43 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Đề kiểm tra Giữa kì 2 Toán 11 có đáp án (Mới nhất) (Đề 24)

Câu 1:

Giới hạn nào dưới đây có kết quả bằng 1 ?

A. $\lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 4 x + 3}{x + 1}$

B. $\lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 3 x + 2}{x + 1}$

C. $\lim_{x \to - 2} \frac{x^{2} + 3 x + 2}{x + 2}$

D. $\lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 3 x + 2}{1 - x}$

Xem đáp án

Chọn B

$\lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 3 x + 2}{x + 1} = \lim_{x \to - 1} \frac{(x + 1) (x + 2)}{x + 1} = \lim_{x \to - 1} (x + 2) = 1$

Câu 2:

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn $\frac{1}{2}; - \frac{1}{4}; ...; \frac{{(- 1)}^{n + 1}}{2^{n}}; ...$ có giá trị bằng bao nhiêu ?

A. $\frac{1}{3}$

B. 1

C. $\frac{- 1}{3}$

D. $\frac{- 2}{3}$

Xem đáp án

Lời giải

Chọn A.

Cấp số nhân có công bội $q = - \frac{1}{2}$ và $u_{1} = \frac{1}{2}$ .

Vậy $S_{n} = u_{1} \frac{1 - q^{n}}{1 - q} = \frac{1}{2} . \frac{1 - {(\frac{- 1}{2})}^{n}}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{1}{3} (1 - {(\frac{- 1}{2})}^{n})$ .

Vậy tổng là $\lim S_{n} = \frac{1}{3}$ .

Câu 3:

\lim_{x \to 1^{+}} \frac{x^{2} + 1}{x - 1}

có giá trị bằng bao nhiêu ?

A. $- \infty$

B. 2

C. 1

D. $+ \infty$

Xem đáp án

Lời giải

Chọn D.

Do $\lim_{x \to 1^{+}} (x - 1) = 0 v à x - 1 > 0$ khi $x \to 1^{+}$ ; $\lim_{x \to 1^{+}} (x^{2} + 1) = 2$ nên $\lim_{x \to 1^{+}} \frac{x^{2} + 1}{x - 1} = + \infty$ .

Câu 4:

$\lim \frac{2018}{n + 3}$ có giá trị bằng bao nhiêu ?

A. 0

B. -1

C. $\frac{- 1}{3}$

D. $\frac{- 1}{4}$

Xem đáp án

Lời giải

Chọn A.

$\lim \frac{2018}{n + 3} = \lim \frac{\frac{2018}{n}}{1 + \frac{3}{n}} = 0$ .

Câu 5:

$\lim_{x \to 1} 3 x$ có giá trị bằng bao nhiêu ?

A. 0

B. -2

C. 3

D. -1

Xem đáp án

Lời giải

Chọn C.

$\lim_{x \to 1} 3 x = 3.1 = 3$ .

Câu 6:

$\lim_{x \to 1^{-}} \frac{x^{2} + 1}{x - 1}$ có giá trị bằng

A. $+ \infty$

B. $- \infty$

C. $\frac{1}{2}$

D. $\frac{- 1}{2}$

Xem đáp án

Lời giải

Chọn B.

Ta có $\lim_{x \to 1^{-}} (x^{2} + 1) = 2 > 0$ và $\lim_{x \to 1^{-}} (x^{2} + 1) = 2 > 0$ nên $\lim_{x \to 1^{-}} \frac{x^{2} + 1}{x - 1} = - \infty$

Câu 7:

$\lim_{x \to - 1} (x^{2} - 2 x + 3)$ có giá trị bằng bao nhiêu?

A. 4

B. 0

C. 2

D. 6

Xem đáp án

Lời giải

Chọn D.

$\lim_{x \to - 1} (x^{2} - 2 x + 3) = {(- 1)}^{2} - 2. (- 1) + 3 = 6$

Câu 8:

Cho phương trình

- 4 x^{3} + 4 x - 1 = 0.

Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề sai?

A. Phương trình đã cho có đúng một nghiệm trong khoảng (0,1)

B. Phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt.

C. Phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm trong khoảng

(- 2; 0) .

D. Phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm trong khoảng

(- \frac{1}{2}; \frac{1}{2}) .

Xem đáp án

Lời giải

Chọn A.

