vĩ tuyến lớn nhất. Độ dài đường xích đạo gấp hai lần đường kinh tuyến 30° Đông.

Vậy độ dài đường xích đạo là:

2.40 π = 80 π (c m) .

Câu 36:

Quả bóng đá được dùng thi đấu tại các giải bóng đá Việt Nam tổ chức có chu vi của thiết diện qua tâm là 68,5cm. Quả bóng được ghép nối bởi các miếng da hình lục giác đều màu trắng và đen, mỗi miếng có diện tích 49,83cm². Hỏi cần ít nhất bao nhiêu miếng da để làm quả bóng trên?

A.

\approx

40 (miếng da).

B.

\approx

20 (miếng da).

C.

\approx

35 (miếng da).

D.

\approx

30 (miếng da).

Xem đáp án

Chọn D

Vì thiết diện qua tâm là đường tròn có chu vi là 68,5cm, nên giả sử bán kính mặt cầu là R ta có $2 π R = 68, 5 \Rightarrow R = \frac{68, 5}{2 π} .$

Diện tích mặt cầu: $S_{x q} = 4 π R^{2} = 4 π {(\frac{68, 5}{2 π})}^{2} \approx 1493, 59 (c m^{2}) .$

Vì mỗi miếng da có diện tích 49,83cm² nên để phủ kín được mặt của quả bóng thì số miếng da cần là $\frac{1493, 59}{49, 83} \approx 29, 97.$ Vậy phải cần $\approx$ 30 miếng da.

Câu 37:

Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm I đường kính AA', M là trung điểm của BC. Khi quay tam giác ABM cùng với nửa hình tròn đường kính AA' xung quanh đường thẳng AM, ta được khối nón và khối cầu có thể tích lần lượt là V₁ và V₂. Tỷ số

\frac{V_{1}}{V_{2}}

bằng

A. $\frac{9}{4} .$

B. 49

C. $\frac{27}{32} .$

D. $\frac{9}{32} .$

Xem đáp án

Chọn D

Gọi a là cạnh

△

ABC đều, suy ra

B M = \frac{a}{2}; A M = \frac{a \sqrt{3}}{2}; I A = \frac{a \sqrt{3}}{3} .

Ta có

\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{\frac{1}{3} π B M^{2} . A M}{\frac{4}{3} . π . I A^{3}} = \frac{1}{4} . \frac{{(\frac{a}{2})}^{2} . \frac{a \sqrt{3}}{2}}{{(\frac{a \sqrt{3}}{3})}^{3}} = \frac{9}{32} .

Câu 38:

Cho hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh là 2a, có thể tích V₁ và hình cầu có đường kính bằng chiều cao hình nón, có thể tích V₂. Khi đó tỉ số thể tích

\frac{V_{1}}{V_{2}}

bằng bao nhiêu?

A. $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{1}{3} .$

B. $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{2}{3} .$

C. $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{1}{2} .$

D. $\frac{V_{1}}{V_{2}} = 1.$

Xem đáp án

Chọn B

Cho hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh là 2a

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = 2 a, R = a, h = a \sqrt{3} \Rightarrow V_{1} = \frac{1}{3} a \sqrt{3} π a^{2} = \frac{\sqrt{3}}{3} π a^{3}; \\ V_{2} = \frac{4}{3} π {(\frac{a \sqrt{3}}{2})}^{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} π a^{3} . \end{array}$

Vậy

\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{2}{3} .

Câu 39:

Một cái bồn chứa nước gồm hai nửa hình cầu và một hình trụ (như hình vẽ). Đường sinh của hình trụ bằng hai lần đường kính của hình cầu. Biết thể tích của bồn chứa nước là $\frac{128 π}{3} m^{3} .$ Tính diện tích xung quanh của cái bồn chứa nước theo đơn vị m².

A. 48

π

m².

B. 50

π

m².

C. 40

π

m².

D. 64

π

m².

Xem đáp án

Chọn A

Gọi x là bán kính hình cầu.

