42 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Đề kiểm tra Học kì 1 Toán 12 có đáp án (Mới nhất) (Đề 9)

Câu 1:

y = \frac{3 x - 1}{- 4 + 2 x}

. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. Hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định.

B. Hàm số luôn nghịch biến trên R.

C. Hàm số đồng biến trên các khoảng

(- \infty; 2)

và

(2; + \infty)

.

D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng

(- \infty; - 2)

và

(- 2; + \infty)

.

Xem đáp án

Chọn A.

Tập xác định của hàm số là $D = ℝ \ \{2\}$

Ta có $y' = \frac{- 10}{{(2 x - 4)}^{2}} < 0, \forall x \in D$

Vậy hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định

Câu 2:

Tìm tất cả giá trị tham số m để hàm số

y = \frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2} + m x - m

đồng biến trên R.

A. $m \geq 3$

B. $m > 1$

C. $m \geq 9$

D. $m > - 3$

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có $y^{'} = x^{2} - 6 x + m$

Hàm số $y = \frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2} + m x - m$ đồng biến trên R $\Leftrightarrow y^{'} \geq 0$ , $\forall x \in ℝ$

\Leftrightarrow x^{2} - 6 x + m \geq 0

,

\forall x \in ℝ

\Leftrightarrow Δ^{'} = 9 - m \leq 0 \Leftrightarrow m \geq 9

.

Câu 3:

Gọi

y_{C D}, y_{C T}

là giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số

y = - x^{3} + 3 x^{2} + 1

. Khi đó giá trị của biểu thức

T = 20 y_{C D} - 12 y_{C T}

bằng bao nhiêu?

A. T = 4

B. T = -40

C. T = 88

D. T = -6

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có TXĐ: D = R.

$y^{'} = - 3 x^{2} + 6 x = 0 \Rightarrow x = 0, x = 2$ .

Bảng biến thiên

Gọi ycd, yct là giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số y = -x^3 + 3x^2 + 1 . Khi đó giá trị của biểu thức (ảnh 1)

Vậy

y_{C D} = 5, y_{C T} = 1 \Rightarrow T = 20.5 - 12.1 = 88

Câu 4:

Đồ thị hàm số

y = \frac{a x + b}{x^{2} + 2 x + 2}

có điểm cực trị là A(-3;-1). Tính giá trị của biểu thức a - b.

A. $a - b = 1$

B. $a - b = 9$

C. $a - b = - 3$

D. $a - b = - 1$

Xem đáp án

Chọn C.

$y = \frac{a x + b}{x^{2} + 2 x + 2} \Rightarrow y^{'} = \frac{a (x^{2} + 2 x + 2) - (2 x + 2) (a x + b)}{{(x^{2} + 2 x + 2)}^{2}} = \frac{- a x^{2} - 2 b x + 2 a - 2 b}{{(x^{2} + 2 x + 2)}^{2}}$

Điểm A(-3;-1) là điểm cực trị

\Rightarrow \{\begin{matrix} - a {(- 3)}^{2} - 2 b (- 3) + 2 a - 2 b = 0 \\ \frac{a (- 3) + b}{{(- 3)}^{2} + 2 (- 3) + 2} = - 1 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} - 7 a + 4 b = 0 \\ - 3 a + b = - 5 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} a = 4 \\ b = 7 \end{matrix} \Rightarrow a - b = 4 - 7 = - 3.

Câu 5:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

y = m x^{3} - 3 m x^{2} + 3 m - 3

có hai điểm cực trị A, B sao cho

2 A B^{2} - (O A^{2} + O B^{2}) = 20

( trong đó O là gốc tọa độ).

A. m = -1

B. m = 1

C. $m = - 1$ hoặc $m = - \frac{17}{11}$

D. $m = 1$ hoặc $m = - \frac{17}{11}$

Xem đáp án

Chọn D.

Ta có: $y^{'} = m (3 x^{2} - 6 x)$

Với mọi $m \neq 0$ , ta có $y^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \Rightarrow y = 3 m - 3 \\ x = 2 \Rightarrow y = - m - 3 \end{array}$ . Vậy hàm số luôn có hai điểm cực trị.

Giả sử $A (0; 3 m - 3); B (2; - m - 3)$ .

Ta có : $2 A B^{2} - (O A^{2} + O B^{2}) = 20 \Leftrightarrow 11 m^{2} + 6 m - 17 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 1 \\ m = - \frac{17}{11} \end{array}$ ( thỏa mãn)

Vậy giá trị m cần tìm là: $[\begin{array}{l} m = 1 \\ m = - \frac{17}{11} \end{array}$ .

Câu 6:

Tính tổng giá trị nhỏ nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

f (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 9 x + 1

trên đoạn [-4;0].

A. 24

B. 21

C. 22

D. 29

Xem đáp án

Chọn D.

$f^{'} (x) = 3 x^{2} + 6 x - 9$
$f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow 3 x^{2} + 6 x - 9 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \notin [- 4; 0] \\ x = - 3 \in [- 4; 0] \end{array}$

$f (- 4) = 21$ , $f (0) = 1$ , $f (- 3) = 28$ .

$\max_{[- 4; 0]} f (x) = f (- 3) = 28$ ; $\min_{[- 4; 0]} f (x) = f (0) = 1$

Vậy tổng giá trị nhỏ nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 29.

Câu 7:

Với giá trị nào của m thì giá trị nhỏ nhất của hàm số

y = \frac{x - 1}{x + m^{2}}

trên đoạn [2;5] bằng

\frac{1}{6}

?

A. $m = \pm 1$

B. $m = \pm 2$

C. $m = \pm 3$

D. m = 4

Xem đáp án

Chọn B.

Đạo hàm: $y' = \frac{m^{2} + 1}{{(x + m^{2})}^{2}} > 0, \forall x \in [2; 5]$ . Hàm số đồng biến trên (2;5).

Do hàm số liên tục trên đoạn [2;5] nên

\min_{[2; 5]} y = y (2) = \frac{1}{2 + m^{2}} = \frac{1}{6} \Leftrightarrow m^{2} = 4 \Leftrightarrow m = \pm 2.