Xét hàm số $f (x) = - 4 x^{3} + 4 x - 1$

Hàm số f(x) liên tục trên R

Mà $f (- 2) = 23; f (0) = - 1; f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}; f (1) = - 1 .$

Do $f (- 2) . f (0) = - 23 < 0$ nên phương trình $f (x) = 0$ có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng $(- 2; 0)$

$f (0) . f (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} < 0$ nên phương trình $f (x) = 0$ có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng $(0; \frac{1}{2})$

$f (\frac{1}{2}) . f (1) = - \frac{1}{2} < 0$ nên phương trình $f (x) = 0$ có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng $(\frac{1}{2}; 1)$

Câu 9:

$\lim_{x \to + \infty} (\sqrt{x + 3} - \sqrt{x + 5})$ có giá trị bằng bao nhiêu

A. $+ \infty$

B. 0

C. $\sqrt{3} + \sqrt{5}$

D. $- \infty$

Xem đáp án

Lời giải

Chọn B.

$\lim_{x \to + \infty} (\sqrt{x + 3} - \sqrt{x + 5}) = \lim_{x \to + \infty} \frac{- 2}{\sqrt{x + 3} + \sqrt{x + 5}} = 0$

Câu 10:

$\lim_{x \to + \infty} \frac{3 x^{4} - 2 x + 3}{5 x^{4} + 3 x + 1}$ có giá trị bằng bao nhiêu

A. 0

B. $+ \infty$

C. $\frac{3}{5}$

D. $\frac{4}{9}$

Xem đáp án

Lời giải

Chọn C.

$\lim_{x \to + \infty} \frac{3 x^{4} - 2 x + 3}{5 x^{4} + 3 x + 1} = \lim_{x \to + \infty} \frac{3 - \frac{2}{x^{3}} + \frac{3}{x^{4}}}{5 + \frac{3}{x^{3}} + \frac{1}{x^{4}}} = \frac{3}{5}$

Câu 11:

$\lim_{x \to - 1} \sqrt{\frac{x^{4} - 4 x^{2} + 3 x}{x^{2} + 16 x - 1}}$ có giá trị bao nhiêu

A. $\sqrt{\frac{3}{8}}$

B. $\sqrt{\frac{1}{8}}$

C. $\frac{3}{8}$

D. $+ \infty$

Xem đáp án

Bài giải

Chọn A.

$\lim_{x \to - 1} \sqrt{\frac{x^{4} - 4 x^{2} + 3 x}{x^{2} + 16 x - 1}} = \sqrt{\frac{3}{8}}$ .

Câu 12:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 1} - \sqrt{x^{2} + x + 1}}{x}$ có giá trị bằng bao nhiêu

A. $- \infty$

B. -1

C. $\frac{- 1}{2}$

D. 0

Xem đáp án

Bài giải

Chọn D.

Ta có $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 1} - \sqrt{x^{2} + x + 1}}{x} =$ $\lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{x + 1} - 1) - (\sqrt{x^{2} + x + 1} - 1)}{x}$ $= \lim_{x \to 0} (\frac{\sqrt{x + 1} - 1}{x} - \frac{\sqrt{x^{2} + x + 1} - 1}{x})$ .

$= \lim_{x \to 0} (\frac{x}{x (\sqrt{x + 1} - 1)} - \frac{x^{2} + x}{x (\sqrt{x^{2} + x + 1} + 1)})$ $= \lim_{x \to 0} (\frac{1}{\sqrt{x + 1} + 1} - \frac{x + 1}{(\sqrt{x^{2} + x + 1} + 1)}) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$

Câu 13:

Trong các dãy số (

u_{n}

)dưới đây, dãy nào có giới hạn khác 0?

A. $u_{n} = \frac{n^{2} + 2018}{n^{3} - 2019}$

B. $u_{n} = \frac{1}{\sqrt{n}}$

C. $u_{n} = \frac{1}{n}$

D. $u_{n} = \frac{n + 1}{n}$

Xem đáp án

Bài giải

Chọn D.

Vì $\lim \frac{n + 1}{n} = 1$ .

Câu 14:

Trong các dãy số $(u_{n})$ dưới đây, dãy nào có giới hạn bằng $+ \infty$ ?