Ta có $l_{t} = 2 d_{c} = 4 R_{c} = 4 R_{t} = 4 x .$

Thể tích của bể nước là

$\begin{array}{l} V = V_{t} + V_{c} = π R_{t}^{2} l_{t} + \frac{4}{3} π R_{c}^{3} = π x^{2} .4 x + \frac{4}{3} π x^{3} = \frac{128 π}{3} \\ \Rightarrow x^{3} = 8 \Rightarrow x = 2. \end{array}$

Diện tích xung quanh của bể nước là $S = 2 π R_{t} . l_{t} + 4 π R_{c}^{2} = 2.2 π .8 + 4 π {.2}^{2} = 48 π (m^{2}) .$

Câu 40:

Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Mọi hình chóp đều luôn có mặt cầu ngoại tiếp.

C. Mọi hình chóp luôn có mặt cầu ngoại tiếp.

D. Mọi hình hộp chữ nhật luôn có mặt cầu ngoại tiếp.

Xem đáp án

Chọn C

Câu 41:

Số mặt cầu chứa một đường tròn cho trước là

A. Vô số

B. 2

C. 4

D. 1

Xem đáp án

Chọn A

Câu 42:

Cho ba điểm A, B, C phân biệt cùng thuộc một mặt cầu và

\hat{A C B} = 90^{o} .

Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

A. Luôn có một đường tròn nằm trên mặt cầu sao cho đường tròn này ngoại tiếp

△

ABC.

B. Đường tròn đi qua ba điểm A; B; C nằm trên mặt cầu.

C. AB là đường kính của đường tròn giao tuyến tạo bởi mặt cầu và mặt phẳng (ABC).

D. AB là đường kính của mặt cầu đã cho.

Xem đáp án

Chọn D

Câu 43:

Trong không gian, cho hai điểm phân biệt A, B cố định. Xét điểm M di động luôn nhìn đoạn AB dưới một góc vuông. Hỏi điểm M thuộc mặt nào trong các mặt sau?

A. Mặt cầu.

B. Mặt nón.

C. Mặt trụ.

D. Mặt phẳng.

Xem đáp án

Chọn A

Câu 44:

Trong không gian, cho hai điểm phân biệt A, B cố định. Xét điểm M di động luôn nhìn đoạn AB dưới một góc vuông. Hỏi điểm M thuộc mặt nào trong các mặt sau?

A. một mặt phẳng.

B. một đường thẳng.

C. một đường tròn.

D. một mặt cầu.

Xem đáp án

Chọn A

Câu 45:

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với

S A = \sqrt{6}, A B = 3.

Diện tích của mặt cầu có tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (SBC) bằng

A. $\frac{108 π}{5} .$

B. $\frac{54 π}{5} .$

C. $60 π .$

D. $18 π .$

Xem đáp án

Chọn A

Câu 46:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BC = 2a. Mặt bên (SAB) vuông góc với đáy,

\hat{A S B} = 60^{o}, S B = a .

Gọi (S) là mặt cầu tâm B và tiếp xúc với (SAC). Bán kính r của mặt cầu (S) là

A. $r = 2 a .$

B. $r = 2 a \sqrt{\frac{3}{19}} .$

C. $r = 2 a \sqrt{3} .$

D. $r = a \sqrt{\frac{3}{19}} .$

Xem đáp án

Chọn B

Câu 47:

Cho điểm A nằm ngoài mặt cầu S(O;R). Biết rằng qua A có vô số tiếp tuyến với mặt cầu. Tập hợp các tiếp điểm là một đường tròn nằm trên đường tròn có bán kính bằng

\frac{\sqrt{2}}{2} R .

Tính độ dài đoạn thẳng OA theo R.

A. $\sqrt{3} R .$

B. $\sqrt{2} R .$

C. $2 R .$

D. $\frac{\sqrt{2}}{2} R .$

Xem đáp án

Chọn B

Câu 48:

Cho mặt cầu (S) tâm I bán kính R. M là điểm thỏa mãn

I M = \frac{3 R}{2} .

