50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Đề kiểm tra Giữa kì 2 Toán 11 có đáp án (Mới nhất) (Đề 22)

Câu 1:

f (x) = \{\begin{cases} \frac{x - 3}{\sqrt{x + 1} - 2} khi x \neq 3 \\ m khi x = 3 \end{cases}

liên tục trên tập xác định.

A. m=2

B.m=4

C. m=0

D. m=1

Xem đáp án

Lời giải

Chọn B

Để hàm số $y = f (x)$ liên tục trên tập xác định thì hàm số phải liên tục tại x=3.

Ta có: $\lim_{x \to 3} f (x) = \lim_{x \to 3} \frac{x - 3}{\sqrt{x + 1} - 2} = \lim_{x \to 3} \frac{(x - 3) (\sqrt{x + 1} + 2)}{x - 3} = \lim_{x \to 3} (\sqrt{x + 1} + 2) = 4$ .

$f (3) = m$

Để hàm số đã cho liên tục tại x=3 thì $\lim_{x \to 3} f (x) = f (3) \Leftrightarrow m = 4$ .

Câu 2:

Tính tổng

S = 0, 3 + {(0, 3)}^{2} + {(0, 3)}^{3} + .... + {(0, 3)}^{n} + ...

A. $\frac{3}{7}$

B. $\frac{5}{7}$

C. $\frac{11}{7}$

D. $\frac{7}{3}$

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Ta có $S = 0, 3 + {(0, 3)}^{2} + {(0, 3)}^{3} + .... + {(0, 3)}^{n} + ...$ $= \frac{0, 3}{1 - 0, 3} = \frac{3}{7}$

Câu 3:

Tìm khẳng định đúng:

A. $\lim_{x \to - \infty} x^{4} = - \infty$

B. $\lim_{x \to - \infty} x^{3} = + \infty$

C. $\lim_{x \to + \infty} q^{n} = 0 (q \geq 1)$

D. $\lim_{x \to x_{0}} x = x_{0}$

Xem đáp án

Lời giải

Chọn D

Câu 4:

Cho phương trình

x^{5} - 7 x^{4} + 3 x^{2} + 2 = 0

. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Phương trình không có nghiệm thuộc khoảng (0,2)

B. Phương trình có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng (-1,3)

C. Phương trình không có nghiệm thuộc khoảng (-1,1)

D. Phương trình có đúng một nghiệm thuộc khoảng (-1,2)

Xem đáp án

Lời giải

Chọn B

Vì $y = f (x) = x^{5} - 7 x^{4} + 3 x^{2} + 2$ là hàm đa thức nên liên tục trên R.

Lại có: $f (- 1) = - 1; f (0) = 2; f (1) = - 1$

$\Rightarrow \{\begin{cases} f (- 1) . f (0) = - 2 < 0 \\ f (0) . f (1) = - 2 < 0 \end{cases}$

$\Rightarrow$ Phương trình $f (x) = 0$ có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng $(- 1; 2) \Rightarrow$ phương trình $f (x) = 0$ có ít nhất 2 nghiệm thuộc khoảng $(- 1; 3)$ ..

Câu 5:

Biết $\lim_{x \to - 1^{+}} \frac{3 x + a}{x + 1} = - \infty$ thì giá trị của a thỏa mãn:

A. $a > - 3$

B. $a > 3$

C. $a < 3$

D. $a < 5$

Xem đáp án

Lời giải

Chọn C

Ta có: $\lim_{x \to - 1^{+}} (x + 1) = 0$ và $x > - 1$ thì $x + 1 > 0$ .

Để $\lim_{x \to - 1^{+}} \frac{3 x + a}{x + 1} = - \infty$ thì $\lim_{x \to - 1^{+}} (3 x + a) = - 3 + a < 0 \Leftrightarrow a < 3$ .

Câu 6:

Cho $\lim \frac{\sqrt{8 n^{2} + 1} + 4 - 3 n}{n + 3} = a \sqrt{2} + b$ . Mệnh đề nào đúng?

A. a=3b

B. $\sqrt{a + b + 3} < 3$

C. $2 a + b = 0$

D. $a + b > 2$

Xem đáp án

Lời giải

Chọn B

$\begin{array}{l} \lim \frac{\sqrt{8 n^{2} + 1} + 4 - 3 n}{n + 3} = \lim \frac{n \sqrt{8 + \frac{1}{n^{2}}} + 4 - 3 n}{n + 3} = \lim \frac{\sqrt{8 + \frac{1}{n^{2}}} + \frac{4}{n} - 3}{1 + \frac{3}{n}} = \frac{\sqrt{8} - 3}{1} \\ = 2 \sqrt{2} - 3 \Rightarrow a = 2; b = - 3 \Rightarrow \sqrt{a + b + 3} < 3. \end{array}$

Câu 7:

Tìm hệ thức liên hệ giữa a và b để $\lim (\sqrt{n^{2} + a n + 3} - \sqrt{n^{2} + b n - 1}) = 1$ .

