25 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Đề kiểm tra Giữa học kì 2 Toán 12 có đáp án (Mới nhất) (Đề 9)

Câu 1:

\frac{1}{2 \sqrt{2 x + 1}}

A. $\int f (x) d x= \sqrt{2 x + 1} +C$

B. $\int f (x) d x= \frac{1}{2} \sqrt{2 x + 1} +C$

C. $\int f (x) d x=2 \sqrt{2 x + 1} +C$

D. $\int f (x) d x= \frac{1}{(2 x + 1) \sqrt{2 x + 1}} +C$

Xem đáp án

Đáp án đúng là B

Ta có: $\int \frac{1}{\sqrt{ax + b}} d x= \frac{1}{a} . 2 \sqrt{ax + b} + C$

Vậy

\int f (x) d x = \int \frac{1}{2 \sqrt{2 x + 1}} d x= \sqrt{2 x + 1} +C

Câu 2:

Tính tích phân I =

\int_{0}^{2} \sqrt{4 x + 1} d x

.

A. 13

B. 4

C. $\frac{13}{3}$

D. $\frac{4}{3}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là C

Ta có: $\int {(ax + b)}^{n} d x= \frac{1}{a} . \frac{{(ax + b)}^{n + 1}}{n + 1} + C$

Do đó I = $\int_{0}^{2} \sqrt{4 x + 1} d x= \int_{0}^{2} {(4 x + 1)}^{\frac{1}{2}} d x= {\frac{1}{4} . \frac{{(4 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}|}_{0}^{2}$

$= \frac{1}{4} . \frac{{(4.2 + 1)}^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} - \frac{1}{4} . \frac{{(4.0 + 1)}^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} = \frac{13}{3}$

Câu 3:

Tất cả nguyên hàm của hàm số f (x) =

\frac{1}{2 x + 3}

là

A. $\frac{1}{2} \ln | 2 x + 3 | + C .$

B. $\ln | 2 x + 3 | + C .$

C. $\frac{1}{2} \ln (2 x + 3) + C .$

D. $\frac{1}{\ln 2} \ln | 2 x + 3 | + C .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là A

Ta có: $\int \frac{1}{ax + b} d x$ = $\frac{1}{a} . \ln |ax + b|$ + C

Vậy $\int \frac{1}{2 x + 3} d x$ = $\frac{1}{2}$ ln|2x + 3| + C.

Câu 4:

Nếu

\int f (x) d x

=

\frac{x^{3}}{3}

+ e^x + C thì f (x) bằng:

A. f (x) = 3x² + e^x.

B. f (x) =

\frac{x^{4}}{12}

+ e^x.

C. f (x) = x²+ e^x.

D. f (x) =

\frac{x^{4}}{3}

+ e^x.

Xem đáp án

Đáp án đúng là C

Vì $\int f (x) d x$ = $\frac{x^{3}}{3}$ + e^x + C nên:

f (x) = $(\frac{x^{3}}{3} + e^{x} + C)'$ = x² + e^x.

Câu 5:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x² + y² + z² − 6x + 4y − 8z + 4 = 0. Tìm tọa độ tâm I và tính bán kính R của mặt cầu (S).

A. I (3; −2; 4), R = 5.

B. I (3; −2; 4), R = 25.

C. I (−3; 2; −4), R = 5.

D. I (−3; 2; −4), R = 25.

Xem đáp án

Đáp án đúng là A

Phương trình mặt cầu (S) là:

x² + y² + z² − 6x + 4y − 8z + 4 = 0

Û (x − 3)² + (y + 2)² + (z − 4)² = 25

Trong không gian Oxyz cho mặt cầu S tâm I (a; b; c) bán kính R.

Phương trình chính tắc của (S) là: (x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = R².

Vậy nên tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S) lần lượt là I (3; −2; 4) và R = 5.

Câu 6:

Cho I =

\int_{0}^{2} f (x) d x

= 3. Khi đó J =

\int_{0}^{2} [4 f (x) - 3] d x

bằng:

A. 2

B. 6

C. 4

D. 8

Xem đáp án

Đáp án đúng là B

Ta có: J = $\int_{0}^{2} [4 f (x) - 3] d x$

= 4 $\int_{0}^{2} f (x) d x$ − $\int_{0}^{2} 3 d x$

= 4.3 −

{3 x|}_{0}^{2}

= 12 − 3.2 = 6.

