Lời giải

Yêu cầu cần đạt: Nhận biết được khái niệm giới hạn của dãy số

Theo định nghĩa giới hạn hữu hạn của dãy số :

$\lim v_n=a$ nếu $\lim \left(v_n-a\right)=0$

Lời giải

Yêu cầu cần đạt: Nhận biết được định lý về giới hạn hữu hạn.

Ta có: $\lim \left(u_n-v_n\right)=4-\left(-1\right)=5$.

Lời giải

Yêu cầu cần đạt: Nhận biết được định lí về giới hạn hữu hạn

Theo định lý về giới hạn hữu hạn, ta có: $\lim \frac{u_n}{v_n}=\frac{a}{b}$ (nếu $b\ne 0$).

Lời giải

Yêu cầu cần đạt: Nhận biết được định nghĩa dãy số dẫn tới vô cực.

Theo định nghĩa giới hạn vô cực:

Ta nói dãy số $\left(u_n\right)$ có giới hạn $+\infty$ khi $n\to +\infty$, nếu $u_n$ có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Lời giải

 Yêu cầu cần đạt: Nhận biết được một số giới hạn đặc biệt.

 Ta có $\lim q^n=0$ nếu $\left|q\right|<1$

Lời giải

Yêu cầu cần đạt: Nhận biết được định lý về giới hạn vô cực và giới hạn hữu hạn.

Nếu $\lim u_n=a$ và $\lim v_n=\pm \infty$ thì $\lim \frac{u_n}{v_n}=0$.

Nếu $\lim u_n=a>0$, $\lim v_n=0$ và $v_n>0$ với mọi n thì $\lim \frac{u_n}{v_n}=+\infty$.

Nếu $\lim u_n=+\infty$ và $\lim v_n=a>0$ thì $\lim u_n{v}_n=+\infty$.

Yêu cầu cần đạt: Nhận biết được định lý về giới hạn vô cực.

Ta có $\lim u_n=-2<0$, $\lim v_n=0$ và $v_n>0$ nên theo định lý về giới hạn vô cực ta có $\lim \frac{u_n}{v_n}=-\infty$.

Lời giải

Yêu cầu cần đạt: nhận biết được giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm.

Ta có: $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x+2019}{x+2020}=\frac{1+2019}{1+2020}=\frac{2020}{2021}$.

Lời giải

Yêu cầu cần đạt: nhận biết được hiệu của hai giới hạn (định lý về giới hạn hữu hạn)

Có $\underset{x\to 2}{\lim }\left[h\left(x\right)-g\left(x\right)\right]$$=\underset{x\to 2}{\lim }h\left(x\right)-\underset{x\to 2}{\lim }g\left(x\right)=10-3=7$.

Lời giải

Yêu cầu cần đạt: nhận biết được giới hạn trái của hàm số.

Ta có: $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\left(x^2+2x\right)=2^2+2.2=8$.

Lời giải

Yêu cầu cần đạt: nắm chắc các quy tắc tính giới hạn

Lời giải

Yêu cầu cần đạt: nắm chắc các giới hạn vô cực và giới hạn 0

Khi k là số chẵn tức là k có dạng $k=2m$  thì  $\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^k=\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^{2m}=+\infty$.

Yêu cầu cần đạt: nắm chắc kiến thức về giới hạn 1 bên và giới hạn tại vô cực

Chọn B

Lời giải

Yêu cầu cần đạt: Nhận biết được khái niệm hàm số liên tục tại một điểm; định nghĩa hàm số liên tục trên một khoảng

Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng K chứa a. Hàm số f(x) liên tục tại x=a nếu $\underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)=f\left(a\right)$.

Lời giải

Yêu cầu cần đạt: Nhận biết được khái niệm hàm số liên tục tại một điểm; định nghĩa hàm số liên tục trên một khoảng

TXĐ : $D=ℝ\backslash \left\{-1;6\right\}.v$

Hàm số liên tục trên các khoảng: $\left(-\infty ;-1\right);\left(-1;6\right);\left(6;+\infty \right)$.

Vì vậy hàm số liên tục trên khoảng $\left(-1;6\right)$.

Lời giải

Yêu cầu cần đạt: Nhận biết được khái niệm phép chiếu song song.

Nếu phương chiếu song song hoặc trùng với đường thẳng a thì hình chiếu là điểm A.

Nếu phương chiếu không song song hoặc không trùng với đường thẳng a thì hình chiếu là đường thẳng đi qua điểm A.

Lời giải

Yêu cầu cần đạt: Nhận biết được khái niệm ba vectơ trong không gian đồng phẳng

Dựa vào khái niệm ba vectơ đồng phẳng.

