39 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Đề kiểm tra Giữa học kì 2 Toán 12 có đáp án (Mới nhất) (Đề 12)

Câu 1:

\vec{a}

biểu diễn của các vectơ đơn vị là

\vec{a}

=

2 \vec{i} + \vec{k} - 3 \vec{j}

. Tọa độ của vectơ

\vec{a}

là

A. (1; −3; 2)

B. (2; −3; 1)

C. (1; 2; −3)

D. (2; 1; −3)

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có $\vec{a} = 2 \vec{i} + \vec{k} - 3 \vec{j}$

Do đó tọa độ của $\vec{a}$ là $\vec{a}$ (2; −3; 1).

Câu 2:

Mặt phẳng đi qua ba điểm A(0; 0; 2), B(1; 0; 0), C(0; 3; 0) có phương trình là:

A. $\frac{x}{1} + \frac{y}{3} + \frac{z}{2} = - 1$

B. $\frac{x}{2} + \frac{y}{1} + \frac{z}{3} = - 1$

C. $\frac{x}{2} + \frac{y}{1} + \frac{z}{3} = 1$

D. $\frac{x}{1} + \frac{y}{3} + \frac{z}{2} = 1$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Phương trình mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm B(1; 0; 0), C(0; 3; 0) và A(0; 0; 2) là:

(P) : $\frac{x}{1} + \frac{y}{3} + \frac{z}{2} = 1$

Câu 3:

Cho hàm số f(x) =

\frac{1}{\sqrt{3 - 2 x}}

. Mệnh đề nào sau đây đúng

A. $\int f (x) dx = - \sqrt{3 - 2 x} + C$

B. $\int f (x) dx = \sqrt{3 - 2 x} + C$

C. $\int f (x) dx = - \frac{1}{2} \sqrt{3 - 2 x} + C$

D. $\int f (x) dx = \frac{1}{2} \sqrt{3 - 2 x} + C$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Đặt u = $\sqrt{3 - 2 x}$ (u ≥ 0)

Suy ra : u² = 3 – 2x Û 2udu = −2dx Û dx = −udu.

Do đó $\int \frac{1}{\sqrt{3 - 2 x}} dx = \int - \frac{1}{u} udu = - \int du$

= −u + C = −

\sqrt{3 - 2 x}

+ C.

Câu 4:

Nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x³ – 9 là

A. 4x⁴ – 9x + C

B.

\frac{1}{2}

x⁴ – 9x + C

C.

\frac{1}{4}

x⁴ + C

D. 4x³ – 9x + C

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

$\int (2 x^{3} - 9) dx$ = 2. $\frac{x^{4}}{4}$ − 9x + C = $\frac{1}{2}$ x⁴ – 9x + C

Câu 5:

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $\int {xe}^{x} dx = {xe}^{x} - e^{x} + C$

B. $\int {xe}^{x} dx = \frac{x^{2}}{2} e^{x} + e^{x} + C$

C. $\int {xe}^{x} dx = e^{x} + {xe}^{x} + C$

D. $\int {xe}^{x} dx = \frac{x^{2}}{2} e^{x} + C$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Đặt $\{\begin{matrix} u = x \\ dv = e^{x} dx \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} du = dx \\ v = e^{x} dx \end{matrix}$

Do đó: $\int {xe}^{x} dx =$ xe^x – e^x + C.

Câu 6:

Họ nguyên hàm của hàm số f(x) =

\frac{1}{5 x + 4}

là

A.

\frac{1}{5}

ln( 5x + 4) + C

B.

\frac{1}{\ln 5} \ln |5 x + 4|

+ C

C. ln|5x + 4| + C

D.

\frac{1}{5} \ln |5 x + 4|

+C

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có $\int \frac{1}{5 x + 4} dx = \frac{1}{5} \ln |5 x + 4| + C$

Câu 7:

Tích phân

\int_{1}^{2} (\frac{1}{x} + 2) dx

bằng

A. I = ln2 + 2

B. I = ln2 + 1

C. I = ln2 – 1

D. I = ln2 + 3

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có $\int_{1}^{2} (\frac{1}{x} + 2) dx = \int_{1}^{2} \frac{1}{x} dx + \int_{1}^{2} 2 dx$

$= {\ln |x||}_{1}^{2} + {2 x|}_{1}^{2}$ + C = ln2 + 2.