A. $u_{n} = \frac{9 n^{2} + 7 n}{n + n^{2}}$

B. $u_{n} = n^{2} + 1$

C. $u_{n} = \frac{2007 + 2008 n}{n + 1}$

D. $u_{n} = 2008 - 2007 n^{2}$

Xem đáp án

Bài giải

Chọn B.

Vì $\lim (n^{2} + 1) = + \infty$ .

Câu 15:

Dãy số $(u_{n})$ nào sau đây có giới hạn bằng $\frac{1}{5}$ ?

A. $u_{n} = \frac{1 - 2 n^{2}}{5 n + 5}$

B. $u_{n} = \frac{1 - 2 n}{5 n + 5 n^{2}}$

C. $u_{n} = \frac{n^{2} - 2 n}{5 n + 5 n^{2}}$

D. $u_{n} = \frac{1 - 2 n}{5 n + 5}$

Xem đáp án

Bài giải

Chọn C.

Vì $\lim \frac{n^{2} - 2 n}{5 n + 5 n^{2}} = \lim \frac{n^{2} (1 - \frac{2}{n})}{n^{2} (\frac{5}{n} + 5)} = \frac{1}{5}$ .

Câu 16:

Tìm tất cả các giá trị của x để hàm số $f (x) = \{\begin{matrix} \frac{x^{3} - 4 x^{2} + 3}{x^{2} - 1} k h i x \neq 1 \\ a x + \frac{5}{2} k h i x = 1 \end{matrix}$ liên tục tại x=1.

A. $a = 5$

B. a=-5

C. a=3

D. a=-3

Xem đáp án

Lời giải

Chọn B

Có $f (1) = a + \frac{5}{2}$ .

\lim_{x \to 1} f (x) = \lim_{x \to 1} \frac{x^{3} - 4 x^{2} + 3}{x^{2} - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1) (x^{2} - 3 x - 3)}{(x - 1) (x + 1)} = \lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 3 x - 3}{x + 1} = - \frac{5}{2}

Để hàm số liên tục tại x=1 thì $a + \frac{5}{2} = - \frac{5}{2} \Leftrightarrow a = - 5.$

Câu 17:

Trong các dãy số

(u_{n})

dưới đây, dãy số nào có giới hạn bằng 0?

A. $u_{n} = {(- \frac{5}{3})}^{n}$

B. $u_{n} = {(\frac{4}{3})}^{n}$

C. $u_{n} = {(\frac{1}{3})}^{n}$

D. $u_{n} = {(- \frac{4}{3})}^{n}$

Xem đáp án

Lời giải

Chọn C

Có $0 < \frac{1}{3} < 1$ nên $\lim {(\frac{1}{3})}^{n} = 0$ .

Câu 18:

$\lim_{x \to 1} \frac{x^{4} - 1}{x - 1}$ có giá trị bằng bao nhiêu

A. 4

B. $+ \infty$

C. 2

D. $- \infty$

Xem đáp án

Lời giải

Chọn A

Ta có $\lim_{x \to 1} \frac{x^{4} - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1) (x + 1) (x^{2} + 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x + 1) (x^{2} + 1) = 4$ .

Câu 19:

Tìm tất cả các giá trị của a để hàm số $f (x) = \{\begin{cases} a^{2} x^{2} k h i x \leq 2 \\ (1 - a) x k h i x > 2 \end{cases}$ liên tục trên R.

A. a=1

B. $a = \frac{1}{2}$

C. $a = - 1; a = \frac{1}{2}$

D. $a = 1; a = - \frac{1}{2}$

Xem đáp án

Lời giải

Chọn C

Ta có TXĐ D=R.

Với $x \in (- \infty; 2)$ ta có $f (x) = a^{2} x^{2}$ là hàm số liên tục trên R nên hàm số liên tục trên khoảng $(- \infty; 2)$ .

Với $x \in (2; + \infty)$ ta có $f (x) = (1 - a) x$ là hàm số liên tục trên R nên hàm số liên tục trên khoảng $(2; + \infty)$ .

Xét $\lim_{x \to 2^{+}} f (x) = \lim_{x \to 2^{+}} (1 - a) x = 2 (1 - a)$ .

$\lim_{x \to 2^{-}} f (x) = \lim_{x \to 2^{+}} a^{2} x^{2} = 4 a^{2} = f (2)$ .