Lời giải

Yêu cầu cần đạt: Nhận biết khái niệm tích vô hướng của hai véc tơ trong không gian

Góc giữa 2 đường thẳng trong không gian luôn là góc nhọn hoặc vuông nên $\cos (a,b)=\frac{\left|\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}\right|}{\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{v}\right|}$.

Lời giải

 Yêu cầu cần đạt: Nhận biết được khái niệm và điều kiện vuông góc giữa hai đường thẳng

Đường thẳng ${\Delta }_1$ có véc tơ chỉ phương ${\overrightarrow{u}}_1$

Đường thẳng ${\Delta }_2$ có véc tơ chỉ phương ${\overrightarrow{u}}_2$

Đường thẳng d có véc tơ chỉ phương $\overrightarrow{v}$

$\left\{\begin{array}{l}{\Delta }_1\text{//}{\Delta }_2\\ d\perp {\Delta }_1\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{u_1}\\ \overrightarrow{v}.\overrightarrow{u_1}=0\end{array}\right.\Rightarrow \overrightarrow{v}.\overrightarrow{u_2}=0\Rightarrow d\perp {\Delta }_2$

Yêu cầu cần đạt: Tìm được một số giới hạn đơn giản.

Ta có $\lim \frac{5u_n-7}{7u_n-5}=\frac{5.7-7}{7.7-5}=\frac{7}{11}$.

Lời giải

Yêu cầu cần đat: Học sinh tính được tổng một cấp số nhân lùi vô hạn đơn giản.

Áp dụng công thức cấp số nhân lùi vô hạn: $S=\frac{u_1}{1-q}$ ta có:

Xét $S_1=\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+\mathrm{...}+\frac{1}{3^n}+\mathrm{......}=\frac{\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}}=\frac{1}{2}$.

Xét $S_2=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\mathrm{...}+\frac{1}{2^n}+\mathrm{......}=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$.

Khi đó: $A=\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+\mathrm{...}+\frac{1}{3^n}+\mathrm{......}\right)\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\mathrm{...}+\frac{1}{2^n}+\mathrm{......}\right)=S_1.S_2=\frac{1}{2}.2=1$.

Yêu cầu cần đạt: Tìm được một số giới hạn đơn giản.

Ta có:

 $\begin{array}{l}\lim u_n=\lim \frac{{\left(2n^3+1\right)}^4{\left(2n+3\right)}^{10}}{2n^{22}+2}\\ =\lim \frac{n^{12}{\left(2+\frac{1}{n^3}\right)}^4.n^{10}{\left(2+\frac{3}{n}\right)}^{10}}{n^{22}\left(2+\frac{2}{n^{22}}\right)}=\lim \frac{{\left(2+\frac{1}{n^3}\right)}^4.{\left(2+\frac{3}{n}\right)}^{10}}{2+\frac{2}{n^{22}}}=2^{13}.\end{array}$

Lời giải

Yêu cầu cần đạt: Học sinh hiểu được giới hạn một bên để từ đó biết được khi nào ra $+\infty$ hay $-\infty$.

Ta có : $\underset{x\to -2^{-}}{\lim }\frac{-x^3+2x-5}{x^2+2x}=-\infty$

          Vì $\left\{\begin{array}{l}\underset{x\to -2^{-}}{\lim }\left(-x^3+2x-5\right)=-1\\ \underset{x\to -2^{-}}{\lim }\left(x^2+2x\right)=0\\ x\to -2^{-}\Rightarrow x<-2\Rightarrow x^2+2x=x\left(x+2\right)>0\end{array}\right.$

Lời giải

Yêu cầu cần đạt: Học sinh nhận biết được thế nào là dạng $\infty -\infty$ và cách khử dạng vô định đó.

Ta có: $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2-ax+6}+x\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\left(\sqrt{x^2-ax+6}+x\right)\left(\sqrt{x^2-ax+6}-x\right)}{\sqrt{x^2-ax+6}-x}$

           $\begin{array}{l}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x^2-ax+6-x^2}{\sqrt{x^2-ax+6}-x}\\ =\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x\left(-a+\frac{6}{x}\right)}{-x\left(\sqrt{1-\frac{a}{x}+\frac{6}{x^2}}+1\right)}\\ =\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-a+\frac{6}{x}}{-\left(\sqrt{1-\frac{a}{x}+\frac{6}{x^2}}+1\right)}=\frac{a}{2}\end{array}$

Theo đề bài, ta lại có: $\frac{a}{2}=5\iff a=10$

Lời giải

Yêu cầu cần đạt: Xét được tính liên tục của hàm số trên 1 khoảng, trên tập xác định.