A. $a + b = 2$

B. $a + b = 1$

C. $a - b = 2$

D. $a - b = 1$

Xem đáp án

Lời giải

Chọn C

$\begin{array}{l} \lim (\sqrt{n^{2} + a n + 3} - \sqrt{n^{2} + b n - 1}) = 1 \Leftrightarrow \lim \frac{n^{2} + a n + 3 - n^{2} - b n + 1}{(\sqrt{n^{2} + a n + 3} + \sqrt{n^{2} + b n - 1})} = 1 \\ \Leftrightarrow \lim \frac{(a - b) n + 4}{(n \sqrt{1 + \frac{a}{n} + \frac{3}{n^{2}}} + n \sqrt{1 + \frac{b}{n} - \frac{1}{n^{2}}})} = 1 \Leftrightarrow \lim \frac{(a - b) + \frac{4}{n}}{(\sqrt{1 + \frac{a}{n} + \frac{3}{n^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{b}{n} - \frac{1}{n^{2}}})} = 1 \\ \Leftrightarrow \frac{a - b}{2} = 1 \Leftrightarrow a - b = 2. \end{array}$

Câu 8:

Cho tứ diện đều ABCD , M là trung điểm của cạnh AB . Khi đó góc giữa hai vec tơ $\vec{A B}, \vec{C M}$ .

A. $90 °$

B. $45 °$

C. $120 °$

D. 60 $°$

Xem đáp án

Lời giải

Chọn A

Cho tứ diện đều ABCD , M là trung điểm của cạnh AB . Khi đó góc giữa hai vec tơ AB, CM . (ảnh 1)

Gọi Mx là tia đối của tia MC

$(\vec{A B}, \vec{C M}) = \hat{B M x} = 90^{0}$ .

Câu 9:

Chọn mệnh đề đúng? Trong không gian:

A. Ba vectơ đồng phẳng khi và chỉ khi ba vectơ phải nằm trong một mặt phẳng.

B. Ba vectơ đồng phẳng khi và chỉ khi ba vectơ đó có giá cùng song song với nhau.

C. Ba vectơ đồng phẳng khi và chỉ khi ba vectơ đó cùng hướng.

D. Ba vec tơ đồng phẳng khi và chỉ khi giá của ba vec tơ đó cùng song song với một mặt phẳng.

Xem đáp án

Chọn D

Câu 10:

Cho hình chóp SABC có $S A ⊥ (A B C)$ và $A B ⊥ B C$ . H là hình chiếu vuông góc của A lên SB. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $A H ⊥ S C$

B. $A H ⊥ A C$

C. $A H ⊥ A B$

D. $A H ⊥ (S A C)$

Xem đáp án

Chọn A

Cho hình chóp SABC có SA vuông góc (ABC) và AB vuông góc BC. H là hình chiếu vuông góc của A lên SB . Khẳng định nào sau đây là đúng? (ảnh 1)

Ta có $A H ⊥ S B$ .

Mặt khác $A H ⊥ B C$ vì $B C ⊥ A B; B C ⊥ S A \Rightarrow B C ⊥ (A B C) .$

Do đó $A H ⊥ (S B C) \Rightarrow A H ⊥ S C .$

Câu 11:

Tính giới hạn của dãy số

u_{n} = \frac{1}{2 \sqrt{1} + \sqrt{2}} + \frac{1}{3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3}} + ... + \frac{1}{(n + 1) \sqrt{n} + n \sqrt{n + 1}}

:

A. $\frac{4}{5}$

B. $\frac{2}{3}$

C. 1

D. $\frac{3}{2}$

Xem đáp án

Lời giải

Chọn C

Có: $\frac{1}{(n + 1) \sqrt{n} + n \sqrt{n + 1}} = \frac{1}{\sqrt{n (n + 1)} (\sqrt{n + 1} + \sqrt{n})} = \frac{\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}}{\sqrt{n (n + 1)}} = \frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}}$

Từ đây suy ra $u_{n} = 1 - \frac{1}{\sqrt{n + 1}} \Rightarrow \lim u_{n} = 1$

Câu 12:

Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?

A. $n^{2} - 4 n$

B. $\frac{n^{2} - 3 n}{n + 1}$

C. ${(\frac{6}{5})}^{n}$

D. ${(- \frac{2}{3})}^{n}$

Xem đáp án

Lời giải

Chọn D

$\lim q^{n} = 0$ nếu $|q| < 1$

Câu 13:

Cho các khẳng định:

(I): Cho hàm số y= f(x) liên tục trên [a,b] và $f (a) . f (b) < 0$ . Khi đó phương trình $f (x) = 0$ có ít nhất một nghiệm trên khoảng (a,b).

(II): Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên [a,b] và $f (a) . f (b) > 0$ . Khi đó phương trình f(x)=0 không có nghiệm trên khoảng (a,b).

Trong các khẳng định trên:

A. Chỉ (I) đúng.

B. Cả (I), (II) đúng.

C. Cả (I), (II) sai.

D. Chỉ (II) đúng.

Xem đáp án

Lời giải

Chọn A

Câu 14:

Cho hàm số f(x) có đồ thị như hình vẽ

Chọn đáp án đúng

A. Hàm số $f (x)$ gián đoạn tại x=-1.

B. Hàm số

f (x)

liên tục tại x=-1.