Câu 8:

Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở A đến một hòn đảo C và khoảng cách ngắn nhất từ B đến C là 1km, khoảng cách từ B đến A là 4km được minh họa bằng hình vẽ sau:

Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở A đến một hòn đảo C và khoảng cách ngắn nhất từ B đến C là 1 km (ảnh 1)

Biết rằng mỗi rằng km dây điện đặt dưới nước mất 5000 USD, còn đặt dưới đất mất 3000 USD. Hỏi điểm S trên bờ cách A bao nhiêu để khi mắc dây điện từ A qua S rồi đến C là ít tốn kém nhất ?

A. $\frac{15}{4} km$

B. $\frac{13}{4} km$

C. $\frac{10}{4} km$

D. $\frac{19}{4} km$

Xem đáp án

Chọn A.

Gọi x (km) là khoảng cách từ S đến tới điểm B $B \Rightarrow S B = x (0 < x < 4 km)$ . Khi đó khoảng cách từ $S A = 4 - x (km) \Rightarrow S C = \sqrt{B C^{2} + B S^{2}} = \sqrt{1 + x^{2}}$ (km)

Chi phí mắc dây điện từ A qua S rồi đến C là:

$C (x) = 3000 (4 - x) + 5000 \sqrt{1 + x^{2}},$ với $0 < x < 4$

Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số C(x) với 0 < x < 4

$\Rightarrow C' (x) = - 3000 + \frac{5000 x}{\sqrt{1 + x^{2}}} = 1000 (\frac{5 x - 3 \sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

$C' (x) = 0 \Leftrightarrow 5 x - 3 \sqrt{1 + x^{2}} = \Leftrightarrow 3 \sqrt{1 + x^{2}} = 5 x \Leftrightarrow 9 (1 + x^{2}) = 25 x^{2} (d o 0 < x < 4)$

$\Leftrightarrow x^{2} = \frac{9}{16} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{3}{4} (t m) \\ x = - \frac{3}{4} (k t m) \end{array} (d o 0 < x < 4)$ . Lại có:

$C'' (x) = \frac{5000}{{(\sqrt{1 + x^{2}})}^{3}} > 0, \forall x \in (0; 4)$ .

Do đó $\min_{x \in (0; 4)} C (x) = C (\frac{3}{4}) = 16000$ (USD).

Vậy, để chi phí ít tốn kém nhất thì điểm S phải cách A là $A B - B S = 4 - \frac{3}{4} = \frac{13}{4} km$ .

Câu 9:

Hàm số

y = - x^{3} + b x^{2} + c x + 1

có đồ thị như hình vẽ. Mệnh đề nào đúng?

A. $b > 0; c > 0$

B. $b > 0; c < 0$

C. $b < 0; c < 0$

D. $b < 0; c > 0$

Xem đáp án

Chọn B.

Cách 1:

Nhìn đồ thị ta thấy:

Nhánh cuối đi xuống a < 0.

Hai điểm cực trị nằm cùng phía với Oy: a; c cùng dấu => c < 0.

Điểm uốn nằm bên phải Oy $\Rightarrow x_{u} = \frac{- b}{3 a} > 0$ $\Rightarrow - b; a$ cùng dấu $\Rightarrow - b < 0 \Rightarrow b > 0$ .

Cách 2:

Ta có : $y' = - 3 x^{2} + 2 b x + c$

Gọi $x_{1}; x_{2}$ là nghiệm của phương trình y' = 0

Nhìn đồ thị ta thấy:

Nhánh cuối đi xuống a = -1 < 0.

$\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} > 0 \Leftrightarrow \frac{- 2 b}{- 3} > 0 \Leftrightarrow b > 0 \\ x_{1} . x_{2} > 0 \Leftrightarrow \frac{c}{- 3} > 0 \Leftrightarrow c < 0 \end{cases}$

Câu 10:

Số giao điểm n của hai đồ thị

y = x^{4} - x^{2} + 3

và

y = 3 x^{2} - 1

là:

A. n = 2

B. n = 4

C. n = 3

D. n = 0

Xem đáp án

Chọn A.

Phương trình hoành độ giao điểm $x^{4} - x^{2} + 3 = 3 x^{2} - 1$

$\Leftrightarrow x^{4} - 4 x^{2} + 4 = 0$

$\Leftrightarrow x^{2} = 2 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{2}$ .

Câu 11:

Hình vẽ bên là đồ thị hàm trùng phương. Tìm giá trị của m để phương trình

|f (x)| = m

có 4 nghiệm phân biệt

Hình vẽ bên là đồ thị hàm trùng phương. Tìm giá trị của m để phương trình (ảnh 1)

A. m = 0

B. -3 < m < 1

C. m = 0, m = 3

D. 1 < m < 3

Xem đáp án

Chọn C.

Hình vẽ bên là đồ thị hàm trùng phương. Tìm giá trị của m để phương trình (ảnh 2)

Đồ thị hàm $y = |f (x)|$ có được bằng cách giữ phần đồ thị f(x) nằm trên Ox và lấy đối xứng phần đồ thị của f(x) nằm phía dưới Ox lên trên như hình vẽ.

=> Phương trình $|f (x)| = m$ có 4 nghiệm phân biệt khi m = 0, m = 3.

Câu 12:

Cho hàm số

y = x^{4} - 2 (2 m + 1) x^{2} + 4 m^{2} (1)

. Các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ

x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}

thoả mãn

{x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} + {x_{3}}^{2} + {x_{4}}^{2} = 6

là:

A. $m = \frac{1}{4}$

B. $m > - \frac{1}{2}$

C. $m > - \frac{1}{4}$

D. $m \geq - \frac{1}{4}$

Xem đáp án

Chọn A.

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (1) và trục hoành là:

x^{4} - 2 (2 m + 1) x^{2} + 4 m^{2} = 0 (2)

Đặt $t = x^{2} (t \geq 0)$ . Phương trình (2) trở thành $t^{2} - 2 (2 m + 1) t + 4 m^{2} = 0 (3)$

Đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt <=> pt (3) có 2 nghiệm dương phân biệt $0 < t_{1} < t_{2}$ .