Để hàm số liên tục trên R

\Leftrightarrow 4 a^{2} = 2 (1 - a)

\Leftrightarrow 2 a^{2} + a - 1 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} a = - 1 \\ a = \frac{1}{2} \end{array}

Câu 20:

$\lim \frac{\sqrt[3]{27 n^{3} - 4 n^{2} + 5}}{n - 6}$ có giá trị bằng bao nhiêu

A. -2

B. -1

C. 0

D. 3

Xem đáp án

Lời giải

Chọn D

Ta có $\lim \frac{\sqrt[3]{27 n^{3} - 4 n^{2} + 5}}{n - 6} = \lim \frac{\sqrt[3]{27 - 4. \frac{1}{n} + 5. \frac{1}{n^{3}}}}{1 - 6. \frac{1}{n}} = 3$ .

Câu 21:

Cho đường thẳng d và mặt phẳng

(α)

. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng $(α)$ nếu d vuông góc với một đường thẳng a nằm trong $(α)$ .

B. Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng

(α)

nếu d vuông góc với mọi đường thẳng a nằm trong

(α)

.

C. Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng

(α)

nếu d vuông góc với hai đường thẳng nằm trong

(α)

.

D. Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng

(α)

nếu d vuông góc với một đường thẳng b song song với

(α)

.

Xem đáp án

Chọn B

Câu 22:

Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) bằng góc giữa đường thẳng b và mặt phẳng (P) thì a song song với b.

B. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng (mặt phẳng không vuông góc với đường thẳng) bằng góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đã cho.

C. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng (mặt phẳng không vuông góc với đường thẳng) bằng góc giữa đường thẳng đó và đường thẳng b với b vuông góc với mặt phẳng đã cho.

D. Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) bằng góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (Q) thì mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q).

Xem đáp án

Chọn B

Câu 23:

Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông. Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, $S C = a \sqrt{2}$ . Gọi $α$ là góc giữa BD và mặt phẳng (SAD). Chọn khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau?

A. $α = 60^{o}$

B. $α = 30^{o}$

C. $\cos α = \frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}}$

D. $\tan α = \frac{\sqrt{15}}{5}$

Xem đáp án

Lời giải

Chọn D.

Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông. Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy (ảnh 1)

Gọi E là trung điểm của AB và F là trung điểm của SA suy ra $S E ⊥ (A B C D)$ và $B F ⊥ (S A D)$ . Do đó hình chiếu của BD lên mặt phẳng (SAD) dẫn đến góc giữa BD và mặt phẳng (SAD) là $α = \hat{B D F}$ .

Giả sử đáy ABCD có cạnh là x , khi đó $C E = \frac{x \sqrt{5}}{2}$ và $S E = \frac{x \sqrt{3}}{2}$ suy ra $S C = x \sqrt{2}$ mà $S C = a \sqrt{2}$ do đó x=a.

Vậy $\tan \hat{B D F} = \frac{B F}{D F} = \frac{B F}{\sqrt{B D^{2} - B F^{2}}} = \frac{a \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{a \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{15}}{5}$

Câu 24:

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. Nếu trong ba vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ có hai vectơ cùng phương thì ba vectơ đó đồng phẳng.

B. Nếu trong ba vectơ

\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}

có một vectơ-không thì ba vectơ đó đồng phẳng.

C. Nếu giá của ba vectơ

\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}

cùng song song với một mặt phẳng thì ba vectơ đó đồng phẳng.

D. Nếu giá của ba vectơ

\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}

cắt nhau từng đôi một thì ba vectơ đó đồng phẳng.

Xem đáp án

Chọn D

Câu 25:

Cho hình hộp chữ nhật $A B C D . A' B' C' D'$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\vec{A B'} = \vec{A B} + \vec{A D} + \vec{A A'}$

B. $\vec{B D'} = \vec{B A} + \vec{B C} + \vec{B B'}$

C. $\vec{A C'} = \vec{A B} + \vec{A C} + \vec{A A'}$

D. $\vec{A C'} = \vec{A B} + \vec{A D} + \vec{A' A}$

Xem đáp án

Cho hình hộp chữ nhật ABCDA'B'C'D' . Khẳng định nào sau đây đúng? (ảnh 1)

Ta có $\vec{B D'} = \vec{B D} + \vec{B B'} = \vec{B A} + \vec{B C} + \vec{B B'}$

Câu 26:

Chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

A. Qua một điểm O cho trước có một và chỉ có một đường thẳng vuông với một mặt phẳng cho trước.

B. Cho hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau. Khi đó có một và chỉ có một và chỉ một mặt phẳng chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia.

C. Qua một điểm O cho trước có một mặt phẳng duy nhất vuông góc với một đường thẳng

∆

cho trước.

D. Qua một điểm O cho trước có một và chỉ có một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước

Xem đáp án

Lời giải:

Chọn D.

D sai vì qua một điểm O cho trước có vô số đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.

Chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề sau: (ảnh 1)

Câu 27:

Cho hai đường thẳng phân biệt a,b và mặt phẳng (P), trong đó $a ⊥ (P)$ . Mệnh đề nào sau đây là sai?

A. Nếu $b // (P)$ thì $a ⊥ b$ .

B. Nếu

b // a

thì

b ⊥ (P)

.

C. Nếu

a ⊥ b

thì

b // (P)

.

D. Nếu

b ⊥ (P)

thì

b // a

.

Xem đáp án

Lời giải:

Chọn C.

C sai vì b có thể nằm trong mặt phẳng (P).

Cho hai đường thẳng phân biệt a,b và mặt phẳng (P), trong đó a vuông góc (P) . Mệnh đề nào sau đây là sai? (ảnh 1)

Câu 28:

Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A. Nếu $a // (P)$ và $b ⊥ a$ thì $b // (P)$ .

B. Nếu

a // (P)

và

b ⊥ a

thì

b ⊥ (P)

.

C. Nếu

a ⊥ (P)

và

b ⊥ a

thì

b // (P)

.

D. Nếu

a // (P)

và

b ⊥ a

thì

a ⊥ b

.

Xem đáp án

Lời giải:

Chọn D.

A sai vì b có thể nằm trong (P).

Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: (ảnh 1)

B sai vì b có thể nằm trong (P)

Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: (ảnh 2)

C sai vì b có thể cắt (P) hoặc b nằm trong (P).

Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: (ảnh 3)

D đúng vì Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: (ảnh 4)

sao cho a//a', Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: (ảnh 5)

. Khi đó $\Rightarrow a ⊥ b$ .

Câu 29:

Cho lăng trụ ABCA'B'C' có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, $A B = a, A C = a \sqrt{3}$ và hình chiếu vuông góc của đỉnh A' trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA' và B'C'

A. $\frac{3}{4}$

B. $\frac{1}{4}$

C. $\frac{1}{2}$

D. $\frac{\sqrt{3}}{2} .$

Xem đáp án

Cho lăng trụ ABCA'B'C' có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A (ảnh 1)

Ta có $A A^{'} ∥ B B^{'}$ nên giữa hai đường thẳng AA' và B'C' bằng góc giữa hai đường thẳng BB' và B'C'

$B C = \sqrt{A B^{2} + A C^{2}} = 2 a = B B^{'}$ nên tứ giác $B C C^{'} B^{'}$ là hình thoi.

Gọi H là trung điểm BC, theo đề ra ta có $A^{'} H ⊥ (A B C) \Rightarrow A^{'} H ⊥ B C, A^{'} H ⊥ A H .$

Do đó $A^{'} H = \sqrt{A {A^{'}}^{2} - A H^{2}} = \sqrt{4 a^{2} - a^{2}} = a \sqrt{3} .$

Lại có: $A^{'} H ⊥ A^{'} B^{'} \Rightarrow B^{'} H = \sqrt{A^{'} {B^{'}}^{2} + A^{'} H^{2}} = \sqrt{a^{2} + 3 a^{2}} = 2 a$ .

Xét tam giác BB'H cân tại B' ta có ngay $\cos \hat{B^{'} B H} = \frac{1}{4} .$

Vậy $\cos (A A^{'}, B^{'} C^{'}) = \frac{1}{4} .$

Câu 30:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy, góc giữa SC và mặt đáy (ABCD) bằng

45 °

Gọi

φ

là góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (SAC). Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $φ = 60^{°} .$

B. $φ = 45^{°} .$

C. $\cos φ = \frac{\sqrt{30}}{6} .$

D. $\tan φ = \sqrt{5} .$

Xem đáp án

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy, góc giữa SC và mặt đáy (ABCD) (ảnh 1)

Do $S A ⊥ (A B C D)$ nên góc giữa SC và đáy (ABCD) là $\hat{S C A} .$ Suy ra $\hat{S C A} = 45^{o} .$

Lại có $B D ⊥ (S A C)$ nên góc giữa SD và (SAC) là $\hat{D S O}$ , suy ra $φ = \hat{D S O} .$

Ta có $Δ S A C$ vuông cân nên $S A = A C = a \sqrt{2} .$

$S O = \sqrt{S A^{2} + A O^{2}} = \sqrt{2 a^{2} + \frac{a^{2}}{2}} = \frac{a \sqrt{10}}{2} .$

$\tan φ = \frac{D O}{S O} = \frac{a \sqrt{2}}{2} : \frac{a \sqrt{10}}{2} = \frac{\sqrt{5}}{5} .$

Suy ra $\frac{1}{\cos φ} = \sqrt{1 + \tan^{2} φ} = \sqrt{1 + \frac{1}{5}} = \sqrt{\frac{6}{5}} \Rightarrow \cos φ = \sqrt{\frac{5}{6}} = \frac{\sqrt{30}}{6} .$

(Lưu ý là các giá trị lượng giác của $φ$ đều dương do nó là góc nhọn).

Câu 31:

Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, $S A ⊥ (A B C D)$ , $S A = a \sqrt{2}$ . Tính diện tích thiết diện tạo bởi hình chóp SABCD với mặt phẳng $(α)$ đi qua A và vuông góc với SC.

A. $S = \frac{a^{2} \sqrt{2}}{3}$

B. $S = \frac{a^{2} \sqrt{2}}{2}$

C. $S = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{3}$

D. $S = \frac{4 a^{2} \sqrt{2}}{2}$

Xem đáp án

Lời giải

Chọn A.

Ta có $\begin{array}{l} A M ⊥ S D \\ A M ⊥ D C (D C ⊥ (S A D)) \end{array}\} A M ⊥ S C$ .

Tương tự $A N ⊥ S C$ .

Vậy $S C ⊥ (A M N)$ hay mặt phẳng (AMN) là mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu đầu bài.

Gọi $S O \cap M N = \{I\}, A I \cap S C = \{K\}$ . Thiết diện tạo thành là tứ giác AMKN.

Ta có $M N ⊥ A K$ vậy $S_{A M K N} = \frac{1}{2} M N . A K$ .

Xét tam giác vuông SAD có $\frac{1}{A M^{2}} = \frac{1}{A D^{2}} + \frac{1}{A S^{2}} \Leftrightarrow A M = \frac{a \sqrt{2}}{3}$ .

Tương tự $A K = \frac{1}{2} S C = a$ .

Mặt khác : $S D = a \sqrt{3}$ , $S A^{2} = S M . S D \Rightarrow S M = \frac{2 a^{2}}{a \sqrt{3}} = \frac{2 a \sqrt{3}}{3}$ .

Tam giác SMN đồng dạng với tam giác SBD ta có $\frac{M N}{B D} = \frac{S M}{S D} \Rightarrow M N = \frac{B D . S M}{S D}$ $\Rightarrow M N = \frac{a \sqrt{2} . \frac{2 a \sqrt{3}}{3}}{a \sqrt{3}} = \frac{2 a \sqrt{2}}{3}$ .

Vậy $S_{A M K N} = \frac{1}{2} \frac{2 a^{2} \sqrt{2}}{3}$ = $S_{A M K N} = \frac{a^{2} \sqrt{2}}{3}$ .

Câu 32:

Cho hình lập phương $A B C D . A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ tính góc giữa AC và $D A_{1}$

A. $60 °$

B. $120 °$

C. $45 °$

D. 90 $°$

Xem đáp án

Cho hình lập phương ABCDA1B1C1D1 tính góc giữa AC và DA1 (ảnh 1)

Ta có $A C // A_{1} C_{1}$ vậy góc giữa AC và $D A_{1}$ bằng góc giữa $A_{1} C_{1}$ và $D A_{1}$ và bằng $60 °$ do tam giác $D A_{1} C_{1}$ là tam giác đều.

Câu 33:

Cho tứ diện ABCD. Người ta định nghĩa “G là trọng tâm tứ diện ABCD khi

\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} + \vec{G D} = \vec{0}

”. Khẳng định nào sau đây sai?

A. G là trung điểm của đoạn thẳng nối AD và BC.

B. $G A = G B = G C = G D$ .

C. G là trung điểm của IJ ( I,J lần lượt là trung điểm của AB và CD).

D. G là trung điểm của đoạn thẳng nối AC và BD.

B. $G A = G B = G C = G D$ .

C. G là trung điểm của IJ ( I,J lần lượt là trung điểm của AB và CD).

D. G là trung điểm của đoạn thẳng nối AC và BD.

Xem đáp án

Lời giải

Chọn B.

Cho tứ diện ABCD. Người ta định nghĩa “G là trọng tâm tứ diện ABCD (ảnh 1)

Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AD và BC ta có

$\vec{0} = \vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} + \vec{G D} = \frac{1}{2} (\vec{G M} + \vec{G N})$ .

Vậy A đúng. Tương tự có C, D đúng.

Câu 34:

Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, $S A ⊥ (A B C D)$ . Gọi AH, AK lần lượt là các đường cao của tam giác SAB và tam giác SAD. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau

A. $S C ⊥ (A H C)$

B. $S C ⊥ (A H D)$

C. $S C ⊥ H K$

D. $S C ⊥ B K$

Xem đáp án

Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc (ABCD). Gọi AH, AK lần lượt là các đường cao của tam giác SAB (ảnh 1)

Ta có $\begin{array}{l} A K ⊥ S D \\ A K ⊥ D C (D C ⊥ (S A D)) \end{array}\} A K ⊥ S C$ .

Tương tự $A H ⊥ S C$ .

Vậy $S C ⊥ (A H K) \Rightarrow S C ⊥ H K$ .

Câu 35:

Cho hình chóp ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, SA=SC, SB=SD. Chọn khẳngđịnh đúng.

A. $A C ⊥ S B$

B. $B D ⊥ C D$

C. $S C ⊥ A B$

D. $A D ⊥ S C$

Xem đáp án

Chọn A

Cho hình chóp ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, SA=SC, SB=SD. Chọn khẳngđịnh đúng. (ảnh 1)

Do tam giác SAC cân nên

S O ⊥ A C

mặt khác

A C ⊥ B D

vậy

A C ⊥ (S B D) \Rightarrow A C ⊥ S B

.

Câu 36:

Cho hình lập phương ABCDA'B'C'D' Gọi

α

là góc giữa AC' và (A'BCD') Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau

A. $\cos α = \frac{\sqrt{3}}{3}$

B. $\tan α = \frac{2}{\sqrt{3}}$

C. $α = 45^{0}$

D. $α = 30 °$

Xem đáp án

Lời giải

Chọn A.

Cho hình lập phương ABCDA'B'C'D' Gọi anpha là góc giữa AC' và (A'BCD') Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau. (ảnh 1)

Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB',CD'

Suy ra hình chiếu của AC' lên mặt phẳng $(A^{'} B C D^{'})$ là đường thẳng MN

Gọi $I = A C^{'} \cap M N .$

Ta có $(A C^{'}, (A^{'} B C D^{'})) = (A C^{'}, M N)$

Xét tam giác vuông AMI có

$M I = \frac{a}{2}, A I = \frac{\sqrt{a^{2} + a^{2} + a^{2}}}{2} = \frac{a \sqrt{3}}{2}, \cos \hat{A I M} = \frac{M I}{A I} = \frac{\sqrt{3}}{3} .$

Câu 37:

Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng $α$ Hình chiếu vuông góc của S lên mặt đáy là trung điểm H của đoạn AB biết $S H = \frac{a \sqrt{15}}{2} .$ Tính góc giữa đường thẳng SC và (ABCD)

A. $45 °$

B. 30 $°$

C. $60 °$

D. 75 $°$

Xem đáp án

Lời giải

Chọn C.

$h c S C / (A B C D) = H C .$

$\Rightarrow (S C, (A B C D)) = (S C, H C) = \hat{S C H} .$

Xét tam giác vuông BHC có $H C = \sqrt{a^{2} + \frac{a^{2}}{4}} = \frac{a \sqrt{5}}{2} .$

Xét tam giác vuông SHC có $\tan \hat{S C H} = \frac{S H}{H C} = \frac{\frac{a \sqrt{15}}{2} .}{\frac{a \sqrt{5}}{2}} = \sqrt{3} \Rightarrow \hat{S C H} = 60^{0} \Rightarrow (S C, (A B C D)) = 60^{0} .$

Câu 38:

Cho hình chóp SABC có SA=SB=SC và tam giác ABC vuông tại C Vẽ $S H ⊥ (A B C), H \in (A B C) .$ Khẳng định nào sau đây đúng?

A. H trùng với trung điểm AC.

B. H trùng với trung điểm BC.

C. H trùng với trọng tâm tam giác ABC .

D. H trùng với trực tâm tam giác ABC

Xem đáp án

Lời giải

Chọn A.

$S A = S B = S C \Rightarrow S$ nằm trên trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Mà tam giác ABC vuông tại B suy ra tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm AC.

Suy ra hình chiếu H của S lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm AC.

Câu 39:

Cho tứ diện ABCD Gọi M và P lần lượt là trung điểm AB và CD Đặt $\vec{A B} = \vec{b}, \vec{A C} = \vec{c},$ $\vec{A D} = \vec{d} .$ Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\vec{M P} = \frac{1}{2} (\vec{c} + \vec{b} - \vec{d})$

B. $\vec{M P} = \frac{1}{2} (\vec{b} + \vec{c} + \vec{d})$

C. $\vec{M P} = \frac{1}{2} (\vec{c} + \vec{d} - \vec{b})$

D. $\vec{M P} = \frac{1}{2} (\vec{d} + \vec{b} - \vec{c})$

Xem đáp án

Chọn C

Cho tứ diện ABCD Gọi M và P lần lượt là trung điểm AB và CD (ảnh 1)

$\{\begin{cases} \vec{M P} = \vec{M A} + \vec{A D} + \vec{D P} \\ \vec{M P} = \vec{M B} + \vec{B C} + \vec{C P} \end{cases} \Rightarrow 2 \vec{M P} = \vec{A D} + \vec{B C} = \vec{A D} + \vec{A C} - \vec{A B} = \vec{d} + \vec{c} - \vec{b} \Rightarrow \vec{M P} = \frac{1}{2} (\vec{d} + \vec{c} - \vec{b}) .$

Câu 40:

Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

A. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc với nhau.

B. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.

C. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng vuông góc thì song song với đường thẳng còn lại.

D. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng còn lại.

Xem đáp án

Chọn D

Câu 41:

Tìm a,b để hàm số $y = \{\begin{cases} \frac{x^{3} - 3 x^{2} + 2 x}{x (x - 2)} (x (x - 2) \neq 0) \\ a k h i x = 2 \\ b k h i x = 0 \end{cases}$ liên tục trên R?

Xem đáp án

Lời giải

Hàm số liên tục tại $x \neq 0$ và $x \neq 2$ .

$\lim_{x \to 0} f (x) = \lim_{x \to 0} \frac{x^{3} - 3 x^{2} + 2 x}{x (x - 2)} = \lim_{x \to 0} \frac{x^{2} - 3 x + 2}{x - 2} = - 1$

$\lim_{x \to 2} f (x) = \lim_{x \to 2} \frac{x^{3} - 3 x^{2} + 2 x}{x (x - 2)} = \lim_{x \to 0} \frac{x (x - 1)}{x} = 1$

Hàm số liên tục trên $ℝ \Leftrightarrow a = 1, b = - 1$

Câu 42:

Cho tứ diện đều ABCD là M trung điểm BC, cạnh AB=a

a) Chứng minh $A B ⊥ C D$ .

Xem đáp án

Cho tứ diện đều ABCD là trung điểm BC, cạnh AB=a a) Chứng minh AB vuông góc CD . (ảnh 1)

$\vec{A B} . \vec{C D} = \vec{A B} . (\vec{A D} - \vec{A C}) = \vec{A B} . \vec{A D} \vec{A B} . \vec{A C} = a . a . c {os60}^{0} - a . a . c {os60}^{0} = 0 \Rightarrow A B ⊥ C D$

Câu 43:

b) Tính góc giữa AB và DM.

Xem đáp án

b,

D M = D N = \frac{a \sqrt{3}}{2}, M N = \frac{a}{2} \Rightarrow \cos \hat{N M D} = \frac{a}{4} : \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2 \sqrt{3}}