C. Hàm số

f (x)

liên tục trên khoảng

(- 3; 1)

D. Hàm số

f (x)

liên tục trên R.

Xem đáp án

Lời giải

Chọn A

Từ hình vẽ dễ dàng suy ra hàm số f(x) gián đoạn tại x=-1

Câu 15:

Cho hình hộp ABCDA'B'C'D'. Một đường thẳng $∆$ cắt các đường thẳng AA', BC, C'D' lần lượt tại M, N,P sao cho $\vec{N M} = 3 \vec{N P}$ . Tính $k = \frac{M A}{M A^{'}}$ ?

A. $k = \frac{2}{3}$

B. k=2

C. k=3

D. $k = \frac{3}{2}$

Xem đáp án

Lời giải

Chọn D

Cho hình hộp ABCDA'B'C'D'. Một đường thẳng đen ta cắt các đường thẳng AA', BC, C'D' lần lượt tại M, N,P (ảnh 1)

$\vec{N M} = 3 \vec{N P}$ suy ra M,N,P thẳng hàng.

Do $(A B C D) // (A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}) \Rightarrow$ AN và A'P không có điểm chung mà AN, A'P cùng nằm trong

mặt phẳng $(M A N) \Rightarrow A N // A^{'} P$

Trong tam giác MAN có: $A N // A^{'} P \Rightarrow \frac{M A^{'}}{M A} = \frac{M P}{M N} = \frac{2}{3} \Rightarrow k = \frac{3}{2}$

Câu 16:

Cho $\vec{u}, \vec{v}$ bất kì, chọn mệnh đề đúng?

A. $\cos (\vec{u}, \vec{v}) = \frac{|\vec{u}| . |\vec{v}|}{\vec{u} . \vec{v}}$

B. $\vec{u} . \vec{v} = |\vec{u}| . |\vec{v}| \cos (\vec{u}, \vec{v})$

C. $\vec{u} . \vec{v} = |\vec{u}| . \vec{v} . \cos (\vec{u}, \vec{v})$

D. $\cos (\vec{u}, \vec{v}) = \frac{|\vec{u} . \vec{v}|}{|\vec{u}| . |\vec{v}|}$

Xem đáp án

Chọn B

Câu 17:

$\lim (4 - n^{2018} - n^{2019})$ bằng

A. 0

B. $- \infty$

C. -2019

D. $+ \infty$

Xem đáp án

Lời giải

Chọn B.

Ta có: $\lim (4 - n^{2018} - n^{2019}) = \lim n^{2019} (\frac{4}{n^{2019}} - \frac{1}{n} - 1)$ .

Do $\{\begin{cases} \lim n^{2019} = + \infty \\ \lim (\frac{4}{n^{2019}} - \frac{1}{n} - 1) = - 1 \end{cases}$ nên $\lim (4 - n^{2018} - n^{2019}) = - \infty$ .

Câu 18:

Cho hình chóp tứ giác SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, các cạnh bên đều bằng $a \sqrt{2}$ . Góc giữa cạnh bên SB và (ABCD) bằng:

A. $30 °$

B. $60 °$

C. $90 °$

D. $45 °$

Xem đáp án

Lời giải

Chọn B.

Gọi O là tâm của đáy.

Ta có: $Δ S A C$ cân tại S, SO là trung tuyến nên $S O ⊥ A C$ .

Tương tự $S O ⊥ B D$ .

Vậy $S O ⊥ (A B C D)$ , do đó OB là hình chiếu của SB trên (ABCD0.

Suy ra góc giữa cạnh bên SB và (ABCD) bằng $\hat{S B O}$ (do $Δ S B O$ vuông tại O).

Ta có $O B = \frac{1}{2} B D = \frac{a \sqrt{2}}{2}$ .

Xét tam giác $∆ S B O$ vuông tại O có $\cos \hat{S B O} = \frac{O B}{S B} = \frac{1}{2} \Rightarrow \hat{S B O} = 60^{°}$ .

Vậy góc giữa cạnh bên SB và (ABCD) là $60 °$ .

Câu 19:

Rút gọn $S = 1 + \sin^{2} x + \sin^{4} x + \sin^{6} x + ... + \sin^{2 n} x + ...$ với $\sin x \neq \pm 1$ .

A. $S = \cos^{2} x$

B. $S = \tan^{2} x$

C. $S = \frac{1}{1 + \sin^{2} x}$

D. $S = 1 + \tan^{2} x$

Xem đáp án

Lời giải

Chọn D.

Ta có: $1; \sin^{2} x; \sin^{4} x; \sin^{6} x; ...; \sin^{2 n} x; ...$ là một cấp số nhân có $u_{1} = 1$ , công bội $q = \sin^{2} x \in (- 1; 1)$ (do $\sin x \neq \pm 1$ ).

Do đó $S = \frac{1}{1 - \sin^{2} x} = \frac{1}{\cos^{2} x} = 1 + \tan^{2} x$ .

Câu 20:

$\lim_{x \to + \infty} (\sqrt{x + \sqrt{3 x + \sqrt{5 x + \sqrt{7 x + ... + \sqrt{2019 x}}}}} - \sqrt{x}) = \frac{\sqrt{a}}{b}$ (với a,b nguyên dương nhỏ nhất). Tính a+b.

A. 6

B. 5

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Lời giải

Chọn B.

Ta có:

$\lim_{x \to + \infty} (\sqrt{x + \sqrt{3 x + \sqrt{5 x + \sqrt{7 x + ... + \sqrt{2019 x}}}}} - \sqrt{x})$

$= \lim_{x \to + \infty} \frac{\sqrt{3 x + \sqrt{5 x + \sqrt{7 x + ... + \sqrt{2019 x}}}}}{\sqrt{x + \sqrt{3 x + \sqrt{5 x + \sqrt{7 x + ... + \sqrt{2019 x}}}}} + \sqrt{x}}$

$= \lim_{x \to + \infty} \frac{\sqrt{3 + \sqrt{\frac{5}{x} + \sqrt{\frac{7}{x^{3}} + ... + \sqrt{\frac{2019}{x^{2017}}}}}}}{\sqrt{1 + \sqrt{\frac{3}{x} + \sqrt{\frac{5}{x^{3}} + ... + \sqrt{\frac{2019}{x^{2019}}}}}} + 1} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Vậy $a = 3, b = 2 \Rightarrow a + b = 5$ .

Câu 21:

Tìm a để hàm số $f (x) = \{\begin{cases} \frac{x^{2} - 3 x + 2}{x - 2} khi x < 2 \\ a x + a - 5 khi x \geq 2 \end{cases}$ liên tục trên R

A. a=1

B. a=3

C. a=0

D. a=2

Xem đáp án

Lời giải

Chọn D

Xét $x \in (- \infty; 2)$ hàm số $f (x) = \frac{x^{2} - 3 x + 2}{x - 2}$ liên tục

Xét $x \in (2; + \infty)$ hàm số $f (x) = a x + a - 5$ liên tục

Xét tại x=2

Ta có:

$\lim_{x \to 2^{-}} f (x) = \lim_{x \to 2^{-}} \frac{x^{2} - 3 x + 2}{x - 2} = \lim_{x \to 2^{-}} (x - 1) = 1$

$\lim_{x \to 2^{+}} f (x) = \lim_{x \to 2^{+}} (a x + a - 5) = 3 a - 5 = f (2)$

Hàm số liện tục trên R khi $3 a - 5 = 1 \Leftrightarrow a = 2$ .

Câu 22:

Cho hàm số

f (x) = \{\begin{cases} \frac{\sqrt{x + 1} - 1}{x} khi x \neq 0 \\ \frac{1}{2} khi x = 0 \end{cases}

. Chọn khẳng định đúng?

A. Hàm số gián đoạn tại x=0.

B. Hàm số liên tục trên R.

C. Hàm số liên tục trên

[- 1; + \infty)

.

D. Hàm số liên tục trên

(- 3; 2)

.

Xem đáp án

Chọn C

Tập xác định: $[- 1; + \infty)$

$\lim_{x \to 0} f (x) = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 1} - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x + 1} + 1} = \frac{1}{2} = f (0)$

Vậy hàm số liên tục trên $[- 1; + \infty)$ .

Câu 23:

Cho hình chóp SABC có SA=SC=AB=AC= $a \sqrt{2}$ và BC=2a. Khi đó góc giữa hai đường thẳng AC và SB.

A. $30 °$

B. $90 °$

C. 45 $°$

D. $60 °$

Xem đáp án

Lời giải

Chọn D

Nhận xét: Tam giác ABC vuông cân tại A

$S A = S B = S C \Rightarrow$ $S O ⊥ (A B C)$ tại O là trung điểm của BC

Dựng hình bình vuông ABCD, suy ra:SABCD là hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng $a \sqrt{2}$

Vậy: góc giữa hai đường thẳng AC và AB bằng góc giữa hai đường thẳng BD và SB bằng $60 °$ .

Câu 24:

Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông ABCD và SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD). Một mặt phẳng $(α)$ qua A vuông góc với SC cắt hình chóp với thiệt diện là:

A. Hình thoi có một góc có số đo $120 °$ .

B. Hình vuông.

C. Hình bình hành

D. Tứ giác có hai đường chéo vuông góc.

Xem đáp án

Lời giải

Chọn D

Dựng AH vuông góc với SC tại H

$\begin{array}{l} B D ⊥ S A \\ B D ⊥ A C \end{array}\} \Rightarrow B D ⊥ S C$ mà $(P) ⊥ S C$ nên $B D // (P)$

Gọi O là tâm hình vuông, nối SO cắt AH tại $I$

Ta có: $\begin{array}{l} I \in (P) \cap (S B D) \\ B D // (P) \end{array}\} \Rightarrow$ $d = (P) \cap (S B D)$ , d qua I và song song với BD, cắt SB, SD lần lượt tại K,P

Vậy thiết diện của hình chóp cắt bởi $(α)$ là tứ giác AKHP có $K P ⊥ A H$ .

Câu 25:

Cho tứ diện ABCD. Gọi M,N,G lần lượt là trung điểm của AB, CD và MN. Chọn khẳng định đúng:

A. $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} + \vec{G D} = 2 \vec{M N}$

B. $\vec{M N} = \frac{1}{2} (\vec{A D} + \vec{C B})$

C. $\vec{M N} = \frac{1}{2} (\vec{A C} + \vec{B D})$

D. $\vec{M N} = \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{C D})$

Xem đáp án

Lời giải

Chọn C

$\vec{A C} + \vec{B D} = \vec{A M} + \vec{M C} + \vec{B M} + \vec{M D} = \vec{M C} + \vec{M D} = 2 \vec{M N}$ $\Leftrightarrow \vec{M N} = \frac{1}{2} (\vec{A C} + \vec{B D})$

Câu 26:

$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{5 x + 3} - \sqrt{x + 3}}{x^{2} - 1} = \frac{5}{m} - \frac{1}{n}$ (với m,n là các số nguyên dương). Tính m-n ?

A. 15

B. 14

C. 12

D. 16

Xem đáp án

Lời giải

Chọn D.

Ta có $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{5 x + 3} - \sqrt{x + 3}}{x^{2} - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{5 x + 3} - 2}{x^{2} - 1} - \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x + 3} - 2}{x^{2} - 1}$

$= \lim_{x \to 1} \frac{5 (x - 1)}{(x^{2} - 1) (\sqrt[3]{{(5 x + 3)}^{2}} + 2 \sqrt[3]{5 x + 3} + 4)} - \lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{(x^{2} - 1) (\sqrt{x + 3} + 2)} = \frac{5}{24} - \frac{1}{8}$ .

$\Rightarrow \{\begin{cases} m = 24 \\ n = 8 \end{cases}$ .

Câu 27:

Cho hình lập phương ABCDEFGH. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ $\vec{A C}$ và $\vec{D E}$ ?

A. $120 °$

B. 45 $°$

C. 60 $°$

D. 90 $°$

Xem đáp án

Lời giải

Chọn A.

Ta có $\vec{A C} . \vec{D E} = \vec{A C} (\vec{A E} - \vec{A D}) = \vec{A C} . \vec{A E} - \vec{A C} . \vec{A D}$ $= 0 - a . a \sqrt{2} . \cos 45^{0} = - a^{2}$

$\Rightarrow \cos (\vec{A C}, \vec{D E}) = \frac{\vec{A C} . \vec{D E}}{A C . D E}$ $= \frac{- a^{2}}{a \sqrt{2} . a \sqrt{2}} = - \frac{1}{2}$ .

Câu 28:

$\lim_{x \to 3^{-}} \frac{x + 5}{x - 3}$ bằng

A. $- \frac{15}{2}$

B. $- \infty$

C. 1

D. $+ \infty$

Xem đáp án

Lời giải

Chọn B.

Ta có $\lim_{x \to 3^{-}} \frac{x + 5}{x - 3} = - \infty$ vì $\{\begin{cases} \lim_{x \to 3^{-}} (x - 3) = 0 \\ \lim_{x \to 3^{-}} (x + 5) = 8 \\ x - 3 < 0, \forall x < 3 \end{cases}$ .

Câu 29:

Cho tứ diện ABCD đều cạnh bằng a . Góc giữa AB và CD bằng.

A. 60 $°$

B. $30 °$

C. 90 $°$

D. 45 $°$

Xem đáp án

Lời giải

Chọn C.

Ta có AB và CD là hai cạnh đối diện của tứ diện đều nên vuông góc với nhau.

Câu 30:

Tìm m để hàm số: $y = \{\begin{cases} x + 2 m \begin{matrix} \begin{matrix} k h i & x < 0 \end{matrix} \end{matrix} \\ x^{2} + x + 1 \begin{matrix} \begin{matrix} k h i & x \geq 0 \end{matrix} \end{matrix} \end{cases}$ liên tục tại x=0.

A. $m = \frac{1}{4}$

B. m=1

C. $m = \frac{1}{2}$

D. m=0

Xem đáp án

Lời giải

Chọn C.

Ta có $\lim_{x \to 0^{+}} f (x) = \lim_{x \to 0} (x^{2} + x + 1) = 1$ .

$\lim_{x \to 0 -} f (x) = \lim_{x \to 0} (x + 2 m) = 2 m$ .

Nên để hàm số liên tục tại x=0 thì $2 m = 1 \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}$ .

Câu 31:

$\lim_{x \to + \infty} x (\sqrt{x^{2} + 3} - x)$ bằng

A. $+ \infty$

C. $\frac{3}{2}$

D. 3

C. 0

Xem đáp án

Lời giải

Chọn B

Ta có $\lim_{x \to + \infty} x (\sqrt{x^{2} + 3} - x) = \lim_{x \to + \infty} \frac{3 x}{\sqrt{x^{2} + 3} + x} = \lim_{x \to + \infty} \frac{3}{\sqrt{1 + \frac{3}{x^{2}}} + 1} = \frac{3}{2}$ .

Câu 32:

Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau:

A. G là trọng tâm tam giác ABC $\Leftrightarrow \vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ .

B. I là trung điểm của AB

\Leftrightarrow \vec{M A} + \vec{M B} = 2 \vec{M I},

\forall M

.

C. G là trọng tâm tam giác ABC

\Leftrightarrow \vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = 3 \vec{M G}

,

\forall

.