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} Δ' > 0 \\ t_{1} t_{2} > 0 \\ t_{1} + t_{2} > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 4 m + 1 > 0 \\ 4 m^{2} > 0 \\ 2 (2 m + 1) > 0 \end{cases} \Leftrightarrow - \frac{1}{4} < m \neq 0$ (*).

Khi đó các nghiệm của phương trình (2) là $- \sqrt{t_{2}}, - \sqrt{t_{1}}, \sqrt{t_{1}}, \sqrt{t_{2}}$ . Theo giải thiết ta có ${(- \sqrt{t_{2}})}^{2} + {(- \sqrt{t_{1}})}^{2} + {(\sqrt{t_{1}})}^{2} + {(\sqrt{t_{2}})}^{2} = 6 \Leftrightarrow t_{1} + t_{2} = 3$ .

Theo định lí Viet $t_{1} + t_{2} = 2 (2 m + 1) \Rightarrow 2 (2 m + 1) = 3 \Leftrightarrow m = \frac{1}{4}$ .

Câu 13:

Cho hàm số

y = \frac{2 x - 1}{x - 1} (C)

. Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến đó cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm A, B thỏa mãn OA = 4OB là

A. $- \frac{1}{4}$

B. $\frac{1}{4}$

C. $- \frac{1}{4}$ và $\frac{1}{4}$

D. 1

Xem đáp án

Chọn A.

Ta có $y^{'} = \frac{- 1}{{(x - 1)}^{2}} < 0, \forall x \neq 1$ .

Gọi $β$ là góc tạo bởi tiếp tuyến d với trục Ox. Ta có hệ số góc của tiếp tuyến d là $k = \pm \tan β$ $= \pm \frac{O B}{O A} = \pm \frac{1}{4}$ .

Ta lại có hệ số góc của tiếp tuyến với (C) tại điểm $M (x_{0}; y_{0})$ là $y^{'} (x_{0}) = \frac{- 1}{{(x_{0} - 1)}^{2}} < 0$ nên nhận giá trị $k = - \frac{1}{4}$ và loại giá trị $k = \frac{1}{4}$ .

Câu 14:

Cho hàm số

y = \frac{x + 2}{x - 3}

có đồ thị (C). Có bao nhiêu điểm M thuộc (C) sao cho khoảng cách từ điểm M đến tiệm cận ngang bằng 5 lần khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng.

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Chọn B.

TXĐ: $ℝ \ \{3\}$ .

Ta có: $\lim_{x \to 3^{+}} y = \lim_{x \to 3^{+}} \frac{x + 2}{x - 3} = + \infty$ nên hàm số có tiệm cận đứng là x = 3.

$\lim_{x \to + \infty} y = \lim_{x \to + \infty} \frac{x + 2}{x - 3} = 1$ nên hàm số có tiệm cận ngang là y = 1.

Gọi $M (x_{0}; \frac{x_{0} + 2}{x_{0} - 3}) \in (C) x_{0} \neq 3$ . Khi đó $|\frac{x_{0} + 2}{x_{0} - 3} - 1|$ là khoảng cách từ điểm M đến tiệm cận ngang.

Và $|x_{0} - 3|$ là khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng.

Để khoảng cách từ điểm M đến tiệm cận ngang bằng 5 lần khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng thì $|\frac{x_{0} + 2}{x_{0} - 3} - 1| = 5 |x_{0} - 3|$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow |\frac{x_{0} + 2}{x_{0} - 3} - \frac{x_{0} - 3}{x_{0} - 3}| = 5 |x_{0} - 3| \Leftrightarrow |\frac{5}{x_{0} - 3}| = 5 |x_{0} - 3| \\ \Leftrightarrow |\frac{1}{x_{0} - 3}| = |x_{0} - 3| \Leftrightarrow \frac{1}{|x_{0} - 3|} = |x_{0} - 3| \Leftrightarrow {(x_{0} - 3)}^{2} = 1 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x_{0} - 3 = 1 \\ x_{0} - 3 = - 1 \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} x_{0} = 4 \\ x_{0} = 2 \end{matrix} \end{array}$

Vậy có 2 điểm M thỏa mãn đề bài.

Câu 15:

Đồ thị hàm số

y = \frac{x - 2}{x^{2} - 9}

có bao nhiêu đường tiệm cận?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Chọn C.

Tập xác định: $D = ℝ \ \{\pm 3\}$ .

Ta có:

$\lim_{x \to 3^{-}} y = \lim_{x \to 3^{-}} \frac{x - 2}{x^{2} - 9} = - \infty; \lim_{x \to 3^{+}} y = \lim_{x \to 3^{+}} \frac{x - 2}{x^{2} - 9} = + \infty \Rightarrow$ Tiệm cận đứng: x = 3.

$\lim_{x \to - 3^{-}} y = \lim_{x \to - 3^{-}} \frac{x - 2}{x^{2} - 9} = - \infty; \lim_{x \to - 3^{+}} y = \lim_{x \to - 3^{+}} \frac{x - 2}{x^{2} - 9} = + \infty \Rightarrow$ Tiệm cận đứng: x = -3.

Lại có:

\lim_{x \to - \infty} y = \lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}}}{1 - \frac{9}{x^{2}}} = 0; \lim_{x \to + \infty} y = \lim_{x \to + \infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}}}{1 - \frac{9}{x^{2}}} = 0 \Rightarrow

Tiệm cận ngang: y = 0.

Câu 16:

Cho hàm số f(x) xác định trên R và có đồ thị y = f'(x) là đường cong trong hình. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

Cho hàm số f(x) xác định trên R và có đồ thị y = f'(x) là đường cong trong hình. (ảnh 1)

A. Hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng

(- 1; 1)

B. Hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng

(0; 2)

C. Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng

(1; 2)

D. Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng

(- 2; 1)

Xem đáp án

Chọn B.

Dựa vào đồ thị ta có bảng xét dấu:

Cho hàm số f(x) xác định trên R và có đồ thị y = f'(x) là đường cong trong hình. (ảnh 2)

Dựa vào bảng xét dấu, ta có:

+ Hàm số đồng biến trên các khoảng (-2;0) và $(2; + \infty)$ .

+ Hàm số nghịch biến trên các khoảng

(- \infty; - 2)

và (0;2).

Câu 17:

Cho biểu thức

P = \sqrt[3]{x^{5} \sqrt[4]{x}}

với x > 0 Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $P = x^{\frac{20}{21}} .$

B. $P = x^{\frac{7}{4}} .$

C. $P = x^{\frac{20}{5}} .$

D. $P = x^{\frac{12}{5}} .$

Xem đáp án

Chọn B.

¨Tự luận: $P = \sqrt[3]{x^{5} \sqrt[4]{x}} = x^{\frac{1}{3} (5 + \frac{1}{4})} = x^{\frac{7}{4}}$

¨Trắc nghiệm:

* Cách1: Chọn x > 0 ví dụ như x = 1,25 chẳng hạn.

Tính giá trị $\sqrt[3]{1, 25^{5} \sqrt[4]{1, 25}}$ rồi lưu vào A

Cho biểu thức P = căn bậc ba x^5 căn bậc bốn x với x > 0 Mệnh đề nào dưới đây đúng? (ảnh 1)

Cho biểu thức P = căn bậc ba x^5 căn bậc bốn x với x > 0 Mệnh đề nào dưới đây đúng? (ảnh 2)

Tiếp theo ta tính hiệu, ví dụ như đáp án A ta cần tính $A - {(1, 25)}^{\frac{20}{21}}$ . Nếu màn hình máy tính xuất hiện kết quả bằng 0 thì chứng tỏ đáp án A đúng.

Đáp số chính là B.

* Cách 2: Dùng MTCT thay x = 2 và bấm $\log_{x} P = \log_{2} \sqrt[3]{2^{5} \sqrt[4]{2}} = \frac{7}{4} \Leftrightarrow P = x^{\frac{7}{4}} .$

Câu 18:

Cho

a > 0, a \neq 1

. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau

A. Tập giá trị của hàm số

y = \log_{a} x

là R.

B. Tập xác định của hàm số

y = a^{x}

là

(0; + \infty)

.

C. Tập xác định của hàm số

y = \log_{a} x

là R.

D. Tập giá trị của hàm số

y = a^{x}

là R

Xem đáp án

Chọn A.

B. Sai, vì tập xác định của hàm số $y = a^{x}$ là R.

C. Sai, vì tập xác định của hàm số $y = \log_{a} x$ là $(0; + \infty)$ .

D. Sai, vì tập giá trị của hàm số

y = a^{x}

là

(0; + \infty)

.

Câu 19:

Nếu

\log_{8} a + \log_{4} b^{2} = 5

và

\log_{4} a^{2} + \log_{8} b = 7

thì giá trị của

\log_{2} a b

bằng bao nhiêu?

A. 9

B. 18

C. 1

D. 3

Xem đáp án

Chọn A.

Từ giải thiết ta có a > 0, b > 0 và

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} \frac{1}{3} \log_{2} a + \log_{2} b = 5 \\ \log_{2} a + \frac{1}{3} \log_{2} b = 7 \end{cases} \Rightarrow \frac{4}{3} (\log_{2} a + \log_{2} b) = 12 \Rightarrow \frac{4}{3} \log_{2} a b = 12 \\ \Rightarrow \log_{2} a b = 9 \end{array}$

Câu 20:

Cho

a = \log_{2} 3

,

b = \log_{3} 5

,

c = \log_{7} 2

. Tính

\log_{140} 63

theo a, b, c.

A. $\frac{1 + 2 a c}{1 + 2 c + a b c}$

B. $\frac{1 - 2 a c}{1 - 2 c - a b c}$

C. $\frac{1 - 2 a c}{1 + 2 c + a b c}$

D. $\frac{1 + 2 a c}{1 - 2 c + a b c}$

Xem đáp án

Chọn A.

¨Tự luận:

Ta có :

$\begin{array}{l} \log_{140} 63 = \frac{\log_{7} 63}{\log_{7} 140} = \frac{1 + 2 \log_{7} 3}{1 + 2 \log_{7} 2 + \log_{7} 5} = \frac{1 + 2 \log_{7} 2. \log_{2} 3}{1 + 2 \log_{7} 2 + \log_{7} 2. \log_{2} 3. \log_{3} 5} \\ = \frac{1 + 2 a c}{1 + 2 c + a b c} \end{array}$

¨Trắc nghiệm:

Nhập $\log_{2} 3 s h i f t S T O A$

Nhập $\log_{3} 5 s h i f t S T O B$

Nhập ${log}_{7} 2 s h i f t S T O C$

Nhập

{log}_{140} 63 - \frac{1 + 2 A C}{1 + 2 C + A B C} = 0

.

Câu 21:

Tính đạo hàm của hàm số

y = 6^{x}

:

A. $y' = x {.6}^{x - 1}$

B. $y' = \frac{6^{x}}{\ln 6}$

C. $y' = 6^{x} . \ln 6$

D. $y' = 6^{x}$

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có:

{(6^{x})}^{'} = 6^{x} \ln 6

.

Câu 22:

Gọi m và M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số

f (x) = e^{2 - 3 x}

trên đoạn [0;2]. Mối liên hệ giữa m và M là:

A. $m + M = 1$

B. $M - m = e .$

C. $M . m = \frac{1}{e^{2}}$

D. $\frac{M}{m} = e^{2}$

Xem đáp án

Chọn C.

Hàm số f(x) xác định và liên tục trên đoạn [0;2].

Đạo hàm $f' (x) = - 3 e^{2 - 3 x} < 0, \forall x \in ℝ$ . Do đó hàm số f(x) nghịch biến trên [0;2].

Suy ra $\{\begin{cases} \max_{[0; 2]} f (x) = f (0) = e^{2} \\ \min_{[0; 2]} f (x) = f (2) = \frac{1}{e^{4}} \end{cases}$ . Suy ra $m = \frac{1}{e^{4}}, M = e^{2}$ nên $M . m = \frac{1}{e^{2}}$ .

Câu 23:

Trong hình vẽ dưới đây có đồ thị của các hàm số

y = a^{x}

,

y = b^{x}

,

y = \log_{c} x

.

Trong hình vẽ dưới đây có đồ thị của các hàm số y = a^x, y = b^x , y = log c x . (ảnh 1)

Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây?

A. c < a < b

B. a < c < b

C. b < c < a

D. a < b = c

Xem đáp án

Chọn B.

Từ đồ thị ta thấy hàm số $y = a^{x}$ nghịch biến => 0 < a < 1.

Hàm số $y = b^{x}, y = \log_{c} x$ đồng biến => b > 1, c > 1

=> a < b, a < c nên loại A, C

Nếu b = c thì đồ thị hàm số

y = b^{x}

và

y = \log_{c} x

phải đối xứng nhau qua đường phân giác góc phần tư thứ nhất y = x. Nhưng ta thấy đồ thị hàm số

y = \log_{c} x

cắt đường y = x nên loại D.

Câu 24:

Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình

5^{\sin^{2} x} + 5^{\cos^{2} x} = 2 \sqrt{5}

trên đoạn

[0; 2 π] .

A. $T = π .$

B. $T = \frac{3 π}{4} .$

C. $T = 2 π .$

D. $T = 4 π .$

Xem đáp án

Chọn D.

Ta có

$\begin{array}{l} 5^{\sin^{2} x} + 5^{\cos^{2} x} = 2 \sqrt{5} \Leftrightarrow 5^{\sin^{2} x} + 5^{1 - \sin^{2} x} = 2 \sqrt{5} \Leftrightarrow 5^{\sin^{2} x} + \frac{5}{5^{\sin^{2} x}} = 2 \sqrt{5} \\ \Leftrightarrow {(5^{\sin^{2} x})}^{2} - 2 \sqrt{5} {.5}^{\sin^{2} x} + 5 = 0 \Leftrightarrow {(5^{\sin^{2} x} - \sqrt{5})}^{2} = 0 \Leftrightarrow 5^{\sin^{2} x} - \sqrt{5} = 0 \Leftrightarrow 5^{\sin^{2} x} = 5^{\frac{1}{2}} \\ \Leftrightarrow \sin^{2} x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \sin x = - \frac{\sqrt{2}}{2} \end{array} \Leftrightarrow x = \frac{π}{4} + \frac{k π}{2}, k \in ℤ \end{array}$

Do

x \in [0; 2 π] \Rightarrow x = \{\frac{π}{4}; \frac{3 π}{4}; \frac{5 π}{4}; \frac{7 π}{4}\} \Rightarrow T = \frac{π}{4} + \frac{3 π}{4} + \frac{5 π}{4} + \frac{7 π}{4} = 4 π .

Câu 25:

Tập nghiệm của bất phương trình

\log_{4} (3^{x} - 1) . \log_{\frac{1}{4}} \frac{3^{x} - 1}{16} \leq \frac{3}{4}

là

A. $(1; 2] \cup [3; + \infty)$

B. $(0; 1] \cup [2; + \infty)$

C. $(- 1; 1] \cup [4; + \infty)$

D. $(0; 4] \cup [5; + \infty)$

Xem đáp án

Chọn B.

Điều kiện $\{\begin{cases} 3^{x} - 1 > 0 \\ \frac{3^{x} - 1}{16} > 0 \end{cases} \Leftrightarrow 3^{x} > 1 \Rightarrow x > 0$ . Khi đó BPT

$\Leftrightarrow \log_{4} (3^{x} - 1) . [- \log_{4} (3^{x} - 1) + 2] \leq \frac{3}{4}$

Đặt $t = \log_{4} (3^{x} - 1)$ . Khi đó, ta có

$t (- t + 2) \leq \frac{3}{4} \Leftrightarrow 4 t^{2} - 8 t + 3 \geq 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t \geq \frac{3}{2} \\ t \leq \frac{1}{2} \end{array}$

Khi đó

[\begin{array}{l} \log_{4} (3^{x} - 1) \geq \frac{3}{2} \\ \log_{4} (3^{x} - 1) \leq \frac{1}{2} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x \geq 2 \\ 0 < x \leq 1 \end{array}

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là:

(0; 1] \cup [2; + \infty)

Câu 26:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình

$4^{\sqrt{x + 1} + \sqrt{3 - x}} - {14.2}^{\sqrt{x + 1} + \sqrt{3 - x}} + 8 = m$ có nghiệm.

A. $m \leq - 32$

B. $- 41 \leq m \leq 32$

C. $m \geq - 41$

D. $- 41 \leq m \leq - 32$

Xem đáp án

Chọn D.

Đặt $t = \sqrt{x + 1} + \sqrt{3 - x}$ .

Xét hàm số $f (x) = \sqrt{x + 1} + \sqrt{3 - x}$ trên [-1;3].

Ta có $f^{'} (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x + 1}} - \frac{1}{2 \sqrt{3 - x}}; f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x = 1$ .

Bảng biến thiên của hàm số f(x) trên [-1;3]:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình (ảnh 1)

Từ đó suy ra $t \in [2; 2 \sqrt{2}]$ .

Khi đó ta có phương trình: $4^{t} - {14.2}^{t} + 8 = m$ .

Đặt $a = 2^{t}$ , do $t \in [2; 2 \sqrt{2}]$ nên $a \in [4; 4^{\sqrt{2}}]$ . Ta có phương trình $a^{2} - 14 a + 8 = m$ .

Xét hàm số $g (a) = a^{2} - 14 a + 8; g^{'} (a) = 2 a - 14; g^{'} (a) = 0 \Leftrightarrow a = 7$ .

Bảng biến thiên của hàm số g(a) trên

[4; 4^{\sqrt{2}}]

.

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình (ảnh 2)

Từ bảng biến thiên ta thấy để phương trình có nghiệm thì $- 41 \leq m \leq - 32$ .

Câu 27:

Biết phương trình $2 \log (x + 2) + \log 4 = \log x + 4 \log 3$ có hai nghiệm là $x_{1}, x_{2} (x_{1} < x_{2})$ . Tỉ số $\frac{x_{1}}{x_{2}}$ khi rút gọn là:

A. 4

B. $\frac{1}{4}$

C. 64

D. $\frac{1}{64}$

Xem đáp án

Chọn D.

Điều kiện: x > 0.

Phương trình tương đương với:

$\log {(x + 2)}^{2} + \log 4 = \log x + \log 3^{4} \Leftrightarrow 4 {(x + 2)}^{2} = 81 x$

$\Leftrightarrow 4 x^{2} - 65 x + 16 = 0 \Leftrightarrow (4 x - 1) (x - 16) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x_{1} = \frac{1}{4} \\ x_{2} = 16 \end{array}$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy

\frac{x_{1}}{x_{2}} = \frac{1}{4.16} = \frac{1}{64}

.

Câu 28:

Tổng của nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất phương trình

2^{x^{2} + x - 1} - 2^{x^{2} - 1} = 2^{2 x} - 2^{x}

bằng:

A. 0

B. 1

C. $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

D. $\frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Xem đáp án

Chọn B.

Phương trình tương đương với $2^{x^{2} - 1} (2^{x} - 1) = 2^{x} (2^{x} - 1)$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow (2^{x} - 1) (2^{x^{2} - 1} - 2^{x}) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 2^{x} - 1 = 0 \\ 2^{x^{2} - 1} - 2^{x} = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 2^{x} = 1 \\ 2^{x^{2} - 1} = 2^{x} \end{array} \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x^{2} - 1 = x \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x^{2} - x - 1 = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} \end{array} . \end{array}$

Phương trình có ba nghiệm $x = 0, x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Tổng của nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất phương trình bằng 1.

Câu 29:

Khối đa diện sau có bao nhiêu mặt?

A. 9

B. 10

C. 8

D. 7

Xem đáp án

Chọn A.

Khối đa diện sau có bao nhiêu mặt? (ảnh 2)

Có 9 mặt: $(A B B' A'), (B B' C' C), (C C' D' D), (D D' A' A), (A' B' C' D'),$ $(A B E F),$ $(C D F E), (B E C), (A D E)$

Câu 30:

Mặt phẳng (AB'C') chia khối lăng trụ ABC.A'B'C' thành các khối đa diện nào ?

A. Một khối chóp tam giác và một khối chóp tứ giác.

B. Hai khối chóp tam giác.

C. Một khối chóp tam giác và một khối chóp ngũ giác.

D. Hai khối chóp tứ giác.

Xem đáp án

Chọn A.

Mặt phẳng (AB'C') chia khối lăng trụ ABC.A'B'C' thành các khối đa diện nào ? (ảnh 1)

Dựa vào hình vẽ, ta thấy mặt phẳng (AB'C) chia khối lăng trụ ABC.A'B'C' thành khối chóp tam giác A.A'B'C' và khối chóp tứ giác ABCC'B'

Câu 31:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a,

\hat{A B C} = 60^{0}

, SA vuông góc với đáy, SD tạo với mặt phẳng (SAC) một góc bằng

45^{0} .

Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD

A. $V = \frac{\sqrt{6} a^{3}}{18} .$

B. $V = \sqrt{3} a^{3} .$

C. $V = \frac{\sqrt{6} a^{3}}{3} .$

D. $V = \frac{\sqrt{6} a^{3}}{12} .$

Xem đáp án

Chọn D.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, góc ABC = 60 độ, SA vuông góc với đáy (ảnh 1)

Do ABCD là hình thoi cạnh a và $\hat{A B C} = 60^{0}$ nên tam giác ABC đều.

Vậy $S_{A B C D} = 2 S_{A B C} = 2. \frac{\sqrt{3} a^{2}}{4} = \frac{\sqrt{3} a^{2}}{2} .$

Ta có: $\{\begin{cases} B D ⊥ A C \\ B D ⊥ S A \end{cases} \Rightarrow B D ⊥ (S A C)$

$\Rightarrow \hat{(S D, (S A C))} = \hat{D S O} = 45^{0} .$ Vậy tam giác SOD vuông cân tại $O \Rightarrow S O = D O = \frac{a \sqrt{3}}{2} .$

Xét tam giác SAO vuông tại A: $S A = \sqrt{S O^{2} - A O^{2}} = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

$\Rightarrow V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S A . S_{A B C D} = \frac{\sqrt{6} a^{3}}{12} .$

Câu 32:

Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SB, SC, SD. Tính thể tích khối đa diện AMNP.

A. $\frac{a^{3}}{24} .$

B. $\frac{a^{3}}{16} .$

C. $\frac{a^{3}}{48} .$

D. $\frac{a^{3}}{8} .$

Xem đáp án

Chọn A.

Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SAvuông góc với đáy (ảnh 1)

Từ giả thiết suy ra (MNP)//(BCD). Suy ra $h = d (A, (M N P)) = d (C, (M N P)) .$

Vì N là trung điểm của SC nên $h = d (C, (M N P)) = d (S, (M N P)) .$

Do đó $V_{A . M N P} = V_{S . M N P}$ .

Ta có: $\frac{V_{A . M N P}}{V_{S . A B C D}} = \frac{V_{S . M N P}}{2 V_{S . B C D}} = \frac{1}{2} . \frac{S M}{S B} . \frac{S N}{S C} . \frac{S P}{S D} = \frac{1}{16}$ .

Suy ra: $V_{A . M N P} = \frac{1}{16} . V_{S . A B C D} = \frac{1}{16} . \frac{1}{3} . S A . S_{A B C D} = \frac{1}{48} .2 a . a^{2} = \frac{a^{3}}{24}$ .

Câu 33:

Cho hình lăng trụ đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy a = 4 , biết diện tích tam giác A'BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C'.

A. $4 \sqrt{3}$

B. $8 \sqrt{3}$

C. $2 \sqrt{3}$

D. $10 \sqrt{3}$

Xem đáp án

Chọn B.

Cho hình lăng trụ đều abc.a'b'c' có cạnh đáy a = 4 , biết diện tích tam giác a'bc bằng 8 (ảnh 1)

Gọi M là trung điểm của $B C \Rightarrow A' M ⊥ B C$ .

$\begin{array}{l} A' M = \frac{2 S_{A' B C}}{B C} = \frac{2.8}{4} = 4, A M^{2} = A B^{2} - B M^{2} = 16 - 4 = 12 \\ A' A = \sqrt{A' M^{2} - A M^{2}} = \sqrt{4^{2} - 12} = 2; S_{A B C} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = 4 \sqrt{3} \end{array}$

Thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' là:

V = A' A . S_{A B C} = 2.4 \sqrt{3} = 8 \sqrt{3}

.

Câu 34:

Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông cân tại C. Hình chiếu vuông góc A¢ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm cạnh AB. Biết cạnh bên lăng trụ bằng 2a, đường cao lăng trụ bằng

\frac{a \sqrt{7}}{2} .

Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C'.

A. $\frac{9}{8} a^{3} \sqrt{7} .$

B. $\frac{9}{24} a^{3} \sqrt{7} .$

C. $\frac{9}{4} a^{3} \sqrt{7} .$

D. $\frac{9}{48} a^{3} \sqrt{7} .$

Xem đáp án

Chọn A.

Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C có đáy là tam giác vuông cân tại C. Hình chiếu vuông góc A' (ảnh 1)

Ta có: $A H = \sqrt{A A^{' 2} - A^{'} H^{2}} = \frac{3}{2} a; C H = A H = \frac{3 a}{2} .$

Thể tích lăng trụ:

V = A H . H C . A^{'} H = \frac{9}{8} a^{3} \sqrt{7} .

Câu 35:

Hình chóp tứ giác đều a có góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy bằng M, N. Thể tích của hình chóp là AB. Hỏi cạnh hình vuông mặt đáy bằng bao nhiêu?

A. a

B. $\frac{a}{\sqrt{3}}$

C. $\frac{2 a}{\sqrt{3}}$

D. 2a

Xem đáp án

Chọn C.

Hình chóp tứ giác đều a có góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy bằng M, N. Thể tích (ảnh 1)

Gọi O là tâm hình vuông, I là trung điểm CD .

Vì SABCD là hình chóp đều nên SO là đường cao của hình chóp.

Ta có: $((S C D), (A B C D)) = \hat{S I O} = 45^{0}$

Do đó tam giác SOI vuông cân tại O

Gọi cạnh hình vuông có độ dài 2x, khi đó:

SO = OI = x, DI = IC = x

$\Rightarrow S I = \sqrt{2} x$

Xét tam giác SID vuông tại I, có:

SD² = SI² + ID²

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow a^{2} = {(\sqrt{2} x)}^{2} + x^{2} \\ \Leftrightarrow 3 x^{2} = a^{2} \\ \Leftrightarrow x^{2} = \frac{a^{2}}{3} \\ \Leftrightarrow x = \frac{a}{\sqrt{3}} \\ \Rightarrow 2 x = \frac{2 a}{\sqrt{3}} \end{array}$

Vậy độ dài cạnh góc vuông là

\frac{2 a}{\sqrt{3}}

.

Câu 36:

Tính theo a thể tích V của khối hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' biết rằng mặt phẳng (A'BC) hợp với mặt đáy (ABCD) một góc

60^{o}

, A'C hợp với đáy (ABCD) một góc

30^{o}

và

A A^{'} = a \sqrt{3}

.

A. $V = 2 a^{3} \sqrt{6}$

B. $V = a^{3}$

C. $V = \frac{2 a^{3} \sqrt{6}}{3}$

D. $V = 2 a^{3} \sqrt{2}$

Xem đáp án

Chọn A.

Tính theo a thể tích V của khối hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' biết rằng mặt phẳng (A'BC) (ảnh 1)

Xét tam giác vuông A'AB có $\tan 60^{o} = \frac{A A^{'}}{A B} \Rightarrow A B = \frac{a \sqrt{3}}{\tan 60^{o}} = a$ .

Xét tam giác vuông A'AC có $\tan 30^{o} = \frac{A A^{'}}{A C} \Rightarrow A C = 3 a$ .

Vậy $B C = \sqrt{A C^{2} - A B^{2}} = 2 a \sqrt{2}; S_{A B C D} = 2 a \sqrt{2} . a = 2 a^{2} \sqrt{2} .$

Vậy $V = 2 a^{3} \sqrt{6}$

Câu 37:

Một hình nón có bán kính đường tròn đáy là 6 (cm) và diện tích hình tròn đáy bằng

\frac{3}{5}

diện tích xung quanh của hình nón. Tính thể tích khối nón.

A. $V = 288 π (c m^{3})$

B. $V = 96 π (c m^{3})$

C. $V = 48 π (c m^{3})$

D. $V = 64 π (c m^{3})$

Xem đáp án

Chọn B.

Gọi R, l, h lần lượt là bán kính, đường cao, đường sinh của hình nón.

Ta có: R = 6 (cm).

Ta có: $S_{d} = \frac{3}{5} S_{x q}$ $\Rightarrow π R^{2} = \frac{3}{5} π R l$ $\Rightarrow l = \frac{5}{3} R$ $\Rightarrow l = 10$

$\begin{array}{l} \Rightarrow h = \sqrt{l^{2} - R^{2}} = 8 (c m) \\ V = \frac{1}{3} π R^{2} h = 96 π \end{array}$

Câu 38:

Một hình nón đỉnh S tâm O có bán kính đáy bằng a góc ở đỉnh bằng $90^{0}$ . Một mặt phẳng (P) qua đỉnh cắt đường tròn đáy tại A, B sao cho $\hat{AOB} {= 60}^{0}$ . Diện tích thiết diện bằng:

A. $\frac{a^{2} \sqrt{7}}{4}$

B. $\frac{a^{2}}{2}$

C. $\frac{a^{2}}{4}$

D. $\frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$

Xem đáp án

Chọn A.

Một hình nón đỉnh S tâm O có bán kính đáy bằng a góc ở đỉnh bằng 90 độ . Một mặt phẳng (ảnh 1)

Xét $Δ S O A : S O = \frac{A O}{\tan 45^{\circ}} = a$ ; $S A = \sqrt{S O^{2} + O A^{2}} = a \sqrt{2}$ .

OAB là tam giác đều cạnh a $\Rightarrow O I = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

Xét $Δ S O I : S I = \sqrt{S O^{2} + O I^{2}} = \frac{a \sqrt{7}}{2}$

Diện tích thiết diện:

S_{S A B} = \frac{1}{2} . A B . S I = \frac{a^{2} \sqrt{7}}{4}

Câu 39:

Cho hình trụ (T) có chiều cao h , độ dài đường sinh l , bán kính đáy r. Ký hiệu

S_{x q}

là diện tích xung quanh của (T). Công thức nào sau đây là đúng?

A. $S_{x q} = π r h$

B. $S_{x q} = 2 π r l$

C. $S_{x q} = 2 π r^{2} h$

D. $S_{x q} = π r l$

Xem đáp án

Chọn B.

Cho hình trụ (T) có chiều cao h , độ dài đường sinh l , bán kính đáy r . Ký hiệu (ảnh 1)

Với hình trụ ta có

h = l \Rightarrow S_{x q} = 2 π r h = 2 π r l

.

Câu 40:

Cho hình nón có độ dài đường kính đáy là 2R, độ dài đường sinh là

R \sqrt{17}

và hình trụ có chiều cao và đường kính đáy đều bằng 2R, lồng vào nhau như hình vẽ. Tính thể tích phần khối trụ không giao với khối nón.

Cho hình nón có độ dài đường kính đáy là 2R , độ dài đường sinh là R căn bậc hai 17 (ảnh 1)

A. $\frac{5}{12} π R^{3}$

B. $\frac{1}{3} π R^{3}$

C. $\frac{4}{3} π R^{3}$

D. $\frac{5}{6} π R^{3}$

Xem đáp án

Chọn D.

Cho hình nón có độ dài đường kính đáy là 2R , độ dài đường sinh là R căn bậc hai 17 (ảnh 2)

Ta có $S I = \sqrt{S A^{2} - I A^{2}} = \sqrt{17 R^{2} - R^{2}} = 4 R \Rightarrow S E = 2 R, E F = \frac{R}{2}$ .

Thể tích khối nón lớn (có đường cao SI) là $V_{1} = \frac{1}{3} π R^{2} .4 R = \frac{4}{3} π R^{3}$ .

Thể tích khối nón nhỏ (có đường cao SE) là $V_{2} = \frac{1}{3} π {(\frac{R}{2})}^{2} .2 R = \frac{1}{6} π R^{3}$

Thể tích phần khối giao nhau giữ khối nón và khối trụ là $V_{3} = V_{1} - V_{2} = \frac{7}{6} π R^{3}$ .

Thể tích khối trụ là là $V_{4} = π R^{2} .2 R = 2 π R^{3}$ .

Vậy thể tích phần khối trụ không giao với khối nón là $V = V_{4} - V_{3} = \frac{5}{6} π R^{3}$ .

Câu 41:

Giải phương trình sau:

2^{2 x^{2} + 1} - {9.2}^{x^{2} + x} + 2^{2 x + 2} = 0

.

Xem đáp án

Chia cả hai vế của phương trình cho $2^{2 x + 2} \neq 0$ ta được:

$2^{2 x^{2} - 2 x - 1} - {9.2}^{x^{2} - x - 2} + 1 = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{2} {.2}^{2 x^{2} - 2 x} - \frac{9}{4} {.2}^{x^{2} - x} + 1 = 0 \Leftrightarrow {2.2}^{2 x^{2} - 2 x} - {9.2}^{x^{2} - x} + 4 = 0$ .

Đặt $t = 2^{x^{2} - x}$ điều kiện t > 0. Khi đó phương trình đã cho tương đương với

$2 t^{2} - 9 t + 4 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 4 \\ t = \frac{1}{2} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 2^{x^{2} - x} = 2^{2} \\ 2^{x^{2} - x} = 2^{- 1} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x^{2} - x = 2 \\ x^{2} - x = - 1 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 2 \\ x = - 1 \end{array}$

Vậy phương trình có hai nghiệm $[\begin{array}{l} x = 2 \\ x = - 1 \end{array}$ .

Câu 42:

Cho khối bát diện đều cạnh a. Tính tỷ số thể tích của khối lập phương được tạo nên bằng cách nối các tâm của các mặt bên của khối bát diện với thể tích của khối bát diện.

Xem đáp án

Cho khối bát diện đều cạnh a . Tính tỷ số thể tích của khối lập phương được tạo nên (ảnh 1)

Thể tích của khối bát diện đều cạnh a là: $V = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{6} .$

Gọi thể tích khối lập phương $G_{1} G_{2} G_{3} G_{4} . G_{5} G_{6} G_{7} G_{8}$ là $V_{1}$ .

Ta có: $G_{2} G_{3} = \frac{2}{3} I J = \frac{2}{3} . \frac{1}{2} B D = \frac{1}{3} a \sqrt{2} .$

Khi đó $V_{1} = {(G_{2} G_{3})}^{3} = {(\frac{a \sqrt{2}}{3})}^{3} = \frac{2 \sqrt{2} a^{3}}{27} .$

Vậy:

\frac{V_{1}}{V} = \frac{\frac{2 \sqrt{2} a^{3}}{27}}{\frac{a^{3} \sqrt{2}}{6}} = \frac{4}{9} .