Câu 8:

Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(−3; 0; 0), B(0; −3; 0), C(0; 0; 6). Tính khoảng cách từ điểm M (1; −3; −4) đến mặt phẳng (ABC).

A. 2

B. 3

C. 4

D. 1

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Phương trình mặt phẳng (ABC) đi qua các điểm A(−3; 0; 0), B(0; −3; 0), C(0; 0; 6) là: $\frac{x}{- 3} + \frac{y}{- 3} + \frac{z}{6} = 1$

Û $\frac{- 2 x}{6} + \frac{- 2 y}{6} + \frac{z}{6} = \frac{6}{6}$

Û −2x – 2y + z – 6 = 0

d_(M;(ABC)) = $\frac{|(- 2) .1 - 2. (- 3) - 4 - 6|}{\sqrt{2^{2} + 2^{2} + 1}} = 2$ .

Câu 9:

Tích phân I =

\int_{0}^{2} \frac{2}{2 x + 1} dx

bằng

A. ln5

B. 4ln5

C. 2ln5

D.

\frac{1}{2}

ln5

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có $\int_{0}^{2} \frac{2}{2 x + 1} dx = 2 \int_{0}^{2} \frac{1}{2 x + 1} dx$

$= 2. \frac{1}{2} {\ln |2 x + 1||}_{0}^{2} + C = {\ln |2 x + 1||}_{0}^{2} = \ln 5.$

Câu 10:

Trong không gian với hệ số tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2; 5; 0), B(2; 7; 7). Tìm tọa độ của vectơ

\vec{AB}

A.

\vec{AB}

= (0; 2; 7)

B.

\vec{AB}

= (0; −2; −7)

C.

\vec{AB}

=

(0; 1; \frac{7}{2})

D.

\vec{AB}

= (4; 12; 7)

Xem đáp án

Đáp án đúng: A

Ta có

\vec{AB}

= ( 2 – 2; 7 − 5; 7 − 0) = (0; 2; 7).

Câu 11:

Cho hàm số f(x) có đạo hàm f '(x) liên tục trên [a; b], f(b) = 5 và

\int_{a}^{b} f' (x) dx

= 1, khi đó f(a) bằng

A. -6

B. 4

C. 6

D. -4

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

$\int_{a}^{b} f' (x) dx$ = 1 Û ${f (x)|}_{a}^{b}$ = 1

Û f(b) – f(a) = 1

Û 5 – f(a) = 1 Û f(a) = 4.

Câu 12:

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x², trục hoành Ox, các đường thẳng x = 1, x = 2 là

A. S = 7

B. S =

\frac{8}{3}

C. S =

\frac{7}{3}

D. S = 8

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x², trục hoành Ox, các đường thẳng x = 1, x = 2 là

S = $\int_{1}^{2} x^{2} dx = {\frac{x^{3}}{3}|}_{1}^{2} = \frac{7}{3}$ ( do x² > 0 ∀ x ∈ ℝ)

Câu 13:

Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) diện tích của D được tính theo công thức

A. $\int_{a}^{b} (f (x) - g (x)) dx$

B. $|\int_{a}^{b} f (x) - g (x) dx|$

C. $\int_{a}^{b} f (x) dx - \int_{a}^{b} g (x) dx$

D. $\int_{a}^{b} |f (x) - g (x)| dx$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Diện tích của D bởi các đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b được tính là:

D = $\int_{a}^{b} |f (x) - g (x)| dx$

Câu 14:

Cho các hàm số f(x), g(x) liên tục trên tập xác định. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. $\int kf (x) dx = k \int f (x) dx, (k \neq 0)$

B. $\int \frac{f (x)}{g (x)} dx = \frac{\int f (x) dx}{\int g (x) dx}$

C. $\int f' (x) dx = f (x) + C$

D. $\int [f (x) - g (x)] dx = \int f (x) dx - \int g (x) dx$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Trong bảng nguyên hàm cơ bản không có công thức $\int \frac{f (x)}{g (x)} dx = \frac{\int f (x) dx}{\int g (x) dx}$

Câu 15:

Giả sử

\int_{1}^{2} \frac{1}{2 x + 1} dx = \ln \sqrt{\frac{a}{b}}

với a, b Î ℕ^∗ và a, b < 10. Tính M = a + b².

