6 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Đề kiểm tra giữa học kì 2 môn Toán 9 ( Mới nhất)_ đề 8

Câu 1:

Cho các biểu thức: $A = \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} - 2} - \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 2} + \frac{4 x}{x - 4}$

và $B = \frac{4 (\sqrt{x} + 2)}{\sqrt{x} - 2}$ với x ≥ 0, x ≠ 4

1) Tính giá trị của biểu thức B khi x = 9.

2) Chứng minh: $A = \frac{4 \sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2}$ .

3) Cho $P = \frac{A}{B}$ . So sánh P và $\sqrt{P}$ .

Xem đáp án

1) Khi x = 9 ta có:

$B = \frac{4 . (\sqrt{9} + 2)}{\sqrt{9} - 2} = \frac{4 . (3 + 2)}{3 - 2} = 20$ .

Vây với x = 9 thì giá trị của biểu thức P = 20.

2) Ta có: $A = \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} - 2} - \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 2} + \frac{4 x}{x - 4}$

$= \frac{{(\sqrt{x} + 2)}^{2} - {(\sqrt{x} - 2)}^{2}}{(\sqrt{x} - 2) (\sqrt{x} + 2)} + \frac{4 x}{(\sqrt{x} - 2) (\sqrt{x} + 2)}$

= \frac{4 . 2 \sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 2) (\sqrt{x} + 2)} + \frac{4 x}{(\sqrt{x} - 2) (\sqrt{x} + 2)}

$= \frac{8 \sqrt{x} + 4 x}{(\sqrt{x} - 2) (\sqrt{x} + 2)} = \frac{4 \sqrt{x} (\sqrt{x} + 2)}{(\sqrt{x} - 2) (\sqrt{x} + 2)}$

$= \frac{4 \sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2}$ .

3) Ta có P = $\frac{A}{B} = \frac{\frac{4 \sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2}}{\frac{4 (\sqrt{x} + 2)}{\sqrt{x} - 2}} = \frac{4 \sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2} : \frac{4 (\sqrt{x} + 2)}{\sqrt{x} - 2}$

$= \frac{4 \sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2} . \frac{\sqrt{x} - 2}{4 (\sqrt{x} + 2)} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2}$ .

Ta có $\sqrt{x} \geq 0$ , $\sqrt{x} + 2 > 0$ và $\sqrt{x} + 2 > \sqrt{x}$ nên

0 ≤ P < 1 do đó P < $\sqrt{P}$ .

Vậy P < $\sqrt{P}$ .

Câu 2:

Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn trong 18 giờ thì đầy bể. Nếu vòi 1 chảy trong 4 giờ, vòi 2 chảy trong 7 giờ thì chỉ được $\frac{1}{3}$ bể. Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình thì trong bao lâu sẽ đầy bể?

Xem đáp án

Gọi x (bể) là phần nước của bể vòi một chảy được trong 1 giờ (x > 0)

y (bể) là phần nước của bể vòi hai chảy dược trong 1 giờ (y > 0)

Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn trong 18 giờ thì đầy bể nên

18x + 18y = 1 (1)

Vòi 1 chảy trong 4 giờ, vòi 2 chảy trong 7 giờ thì chỉ được $\frac{1}{3}$ bể nên

4x + 7y = $\frac{1}{3}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: ${\begin{cases} 18 x + 18 y = 1 \\ 4 x + 7 y = \frac{1}{3} \end{cases}$

$\Leftrightarrow {\begin{cases} 18 x + 18 y = 1 \\ x = \frac{1}{4} (\frac{1}{3} - 7 y) \end{cases}$

Û ${\begin{cases} \frac{18}{4} (\frac{1}{3} - 7 y) + 18 y = 1 \\ x = \frac{1}{4} (\frac{1}{3} - 7 y) \end{cases}$

Û ${\begin{cases} \frac{- 27}{2} y = - \frac{1}{2} \\ x = \frac{1}{4} (\frac{1}{3} - 7 y) \end{cases}$

Û ${\begin{cases} y = \frac{1}{27} \\ x = \frac{1}{54} \end{cases}$ (thỏa mãn)

Ta có vòi 1 mỗi giờ chảy được $\frac{1}{54}$ bể suy ra vòi 1 chảy một mình 54 giờ thì đầy bể,

vòi 2 mỗi giờ chảy được $\frac{1}{27}$ bể suy ra vòi 2 chảy một mình 27 giờ thì đầy bể.