D. $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ là hình hộp. Khi đó ta có:

\vec{A B} + \vec{A D} + \vec{A A^{'}} = \vec{A C}

Xem đáp án

Lời giải

Chọn D

Xét hình hộp $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ ta có $\vec{A B} + \vec{A D} + \vec{A A^{'}} = \vec{A C} + \vec{A A^{'}} = \vec{A C^{'}}$ .

Vậy khẳng định sai là $\vec{A B} + \vec{A D} + \vec{A A^{'}} = \vec{A C}$ .

Câu 33:

$\lim_{x \to \sqrt{3}} (x^{2} - 4)$ bằng

A. 2

B. 1

C. -4

D. -1

Xem đáp án

Lời giải

Chọn D

Ta có $\lim_{x \to \sqrt{3}} (x^{2} - 4) = 3 - 4 = - 1$ .

Câu 34:

Cho lăng trụ tam giác ABCA'B'C' có

\vec{A A^{'}} = \vec{a}

,

\vec{A B} = \vec{b}

,

\vec{A C} = \vec{c}

. Hãy biểu diễn vectơ

\vec{B^{'} C}

theo các vectơ

\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}

.

A. $\vec{B^{'} C} = \vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$

B. $\vec{B^{'} C} = - \vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$

C. $\vec{B^{'} C} = - \vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$

D. $\vec{B^{'} C} = \vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$

Xem đáp án

Lời giải

Chọn C

Cho lăng trụ tam giác ABCA'B'C' có vetơ AA' = vectơ a , vectơAB= vectơ b (ảnh 1)

Ta có $\vec{B^{'} C} = \vec{B' B} + \vec{B C} = - \vec{A A'} + \vec{A C} - \vec{A B} = - \vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$ .

Câu 35:

$\lim_{x \to 0} \frac{(1 + x) (1 + 2 x) (1 + 3 x) ... (1 + 2019 x) - 1}{x}$ bằng

A. 2018.2019

B. 1009.2019

C. 1010.2019

D. 0

Xem đáp án

Lời giải

Chọn C

Ta có $\lim_{x \to 0} \frac{(1 + x) (1 + 2 x) (1 + 3 x) ... (1 + 2019 x) - 1}{x}$

$= \underset{x \to 0}{\lim_{x \to 0} \frac{x (1 + 2 x) (1 + 3 x) ... (1 + 2019 x)}{x} + \lim} \frac{1 (1 + 2 x) (1 + 3 x) ... (1 + 2019 x) - 1}{x}$

$= 1 + \lim_{x \to 0} \frac{(1 + 2 x) (1 + 3 x) ... (1 + 2019 x) - 1}{x}$

$= 1 + \lim_{x \to 0} \frac{2 x (1 + 3 x) ... (1 + 2019 x)}{x} + \lim_{x \to 0} \frac{(1 + 3 x) ... (1 + 2019 x) - 1}{x}$

$= 1 + 2 + \lim_{x \to 0} \frac{(1 + 3 x) ... (1 + 2019 x) - 1}{x} = ...$ . $= 1 + 2 + ... + 2019 = \frac{2019 (1 + 2019)}{2} = 1010.2019$ .

Câu 36:

Biết hàm số $f (x) = \{\begin{cases} \frac{x^{2} + a x + b}{x^{2} - 1} khi x \neq 1 \\ \frac{- 1}{2} khi x = 1 \end{cases} (a; b \in ℝ)$ liên tục tại x=1 . Hãy tính $S = 2 a + 5 b$ .

A. S= 10

B. S=7

C. S=4

D. S=2

Xem đáp án

Lời giải

Chọn C

Hàm số liên tục tại x=1 nên $\lim_{x \to 1} f (x) = f (1) = \frac{- 1}{2} \Rightarrow 1^{2} + a .1 + b = 0 \Rightarrow a + b = - 1$ ( 1)

$\lim_{x \to 1} f (x) = \lim_{x \to 1} \frac{x^{2} + a x + b}{x^{2} - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1) (x - b)}{(x - 1) (x + 1)} = \lim_{x \to 1} \frac{x - b}{x + 1} = \frac{1 - b}{2} = \frac{- 1}{2} \Rightarrow b = 2$ ( 2)

Từ (1) và (2) suy ra

a = - 3; b = 2 \Rightarrow S = 2 a + 5 b = 4

Câu 37:

$\lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 3 x + 2}{x - 1}$ bằng

A. -1

B. -2

C. 2

D. 1

Xem đáp án

Lời giải

Chọn A

\lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 3 x + 2}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1) (x - 2)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x - 2) = - 1

Câu 38:

Cho f(x) liên tục trên [-1,5] thỏa mãn f(-1)=1, f(5)= 6. Phương trình nào sau đây luôn có nghiệm trong khoảng (1,-5) ?

A. $f (x) = 8$

B. $f (x) = 3$

C. $f (x) + 5 = 0$

D. $f (x) = 1$

Xem đáp án

Lời giải

Chọn B

Đặt $g (x) = f (x) - 3$

* Vì f(x) liên tục trên [-1,5] nên g(x) liên tục trên [-1,5].

