22 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Chuyên đề Toán 12 Bài 3 Dạng 4: Vị trí tương đối có đáp án

Câu 1:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d : \frac{x + 1}{1} = \frac{y}{- 3} = \frac{z - 5}{- 1}$ và mặt phẳng $(P) : 3 x - 3 y + 2 z - 6 = 0$ .

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. d cắt và không vuông góc với (P).

B. d song song với (P).

C. d vuông góc với (P).

D. d nằm trong (P).

Xem đáp án

Đường thẳng $d$ nhận $\vec{u} = (1; - 3; - 1)$ làm một vectơ chỉ phương.

Mặt phẳng $(P)$ nhận $\vec{n} = (3; - 3; 2)$ làm một vectơ pháp tuyến.

Do $\vec{u} . \vec{n} \neq 0$ và hai vectơ này không cùng phương nên đường thẳng d cắt và không vuông góc với (P).

Chọn A.

Câu 2:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng có phương trình $d : \frac{x - 2}{1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 1}{- 1}$ và mặt phẳng $(P) : x + m y + (m^{2} - 1) z - 7 = 0$ với m là tham số thực. Tìm m sao cho đường thẳng d song song với mặt phẳng (P).

A. $m = 1$ .

B.

m = - 1

.

C.

[\begin{array}{l} m = - 1 \\ m = 2 \end{array}

.

D.

m = 2

.

Xem đáp án

Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương là $\vec{u} = (1; 1; - 1)$ và mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = (1; m; m^{2} - 1)$ .

$d // (P) \Leftrightarrow \vec{u} ⊥ \vec{n} \Leftrightarrow \vec{u} . \vec{n} = 0 \Leftrightarrow 1 + m - m^{2} + 1 = 0 \Leftrightarrow m^{2} - m - 2 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = - 1 \\ m = 2 \end{array}$

Thử lại ta thấy với $m = - 2$ thì $d \subset (P)$ (loại). Vậy $m = - 1$ .

Chọn B.

Câu 3:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d : \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{4} = \frac{z - 3}{1}$ và mặt phẳng $(α) : x - y + 2 z - 5 = 0$ , mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. $d // (α)$ .

B.

d \subset (α)

.

C. d cắt

(α)

và không vuông góc với

(α)

.

D.

d ⊥ (α)

.

Xem đáp án

Ta có $d : \{\begin{cases} x = 1 + 2 t \\ y = 2 + 4 t \\ z = 3 + t \end{cases}, t \in ℝ$ .

Xét hệ phương trình: $\{\begin{cases} x = 1 + 2 t (1) \\ y = 2 + 4 t (2) \\ z = 3 + t (3) \\ x - y + 2 z - 5 = 0 (*) \end{cases}$

Thay (1), (2), (3) vào (*) ta được $1 + 2 t - (2 + 4 t) + 2 (3 + t) - 5 = 0$ .

Phương trình này có vô số nghiệm.

Do đó, đường thẳng d nằm trong mặt phẳng $(α)$ .

Chọn B.

Câu 4:

Tọa độ giao điểm M của đường thẳng $d : \frac{x - 12}{4} = \frac{y - 9}{3} = \frac{z - 1}{1}$ và mặt phẳng $(P) : 3 x + 5 y - z - 2 = 0$ là

A. $(1; 0; 1)$ .

B.

(0; 0; - 2)

.

C.

(1; 1; 6)

.

D.

(12; 9; 1)

.

Xem đáp án

Gọi $M (4 t + 12; 3 t + 9; t + 1) \in d$ .

Ta có $M \in (P) \Rightarrow 3 (4 t + 12) + 5 (3 t + 9) - (t + 1) - 2 = 0 \Leftrightarrow t = - 3$ .

Suy ra $M (0; 0; - 2)$ .

Chọn B.

Câu 5:

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng $(P) : x + 2 y - z - 1 = 0, (Q) : 2 x + y - z + 2 = 0$

và hai đường thẳng $Δ_{1} : \frac{x}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z + 1}{2}, Δ_{2} : \frac{x}{1} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z - 1}{2}$ .

Đường thẳng $∆$ song song với hai mặt phẳng $(P), (Q)$ và cắt $Δ_{1}, Δ_{2}$ tương ứng tại $H, K$ . Độ dài đoạn HK bằng

A. $\frac{8 \sqrt{11}}{7}$ .

B.

