10 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Chuyên đề Toán 12 Bài 3 Dạng 3: Khoảng cách có đáp án

Câu 1:

Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(1,1,-1) cho trước, nằm trong mặt phẳng

(P) : 2 x - y - z - 2 = 0

và cách điểm

M (0; 2; 1)

một khoảng lớn nhất.

A. $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{- 3} = \frac{z + 1}{- 1}$ .

B.

\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{3} = \frac{z + 1}{1}

.

C.

\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{3} = \frac{z + 1}{- 1}

.

D.

\frac{x - 1}{- 1} = \frac{y - 1}{3} = \frac{z + 1}{- 1}

.

Xem đáp án

Ta gọi B là hình chiếu của M lên đường thẳng d khi đó $M B \leq M A$ .

Suy ra $M B_{\max} = M A$ nên đường thẳng d đi qua điểm A và vuông góc với MA.

Đồng thời đường thẳng d nằm trong mặt phẳng $(P)$ nên ta có

$\vec{u_{d}} = [\vec{M A}, \vec{n_{(P)}}] = (1; 3; - 1)$

Chọn C.

Câu 2:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2,1,-2), B(5,1,1) và mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} + 6 y + 12 z + 9 = 0$ . Xét đường thẳng d đi qua A và tiếp xúc với (S) sao cho khoảng cách từ B đến d nhỏ nhất. Phương trình của đường thẳng d là

A. $\{\begin{cases} x = 2 \\ y = 1 + t \\ z = - 2 + 2 t \end{cases}$ .

B.

\{\begin{cases} x = 2 \\ y = 1 - 4 t \\ z = - 2 + t \end{cases}

.

C.

\{\begin{cases} x = 2 + 2 t \\ y = 1 - 2 t \\ z = - 2 + t \end{cases}

.

D.

\{\begin{cases} x = 2 + t \\ y = 1 + 4 t \\ z = - 2 - t \end{cases}

.

Xem đáp án

Mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} + 6 y + 12 z + 9 = 0$ có tâm $I (0; - 3; - 6)$ bán kính $R = 6$ .

$I A = 6 = R \Rightarrow A \in (S), I B = 3 \sqrt{10} > R$ nên B nằm ngoài (S).

Đường thẳng d đi qua A và tiếp xúc với (S) nên d nằm trong mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại A.

Mặt phẳng (P) đi qua A và nhận $\vec{I A}$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là $x + 2 y + 2 z = 0$ .

Gọi H là hình chiếu của B lên (P) thì tọa độ của $H (4; - 1; - 1)$ .

Ta có: $d (B; d) \geq d (B; (P)) = B H$ .

Vậy khoảng cách từ B đến d nhỏ nhất khi d đi qua H. Ta có $\vec{u_{d}} = \vec{A H} = (2; - 2; 1)$ .

Suy ra phương trình đường thẳng d là: $\{\begin{cases} x = 2 + 2 t \\ y = 1 - 2 t \\ z = - 2 + t \end{cases}$ .

Chọn C.

Câu 3:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm $A (1; 1; 0), B (2; 1; 1), C (0; 1; 2), D (1; - 1; 1)$ . Khoảng cách giữa AB và CD là

A. $\frac{1}{\sqrt{3}}$ .

B.

\sqrt{3}

.

C.

\sqrt{6}

.

D.

\frac{\sqrt{3}}{2}

.

Xem đáp án

Ta có $\{\begin{cases} \vec{A B} = (1; 0; 1) \\ \vec{C D} = (1; - 2; - 1) \end{cases} \Rightarrow [\vec{A B}, \vec{C D}] = (2; 2; - 2)$ .

Suy ra $d (A B, C D) = \frac{|[\vec{A B}, \vec{C D}] . \vec{A C}|}{|[\vec{A B}, \vec{C D}]|} = \sqrt{3}$ .

Chọn B.

Câu 4:

Cho phương trình mặt phẳng (P): 2x+y+z-3=0, đường thẳng $d^{'} : \frac{x - 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{1}$ và điểm $A (0; 2; 1)$ . Viết phương trình đường thẳng d đi qua A, nằm trong (P) sao cho khoảng cách d và d' đạt giá trị lớn nhất.

A. $\frac{x}{1} = \frac{y - 2}{7} = \frac{z - 1}{- 9}$ .

B.

\frac{x}{1} = \frac{y + 2}{7} = \frac{z - 1}{9}

.

C.

\frac{x}{1} = \frac{y + 2}{- 7} = \frac{z - 1}{9}

.

D.

\frac{x}{1} = \frac{y + 2}{- 7} = \frac{z - 1}{- 9}

.

Xem đáp án

Gọi $d_{1}$ là đường thẳng đi qua A và song song với d'.

Phương trình của $d_{1}$ là: $\{\begin{cases} x = t \\ y = 2 + 2 t \\ z = 1 + t \end{cases}$ .

Trên đường thẳng $d_{1}$ lấy điểm $B (1; 0; 0)$ .

Gọi $(Q)$ là mặt phẳng chứa d và $d_{1}$ .

Ta có $d (d, d^{'}) = d (d^{'}, (Q)) = d (B, (Q))$ .

Do $d_{1}$ cố định cho nên $d (d, d^{'}) = d (B, (Q)) \leq d (B, d_{1})$ .