Phương án A hàm số $y=\frac{x+1}{x-1}$ có tập xác định là $ℝ\backslash \left\{1\right\}$ nên hàm số gián đoạn tại x=1.

Phương án B hàm số $y=\frac{x-1}{x+1}$ có tập xác định là $ℝ\backslash \left\{-1\right\}$ nên hàm số gián đoạn tại x=-1.

Phương án D hàm số $y=\frac{x+1}{x^2-1}$ có tập xác định là $ℝ\backslash \left\{\pm 1\right\}$ nên hàm số gián đoạn tại $x=\pm 1$.

Phương án C hàm số $y=\frac{x-1}{x^2+1}$ là hàm phân thức hữu tỉ có tập xác định là R nên nó liên tục trên R.

Lời giải

Yêu cầu cần đạt: Giải thích được tính liên tục tại một điểm của hàm số.

Hàm số $y=f\left(x\right)$ có TXĐ: D=R

Dễ thấy hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên mỗi khoảng $\left(-\infty ;-1\right),\left(-1;0\right)$ và $\left(0;+\infty \right)$.

Xét tại x=-1 ta có:

$\underset{x\to -1}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -1}{\lim }\frac{x^4+x}{x^2+x}=\underset{x\to -1}{\lim }\frac{x\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}{x\left(x+1\right)}=\underset{x\to -1}{\lim }\left(x^2-x+1\right)=3=f\left(-1\right).$

$\to$ hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục tại x=-1

Xét tại x=0, ta có:

$\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^4+x}{x^2+x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}{x\left(x+1\right)}=\underset{x\to 0}{\lim }\left(x^2-x+1\right)=1=f\left(0\right).$

$\to$ hàm số y=f(x) liên tục tại x=0.

Lời giải

Yêu cầu cần đạt: Xét được tính liên tục của hàm số trên 1 khoảng, trên tập xác định.

Trên các khoảng $\left(-\infty ;2\right)$ và $\left(2;+\infty \right)$, hàm số $y=\frac{x^2-4}{x-2}$ là hàm phân thức hữu tỉ xác định nên liên tục.

Xét hàm số tại x=2:

          $\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2-4}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }\left(x+2\right)=4$

          $f\left(2\right)=5$

Vì $\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)\ne f\left(2\right)$ nên hàm số gián đoạn tại x=2.

Lời giải

Yêu cầu cần đạt: Xét được tính liên tục của hàm số trên 1 khoảng, trên tập xác định.

Trên khoảng $\left(-\infty ;1\right)$, hàm số $y=x^2-a$ là hàm đa thức nên liên tục.

Trên khoảng $\left(1;+\infty \right)$, hàm số y=3 là hàm đa thức nên liên tục.

Xét hàm số tại x=1:

          $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\left(x^2-a\right)=1-a$

          $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\left(3\right)=3$

          $f\left(1\right)=3$

Hàm số liên tục trên R khi hàm số liên tục tại x=1 $\iff \underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(1\right)$ a=-2.

Lời giải

Yêu cầu cần đạt: Xác định được góc giữa hai đường thẳng trong không gian

$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB\text{'}}\\ \overrightarrow{A\text{'}C\text{'}}=\overrightarrow{AC}\end{array}\right.\Rightarrow \left(\overrightarrow{MN},\overrightarrow{A\text{'}C\text{'}}\right)=\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{AB\text{'}},\overrightarrow{AC}\right)=\widehat{CAB\text{'}}$

Lời giải

Yêu cầu cần đạt: Xác định được góc giữa hai đường thẳng trong không gian

 

Ta có $MN\text{//}CD\text{'}\Rightarrow$ góc giữa hai đường thẳng MN và B'C bằng góc giữa hai đường thẳng CD' và B'C.

Tam giác B'CD' là tam giác đều nên suy ra góc giữ hai đường thẳng CD' và B'C bằng $60°$.

Vậy góc giữa hai đường thẳng MN và B'C bằng $60°$.

