8 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Chuyên đề Toán 12 Bài 3 Dạng 2: Các vấn đề về góc có đáp án

Câu 1:

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $Δ : \frac{x + 3}{1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z + 2}{4}$ và mặt phẳng $(P) : x + y - 2 z + 6 = 0$ . Biết $∆$ cắt mặt phẳng $(P)$ tại $A, M$ thuộc $∆$ sao cho $A M = 2 \sqrt{3}$ . Tính khoảng cách từ M tới mặt phẳng (P).

A. $\sqrt{2}$ .

B. 2.

C.

\sqrt{3}

.

D. 3.

Xem đáp án

Đường thẳng $Δ : \frac{x + 3}{1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z + 2}{4}$ có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (1; 1; 4)$ .

Mặt phẳng $(P) : x + y - 2 z + 6 = 0$ có vectơ chỉ phương $\vec{n} = (1; 1; - 2)$ .

$\sin (Δ, (P)) = |\cos (\vec{u}, \vec{n})| = \frac{|\vec{u} . \vec{n}|}{|\vec{u}| . |\vec{n}|} = \sqrt{\frac{1}{3}} = \sin φ$

Suy ra $d (M, Δ) = M H = M A . \sin φ = 2 \sqrt{3} . \sqrt{\frac{1}{3}} = 2$ .

Chọn B.

Câu 2:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng $(P) : x - z . \sin α + \cos α = 0; (Q) : y - z . \cos α - \sin α = 0; α \in (0; \frac{π}{2})$ .

Góc giữa d và trục Oz là:

A. $30 °$ .

B.

45 °

.

C.

60 °

.

D.

90 °

.

Xem đáp án

Mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến là $\vec{n_{(P)}} = (1; 0; - \sin α)$ .

Mặt phẳng $(Q)$ có vectơ pháp tuyến là $\vec{n_{(Q)}} = (0; 1; - \cos α)$ .

d là giao tuyến của (P) và (Q) nên vectơ chỉ phương của d là:

$\vec{u_{(d)}} = [\vec{n_{(P)}}, \vec{n_{(Q)}}] = (\sin α; \cos α; 1)$

Vectơ chỉ phương của (Oz) là $\vec{u_{(O z)}} = (0; 0; 1)$ .

Suy ra $\cos (d, O z) = \frac{|0. \sin α + 0. \cos α + 1.1|}{\sqrt{\sin^{2} α + \cos^{2} α + 1^{2}} . \sqrt{0 + 0 + 1^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow (d, O z) = 45 °$ .

Vậy góc giữa d và trục $(O z)$ là $45 °$ .

Chọn B.

Câu 3:

Trong không gian Oxyz, d là đường thẳng đi qua điểm A(1,-1,2), song song với mặt phẳng $(P) : 2 x - y - z + 3 = 0$ , đồng thời tạo với đường thẳng $Δ : \frac{x + 1}{1} = \frac{y - 1}{- 2} = \frac{z}{2}$ một góc lớn nhất. Phương trình đường thẳng d là

A. $\frac{x - 1}{- 4} = \frac{y + 1}{5} = \frac{z - 2}{3}$ .

B.

\frac{x - 1}{4} = \frac{y + 1}{- 5} = \frac{z - 2}{3}

.

C.

\frac{x + 1}{4} = \frac{y + 1}{5} = \frac{z - 2}{- 3}

.

D.

\frac{x - 1}{4} = \frac{y + 1}{5} = \frac{z - 2}{3}

.

Xem đáp án

Mặt phẳng $(P) : 2 x - y - z + 3 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là ${\vec{n}}_{_{(P)}} = (2; - 1; - 1)$ .

Đường thẳng $Δ : \frac{x + 1}{1} = \frac{y - 1}{- 2} = \frac{z}{2}$ có một vectơ chỉ phương là ${\vec{u}}_{_{Δ}} = (1; - 2; 2)$ .

Giả sử đường thẳng d có vectơ chỉ phương là ${\vec{u}}_{_{d}}$ .

Do $0 ° \leq (d, Δ) \leq 90 °$ mà theo giả thiết d tạo $∆$ góc lớn nhất nên $(d, Δ) = 90 ° \Rightarrow {\vec{u}}_{d} ⊥ {\vec{u}}_{Δ}$ .

Lại có $d // (P)$ nên ${\vec{u}}_{d} ⊥ {\vec{n}}_{(P)}$ . Do đó chọn ${\vec{u}}_{d} = [{\vec{u}}_{Δ}, {\vec{n}}_{(P)}] = (4; 5; 3)$ .