Câu 7:

Cho hình (H) giới hạn bởi các đường y = − x² + 2x, trục hoành. Quay hình phẳng (H) quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là:

A. $\frac{32 π}{15}$

B. $\frac{4 π}{3}$

C. $\frac{496 π}{15}$

D. $\frac{16 π}{15}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là D

Hoành độ giao điểm của đường thẳng y = − x² + 2x và trục Ox là:

− x² + 2x = 0

Û x. (−x + 2) = 0

Û $[\begin{array}{l} x = 0 \\ - x + 2 = 0 \end{array}$

Û $[\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 2 \end{array}$

Thể tích của khối tròn xoay cần tìm là:

V = $π \int_{a}^{b} f^{2} (x) dx = π \int_{0}^{2} {(- x^{2} + 2 x)}^{2} dx$

$= π \frac{16}{15} = \frac{16 π}{15}$

Câu 8:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I (1; 0; −2) và mặt phẳng (P) có phương trình: x + 2y − 2z + 4 = 0. Phương trình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với (P) là

A. (x + 1)² + y² + (z − 2)² = 3.

B. (x − 1)² + y² + (z + 2)² = 9.

C. (x − 1)² + y² + (z + 2)² = 3.

D. (x + 1)² + y² + (z − 2)² = 9.

Xem đáp án

Đáp án đúng là B

Vì mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu nên khoảng cách từ điểm I (1; 0; −2) đến mặt phẳng (P) là bán kính mặt cầu

d(I, (P)) = $\frac{|1.1 + 2.0 + (- 2) . (- 2) + 4|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2} + {(- 2)}^{2}}}$ = 3.

Vậy bán kính mặt cầu (S) bằng 3.

Mặt cầu (S) có tâm I (1; 0; −2) và bán kính bằng 3 có phương trình là:

(x − 1)² + y² + (z + 2)² = 9.

Câu 9:

Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn [0; 10] và

\int_{0}^{10} f (x) d x

= 7 và

\int_{2}^{6} f (x) d x

= 3. Tính P =

\int_{0}^{2} f (x) d x+ \int_{6}^{10} f (x) d x

.

A. P = 4.

B. P = −4.

C. P = 10.

D. P = 7.

Xem đáp án

Đáp án đúng là A

Áp dụng tính chất của tích phân, ta có:

$\int_{0}^{10} f (x) d x= \int_{0}^{2} f (x) d x+ \int_{2}^{6} f (x) d x+ \int_{6}^{10} f (x) d x=7$

Do đó $\int_{0}^{2} f (x) d x + \int_{6}^{10} f (x) d x = 7- \int_{2}^{6} f (x) d x = 7 - 3 = 4$

Vậy $\int_{0}^{2} f (x) d x+ \int_{6}^{10} f (x) d x=4$

Câu 10:

Tính tích phân I =

\int_{0}^{1} (2 x + 1) e^{x} d x

bằng cách đặt u = 2x + 1, dv = e^xdx. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. I = ${(2 x + 1) e^{x}|}_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} e^{x} d x$

B. I = ${(2 x + 1) e^{x}|}_{0}^{1} + 2 \int_{0}^{1} e^{2 x} d x$

C. I = ${(2 x + 1) e^{x}|}_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x} d x$

D. I = ${(2 x + 1) e^{x}|}_{0}^{1} + \int_{0}^{1} e^{2 x} d x$

Xem đáp án

Đáp án đúng là A

Đặt u = 2x + 1 => du = 2dx

dv = e^xdx => v = e^x+ C

Chọn C = 0 => v = e^x

Do đó I =

{(2 x + 1) e^{x}|}_{0}^{1}

− 2

\int_{0}^{1} e^{x} d x

.

Câu 11:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho

\vec{a}

= −

\vec{i}

+ 2

\vec{j}

− 3

\vec{k}

. Tọa độ của vectơ

\vec{a}

là:

A. (2; −1; −3).

B. (−1; 2; −3).

C. (2; −3; −1).

D. (−3; 2; −1).

Xem đáp án

Đáp án đúng là B

Trên mỗi trục tọa độ người ta quy ước các vectơ đơn vị $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$

Tất cả các vectơ trong không gian đều được biểu diễn qua các vectơ đơn vị.