A. M = 14.

B. M = 106.

C. M = 8.

D. M = 28.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

$\begin{array}{l} \int_{1}^{2} \frac{1}{2 x + 1} dx = {\frac{1}{2} \ln |2 x + 1||}_{1}^{2} + C \\ = \frac{1}{2} [\ln (5) - \ln (3)] + C \\ = \frac{1}{2} \ln 5 - \frac{1}{2} \ln 3 \\ = \frac{1}{2} . \ln \frac{5}{3} \\ = \ln \sqrt{\frac{5}{3}} \end{array}$

Do đó a = 5, b = 3.

Vậy a + b² = 5 + 3² = 14.

Câu 16:

Trong không gian Oxyz, điểm nào dưới đây nằm trên mặt phẳng (P) : 2x – y + z – 2 = 0.

A. Q(1; −2; 2).

B. N(1; −1; −1).

C. P(2; −1; −1).

D. M(1; 1; −1).

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Thay điểm N(1; −1; −1) vào mặt phẳng (P) : 2x – y + z – 2 = 0, ta có:

2. 1 – (−1) + (−1) – 2 = 2 + 1 – 1 – 2 = 0

Do đó điểm N(1; −1; −1) nằm trên mặt phẳng (P) : 2x – y + z – 2 = 0.

Câu 17:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(1; 2; 3) và N(−1; 2; −1). Mặt cầu đường kính MN có phương trình là:

A. x² + (y – 2)² + (z – 1)² = 20.

B. x² + (y – 2)² + (z – 1)² = 5.

C. x² + (y – 2)² + (z −1)² =

\sqrt{5}

.

D. x² + (y – 2)² + (z – 1)² =

\sqrt{20}

.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Trung điểm I của MN có tọa độ I (0; 2; 1).

Ta có: $\vec{IM}$ = (1; 0; 2), R = $\sqrt{5}$ .

Phương trình mặt cầu đường kính MN đi qua điểm I (0; 2; 1) và có R = $\sqrt{5}$ là:

x² + (y – 2)² + (z – 1)² = 5.

Câu 18:

Trong không gian Oxyz, mặt cầu (x – 1)² + (y – 2)² + (z + 3)² = 4 có tâm và bán kính lần lượt là

A. I (1; 2; −3); R = 4.

B. I (−1; −2; 3); R = 2.

C. I (1; 2; −3); R = 2.

D. I (−1; −2; 3); R = 4.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Mặt cầu (x – 1)² + (y – 2)² + (z + 3)² = 4 có tâm I (1; 2; −3) và R =

\sqrt{4}

= 2.

Câu 19:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 2; −3) và B(3; −2; −1). Tọa độ trung điểm đoạn thẳng AB là điểm

A. I(1; −2; 1)

B. I(2;0; −2)

C. I(4; 0; −4)

D. I(1; 0; −2)

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Độ dài trung điểm của AB là I có tọa độ $\{\begin{matrix} x = \frac{1 + 3}{2} = 2 \\ y = \frac{2 - 2}{2} = 0 \\ z = \frac{- 3 - 1}{2} = - 2 \end{matrix}$

Do đó tọa độ trung điểm đoạn thẳng AB là điểm I(2; 0; −2).

