19 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Chuyên đề Toán 12 Bài 3: Phương trình bậc hai với hệ số thực có đáp án

Câu 1:

z^{2} + 5 = 0

là

A. $\pm 5$

B. $\pm 5 i$

C. $\pm \sqrt{5} i$

D. $\pm \sqrt{5}$

Xem đáp án

Chọn C

Ta có phương trình: $z^{2} + 5 = 0 \Leftrightarrow z^{2} = - 5 \Leftrightarrow z^{2} = 5 i^{2} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} z = \sqrt{5} i \\ z = - \sqrt{5} i \end{array}$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phức là

z_{1} = \sqrt{5} i

và

z_{2} = - \sqrt{5} i

Câu 2:

Gọi z₁, z₂là hai nghiệm của phương trình

2 z^{2} + z + 1 = 0

. Giá trị của biểu thức

A = {|z_{1}|}^{2} + {|z_{2}|}^{2}

là

A. 2

B. 1

C. 4

D. 3

Xem đáp án

Chọn B

Ta có $Δ = - 7 = {(\sqrt{7} i)}^{2}$ nên phương trình có hai nghiệm là:

$z = - \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{7}}{4} i$ ; $z = - \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{7}}{4} i$

Suy ra $A = {|z_{1}|}^{2} + {|z_{2}|}^{2} = 1$

Câu 3:

Trong các số sau, số nào là nghiệm của phương trình

z^{2} + 1 = z (z \in ℂ)

?

A. $\frac{1 + \sqrt{3} i}{2}$

B. $\frac{1 - \sqrt{3}}{2}$

C. $\frac{1 + \sqrt{3}}{2}$

D. $\frac{1 + \sqrt{2} i}{2}$

Xem đáp án

Chọn A

Ta có

$z^{2} + 1 = z (z \in ℂ) \Leftrightarrow z^{2} - 2. z . \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = - \frac{3}{4} \Leftrightarrow {(z - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{3 i^{2}}{4} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} z - \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3} i}{2} \\ z - \frac{1}{2} = \frac{- \sqrt{3} i}{2} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} z = \frac{1 + \sqrt{3} i}{2} \\ z = \frac{1 - \sqrt{3} i}{2} \end{array}$

Câu 4:

Phương trình

z^{2} + a z + b = 0 (a, b \in ℝ)

có nghiệm phức là 3 + 4i. Giá trị của a + b bằng

A. 31

B. 5

C. 19

D. 29

Xem đáp án

Chọn C

Cách 1: Do z = 3 + 4i là nghiệm của phương trình $z^{2} + a z + b = 0$ nên ta có:

${(3 + 4 i)}^{2} + a (3 + 4 i) + b = 0 \Leftrightarrow (3 a + b - 7) + (4 a + 24) i = 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 a + b - 7 = 0 \\ 4 a + 24 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = - 6 \\ b = 25 \end{cases}$

Do đó a + b = 19

Cách 2: Vì $z_{1} = 3 + 4 i$ là nghiệm của phương trình $z^{2} + a z + b = 0$ nên $z_{2} = 3 - 4 i$ cũng là nghiệm của phương trình đã cho

Áp dụng hệ thức Vi-ét vào phương trình trên ta có $\{\begin{cases} z_{1} + z_{2} = - a \\ z_{1} . z_{2} = b \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} (3 + 4 i) + (3 - 4 i) = - a \\ (3 + 4 i) (3 - 4 i) = b \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = - 6 \\ b = 25 \end{cases} \Rightarrow a + b = 19$

Câu 5:

Gọi

z_{0}

là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình

z^{2} + 6 z + 34 = 0

. Giá trị của

|z_{0} + 2 - i|

là

A. $\sqrt{17}$

B. 17

C. $2 \sqrt{17}$

D. $\sqrt{37}$

Xem đáp án

Chọn A

Ta có $Δ' = - 25 = {(5 i)}^{2}$ . Phương trình có hai nghiệm là $z = - 3 + 5 i; z = - 3 - 5 i$