Hai mặt phẳng (P), (Q) qua M tiếp xúc với (S) lần lượt tại A và B. Biết góc giữa (P) và (Q) là 60°. Độ dài đoạn thẳng AB là

A. $A B = R .$

B. $A B = R \sqrt{3} .$

C.

A B = \frac{3 R}{2} .

D.

A B = R

hoặc

A B = R \sqrt{3} .

Xem đáp án

Chọn A

Câu 49:

Cho mặt cầu (S) tâm O và các điểm A, B, C nằm trên mặt cầu (S) sao cho AB = 3, AC = 4, BC = 5 và khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) bằng 1. Thể tích của khối cầu (S) bằng

A. $\frac{7 \sqrt{21} π}{2} .$

B. $29 π .$

C. $\frac{20 \sqrt{5} π}{3} .$

D. $\frac{29 \sqrt{29} π}{6} .$

Xem đáp án

Chọn D

Câu 50:

Cho tứ diện đều ABCD có độ dài cạnh bằng a, (S) là mặt cầu tiếp xúc với sáu cạnh của tứ diện ABCD. M là một điểm thay đổi trên (S). Tổng

T = M A^{2} + M B^{2} + M C^{2} + M D^{2}

bằng

A. $\frac{3 a^{2}}{8} .$

B. $a^{2} .$

C. $4 a^{2} .$

D. $2 a^{2} .$

Xem đáp án

Chọn D

Câu 51:

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = 2a. Mặt bên (SAB), (SCA) lần lượt là các tam giác vuông tại B, C. Biết thể tích khối chóp S.ABC bằng

\frac{2}{3} a^{3} .

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC bằng bao nhiêu?

A. $R = a \sqrt{2} .$

B. $R = a .$

C. $R = \frac{3 a}{2} .$

D. $R = \frac{\sqrt{3} a}{2} .$

Xem đáp án

Chọn C

Câu 52:

Cho lăng trụ đứng có chiều cao bằng h không đổi, một đáy là tứ giác ABCD với A, B, C, D di động. Gọi I là giao của hai đường chéo AC và BD của tứ giác đó. Cho biết IA.IC = IB.ID = h². Giá trị nhỏ nhất của bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho là

A. $2 h .$

B. $\frac{h \sqrt{5}}{2} .$

C. $h .$

D. $\frac{h \sqrt{3}}{2} .$

Xem đáp án

Chọn B

Câu 53:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp SABCD bằng

A. $\frac{7 \sqrt{21}}{54} π a^{3} .$

B. $\frac{7 \sqrt{21}}{162} π a^{3} .$

C. $\frac{7 \sqrt{21}}{216} π a^{3} .$

D. $\frac{49 \sqrt{21}}{36} π a^{3} .$

Xem đáp án

Chọn A

Câu 54:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật,

A B = \sqrt{3} a, A D = a, Δ S A B

là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính theo a diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

A. $S = 5 π a^{2} .$

B. $S = 10 π a^{2} .$

C. $S = 4 π a^{2} .$

D. $S = 2 π a^{2} .$

Xem đáp án

Chọn A

Câu 55:

Cho tứ diện ABCD có ABC và DBC là hai tam giác đều chung cạnh BC = 2. Gọi I là trung điểm của

B C, \hat{A I D} = 2 α

với

\cos α = - \frac{1}{3} .

Hãy xác định tâm O của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đó.

A. O là trung điểm của AD.

B. O là trung điểm của BD.

C. O thuộc mặt phẳng (ADB).

D. O là trung điểm của AB.

Xem đáp án

Chọn A

Câu 56:

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và

B, A B = B C = a, A D = 2 a, S A ⊥ (A B C D)

và

S A = a \sqrt{2} .

Gọi E là trung điểm của AD. Kẻ

E K ⊥ S D

tại K. Bán kính mặt cầu đi qua sáu điểm S, A, B, C, E, K là

A. $R = \frac{1}{2} a .$

B. $R = \frac{\sqrt{6}}{2} a .$

C. $R = \frac{\sqrt{3}}{2} a .$

D. $R = a .$

Xem đáp án

Chọn D

Câu 57:

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác với

A B = 2 c m, A C = 3 c m, \hat{B A C} = 60^{o}, S A ⊥ (A B C) .