\sqrt{5}

.

C. 6.

D.

\frac{\sqrt{11}}{7}

.

Xem đáp án

Ta có $\vec{u} = [\vec{n_{P}}, \vec{n_{Q}}] = (- 1; - 1; - 3)$ .

Gọi $H (2 t; 1 + t; - 1 + 2 t); K (m; 2 - m; 1 + 2 m)$

$\Rightarrow \vec{H K} = (m - 2 t; 1 - m - t; 2 + 2 m - 2 t)$

Vì $∆$ song song với 2 mặt phẳng $(P), (Q)$ nên $\vec{H K} = k \vec{u}$ nên

$\frac{m - 2 t}{1} = \frac{1 - m - t}{1} = \frac{2 + 2 m - 2 t}{3}$

Tính ra được $m = \frac{2}{7}; t = \frac{- 3}{7}$ . Suy ra $H K = \frac{8 \sqrt{11}}{7}$ .

Chọn A.

Câu 6:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $(P) : 2 (m^{2} + m + 2) x + (m^{2} - 1) y + (m + 2) z + m^{2} + m + 1 = 0$

luôn chứa đường thẳng $∆$ cố định khi m thay đổi. Khoảng cách từ gốc tọa độ đến $∆$ là?

A. $\frac{1}{\sqrt{3}}$ .

B.

\frac{2}{\sqrt{3}}

.

C.

\frac{\sqrt{2}}{3}

.

D.

\frac{2}{3}

.

Xem đáp án

Ta có: $2 (m^{2} + m + 2) x + (m^{2} - 1) y + (m + 2) z + m^{2} + m + 1 = 0, \forall m \in ℝ$

$\Leftrightarrow m^{2} (2 x + y + 1) + m (2 x + z + 1) + 4 x - y + 2 z + 1 = 0, \forall m \in ℝ \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x + y + 1 = 0 \\ 2 x + z + 1 = 0 \\ 4 x - y + 2 z + 1 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x + y + 1 = 0 \\ 2 x + z + 1 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} y = z \\ 2 x + y + 1 = 0 \end{cases}$

Vậy $(P)$ luôn chứa đường thẳng $(Δ)$ cố định: $\{\begin{cases} x = - \frac{t}{2} - \frac{1}{2} \\ y = t \\ z = t \end{cases}$

Đường thẳng $∆$ đi qua $A (- \frac{1}{2}; 0; 0)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u_{Δ}} = (- \frac{1}{2}; 1; 1)$ .

Vậy khoảng cách từ gốc tọa độ đến $∆$ là: $d (O; Δ) = \frac{|[\vec{O A}, \vec{u_{Δ}}]|}{|\vec{u_{Δ}}|} = \frac{\sqrt{2}}{3}$ .

Chọn C.

Câu 7:

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng

$d_{1} : \frac{x - 1}{1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 2}{1}$ và $d_{2} : \frac{x + 3}{4} = \frac{y + 9}{8} = \frac{z + 2}{m^{2}} (m \neq 0)$

Tập hợp các giá trị m thỏa mãn $d_{1} // d_{2}$ có số phần tử là:

A. 1.

B. 0.

C. 3.

D. 2.

Xem đáp án

Đường thẳng $d_{1}$ đi qua $A (1; - 1; 2)$ và có vectơ chỉ phương là $\vec{u_{1}} = (1; 2; 1)$ .

Đường thẳng $d_{2}$ đi qua $B (- 3; - 9; - 2)$ và có vectơ chỉ phương là $\vec{u_{2}} = (4; 8; m^{2})$ .

Đường thẳng $d_{1} // d_{2}$ khi và chỉ khi $\vec{u_{1}}$ cùng phương với $\vec{u_{2}}$ và hai đường thẳng $d_{1}$ và $d_{2}$ không trùng nhau.

Vì $\frac{- 3 - 1}{1} = \frac{- 9 + 1}{2} = \frac{- 2 - 2}{1}$ nên B nằm trên đường thẳng $d_{1}$ .

Do đó hai đường thẳng này luôn có điểm chung là B nên hai đường thẳng không thể song song.

Chọn B.