Do đó $z_{0} = - 3 + 5 i \Rightarrow |z_{0} + 2 - i| = |- 1 + 4 i| = \sqrt{17}$

Câu 6:

Gọi $z_{1}$ là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình $z^{2} - 2 z + 5 = 0$ . Tọa độ điểm biểu diễn số phức $\frac{7 - 4 i}{z_{1}}$ trên mặt phẳng phức là

A. P(3;2)

B. N(1;-2)

C. Q(3;-2)

D. M(1;2)

Xem đáp án

Chọn A

Ta có $z^{2} - 2 z + 5 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} z = 1 + 2 i \\ z = 1 - 2 i \end{array}$

Theo yêu cầu của bài toán ta chọn $z_{1} = 1 - 2 i$ . Khi đó:

$\frac{7 - 4 i}{z_{1}} = \frac{7 - 4 i}{1 - 2 i} = \frac{(7 - 4 i) (1 + 2 i)}{1^{2} + 2^{2}} = 3 + 2 i$

Vậy điểm biểu diễn của số phức là P(3;2)

Câu 7:

Gọi

z_{1}, z_{2}

là hai nghiệm phức của phương trình

z^{2} - 4 z + 5 = 0

. Giá trị của biểu thức

{(z_{1} - 1)}^{2019} + {(z_{2} - 1)}^{2019}

bằng

A. $2^{1009}$

B. $2^{1010}$

C. 0

D. $- 2^{1010}$

Xem đáp án

Chọn D

Xét phương trình $z^{2} - 4 z + 5 = 0 \Leftrightarrow {(z - 2)}^{2} = - 1 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} z_{1} = 2 + i \\ z_{2} = 2 - i \end{array}$

Khi đó ta có:

{(z_{1} - 1)}^{2019} + {(z_{2} - 1)}^{2019} = {(1 + i)}^{2019} + {(1 - i)}^{2019} = (1 + i) . {({(1 + i)}^{2})}^{1009} + (1 - i) . {({(1 - i)}^{2})}^{1009} = (1 + i) . {(2 i)}^{1009} + (1 - i) . {(- 2 i)}^{1009} = {(2 i)}^{1009} ((1 + i) - (1 - i)) = {(2 i)}^{1010} = {(i^{2})}^{505} {.2}^{1010} = - 2^{1010}

Câu 8:

Gọi

z_{1}, z_{2}

là hai nghiệm phức của phương trình

z^{2} - 2 z + 5 = 0

. Giá trị của biểu thức

z_{1}^{2} + z_{2}^{2}

bằng

A. 14

B. -9

C. -6

D. 7

Xem đáp án

Chọn C

Gọi $z_{1}, z_{2}$ là nghiệm của phương trình $z^{2} - 2 z + 5 = 0$

Theo định lí Vi-ét ta có: $\{\begin{cases} z_{1} + z_{2} = 2 \\ z_{1} . z_{2} = 5 \end{cases}$

Suy ra

z_{1}^{2} + z_{2}^{2} = {(z_{1} + z_{2})}^{2} - 2 z_{1} z_{2} = 2^{2} - 2.5 = - 6

Câu 9:

Phương trình bậc hai nào sau đây có nghiệm là 1 + 2i ?

A. $z^{2} - 2 z + 3 = 0$

B. $z^{2} + 2 z + 5 = 0$

C. $z^{2} - 2 z + 5 = 0$

D. $z^{2} + 2 z + 3 = 0$

Xem đáp án

Chọn C

Phương trình bậc hai có hai nghiệm phức là liên hợp của nhau nên phương trình bậc hai có nghiệm 1 - 2i thì nghiệm còn lại là 1 - 2i

Khi đó tổng và tích của hai nghiệm lần lượt là 2; 5

Vậy số phức 1 + 2i là nghiệm của phương trình

z^{2} - 2 z + 5 = 0

Câu 10:

Kí hiệu z₁, z₂là nghiệm phức của phương trình $2 z^{2} + 4 z + 3 = 0$ . Tính giá trị biểu thức $P = |z_{1} z_{2} + i (z_{1} + z_{2})|$

A. $P = 1$

B. $P = \frac{7}{2}$

C. $P = \sqrt{3}$

D. $P = \frac{5}{2}$

Xem đáp án

Chọn D

Ta có $z_{1}, z_{2}$ là hai nghiệm của phương trình $2 z^{2} + 4 z + 3 = 0$

Theo định lý Vi-ét ta có $\{\begin{cases} z_{1} + z_{2} = - 2 \\ z_{1} . z_{2} = \frac{3}{2} \end{cases}$

Ta có

P = |z_{1} z_{2} + i (z_{1} + z_{2})| = |\frac{3}{2} + i (- 2)| = |\frac{3}{2} - 2 i| = \sqrt{{(\frac{3}{2})}^{2} + {(- 2)}^{2}} = \frac{5}{2}

Câu 11:

Gọi z_1,z₂là hai nghiệm phức của phương trình

z^{2} - 4 z + 7 = 0

. Giá tị của

P = z_{1}^{3} + z_{2}^{3}

bằng

A. -20

B. 20

C. $14 \sqrt{7}$

D. $28 \sqrt{7}$

Xem đáp án

Chọn A

Theo định lý Vi-ét ta có $\{\begin{cases} z_{1} + z_{2} = 4 \\ z_{1} . z_{2} = 7 \end{cases}$

Suy ra

$z_{1}^{3} + z_{2}^{3} = (z_{1} + z_{2}) (z_{1}^{2} - z_{1} z_{2} + z_{2}^{2}) = (z_{1} + z_{2}) ({(z_{1} + z_{2})}^{2} - 3 z_{1} z_{2}) = 4. (4^{2} - 3.7) = - 20$

Câu 12:

Gọi z₁và z₂là hai nghiệm phức của phương trình

3 z^{2} - 2 z + 27 = 0

. Giá trị của

z_{1} |z_{2}| + z_{2} |z_{1}|

bằng

A. 2

B. 6

C. $3 \sqrt{6}$

D. $\sqrt{6}$

Xem đáp án

Chọn A

Áp dụng định lý Vi-ét, ta có $z_{1} + z_{2} = \frac{2}{3}$ và $z_{1} . z_{2} = 9$

Mà $|z_{1}| = |z_{2}| = \sqrt{|z_{1}| |z_{2}|} = \sqrt{|z_{1} . z_{2}|} = \sqrt{9} = 3$

Do đó

z_{1} |z_{2}| + z_{2} |z_{1}| = z_{1} .3 + z_{2} .3 = 3 (z_{1} + z_{2}) = 3. \frac{2}{3} = 2

Câu 13:

Cho số thực a > 2 và gọi

z_{1}, z_{2}

là hai nghiệm phức của phương trình

z^{2} - 2 z + a = 0

. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. $z_{1} + z_{2}$ là số thực

B. $z_{1} - z_{2}$ là số ảo

C. $\frac{z_{1}}{z_{2}} + \frac{z_{2}}{z_{1}}$ là số ảo

D. $\frac{z_{1}}{z_{2}} + \frac{z_{2}}{z_{1}}$ là số thực

Xem đáp án

Chọn C

Ta có $z_{1} + z_{2} = - \frac{b}{a} = 2$ . Đáp án A đúng

Phương trình bậc hai với hệ số thực có hai nghiệm là số phức liên hợp. Gọi $z_{1} = x + y i; x, y \in ℝ$ là một nghiệm, nghiệm còn lại là $z_{2} = x - y i$

Suy ra $z_{1} - z_{2} = 2 y i$ là số ảo. Đáp án B đúng

$\frac{z_{1}}{z_{2}} + \frac{z_{2}}{z_{1}} = \frac{z_{1}^{2} + z_{2}^{2}}{z_{1} . z_{2}} = \frac{{(z_{1} + z_{2})}^{2} - 2 z_{1} z_{2}}{z_{1} . z_{2}} = \frac{4 - 2 a}{a} \in ℝ$