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho vecto a = -vecto i + 2 vecto j − 3 vecto k. (ảnh 1)

Vậy nên tọa độ vectơ

\vec{a}

là (−1; 2; −3).

Câu 12:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho các điểm A (0; 1; 2), B (2; −2; 1), C (−2; 0; 1). Phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với BC là

A. y + 2z − 5 = 0.

B. 2x − y − 1 = 0.

C. 2x − y + 1 = 0.

D. − y + 2z − 3 = 0.

Xem đáp án

Đáp án đúng là C

Vì mặt phẳng vuông góc với đường thẳng BC nên VTPT của mặt phẳng là $\vec{BC}$ :

$\vec{n}$ = $\vec{BC}$ = (−4; 2; 0) = (2; −1; 0).

Phương trình mặt phẳng đi qua điểm A (0; 1; 2) và có VTPT $\vec{n}$ = (−4; 2; 0) là:

2. (x − 0) − 1. (y − 1) + 0. (z − 2) = 0.

Vậy phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với BC là: 2x − y + 1 = 0.

Câu 13:

Cho phần vật thể B giới hạn bởi hai mặt phẳng có phương trình x = 0 và x =

\frac{π}{3}

. Cắt phần vật thể B bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x

(0 \leq x \leq \frac{π}{3})

ta được thiết diện là một tam giác vuông có độ dài hai cạnh góc vuông lần lượt là 2x và cosx. Thể tích vật thể B bằng

A. $\frac{\sqrt{3} π + 3}{6}$

B. $\frac{\sqrt{3} π - 3}{3}$

C. $\frac{\sqrt{3} π - 3}{6}$

D. $\frac{\sqrt{3} π}{6}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là C

Diện tích thiết diện là:

S = $\frac{1}{2}$ .2x. cosx = x. cosx

Thể tích vật thể B bằng: V_B= $\int_{0}^{\frac{π}{3}} x . cosxdx$ .

Đặt u = x => du = dx

dv = cosxdx => v = sinx + C

Chọn C = 0 => v = sinx

$\Rightarrow VB = {x . s inx|}_{0}^{\frac{π}{3}} - \int_{0}^{\frac{π}{3}} \sin x dx = \frac{π}{3} . \frac{\sqrt{3}}{2} + {cosx|}_{0}^{\frac{π}{3}} = \frac{π}{3} . \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} - 1 = \frac{\sqrt{3} π - 3}{6}$

Câu 14:

Tích phân

\int_{0}^{2} \frac{1}{x + 3} d x

bằng

A. $\frac{2}{15}$

B. $\frac{16}{225}$

C. $\log \frac{5}{3}$

D. $\ln \frac{5}{3}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là D

Ta có: $\int_{0}^{2} \frac{1}{x + 3} d x= {ln |x + 3||}_{0}^{2}$

= ln5 − ln3 = ln $\frac{5}{3}$ .

Câu 15:

Viết công thức tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x), trục Ox và các đường thẳng x = a, x = b (a < b).

A. $\int_{a}^{b} f^{2} (x) d x$

B. $π \int_{a}^{b} f (x) d x$

C. $\int_{a}^{b} |f (x)| d x$

D. $\int_{a}^{b} f (x) d x$

Xem đáp án

Đáp án đúng là C

Công thức tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x), trục Ox và các đường thẳng x = a, x = b (a < b) là:

\int_{a}^{b} |f (x)| d x

.

Câu 16:

Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) =

\frac{1}{x - 1}

và F (2) = 1. Tính F (3).

A. F (3) = ln2 − 1.

B. F (3) =

\frac{1}{2}

.

C. F (3) = ln2 + 1.

D. F (3) =

\frac{7}{4}

.

Xem đáp án

Đáp án đúng là C

Do F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = $\frac{1}{x - 1}$ nên:

F(3) − F(2) = $\int_{2}^{3} \frac{1}{x - 1} d x$ .

F(3) − 1 =

\ln {|x - 1|}_{2}^{3}

= ln2 − ln1 = ln2 + 1.

Câu 17:

Trong không gian Oxyz, cho điểm A (3; −1; 1). Hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (Oyz) là điểm

A. P (0; −1; 0).

B. M (3; 0; 0).

C. N (0; −1; 1).

D. Q (0; 0; 1).

Xem đáp án

Đáp án đúng là C

Vì là hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng (Oyz) nên tọa độ điểm hình chiếu của A là N (0; −1; 1).