Câu 8:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng

$d : \{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 + 3 t \\ z = 3 - t \end{cases}$ và $d^{'} : \{\begin{cases} x = 2 - 2 t^{'} \\ y = - 2 + t^{'} \\ z = 1 + 3 t^{'} \end{cases}$

Tìm tọa độ giao điểm M của d và d'.

A. $M = (0; - 1; 4)$ .

B.

M = (- 1; 0; 4)

.

C.

M = (4; 0; - 1)

.

D.

M = (0; 4; - 1)

.

Xem đáp án

Tọa độ giao điểm M của d và d' ứng với t và t' là nghiệm của hệ phương trình:

$\{\begin{cases} 1 + t = 2 - 2 t^{'} \\ 2 + 3 t = - 2 + t^{'} \\ 3 - t = 1 + 3 t^{'} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} t + 2 t^{'} = 1 \\ 3 t - t^{'} = - 4 \\ t + 3 t^{'} = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} t = - 1 \\ t^{'} = 1 \end{cases}$

Vậy $M = (0; - 1; 4)$ .

Chọn A.

Câu 9:

Trong không gian tọa độ Oxyz, xét vị trí tương đối của hai đường thẳng $Δ_{1} : \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z}{3}, Δ_{2} : \frac{x - 3}{- 1} = \frac{y - 3}{- 2} = \frac{z + 2}{1}$

A. $Δ_{1}$ song song với $Δ_{2}$ .

B. $Δ_{1}$ chéo với $Δ_{2}$ .

C. $Δ_{1}$ cắt $Δ_{2}$ .

D.

Δ_{1}

trùng với

Δ_{2}

.

Xem đáp án

Vì $\frac{2}{- 1} \neq \frac{2}{- 2}$ nên vectơ chỉ phương $\vec{u_{1}} = (2; 2; 3)$ của đường thẳng $Δ_{1}$ không cùng phương với vectơ chỉ phương $\vec{u_{2}} = (- 1; - 2; 1)$ của $Δ_{2}$ .

Suy ra $Δ_{1}$ chéo với $Δ_{2}$ hoặc $Δ_{1}$ cắt $Δ_{2}$ .

Lấy $M (1; - 1; 0) \in Δ_{1}, N (3; 3; - 2) \in Δ_{2}$ . Ta có $\vec{M N} = (2; 4; - 2)$ .

Khi đó $[\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] . \vec{M N} = 0$ .

Suy ra $\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}, \vec{M N}$ đồng phẳng.

Vậy $Δ_{1}$ cắt $Δ_{2}$ .

Chọn C.

Câu 10:

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A(0,0,-2) và đường thẳng $∆$ có phương trình là $\frac{x + 2}{2} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z + 3}{2}$ .

Phương trình mặt cầu tâm A, cắt $∆$ tại hai điểm A và B sao cho $B C = 8$ là

A. ${(x + 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 16$ .

B.

x^{2} + y^{2} + {(z + 2)}^{2} = 25

.

C.

{(x + 2)}^{2} + y^{2} + z^{2} = 25

.

D.

x^{2} + y^{2} + {(z + 2)}^{2} = 16

.

Xem đáp án

Gọi $(S)$ là mặt cầu tâm $A (0; 0; - 2)$ và có bán kính R.

Đường thẳng $∆$ đi qua $M (- 2; 2; - 3)$ có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (2; 3; 2)$ .

Gọi H là trung điểm BC nên $A H ⊥ B C$ .

Ta có $A H = d (A, Δ) = \frac{|[\vec{M A} . \vec{u}]|}{|\vec{u}|}$ .

Với $\{\begin{cases} \vec{M A} = (2; - 2; 1) \\ \vec{u} = (2; 3; 2) \end{cases} \Rightarrow [\vec{M A} . \vec{u}] = (- 7; - 2; 10) \Rightarrow A H = \frac{\sqrt{{(- 7)}^{2} + {(- 2)}^{2} + 10^{2}}}{\sqrt{2^{2} + 3^{2} + 2^{2}}} = 3$ .

Bán kính mặt cầu (S) là: $R = A B = \sqrt{A H^{2} + H B^{2}} = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5$ .

Vậy phương trình mặt cầu (S) là: $x^{2} + y^{2} + {(z + 2)}^{2} = 25$ .

Chọn B.

Câu 11:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 9$ và điểm $M (1; 3; - 1)$ . Biết rằng các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M tới mặt cầu đã cho luôn thuộc một đường tròn $(C)$ có tâm $J (a; b; c)$ .