Gọi B₁, C₁ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SC. Thể tích khối cầu đi qua năm điểm A, B, C, B₁, C₁ bằng

A. $\frac{28 \sqrt{21} π}{27} c m^{3} .$

B. $\frac{76 \sqrt{57} π}{27} c m^{3} .$

C. $\frac{7 \sqrt{7} π}{6} c m^{3} .$

D. $\frac{27 π}{6} c m^{3} .$

Xem đáp án

Chọn A

Câu 58:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại $A, B, A B = B C = a, S A = A D = 2 a, S A ⊥ (A B C D),$ gọi E là trung điểm của AD. Bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.CDE theo a là

A. $R = \frac{3 a \sqrt{2}}{2} .$

B. $R = \frac{a \sqrt{10}}{2} .$

C. $R = \frac{a \sqrt{11}}{2} .$

D. $R = \frac{a \sqrt{2}}{2} .$

Xem đáp án

Chọn C

Câu 59:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và CD. Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.CMN là

A. $\frac{3 π a^{2}}{12} .$

B. $\frac{31 π a^{2}}{12} .$

C. $\frac{π a^{2}}{12} .$

D. $\frac{5 π a^{2}}{12} .$

Xem đáp án

Chọn B

Câu 60:

Cho hình chóp S.ABC có các tam giác ABC, SAB là các tam giác đều cạnh a nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là

A. $R = \frac{a \sqrt{5}}{4} .$

B. $R = \frac{a}{2} .$

C. $R = \frac{a \sqrt{21}}{6} .$

D. $R = \frac{a \sqrt{15}}{6} .$

Xem đáp án

Chọn D

Câu 61:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, D và AB = AD = a, DC = 2a tam giác SAD đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi H là hình chiếu vuông góc của D trên AC và M là trung điểm của HC. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.BDM theo a là.

A. $\frac{7 π a^{2}}{9} .$

B. $\frac{13 π a^{2}}{9} .$

C. $\frac{13 π a^{2}}{3} .$

D. $\frac{7 π a^{2}}{3} .$

Xem đáp án

Chọn D

Câu 62:

Tính thể tích V của khối chóp tứ giác đều có chiều cao là h và bán kính mặt cầu nội tiếp là r (h > 2r > 0). Giá trị của V là

A. $V = \frac{4 r^{2} h^{2}}{3 (h + 2 r)} .$

B. $V = \frac{4 r^{2} h^{2}}{(h + 2 r)} .$

C. $V = \frac{4 r^{2} h^{2}}{3 (h - 2 r)} .$

D. $V = \frac{3 r^{2} h^{2}}{4 (h - 2 r)} .$

Xem đáp án

Chọn C

Câu 63:

Trong tất cả các khối chóp tứ giác đều ngoại tiếp mặt cầu bán kính bằng a, thể tích V của khối chóp có thể tích nhỏ nhất là

A. $V = \frac{8 a^{3}}{3} .$

B. $V = \frac{10 a^{3}}{3} .$

C. $V = 2 a^{3} .$

D. $V = \frac{32 a^{3}}{3} .$

Xem đáp án

Chọn D

Câu 64:

Cho hình cầu (S) tâm I, bán kính R không đổi. Một hình trụ có chiều cao h và bán kính đáy r thay đổi nội tiếp hình cầu. Chiều cao h theo R sao cho diện tích xung quanh của hình trụ lớn nhất là

A. $h = R \sqrt{2} .$

B. $h = R .$

C. $h = \frac{R}{2} .$

D. $h = \frac{R \sqrt{2}}{2} .$

Xem đáp án

Chọn A

Câu 65:

Hình nón gọi là nội tiếp mặt cầu nếu đỉnh và đường tròn đáy của hình nón nằm trên mặt cầu. Tìm chiều cao h của hình nón có thể tích lớn nhất nội tiếp mặt cầu có bán kính R cho trước.