Vậy vòi 1 chảy một mình 54 giờ thì đầy bể, vòi 2 chảy một mình trong 27 giờ thì đầy bể.

Câu 3:

1) Giải hệ phương trình: ${\begin{cases} \frac{8}{\sqrt{x} - 3} + \frac{1}{| 2 y - 1 |} = 5 \\ \frac{4}{\sqrt{x} - 3} + \frac{1}{| 2 y - 1 |} = 3 \end{cases}$

2) Cho hệ phương trình: ${\begin{cases} m x - 2 y = 2 m \\ - 2 x + y = m + 1 \end{cases}$

Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) sao cho x = y.

Xem đáp án

1) Điều kiện xác định:

${\begin{cases} x > 0 \\ \sqrt{x} - 3 > 0 \\ | 2 y - 1 | \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x > 0 \\ \sqrt{x} \neq 3 \\ 2 y - 1 \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x > 0 \\ x \neq 9 \\ y \neq \frac{1}{2} \end{cases}$

Đặt $u = \frac{1}{\sqrt{x} - 3}$ và $v = \frac{1}{| 2 y - 1 |}$ .

Hệ phương trình trở thành ${\begin{cases} 8 u + v = 5 \\ 4 u + v = 3 \end{cases}$

$\Leftrightarrow {\begin{cases} 8 u + v = 5 \\ v = 3 - 4 u \end{cases}$ $\Leftrightarrow {\begin{cases} 8 u + 3 - 4 u = 5 \\ v = 3 - 4 u \end{cases}$

Với $u = \frac{1}{\sqrt{x} - 3} = \frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow \sqrt{x} - 3 = 2$

$\Leftrightarrow \sqrt{x} = 5 \Leftrightarrow x = 25$ (thỏa mãn)

Với $v = \frac{1}{| 2 y - 1 |}$ = 1 $\Leftrightarrow | 2 y - 1 | = 1$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} 2 y - 1 = 1 \\ 2 y - 1 = - 1 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 2 y = 2 \\ 2 y = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} y = 1 \\ y = 0 \end{array}$ (thỏa mãn)

Vậy hệ phương trình đã cho có hai cặp nghiệm (25; 1) và (25; 0).

2) Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì: $\frac{m}{- 2} \neq \frac{- 2}{1} \Leftrightarrow m \neq 4$ .

Gọi (x₀; y₀) là cặp nghiệm của phương trình thỏa mãn x₀ = y₀.

Thay vào hệ phương trình ta được: ${\begin{cases} m y_{0} - 2 y_{0} = 2 m \\ - 2 y_{0} + y_{0} = m + 1 \end{cases}$

$\Leftrightarrow {\begin{cases} m y_{0} - 2 y_{0} = 2 m \\ y_{0} = - m - 1 \end{cases}$

$\Leftrightarrow {\begin{cases} m (- m - 1) - 2 (- m - 1) = 2 m (1) \\ y_{0} = - m - 1 \end{cases}$

(1) Û −m² – m + 2m + 2 = 2m

Û m² + m – 2 = 0

Û m² + 2m – m – 2 = 0

Û m(m + 2) – (m + 2) = 0

Û (m – 1)(m + 2) = 0

Û $[\begin{array}{l} m = 1 \\ m = - 2 \end{array}$ (thỏa mãn)

Vậy m = 1 hoặc m = −2 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn x = y.

Câu 4: