30 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Đề kiểm tra Giữa học kì 2 Toán 12 có đáp án (Mới nhất) (Đề 8)

Câu 1:

Kí hiệu S là diện tích hình phẳng gới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x) trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b như hình bên. Tìm khẳng định đúng?

Kí hiệu S là diện tích hình phẳng gới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x) trục hoành (ảnh 1)

A. S = $|\int_{a}^{b} f (x) dx|$

B. S = $\int_{a}^{b} f (x) dx$

C. S = $\int_{a}^{c} f (x) dx + \int_{c}^{b} f (x) dx$

D. S = $\int_{a}^{c} f (x) dx - \int_{c}^{b} f (x) dx$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Theo hình ta nhận thấy rằng:

Phần đồ thị hàm số y = f(x) nằm trên Ox trên đoạn [a; c], tức là: $\int_{a}^{c} f (x) dx$ > 0;

Phần đồ thị hàm số y = f(x) nằm dưới Ox trên đoạn [c; b], tức là: $\int_{c}^{b} f (x) dx$ < 0.

Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) và hai đường thẳng x = a, x = b là:

S =

\int_{a}^{c} f (x) dx - \int_{c}^{b} f (x) dx

.

Câu 2:

Cho hàm số f(x) thỏa mãn

\int_{1}^{3} f (x) dx

= 3. Tính tích phân

\int_{0}^{1} f (2 x + 1) dx

?

A. $\frac{3}{2}$

B. $\frac{2}{3}$

C. 6

D. 2

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Đặt u = 2x + 1 Û du = 2dx Û dx = $\frac{1}{2}$ du

Đổi cận :

Cho hàm số f(x) thỏa mãn tích phân từ 1 đến 3 f(x) = 3. (ảnh 1)

Do đó, ta được tích phân mới là:

\frac{1}{2} \int_{1}^{3} f (u) du

= 3 Û

\frac{1}{2} \int_{1}^{3} f (x) dx

= 3 Þ

\int_{1}^{3} f (x) dx

= 6.

Câu 3:

Tính tích phân

\int_{1}^{3} 5 dx

bằng

A. -5

B. 5

C. -10

D. 10

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

\int_{1}^{3} 5 dx

=

{5 x|}_{1}^{3}

= 5.3 – 5 = 10.

Câu 4:

Trong không gian oxyz , cho mặt cầu (S) có phương trình (x – 1)² + (y – 2)² + (z + 2)² = 16. Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S)?

A. I(−1; −2; 2), R = 16

B. I(1; 2; −2), R = 16

C. I(1; 2; −2), R = 4

D. I(−1; −2; 2), R = 4

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Mặt cầu (S) có phương trình (x – 1)² + (y – 2)² + (z + 2)² = 16 có tâm là I(1; 2; −2), R =

\sqrt{16}

= 4.

Câu 5:

Giả sử H là hình phẳng giới hạn bởi đường y = f (x) liên tục trên đoạn [a; b], trục Ox và các đường thẳng x = a, x = b. Khi đó nếu H được xoay tròn quanh trục Ox sẽ tạo thành một khối có thể tích là:

A. V = $\int_{a}^{b} f (x) dx$

B. V = $π \int_{a}^{b} f^{2} (x) dx$

C. V = $\int_{a}^{b} f^{2} (x) dx$

D. V = $π \int_{a}^{b} f (x) dx$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

H là hình phẳng giới hạn bởi đường y = f (x) liên tục trên đoạn [a; b], trục Ox và các đường thẳng x = a, x = b có thể tích là:

V =

π \int_{a}^{b} f^{2} (x) dx

Câu 6:

Trong không gian Oxyz cho hai điểm A = (3; −2; 1), B = (1; 2; 3). Tính khoảng cách giữa hai điểm A và B?

A. $2 \sqrt{3}$

B. $2 \sqrt{2}$

C. $2 \sqrt{6}$

D. $4 \sqrt{2}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

$\vec{AB}$ = (−2; 4; 2).

Suy ra AB

= |\vec{AB}| = \sqrt{2^{2} + 2^{2} + 4^{2}} = 2 \sqrt{6}

Câu 7:

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Hãy chọn khẳng định sai?

A. $\int_{a}^{b} f (x) dx = - \int_{b}^{a} f (u) du$

B. $\int_{a}^{b} f (x) dx = \int_{a}^{b} f (u) du$

C. $\int_{a}^{b} f (x) dx = \int_{a}^{c} f (x) dx + \int_{c}^{b} f (x) dx với a < c < b$

D. $\int_{a}^{b} f (x) dx = \int_{a}^{c} f (x) dx + \int_{c}^{b} f (x) dx$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

\int_{a}^{b} f (x) dx = \int_{a}^{c} f (x) dx + \int_{c}^{b} f (x) dx

đúng với ∀ a, b, c

Câu 8:

Cho hàm số f(x) = x −

\frac{2}{x}

với x ≠ 0. Tìm khẳng định đúng?

A. $\int f (x) dx = \frac{x^{2}}{2} - 2 lnx + C$

B. $\int f (x) dx = \frac{2}{x^{2}} + C$

C. $\int f (x) dx = x^{2} - 2 \ln |x| + C$

D. $\int f (x) dx = \frac{x^{2}}{2} - 2 \ln |x| + C$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

$\int (x - \frac{2}{x}) dx = \int xdx - \int \frac{2}{x} dx = \frac{x^{2}}{2} - 2 \ln |x| + C$

Câu 9:

Tìm thể tích của khối T tạo thành khi xoay hình H bao bởi đường y = x² + 1, trục hoành và hai đường x = 0, x = 2 quanh trục Ox?

A. V = $\frac{14}{3}$

B. V = $\frac{206 π}{15}$

C. V = $\frac{256}{15}$

D. V = $\frac{14 π}{3}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Thể tích của khối T tạo thành khi xoay hình H bao bởi đường y = x² + 1, trục hoành và hai đường x = 0, x = 2 quanh trục Ox là:

V =

π \int_{0}^{2} {(x^{2} + 1)}^{2} dx = \frac{206 π}{15}

Câu 10:

Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = cosx ?

A. sinx + C

B.

\frac{1}{2}

cos²x + C

C. –sinx + C

D. –cosx + C

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có

\int cosxdx

= sinx + C.

Câu 11:

Kí hiệu S là diện tích hình phẳng gới hạn bởi các đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b như hình bên. Tìm khẳng định sai?

Kí hiệu S là diện tích hình phẳng gới hạn bởi các đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) (ảnh 1)

A. S = $\int_{a}^{b} |f (x) - g (x)| dx$

B. S = $|\int_{a}^{c} [f (x) - g (x)] dx| + |\int_{c}^{b} [f (x) - g (x)] dx|$

C. S = $\int_{a}^{c} [f (x) - f (x)] dx - \int_{c}^{b} [f (x) - g (x)] dx$

D. S = $\int_{a}^{c} [f (x) - g (x)] dx + \int_{c}^{b} [f (x) - g (x)] dx$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Từ hình trên ta nhận thấy rằng: f(x) > 0 và g(x) > 0 do hàm số nằm ở phía trên Ox

Ta có diện tích hình phẳng : S =

\int_{a}^{c} [f (x) - g (x)] dx + \int_{c}^{b} [f (x) - g (x)] dx

Câu 12:

Giả sử một vật từ trạng thái nghỉ khi t = 0 chuyển động thẳng với vận tốc v(t) = t(5 − t) m/s . Tìm quãng đường vật đi dược cho tới khi nó dừng lại?

A. 20,83 m

B. 20,8 m

C.

\frac{125}{6}

m

D. 20,8333333 m

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Khi vật dừng lại thì v(t) = 0 nên t = 5. Khi đó, quãng đường vật đi được là:

$s = \int_{0}^{5} t (5 - t) dt = {(\frac{5 t^{2}}{2} - \frac{t^{3}}{3})|}_{0}^{5} = [(\frac{{5.5}^{2}}{2} - \frac{5^{3}}{3}) - (\frac{{5.0}^{2}}{2} - \frac{0^{3}}{3})]| = \frac{125}{6} (m)$

Câu 13:

Diện tích của hình phẳng bao bởi đường y = sinx, trục Ox và hai đường thẳng x = −

\frac{π}{2}

và x =

\frac{π}{2}

bằng

A. 3

B. 2

C. 1

D. 5

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Diện tích của hình phằng là : S =

\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} |s inx| dx

= 2

Câu 14:

Cho hàm số f(x) thỏa mãn

\int_{0}^{1} (x + 2) . f' (x) dx

= 20 và 3f(1) – 2f(0) = 7. Tính

\int_{0}^{1} f (x) dx

?

A. -13

B. 13

C. 8

D. 1

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Đặt $\{\begin{matrix} u = x + 2 \\ dv = f' (x) dx \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} d u = d x \\ v = f (x) d x \end{matrix}$

Do đó ta có:

(x +2). ${f (x)|}_{0}^{1}$ − $\int_{0}^{1} f (x) dx$ = 20

Û 3f(1) – 2f(0) − $\int_{0}^{1} f (x) dx$ = 20

Û 7 − $\int_{0}^{1} f (x) dx$ = 20 Û $\int_{0}^{1} f (x) dx$ = 7 – 20 = −13

Vậy

\int_{0}^{1} f (x) dx

= −13

Câu 15:

Cho hàm số f(x) = e^{2x – 1} . Tìm khẳng định đúng?

A.

\int f (x) dx

= 2e^{2x – 1} + C

B.

\int f (x) dx

= e^{2x – 1} + C

C.

\int f (x) dx

= e^2x + C

D.

\int f (x) dx

= e^{2x – 1} + C

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có $\int e^{2 x - 1} dx$ = e^{2x – 1} + C.

Vậy

\int f (x) dx

= e^{2x – 1} + C.

Câu 16:

Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = x³ ?

A. 4x⁴ + C

B. x⁴ + C

C. 3x² + C

D.

\frac{1}{4}

x⁴ + C

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có

\int x^{3} dx = \frac{x^{4}}{4} + C = \frac{1}{4} x^{4} + C .

Câu 17:

Cho

\int_{1}^{3} [2 - 3 f (x)] dx

= 3. Tính tích phân

\int_{1}^{3} f (x) dx

?

A. $\frac{1}{3}$

B. 1

C. $\frac{5}{3}$

D. -1

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

$\int_{1}^{3} [2 - 3 f (x)] dx = 3 \Leftrightarrow \int_{1}^{3} 2 dx - 3 \int_{1}^{3} f (x) dx = 3 \Leftrightarrow {2 x|}_{1}^{3} - 3 \int_{1}^{3} f (x) dx = 3 \Leftrightarrow 4 - 3 \int_{1}^{3} f (x) dx = 3 \Leftrightarrow \int_{1}^{3} f (x) dx = \frac{4 - 3}{3} = \frac{1}{3}$

Câu 18:

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P) đi qua A = (1; 0; 2) và song song với mặt phẳng (β) : 2x + 3y − z + 3 = 0 có phương trình là:

A. x + 2y – 3z + 5 = 0

B. 2x + 3y – z – 1 = 0

C. 2x + 3y – z = 0

D. 2x + 3y – z + 1 = 0

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Do (P) // (β) nên vectơ của (β) là $\vec{n}$ = (2; 3; −1) cũng là vectơ pháp tuyến của (P)

Phương trình mặt phẳng (P) đi qua A(1; 0; 2) và có vectơ pháp tuyến là (2; 3; −1) là:

2(x – 1 ) + 3(y – 0) − 1(z − 2) = 0

Û 2x + 3y – z – 2 + 2 = 0 Û 2x + 3y – z = 0

Vậy (P): 2x + 3y – z = 0.

Câu 19:

Cho hàm số f(x) = xe^x biết F(x) là một nguyên hàm của f(x) và F(0) = 2. Khi đó F(x) bằng

A. F(x) = (x + 1)e^x + 3

B. F(x) = (x + 4)e^x – 2

C. F(x) = (x – 1)e^x + 3

D. F(x) = −e^x + 3

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Đặt $\{\begin{matrix} u = x \\ dv = e^{x} dx \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} du = dx \\ v = e^{x} \end{matrix}$

Do đó: xe^x − = xe^x – e^x + C = e^x (x – 1) + C

Với F(0) = 2, ta có: 0.e⁰ – e⁰ + C = 2 Û −1 + C = 2 Û C = 3.

Vậy F(x) = e^x (x – 1) + 3.

Câu 20:

Tìm diện tích của hình phẳng nằm giữa các đường y = x và y = x³ – 3x ?

A. 8

B. 5

C. 4

D. 7

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Phương trình hoành độ giao điểm là:

x = x³ – 3x

Û x³ – 3x – x = 0

Û x³ – 4x = 0

Û $[\begin{matrix} x = 2 \\ x = - 2 \\ x = 0 \end{matrix}$

Diện tích giới hạn bởi hai đường thẳng là:

S =

\int_{- 2}^{2} |x^{3} - 4 x| dx

= 8.

Câu 21:

Cho hàm số bậc ba y = f (x) có đồ thị là đường cong (C) trong hình vẽ bên , biết hàm số f(x) đạt cực trị tại hai điểm x₁ , x₂ thỏa x₂ = x₁ + 4 và

f' (\frac{x_{1} + x_{2}}{2})

= −12. Gọi d là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị (C). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và d bằng

Cho hàm số bậc ba y = f (x) có đồ thị là đường cong (C) trong hình vẽ bên (ảnh 1)

A. 8

B. 4

C. 2

D. 1

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Một hàm bậc ba nhận gốc tọa độ là điểm đối xứng thì y = ax³ + cx

Chọn x₁ = −2 thì x₂ = 2

Nên f(x) = x³ – 12x

Þ $\{\begin{matrix} f (2) = - 16 \\ f (- 2) = 16 \end{matrix}$

Đường thẳng đi qua A(2; −16) và B(−2; 16) nhận $\vec{u}$ = (−4; 32) = 4(−1; 8)

Þ d : −8(x – 2) – 1(y + 16) = 0 Û 8x + y = 0

Diện tích cần tìm là: 2S' = 2

\int_{- 2}^{0} [(x^{3} - 12 x + 8 x)] dx

= 2 . 4 = 8

Câu 22:

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng nào dưới đây đi qua điểm M = (3; −2; −2) nhận vectơ

\vec{n}

= (1; −2; 3) làm vectơ pháp tuyến?