* $g (- 1) = f (- 1) - 3 = 1 - 3 = - 2; g (5) = f (5) - 3 = 6 - 3 = 3 \Rightarrow g (- 1) g (5) < 0$

Do đó phương trình g(x)=0 hay f(x)=3 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (1,-5).

Câu 39:

Giá trị của $\lim (\sqrt{4 n^{2} + 5 n + 1} - 2 n)$ bằng :

A. $- \infty$

B. $\frac{5}{2}$

C. $+ \infty$

D. $\frac{5}{4}$

Xem đáp án

Lời giải

Chọn D

\lim (\sqrt{4 n^{2} + 5 n + 1} - 2 n) = \lim \frac{5 n + 1}{\sqrt{4 n^{2} + 5 n + 1} + 2 n} = \lim \frac{5 + \frac{1}{n}}{\sqrt{4 + \frac{5}{n} + \frac{1}{n^{2}}} + 2} = \frac{5}{4}

Câu 40:

$\lim_{x \to - \infty} (5 - 3 x^{2} - 2019 x^{4})$ bằng

A. $- \infty$

B. -3

C. -2019

D. $+ \infty$

Xem đáp án

Lời giải

Chọn A

$\lim_{x \to - \infty} (5 - 3 x^{2} - 2019 x^{4}) = \lim_{x \to - \infty} x^{4} (\frac{5}{x^{4}} - \frac{3}{x^{2}} - 2019) = - \infty$

Vì $\lim_{x \to - \infty} x^{4} = + \infty$ và $\lim_{x \to - \infty} (\frac{5}{x^{4}} - \frac{3}{x^{2}} - 2019) = - 2019 < 0$

Câu 41:

Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hinh thoi tâm O . Biết SA=SC, SB=SD. Khẳng định nào sau đây sai?

A. $S O ⊥ (A B C D)$

B. $A C ⊥ (S B D)$

C. $B D ⊥ (S A C)$

D. $A B ⊥ (S A D)$

Xem đáp án

Lời giải

Chọn D

Có $\{\begin{cases} S O ⊥ A C \\ S O ⊥ B D \\ A C ⊥ B D \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} S O ⊥ (A B C D) \\ A C ⊥ (S B D) \\ B D ⊥ (S A C) \end{cases}$ nên D sai

Câu 42:

Cho hình chóp ABCD có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Biết $S O ⊥ (A B C), S O = 2 a$ . Gọi M là điểm thuộc đường cao AH của tam giác ABC. Xét mặt phẳng (P) đi qua M và vuông góc với $A H, A M = x, x > \frac{a \sqrt{3}}{3}$ . Xác định vị trí điểm M để thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P) có điện tích lớn nhất. Khi đó $\frac{A M}{A H}$ bằng:

A. $\frac{A M}{A H} = \frac{4}{5}$

B. $\frac{A M}{A H} = \frac{5}{6}$

C. $\frac{A M}{A H} = \frac{3}{4}$

D. $\frac{A M}{A H} = \frac{2}{3}$

Xem đáp án

Lời giải

Chọn C

Do $\{\begin{cases} A M ⊥ B C \\ A M ⊥ S O \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} (P) ∥ B C \\ (P) ∥ S O \end{cases}$ nên thiết diện là hình thang cân IJKL có đường cao $M N, I J ∥ B C, M N ∥ S O$ .

Do $A M = x, x > \frac{a \sqrt{3}}{3}$ nên M nằm giữa O,H.

$A H = \frac{a \sqrt{3}}{2} \Rightarrow M H = \frac{a \sqrt{3}}{2} - x, M N = \frac{M H . S O}{O H} = \frac{(\frac{a \sqrt{3}}{2} - x) .2 a}{\frac{a \sqrt{3}}{6}} = (\frac{a \sqrt{3}}{2} - x) .2 a . \frac{6}{a \sqrt{3}}$ $= 6 a - 4 \sqrt{3} x$ . $I J = \frac{A M . B C}{A H} = \frac{x . a}{\frac{a \sqrt{3}}{2}} = \frac{2 x}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{K L}{B C} = \frac{S N}{S H} = \frac{O M}{O H} \Rightarrow K L = \frac{a (x - \frac{a \sqrt{3}}{3})}{\frac{a \sqrt{3}}{6}}$ $= 2 \sqrt{3} x - 2 a$ .

$S_{I J K L} = \frac{1}{2} (6 a - 4 \sqrt{3} x) (\frac{2 x}{\sqrt{3}} + 2 \sqrt{3} x - 2 a) = (2 \sqrt{3} a - 4 x) (4 x - a \sqrt{3}) \leq \frac{3 a^{2}}{4}$ khi $x = \frac{3 \sqrt{3} a}{8} \Rightarrow \frac{A M}{A H} = \frac{3}{4}$ .