Lời giải

Yêu cầu cần đạt: Sử dụng tích vô hướng

 

Ta có:

$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}\right)\\ \overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}\right)\end{array}\right.\Rightarrow \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{EF}=\frac{1}{4}\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}\right).\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}\right)$

$\Rightarrow \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{EF}=\frac{1}{4}\left(\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{DC}\right)$

Mà $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=0\\ \overrightarrow{AD}.\overrightarrow{DC}=0\end{array}\right.\left(\text{Do }\widehat{ABC}=\widehat{CDA}={90}^0\right)$

$\Rightarrow \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{EF}=\frac{1}{4}\left(\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{DC}\right)$

$\Rightarrow \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{EF}=\frac{1}{4}\left(\left|\overrightarrow{AD}\right|.\left|\overrightarrow{AB}\right|.\cos \left(\widehat{BAD}\right)+\left|\overrightarrow{BC}\right|.\left|\overrightarrow{DC}\right|.\cos \left(\widehat{BCD}\right)\right)$

$\Rightarrow \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{EF}=\frac{1}{4}\left(\left|\overrightarrow{AD}\right|.\left|\overrightarrow{AB}\right|.\cos \left(\widehat{BAD}\right)+\left|\overrightarrow{BC}\right|.\left|\overrightarrow{DC}\right|.\cos \left(180-\widehat{BAD}\right)\right)$

Do $AC\perp BD$ nên dễ chứng minh $AB=AD;DC=CB$ bằng hệ thức lượng trong tam giác vuông

$\Rightarrow \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{EF}=\frac{1}{4}\left(\left|\overrightarrow{AD}\right|.\left|\overrightarrow{AB}\right|.\cos \left(\widehat{BAD}\right)-\left|\overrightarrow{BC}\right|.\left|\overrightarrow{DC}\right|.\cos \left(\widehat{BAD}\right)\right)=0$

$\Rightarrow MN\perp EF$. Chọn A.

Lời giải

Yêu cầu cần đạt: Giải thích được sự đồng phẳng của ba vectơ cho trước.

+ Vì $\left\{\begin{array}{l}IK\text{//}\left(ABCD\right)\\ GF\text{//}\left(ABCD\right)\\ BD\subset \left(ABCD\right)\end{array}\right.$$\Rightarrow \overrightarrow{IK},\overrightarrow{GF},\overrightarrow{BD}$ đồng phẳng.

+ Các bộ véctơ ở câu $A,C,D$ không thể có giá cùng song song với một mặt phẳng. Do đó chúng không thể đồng phẳng.

Lời giải

Yêu cầu cần đạt: Thực hiện được phép cộng, trừ vectơ, nhân vectơ, sự bằng nhau của hai vectơ trong không gian

 

Ta có: $\overrightarrow{MP}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}\right)$ 

$=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}-\overrightarrow{AB}\right)=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}-\overrightarrow{b}\right)$.

Lời giải

Yêu cầu cần đạt: Vận dụng được các khái niệm giới hạn, định lý, giới hạn đặc biệt vào tình huống cụ thể.

$\begin{array}{l}\lim \left(\sqrt{9^n-{2.3}^n}-3^n+\frac{1}{2021}\right)=\lim \left(\sqrt{9^n-{2.3}^n}-3^n\right)+\lim \frac{1}{2021}\\ =\lim \frac{9^n-{2.3}^n-9^n}{\sqrt{9^n-{2.3}^n}+3^n}+\frac{1}{2021}\\ =\lim \frac{-{2.3}^n}{3^n\left(\sqrt{1-\frac{2}{3^n}}+1\right)}+\frac{1}{2021}\\ =\lim \frac{-2}{\sqrt{1-\frac{2}{3^n}}+1}+\frac{1}{2021}\\ =-1+\frac{1}{2021}\end{array}$

Lời giải

$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QD}\left(1\right)$

$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QC}$

$\Rightarrow 4\overrightarrow{BC}=4\overrightarrow{BP}+4\overrightarrow{PQ}+4\overrightarrow{QC}\left(2\right)$

$\left(1\right),\left(2\right)\Rightarrow \overrightarrow{AD}+4\overrightarrow{BC}=5\overrightarrow{PQ}$

(do $\overrightarrow{AP}+4\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{0};\overrightarrow{QD}+4\overrightarrow{QC}=\overrightarrow{0}$)

$\Rightarrow \overrightarrow{PQ}=\frac{1}{5}\overrightarrow{AD}+\frac{4}{5}\overrightarrow{BC}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AD},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{PQ}$ đồng phẳng.

Lời giải

           Yêu cầu cần đạt: Nắm vững kỹ thuật tính giới hạn hàm số cùng với kỹ năng biến đổi.

            Ta có $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\sqrt{4x-3}-\sqrt[3]{6x-5}}{x^3-x^2-x+1}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\sqrt{4x-3}-\sqrt[3]{6x-5}}{{\left(x-1\right)}^2\left(x+1\right)}.$

          Đặt $t=x-1\Rightarrow x=t+1$. Khi đó

$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\sqrt{4x-3}-\sqrt[3]{6x-5}}{{\left(x-1\right)}^2\left(x+1\right)}=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{4t+1}-\sqrt[3]{6t+1}}{t^2\left(t+2\right)}=\underset{t\to 0}{\lim }\left(\frac{\sqrt{4t+1}-(2t+1)}{t^2(t+2)}-\frac{\sqrt[3]{6t+1}-(2t+1)}{t^2(t+2)}\right).$

          * $\underset{t\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{4t+1}-\left(2t+1\right)}{t^2\left(t+2\right)}=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{-4}{\left(t+2\right)\left[\sqrt{4t+1}+\left(2t+1\right)\right]}=-1.$

          * $\underset{t\to 0}{\lim }\frac{\sqrt[3]{6t+1}-\left(2t+1\right)}{t^2\left(t+2\right)}=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{-8t-12}{\left(t+2\right)\left[\sqrt[3]{{\left(6t+1\right)}^2}+\left(2t+1\right)\sqrt[3]{6t+1}+{\left(2t+1\right)}^2\right]}=-2.$

          Vậy $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\sqrt{4x-3}-\sqrt[3]{6x-5}}{x^3-x^2-x+1}=-1+2=1$.

Lời giải

Yêu cầu cần đạt: Nắm vững được tính chất liên tục của hàm số để chứng minh phương có nghiệm.

* Xét $f\left(x\right)=x\cos x-1$ có tập xác định là R và liên tục trên R.

Có $f\left(0\right)=-1<0$ và $f\left(-\pi \right)=\pi -1>0$.

Vậy $\exists x_1\in \left(-\pi ;0\right):f\left(x_1\right)=0$. Tức là $x_1\cos x_1=1$ 

* Xét  $g\left(x\right)=x\cos x+2$có tập xác định là R và liên tục trên R.

Có $g\left(0\right)=2>0$ và $g\left(\pi \right)=-\pi +2<0$.

Vậy $\exists x_2\in \left(0;\pi \right):g\left(x_2\right)=0$. Tức là $x_2\cos x_2=-2$ 

* Xét $F\left(x\right)=x^3{\cos }^{3}x+m\left(x\cos x-1\right)\left(x\cos x+2\right)$ có tập xác định là R và liên tục trên R.

Có $F\left(x_1\right)=1^3+m.0=1>0$ và $F\left(x_2\right)={\left(-2\right)}^3+0m=-8<0$ nên $\exists x_0\in \left(x_1;x_2\right):F\left(x_0\right)=0$.

Lời giải

Yêu cầu cần đạt: Vận dụng được định lí giá trị trung gian và kết hợp với tính năng bảng giá trị của máy tính Casio để tìm các khoảng mà phương trình có nghiệm.

* Xét $f\left(x\right)=\left(m^2-m+2021\right)x^3-\left(2m^2-2m+4040\right)x^2-4x+m^2-m+2021$ có tập xác định là R và liên tục trên R.

Ta có:

$f\left(-1\right)=-2m^2+2m-4035$$=-2{\left(m+\frac{1}{2}\right)}^2-\frac{8069}{2}<0,\forall m$

$f\left(0\right)=m^2-m+2021$  $={\left(m-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{8083}{4}>0,\forall m$

$f\left(1\right)=-2$$<0,\forall m$

$f\left(2\right)=m^2-m+2021$ $={\left(m-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{8083}{4}>0,\forall m$

Do đó:

* $f\left(-1\right).f\left(0\right)=<0$ nên $\exists x_1\in \left(-1;0\right):f\left(x_1\right)=0$

Suy ra phương trình f(x)=0  có ít nhất một nghiệm thuộc (-1,0)

* $f\left(0\right).f\left(1\right)=<0$ nên $\exists x_2\in \left(0;1\right):f\left(x_2\right)=0$

Suy ra phương trình f(x)=0 có ít nhất một nghiệm thuộc (0,1)

* $f\left(1\right).f\left(2\right)=<0$ nên $\exists x_3\in \left(1;2\right):f\left(x_3\right)=0$

Suy ra phương trình f(x)=0 có ít nhất một nghiệm thuộc (1,2)

Vì ba khoảng $\left(-1;0\right)$, (0,1) và (1,2)rởi nhau đôi một nên phương trình f(x)=0 có ít nhất ba nghiệm trên R.

Mặt khác, vì $m^2-m+2021>0,\forall m$  nên  f(x) là một đa thức bậc ba nên phương trình f(x)=0 chỉ có tối đa ba nghiệm trên R.