10 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Đề kiểm tra giữa học kì 2 Toán 10 có đáp án (Mới nhất) (Đề 2)

Hàm số y = $\sqrt{\frac{1 - x}{x}}$ có nghĩa khi và chỉ khi $\{\begin{cases} x \neq 0 \\ \frac{1 - x}{x} \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \neq 0 \\ 0 < x \leq 1 \end{cases} \Leftrightarrow 0 < x \leq 1$

Câu 3:

Tập nghiệm của bất phương trình

\frac{3 x^{2} + 2 x - 5}{{(x + 1)}^{2}} \leq 0

là

A. $(- 1; 1) \cup (1; \frac{5}{3})$

B. $[- \frac{5}{3}; - 1) \cup (- 1; 1]$

C. $[- 1; 1) \cup (1; \frac{5}{3}]$

D. $[- 1; \frac{5}{3}]$

Xem đáp án

Chọn đáp án B

Ta có: $\frac{3 x^{2} + 2 x - 5}{{(x + 1)}^{2}} \leq 0 (1)$

ĐKXĐ: x $\neq - 1$

Vì ${(x + 1)}^{2} > 0 \forall x \neq - 1$

Nên BPT (1) $\Leftrightarrow 3 x^{2} + 2 x - 5 \leq 0$ $\Leftrightarrow \frac{- 5}{3} \leq x \leq 1$

Kết hợp điều kiện, Vậy tập nghiệm của BPT đã cho là $[- \frac{5}{3}; - 1) \cup (- 1; 1]$

Câu 4:

Giá trị của m để bất phương trình

(1 - m) x^{2} + x - 2 \leq 0

luôn đúng với mọi

x \in ℝ

là

A. $[\frac{9}{8}; + \infty)$

B. $(\frac{9}{8}; 1) \cup (1; + \infty)$

C. $(1; + \infty)$

D. $(\frac{9}{8}; 1)$

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Bất phương trình $(1 - m) x^{2} + x - 2 \leq 0$ luôn đúng với mọi $x \in ℝ$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 1 - m < 0 \\ Δ \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m > 1 \\ 9 - 8 m \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m > 1 \\ m \geq \frac{9}{8} \end{cases} \Leftrightarrow m \geq \frac{9}{8}$

Vậy m $\in [\frac{9}{8}; + \infty)$ thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 5:

Giải các bất phương trình sau:

$1) 2 x^{2} + x - |2 x + 1| < 0$

$2) \sqrt{2 x^{2} - 3 x - 5} \geq x + 1$

Xem đáp án

1) Giải bất phương trình $2 x^{2} + x - |2 x + 1| < 0 (1)$

Nếu $2 x + 1 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq - \frac{1}{2} (*)$ thì $\Leftrightarrow 2 x^{2} - x - 1 < 0 \Leftrightarrow - \frac{1}{2} < x < 1$

Kết hợp với điều kiện (*) ta có nghiệm của (1) là $- \frac{1}{2} < x < 1$

Nếu $2 x + 1 < 0 \Leftrightarrow x < - \frac{1}{2} (* *)$ thì $(1) \Leftrightarrow 2 x^{2} + x + 2 x + 1 < 0$

$\Leftrightarrow 2 x^{2} + 3 x + 1 < 0 \Leftrightarrow - 1 < x < - \frac{1}{2}$

Kết hợp với điều kiện (**) thì (1) có nghiệm là $- 1 < x < - \frac{1}{2}$

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là $(- 1; - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}; 1)$

2) Giải bất phương trình $\sqrt{2 x^{2} - 3 x - 5} \geq x + 1$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} x + 1 < 0 \\ 2 x^{2} - 3 x - 5 \geq 0 \end{cases} (1) \\ \{\begin{cases} x + 1 \geq 0 \\ 2 x^{2} - 3 x - 5 \geq x^{2} + 2 x + 1 \end{cases} (2) \end{array}$

Giải (1) $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x < - 1 \\ [\begin{array}{l} x \leq - 1 \\ x \geq \frac{5}{2} \end{array} \end{cases} \Leftrightarrow x < - 1$

Giải (2) $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x \geq - 1 \\ x^{2} - 5 x - 6 \geq 0 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x \geq - 1 \\ [\begin{array}{l} x \leq - 1 \\ x \geq 6 \end{array} \end{cases} \Leftrightarrow x \geq 6$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $(- \infty; - 1) \cup [6; + \infty)$

Câu 6:

2) \sqrt{2 x^{2} - 3 x - 5} \geq x + 1

Xem đáp án

2) Giải bất phương trình $\sqrt{2 x^{2} - 3 x - 5} \geq x + 1$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} x + 1 < 0 \\ 2 x^{2} - 3 x - 5 \geq 0 \end{cases} (1) \\ \{\begin{cases} x + 1 \geq 0 \\ 2 x^{2} - 3 x - 5 \geq x^{2} + 2 x + 1 \end{cases} (2) \end{array}$

Giải (1) $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x < - 1 \\ [\begin{array}{l} x \leq - 1 \\ x \geq \frac{5}{2} \end{array} \end{cases} \Leftrightarrow x < - 1$

Giải (2) $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x \geq - 1 \\ x^{2} - 5 x - 6 \geq 0 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x \geq - 1 \\ [\begin{array}{l} x \leq - 1 \\ x \geq 6 \end{array} \end{cases} \Leftrightarrow x \geq 6$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $(- \infty; - 1) \cup [6; + \infty)$

Câu 7:

Tìm tất cả các giá trị của tham số a để bất phương trình $- x^{2} + 4 x + 5 - a < 0$ với $\forall x < 1$

Xem đáp án

Bất phương trình đã cho $\Leftrightarrow - x^{2} + 4 x + 5 < a (*)$ với mọi x < 1

Gọi $f (x) = - x^{2} + 4 x + 5$ và g(x) = a thì $f (x)$ có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên nhận thấy (*) nghiệm đúng khi $f (1) < a \Leftrightarrow 8 < a$

Vậy với a > 8 thì BPT đã cho có nghiệm.

Câu 8:

Cho 2 điểm M(1;1), N(-2;3) và đường thẳng $Δ$ có phương trình: $2 x + y - 10 = 0$

1) Xác định tọa độ điểm I thuộc đường thẳng $Δ$ sao cho tam giác MNI vuông tại M.

2) Xác định tọa độ điểm K thuộc đường thẳng $Δ$ sao cho diện tích tam giác MNK bằng $\frac{29}{2}$ đvdt.

Xem đáp án

1) *Do $Δ M N I$ vuông tại M(1; 1) nên điểm I thuộc đường thẳng đi qua M và nhận $\vec{M N} (- 3; 2)$ làm véc tơ pháp tuyến và có phương trình $- 3 (x - 1) + 2 (y - 1) = 0$ $\Leftrightarrow 3 x - 2 y - 1 = 0$

*Mặt khác: Do điểm $I \in Δ$ nên toạ độ của I là nghiệm của hệ phương trình $\{\begin{cases} 2 x + y - 10 = 0 \\ 3 x - 2 y - 1 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 3 \\ y = 4 \end{cases}$

Vậy I(3;4).

2) Do $S_{Δ M N K} = \frac{1}{2} M N . d_{(K; M N)}$ : Trong đó $K \in Δ \Rightarrow K (b; - 2 b + 10)$

Đường thẳng MNcó véc tơ chỉ phương $\vec{M N} (- 3; 2)$ và đi qua M(1;1) $\Rightarrow$ phương trình của đường thẳng MN là $2 x + 3 y - 5 = 0$

$\Rightarrow d_{(K; M N)} = \frac{|- 4 b + 25|}{\sqrt{13}};$ $M N = |\vec{M N}| = \sqrt{13}$ , $S_{Δ M N K} = \frac{29}{2}$

Ta có $\frac{29}{2} = \frac{1}{2} \sqrt{13} \frac{|- 4 b + 25|}{\sqrt{13}} \Leftrightarrow |- 4 b + 25| = 29 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} b = - 1 \\ b = \frac{27}{2} \end{array}$

Với $b = - 1 \Rightarrow K (- 1; 12)$

Với $b = \frac{27}{2} \Rightarrow K (\frac{27}{2}; - 17)$

Vậy có 2 điểm K thỏa mãn bài ra là K(-1;12) và

K (\frac{27}{2}; - 17)

Câu 9:

Cho

a \geq - \frac{1}{2}

và

\frac{a}{b} > 1

. Chứng minh rằng

\frac{2 a^{3} + 1}{4 b (a - b)} \geq 3

Xem đáp án

Do $\frac{a}{b} > 1 \Leftrightarrow \frac{a - b}{b} > 0 \Rightarrow b (a - b) > 0$

Và ${(a - 2 b)}^{2} \geq 0 \Leftrightarrow a^{2} - 4 a b + 4 b^{2} \geq 0 \Leftrightarrow 4 b (a - b) \leq a^{2} (1)$

$a \geq - \frac{1}{2} \Leftrightarrow 2 a + 1 \geq 0 \Leftrightarrow (2 a + 1) {(a - 1)}^{2} \geq 0 \Leftrightarrow 2 a^{3} + 1 - 3 a^{2} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{2 a^{3} + 1}{3} \geq a^{2} (2)$

Từ (1) và (2) $\Rightarrow 4 b (a - b) \leq a^{2} \leq \frac{2 a^{3} + 1}{3} \Rightarrow$ $4 b (a - b) - 3 \leq \frac{2 b^{3} + 1}{3}$

$\Leftrightarrow \frac{2 a^{3} + 1}{4 b (a - b)} \geq 3$ (đpcm).

Câu 10:

2) Xác định tọa độ điểm K thuộc đường thẳng

Δ

sao cho diện tích tam giác MNK bằng

\frac{29}{2}

đvdt.

Xem đáp án

2) Do $S_{Δ M N K} = \frac{1}{2} M N . d_{(K; M N)}$ : Trong đó $K \in Δ \Rightarrow K (b; - 2 b + 10)$

Đường thẳng MNcó véc tơ chỉ phương $\vec{M N} (- 3; 2)$ và đi qua M(1;1) $\Rightarrow$ phương trình của đường thẳng MN là $2 x + 3 y - 5 = 0$

$\Rightarrow d_{(K; M N)} = \frac{|- 4 b + 25|}{\sqrt{13}};$ $M N = |\vec{M N}| = \sqrt{13}$ , $S_{Δ M N K} = \frac{29}{2}$

Ta có $\frac{29}{2} = \frac{1}{2} \sqrt{13} \frac{|- 4 b + 25|}{\sqrt{13}} \Leftrightarrow |- 4 b + 25| = 29 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} b = - 1 \\ b = \frac{27}{2} \end{array}$

Với $b = - 1 \Rightarrow K (- 1; 12)$

Với $b = \frac{27}{2} \Rightarrow K (\frac{27}{2}; - 17)$

Vậy có 2 điểm K thỏa mãn bài ra là K(-1;12) và

K (\frac{27}{2}; - 17)