A. x – 2y – 7 = 0

B. x – 2y – 3 z – 1 = 0

C. x – 2y + 3z – 1 = 0

D. 3x – 2y – 2z – 1 = 0

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Mặt phẳng đi qua M(3; −2; −2) và vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ = (1; −2; 3) là:

1(x – 3 ) – 2(y + 2) + 3(z + 2) = 0

Û x – 2y + 3z – 3 – 4 + 6 = 0

Û x – 2y + 3z – 1 = 0

Câu 23:

Cho mặt phẳng ( Q ) có phương trình x – y + 3z − 1 = 0. Mặt phẳng (Q) đi qua điểm

A. M = (1; −2; −1)

B. M = (1; 3; 1)

C. M = (1; 1; 3)

D. M = (1; −1; −3)

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Mặt phẳng (Q) : x – y + 3z − 1 = 0

Thay điểm M(1; 3; 1) vào (Q), nếu giá trị bằng 0 thì điểm M(1 ; 3; 1) thuộc mặt phẳng (Q)

Ta có: 1 – 3 + 3.1 – 1 = 0

Vậy điểm M(1; 3; 1) thuộc (Q).

Câu 24:

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ

\vec{a}

= (1; −2; 3) và

\vec{b}

= (2; 5; −1). Tọa độ của vectơ

2 \vec{a} - \vec{b}

là

A. (3; 3; 2)

B. (0; −9; 7)

C. (4; 1; 5)

D. (−1; −7; 4)

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có: 2 $\vec{a}$ = (2.1; 2.(−2); 2.3) = (2; −4; 6)

Nên $2 \vec{a} - \vec{b}$ = (2 – 2; −4 – 5 ; 6 + 1) = (0; −9; 7)

Vậy

2 \vec{a} - \vec{b}

= (0; −9; 7).

Câu 25:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 3; −2) và B(3; −1; 0). Phương trình mặt cầu đường kính AB là

A. (x – 2)² + (y – 1)² + (z + 1)² =

\sqrt{6}

B. (x – 4)² + (y – 2)² + (z + 2)² = 24

C. (x – 2)² + (y – 1)² + (z – 1)² = 6

D. (x + 2)² + (y + 1)² + (z – 1)²= 6

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có $\vec{AB}$ = (2; −2; 2).

Gọi I là trung điểm của AB có tọa độ:

$\{\begin{matrix} x_{I} = \frac{1 + 3}{2} \\ y_{I} = \frac{3 - 1}{2} \\ z_{I} = \frac{- 2 + 0}{2} \end{matrix}$ Û $\{\begin{matrix} x_{I} = 2 \\ y_{I} = 1 \\ z_{I} = - 1 \end{matrix}$

Do đó I(2; 1; −1).

Khi đó: $\vec{IA}$ = (1; −2; 1).

Suy ra IA = $\sqrt{1^{2} + 2^{2} + 1^{2}} = \sqrt{6} = R$

Phương trình mặt cầu đường kính AB đi qua I(2; 1; −1) và có R = $\sqrt{6}$ là:

(x – 2)² + (y – 1)² + (z + 1)² = 6.

Câu 26:

Cho hàm số f(x) =

\{\begin{matrix} e^{x} \\ x^{2} + 1 \end{matrix} \begin{matrix} khi \\ khi \end{matrix} \begin{matrix} x \leq 0 \\ x > 0 \end{matrix}

liên tục trên R. Biết tích phân

\int_{- 1}^{2} f (x) dx = \frac{a}{b} + \frac{c}{e}

với

\frac{a}{b}

là phân số tối giản. Giá trị của tổng a + b + c bằng

A. 20

B. 21

C. 18

D. 19

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

$\int_{- 1}^{2} f (x) dx = \int_{- 1}^{0} e^{x} dx + \int_{0}^{2} (x^{2} + 1) dx = {e^{x}|}_{- 1}^{0} + \int_{0}^{2} (x^{2} + 1) dx = 1 - \frac{1}{e} + {(\frac{x^{3}}{3} + x)|}_{0}^{2} = 1 - \frac{1}{e} + \frac{14}{3} = \frac{17}{3} - \frac{1}{e}$