Câu 20:

Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên R và $\int_{3}^{5} f (x) dx = a$ , (a Î ℝ). Tích phân I = $\int_{1}^{2} f (2 x + 1) dx$ có giá trị là

A. I = $\frac{1}{2} a + 1$

B. I = 2a + 1

C. I = 2a

D. I =

\frac{1}{2} a

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Đặt u = 2x + 1 Û du = 2dx Û dx = $\frac{1}{2}$ du

Đổi cận:

x	2	1
u	5	3

Ta có: I =

\int_{1}^{2} f (2 x + 1) dx = \frac{1}{2} . \int_{3}^{5} f (u) du = \frac{1}{2} a

Câu 21:

Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(−1; 2; 0) và có vectơ pháp tuyến

\vec{n}

= (4; 0; −5) là

A. 4x – 5z + 4 =0

B. 4x – 5y + 4 = 0

C. 4x – 5z – 4 = 0

D. 4x – 5y – 4 = 0

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Phương trình (P) có dạng: 4.(x +1) + 0.(y – 2) − 5.(z – 0) = 0.

Do đó phương trình mặt phẳng (P) : 4x – 5z + 4 = 0.

Câu 22:

Cho tích phân I = $\int_{1}^{e} \frac{3 lnx + 1}{x} dx$ . Nếu đặt t = lnx thì

A. I =

\int_{1}^{e} (3 t + 1) dx

B. I =

\int_{0}^{1} \frac{3 t + 1}{e^{t}} dt

C. I =

\int_{0}^{1} (3 t + 1) dt

D. I =

\int_{1}^{e} \frac{3 t + 1}{t} dt

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Đặt t = lnx Û dt = $\frac{1}{x}$ dx

Đổi cận :

x	e	1
t	1	0

Do đó: I = $\int_{1}^{e} \frac{3 lnx + 1}{x} dx = \int_{0}^{1} (3 t + 1) dt$

Câu 23:

Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên R, f(−1) = −2 và f(3) = 2. Tính I =

\int_{- 1}^{3} f' (x) dx

A. I = −4

B. I = 4

C. I = 0

D. I = 3

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

\int_{- 1}^{3} f' (x) dx = {f (x)|}_{- 1}^{3}

= f (3) – f (−1) = 2 − (−2) = 4.

Câu 24:

Nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x + sinx là

A. −cosx + x² + C

B. – cosx + 2x² + C

C. cosx + x² + C

D. 2x² + cosx + C

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

$\int (2 x + s inx) dx = \int 2 xdx + \int \sin x dx = x^{2} - cosx + C .$

Câu 25:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào được cho dưới đây là phương trình mặt phẳng (Oyz)?

A. y + z = 0.

B. y – z = 0.

C. x = 0.

D. x = y + z.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Phương trình mặt phẳng (Oyz) là x = 0.

Câu 26:

Cho hàm số f(x) liên tục trên ℝ và

\int_{0}^{4} f (x) dx

= 10,

\int_{3}^{4} f (x) dx

= 4. Tích phân

\int_{0}^{3} f (x) dx

bằng

A. 3

B. 6

C. 4

D. 7

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

$\begin{array}{l} \int_{0}^{3} f (x) dx = \int_{4}^{3} f (x) dx + \int_{0}^{4} f (x) dx \\ = - \int_{3}^{4} f (x) dx + \int_{0}^{4} f (x) dx = (- 4) + 10 = 6. \end{array}$

Câu 27:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y – 1 = 0. Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là

A.

\vec{n}

= (2; 1; −1).

B.

\vec{n}

= (1; 2; 0).

C.

\vec{n}

= (−2; −1; 1).

D.

\vec{n}

= (2; 1; 0).