Câu 18:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz, cho ba điểm M (2; 0; 0), N (0; −1; 0) và P (0; 0; 2). Mặt phẳng (MNP) có phương trình là

A. $\frac{x}{2} + \frac{y}{1} + \frac{z}{2} = 1$

B. $\frac{x}{2} + \frac{y}{- 1} + \frac{z}{2} = - 1$

C. $\frac{x}{2} + \frac{y}{- 1} + \frac{z}{2} = 1$

D. $\frac{x}{2} + \frac{y}{- 1} + \frac{z}{2} = 0$

Xem đáp án

Đáp án đúng là C

Mặt phẳng (MNP) đi qua ba điểm M (2; 0; 0), N (0; −1; 0) và P (0; 0; 2).

Nên mặt phẳng (MNP) có phương trình đoạn chắn là:

$\frac{x}{2} + \frac{y}{- 1} + \frac{z}{2} = 1$

Câu 19:

Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho A (1; 0; −3), B (3; 2; 1). Mặt phẳng trung trực đoạn AB có phương trình là

A. 2x + y − z + 1 = 0.

B. 2x + y − z − 1 = 0.

C. x + y + 2z + 1 = 0.

D. x + y + 2z − 1 = 0.

Xem đáp án

Đáp án đúng là C

Vì là mặt phẳng trung trực đoạn AB nên VTPT của mặt phẳng là vectơ $\vec{AB}$ :

$\vec{n}$ = $\vec{AB}$ = (2; 2; 4) = (1; 1; 2)

Gọi I là trung điểm của đoạn AB.

x_I= $\frac{x_{A} + x_{B}}{2}$ = $\frac{1 + 3}{2}$ = 2;

y_I= $\frac{y_{A} + y_{B}}{2}$ = $\frac{0 + 2}{2}$ = 1;

z_I= $\frac{z_{A} + z_{B}}{2}$ = $\frac{- 3 + 1}{2}$ = − 1.

Do đó điểm I có tọa độ là I (2; 1; −1).

Mặt phẳng có VTPT là $\vec{n}$ = (1; 1; 2) và đi qua điểm I (2; 1; −1) là:

1.(x − 2) + 1. (y − 1) + 2. (z + 1) = 0

Û x – 2 + y – 1 + 2z + 2 = 0

Û x + y + 2z – 1 = 0

Vậy phương trình mặt phẳng là: x + y + 2z – 1 = 0.

Câu 20:

Cho hình phẳng (D) được giới hạn bởi các đường x = 0, x = 1, y = 0 và y =

\sqrt{2 x + 1}

. Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay (D) xung quanh trục Ox được tính theo công thức?

A. V = $π \int_{0}^{1} \sqrt{2 x + 1} d x$

B. V = $\int_{0}^{1} \sqrt{2 x + 1} dx$

C. V = $π \int_{0}^{1} (2 x + 1) d x$

D.V = $\int_{0}^{1} (2 x + 1) d x$

Xem đáp án

Đáp án đúng là C

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a; b], trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b quay quanh Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là:

V = π $\int_{a}^{b} f {(x)}^{2} d x$ .

Vậy nên hình phẳng (D) được giới hạn bởi các đường x = 0, x = 1, y = 0 và y =

\sqrt{2 x + 1}

có thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay (D) xung quanh trục Ox được tính theo công thức là: V = π

\int_{0}^{1} (2 x + 1) d x

.

Câu 21:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm A (1; 2; 4), B (2; 4; −1). Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác OAB.

A. G (6; 3; 3).

B. G (2; 1; 1).

C. G (3; 1; 1).

D. G (1; 2; 1).

Xem đáp án

Đáp án đúng là D

Ta có:

x_G= $\frac{x_{A} + x_{B} + x_{O}}{3}$ = $\frac{1 + 2 + 0}{3}$ = 1;

y_G= $\frac{y_{A} + y_{B} + y_{O}}{3}$ = $\frac{2 + 4 + 0}{3}$ = 2;

z_G= $\frac{z_{A} + z_{B} + z_{O}}{3}$ = $\frac{4 - 1 + 0}{3}$ = 1.