Giá trị $2 a + b + c$ bằng

A. $\frac{134}{25}$ .

B.

\frac{116}{25}

.

C.

\frac{84}{25}

.

D.

\frac{62}{25}

.

Xem đáp án

Ta có mặt cầu $(S)$ có tâm $I (1; - 1; 2)$ và bán kính $R = 3$ .

Khi đó $I M = 5 > R \Rightarrow M$ nằm ngoài mặt cầu.

Phương trình đường thẳng MI là $\{\begin{cases} x = 1 \\ x = - 1 + 4 t \\ z = 2 - 3 t \end{cases}$ .

Tâm $J (a; b; c)$ nằm trên MI nên $J (1; - 1 + 4 t; 2 - 3 t)$ .

Xét $Δ M H I$ vuông tại H có

$M I = 5; I H = 3 \Rightarrow M H = \sqrt{M I^{2} - H I^{2}} = 4$

Mặt khác $\{\begin{cases} M (1; 3; - 1) \\ J (1; - 1 + 4 t; 2 - 3 t) \end{cases} \Rightarrow M J = \sqrt{{(- 4 + 4 t)}^{2} + {(3 - 3 t)}^{2}}$ .

$M J . M I = M H^{2} \Rightarrow M J = \frac{16}{5} \Leftrightarrow {(- 4 + 4 t)}^{2} + {(3 - 2 t)}^{2} = \frac{256}{25} \Leftrightarrow 25 t^{2} - 50 t + \frac{369}{25} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = \frac{9}{25} \\ t = \frac{41}{25} \end{array}$

Suy ra $J (1; \frac{11}{25}; \frac{23}{25})$ hoặc $J (1; \frac{139}{25}; \frac{- 73}{25})$ .

+) Với $J (1; \frac{11}{25}; \frac{23}{25})$ thì $I J = \frac{9}{5} < I M$ (nhận).

+) Với $J (1; \frac{139}{25}; \frac{- 73}{25})$ thì $I J = \frac{41}{5} > I M$ (loại).

Vậy $J (1; \frac{11}{25}; \frac{23}{25})$ nên $2 a + b + c = \frac{84}{25}$ .

Chọn C.

Câu 12:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình là ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = \frac{14}{3}$ và đường thẳng d có phương trình $\frac{x - 4}{3} = \frac{y - 4}{2} = \frac{z - 4}{2}$ . Gọi $A (x_{0}; y_{0}; z_{0}), x_{0} > 0$ là điểm nằm trên đường thẳng d sao cho từ A kẻ được ba tiếp tuyến đến mặt cầu (S) có các tiếp điểm $B, C, D$ sao cho ABCD là tứ diện đều.

Giá trị của biểu thức $P = x_{0} + y_{0} + z_{0}$ là

A. 6.

B. 16.

C. 12.

D. 8.

Xem đáp án

Gọi I là tâm mặt cầu thì $I (1; 2; 3)$ .

Gọi O là giao điểm của mặt phẳng $(B C D)$ và đoạn AI.

Vì theo giả thiết $A B = A C = A D$ và $I B = I C = I D = \sqrt{\frac{14}{3}}$ nên AI vuông góc với mặt phẳng $(B C D)$ tại O. Khi đó O là tâm đường tròn ngoại tiếp $Δ B C D$ .

Đặt $A I = x (x > \sqrt{\frac{14}{3}})$ .

Ta có $A B = \sqrt{A I^{2} - I B^{2}} = \sqrt{x^{2} - \frac{14}{3}}$

$I B^{2} = I O . I A \Rightarrow O I = \frac{14}{3 x} \Rightarrow O B = \sqrt{I B^{2} - I O^{2}} = \sqrt{\frac{14}{3} - {(\frac{14}{3 x})}^{2}} \Rightarrow B D^{2} = O B^{2} + O D^{2} - 2 O B . O D . \cos 120 ° = 3 O B^{2} \Rightarrow B D = \sqrt{3} O B \Rightarrow B D = \sqrt{3} O B = \sqrt{3. (\frac{14}{3} - \frac{196}{9 x^{2}})}$

Do ABCD là tứ diện đều nên

$A B = B D \Rightarrow \sqrt{x^{2} - \frac{14}{3}} = \sqrt{3 (\frac{14}{3} - \frac{196}{9 x^{2}})} \Leftrightarrow x^{2} - \frac{14}{3} = 14 - \frac{196}{3 x^{2}} 3 x^{4} - 56 x^{2} + 196 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x^{2} = \frac{14}{3} \\ x^{2} = 14 \end{array} \Rightarrow x = \sqrt{14}$

$A \in d$ nên $A (4 + 3 t; 4 + 2 t; 4 + t)$ .