Vậy C là đáp án sai và D đúng

Câu 14:

Tổng môđun bốn nghiệm phức của phương trình $2 z^{4} - 3 z^{2} - 2 = 0$ là

A. $3 \sqrt{2}$

B. $5 \sqrt{2}$

C. $2 \sqrt{5}$

D. $2 \sqrt{3}$

Xem đáp án

Chọn A

Ta có: $2 z^{4} - 3 z^{2} - 2 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} z^{2} = 2 \\ z^{2} = - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} . i^{2} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} z = \sqrt{2} \\ z = - \sqrt{2} \\ z = \frac{\sqrt{2}}{2} i \\ z = - \frac{\sqrt{2}}{2} i \end{array}$

Khi đó, tổng môđun bốn nghiệm phức của phương trình đã cho bằng

|\sqrt{2}| + |- \sqrt{2}| + |\frac{\sqrt{2}}{2} i| + |- \frac{\sqrt{2}}{2} i| = 3 \sqrt{2}

Câu 15:

Kí hiệu

z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}

là bốn nghiệm phức của phương trình

z^{4} + 4 z^{2} - 5 = 0

. Giá trị của

{|z_{1}|}^{2} + {|z_{2}|}^{2} + {|z_{3}|}^{2} + {|z_{4}|}^{2}

bằng

A. $2 + 2 \sqrt{5}$

B. 12

C. 0

D. $2 + \sqrt{5}$

Xem đáp án

Chọn B

Ta có: $z^{4} + 4 z^{2} - 5 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} z^{2} = 1 \\ z^{2} = - 5 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} z = 1 \\ z = - 1 \\ z = \sqrt{5} i \\ z = - \sqrt{5} i \end{array}$

Phương trình có bốn nghiệm lần lượt là: $z_{1} = 1, z_{2} = - 1, z_{3} = - i \sqrt{5}, z_{4} = i \sqrt{5}$

Do đó:

{|z_{1}|}^{2} + {|z_{2}|}^{2} + {|z_{3}|}^{2} + {|z_{4}|}^{2} = 1^{2} + 1^{2} + {(\sqrt{5})}^{2} + {(\sqrt{5})}^{2} = 12

Câu 16:

Gọi

z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}

là các nghiệm phức của phương trình

{(z^{2} + z)}^{2} + 4 (z^{2} + z) - 12 = 0

. Giá trị của biểu thức

S = {|z_{1}|}^{2} + {|z_{2}|}^{2} + {|z_{3}|}^{2} + {|z_{4}|}^{2}

là

A. S = 18

B. S = 16

C. S = 17

D. S = 15

Xem đáp án

Chọn C

Ta có: ${(z^{2} + z)}^{2} + 4 (z^{2} + z) - 12 = 0$

Đặt $t = z^{2} + z$ , ta có $t^{2} + 4 t - 12 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 2 \\ t = - 6 \end{array}$

Suy ra: $[\begin{array}{l} z^{2} + z - 2 = 0 \\ z^{2} + z + 6 = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} z_{1} = 1 \\ z_{2} = - 2 \\ z_{3} = \frac{- 1 + i \sqrt{23}}{2} \\ z_{4} = \frac{- 1 - i \sqrt{23}}{2} \end{array}$

Suy ra

S = 1^{2} + {(- 2)}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{23}}{2})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(- \frac{\sqrt{23}}{2})}^{2} = 17

Câu 17:

Gọi

z_{1}, z_{2}

là hai nghiệm của phương trình

\frac{{|z|}^{4}}{z^{2}} + \bar{z} = - 4

. Khi đó

|z_{1} + z_{2}|

bằng

A. 1

B. 4

C.8

D. 2

Xem đáp án

Chọn A

Điều kiện: $z \neq 0$

Ta có: $\frac{{|z|}^{4}}{z^{2}} + \bar{z} = - 4 \Leftrightarrow {(\frac{{|z|}^{2}}{z})}^{2} + \bar{z} = - 4 \Leftrightarrow {(\frac{z . \bar{z}}{z})}^{2} + \bar{z} = - 4$