A. $h = \frac{3 R}{2} .$

B. $h = \frac{5 R}{2} .$

C. $h = \frac{5 R}{4} .$

D. $h = \frac{4 R}{3} .$

Xem đáp án

Chọn D

Câu 66:

Cho hình chóp đa giác đều có các cạnh bên bằng a và tạo với mặt đáy một góc 30°. Thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp là

A. $\frac{4 π a^{3}}{3} .$

B. $4 π a^{3} .$

C. $\frac{4 π a^{3} \sqrt{3}}{3} .$

D. $4 π a^{3} \sqrt{3} .$

Xem đáp án

Chọn A

Câu 67:

Cho hình chóp SABC có SA = 3, AB = 1, AC = 2 và $S A ⊥ (A B C) .$ Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Mặt cầu tâm O và qua A cắt các tia SB, SC lần lượt tại D và. Khi độ dài đoạn BC thay đổi, giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S.ADE là

A. $\frac{81}{130} .$

B. 6

C. 21

D. $\frac{87}{130} .$

Xem đáp án

Chọn A

Câu 68:

Ba quả bóng dạng hình cầu có bán kính bằng một đôi một tiếp xúc nhau và tiếp xúc với mặt phẳng (P). Mặt cầu (S) bán kính bằng 2 tiếp xúc với ba quả bóng trên. Gọi M là điểm bất kì trên (S), MH là khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P). Giá trị lớn nhất của MH bằng

A. $3 + \frac{\sqrt{30}}{2} .$

B. $3 + \frac{\sqrt{69}}{3} .$

C. $3 + \frac{\sqrt{123}}{4} .$

D. $\frac{52}{9} .$

Xem đáp án

Chọn B

Câu 69:

Trong tất cả các hình chóp tứ giác đều nội tiếp hình cầu có bán kính bằng 9. Thể tích V của khối chóp có giá trị lớn nhất là

A. $144 \sqrt{6} .$

B. 144

C. 576

D. $576 \sqrt{2} .$

Xem đáp án

Chọn C

Câu 70:

Cho mặt cầu đường kính AB = 2R. Mặt phẳng (P) vuông góc AB tại I (I thuộc đoạn AB), cắt mặt cầu theo đường tròn (C). Tính h = AI theo R để hình nón đỉnh A, đáy là hình tròn (C) có thể tích lớn nhất.

A. $h = R .$

B. $h = \frac{R}{3} .$

C. $h = \frac{4 R}{3} .$

D. $h = \frac{2 R}{3} .$

Xem đáp án

Chọn C

Câu 71:

Bạn An có một cốc giấy hình nón có đường kính đáy là 10cm và độ dài đường sinh là 8cm. Bạn dự định đựng một viên kẹo hình cầu sao cho toàn bộ viên kẹo nằm trong cốc (không phần nào của viên kẹo cao hơn miệng cốc). Hỏi bạn An có thể đựng được viên kẹo có đường kính lớn nhất bằng bao nhiêu?

A. $\frac{64}{\sqrt{39}} c m .$

B. $\frac{5 \sqrt{39}}{13} c m .$

C. $\frac{32}{\sqrt{39}} c m .$

D. $\frac{10 \sqrt{39}}{13} c m .$

Xem đáp án

Chọn D

Câu 72:

Có 4 viên bi hình cầu có bán kính bằng 1cm. Người ta đặt 3 viên bi tiếp xúc nhau và cùng tiếp xúc với mặt bàn. Sau đó đai chặt 3 viên bi đó lại và đặt 1 viên bi thứ 4 tiếp xúc với cả 3 viên bi trên như hình vẽ dưới đây. Gọi O là điểm thuộc bề mặt của viên bi thứ tư có khoảng cách đến mặt bàn là lớn nhất. Khoảng cách từ O đến mặt bàn bằng

A. $\frac{6 + 2 \sqrt{6}}{3} .$

B. $\frac{7}{2} .$

C. $\frac{3 + 2 \sqrt{6}}{3} .$

D. $\frac{4 \sqrt{6}}{3} .$

Xem đáp án

Chọn A

Câu 73:

Một chậu nước hình bán cầu bằng nhôm có bán kính R = 10cm. Trong chậu có chứa sẵn một khối nước hình chõm cầu có chiều cao h = 4cm. Người ta bỏ vào chậu một viên bi hình cầu bằng kim loại thì mặt nước dâng lên vừa phủ kín viên bi. Bán kính của viên bi là (kết quả làm tròn đến 2 chữ số thập phân)

A. 3,24cm.

B. 2,09cm.

C. 4,28cm.

D. 4,03cm.

Xem đáp án

Chọn B

Câu 74:

Một người dùng một cái ca hình bán cầu có bán kính là 3 cm để múc nước đổ vào trong một thùng hình trụ chiều cao 3cm và bán kính đáy bằng 12 cm. Hỏi người ấy sau bao nhiêu lần đổ thì nước đầy thùng? (Biết mỗi lần đổ, nước trong ca luôn đầy)

A. 10 lần.

B. 20 lần.

C. 24 lần.

D. 30 lần.

Xem đáp án

Chọn C

Câu 75:

Một cốc nước hình trụ có đường kính đáy bằng 6cm, chiều cao bằng 15cm. Giả sử mức nước trong cốc cao 7cm so với đáy bên trong cốc. Người ta thả viên bi hình cầu có bán kính bằng 2cm vào cốc nước. Hỏi mức nước dâng lên trong cốc là bao nhiêu cm?

A. 22

B. $\frac{7}{6} .$

C. 8

D. $\frac{32}{27} .$

Xem đáp án

Chọn D

Câu 76:

Một cái cốc hình trụ có bán kính đáy là 2cm, chiều cao 20cm. Trong cốc đang có một ít nước, khoảng cách giữa đáy cốc và mặt nước là 12cm. Một con quạ muốn uống được nước trong cốc thì mặt nước phải cách miệng cốc không quá 6cm. Con quạ thông minh mổ những viên bi đá hình cầu có bán kính 0,6cm thả vào cốc nước để mực nước dâng lên. Để uống được nước thì con quạ cần thả vào cốc ít nhất bao nhiêu viên đá?

A. 29

B. 30

C. 28

D. 27

Xem đáp án

Chọn C

Câu 77:

Người ta xếp bảy viên bi là các khối cầu có cùng bán kính R vào một cái lọ hình trụ. Biết rằng các viên bi đều tiếp xúc với hai đáy, viên bi nằm chính giữa tiếp xúc với sáu viên bi xung quanh và mỗi viên bi xung quanh đều tiếp xúc với các đường sinh của lọ hình trụ. Tính theo R thể tích lượng nước cần dùng để đổ đầy vào lọ sau khi đã xếp bi.

A. $6 π R^{3} .$

B. $\frac{26 π R^{3}}{3} .$

C. $18 π R^{3} .$

D. $\frac{28 π R^{3}}{3} .$

Xem đáp án

Chọn B

Câu 78:

Cho khối cầu (S) tâm I, bán kính R không đổi. Một khối trụ có chiều cao h và bán kính đáy r thay đổi nội tiếp khối cầu. Tính chiều cao h theo R sao cho thể tích của khối trụ lớn nhất.

A. $h = R \sqrt{2} .$

B. $h = \frac{R \sqrt{3}}{3} .$

C. $h = \frac{R \sqrt{2}}{2} .$

D. $h = \frac{2 R \sqrt{3}}{3} .$

Xem đáp án

Chọn D

Câu 79:

Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA = a. Đáy ABC nội tiếp trong đường tròn có đường kính AC = 4a. Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC nội tiếp hình trụ T. Thể tích khối trụ T bằng

A. $\frac{\sqrt{17} π a^{3}}{4} .$

B. $\frac{17 \sqrt{17} π a^{3}}{8} .$

C. $\frac{\sqrt{17} π a^{3}}{8} .$

D. $\frac{17 \sqrt{17} π a^{3}}{4} .$

Xem đáp án

Chọn D

Câu 80:

Cho đường tròn tâm O có đường kính AB = 2a nằm trong mặt phẳng (P). Gọi I là điểm đối xứng với O qua A. Lấy điểm S sao cho