Vậy phương trình đường thẳng d là $\frac{x - 1}{4} = \frac{y + 1}{5} = \frac{z - 2}{3}$ .

Chọn D.

Câu 4:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d : \frac{x + 2}{4} = \frac{y - 1}{- 4} = \frac{z + 2}{3}$ và mặt phẳng $(P) : 2 x - y + 2 z + 1 = 0$ . Đường thẳng $∆$ đi qua $E (- 2; 1; - 2)$ , song song với $(P)$ có một vectơ chỉ phương $\vec{u} = (m; n; 1)$ , đồng thời tạo với d góc bé nhất. Tính $T = m^{2} - n^{2}$ .

A. $T = - 5$ .

B.

T = 4

.

C.

T = 3

.

D.

T = - 4

.

Xem đáp án

Mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = (2; - 1; 2)$ ; đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\vec{v} = (4; - 4; 3)$ .

$Δ // (P) \Rightarrow \vec{u} ⊥ \vec{n} \Leftrightarrow 2 m - n + 2 = 0 \Leftrightarrow n = 2 m + 2$

Mặt khác ta có: $\cos (\hat{Δ; d}) = \frac{|\vec{u} . \vec{v}|}{|\vec{u}| |\vec{v}|} = \frac{|4 m - 4 n + 3|}{\sqrt{m^{2} + n^{2} + 1} . \sqrt{4^{2} + {(- 4)}^{2} + 3^{2}}}$

$= \frac{|4 m + 5|}{\sqrt{41 (5 m^{2} + 8 m + 5)}} = \frac{1}{\sqrt{41}} . \sqrt{\frac{{(4 m + 5)}^{2}}{5 m^{2} + 8 m + 5}} = \frac{1}{\sqrt{41}} . \sqrt{\frac{16 m^{2} + 40 m + 25}{5 m^{2} + 8 m + 5}}$

Vì $0 ° \leq (\hat{Δ, d}) \leq 90 °$ nên $(\hat{Δ, d})$ bé nhất khi và chỉ khi $\cos (\hat{Δ, d})$ lớn nhất.

Xét hàm số $f (t) = \frac{16 t^{2} + 40 t + 25}{5 t^{2} + 8 t + 5} \Rightarrow f^{'} (t) = \frac{- 72 t^{2} - 90 t}{{(5 t^{2} + 8 t + 5)}^{2}}$ .

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có: $\max f (t) = f (0) = 5$ .

Suy ra $(\hat{Δ, d})$ bé nhất khi $m = 0 \Rightarrow n = 2$ .

Do đó $T = m^{2} - n^{2} = - 4$ .

Chọn D.

Câu 5:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

d : \frac{x - 2}{1} = \frac{y - 1}{- 2} = \frac{z + 1}{3}

và mặt phẳng

(α) : - x + 2 y - 3 z = 0

. Gọi

φ

là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng

(α)

. Khi đó góc

φ

bằng

A. $0 °$ .

B.

45 °

.

C.

90 °

.

D.

60 °

.

Xem đáp án

Chọn C

Câu 6:

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $Δ_{1} : \frac{x - 1}{- 2} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z - 3}{2}$ và $Δ_{2} : \frac{x + 3}{1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z + 2}{- 4}$ . Góc giữa hai đường thẳng $Δ_{1}, Δ_{2}$ bằng

A. $30 °$ .

B.

45 °

.

C.

60 °

.

D.

135 °

.

Xem đáp án

Chọn B

Câu 7:

Trong không gian Oxyz, hai đường thẳng

d_{1} : \frac{x - 2}{1} = \frac{y + 1}{\sqrt{2}} = \frac{z - 3}{1}

và

d_{2} : \frac{x + 5}{1} = \frac{y + 3}{\sqrt{2}} = \frac{z - 5}{m}

tạo với nhau góc

60 °

, giá trị của tham số m bằng

A. $m = - 1$ .

B.

m = \frac{\sqrt{3}}{2}

.

C.

m = \frac{1}{2}

.

D.

m = 1

.

Xem đáp án

Chọn A

Câu 8:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $(S) : {(x - 1)}^{2} + y^{2} + {(z + 2)}^{2} = 4$ và đường thẳng $d : \{\begin{cases} x = 2 - t \\ y = t \\ z = m - 1 + t \end{cases}$ .

Tổng tất cả các giá trị thực của tham số m để d cắt (S) tại hai điểm phân biệt A,B và các mặt phẳng tiếp diện của (S) tại A,B tạo với nhau một góc lớn nhất bằng

A. -1,5.

B. 3.

C. -3.

D. -2,25.

Xem đáp án

Chọn C