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Mặt phẳng (P): 2x + y – 1 = 0 có vectơ pháp tuyến là

\vec{n}

= (2; 1; 0)

Câu 28:

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + z = 0 và mặt phẳng (Q): 2x + y + z – 1 = 0. Vị trí tương đối của (P) và (Q) là:

A. Trùng nhau

B. Vuông góc

C. Cắt nhưng không vuông

D. Song song

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Mặt phẳng (P) và (Q) song song do có cùng vectơ pháp tuyến là $\vec{n}$ = (2; 1; 1)

Câu 29:

Cho

\int_{0}^{1} f (x) dx

= 2. Khi đó

\int_{0}^{1} [2 f (x) + e^{x}] dx

bằng

A. 5 – e

B. 5 + e

C. e + 3

D. 3 – e

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

$\int_{0}^{1} [2 f (x) + e^{x}] dx = 2 \int_{0}^{1} f (x) dx + \int_{0}^{1} e^{x} dx$

= 2 . 2 + ${e^{x}|}_{0}^{1}$ = 4 + e – 1 = e + 3.

Câu 30:

Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3). Tìm tọa độ điểm A₁ là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (Oyz).

A. A₁ (0; 2; 3)

B. A₁(1; 0; 3)

C. A₁(1; 2; 0)

D. A₁ (1; 0; 0)

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Mặt phẳng (Oyz) có phương trình là: x = 0.

Hình chiếu vuông góc của A(1; 2; 3) lên mặt phẳng (Oyz) là A₁(0; 2; 3)

Câu 31:

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = xe^x, trục hoành và hai đường thẳng x = −2, x = 3 có công thức tính là

A. S = $\int_{- 2}^{3} {xe}^{x} dx$

B. S = $\int_{- 2}^{3} |{xe}^{x}| dx$

C. S = $|\int_{- 2}^{3} {xe}^{x} dx|$

D. S = $π \int_{- 2}^{3} {xe}^{x} dx$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b].

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b là: S $\int_{a}^{b} |f (x)| dx$

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = xe^x, trục hoành và hai đường thẳng x = −2, x = 3 có công thức tính là:

S = $\int_{- 2}^{3} |{xe}^{x}| dx$ .

Câu 32:

Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = cosx.

A.

\frac{1}{2}

cos²x + C

B. sinx + C

C.

- \frac{1}{2}

cos²x +C

D. –sinx + C

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

$\int cosxdx$ = sinx + C

Câu 33:

Cho

\int_{1}^{3} f (x) dx

= 2. Tích phân

\int_{1}^{3} [2 + f (x)] dx

bằng

A. 4

B. 8

C. 10

D. 6

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

\int_{1}^{3} [2 + f (x)] dx = \int_{1}^{3} 2 dx + \int_{1}^{3} f (x) dx = {2 x|}_{1}^{3} + 2 = 6

Câu 34:

Tích phân

\int_{0}^{2} \frac{x}{x^{2} + 3} dx

bằng

A. $\ln \frac{7}{3}$

B. $\frac{1}{2} \log \frac{7}{3}$

C. $\frac{1}{2} \ln \frac{3}{7}$

D. $\frac{1}{2} \ln \frac{7}{3}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Đặt u = x² + 3 Û du = 2xdx Û xdx = $\frac{1}{2} du$ .

Đổi cận :

Tích phân từ 0 đến 2 x/x^2 + 3 bằng (ảnh 1)

Do đó:

\int_{0}^{2} \frac{x}{x^{2} + 3} dx = \frac{1}{2} . \int_{3}^{7} \frac{1}{u} du = \frac{1}{2} {\ln|}_{3}^{7} = \frac{1}{2} \ln \frac{7}{3}

Câu 35:

Mệnh đề nào sau đây sai?

A.

\int [f_{1} (x) + f_{2} (x)] dx = \int f_{1} (x) dx + \int f_{2} (x) dx

B. Nếu F(x) và G(x) đều là nguyên hàm của hàm số f(x) thì F(x) = G(x).

C.

\int kf (x) dx = k \int f (x) dx

(k là hằng số và k ≠ 0).

D. Nếu

\int f (x) dx = F (x) + C

thì

\int f (u) du = F (u) + C

.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) nên F(x) = $\int f (x) dx$ + C₁

G(x) là nguyên hàm của hàm số g(x) nên G(x) = $\int g (x) dx$ + C₂

Vì C₁ và C₂ có thể khác nhau nên F(x) ≠ G(x)

Vậy đáp án B sai.