Suy ra $A I = \sqrt{14} \Leftrightarrow \sqrt{{(4 + 3 t - 1)}^{2} + {(4 + 2 t - 2)}^{2} + {(4 + t - 3)}^{2}} = \sqrt{14}$

$\Leftrightarrow |t + 1| = 1 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 0 \\ t = - 2 \end{array} \Rightarrow [\begin{array}{l} A (4; 4; 4) \\ A (- 2; 0; 2) \end{array}$

Do $x_{0} > 0$ nên điểm A có tọa độ $A (4; 4; 4)$ .

Suy ra $P = 12$ .

Chọn C.

Câu 13:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm P,Q,R lần lượt di động trên ba trục tọa độ $O x, O y, O z$ (không trùng với gốc tọa độ O) sao cho $\frac{1}{O P^{2}} + \frac{1}{O Q^{2}} + \frac{1}{O R^{2}} = \frac{1}{8}$ . Biết mặt phẳng $(P Q R)$ luôn tiếp xúc với mặt cầu $(S)$ cố định. Đường thẳng $(d)$ thay đổi nhưng luôn đi qua $M (\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}; 0)$ và cắt $(S)$ tại hai điểm $A, B$ phân biệt. Diện tích lớn nhất của $Δ A O B$ là

A. $\sqrt{15}$ .

B.

\sqrt{5}

.

C.

\sqrt{17}

.

D.

\sqrt{7}

.

Xem đáp án

Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm O trên mặt phẳng $(P Q R)$ .

Dễ thấy $\frac{1}{O H^{2}} = \frac{1}{O P^{2}} + \frac{1}{O Q^{2}} + \frac{1}{O R^{2}} \Rightarrow \frac{1}{O H^{2}} = \frac{1}{8} \Rightarrow O H = 2 \sqrt{2}$ .

Khi đó $(P Q R)$ luôn tiếp xúc với mặt cầu (S) tâm O, bán kính $R = 2 \sqrt{2}$ .

Ta có $O M = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4} + 0} = 1 < R$ nên điểm M nằm trong mặt cầu $(S)$ .

Gọi I là trung điểm của AB, do $Δ O A B$ cân tại O nên $S_{Δ O A B} = \frac{1}{2} O I . A B$ .

Đặt $O I = x$ . Vì $O I \leq O M$ nên $0 < x \leq 1$ và $A B = 2 \sqrt{8 - x^{2}}$ .

Ta có $S_{Δ O A B} = \frac{1}{2} x .2 \sqrt{8 - x^{2}} = x \sqrt{8 - x^{2}} = \sqrt{8 x^{2} - x^{4}}$ .

Xét hàm số $f (x) = 8 x^{2} - x^{4}, 0 < x \leq 1$ .

Vì $f^{'} (x) = 4 x (4 - x^{2}) > 0$ với mọi $x \in (0; 1]$ nên $f (x) \leq f (1) = 7$ .

Suy ra diện tích của $Δ O A B$ lớn nhất bằng $\sqrt{7}$ đạt được khi M là trung điểm của AB.

Chọn D.

Câu 14:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d đi qua điểm M và nhận vectơ $\vec{a}$ làm vectơ chỉ phương và đường thẳng d' đi qua điểm M' và nhận vectơ $\vec{a^{'}}$ làm vectơ chỉ phương. Điều kiện để đường thẳng d song song với đường thẳng d' là

A. $\{\begin{cases} \vec{a} = k \vec{a^{'}}, k \neq 0 \\ M \notin d^{'} \end{cases}$ .

B.

\{\begin{cases} \vec{a} = k \vec{a^{'}}, k \neq 0 \\ M \in d^{'} \end{cases}

.

C.

\{\begin{cases} \vec{a} = \vec{a^{'}} \\ M \in d^{'} \end{cases}

.

D.