$\Leftrightarrow {\bar{z}}^{2} + \bar{z} + 4 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \bar{z} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{15}}{2} i \\ \bar{z} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{15}}{2} i \end{array} \Rightarrow [\begin{array}{l} z = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{15}}{2} i \\ z = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{15}}{2} i \end{array}$

Vậy $|z_{1} + z_{2}| = |- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{15}}{2} i - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{15}}{2} i| = |- 1| = 1$

Câu 18:

Cho số thực a, biết rằng phương trình

z^{4} + a z^{2} + 1 = 0

có bốn nghiệm z_1,z_2,z_3,z₄thỏa mãn

(z_{1}^{2} + 4) (z_{2}^{2} + 4) (z_{3}^{2} + 4) (z_{4}^{2} + 4) = 441

. Tìm a

A. $[\begin{array}{l} a = 1 \\ a = - \frac{19}{2} \end{array}$

B. $[\begin{array}{l} a = - 1 \\ a = \frac{19}{2} \end{array}$

C. $[\begin{array}{l} a = - 1 \\ a = - \frac{19}{2} \end{array}$

D. $[\begin{array}{l} a = 1 \\ a = \frac{19}{2} \end{array}$

Xem đáp án

Chọn B

Nhận xét: $z^{2} + 4 = z^{2} - {(2 i)}^{2} = (z + 2 i) (z - 2 i)$

Đặt $f (x) = z^{4} + a z^{2} + 1,$ ta có:

$(z_{1}^{2} + 4) (z_{2}^{2} + 4) (z_{3}^{2} + 4) (z_{4}^{2} + 4) = \prod_{k = 1}^{4} (z_{k} + 2 i) . \prod_{k = 1}^{4} (z_{k} - 2 i) = f (- 2 i) . f (2 i) = (16 i^{4} + 4 a i^{2} + 1) (16 i^{4} + 4 a i^{2} + 1) = {(17 - 4 a)}^{2}$

Theo giả thiết, ta có

{(17 - 4 a)}^{2} = 441 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} a = - 1 \\ a = \frac{19}{2} \end{array}

Câu 19:

Cho số phức z thỏa mãn

11 z^{2018} + 10 i z^{2017} + 10 i z - 11 = 0

. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $2 \leq |z| < 3$

B. $0 \leq |z| < 1$

C. $1 < |z| < 2$

D. $\frac{1}{2} \leq |z| < \frac{3}{2}$

Xem đáp án

Chọn D

Ta có $z^{2017} (11 z + 10 i) = 11 - 10 i z \Leftrightarrow z^{2017} = \frac{11 - 10 i z}{11 z + 10 i} \Rightarrow {|z|}^{2017} = |\frac{11 - 10 i z}{11 z + 10 i}|$

Đặt $z = a + b i$ có $|\frac{11 - 10 i z}{11 z + 10 i}| = |\frac{11 - 10 i (a + b i)}{11 (a + b i) + 10 i}| = \sqrt{\frac{{(10 b + 11)}^{2} + 100 a^{2}}{121 a^{2} + {(11 b + 10)}^{2}}} = \sqrt{\frac{100 (a^{2} + b^{2}) + 220 b + 121}{121 (a^{2} + b^{2}) + 220 b + 100}}$

Đặt $t = |z| (t \geq 0)$ ta có phương trình $t^{2017} = \sqrt{\frac{100 t^{2} + 220 b + 121}{121 t^{2} + 220 b + 100}}$

Nếu $t \geq 1 \Rightarrow V T \geq 1; V P \leq 1$

Nếu $t \leq 1 \Rightarrow V T \leq 1; V P \geq 1$

Nếu

t = 1 \Rightarrow |z| = 1