Câu 36:

Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = sin2x và

F (\frac{π}{4})

= 1. Tính

F (\frac{π}{6})

.

Xem đáp án

Ta có: $\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{4}} \sin 2 xdx = F (\frac{π}{4}) - F (\frac{π}{6}) = 1 - F (\frac{π}{6})$

Mà $\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{4}} s inx 2 xdx = {- \frac{1}{2} \cos 2 x|}_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{4}} = - \frac{1}{2} (\cos \frac{π}{2} - \cos \frac{π}{3}) = \frac{1}{4}$

Do đó $F (\frac{π}{6}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

Câu 37:

Cho hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn

\int_{0}^{1} f (x) dx = 2

và

\int_{0}^{2} f (3 x + 1) dx = 6

. Tính I =

\int_{0}^{7} f (x) dx

Xem đáp án

A = $\int_{0}^{1} f (x) dx = 2$ , B = $\int_{0}^{2} f (3 x + 1) dx = 6$

Đặt t = 3x +1 Û dt = 3dx

Đổi cận:

Cho hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn tích phân từ 0 đến 1 f(x)dx và tích phân từ 0 đến 2 f(3x+1)dx=6. (ảnh 1)

Ta có : B = $\frac{1}{3} \int_{1}^{7} f (t) dt = 6 = > \int_{1}^{7} f (t) dt = 18$

Vậy I = $\int_{0}^{7} f (x) dx = \int_{0}^{1} f (x) dx + \int_{1}^{7} f (x) dx = 20$

Câu 38:

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên ℝ và hàm số y = g(x) = x.f(x²) có đồ thị hàm số trên đoạn [0; 2] như hình vẽ

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên ℝ và hàm số y = g(x) = x.f(x^2) có đồ thị hàm số trên đoạn [0; 2] như hình vẽ (ảnh 1)

Biết diện tích miền tô màu là S =

\frac{5}{2}

, tính tích phân I =

\int_{1}^{4} f (x) dx

Xem đáp án

Ta có:

S = $\int_{1}^{2} g (x) dx = \frac{5}{2} = \int_{1}^{2} xf (x^{2}) dx$

Đặt t = x² Û dt = 2xdx

Đổi cận :

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên ℝ và hàm số y = g(x) = x.f(x^2) có đồ thị hàm số trên đoạn [0; 2] như hình vẽ (ảnh 2)

Do đó: S = $\int_{1}^{2} xf (x^{2}) dx = \frac{1}{2} \int_{1}^{4} f (t) dt = \frac{5}{2} \Leftrightarrow \int_{1}^{4} f (t) dt = 5$

Hay $\int_{1}^{4} f (x) dx = 5$

Câu 39:

Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua A(1; 2; 3) và vuông góc với hai mặt phẳng (P): 3x – 2y + z + 4 = 0, (Q): 5x – 4y + 3z +1 = 0

Xem đáp án

Gọi (α) là mặt phẳng cần tìm và $\vec{n_{(α)}}$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α)

Mặt phẳng (P) : 3x – 2y + z + 4 = 0 có vectơ pháp tuyến là $\vec{n_{(P)}}$ (3; −2; 1)

Mặt phẳng (Q): 5x – 4y+ 3z + 1 = 0 có vectơ pháp tuyến là $\vec{n_{(Q)}}$ (5; −4; 3)

Ta có : $\{\begin{matrix} (α) ⊥ (P) \\ (α) ⊥ (Q) \end{matrix} \Rightarrow \vec{n_{(α)}} = [\vec{n_{P}}; \vec{n_{Q}}]$ = (−2; −4; −2)

Mặt phẳng (α) qua A(1; 2; 3) có vectơ pháp tuyến $\vec{n_{(α)}}$ (−2; −4; −2) nên có phương trình là:

−2(x – 1) – 4(y − 2) – 2(z – 3) = 0 Û −2x – 4y – 2z + 16 = 0.

Nên (α): x + 2y + z – 8 = 0. Vậy (α) có phương trình là x + 2y + z – 8 = 0.