Vậy tọa độ điểm G là G (1; 2; 1).

Câu 22:

Tính

\int_{1}^{e} x^{2} \ln (x) d (x)

A. $\frac{e^{3} - 2}{9}$

B. $\frac{e^{3} + 2}{9}$

C. $\frac{2 e^{3} - 1}{9}$

D. $\frac{2 e^{3} + 1}{9}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là D

Đặt u = lnx => du = $\frac{1}{x}$ dx

dv = x²dx => v = $\frac{x^{3}}{3}$ + C

Chọn C = 0 => v = $\frac{x^{3}}{3}$

$\Rightarrow \int_{1}^{e} x^{2} \ln (x) d (x) = {\ln (x) . \frac{x^{3}}{3}|}_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x^{3}}{3} . \frac{1}{x} d x = \frac{e^{3}}{3} - {\frac{x^{3}}{9}|}_{1}^{e} = \frac{e^{3}}{3} - \frac{e^{3}}{9} + \frac{1}{9} = \frac{2 e^{3} + 1}{9}$

Câu 23:

Cho f (x), g(x) là các hàm số xác định và liên tục trên ℝ. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai

A.

\int 2 f (x) d x

= 2

\int f (x) d x

.

B.

\int [f (x) + g (x)] d x

=

\int f (x) d x

+

\int g (x) d x

.

C.

\int f (x) . g (x) d x

=

\int f (x) d x

.

\int g (x) d x

.

D.

\int [f (x) - g (x)] d x

=

\int f (x) d x

−

\int g (x) d x

.

Xem đáp án

Đáp án đúng là C

Đáp án C sai do không có tích chất hay khái niệm nào của nguyên hàm quy định là:

$\int f (x) . g (x) d x$ = $\int f (x) d x$ . $\int g (x) d x$ .

Câu 24:

Cho f (x) là hàm số chẵn liên tục trong đoạn [−1; 1] và

\int_{- 1}^{1} f (x) d x

= 2. Kết quả

I = \int_{- 1}^{1} \frac{f (x)}{1 + e^{x}} d x

bằng

A. I = 4

B. I = 3

C. I = 2

D. I = 1

Xem đáp án

Đáp án đúng là D

Đặt t = −x => dt = −dx.

Đổi cận:

Cho f (x) là hàm số chẵn liên tục trong đoạn [−1; 1] và tích phân từ -1 đến 1 f(x) dx = 2. (ảnh 1)

$I = \int_{- 1}^{1} \frac{f (x)}{1 + e^{x}} d x= \int_{1}^{- 1} \frac{f (- t)}{1 + e^{- t}} dt = \int_{- 1}^{1} \frac{e^{t} . f (t)}{1 + e^{t}} dt = \int_{- 1}^{1} \frac{e^{x} . f (x)}{1 + e^{x}} dx$

Do đó:

2 I = \int_{- 1}^{1} \frac{f (x)}{1 + e^{x}} d x + \int_{- 1}^{1} \frac{e^{x} . f (x)}{1 + e^{x}} dx = \int_{- 1}^{1} f (x) d x=2 ⇒ I=1

Vậy I = 1.

Câu 25:

Diện tích S hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x³ + 2x + 1, trục hoành, x = 1 và x = 2 là

A. S = $\frac{49}{4}$

B. S = $\frac{21}{4}$

C. S = $\frac{31}{4}$

D. S = $\frac{39}{4}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là C

Nếu hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a; b] thì diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b là:

S = $\int_{a}^{b} |f (x)| d x$

Vậy nên diện tích S hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x³ + 2x + 1, trục hoành, x = 1 và x = 2 là:

S = $\int_{1}^{2} |x^{3} + 2 x + 1| d x$ .

Vì x³ + 2x + 1 > 0 khi x Î [1; 2] nên | x³ + 2x + 1| = x³ + 2x + 1.

Do đó:

$S = \int_{1}^{2} |x^{3} + 2 x + 1| dx = \int_{1}^{2} (x^{3} + 2 x + 1) d x = {(\frac{x^{4}}{4} + x^{2} + x)|}_{1}^{2} = \frac{2^{4}}{4} + 2^{2} + 2 - (\frac{1^{4}}{4} + 1^{2} + 1) = \frac{31}{4}$