\{\begin{cases} \vec{a} \neq k \vec{a^{'}}, k \neq 0 \\ M \notin d^{'} \end{cases}

.

Xem đáp án

Chọn A

Câu 15:

Cho đường thẳng

d : \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{- 2} = \frac{z - 2}{1}

và điểm

A (1; 2; 1)

. Tìm bán kính của mặt cầu có tâm I nằm trên d, đi qua A và tiếp xúc với mặt phẳng

(P) : x - 2 y + 2 z + 1 = 0

.

A. $R = 2$ .

B.

R = 4

.

C.

R = 1

.

D.

R = 3

.

Xem đáp án

Chọn D

Câu 16:

Cho đường thẳng $d : \frac{x + 1}{3} = \frac{y - 2}{- 2} = \frac{z - 2}{2}$ . Phương trình mặt cầu tâm $I (1; 2; - 1)$ cắt d tại các điểm A,B sao cho $A B = 2 \sqrt{3}$ là

A. ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 25$

B.

{(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 4

.

C.

{(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 9

.

D.

{(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 16

.

Xem đáp án

Chọn D

Câu 17:

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt cầu

$(S_{1}) : {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 16$ và $(S_{2}) : {(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 9$

cắt nhau theo giao tuyến là một đường tròn tâm là $I (a; b; c)$ . Giá trị $a + b + c$ bằng

A. $\frac{7}{4}$ .

B.

- \frac{1}{4}

.

C.

\frac{10}{3}

.

D. 1.

Xem đáp án

Chọn D

Câu 18:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $(P) : (m^{2} + 1) x - (2 m^{2} - 2 m + 1) y + (4 m + 2) z - m^{2} + 2 m = 0$ luôn chứa một đường thẳng $∆$ cố định khi m thay đổi. Đường thẳng d đi qua $M (1; - 1; 1)$ vuông góc với $∆$ và cách O một khoảng lớn nhất có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (- 1; b; c)$ . Giá trị của $T = b + c$ bằng

A. 12.

B. 9.

C. 11.

D. 10.

Xem đáp án

Chọn C

Câu 19:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn điểm $A (3; 0; 0), B (0; 2; 0), C (0; 0; 6)$ và $D (1; 1; 1)$ . Kí hiệu d là đường thẳng đi qua D sao cho tổng khoảng cách từ các điểm $A, B, C$ đến d lớn nhất. Hỏi đường thẳng d đi qua điểm nào dưới đây?

A. $M (- 1; - 2; 1)$ .

B.

N (5; 7; 3)

.

C.

P (3; 4; 3)

.

D.

Q (7; 13; 5)

.

Xem đáp án

Chọn B

Câu 20:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $Δ : \frac{x - 3}{1} = \frac{y - 1}{3} = \frac{z - 2}{- 1}$ . Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của m để phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x + 2 m y - 2 (m + 1) z + m^{2} + 2 m + 8 = 0$ là phương trình của một mặt cầu $(S)$ sao cho có duy nhất một mặt phẳng chứa $∆$ và cắt $(S)$ theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 1?

A. 1.

B. 6.

C. 7.

D. 2.

Xem đáp án

Chọn D

Câu 21:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm $M (6; 0; 0), N (0; 6; 0), P (0; 0; 6)$ . Hai mặt cầu có phương trình $(S_{1}) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x - 2 y + 1 = 0$ và $(S_{2}) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 8 x + 2 y + 2 z + 1 = 0$ cắt nhau theo đường tròn $(C)$ . Hỏi có bao nhiêu mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng chứa $(C)$ và tiếp xúc với ba đường thẳng $M N, N P, P M$ ?

A. 1.

B. 3.

C. Vô số.

D. 4.

Xem đáp án

Chọn C

Câu 22:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2,1,3), B(6,5,5). Gọi (S) là mặt cầu đường kính AB. Mặt phẳng (P) vuông góc với AB tại H sao cho khối nón đỉnh A và đáy là hình tròn tâm H (giao của mặt cầu (S) và mặt phẳng (P)) có thể tích lớn nhất, biết rằng $(P) : 2 x + b y + c z + d = 0$ với $b, c, d \in ℤ$ .

Tính $S = b + c + d$ .

A. $S = 18$ .

B.

S = - 18

.

C.

S = - 12

.

D.

S = 24

.

Xem đáp án

Chọn B