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\vec{n_{(Q)}} = \vec{B H}$ trong đó H là hình chiếu của B lên $d_{1}$ .

Ta tìm được $H (\frac{- 2}{3}; \frac{2}{3}; \frac{1}{3})$ nên $\vec{B H} = (\frac{- 5}{3}; \frac{2}{3}; \frac{1}{3}) \Rightarrow \vec{n_{(Q)}} = (- 5; 2; 1)$ .

Ta có $\vec{u_{d}} = [\vec{n_{(P)}}; \vec{n_{(Q)}}] = (1; 7; - 9)$ .

Vậy phương trình của đường thẳng d là $\frac{x}{1} = \frac{y - 2}{7} = \frac{z - 1}{- 9}$ .

Chọn A.

Câu 5:

Cho phương trình mặt phẳng (P): 2x+y+z-3=0, đường thẳng $d^{'} : \frac{x - 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{1}$ và điểm $A (0; 2; 1)$ . Viết phương trình đường thẳng d đi qua A, nằm trong (P) sao cho khoảng cách d và d' đạt giá trị lớn nhất.

A. $\frac{x}{1} = \frac{y - 2}{7} = \frac{z - 1}{- 9}$ .

B.

\frac{x}{1} = \frac{y + 2}{7} = \frac{z - 1}{9}

.

C.

\frac{x}{1} = \frac{y + 2}{- 7} = \frac{z - 1}{9}

.

D.

\frac{x}{1} = \frac{y + 2}{- 7} = \frac{z - 1}{- 9}

.

Xem đáp án

Gọi $d_{1}$ là đường thẳng đi qua A và song song với d'.

Phương trình của $d_{1}$ là: $\{\begin{cases} x = t \\ y = 2 + 2 t \\ z = 1 + t \end{cases}$ .

Trên đường thẳng $d_{1}$ lấy điểm $B (1; 0; 0)$ .

Gọi $(Q)$ là mặt phẳng chứa d và $d_{1}$ .

Ta có $d (d, d^{'}) = d (d^{'}, (Q)) = d (B, (Q))$ .

Do $d_{1}$ cố định cho nên $d (d, d^{'}) = d (B, (Q)) \leq d (B, d_{1})$ .

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\vec{n_{(Q)}} = \vec{B H}$ trong đó H là hình chiếu của B lên $d_{1}$ .

Ta tìm được $H (\frac{- 2}{3}; \frac{2}{3}; \frac{1}{3})$ nên $\vec{B H} = (\frac{- 5}{3}; \frac{2}{3}; \frac{1}{3}) \Rightarrow \vec{n_{(Q)}} = (- 5; 2; 1)$ .

Ta có $\vec{u_{d}} = [\vec{n_{(P)}}; \vec{n_{(Q)}}] = (1; 7; - 9)$ .

Vậy phương trình của đường thẳng d là $\frac{x}{1} = \frac{y - 2}{7} = \frac{z - 1}{- 9}$ .

Chọn A.

Câu 6:

Trong không gian Oxyz, cho điểm P(a,b,c). Khoảng cách từ điểm P đến trục tọa độ Oy bằng

A. $\sqrt{a^{2} + c^{2}}$ .

B.

b

.

C.

|b|

.

D.

a^{2} + c^{2}

.

Xem đáp án

Chọn A

Câu 7:

Trong không gian Oxyz, khoảng cách giữa đường thẳng $d : \frac{x + 1}{- 2} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z + 3}{3}$ và mặt phẳng $(P) : x - 2 y + 2 z - 5 = 0$ bằng

A. $\frac{16}{3}$ .

B. 2.

C.

\frac{5}{3}

.

D. 3.

Xem đáp án

Chọn A

Câu 8:

Trong không gian Oxyz, khoảng cách giữa hai đường thẳng $(d_{1}) : \frac{x + 7}{3} = \frac{y - 5}{- 1} = \frac{z - 9}{4}$ và $(d_{2}) : \frac{x}{3} = \frac{y + 4}{- 1} = \frac{z + 18}{4}$ bằng

A. 30.

B. 20.

C. 25.

D. 15.

Xem đáp án

Chọn C

Câu 9:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(-2,-2,1), A(1,2,-3) và đường thẳng $d : \frac{x + 1}{2} = \frac{y - 5}{2} = \frac{z}{- 1} .$ Tìm vectơ chỉ phương $\vec{u}$ của đường thẳng $∆$ qua M, vuông góc với đường thẳng d đồng thời cách điểm A một khoảng nhỏ nhất.

A. $\vec{u} (2; 2; - 1)$ .

B.

\vec{u} (3; 4; - 4)

.

C.

\vec{u} (2; 1; 6)

.

D.

\vec{u} (1; 0; 2)

.

Xem đáp án

Chọn D

Câu 10:

Phương trình đường thẳng d đi qua O và vuông góc với $(Δ) : \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{- 1} = \frac{z}{2}$ và cách điểm M(3,1,0) một khoảng nhỏ nhất là

A. $\frac{x}{- 17} = \frac{y}{14} = \frac{z}{10}$ .

B.

\frac{x}{5} = \frac{y}{9} = \frac{z}{- 13}

.

C.

\frac{x}{9} = \frac{y}{5} = \frac{z}{- 13}

.

D.

\frac{x}{17} = \frac{y}{14} = \frac{z}{- 10}

.

Xem đáp án

Chọn D