Câu 43:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{5 x + 3} - \sqrt{3}}{x} = \frac{a}{b \sqrt{c}} (a, c, c \in ℤ)$ .Tính a-b+c

A. 0

B. 6

C. 8

D. 4

Xem đáp án

Chọn D

$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{5 x + 3} - \sqrt{3}}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{5 x}{x (\sqrt{5 x + 3} + \sqrt{3})} = \frac{5}{2 \sqrt{3}} \Rightarrow a + b - c = 5 + 2 - 3 = 4$

Câu 44:

$\lim_{x \to - \infty} (- 2018 x^{3} + 2 x + 5)$ bằng

A. $+ \infty$

B. 0

C. $- \infty$

D. -2018

Xem đáp án

Lời giải

Chọn A

$\lim_{x \to - \infty} (- 2018 x^{3} + 2 x + 5) = \lim_{x \to - \infty} [x^{3} (- 2018 + \frac{2}{x^{2}} + \frac{5}{x^{3}})], \lim_{x \to - \infty} x^{3} = - \infty, \lim_{x \to - \infty} (- 2018 + \frac{2}{x^{2}} + \frac{5}{x^{3}}) = - 2018$

$\Rightarrow \lim_{x \to - \infty} (- 2018 x^{3} + 2 x + 5) = + \infty$ .

Câu 45:

Hàm số $f (x) = \frac{x^{2} - 4 x + 3}{x - 2}$ không liên tục tại

A. x=3

B. x=2

C. x=1

D. x=0

Xem đáp án

Lời giải

Chọn B.

Hàm số không xác định tại x=2 nên không liên tục tại x=2.

Câu 46:

$\lim_{x \to - \infty} \frac{1 - 3 x}{2 x + 5}$ bằng

A. $\frac{- 3}{}$

B. $\frac{1}{5}$

C. $\frac{1}{2}$

D. $\frac{- 3}{5}$

Xem đáp án

Lời giải

Chọn A

$\lim_{x \to - \infty} \frac{1 - 3 x}{2 x + 5}$ $= \lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{1}{x} - 3}{2 + \frac{5}{x}}$ = $\frac{- 3}{2}$

Câu 47:

Giá trị của

\lim \frac{2 + 3 n}{3 n^{2} - n + 2}

bằng:

A. 1

B. $\frac{2}{3}$

C. $+ \infty$

D. 0

Xem đáp án

Lời giải

Chọn D

$\lim \frac{2 + 3 n}{3 n^{2} - n + 2}$ $= \lim \frac{\frac{2}{n^{2}} + \frac{3}{n}}{3 - \frac{1}{n} + \frac{2}{n^{2}}}$ =0.

Câu 48:

Cho hai đường thẳng phân biệt a,b và điểm O không thuộc mặt phẳng (P). Mệnh đề nào sau đây là sai?

A. Nếu hai đường thẳng a và b cùng vuông góc với mặt phẳng (P) thì chúng song song với nhau.

B. Nếu a//b và a vuông góc với mặt phẳng (P) thì b cũng vuông góc với mặt phẳng (P).

C. có duy nhất một đường thẳng d đi qua điểm O và song song với mặt phẳng (P) .

D. có duy nhất một đường thẳng d đi qua điểm O và vuông góc với mặt phẳng (P)

B. Nếu a//b và a vuông góc với mặt phẳng (P) thì b cũng vuông góc với mặt phẳng (P).

C. có duy nhất một đường thẳng d đi qua điểm O và song song với mặt phẳng (P) .

D. có duy nhất một đường thẳng d đi qua điểm O và vuông góc với mặt phẳng (P)

Xem đáp án

Chọn C

Câu 49:

$\lim \frac{10^{n} + 30^{n + 2}}{{5.30}^{n} - {4.20}^{n}}$ bằng

A. $+ \infty$

B. $- \infty$

C. 900

D. 180

Xem đáp án

Lời giải

Chọn D

$\lim \frac{10^{n} + 30^{n + 2}}{{5.30}^{n} - {4.20}^{n}}$ $= \lim \frac{10^{n} + 30^{2} {.30}^{n}}{{5.30}^{n} - {4.20}^{n}}$ $= \lim \frac{{(\frac{1}{3})}^{n} + 30^{2}}{5 - {(\frac{2}{3})}^{n}}$ $\frac{900}{5}$ =180.

Câu 50:

Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a, $S A = a \sqrt{2}$ và SA vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD. Gọi $α$ là góc giữa SBvà mặt phẳng (SAC). Tính $\tan α$ ?

A. $\tan α = \frac{1}{\sqrt{5}}$

B. $\tan α = \frac{1}{\sqrt{3}}$

C. $\tan α = \sqrt{2}$

D. $\tan α = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Xem đáp án

Lời giải

Chọn A

Trong ABCD, giả sử

A B \cap C D = O

Ta có $\{\begin{cases} B O ⊥ A C \\ B O ⊥ S A (S A ⊥ (A B C D)) \end{cases}$ $\Rightarrow B O ⊥ (S A C)$ .

Hình chiếu của cạnh SB lên mặt phẳng (SAC) là SO

$\Rightarrow \hat{(S B; (S A C))}$ $= \hat{(S B; S O)}$ $= \hat{B S O}$

Xét tam giác vuông SAO có $S O = \sqrt{S A^{2} + A O^{2}}$ $= \sqrt{2 a^{2} + {(\frac{a \sqrt{2}}{2})}^{2}}$ $= \frac{\sqrt{10} a}{2}$ .

Xét tam giác vuông SBO có $\tan \hat{B S O} = \frac{B O}{S O}$ $= \frac{\frac{a \sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{10} a}{2}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$ .